Chuyên đề Giới hạn - Liên tục - Đạo hàm

lim x CHUYÊN ĐỀ GIỚI HẠN – LIÊN TỤC – ĐẠO HÀM  TRẦN CÔNG DIÊU ♥ THPT TÔ VĂN ƠN PHAN CÔNG TUẤN DU LỚP 12A1 – KHTN  Y1M: tinhbantoan123@yahoo.com ……………………… THÁNG 4. 2009 ……………………………  mùa thi 2009  Trang 1 2 20 ln (co s )lim (?) ln (co s )x a x aT b x b   SỞ GD & ĐT KHÁNH HÒA TRƯỜNG THPT TÔ VĂN ƠN Trần Công Diêu Phan Công Tuân Du Quản Trị Viên Diễn Đàn MS www.forum.mathscope.org Năm học 2008 - 2009 lim x CHUYÊN ĐỀ GIỚI HẠN – LIÊN TỤC – ĐẠO HÀM  TRẦN CÔNG DIÊU ♥ THPT TÔ VĂN ƠN PHAN CÔNG TUẤN DU LỚP 12A1 – KHTN  Y1M: tinhbantoan123@yahoo.com ……………………… THÁNG 4. 2009 ……………………………  mùa thi 2009  Trang 2 BÀI VIẾT NÀY DÀNH TẶNG TRẦN LÊ PHƯƠNG TRANG 11A1 KHTN THPT TÔ VĂN ƠN CÔ BÉ ĐÁNG YÊU VÀ DỄ THƯƠNG NHẤT! lim x CHUYÊN ĐỀ GIỚI HẠN – LIÊN TỤC – ĐẠO HÀM  TRẦN CÔNG DIÊU ♥ THPT TÔ VĂN ƠN PHAN CÔNG TUẤN DU LỚP 12A1 – KHTN  Y1M: tinhbantoan123@yahoo.com ……………………… THÁNG 4. 2009 ……………………………  mùa thi 2009  Trang 3 Phần 1. Các dạng bài toán về tính giới hạn hàm số  Kiến thức cơ bản cần nắm ( không nắm out lun, hehe )  Giới hạn 0 ( )lim ( )x x f x g x , trong đó ( ); ( )f x g x cùng dần tới 0 khi x dần tới 0x được gọi là giới hạn dạng 0 0 . Đây là dạng giới hạn thường gặp vì nó hay! @ Các bạn có thấy thiếu điều gì không? Đó là khái niệm về giới hạn đấy, cực kì hay nha, vì bài viết này chỉ nhằm luyện thi đại học nên những bài toán đi sâu vào giới hạn không được chúng tôi đề cập nhiều! Nói chung giải thành thạo những bài của đại học chỉ là phần ngoài của giới hạn thôi nhé, hấp dẫn còn ở đằng sau. Bạn đừng cười nhiều vì làm bài kiểm tra được điểm cao nha, bình thường thôi!  Khái niệm giới hạn dãy số:  1 2( ) , ,..., ;...n na a a a có giới hạn là số a nếu bắt đầu từ một chỉ số nào đó, mọi số hạng na đều nằm trong một lân cận bất kì của điểm a, tức là ở ngoài lân cận hoặc chỉ có một số hữu hạn số hạng hoặc không có số hạng nào của dãy. Kí hiệu lim nn a a  Lân cận: ví dụ như cạnh nhà bạn có vài ngôi nhà khác chẵn hạn, vùng lân cận của đồng bằng sông hồng … ok chứ! Khái niệm này phù hợp với chương trình học sau này  Khái niệm giới hạn hàm số được xây dựng dựa trên khái niệm trên: x a thì ( ) ( )f x f a hay lim ( ) ( ) x a f x f a    Một số giới hạn cơ bản được dùng trong các kì thi:  0 s inxlim 1 x x  ; 0 1lim 1 x x e x    0 ln(1 )lim 1 x x x   ; 1 0 0 1lim 1 lim(1 ) x x x x x e x           2 20 0 sin 1 coslim 1;lim , , 0 ax 2x x ax ax a a R a x       ( * )( cái này có được vì sao? ) @ Sau đây là các bài toán hay và thường gặp về giới hạn  Thí dụ 1. Tìm giới hạn 3 0 2 1 8lim x x xT x     ( ĐHQGHN 1997 ) Lời giải. ( bạn đang cười vì : ‘ tôi làm nó quá nhiều ‘ ) Trước hết ta thêm bớt 2 trên tử rồi tách ra như sau 3 0 0 2( 1 1) (2 8 )lim lim x x x xT x x        tại sao lại là số 2? Đến đây chắc chắn bạn sẽ làm theo cách nhân lượng liên hiệp, ( ko hay cho lắm, nếu căn lớn hơn ). Bạn chú ý nhá: lim x CHUYÊN ĐỀ GIỚI HẠN – LIÊN TỤC – ĐẠO HÀM  TRẦN CÔNG DIÊU ♥ THPT TÔ VĂN ƠN PHAN CÔNG TUẤN DU LỚP 12A1 – KHTN  Y1M: tinhbantoan123@yahoo.com ……………………… THÁNG 4. 2009 ……………………………  mùa thi 2009  Trang 4 Đặt 31 ; 8u x v x    thì 2 31; 8 ; , 2x u x v u v     . Như vậy chúng ta có thể viết:   2 3 22 2 2 2 2 1 2 2 1 2 1 3lim lim lim lim 1 8 1 4 2 3 12 4u v u v u vT u v u v v                  (cách giải này có cái hay là chúng ta đã loại đi những dấu căn cồng kềnh, khi đổi biến thì nhớ đổi ‘cận’ của giới hạn). Ưu điểm hơn qua bài toán sau:  Thí dụ 2. Tìm giới hạn 54 1 2 1 2lim 1x x xT x      ( ĐHSPHN 1999 ) ĐS: 7 10 T  , cách giải hoàn toàn tương tự bài 1 cái bạn thử xem nhen! Câu hỏi đặt ra là làm sao tìm được hệ số tự do thêm bớt vào ( trong bài 1 là số ‘2’ ấy ). Bạn xem bài toán tổng quát từ đó rút ra suy nghĩ nhé: ( ) ( ) lim n m x a f x g x T x a    số bạn cần tìm là: ( ) ( )n mf a g a nếu điều này không xảy ra thì có nghĩa bạn đang đối mặt với một bài toán khó hơn! Bạn nhìn lại thí dụ 1 và 2 điều này có đúng không.  Thí dụ 3. Tìm giới hạn 20 1 cos cos 2lim x x xT x   Lời giải. Biến đổi và sử dụng công thức ( * ) 2 2 2 20 0 0 1 cos 1 os2 1 cos 1 os2lim( cos . ) lim limcos . x x x x c x x c xT x x x x x x           2 21 2 5 2 2 2    Tổng quát: 2 2 2 20 1 cos 2 ...cos 1 2 ...lim 2x xco x nx n x       Thí dụ 4. Tìm giới hạn cos os3 20 os2lim x c x x e c xT x     Lời giải. Biến đổi như sau cos os3 2 20 1 1 os2lim( ) x c x x e c xT x x       bạn đang gặp lại dạng thêm bớt lúc đầu nhé! Vậy 1 2T T T  với cos os3 cos os3 1 2 cos os3 20 0 1 1 cos os3lim lim . x c x x c x x c xx x e e x c xT x x               cos os3 cos os3 2 20 1 1 os3 1 coslim x c x x c xx e c x x x x           o   cos os3 cos os30 0 1 1lim lim 1; cos os3 x c x t x c xx t e e t x c x t           Thí dụ 5. Tính giới hạn 0 ln(s inx cos )lim x xT x   Lời giải. Biến đổi 2 0 0 ln(s inx cos ) ln(1 sin 2 ) sin 2lim lim( . ) 2 sin 2 2x x x x xT x x x      ( nhớ học công thức nhan các anh em ) lim x CHUYÊN ĐỀ GIỚI HẠN – LIÊN TỤC – ĐẠO HÀM  TRẦN CÔNG DIÊU ♥ THPT TÔ VĂN ƠN PHAN CÔNG TUẤN DU LỚP 12A1 – KHTN  Y1M: tinhbantoan123@yahoo.com ……………………… THÁNG 4. 2009 ……………………………  mùa thi 2009  Trang 5 o 0 0 ln(1 sin 2 ) ln(1 )lim lim ; sin 2 sin 2x t x t t x x t      o 0 0 sin 2 sinlim lim ; 2 2x u x t u x x t    Vậy 1.1 1T   ( chú ý phải trình bày cẩn thận các phép đổi cận thì giang hồ mới chấp nhận ví như ko được viết 0 sin 2lim 0 2x x x  )  Thí dụ 6. Tìm giới hạn 3lim 1 x x xT x      Lời giải. Thực hiện phép biến đổi 3 2lim lim 1 1 1 x x x x xT x x               Đặt 2 1 1x t   , ta có 2 1;x t x t     vì vậy 22 1 1 21 1 1lim 1 lim 1 1 t t t t T e t t t                               Thí dụ 7. Tìm giới hạn  3 3 2 2lim 3 1xT x x x x     Lời giải. Thực hiện phép biến đổi đơn giản  3 3 2 2lim ( 3 ) ( 1 )xT x x x x x x       (cái này gợi cho ta sự thêm bớt đúng hem, nhưng nó mang đẳng cấp cao hơn rùi) o     2 3 3 2 33 2 3 2 23 3lim 3 lim 3 3x x xD x x x x x x x x x          2 3 3 3lim 1 3 31 1 1 x x x            o 2 2 1lim ( 1 ) lim 1x x xDu x x x x x x            2 11 1lim 21 11 1 x x x x          Vậy 3 2 T D Du    Thí dụ 8. Tìm giới hạn T= 0 sin(s inx)lim x x ( ĐH Bách Khoa HN 1997 ) – cùi bắp Lời giải. 0 0 sin(s inx) s inx sin(s inx)lim lim . 1 s inxx xx x    lim x CHUYÊN ĐỀ GIỚI HẠN – LIÊN TỤC – ĐẠO HÀM  TRẦN CÔNG DIÊU ♥ THPT TÔ VĂN ƠN PHAN CÔNG TUẤN DU LỚP 12A1 – KHTN  Y1M: tinhbantoan123@yahoo.com ……………………… THÁNG 4. 2009 ……………………………  mùa thi 2009  Trang 6  Thí dụ 9. Tìm giới hạn  20 1 coslim 1 1x xT x     Lời giải. Ta thực hiện biến đổi sau     2 2 2 2 2 2 20 0 2sin (1 1 ) 2sin (1 1 ) 2 2lim lim 1 1 1 1x x x xx x T xx x            2 2 20 2sin (1 1 ) 2lim 1 4 2 x x x x           ( bạn trình bày chỗ này rõ ra nhé! )  Thí dụ 10. Tính giới hạn sau 2 0 1 os 2lim sinx c xT x x   ( ĐN 1997 ) Lời giải. 22 2 0 0 2 0 1 os 2 sin 2 sin 2 4lim lim lim . 4 s inxsin sin 2x x x c x x xT x x x x x x                  Chỉ là những phép biến đổi khéo léo ở bạn đó!  Thí dụ 11. Tìm giới hạn sau 0 1lim . os x T x c x  ( ĐH Giao Thông 1997 ) Lời giải. Bài này phải dùng pp đánh giá nói đúng hơn là nguyên lí kẹp của vaiơstrat ( hic sách giáo khoa 11 cho nhỏ bên cạnh nhà mượn rùi, ghi nhầm có gì bà con bỏ qua nhen ) Tóm tắt pp: Giả sử ta có : o ( ) ( ) ( );u x f x v x x D    ( tập xác định của ba hàm số này ) o lim ( ) lim ( ) ; x a x a u x v x Dieu a D      Thì lim ( ) ; x a f x Dieu a D    ( ui khuya quá rồi, nhớ cô bé đáng yêu ghê, ngày mai viết tiếp, bé ơi ngủ đi đêm đã khuya rồi … măm măm, tối thứ bảy, 29-3-2009 ) Tiếp nè:  1 1 1cos os cos 1x x c x x x x x x x           0 0 0 1lim lim cos lim 0 x x x x x x x            0 1lim cos 0 x x x        Thí dụ 12. Tìm giới hạn sau 0 1 1 sin 3 lim 1 cosx x T x     ( ĐHQG HN 1997 ) Lời giải. Biến đổi như sau lim x CHUYÊN ĐỀ GIỚI HẠN – LIÊN TỤC – ĐẠO HÀM  TRẦN CÔNG DIÊU ♥ THPT TÔ VĂN ƠN PHAN CÔNG TUẤN DU LỚP 12A1 – KHTN  Y1M: tinhbantoan123@yahoo.com ……………………… THÁNG 4. 2009 ……………………………  mùa thi 2009  Trang 7 0 0 1 1 sin 3 1 1 sin 3 lim lim 1 cos 1 cosx x x x T x x          ( vì 1 sin 3 0x  ) 3 2 2 2 0 0 0 4sin 3sin s inx 4sin 3 1 oslim lim lim 4sin 3 1 co s1 os 1 cosx x x x x x c x x a xc x            2 0 lim 1 cos 4sin 3 3 2 x x x       Thí dụ 13. Tính giới hạn sau s inxlim sinxx xT x    ( ĐHGT 1998 ) Lời giải. Tiếp tục ý tưởng với nguyên lí kẹp của vaiơstrat, bắt đầu nào s inxs inx 1 1 s inx 1 s inx; 0 lim 0 x x x x x x x x x           ( các bạn nên thuộc giới hạn này nhé ) Vì vậy s inx s inx1 1s inxlim lim lim 1s inxs inxs inx 11 x x x x x x xT x x xx                     Thí dụ 14. Tính giới hạn sau 3 2 0 2 1 1lim sinxx x xT      ( ĐHQG HN 2000 ) Lời giải. Các bạn nhớ lại ý tưởng thêm bớt nhé, chúng ta thử mới biết là có giải được hay không? 3 2 0 ( 2 1 1) ( 1 1)lim sinxx x xT        3 2 0 0 ( 2 1 1) ( 1 1)lim lim sinx s inxx x x x         A B  o       0 0 2 1 1 2 1 1 1 2l im lim . 1s inx2 1 1 s inx 2 1 1x x x x A x x x              o         3 32 2 2 23 0 03 32 2 2 2 2 23 3 1 1 ( 1) 1 1 1lim lim 0sinx( 1) 1 1 sinx ( 1) 1 1x x x x x xB x x x x x                          o Vậy 1T  . Bạn đang nghĩ “ ôi sao mà biến đổi khéo léo quá vậy trời, liệu tui có làm được như vậy không? Huhu “. Tôi xin nói khẽ với bạn: “ thật đơn giản, chỉ cần bạn luyện tập tốt ( ko cần làm nhiều ), nhưng bạn phải thật sự hiểu ý nghĩa và hình thức của các giới hạn cơ bản  Thí dụ 15. Tính giới hạn 2 20 3 coslim x x xT x   ( ĐHSP HN 2000 ) Lời giải. vẫn với câu nói: “ không thử sao biết “ – trừ khi bạn có công lực hàng khủng nhìn thấy ngay, hehe! lim x CHUYÊN ĐỀ GIỚI HẠN – LIÊN TỤC – ĐẠO HÀM  TRẦN CÔNG DIÊU ♥ THPT TÔ VĂN ƠN PHAN CÔNG TUẤN DU LỚP 12A1 – KHTN  Y1M: tinhbantoan123@yahoo.com ……………………… THÁNG 4. 2009 ……………………………  mùa thi 2009  Trang 8 2 2 ln3 2 20 0 3 cos ( 1) (1 cos )lim lim x x x x x e xT x x        ( hehe khá khéo léo nhá )  2 2ln3 220 0 2sin1 12lim .ln 3 lim ln 3 .ln 3 2 4 2 x x x x e x x             ( chỗ này tôi viết tắt nhé, các bạn phải thông qua một bước tam gọi là đổi cận của giới hạn như đã trình bày ở cái thí dụ trước ) @ wow wow đói bụng quá ăn cơm cái đã, mới đánh ba tiếng mà được nhiêu đây cũng kha khá rồi, hè hè chúng ta chuẩn bị sử dụng vũ khí nguyên tử để tiêu diệt vương quốc giới hạn nha! ( 11h55 am, 29 – 3 – 2009 ). Nhưng thôi chúng ta cùng tiếp tục với những ví dụ khác đã!  Thí dụ 16. Tính giới hạn sau 20 1 cos cos 2 cos3lim x x x xT x   Lời giải. Bạn hãy nhìn lại thí dụ 3 xem sao, tôi khẳng định chúng có mối quan hệ với nhau, hehe, còn quan hệ như thế nào bạn tự suy nghĩ nhé! Đs: 7 2 T  ( nếu bí quá bạn có thể liên hệ với chúng tôi qua tinhbantoan@yahoo.com ) @ Tiếp tục với những bài có ý tưởng thêm bớt nhé! ( khè khè )  Thí dụ 17. ( Một bài toán cực kì quan trọng ) Tính giới hạn sau 0 1 ax 1lim n x T x    với n nguyên dương Lời giải. Thực hiện phép đổi biến đê: Đặt 1 axny   Khi ấy 0x  thì 1y  vì thế em có :   1 21 1 1 1lim lim 1 1 ... 1n n ny y y yT a a y y y y y             1 21 1lim ... 1n ny aa y y y n        Làm một vài ứng dụng của nó nha! ( Bạn hãy tổng quát kết quả trên với đa thực bậc n: 1 0( ) ... n np n a x a x a    nhá, có nghĩa là lúc này x được thay bằng p(n) )  Thí dụ 18. Tính giới hạn sau 3 4 0 1 2 1 3 1 4 1lim x x x xT x      Lời giải. Trước hết bài toán này khá hay và khó, với những căn thức như vậy chúng ta sẽ liên tưởng đến kết quả mà chúng ta đã có trong thí dụ 17, vậy phải làm sao khi mà bài toán này có chứa tích của tới ba dấu căn khác bậc. Ta sử dụng biến đổi sau đây 3 41 2 1 3 1 4 1x x x    = 31 2 1 2 1 2 1 3x x x x      3 3 41 2 1 3 1 2 1 3 1 4 1x x x x x        lim x CHUYÊN ĐỀ GIỚI HẠN – LIÊN TỤC – ĐẠO HÀM  TRẦN CÔNG DIÊU ♥ THPT TÔ VĂN ƠN PHAN CÔNG TUẤN DU LỚP 12A1 – KHTN  Y1M: tinhbantoan123@yahoo.com ……………………… THÁNG 4. 2009 ……………………………  mùa thi 2009  Trang 9 Từ đây là ngon ăn quá rồi nha! 3 4 3 0 00 1 2 1 1 3 1 1 4 1lim lim 1 2 lim 1 2 1 3 x xx x x xT x x x x x x                   3 4 0 0 0 1 2 1 1 3 1 1 4 1lim lim lim x x x x x xT x x x                  2 3 4 2 3 4    @ Hoàn toàn bạn có thể tạo ra những bài toán như ý muốn của bạn từ những ý tưởng cơ bản, thế mới biết toán học là muôn màu muôn vẻ!  Thí dụ 19. Tính giới hạn sau 4 lim tan 2 . tan( ) 4x T x x      ( ĐHSPHN 2000 ) Lời giải. nhẩm nhẩm ta thấy nếu mà thế 4 x  vào thì T không xác định. Để cho gọn ta đặt 4 a x  20 0 0 0 os2 sin os2 1lim tan 2 .t ana limcot 2 . tan lim lim 4 sin 2 cos 2cos 2a a a a c a a c aT a a a a a a                 Phần 2. Các bài toán về tính liên tục và có đạo hàm của hàm số  Hàm số liên tục tại điểm 0x x khi và chỉ khi   0 0 0lim ( ) lim ( )x x x xf x f x f x     Đạo hàm của hàm số ( )y f x tại điểm 0x x là giới hạn hữu hạn ( nếu có ) của 0 0 0 ( ) ( )lim x x f x f x x x   , kí hiệu là 0'( )f x . Chú ý đạo hàm tồn tại khi 0 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( )lim lim x x x x f x f x f x f x x x x x        ( bạn hãy hiểu thật rõ về đạo hàm nhé ) Định lí: Nếu hàm số ( )f x có đạo hàm tại 0x thì liên tục tại điểm đó. ( điều ngược lại không phải lúc nào cũng đúng ) @ Sau đây chúng ta cùng giải một số bài toán về : “ tính liên tục và đạo hàm “. Các dạng này chỉ nhằm kiểm tra một tiết, thi học kì dành cho khối 11 hoặc dành cho kì thi tốt nghiêp thời tiền sử (he), nhưng ( tôi đang nhấn mạnh ) nếu người ra đề muốn thì họ có thể biến chuyển thành những bài toán hay, khá khó, thường có mặt trong các kì thi học sinh giỏi. Giải phần này để ta hiểu hơn về lí thuyết từ đó có thể ứng dụng tính liên tục để giải phương trình, cái này mới quan trọng vì thi đại học thường có!  Thí dụ 20. Tìm m để hàm số sau liên tục tại điểm 1x  : lim x CHUYÊN ĐỀ GIỚI HẠN – LIÊN TỤC – ĐẠO HÀM  TRẦN CÔNG DIÊU ♥ THPT TÔ VĂN ƠN PHAN CÔNG TUẤN DU LỚP 12A1 – KHTN  Y1M: tinhbantoan123@yahoo.com ……………………… THÁNG 4. 2009 ……………………………  mùa thi 2009  Trang 10     3 2 2 1 ( ) ; 1 11 ; 1 2 x x y f x xx m x           Lời giải. Trước hết cần hiểu liên tục tại một điểm là như thế nào đã, cái này chúng tôi đã trình bày trong phần lí thuyết tóm tắt của phần này!  Hàm số liên tục tại điểm 0x x khi và chỉ khi   0 00 0lim ( ) lim ( ) lim ( ) x x x xx x f x f x f x f x       Bài toán chúng ta đang xét ứng với 0 1x  , bạn cũng nên biết rằng hàm số của chúng ta đang cần xét là hàm hai quy tắc, một điều rất quan trọng nữa là khi 1x  đồng nghĩa với x chưa bằng 1 hay 1x  . Với nhận xét này chúng ta bắt đầu giải như sau: Xét giới hạn 3 3 1 1 1 2 2 1 2 1 2 1 1 4lim ( ) lim lim 1 1 1 3x x x x x x xf x x x x                    (?) với những gì bạn có trong những ví dụ phần 1 thì việc tính giới hạn này chỉ còn là trò trẻ con! Bạn thấy một chút gì đó khó hiểu, ừ đúng, hãy đọc lại đề một lần nữa thật kĩ. Người ta yêu cầu “ tìm m “ để hàm số liên tục tại điểm x=1 vậy nên ta đã có một giả thiết cực kì quan trọng là hàm số này liên tục tại điểm x=1, điều này tương đương với 1 lim ( ) (1) x f x f   4 3 m  . Hãy nhớ đây là bài toán tìm m và đề cho hàm số của chúng ta đã liên tục tại điểm x=1 rồi. Bài toán này khác với bài toán xét tính liên tục của một hàm số!  Thí dụ 21. Tìm m để hàm số sau liên tục tại điểm 3 x  t anx 3cot 3( ) ; 3; 3 x xy f x x m x           Lời giải. Như vậy các bạn chỉ cần trình bày như sau Xét giới hạn 3 3 t anx 3cotlim ( ) lim 3x x xf x a x        ( một kết quả nào đó – các bạn tự tìm ha ) Vì hàm số liên tục tại 3 x  nên : 3 lim ( ) ( ) 3x f x f     a m  ( nếu bạn vẫn thấy khó hiểu thì nên ngẫm nghĩ lại những gì mình mới đọc rồi hãy tiếp tục nha, toán liên quan đến lí thuyết hay lém ) @ Hehe, bạn đang tự tin, ui dễ ợt mà có gì không hiểu, ừ nếu như từ những bài giới hạn ban đầu mà chúng tôi đề cập đến bạn có thể tạo ra được những bài liên tục như thế này, thì chắc chắn bạn đã hiểu rồi đấy! Nào chúng ta cùng qua một số bài tính đạo hàm mà phải dùng đến định nghĩa mới mong có solution đẹp! lim x CHUYÊN ĐỀ GIỚI HẠN – LIÊN TỤC – ĐẠO HÀM  TRẦN CÔNG DIÊU ♥ THPT TÔ VĂN ƠN PHAN CÔNG TUẤN DU LỚP 12A1 – KHTN  Y1M: tinhbantoan123@yahoo.com ……………………… THÁNG 4. 2009 ……………………………  mùa thi 2009  Trang 11  Thí dụ 22. Tính đạo hàm hàm số sau tại điểm 0x  t anx sinx 2 1 ( ) ; 0 0; 0 e y f x xx x         Lời giải. Bạn có thật sự hiểu mình cần làm gì không? Xét giới hạn t anx sinx t anx sinx 3 30 0 0 ( ) (0) 1 1 t anx s inx 1lim lim lim . 0 t anx s inx 2x x x f x f e eT x x x                ( chú ý đổi cận giới hạn nha, khuya quá rồi đang làm biến, thông cảm, các bạn làm cho ra kết quả như trên nghen ) Vậy 1'(0) 2 f  @ Liệu có ai trong các bạn đặt ra câu hỏi này : ‘ ủa sao hàm số chưa biết có liên tục hay không mà tính đạo hàm trời ‘. Hehe, việc có đạo hàm tại một điểm sẽ làm hàm số liên tục tại điểm đó chứ không phải liên tục tại một điểm thì hàm số có đạo hàm tại điểm đó ( làm ơn nhớ dùm ).  Thí dụ 23. Tính đạo các hàm số sau a. 2 0; 0 ( ) 1sin ; 0 x f x x x x      tại điểm x=0 b. 0; 0 ( ) 1 cos ; 0 x f x x x x      tại điểm x=0 Lời giải. a. 0 0 ( ) (0) 1'(0) lim lim sin 0 0x x f x ff x x x       (?) Vì sao giới hạn này bằng không chúng ta hãy dùng nguyên lí kẹp nhá, xem lại ví dụ 11 b. thí dụ này các bạn làm tương tự. @ Các bạn có đặt ra câu hỏi là vì sao chúng tôi lại đặt phần này sau phần giới hạn không, uhm, vì khi thành thạo giới hạn rồi việc tính các giới hạn hệ quả như trên mới dễ dàng được. Chúc các bạn may mắn, đi ngủ đây ( 30-31/3/2009), hôm nay khuya quá rồi, ngày mới lại đến!  Thí dụ 24. Tìm a, b để hàm số : 2 ( ) ; 0(1) ( ) ax 1: 0(2) bxx a e x f x bx x         có đạo hàm tại 0 0x  Lời giải. Giả sử ( )f x có đạo hàm tại 0 0x  thì ( )f x liên tục tại 0 0x  0 0 lim ( ) lim ( ) (0) x x f x f x f       2 0 0 lim(ax 1) lim( ) bx x x bx x a e a            ( chú ý x dần tới phía trái ‘ 0 ’ thì hàm số theo quy tắc (1) và x dần tới phía phải ‘ 0 ’ thì hàm số theo quy tắc (2), ai mong lun về khái niệm hàm số thì nên ôn lại nhen ) lim x CHUYÊN ĐỀ GIỚI HẠN – LIÊN TỤC – ĐẠO HÀM  TRẦN CÔNG DIÊU ♥ THPT TÔ VĂN ƠN PHAN CÔNG TUẤN DU LỚP 12A1 – KHTN  Y1M: tinhbantoan123@yahoo.com ……………………… THÁNG 4. 2009 ……………………………  mùa thi 2009  Trang 12 1 a a   1 a  thay vào hàm số ban đầu ta được   2 1 ; 0 ( ) 1; 0 bxx e x f x x bx x         Điều kiện cần và đủ để ( )f x có đạo hàm tại 0 0x  ( xem lại phần lí thuyết ) : 0 0 ( ) (0) ( ) (0)lim lim 0 0x x f x f f x f x x         2 0 0 1 11 1lim lim 0 0 bx x x x ex bx x x             1b b   (?) ( các bạn tính ra nghen ) 1 2 b  Vậy 11; 2 a b  @ Hãy nhớ lúc này các bạn đã có công lực kha khá về giới hạn rồi nhe, nên việc tính ở trên xin dành cho các bạn. Như vậy để giải bài toán dạng này ta căn cứ vào 2 điều kiện: thứ nhất có đạo hàm thì phải liên tục, điều kiện thứ hai là điều kiện tồn tại của đạo hàm ( xin nhắc lại rằng bạn cần phải hiểu lí thuyết một cách thật cặn kẽ )  Thí dụ 25. Tìm a, b để hàm số a) 2 2 2 ; 2 1( ) ax ; 1 x xf x x b x           có đạo hàm tại 0 1x  b) 2 ; 1 ( ) ; 1 x x f x ax b x      có đạo hàm tại 0 1x  Gợi ý. Với hai bài toán này cách giải hoàn toàn tương tự, toán học đòi hỏi chúng ta phải suy nghĩ thật nhiều, tôi hi vọng các bạn chỉ qua một ít bài tập mà sẽ tiếp thu được dạng toán này! Sau đây xin nêu lên đáp số cho các bạn kiểm tra giúp a. 3; 3a b   b. 1 1; 2 2 a b  @ Sao chúng ta không tự tạo ra những bài toán có hệ số là năm sinh của mình hay là của người yêu người thân của mình nhĩ? Chúc các bạn may mắn và thật hài lòng với những bài toán mình tạo ra!  Thí dụ 26. Chứng minh rằng hàm số 1 x y x   liên tục tại 0 0x  nhưng không có đạo hàm tại 0 1x  Lời giải.  Trước tiên chúng ta chứng minh hàm số này liên tục tại 0 0x    00 l imf ( ) lim 0 0 1xx x x f x     Vậy   0 l imf ( ) 0 x x f   nên đại ca này liên tục tại 0 0x   Bây giờ chúng ta chứng minh hàm số này không có đạo hàm tại 0 0x  lim x CHUYÊN ĐỀ GIỚI HẠN – LIÊN TỤC – ĐẠO HÀM  TRẦN CÔNG DIÊU ♥ THPT TÔ VĂN ƠN PHAN CÔNG TUẤN DU LỚP 12A1 – KHTN  Y1M: tinhbantoan123@yahoo.com ……………………… THÁNG 4. 2009 ……………………………  mùa thi 2009  Trang 13       0 0 0 lim lim 0 1x x xf x f x x x            0 0 0 0 1lim lim lim 1 0 1 1x x x xf x f x x x x                  0 0 0 0 1lim lim lim 1 0 1 1x x x xf x f x x x x              Vậy rõ ràng hàm số này không có đạo hàm tại 0 0x  Thí dụ 27. Cho hàm số 3 21 sin 1; 0( ) 0; 0 x x xf x x       Tìm đạo hàm của hàm số tại 0x  (HSG Tỉnh Bảng A Nghệ An 2008 – 2009 ) Lời giải. cũng giống như những ví dụ trước 3 2 20 0 ( ) (0) 1 sin 1'(0) lim lim x x f x f x xf x x         2 0 2 32 23 sin'(0) lim 1 sin 1 sin 1x x xf x x x x x          20 3 23 s inx 1'(0) limsinx. 0 1 sin 1 sin 1x f x x x x x       . Vậy  ' 0 0f  . Nhận xét về bài toán này: tuy là đề thi hsg nhưng rất mềm, không quá khó khăn! Thí dụ 28. Cho hàm số 2 11 os ; 0 ( ) 0; 0 x c x f x x x           tính đạo hàm của hàm số tại 0x  ( Huế 2003 – 2004 ) Lời giải. Cũng không khó khăn gì 0 0 0 0 ( ) (0) 1 1'(0) lim lim 1 os lim lim . os 0 0x x x x f x ff x c x x c x x x               (?). Vậy '(0) 0f  . Phần 3. Ứng dụng định lí lagrange trong việc giải phương trình ( Dành cho các bạn học các lớp bồi dưỡng ) I) §Þnh lý Roll : lµ tr­êng hîp riªng cña ®Þnh lý Lagr¨ng 1.Trong ch­¬ng tr×nh to¸n gi¶i tÝch líp 12 cã ®Þnh lý Lagr¨ng nh­ sau : ( rất tiếc chương trình mới định lí này đã được giảm tải ) Định lí : NÕu hµm sè y = f(x) liªn tôc trªn [a; b] vµ cã ®¹o hµm trªn (a; b) th× tån t¹i mét ®iÓm c(a; b) sao cho: f / (c) = ab )a(f)b(f   lim x CHUYÊN ĐỀ GIỚI HẠN – LIÊN TỤC – ĐẠO HÀM  TRẦN CÔNG DIÊU ♥ THPT TÔ VĂN ƠN PHAN CÔNG TUẤN DU LỚP 12A1 – KHTN  Y1M: tinhbantoan123@yahoo.com ……………………… THÁNG 4. 2009 ……………………………  mùa thi 2009  Trang 14 ý nghÜa h×nh häc cña ®Þnh lý nh­ sau: XÐt cung AB cña ®å thÞ hµm sè y = f(x), víi to¹ ®é cña ®iÓm A(a; f(a)) , B(b; f(b)). HÖ sè gãc cña c¸t tuyÕn AB lµ: k = ab )a(f)b(f   §¼ng thøc : f / (c) = ab )a(f)b(f   nghÜa lµ hÖ sè gãc cña tiÕp tuyÕn t¹i ®iÓm C(c; f(c)) cña cung AB b»ng hÖ sè gãc cña ®­êng th¼ng AB. VËy nÕu c¸c ®iÒu kiÖn cña ®Þnh lý Lagr¨ng ®­îc tho¶ m∙n th× tån t¹i mét ®iÓm C cña cung AB, sao cho tiÕp tuyÕn t¹i ®ã song song víi c¸t tuyÕn AB. 2. NÕu cho hµm sè y = f(x) tho¶ m·n thªm ®iÒu kiÖn f(b) = f(a) th× cã f / (c) = 0. Ta cã ®Þnh lý sau ®©y cã tªn gäi lµ : §Þnh lý Roll. NÕu hµm sè y = f(x) liªn tôc trªn [a; b], cã ®¹o hµm f / (x) trªn (a; b) vµ cã f(a) = f(b) th× tån t¹i ®iÓm xo )b,a( sao cho f’ (xo) = 0.. Nh­ vËy ®Þnh lý Roll lµ mét tr­êng hîp riªng cña ®Þnh lý Lagr¨ng. Tuy nhiªn cã thÓ chøng minh ®Þnh lý Roll trùc tiÕp nh­ sau: Hµm sè f(x) liªn tôc trªn [a; b] nªn ®¹t c¸c gi¸ trÞ max, min trªn ®o¹n [a; b] gäi m = min f(x) , M = max f(x) x ],[ ba x ],[ ba NÕu m = M th× f(x) = C lµ h»ng sè nªn  xo )b,a( ®Òu cã f’(xo ) = 0 NÕu m < M th× Ýt nhÊt mét trong hai gi¸ trÞ max, min cña hµm sè f(x) ®¹t ®­îc t¹i ®iÓm nµo ®ã xo (a; b). VËy xo ph¶i lµ ®iÓm tíi h¹n cña f(x) trªn kho¶ng (a; b)  f’ (xo ) = 0. §Þnh lý ®­îc chøng minh . ý nghÜa h×nh häc cña ®Þnh lý Roll : Trªn cung AB cña ®å thÞ hµm sè y = f(x), víi A(a; f(a)) , B(b; f(b)) vµ f(a) = f(b), tån t¹i ®iÓm C ( c; f(c) ) mµ tiÕp tuyÕn t¹i C song song víi Ox. NhËn xÐt : Tõ ®Þnh lý Roll cã thÓ rót ra mét sè hÖ qu¶ quan träng nh­ sau : Cho hµm sè y = f (x) x¸c ®Þnh trªn [a; b] vµ cã ®¹o hµm t¹i )b;a(x . HÖ qu¶ 1 : NÒu ph­¬ng tr×nh f(x) = 0 cã n nghiÖm ph©n biÖt th×: ph­¬ng tr×nh f’ (x) = 0 cã Ýt nhÊt n – 1 nghiÖm ph©n biÖt . ph­¬ng tr×nh f )k( (x) = 0 cã Ýt nhÊt n – k nghiÖm ph©n biÖt, víi k = 2, 3, 4 … HÖ qu¶ 2 : NÕu ph­¬ng tr×nh f(x) = 0 cã n nghiÖm ph©n biÖt th× ph­¬ng tr×nh : f(x) +  f’ (x) = 0 cã Ýt nhÊt n-1 nghiÖm ph©n biÖt , víi R lim x CHUYÊN ĐỀ GIỚI HẠN – LIÊN TỤC – ĐẠO HÀM  TRẦN CÔNG DIÊU ♥ THPT TÔ VĂN ƠN PHAN CÔNG TUẤN DU LỚP 12A1 – KHTN  Y1M: tinhbantoan123@yahoo.com ……………………… THÁNG 4. 2009 ……………………………  mùa thi 2009  Trang 15 mµ 0 .  Thí dụ 29. Chứng minh rằng với mọi số thực , ,a b c thì phương trình cos3 cos 2 cos s inx 0a x b x c x    (1) luôn có nghiệm trong khoảng  0;2 Lời giải. Lần đầu tiên tôi gặp bài toán này vào năm lớp 10, thật sự lời giải làm cho tôi thích nhất của bài toán này là dùng định lí lagrange Xét hàm số 1 1( ) 3 a sin 3 2 sin 2 sin cosf x x b x c x x     trên đoạn [0;2 ] . Rõ ràng hàm số này xác định và liên tục trên [0;2 ] , có đạo hàm tại mọi điểm thuộc  0;2 . Ngoài ra (0) (2 ) 1f f    . Theo định lí lagrange, tồn tại  0;2d  sao cho       2 0 1 ( 1)' 0 2 0 2 f f f d            cos3 cos 2 cos sin 0a d b d c d d     điều này có nghĩa d là một nghiệm của phương trình (1) suy ra đpcm. ( chú ý bài toán này còn có cách giải khác )  Thí dụ 30. Giải phương trình   cos cos1 cos 2 4 3.4x xx   Lời giải. Về bài toán này trước hết ta phải thực hiện đặt ẩn phụ  cos 1;1x y   Khi đó pt đã cho có dạng   1 2 4 4.4 1 1 y yy y         (1) tới đây công việc cũng chưa hẳng là đã đơn giản hơn. Chúng ta sẽ dùng ý tưởng của định lí lagrange để giải phương trình này, từ định lí lagrange chúng ta thấy rằng phương trình đạo hàm cấp 1 ' 0f  có không quá k nghiệm thì phương trình 0f  có không qua k+1 nghiệm, rồi từ đó bằng cách đoán nghiệm ta suy ra các nghiệm của phương trình. Những phương trình dùng tới định lí này thường có mặt trong các kì thi hsg! Ta có  2 6.4 ln 4'( ) 1 2 4 y y f y    ( các bạn kiểm tra lại phép tính đạo hàm này nhé )  2'( ) 0 2 4 6.4 ln 4 0y yf y      nếu ta coi phương trình này là phương trình với biến là 4y thì rõ ràng nó là một pt bậc hai nên nó sẽ có không quá 2 nghiệm. Từ đó (1) sẽ có không quá 3 nghiệm, ta đoán được 1 2 3 10; ; 1 2 y y y   là ba nghiệm của (1). Rồi từ đấy giải các pt lượng giác cơ bản 1cos 0;cos ;cos 1 2 x x x   suy ra kết quả!  Thí dụ 31. Cho n lµ sè nguyªn d­¬ng , cßn a, b, c lµ c¸c sè thùc tuú ý tho¶ m∙n hÖ thøc : 2n a  + 1n b  + n c = 0 (1) CMR ph­¬ng tr×nh : a 2x + bx + c = 0 cã Ýt nhÊt mét nghiÖm trong ( 0; 1) . lim x CHUYÊN ĐỀ GIỚI HẠN – LIÊN TỤC – ĐẠO HÀM  TRẦN CÔNG DIÊU ♥ THPT TÔ VĂN ƠN PHAN CÔNG TUẤN DU LỚP 12A1 – KHTN  Y1M: tinhbantoan123@yahoo.com ……………………… THÁNG 4. 2009 ……………………………  mùa thi 2009  Trang 16 Gi¶i : XÐt hµm sè: f(x) = 2n ax 2n   + 1n bx 1n   + n cx n . Hµm sè f (x) liªn tôc vµ cã ®¹o hµm t¹i  xR . Theo gi¶ thiÕt (1) cã f(0) = 0 , f(1) = 0 n c 1n b 2n a     Theo ®Þnh lý Roll tån t¹i xo  (0; 1) sao cho f’(xo ) = 0 mµ: f’(x) = a 2nn1n cxbxx   f’(x 0 ) = 0 0cxbxax 1n o n o 1n o   o 2 o 1n o bxax(x   +c) = 0 ( 0x o  ) 0cbxax o 2 o  VËy ph­¬ng tr×nh a 0cbxx 2  cã nghiÖm )1;0(x o  . (®pcm) .  Thí dụ 32. Gi¶i ph­¬ng tr×nh : xxxx 5463  Gi¶i : Ph­¬ng tr×nh ®∙ cho t­¬ng ®­¬ng víi : xxxx 3456  (2). Râ rµng 0x o  lµ mét nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh (2) . Ta phân tích như sau, phương trình tương đương với    5 1 5 3 1 3x xx x     , vì phương trình có bậc là biến nên chúng ta sẽ dùng một thủ thuật để xử lí như sau: Ta gäi  lµ nghiÖm bÊt kú cña ph­¬ng tr×nh (2). XÐt hµm sè : f(x) =   x)1x( , víi x > 0, chú ý X này là X lớn nhen! Hµm sè f(x) x¸c ®Þnh vµ liªn tôc trªn ( 0; + ) vµ cã ®¹o hµm : f’ (x) = 1)1x(  -  1x  = [ 11 x)1x(   ] Tõ (2) cã f(5) = f(3) . VËy tån t¹i c ( 3; 5) sao cho f’(c) = 0, hay lµ :  [ 11 c)1c(   ] = o   = o ,  = 1 . Thö l¹i thÊy 1 20; 1x x  ®Òu tho¶ m∙n ph­¬ng tr×nh (2). VËy ph­¬ng tr×nh ®∙ cho cã ®óng 2 nghiÖm lµ : 1 20; 1x x  @ hichic, 3 tiếng rưỡi edit trong đẹp hơn nhiều rồi! – 3h30, 3.4.2009 Phần 4. Sử dụng đạo hàm để tính giới hạn của hàm số ( bom nguyên tử ) lim x CHUYÊN ĐỀ GIỚI HẠN – LIÊN TỤC – ĐẠO HÀM  TRẦN CÔNG DIÊU ♥ THPT TÔ VĂN ƠN PHAN CÔNG TUẤN DU LỚP 12A1 – KHTN  Y1M: tinhbantoan123@yahoo.com ……………………… THÁNG 4. 2009 ……………………………  mùa thi 2009  Trang 17  Thí dụ 33. Tính giới hạn sau 3 5 30 1 2 1lim 3 8 2 1x x xT x x        Lời giải. Với bài toán này mà làm theo những cách ở phần 1 thì cũng có vẻ hơi căn phải hong nè! Chúng ta giải bằng cách dùng đạo hàm Đặt 3 5( ) 1 2 1f x x x    dễ thấy (0) 0f  Đặt 3( ) 3 8 2 1g x x x    dễ thấy (0) 0g  , chính những nhận đinh này gợi cho ta ý nghĩ về đạo hàm, như vậy chúng ta thực hiện những biến đổi sau, trước hết chia tử và mẫu cho x và đưa về dạng đạo hàm như sau 0 0 ( ) (0) ( ) 0lim lim ( ) (0)( ) 0 x x f x f f x xT g x gg x x        0 0 ( ) (0)lim 0 ( ) (0)lim 0 x x f x f x g x g x       '(0) '(0) f g  1 415 3 45 4     Việc tính đạo hàm tại 0x  của hai hàm f(x) và g(x) xin dành cho các bạn! @ Uhm, qua ví dụ này các bạn đã thấy sức mạnh của phương pháp đạo hàm trong giới hạn chưa, thật sự các ví dụ trong phần 1 điều có thể giải được bằng pp này!  Thí dụ 34. Tính giới hạn sau tan 2 os16 8 lim os12 x c x x e eT c x   ( thầy Phú Khánh ) Lời giải. Đặt tan2( ) xf x e dễ thấy ( ) 1 8 f   ; os16( ) c xg x e dễ thấy ( ) 1 8 g   , tại sao chúng ta lại tính các giá trị tại 8  ? với nhận định này ta thực hiện biến đổi như sau tan 2 os16 tan 2 os16 tan 2 os16 8 8 8 8 8 1 ( 1) 1 1 8lim lim (lim lim ).lim os12 os12 os12 8 8 x c x x c x x c x x x x x x xe e e e e eT c x c x c xx x                         tan 2 8 1lim '( ) 8 8 x x e f x       (?) ; os16 8 1lim '( ) 8 8 c x x e g x       ; 8 18lim os12 12x x c x     (? ) các bạn tự tính nha, sau những gì các bạn được học thì việc tính là dễ dàng! Vậy 3 eT   Thí dụ 35. Tính giới hạn sau 2 2 32 20 ln(1 )lim 1xx xT e x     ( Đề thử sức số 3 tạp chí TH & TT ) Lời giải. Chúng ta biến đổi như sau 2 2 2 32 2 2 2 2 2 23 32 2 2 20 0 0 ln(1 ) ln(1 ) 1lim lim . 1: lim 1 1 x x xx x x x x x e xT x xe x e x                 lim x CHUYÊN ĐỀ GIỚI HẠN – LIÊN TỤC – ĐẠO HÀM  TRẦN CÔNG DIÊU ♥ THPT TÔ VĂN ƠN PHAN CÔNG TUẤN DU LỚP 12A1 – KHTN  Y1M: tinhbantoan123@yahoo.com ……………………… THÁNG 4. 2009 ……………………………  mùa thi 2009  Trang 18 Lúc này ta đặt 22 3 2 ( ) (0) 1 ( ) 1 (0) 1 xf x e f g x x g        rồi bằng cách làm như các ví dụ trên các bạn sẽ tính ra được kết quả sau 3 7 T   Thí dụ 36. Tính giới hạn sau 3 2 0 2 1 1lim sinxx x xT      ( thầy Trần Phương ) Lời giải. Đặt 3 2( ) 2 1 1f x x x    dễ thấy (0) 0f  vì vậy ta có thể viết lại bài toán như sau (?)  Thí dụ 37. Tính giới hạn sau 2ax 2 20 .cos 1lim x e axT x   với a là hằng số cho trước Lời giải. Biến đổi bài toán như sau 2 2ax 2 ax 2 2 20 0 .cos 1 .cos 1lim lim x x e ax e axT a x ax      Đặt 2ax 2( ) .cos 1f x e ax  dễ thấy (0) 0f  Vì vậy 0 ( ) (0)lim '(0) 0x f x fT f a x      . Vậy T a , rất mong các bạn kiểm tra lại kết quả để tự các bạn là người hoàn thiện bài toán. @ Rõ ràng sự kết hợp của đạo hàm và các giới hạn cơ bản đã tạo nên một công cụ cực mạnh, theo tôi nghĩ là có thể giải được khá nhiều bài giới hạn trong chương trình, bạn có thử suy nghĩ như tôi không, khi ra đề người ra đề xuất phát từ đâu, tôi xin nhắc nhỏ cho bạn chỉ từ các giới hạn cơ bản, đạo hàm và những phép biến đổi khéo léo!  Lời cuối cùng: Sau khoảng 9 tiếng chúng tôi đã hoàn thành xong bài viết này, vì thời gian là có hạn và mùa thi đã đến gần nên chúng tôi không thể trình bày hết các vấn đề của Giới hạn, liên tục và đạo hàm. Chúng tôi hi vọng với bài viết ngắn này, trong kì thi sắp tới các bạn sẽ làm tốt hơn về phần này, và các bạn đang học 11 sẽ có thêm một kiến thức nhỏ để chuẩn bị cho việc học đội tuyển. Chúng tôi rất tiếc là không thể thực hiện được ý định như ý muốn là viết thêm phần 5, một phần chúng tôi rất tâm đắc, đó là sử dụng tính liên tục để giải phương trình, bất phương trình, chứng minh sự tồn tại nghiệm, giải phương trình hàm,và phần giới hạn trong dãy số …Nhưng chúng tôi không còn nhiều thời gian nữa, lời cuối chúng tôi xin chúc các bạn thi tốt trong kì thi sắp tới và những kì thi sau này. Dù đã rất cố gắng nhưng sai xót là không thể tránh khỏi, hi vọng nhận được nhiều sự đóng góp từ các ban. Với bài viết này chúng tôi hi vọng kiến 3 2 0 0 0 0 (0) 0 2 1 1 ( ) (0) s inx ( ) (0) s inxlim lim : lim : lim '(0) 1 s inx 0 0x x x x f x x f x f f x fT f x x x x                  lim x CHUYÊN ĐỀ GIỚI HẠN – LIÊN TỤC – ĐẠO HÀM  TRẦN CÔNG DIÊU ♥ THPT TÔ VĂN ƠN PHAN CÔNG TUẤN DU LỚP 12A1 – KHTN  Y1M: tinhbantoan123@yahoo.com ……………………… THÁNG 4. 2009 ……………………………  mùa thi 2009  Trang 19 thức về toán sơ cấp của bản thân ngày càng vững vàng hơn. Xin chào và hẹn gặp lại các bạn ở những chuyên đề khác khi chúng tôi rời ghế nhà trường THPT …………….. Hết ………….$................. 8h43’pm- 3.4.2009 Gởi lời đến Phương Trang: anh chúc em học thật giỏi, luôn xinh đẹp và dễ thương, chúc em mọi điều hạnh phúc. Em hãy vững tin trên cuộc sống nha! ♥