Chuyên đề Công thức về lượng giác

Chuyên đề LƯỢNG GIÁC Phần 1: CÔNG THỨC 1. Hệ thức LG cơ bản 2. Công thức LG thường gặp Công thức cộng: Công thức nhân: Tích thành tổng: cosa.cosb =[cos(a-b)+cos(a+b)] sina.sinb =[cos(a-b)-cos(a+b)] sina.cosb =[sin(a-b)+sin(a+b)] Tổng thành tích: Công thức hạ bậc: cos2a =(1+cos2a) sin2a =(1-cos2a) Biểu diễn các hàm số LG theo 3. Phương trìng LG cơ bản * sinu=sinv * cosu=cosvÛu=±v+k2p * tanu=tanv Û u=v+kp * cotu=cotv Û u=v+kp . 4. Một số phương trình LG thường gặp 1. Phương trình bậc nhất, bậc hai đối với một hàm số lượng giác: a. Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác: để giải các phương trình này ta dùng các công thức LG để đưa phương trình về phương trình LG cơ bản. b. Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác: là những phương trình có dạng a.sin2x+b.sinx+c=0 (hoặc a.cos2x+b.cosx+c=0, a.tan2x+b.tanx+c=0, a.cot2x+b.cotx+c=0) để giải các phương trình này ta đặt t bằng hàm số LG.. 2. Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx: Dạng: asinx+bcosx=c. Điều kiện để phương trình có nghiệm là . cách 1: Chia hai vế phương trình cho a rồi đặt , ta được: sinx+tanacosx= sinx+cosx= sin(x+)=. cách 2: Chia hai vế phương trình cho, ta được: Đặt: . Khi đó phương trình tương đương: hay . Cách 3: Đặt . 3. Phương trình thuần nhất bậc hai đối với sinx và cosx: Dạng: asin2x+bsinxcosx+ccos2x=0 (*). Cách 1: + Kiểm tra nghiệm với . + Giả sử cosx¹0: chia hai vế phương trình cho cos2x ta được: atan2x+btanx+c=0. Chú ý: Cách 2: Áp dụng công thức hạ bậc. 4. Phương trình đối xứng đối với sinx và cosx: Dạng: a(sinx± cosx)+ bsinxcosx=c. Cách giải: Đặt t= sinx± cosx. Điều kiện | t |. Phần 2: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC KHÔNG MẪU MỰC Phương pháp 1: Dùng các công thức lượng giác đưa về phương trình dạng tích. Ví dụ 1. Giải phương tình: sin2x + sin23x = cos22x + cos24x (1). Giải Phương trình (1) tương đương với: Û cos2x+cos4x+cos6x+cos8x = 0 Û 2cos5xcosx+2cos5xcos3x = 0 Û 2cos5x(cos3x+cosx) = 0 Û 4cos5x.cos2x.cosx = 0 Ví dụ 2. Giải phương trình: cos6x+sin6x = 2 ( cos8x+sin8x) (2). Giải Ta có (2) Û cos6x(2cos2x-1) = sin6x(1-2sin2x) Û cos2x(sin6x–cos6x) = 0 Û cos2x(sin2x–cos2x)(1+sin2x.cos2x) = 0 Û cos2x = 0 Û Ví dụ 3: Giải phương trình: (3). Giải Ta có: Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ đưa phương trình lượng giác về phương trình đại số: Ví dụ 4. Giải phương trình lượng giác: (4). Giải Ta có (4) Đặt cos22x = t, với tÎ[0; 1], ta có Vì tÎ[0;1], nên Ûcos4x = 0 Û Ví dụ 5. Giải phương trình lương giác: 2sin3x – cos2x + cosx = 0 (5) Giải Ta có (5) Û 2(1- cos2x)sinx + 2 – 2 cos2x + cosx – 1 = 0 Û (1- cosx )[2(1 + cosx)sinx + 2(1 + cosx) - 1] = 0 Û (1 – cosx)(2sinx+ 2cosx + 2sinxcosx+1) = 0 Giải (*): Đặt sinx + cosx = t, điều kiện , khi đó phương trình (*) trở thành: 2t + t2 – 1 + 1 = 0 Û t2 + 2t = 0 Vậy nghiệm của phương trình đã cho là:; Phương pháp 3: Quy phương trình lượng giác về việc giải hệ phương trình lượng giác bằng cách đánh giá, so sánh, sử dụng bất đẳng thức. Ví dụ 6. Giải phương trình: (6). Giải Điều kiện: x ≥ 0 Do nên , mà |cosx| ≤ 1. Do đó (Vì k, n Î Z). Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 0. Phương pháp 4: Sử dụng tính chất hàm số. Ví dụ 7: (ĐH Sư phạm 2) Giải phương trình: . Giải Đặt . Dễ thấy f(x) = f(-x), , do đó f(x) là hàm số chẵn vì vậy trước hết ta chỉ xét với x ≥ 0. Ta có: f’(x)=sinx+x, f”(x) = -cosx+1, "x≥0 Þ f’(x) là hàm đồng biến, do đó f’(x)≥f’(0), với x≥0 Þ f(x) đồng biến với x≥0 . Mặt khác ta thấy f(0)=0, do đó x=0 là nghiệm duy nhất của phương trình. Ví dụ 8: (ĐH Bách Khoa) Với n là số tự nhiên bất kì lớn hơn 2, tìm x thuộc khoảng thoả mãn phương trình:. Giải Đặt f(x) = sinnx + cosnx, ta có : f’(x) = ncosx.sinn-1x – nsinx.cosn-1x. = nsinx.cosx(sinn-2x – cosn-2x) Lập bảng biến thiên của f(x) trên khoảng , ta có minf(x) = f = Vậy x = là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho. BÀI TẬP Giải các phương trình sau: cos3x+cos2x+2sinx–2 = 0 (Học Viện Ngân Hàng) ĐS: tanx.sin2x-2sin2x=3(cos2x+sinx.cosx) (ĐH Mỏ Địa Chất) HD: Chia hai vế cho sin2x ĐS: 2sin3x-(1/sinx)=2cos3x+ (1/cosx) (ĐH Thương Mại) ĐS: |sinx-cosx| + |sinx+cosx|=2 (ĐH Quốc Gia Hà Nội) ĐS:. 4(sin3x-cos2x)=5(sinx-1) (ĐH Luật Hà Nội) ĐS: với . sinx-4sin3x+cosx =0 (ĐH Y Hà Nội) ĐS: . ; (Học Viện BCVT) ĐS: sin3x.cos3x+cos3x.sin3x=sin34x HD: sin2x.sinx.cos3x+cos2x. cosx.sin3x=sin34x ĐS: . ĐS: HD: Chia hai vế cho cos3x ĐS: x = , 2sinx(1+cos2x)+sin2x=1+2cosx HD: Đưa về cung x đặt thừa số ĐS: sin2x+cos2x=1+sinx–3cosx (1). Giải (1) Û2sinxcosx+2cos2x–1=1+sinx–3cosx. Û2cos2x+(2sinxcosx+3cosx)–sinx–2=0. Û2cos2x+(2sinx+3)cosx–(sinx+2)=0. Đặt t=cosx, ĐK , ta được: 2t2+(2sinx+3)t–(sinx+2)=0. D=(2sinx+3)2+3.2.(sinx+2)=(2sinx+5)2. Þ …(biết giải) 2sinx+cotx=2sin2x+1. HD: Tương tự câu a ta có phương trình 2(1–2cosx)sin2x–sinx+cosx=0. Đặt t=sinx, ĐK . 2(1–2cosx)t2–t+cosx=0 … D=(4cosx–1)2. 1+sinx+cosx+sin2x+2cos2x=0. HD: (1+ sin2x)+(sinx+cosx)+2cos2x=0. (sinx+cosx)2+(sinx+cosx)+2(cos2x–sin2x)=0. (sinx+cosx)2+(sinx+cosx)+2(sinx+cosx)(sinx–cosx)=0. Đặt thừa số, giải tiếp … Giải phương trình lượng giác: Giải Điều kiện: Từ (1) ta có: So với điều kiện, ta được họ nghiệm của phương trình đã cho là Giải phương trình: Giải (1) Điều kiện: Vậy phương trình đã cho vô nghiệm. Giải phương trình: . Giải PtÛ (cosx (1–sin2x)(cosx–sinx) = 0 sin2x = 1 hoặc tanx = 1. Giải phương trình: . Giải Giải phương trình: cosx=8sin3 Giải cosx=8sin3cosx = Û (3) Ta thấy cosx = 0 không là nghiêm (3) Û Giải phương trình lượng giác: Giải Điều kiện: Từ (1) ta có: So với điều kiện, ta được họ nghiệm của phương trình đã cho là Giải phương trình: Giải Phương trình Û (cosx–sinx)2 – 4(cosx–sinx) – 5 = 0 Giải phương trình: 2cos3x + sinx + cosx = 0 Giải Û sinsinx + coscosx = – cos3x. Û cos Û cos Û Û x = (kÎZ) Giải phương trình cos3xcos3x – sin3xsin3x = Giải Ta có: cos3xcos3x – sin3xsin3x = Û cos3x(cos3x + 3cosx) – sin3x(3sinx – sin3x) = Û Û . Định m để phương trình sau có nghiệm Giải Ta có: * ; * * Do đó phương trình đã cho tương đương: Đặt (điều kiện: ). Khi đó . Phương trình (1) trở thành: (2) với Đây là phuơng trình hoành độ giao điểm của 2 đường (là đường song song với Ox và cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2 – 2m và (P): với . x y’ + y Trong đoạn , hàm số đạt giá trị nhỏ nhất là tại và đạt giá trị lớn nhất là tại . Do đó yêu cầu của bài toán thỏa mãn khi và chỉ khi . ----------o0o---------- PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC TRONG CÁC ĐỀ THI ĐẠI HỌC TỪ 2002 ĐẾN 2009 KHỐI A Tìm nghiệm thuộc khoảng (0;2p) của phương trình: (Khối A_2002). Giải ĐS: . Giải phương trình: (Khối A_2003) Giải ĐS: Giải phương trình: (Khối A_2005) Giải ĐS: Giải phương trình: (Khối A_2006) Giải ĐS: Giải phương trình: (Khối A_2007) Giải ĐS: (Khối A_2008) Giải ĐS: Giải phương trình: . (Khối A_2009) Giải ĐS: KHỐI B Giải phương trình (Khối B_2002) Giải ĐS: Giải phương trình (Khối B_2003) Giải ĐS: Giải phương trình (Khối B_2004) Giải ĐS: Giải phương trình (Khối B_2005) Giải ĐS: Giải phương trình: (Khối B_2006) Giải ĐS: Giải phương trình: (Khối B_2007) Giải ĐS: Giải phương trình (Khối B_2008) Giải ĐS: Giải phương trình: . (Khối B_2009) Giải ĐS: KHỐI D Tìm xÎ[0;14] cos3x-4cos2x+3cosx-4=0 (Khối D_2002) Giải ĐS: (Khối D_2003) Giải ĐS: Giải phương trình (Khối D_2004) Giải ĐS: Giải phương trình: (Khối D_2005) Giải ĐS: Giải phương trình: cos3x+cos2x-cosx-1=0 (Khối D_2006) Giải ĐS: Giải phương trình (Khối D_2007) Giải ĐS: Giải phương trình (CĐ_A_B_D_2008) Giải ĐS: Giải phương trình 2sinx(1+cos2x)+sin2x=1+2cosx (Khối D_2008) Giải ĐS: Giải phương trình (1+2sinx)2cosx=1+sinx+cosx (CĐ_A_B_D_2009) Giải ĐS: Giải phương trình (Khối D_2009) Giải ĐS: -Hết-