Chuyên đề Bất đẳng thức lượng giác - Chương 4: Một số bài viết hay, thú vị liên quan đến bất đẳng thức và lượng giác

Truịng THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất đẳng thức lượng giác Chương 4 Một số chuyên đề bài viết hay,thú vị liên quan đến bất đẳng thức và lượng giác The Inequalities Trigonometry 77 Chương 4 : Một số chuyên đề bài viết hay, thú vị liên quan đến bất đẳng thức và lượng giác ðúng như tên gọi của mình, chương này sẽ bao gồm các bài viết chuyên đề về bất đẳng thức và lượng giác. Tác giả của chúng đều là các giáo viên, học sinh giỏi tốn mà tác giả đánh giá rất cao. Nội dung của các bài viết chuyên đề đều dễ hiểu và mạch lạc. Bạn đọc cĩ thể tham khảo nhiều kiến thức bổ ích từ chúng. Vì khuơn khổ chuyên đề nên tác giả chỉ tập hợp được một số bài viết thật sự là hay và thú vị : Mục lục : Xung quanh bài tốn Ecdơs trong tam giác ……………………………………….78 Ứng dụng của đại số vào việc phát hiện và chứng minh bất đẳng thức trong tam giác…………………………………………………………………………………82 Thử trở về cội nguồn của mơn Lượng giác………………………………...............91 Phương pháp giải một dạng bất đẳng thức lượng giác trong tam giác…….............94 Truịng THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất đẳng thức lượng giác Chương 4 Một số chuyên đề bài viết hay,thú vị liên quan đến bất đẳng thức và lượng giác The Inequalities Trigonometry 78 Xung quanh bài tốn Ecdơs trong tam giác Nguyễn Văn Hiến (Thái Bình) Bất đẳng thức trong tam giác luơn là đề tài rất hay. Trong bài viết nhỏ này, chúng ta cùng trao đổi về một bất đẳng thức quen thuộc : Bất đẳng thức Ecdơs. Bài tốn 1 : Cho một điểm M trong ABC∆ . Gọi cba RRR ,, là khoảng cách từ M đến CBA ,, và cba ddd ,, là khoảng cách từ M đến ABCABC ,, thì : ( ) ( )EdddRRR cbacba ++≥++ 2 Giải : Ta cĩ : a bdcd a SS a SSdhR bc AMCAMB BMCABC aaa + = + = − =−≥ 22 22 Bằng cách lấy đối xứng M qua phân giác gĩc A Tương tự : ( )1          + ≥ + ≥ + ≥⇒ c bdad R b cdad R a cdbd R ab c ac b bc a ( )⇒++≥      ++      ++      +≥++⇒ cbacbacba ddd a b b ad a c c ad b c c bdRRR 2 đpcm. Thực ra ( )E chỉ là trường hợp riêng của tổng quát sau : Bài tốn 2 : Chứng minh rằng : ( ) ( )22 kckbkakkckbka dddRRR ++≥++ với 01 >≥ k Giải : Trước hết ta chứng minh : Bổ đề 1 : 0, >∀ yx và 01 >≥ k thì : ( ) ( ) ( )Hyxyx kkkk +≥+ −12 Chứng minh : ( ) ( ) ( ) ( ) 0121121 11 ≥+−+=⇔      +≥      +⇔ −− kkkk k k k aaaf y x y xH với 0>= a y x Vì ( ) ( ) ( )[ ] 021' 11 =−+= −− kk aakaf 1=⇔ a hoặc 1=k . Với 1=k thì ( )H là đẳng thức đúng. Do 0>a và 01 >> k thì ta cĩ : ( ) 00 >∀≥ aaf và 01 >> k Truịng THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất đẳng thức lượng giác Chương 4 Một số chuyên đề bài viết hay,thú vị liên quan đến bất đẳng thức và lượng giác The Inequalities Trigonometry 79 ( )H⇒ được chứng minh. Trở lại bài tốn 2 : Từ hệ ( )1 ta cĩ :               +     ≥      +≥ − k b k ck k bck a a cd a bd a cd a bd R 12 ( Áp dụng bổ đề ( )H với a cd y a bd x bc == ; ) Tương tự :               +     ≥               +     ≥ − − k a k bkk c k a k ckk b c bd c ad R b cd b ad R 1 1 2 2 ( )kckbkak kk k c kk k b kk k a kk c k b k a ddd a b b ad a c c ad b c c bdRRR ++≥                       +      +               +      +               +     ≥++⇒ − 2 2 1 ⇒đpcm. ðẳng thức xảy ra khi ABC∆ đều và M là tâm tam giác. Áp dụng ( )E ta chứng minh được bài tốn sau : Bài tốn 3 : Chứng minh rằng : ( )31112111       ++≥++ cbacba RRRddd Giải : Thực hiện phép nghịch đảo tâm M, phương tích đơn vị ta được :          = = = c b a R MC R MB R MA 1 * 1 * 1 * và          = = = c b a d MC d MB d MA 1 '' 1 '' 1 '' Áp dụng ( )E trong '''''' CBA∆ : ( )       ++≥++⇔ ++≥++ cbacba RRRddd MCMBMAMCMBMA 1112111 ***2'''''' ⇒đpcm. Mở rộng kết quả này ta cĩ bài tốn sau : Bài tốn 4 : Chứng minh rằng : ( ) ( )42 kckbkakckbkak RRRddd ++≥++ Truịng THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất đẳng thức lượng giác Chương 4 Một số chuyên đề bài viết hay,thú vị liên quan đến bất đẳng thức và lượng giác The Inequalities Trigonometry 80 với 10 −≥> k Hướng dẫn cách giải : Ta thấy ( )4 dễ dàng được chứng minh nhờ áp dụng ( )2 trong phép biến hình nghịch đảo tâm M, phương tích đơn vị. ðẳng thức xảy ra khi ABC∆ đều và M là tâm tam giác. Bây giờ với 1>k thì từ hệ ( )1 ta thu được ngay : Bài tốn 5 : Chứng minh rằng : ( ) ( )52 222222 cbacba dddRRR ++>++ Xuất phát từ bài tốn này, ta thu được những kết quả tổng quát sau : Bài tốn 6 : Chứng minh rằng : ( ) ( )62 kckbkakckbka dddRRR ++>++ với 1>k Giải : Chúng ta cũng chứng minh một bổ đề : Bổ đề 2 : 0, >∀ yx và 1>k thì : ( ) ( )Gyxyx kkk +≥+ Chứng minh : ( ) ( ) ( ) 01111 >−−+=⇔+>      +⇔ kkk kk aaag y x y xG (đặt 0>= a y x ) Vì ( ) ( )[ ] 1;001' 11 >>∀>−+= −− kaaakag kk ( ) 1;00 >>∀>⇒ kaag ( )G⇒ được chứng minh xong. Sử dụng bổ đề ( )G vào bài tốn ( )6 : Từ hệ ( )1 : k b k c k bck a a cd a bd a cd a bd R       +      >      +≥ (đặt a cd y a bd x bc == ; ) Tương tự : k a k bk c k a k ck b c bd c ad R b cd b ad R       +      >       +      > ( )kckbka kk k c kk k b kk k a k c k b k a ddd a b b ad a c c ad b c c bdRRR ++≥               +      +               +      +               +      >++⇒ 2 ⇒đpcm. Bài tốn 7 : Chứng minh rằng : ( ) ( )72 kakakakakaka RRRddd ++>++ với 1−<k Truịng THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất đẳng thức lượng giác Chương 4 Một số chuyên đề bài viết hay,thú vị liên quan đến bất đẳng thức và lượng giác The Inequalities Trigonometry 81 Hướng dẫn cách giải : Ta thấy ( )7 cũng được chứng minh dễ dàng nhờ áp dụng ( )6 trong phép biến hình nghịch đảo tâm M, phương tích đơn vị. ðẳng thức khơng thể xảy ra trong ( )6 và ( )7 . Xét về quan hệ giữa ( )cba RRR ,, với ( )cba ddd ,, ngồi bất đẳng thức ( )E và những mở rộng của nĩ, chúng ta cịn gặp một số bất đẳng thức rất hay sau đây. Việc chứng minh chúng xin dành cho bạn đọc : ( )( )( ) ( )( )( )ccbbccaabbaacba cbcabacba c ba b ca a cb cbacba dRdRdRdRdRdRRRR ddddddRRR R dd R dd R dd dddRRR +++≥ +++≥ ≤ + + + + + ≥ 222)4 )3 3)2 8)1 Truịng THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất đẳng thức lượng giác Chương 4 Một số chuyên đề bài viết hay,thú vị liên quan đến bất đẳng thức và lượng giác The Inequalities Trigonometry 82 Ứng dụng của đại số vào việc phát hiện và chứng minh bất đẳng thức trong tam giác Lê Ngọc Anh (HS chuyên tốn khĩa 2005 – 2008 Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng, Cần Thơ) 1/ Chúng ta đi từ bài tốn đại số sau: Với      x pi∀ ∈ 0, 2 ta luơn cĩ: x x 2x < tg < < sinx < x 2 2 π . Chứng minh: Ta chứng minh 2 bất đẳng thức: 2sin xx pi > và 2 2 x x tg pi < . ðặt 1( ) sinf x x x = là hàm số xác định và liên tục trong 0, 2 pi     . Ta cĩ: 2 os x- sin x '( ) xcf x x = . ðặt ( ) os x- sin xg x xc= trong 0, 2 pi     khi đĩ ( ) ( )' sin 0g x x x g x= − ≤ ⇒ nghịch biến trong đoạn 0, 2 pi     nên ( ) ( )0g x g< =0 với 0, 2 x pi  ∈   . Do đĩ ( )' 0f x < với 0, 2 x pi ∀ ∈   suy ra ( ) 2 2 f x f pi pi   > =    hay 2sin xx pi > với 0, 2 x pi ∀ ∈    . ðặt ( ) 1h x tgx x = xác định và liên tục trên 0, 2 pi     . Ta cĩ ( ) 2 2 sin ' 0 2 os 2 x xh x x x c − = > 0, 2 x pi ∀ ∈    nên hàm số ( )h x đồng biến, do đĩ ( ) 2 2 xh x h pi < =    hay 2 2 x x tg pi < với 0, 2 x pi ∀ ∈    . Cịn 2 bất đẳng thức 2 2 x x tg > và sin x x< dành cho bạn đọc tự chứng minh. Bây giờ mới là phần đáng chú ý: Xét ∆ABC : BC = a , BC = b , AC = b . Gọi A, B, C là độ lớn các gĩc bằng radian; r, R, p, S lần lượt là bán kính đường trịn nội tiếp, bán kính đường trịn ngoại tiếp, nửa chu vi và diện tích tam giác; la, ha, ma, ra, tương ứng là độ dài đường phân giác, đường cao, đường trung tuyến và bán kính đường trịn bàng tiếp ứng với đỉnh A... Bài tốn 1: Chứng minh rằng trong tam giác ABC nhọn ta luơn cĩ: 2 2 2os os os 4 p pAc x Bc B Cc C R R pi < + + < Truịng THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất đẳng thức lượng giác Chương 4 Một số chuyên đề bài viết hay,thú vị liên quan đến bất đẳng thức và lượng giác The Inequalities Trigonometry 83 Nhận xét: Từ định lí hàm số sin quen thuộc trong tam giác ta cĩ: sin sin sin pA B B R + + = và bài tốn đại số ta dễ dàng đưa ra biến đổi sau 2 2 24os 2 os sin os 2 AAc A tg c A A Ac A pi < = < , từ đĩ đưa đến lời giải như sau. Lời giải: Ta cĩ: 2 2 24os 2 os sin os 2 AAc A tg c A A Ac A pi < = < ⇒ 2os sin pAc A A R < =∑ ∑ và 2 24 os sin os 4 p pAc A A Ac A R R pi pi > = ⇒ >∑ ∑ ∑ . Từ đây suy ra đpcm. Trong một tam giác ta cĩ nhận xét sau: 1 2 2 2 2 2 2 A B B C C A tg tg tg tg tg tg+ + = kết hợp với 2 2 x x tg pi < nên ta cĩ 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 A B B C C A A B B C C A tg tg tg tg tg tg pi pi pi pi pi pi + + > + + = ⇒ 2 . . . 4 A B B C C A pi+ + > (1). Mặt khác 2 2 x x tg > nên ta cũng dễ dàng cĩ 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 A B B C C A A B B C C A tg tg tg tg tg tg+ + < + + = từ đây ta lại cĩ . . . 4A B B C C A+ + < (2). Từ (1) và (2) ta cĩ bài tốn mới. Bài tốn 2: Chứng minh rằng trong tam giác ABC nhọn ta luơn cĩ: 2 . . . 4 4 A B B C C Api < + + < Lưu ý: Khi dùng cách này để sáng tạo bài tốn mới thì đề tốn là ABC∆ phải là nhọn vì trong bài tốn đại số thì 0, 2 x pi ∀ ∈    . Lời giải bài tốn tương tự như nhận xét ở trên. Mặt khác, áp dụng bất đẳng thức ( ) 2 3 a b c ab bc ca + + + + ≤ thì ta cĩ ngay ( )2 2 . . . 3 3 A B C A B B C C A pi + + + + ≤ = . Từ đây ta cĩ bài tốn “chặt” hơn và “đẹp” hơn: 2 2 . . . 4 3 A B B C C Api pi〈 + + ≤ Bây giờ ta thử đi từ cơng thức la, ha, ma, ra để tìm ra các cơng thức mới. Trong ABC∆ ta luơn cĩ: 2 sin sin sin 2 2a a A AS bc A cl bl= = + Truịng THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất đẳng thức lượng giác Chương 4 Một số chuyên đề bài viết hay,thú vị liên quan đến bất đẳng thức và lượng giác The Inequalities Trigonometry 84 ⇒ 1 1 1 1 A 2 22 os 2 a b c b c l bc b cbcc + +   = > = +    1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 sin sin sina b cl l l a b c R A B C  ⇒ + + > + + > + +    1 1 1 1 1 1 1 2a b cl l l R A B C  ⇒ + + > + +    . Như vậy chúng ta cĩ Bài tốn 3. Bài tốn 3: Chứng minh rằng trong tam giác ABC nhọn ta luơn cĩ: 1 1 1 1 1 1 1 2a b cl l l R A B C   + + > + +    Mặt khác, ta lại cĩ ( )2 sin sinA2 os 2sin 2 2 2 a R B Cbc b c Al c pi ++ = =   −    . Áp dụng bài tốn đại số ta được: ( ) ( )2 2 2 a B C RR B C bc AA l pipi pipi + + > > − − ⇒ ( ) ( ) ( ) 4 a R B C R B Cbc B C l B C pi pi + + > > + + ⇒ 4 a bc RR l pi pi > > . Hồn tồn tương tự ta cĩ: 4 c ab RR l pi pi > > và 4 b ca RR l pi pi > > . Từ đây, cộng 3 chuỗi bất đẳng thức ta được: Bài tốn 4: Chứng minh rằng trong tam giác ABC nhọn ta luơn cĩ: 12 3 c a b R ab bc ca R l l l pi pi < + + < Trong tam giác ta cĩ kết quả sin b ch hA c b = = , sin c ah hB a c = = và sin a bh hC b a = = , mà từ kết quả của bài tốn đại số ta dễ dàng cĩ 2 sin sin sinA B C pi< + + < , mà ( ) 1 12 sin sin sin aA B C h b c   + + = +    1 1 1 1 b ch h c a a b     + + + +        , từ đây ta cĩ được Bài tốn 5. Bài tốn 5: Chứng minh rằng trong tam giác ABC nhọn ta luơn cĩ: 1 1 1 1 1 14 2a b ch h hb c c a a b pi       < + + + + + <            Ta xét tiếp bài tốn sau: Bài tốn 6: Chứng minh rằng trong tam giác nhọn ta luơn cĩ: ( ) 2 2 22 2 2 2 2 22 24 3a b c m m mA B C A B C Rpi + + + + < < + + Truịng THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất đẳng thức lượng giác Chương 4 Một số chuyên đề bài viết hay,thú vị liên quan đến bất đẳng thức và lượng giác The Inequalities Trigonometry 85 Nhận xét:Liên hệ với 2am trong tam giác ta cĩ 2 2 2 2 2 4a b c a m + = − , từ đĩ ta suy ra ( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 2 2 23 3 sin sin sin4a b cm m m a b c R A B C+ + = + + = + + và từ đưa đến lời giải. Lời giải: Áp dụng bài tốn đại số ta được: 2 2 2 2 4 sinx x x pi < < ta lần lượt cĩ: 2 2 2 2 4 sinA A A pi < < , 2 2 2 2 4 sinB B B pi < < và 2 2 2 2 4 sinC C C pi < < . Cộng 3 chuỗi bất đẳng thức trên ta được: ( )2 2 2 2 2 2 2 2 224 sin s in sinA B C A B C A B Cpi + + < + + < + + , mà ta cĩ: ( )2 2 2 2 2 2 23 sin sin sina b cm m m R A B C+ + = + + ( )2 2 2 2 2 22 sin sin sin ,3a b c m m m A B C R + + ⇔ = + + từ đây ta được: ( ) 2 2 22 2 2 2 2 22 24 3a b c m m mA B C A B C Rpi + + + + < < + + (đpcm). Bây giờ ta thử sáng tạo một bất đẳng thức liên quan tới ra, ta cĩ cơng thức tính ra là 2a A r ptg= , từ bài tốn đại số 2 2 2 x x x tg pi < < chắc chắn ta dễ dàng tìm thấy 2 2 a rA A p pi < < , tương tự ta cũng cĩ 2 2 a rB B p pi < < và 2 2 a rC C p pi < < , cộng 3 chuỗi bất đẳng thức ta thu được ( )2 2 a b c A B Cr r rA B C p pi + ++ ++ + < < và ta thu được Bài tốn 7. Bài tốn 7: Chứng minh rằng trong tam giác ABC nhọn ta luơn cĩ: ( )2 2 a b c A B Cr r rA B C p pi + ++ ++ + < < Ta tìm hiểu bài tốn sau: Bài tốn 8: Chứng minh rằng trong tam giác ABC nhọn ta luơn cĩ: ( ) ( )2 4 2R r aA bB cC R rpi − < + + < − Nhận xét: Ta cĩ các kết quả: 2a A r ptg= , 2b B r ptg= , 2c C r ptg= , ( ) 2 A r p a tg= − = ( ) ( ) 2 2 B Cp b tg p c tg= − = − dẫn đến 2a A r r atg= + , 2b B r r btg= + , 2c C r r ctg= + và 4 a b cr r r R r+ + = + (các kết quả này bạn đọc tự chứng minh), từ đĩ ta suy ra 4 3 2 2 2 A A AR r r ptg ptg ptg+ = + + + và nhờ kết quả này ta dễ dàng đánh giá tổng aA bB cC+ + từ bài tốn đại số nên ta dễ cĩ lời giải như sau. Lời giải: Truịng THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất đẳng thức lượng giác Chương 4 Một số chuyên đề bài viết hay,thú vị liên quan đến bất đẳng thức và lượng giác The Inequalities Trigonometry 86 Ta cĩ: 2a A r ptg= , 2b B r ptg= , 2c C r ptg= , ( ) ( ) ( ) 2 2 2 A B C r p a tg p b tg p c tg= − = − = − , từ đĩ dẫn đến 2a A r r atg= + , 2b B r r btg= + , 2c C r r ctg= + . Mà ta lại cĩ: 4a b cr r r R r+ + = + suy ra 4 3 2 2 2 A A AR r r ptg ptg ptg+ = + + + . Áp dụng bài tốn đại số ta được: ● ( )24 3 3 2 2 2 A A AR r r ptg ptg ptg r aA bB cC pi + = + + + < + + + ( )2R r aA bB cCpi⇔ − < + + ● ( )14 3 3 2 2 2 2 A A AR r r ptg ptg ptg r aA bB cC+ = + + + > + + + ( )4 2R r aA bB cC⇔ − > + + Kết hợp 2 điều trên ta cĩ điều phải chứng minh. Sau đây là các bài tốn được hình thành từ các cơng thức quen thuộc để các bạn luyện tập: Bài tốn: Chứng minh rằng trong tam giác ABC nhọn ta luơn cĩ: a/ ( ) ( )2 8 2 2p R r aA bB cC p R rpi pi pi− + < + + < − + . b/ ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 2 2 S p a p b p b p c p c p a Spi < − − + − − + − − < . c/ ( ) ( ) ( )2 2 2 2 abc a p a b p b c p c abcpi< − + − + − < . d/ 1 1 1 1 1 14 2a b cl l lb c c a a b pi       < + + + + + <            . 2/Chúng ta xét hàm: ( ) in xf x = s x với ( )x 0,∀ ∈ pi . Ta cĩ ( )f x là hàm số xác định và liên tục trong ( )0,pi và ( )' 2s inx-xcosxsinf x x= . ðặt ( ) s inx-xcosxg x = , ( )0,x pi∈ , ta cĩ ( )' sin 0g x x x= ≥ ⇒ ( )g x đồng biến trong đoạn ( )0,pi ( ) ( )0 0g x g⇒ > = ( )' 0f x⇒ > nên hàm ( )f x đồng biến . Chú ý 3 bất đẳng thức đại số: 1.Bất đẳng thức AM-GM: Cho n số thực dương 1 2, ,..., na a a , ta luơn cĩ: 1 2 1 2 ... ... n n n a a a a a a n + + + ≥ Dấu “=” xảy ra 1 2 ... na a a⇔ = = = . 2.Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz: Cho 2 bộ n số ( )1 2, ,..., na a a và ( )1 2, ,..., nb b b trong đĩ 0, 1,ib i n> = . Ta luơn cĩ: Truịng THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất đẳng thức lượng giác Chương 4 Một số chuyên đề bài viết hay,thú vị liên quan đến bất đẳng thức và lượng giác The Inequalities Trigonometry 87 ( )222 2 1 21 2 1 2 1 2 ... ... ... nn n n a a aaa a b b b b b b + + + + + + ≥ + + + Dấu “=” xảy ra 1 2 1 2 ... n n aa a b b b ⇔ = = = . 3.Bất đẳng thức Cheb yshev: Cho 2 dãy ( )1 2, ,..., na a a và ( )1 2, ,..., nb b b cùng tăng hoặc cùng giảm, tức là: 1 2 1 2 ... ... n n a a a b b b ≤ ≤ ≤  ≤ ≤ ≤ hoặc 1 2 1 2 ... ... n n a a a b b b ≥ ≥ ≥  ≥ ≥ ≥ , thì ta cĩ: 1 1 2 2 1 2 1 2... ... ... . n n n n a b a b a b a a a b b b n n n + + + + + + + + + ≤ Dấu “ = ” xảy ra 1 2 1 2 ... ... n n a a a b b b = = =  = = = . Nếu 2 dãy đơn điệu ngược chiều thì đổi chiều dấu bất đẳng thức. Xét trong tam giác ABC cĩ A B≥ (A,B số đo hai gĩc A,B của tam giác theo radian). ● A B≥ ⇒ sin sin A B A B ≥ ( theo chứng minh trên thì hàm ( ) xf x = sinx ) 2 2 A B a b R R ⇒ ≥ ⇒ A a B b ≥ , mà A B≥ ⇔ a b≥ . Như vậy ta suy ra nếu a b≥ thì A a B b ≥ (i). • Hồn tồn tương tự : a b c≥ ≥ ⇒ A B C a b c ≥ ≥ và như vậy ta cĩ ( ) A 0Ba b a b   − − ≥    , ( ) 0B Cb c b c   − − ≥    và ( ) 0C Ac a c a   − − ≥    .Cộng 3 bất đẳng thức ta được ( ) 0 cyc A B a b a b   − − ≥    ∑ ⇔ ( ) ( )2 cyc AA B C b c a + + ≥ +∑ (1). - Cộng A B C+ + vào 2 vế của (1) ta thu được: ( ) ( )3 A B CA B C a b c a b c   + + ≥ + + + +    (2) - Trừ A B C+ + vào 2 vế của (1) ta thu được: ( ) ( )2 cyc AA B C p a a + + ≥ −∑ (3). Chú ý rằng A B C pi+ + = và 2a b c p+ + = nên (2) ⇔ 3 2 cyc Ap a pi ≥ ∑ ⇔ 3 2cyc A a p pi≤∑ (ii), và (3) ( ) 2cyc Ap a a pi ⇔ − ≤∑ (iii). Truịng THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất đẳng thức lượng giác Chương 4 Một số chuyên đề bài viết hay,thú vị liên quan đến bất đẳng thức và lượng giác The Inequalities Trigonometry 88 ● Mặt khác ta cĩ thể áp dụng bất đẳng thức Chebyshev cho 2 bộ số , , A B C a b c       và ( ), , .p a p b p c− − − Ta cĩ: a b c≥ ≥ ⇒ A B C a b c p a p b p c  ≥ ≥   − ≤ − ≤ − ( ) ( ) 3 3 3 cyc A A B Cp a p a p b p ca a b c   − + +  − + − + −  ⇒ ≤ ∑ ⇔ ( ) 3 cyc cyc Ap aAp a a − ≤ ∑ ∑ . Mà 3 2cyc A a p pi≤∑ ta suy ra: ( ) 3 2 3 3 cyc cyc Ap p aA pp a a pi − ≤ ≤ ∑ ∑ hay ( ) 3 2 cyc cyc Ap aAp a a pi − ≤ ≤ ∑ ∑ (iv). ● Ta chú ý đến hai bất đẳng thức (ii) và (iii): -Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho 3 số , ,A B C a b c ta được: 1 3 . .3 . .cyc A A B C a a b c  ≥     ∑ kết hợp với bất đẳng thức (ii) ta suy ra 1 3 . . 33 . . 2 A B C a b c p pi  ≤    ⇔ 3 . . 2 . . a b c p A B C pi  ≥     (v). Mặt khác, ta lại cĩ 1 3 . .3 . .cyc a a b c A A B C  ≥     ∑ , mà theo (v) ta dễ dàng suy ra 1 3 . . 2 . . abc p ABC pi   ≥    , từ đĩ ta cĩ bất đẳng thức 6 cyc a p A pi ≥∑ (vi). -Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz , ta cĩ : ( )22 2 cyc cyc A B CA A a aA Aa Bb Cc Aa Bb Cc pi+ + = ≥ = + + + + ∑ ∑ (vii), mà ta đã tìm được ( ) ( )2 8 2 2p R r Aa Bb Cc p R rpi pi pi− + < + + < − + (bài tập a/ phần trước) nên ( ) 2 2cyc A a p R r pi pi > − − ∑ (viii) (chỉ đúng với tam giác nhọn). -Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho 3 số ( ) ( ) ( ), ,A B Cp a p b p c a b c − − − ta được: ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 2 3 3 3 . . . . . . .3 3 3 . . 4 . 4 . A B C ABC S ABC S ABCp a p b p c p a p b p c a b c abc p S R p R − + − + − ≥ − − − = = ⇒ ( ) 2 3 . .3 4 .cyc A S A B Cp a a p S R − ≥∑ (4)mà ( ) 3 2 cyc cyc Ap aAp a a pi − ≤ ≤ ∑ ∑ (theo iv) nên từ (4) 32 43 . . 729 . . .3 4 . 3 2 4 cyc cyc Ap aS A B C S A B C Ap p S R R a pi   ⇒ ≤ ≤ ⇔ ≤     ∑ ∑ ⇒ 3 4729 . . . 3 4 2 S A B C p R p pi ≤     ⇔ 354 . . . . .S A B C p Rpi≤ (ix). Truịng THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất đẳng thức lượng giác Chương 4 Một số chuyên đề bài viết hay,thú vị liên quan đến bất đẳng thức và lượng giác The Inequalities Trigonometry 89 ● Xét tổng 2 22 y yx z x zT b By a Ax a Ax c Cz c Cz b By      = + + + + +              . Ta cĩ: 0T ≥ ⇔ 2 2 2 1 1 1 1 1 1 . . . 2 0y z z x x y x a A y b B z c C ab AB bc BC ca CA + + +   + + − + + ≥    . ⇔ . . . 2 0y z bc z x ca x y ab c a b x aA y bB z cC AB BC CA + + +   + + − + + ≥    ⇔ . . . 2y z bc z x ca x y ab a b c x aA y bB z cC BC CA AB + + +   + + ≥ + +    (5). Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta được: 1 3 63a b c abc p ABCBC CA AB pi   + + ≥ ≥    (6). Từ (5) và (6) ta được: 6. . .y z bc z x ca x y ab p x aA y bB z cC pi + + + + + ≥ (7). Thay (x, y, z) trong (7) bằng (p-a, p-b, p-c) ta được: ( ) ( ) ( ) 12bc ca ab p A p a B p b C p c pi + + ≥ − − − (x) Thay (x, y, z) trong (7) bằng (bc, ca, ab) ta được: 12b c c a a b p A B C pi + + + + + ≥ (xi). 3/ Chúng ta xét bất đẳng thức sau: 2xsinx π ≥ với     x pi∀ ∈ 0, 2 (phần chứng minh bất đẳng thức này dành cho bạn đọc). Theo định lí hàm số sin ta cĩ sin 2 aA R = và kết hợp với bất đẳng thức trên ta được 2 4 2 a A a R R Api pi ≥ ⇔ ≥ , từ đĩ ta dễ dàng suy ra 12 cyc a R A pi >∑ . 4/ Bất đẳng thức: 2 2 2 2 sin x π - x x π + x ≥ với ( ]x∀ ∈ 0,pi (bất đẳng thức này xem như bài tập dành cho bạn đọc). Bất đẳng thức trên tương đương 2 2 2 sin 21x x x xpi ≥ − + ⇔ 3 2 2 2 sin xx x xpi ≥ − + (1). Trong tam giác ta cĩ: 3 3sin sin sin 2 A B C+ + ≤ (2) (bạn đọc tự chứng minh).Từ (1) và (2) ta thu được 3 3 3 2 2 2 2 2 2 3 3 sin 2 2 cyc A B CA A B C A B Cpi pi pi   ≥ > + + − + +  + + +  ∑ ⇒ 3 3 3 2 2 2 2 2 2 3 3 2 2 A B C A B C pi pi pi pi   > − + +  + + +  ⇔ 3 3 3 2 2 2 2 2 2 3 3 2 4 A B C A B C pi pi pi pi + + > − + + + . Truịng THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất đẳng thức lượng giác Chương 4 Một số chuyên đề bài viết hay,thú vị liên quan đến bất đẳng thức và lượng giác The Inequalities Trigonometry 90 Mặt khác, áp dụng bất đẳng thức cho 3 gĩc A, B, C ta thu được 2 2 2 2 sin A A A A pi pi − > + , 2 2 2 2 sin B B B B pi pi − > + và 2 2 2 2 sin C C C C pi pi − > + , cộng các bất đẳng thức ta được: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 sin sin sinA B C A B C A B C A B C pi pi pi pi pi pi − − − + + > + + + + + , từ đây áp dụng định lí hàm số sin sin 2 aA R = ta cĩ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a b c A B CR R R A B C A B C pi pi pi pi pi pi − − − + + > + + + + + hay 2 2 2 22 cyc a AR A A pi pi − > + ∑ ∑ . Truịng THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất đẳng thức lượng giác Chương 4 Một số chuyên đề bài viết hay,thú vị liên quan đến bất đẳng thức và lượng giác The Inequalities Trigonometry 91 Thử trở về cội nguồn của mơn lượng giác Lê Quốc Hán ðại học Sư phạm Vinh “Lượng giác học” cĩ nguồn gốc từ Hình học. Tuy nhiên phần lớn học sinh khi học mơn Lượng giác học (giải phương trình lượng giác, hàm số lượng giác …), lại thấy nĩ như là một bộ phận của mơn ðại số học, hoặc như một cơng cụ để giải các bài tốn hình học (phần tam giác lượng) mà khơng thấy mối liên hệ hai chiều giữa các bộ mơn ấy. Trong bài viết này, tơi hy vọng phần nào cĩ thể cho các bạn một cách nhìn “mới” : dùng hình học để giải các bài tốn lượng giác. Trước hết, ta lấy một kết quả quen thuộc trong hình học sơ cấp : “Nếu G là trọng tâm tam giác ABC và M là một điểm tùy ý trong mặt phẳng chứa tam giác đĩ thì” : ( ) ( )2222222 9 1 3 1 cbaMCMBMAMG ++−++= (ðịnh lý Lép-nít) Nếu OM ≡ là tâm đường trịn ngoại tiếp ABC∆ thì 2222 3RMBMBMA =++ nên áp dụng định lý hàm số sin, ta suy ra : ( )CBARROG 222222 sinsinsin 9 4 ++−= ( ) ( )1sinsinsin 4 9 9 4 22222       ++−=⇒ CBAROG Từ đẳng thức ( )1 , suy ra : ( )2 4 9 sinsinsin 222 ≤++ CBA Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi OG ≡ , tức là khi và chỉ khi ABC∆ đều. Như vậy, với một kiến thức hình học lớp 10 ta đã phát hiện và chứng minh được bất đẳng thức ( )2 . Ngồi ra, hệ thức ( )1 cịn cho ta một “nguồn gốc hình học” của bất đẳng thức ( )2 , điều mà ít người nghĩ đến. Bằng cách tương tự, ta hãy tính khoảng cách giữa O và trực tâm H của ABC∆ . Xét trường hợp ABC∆ cĩ 3 gĩc nhọn. Gọi E là giao điểm của AH với đường trịn ngoại tiếp ABC∆ . Thế thì : ( ) HAHEROHOH . 22 / =−=℘ Do đĩ : ( )*.22 HEAHROH −= với : AR C ACR C AAB C AFAH cos2 sin cos sin2 sin cos . sin ==== và CBABCBKHKHE cotcos2cot22 === CBR C CBCR coscos4 sin cos cossin2.2 == Thay vào ( )* ta cĩ : ( )3coscoscos 8 18 22       −= CBAROH Truịng THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất đẳng thức lượng giác Chương 4 Một số chuyên đề bài viết hay,thú vị liên quan đến bất đẳng thức và lượng giác The Inequalities Trigonometry 92 Nếu 090=∠BAC chẳng hạn, thì ( )3 là hiển nhiên. Giả sử ABC∆ cĩ gĩc A tù. Khi đĩ ( ) HEHAOHROH . 22 / =−=℘ trong đĩ ARAH cos2−= nên ta cũng suy ra ( )3 . Từ cơng thức ( )3 , ta suy ra : ( )4 8 1 coscoscos ≤CBA (Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ABC∆ đều). Cũng như bất đẳng thức ( )2 , bất đẳng thức ( )4 đã được phát hiện và chứng minh chỉ với kiến thức lớp 10 và cĩ một “nguồn gốc hình học” khá đẹp. Cần nhớ rằng, “xưa nay” chưa nĩi đến việc phát hiện, chỉ riêng việc chứng minh các bất đẳng thức đĩ, người ta thường phải dùng các cơng thức lượng giác (chương trình lượng giác lớp 11) và định lý về dấu tam thức bậc hai. Cĩ được ( )1 và ( )3 , ta tiếp tục tiến tới. Ta thử sử dụng “đường thẳng Ơle”. Nếu O, G, H là tâm đường trịn ngoại tiếp, trọng tâm và trực tâm ABC∆ thì O, G, H thẳng hàng và : OHOG 3 1 = . Từ 22 9 1 OHOG = . Từ ( )( )31 ta cĩ : ( ) ( )CBACBA coscoscos81 4 1 sinsinsin 4 9 222 −=++− hay CBACBA coscoscos22sinsinsin 222 +=++ Thay α2sin bằng α2cos1− vào đẳng thức cuối cùng, ta được kết quả quen thuộc : ( )51coscoscos2coscoscos 222 =+++ CBACBA Chưa nĩi đến việc phát hiện ra ( )5 , chỉ riêng việc chứng minh đã làm “nhức ĩc” khơng biết bao nhiêu bạn trẻ mới làm quen với lượng giác. Qua một vài ví dụ trên đây, hẳn các bạn đã thấy vai trị của hình học trong việc phát hiện và chứng minh các hệ thức “thuần túy lượng giác”. Mặt khác, nĩ cũng nêu lên cho chúng ta một câu hỏi : Phải chăng các hệ thức lượng giác trong một tam giác khi nào cũng cĩ một “nguồn gốc hình học” làm bạn đường ? Mời các bạn giải vài bài tập sau đây để củng cố niềm tin của mình. 1. Chứng minh rằng, trong một tam giác ta cĩ       −= 2 sin 2 sin 2 sin8122 CBARd trong đĩ d là khoảng cách giữa đường trịn tâm ngoại tiếp và nội tiếp tam giác đĩ. Từ đĩ hãy suy ra bất đẳng thức quen thuộc tương ứng. • 2. Cho ABC∆ . Dựng trong mặt phẳng ABC các điểm 1O và 2O sao cho các tam giác ABO1 và ACO2 là những tam giác cân đỉnh 21 ,OO với gĩc ở đáy bằng 030 và sao cho 1O và C ở cùng một nửa mặt phẳng bờ AB, 2O và B ở cùng một nửa mặt phẳng bờ AC. a) Chứng minh : ( )ScbaOO 34 6 1 2222 21 −++= b) Suy ra bất đẳng thức tương ứng : Truịng THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất đẳng thức lượng giác Chương 4 Một số chuyên đề bài viết hay,thú vị liên quan đến bất đẳng thức và lượng giác The Inequalities Trigonometry 93 CBACBA sinsinsin32sinsinsin 222 ≥++ 3. Chứng minh rằng nếu ABC∆ cĩ 3 gĩc nhọn, thì : 2 coscoscos sinsinsin < ++ ++ CBA CBA 4. Cho tứ diện OABC cĩ gĩc tam diện đỉnh O ba mặt vuơng, OCOBOA += . Chứng minh rằng : ( ) BACOACOAB ∠=∠+∠ cossin (Hãy dùng phương pháp ghép hình) Truịng THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất đẳng thức lượng giác Chương 4 Một số chuyên đề bài viết hay,thú vị liên quan đến bất đẳng thức và lượng giác The Inequalities Trigonometry 94 Phương pháp giải một dạng bất đẳng thức lượng giác trong tam giác Nguyễn Lái GV THPT Lương Văn Chánh – Phú Yên Giả sử ( )CBAf ,, là biểu thức chứa các hàm số lượng giác của các gĩc trong ABC∆ Giả sử các gĩc CBA ,, thỏa mãn hai điều kiện : 1) ( ) ( )       +≥+ 2 2 BAfBfAf hoặc ( ) ( ) ( )1 2 2       +≥ BAfBfAf đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi BA = 2) ( )             + ≥      + 2 32 3 pi pi C ffCf hoặc ( ) ( )2 2 3 3 2             + ≥      pi pi C ffCf đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 3 pi =C Khi cộng hoặc nhân ( )( )21 ta sẽ cĩ bất đẳng thức : ( ) ( ) ( )      ≥++ 3 3 pifCfBfAf hoặc ( ) ( ) ( )      ≥ 3 3 pifCfBfAf ðẳng thức xảy ra khi và chỉ khi CBA == . Tương tự ta cũng cĩ bất đẳng thức với chiều ngược lại. ðể minh họa cho phương pháp trên ta xét các bài tốn sau đây : Thí dụ 1. Chứng minh rằng với mọi ABC∆ ta luơn cĩ : 4 32 23 sin1 1 sin1 1 sin1 1 + ≥ + + + + + CBA Lời giải. Ta cĩ : ( ) 2 sin1 2 sinsin22 4 sinsin2 4 sin1 1 sin1 1 BABABABA + + ≥ ++ ≥ ++ ≥ + + + ( )3 2 sin1 2 sin1 1 sin1 1 BABA + + ≥ + + + ⇒ Tương tự ta cĩ : ( )4 2 3sin1 2 3 sin1 1 sin1 1 pipi + + ≥ + + + CC Cộng theo vế ( )3 và ( )4 ta cĩ : Truịng THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất đẳng thức lượng giác Chương 4 Một số chuyên đề bài viết hay,thú vị liên quan đến bất đẳng thức và lượng giác The Inequalities Trigonometry 95 3 sin1 4 2 3sin1 1 2 sin1 12 3 sin1 1 sin1 1 sin1 1 sin1 1 pipipi + ≥                   + + + + + ≥ + + + + + + + CBACBA 4 32 23 sin1 1 sin1 1 sin1 1 + ≥ + + + + + ⇒ CBA ðẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ABC∆ đều. Thí dụ 2. Chứng minh rằng với mọi tam giác ABC ta luơn cĩ : 3 3 21 sin 11 sin 11 sin 11       +≥      +      +      + CBA Lời giải. Ta cĩ : ( ) ( ) ( ) 2 222 2 2 sin 11 cos1 21 coscos 21 sinsin 11 sinsin 1 sinsin 21 sinsin 1 sin 1 sin 11 sin 11 sin 11             + +=        +− +≥        +−− +=      +=       ++≥+++=      +      + BABABABABA BABABABABA ( )5 2 sin 11 sin 11 sin 11 2             + +≥      +      +⇒ BABA Tương tự : ( )6 2 3sin 11 3 sin 11 sin 11 2                 + +≥             +      + pipi CC Nhân theo vế của ( )5 và ( )6 ta cĩ : 4 2 2 3 sin 11 2 3sin 11 2 sin 11 3 sin 11 sin 11 sin 11 sin 11             +≥                 + +             + +≥             +      +      +      + pipipi CBACBA Truịng THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất đẳng thức lượng giác Chương 4 Một số chuyên đề bài viết hay,thú vị liên quan đến bất đẳng thức và lượng giác The Inequalities Trigonometry 96 3 3 21 sin 11 sin 11 sin 11       +≥      +      +      +⇒ CBA ðẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ABC∆ đều. Thí dụ 3. Chứng minh rằng với mọi tam giác ABC ta cĩ : 64 3 2 sin 2 sin 2 sin 666 ≥++ CBA Lời giải. Trường hợp tam giác ABC tù hoặc vuơng. Giả sử { } 2 ,,max pi≥= CBAA , lúc đĩ 0 2 cos > − BA và 0 2 3cos >             + piC . Ta cĩ : ( )7 4 sin2 2 sin 2 sin 4 sin 2 cos1 8 1 2 cos 2 cos1 8 1 2 coscos1 8 1 2 2 sin 2 sin 2 2 sin 2 sin 6666 3 3 3 2266 BABABABA BABABA BABA +≥+⇒+=      + −≥       −+ −=      + −=             + ≥ + Tương tự ta cĩ : ( )8 4 3sin2 2 3sin 2 sin 666 pipi + ≥+ CC Cộng theo vế của ( )7 và ( )8 ta được : ( )9 64 3 6 sin3 2 sin 2 sin 2 sin 8 3sin4 4 3sin 4 sin2 2 3sin 2 sin 2 sin 2 sin 6666 6666666 =≥++⇒ +++ ≥             + + +≥+++ pi pipipi CBA CBACBACBA Trường hợp tam giác ABC nhọn, các bất đẳng thức ( ) ( ) ( )9,8,7 luơn đúng. Thí dụ 4. Chứng minh rằng với mọi tam giác ABC ta luơn cĩ : ( )( )( ) 3 4 6 4 222sincossincossincos        +≤+++ CCBBAA Lời giải. Ta cĩ : ( )( )( )       −      −      −=+++ 4 cos 4 cos 4 cos22sincossincossincos pipipi CBACCBBAA nên bất đẳng thức đã cho tương đương với : Truịng THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất đẳng thức lượng giác Chương 4 Một số chuyên đề bài viết hay,thú vị liên quan đến bất đẳng thức và lượng giác The Inequalities Trigonometry 97 ( )* 4 6 4 2 4 cos 4 cos 4 cos 3         +≤      −      −      − pipipi CBA - Nếu { } 4 3 ,,max pi≥CBA thì vế trái của ( )* khơng dương nên bất đẳng thức đã cho luơn đúng. - Nếu { } 4 3 ,,max pi <CBA thì : 0 4 cos,0 4 cos,0 4 cos >      −>      −>      − pipipi CBA nên ( )      −+      −+=      −      − BABABA cos 2 cos 2 1 4 cos 4 cos pipipi ( )10 42 cos 4 cos 4 cos 42 cos 2 cos1 2 1 2 2       − +≤      −      −⇒       − +≤            −++≤ pipipi pipi BABA BABA Tương tự : ( )11 42 3cos 43 cos 4 cos 2             − + ≤      −      − pi pi pipipi C C Do đĩ nhân theo vế của ( )10 và ( )11 ta sẽ cĩ :       −≤             − +       − +≤      −      −      −      − 43 cos 42 3cos 42 cos 43 cos 4 cos 4 cos 4 cos 422 pipipi pi pipipipipipi CBACBA 3 3 4 6 4 2 43 cos 4 cos 4 cos 4 cos         +=      −≤      −      −      −⇒ pipipipipi CBA Do đĩ : ( )( )( ) 3 4 6 4 222sincossincossincos        +≤+++ CCBBAA ðẳng thức xảy ra khi và chỉ khi tam giác ABC đều. Mời các bạn tiếp tục giải các bài tốn sau đây theo phương pháp trên. Chứng minh rằng với mọi tam giác ABC, ta cĩ : ( )NnCBA CBA n nnn ∈≥++ ≤++ 2.3 2 sin 1 2 sin 1 2 sin 1)2 3 1 2 tan 2 tan 2 tan)1 333 Truịng THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất đẳng thức lượng giác Chương 4 Một số chuyên đề bài viết hay,thú vị liên quan đến bất đẳng thức và lượng giác The Inequalities Trigonometry 98 ( )31 4 2 4 cos 4 cos 4 cos)3 +≤++ piCCBBAA ( ) CBACBA coscoscos31 22 1 4 cos 4 cos 4 cos)4 3+≥      −      −      − pipipi với ABC∆ nhọn.