Chuyên đề Bài toán tiếp tuyến

GV: Nguyễn Tất Thu- Biờn Hũa Giải Tớch Chuyờn ủề: BÀI TOÁN TIẾP TUYẾN 1.ðịnh nghĩa: Bài toỏn 1: Viết phương trỡnh tiếp tuyến của ủồ thị hàm số y=f(x) tại ủiểm 0 0( ; ( ))M x f x . Phương phỏp: * Tiếp tuyến của ủồ thị hàm số ( )y f x= tại 0 0( ; )M x y là: 0 0 0'( )( )y f x x x y= − + với 0 0( )y f x= . Bài toỏn 2: Viết phương trỡnh tiếp tuyến của ủồ thị hàm số ( )y f x= , biết tiếp tuyến cú hệ số gúc k. Phương phỏp: Cỏch 1: *Phương trỡnh tiếp tuyến cú dạng: y kx b= + * ðiều kiện tiếp xỳc là hệ pt: ( ) (1) '( ) (2) f x kx b f x k  = +   = Từ (2) ta tỡm ủược x, thế vào (1) ta cú ủược b. Ta cú tiếp tuyến cần tỡm. Cỏch 2: * Giải phương trỡnh '( )f x k= giải phương trỡnh này ta tỡm ủược cỏc nghiệm 1 2, ,..., nx x x . * Phương trỡnh tiếp tuyến: '( )( ) ( ) ( 1,2,..., )i i iy f x x x f x i n= − + = . Chỳ ý: ðối với bài toỏn này ta cõn lưu ý một số vấn ủề sau: * Số tiếp tuyến của ủồ thị chớnh là số nghiệm của phương trỡnh '( )f x k= . *Cho hai ủường thẳng 1 1 1:d y k x b= + và 2 2 2:d y k x b= + . Khi ủú i) 1 2 1 2 tan 1 . k k k k α − = + , trong ủú
1 2( , )d dα = . ii) 1 21 2 1 2 // k k d d b b = ⇔  ≠ iii) 1 2 1 2. 1d d k k⊥ ⇔ = − Bài toỏn 3: Viết phương trỡnh tiếp tuyến của ủồ thị hàm số ( )y f x= , biết tiếp tuyến ủi qua ủiểm ( ; )A AA x y . Phương phỏp: Cỏch 1: Phương trỡnh tiếp tuyến cú dạng: ( )A Ay k x x y= − + ðiều kiện tiếp xỳc: hệ pt ( ) ( ) (1) '( ) (2) A Af x k x x y f x k  = − +   = cú nghiệm. GV: Nguyễn Tất Thu- Biờn Hũa Giải Tớch Thay (2) vào (1), ta ủược: ( ) '( )( )A Af x f x x x y= − + , giải pt này ta tỡm ủược cỏc nghiệm 1 2, ,..., nx x x . Thay vào (2) ta tỡm ủược k từ ủú suy ra phương trỡnh tiếp tuyến. Cỏch 2: Gọi 0 0( ; )M x y là tiếp ủiểm. Khi ủú tiếp tuyến cú dạng: 0 0 0'( )( )y f x x x y= − + Vỡ tiếp tuyến ủi qua A nờn ta cú: 0 0 0'( )( )A Ay f x x x y= − + , giải phương trỡnh này ta tỡm ủược x0 suy ra phương trỡnh tiếp tuyến. Chỳ ý: *Nếu giải theo cỏch 1 thỡ số tiếp tuyến của ủồ thị chớnh là số nghiệm của phương trỡnh: ( ) '( )( )A Af x f x x x y= − + * Nếu giải theo cỏch 2 thỡ số tiếp tuyến là số nghiệm của phương trỡnh 0 0 0'( )( )A Ay f x x x y= − + (với ẩn là x0). CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP Dạng 1: Viết phương trỡnh tiếp tuyến Phương phỏp: Ta dựa vào ba bài toỏn trờn Vớ dụ 1: Cho hàm số 3 2y= 3 2x x x− + , cú ủồ thị (C) 1) Viết phương trỡnh tiếp tuyến của (C) tại ủiểm uốn . 2) Viết phương trỡnh tiếp tuyến của (C) tại ủiểm cú hoành ủộ bằng 1− . 3) Viết phương trỡnh tiếp tuyến của (C) tại ủiểm cú tung ủộ bằng 6 . 4) Viết phương trỡnh tiếp tuyến của (C) tại giao ủiểmcủa (C) với trục hoành. 5) Chứng minh rằng tiếp tuyến tại ủiểm uốn cú hệ số gúc nhỏ nhất. Giải: 1)Ta cú: 2' 3 6 2 '' 6 6 " 0 1y x x y x y x= − + ⇒ = − ⇒ = ⇔ = , do ủú tọa ủộ ủiểm uốn là (1;0)U Phương trỡnh tiếp tuyến tại U là: '(1)( 1) 0 1y y x x= − + =− + . 2) Ta cú 0 01 6x y= ⇒ =− và 0'( ) '( 1) 11y x y= − = , suy ra Phương trỡnh tiếp tuyến là: '( 1)( 1) 6 11 5y y x x= − + − = + . 3) Gọi 0( ;6)M x là tiếp ủiểm , ta cú: 3 2 2 0 0 0 0 0 03 2 6 ( 3)( 2) 0 3x x x x x x− + = ⇔ − + = ⇔ = Vậy phương trỡnh tiếp tuyến là: '(3)( 3) 6 11 27y y x x= − + = − . 4) PTHð giao ủiểm của (C) với Ox: 3 23 2 0 0, 1, 2x x x x x x− + = ⇔ = = = * x=0 ta cú tiếp tuyến: '(0)( 0) 0 2y y x x= − + = . * x=1 ta cú tiếp tuyến: '(1)( 1) 0 1y y x x= − + =− + . * x=2 ta cú tiếp tuyến: '(2)( 2) 0 2 4y y x x= − + = − . 5) Vỡ hệ số gúc của mọi tiếp tuyến ủều cú dạng '( )f x và hệ số gúc của tiếp tuyến tại ủiểm uốn bằng -1. Do ủú ủể chứng minh bài toỏn ta chỉ cần chứng minh '( ) 1f x ≥− . ð iều này luụn ủỳng vỡ: 2'( ) 1 3( 1) 0 f x x x R+ = − ≥ ∀ ∈ (ủpcm). GV: Nguyễn Tất Thu- Biờn Hũa Giải Tớch Chỳ ý: Chứng minh tương tự ta cú kết quả tổng quỏt của cõu 5 như sau “Cho hàm số 3 2 ( 0)y ax bx cx d a= + + + ≠ . Nếu 0a> thỡ tiếp tuyến tại ủiểm uốn cú hệ số gúc nhỏ nhất cũn nếu 0a< thỡ tiếp tuyến tại ủiểm uốn cú hệ số gúc lớn nhất”. Vớ dụ 2: Cho hàm số 2 1 1 x xy x − + = − cú ủồ thị (C) 1) Viết phương trỡnh tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến song song với ủường thẳng :3 4 1 0x y∆ − + = . 2) Viết phương trỡnh tiếp tuyến của (C) xuất phỏt từ ( 1;3)M − . 3) Viết phương trỡnh tiếp tuyến của (C) ủi qua giao ủiểm hai ủường tiệm cận của (C). 4) Biện luận theo 0m≠ số tiếp tuyến của (C) mà tiếp tuyến vuụng gúc với ủường thẳng : 1 0m x my m∆ − + + = . Giải: Ta cú 2 2 2 ' ( 1) x xy x − = − 1)Gọi d là tiếp tuyến song song với ủường thẳng 3 1: 4 4 y x∆ = + , khi ủú d cú hệ số gúc là 3 4 k = Xột phương trỡnh: 2 2 2 12 3 ' 2 3 0 34( 1) xx xy k x x xx  =−− = ⇔ = ⇔ − − = ⇔  =−  . * 31 2 x y=− ⇒ =− ⇒phương trỡnh tiếp tuyến: 3 3 4 4 y x= − . * 73 2 x y= ⇒ = ⇒phương trỡnh tiếp tuyến: 3 5 4 4 y x= + . 2) Gọi d là ủường thẳng ủi qua ( 1;3)M − , cú hệ số gúc k, khi ủú phương trỡnh d cú dạng: ( 1) 3y k x= + + d là tiếp tuyến ⇔ hệ phương trỡnh sau cú nghiệm: 2 2 2 1 ( 1) 3 (1) 1 2 (2) ( 1) x x k x x x x k x  − + = + + −   − = − Thế (2) vào (1) ta ủược: 2 2 2 1 2 ( 1) 3 1 ( 1) x x x x x x x − + − = + = − − 2 2 2 5 2 0 1 2 x x x x  =  ⇔ − + = ⇔   =  * Với 2 0x k= ⇒ = ⇒Phương trỡnh tiếp tuyến y=3. GV: Nguyễn Tất Thu- Biờn Hũa Giải Tớch *Với 1 3 2 x k= ⇒ =− ⇒ Phương trỡnh tiếp tuyến 3y x=− 3) ðồ thị cú hai tiệm cận 1x= và y x= suy ra giao ủiểm của hai tiệm cận là I(1;1) Gọi d là ủường thẳng ủi qua I, cú hệ số gúc k : ( 1) 1d y k x⇒ = − + d là tiếp tuyến ⇔ hệ 2 2 2 1 ( 1) 1 1 2 ( 1) x x k x x x x k x  − + = − + −   − = − cú nghiệm Thế k vào phương trỡnh thứ hai ta ủược: 2 2 2 21 2 1 1 2 1 1 1 x x x x x x x x x x x − + − = + ⇔ − + = − + − − − phương trỡnh vụ nghiệm Vậy qua I khụng cú tiếp tuyến nào kẻ ủến (C). 4) m∆ cú hệ số gúc 1 mk m = . Số tiếp tuyến thỏa món bài toỏn chớnh là số nghiệm của phương trỡnh: 2 2 2 ( 2 ) '. 1 1 ( 1) 2( 1) 1 0 (*) ( 1)m m x xy k m x m x x − =− ⇔ =− ⇔ + − + + = − ( với ủk 1x≠ ) * Nếu m=-1 (*)⇒ vụ nghiệm⇒khụng cú tiếp tuyến nào. *Nếu 1m≠− : (*) cú ' ( 1)m m∆ = + và (*) cú nghiệm 1 0x m= ⇔ = + Khi 0 1 m m  >  ⇒  <− (*) cú hai nghiệm phõn biệt ⇒ cú hai tiếp tuyến + Khi 1 0m− < ≤ thỡ (*) vụ nghiệm ⇒ khụng cú tiếp tuyến nào. Chỳ ý: *Hệ số gúc của mọi tiếp tuyến luụn cú dạng: '( )f x . * ðối với hàm phõn thức 2 ( . ' 0) ' ' ax bx cy a a a x b + + = ≠ + khụng cú tiếp tuyến nào ủi qua gia ủiểm của hai tiệm cận. Vớ dụ 3: Cho hàm số 2 2(2 )y x x= − , cú ủồ thị (C). 1) Viết phương trỡnh tiếp tuyến tại giao ủiểm của (C) với Parabol 2y x= 2) Viết phương trỡnh tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến ủi qua ủiểm A(2;0). Giải: Ta cú: 4 3 2 3 24 4 ' 4 12 8y x x x y x x x= − + ⇒ = − + 1) PTHð giao ủiểm của (C) và Parabol 2y x= 4 3 2 2 2 24 4 ( 4 3) 0 0, 1, 3x x x x x x x x x x− + = ⇔ − + = ⇔ = = = .
0x= ta cú phương trỡnh tiếp tuyến là: 0y=
1x= ta cú phương trỡnh tiếp tuyến là: 1y=
3x= ta cú phương trỡnh tiếp tuyến là: 24 63y x= − . GV: Nguyễn Tất Thu- Biờn Hũa Giải Tớch 2) Gọi d là ủường thẳng ủi qua A, cú hệ số gúc k : ( 2)d y k x⇒ = − d là tiếp tuyến ⇔ hệ 2 2(2 ) ( 2) 4 ( 2)( 1) x x k x x x x k  − = −   − − = cú nghiệm Thay k vào phương trỡnh thứ nhất ta ủược: 4 3 2 3 2 24 4 ( 2)(4 12 8 ) (3 4)( 2) 0x x x x x x x x x x− + = − − + ⇔ − − = 40, 2, 3 x x x⇔ = = = .
0 0x k= ⇒ = ⇒Phương trỡnh tiếp tuyến 0y=
2 0x k= ⇒ = ⇒Phương trỡnh tiếp tuyến 0y=
4 32 3 27 x k= ⇒ =− ⇒Phương trỡnh tiếp tuyến 32 64 27 27 y x=− + . Vớ dụ 4: Cho hàm số 1 2 mxy x m + = + − ,cú ủồ thị là (Cm ) 1)Viết phương trỡnh tiếp tuyến của (C1),biết tiếp tuyến ủi qua ủiểm P(3;1). 2)Viết phương trỡnh tiếp tuyến của (C1),biết tiếp tuyến ủi qua ủiểm A(2;-1) 3)Tỡm m ủể tiếp tuyến tại ủiểm cú hoành ủộ x=1 vuụng gúc với ủường thẳng y=x+1. Giải: Với m=1 ta cú 1 1( ) : 1 xC y x + = − 1) Gọi d là ủường thẳng ủi qua P, cú hệ số gúc k : ( 3) 1d y k x⇒ = − + . d là tiếp tuyến ⇔ hệ 2 1 ( 3) 1 1 2 ( 1) x k x x k x  + = − + −  − = − cú nghiệm. Thế k vào phương trỡnh thứ nhất, ta ủược: 2 1 2 ( 3) 1 2 1 ( 1) x x x x x + − = − + ⇔ = − − 2k⇒ =− ⇒Phương trỡnh tiếp tuyến: 2 7y x=− + . 2) Gọi d là ủường thẳng ủi qua A, cú hệ số gúc k : ( 2) 1d y k x⇒ = − − . d là tiếp tuyến ⇔ hệ 2 1 ( 2) 1 1 2 ( 1) x k x x k x  + = − − −  − = − cú nghiệm. Thế k vào phương trỡnh thứ nhất, ta ủược: 2 1 2 ( 2) 1 2 1 ( 1) x x x x x + − = − − ⇔ =± − − * 2 2(3 2 2)x k= ⇒ =− + ⇒ tiếp tuyến: 2(3 2 2) 11 8 2y x=− + + + . * 2 2(3 2 2)x k=− ⇒ =− − ⇒ tiếp tuyến: 2(3 2 2) 11 8 2y x=− − + − . GV: Nguyễn Tất Thu- Biờn Hũa Giải Tớch 3) Ta cú 2 2 2 1 ' ( 2) m my x m − − = + − . Tiếp tuyến tại ủiểm cú hoành ủộ x=1 vuụng gúc với ủường thẳng y=x+1 2 2 2 1 '(1) 1 1 0, 2 ( 1) m my m m m − − ⇔ =− ⇔ =− ⇔ = = − . Vớ dụ 5: Cú bao nhiờu tiếp tuyến của ủồ thị hàm số lny x x= ủi qua ủiểm M(2,1)? Giải: Gọi d là ủường thẳng ủi qua M, cú hệ số gúc k : ( 2) 1d y k x⇒ = − + . D là tiếp tuyến ⇔ hệ ln ( 2) 1 ln 1 x x k x x k  = − +   + = cú nghiệm Thế k vào phương trỡnh thứ nhất, ta ủược: ln (ln 1)( 2) 1x x x x= + − + 2ln 1 0x x⇔ − + = (*) Số tiếp tuyến kẻ từ M chớnh là số nghiệm của phương trỡnh (*) Xột hàm số 2( ) 2ln 1 '( ) '( ) 0 2xf x x x f x f x x x − = − + ⇒ = ⇒ = ⇔ = . Mặt khỏc: 0 ( ) ; x x Lim f x Lim → →+∞ =−∞ =−∞ ; (2) 2ln 2 1f = − BBT: x 0 2 +∞ f’(x) + 0 - f(x) 2ln 2 1− −∞ −∞ Dựa vào BBT ta thấy phương trỡnh (*) cú hai nghiệm phõn biệt. Vậy cú hai tiếp tuyến kẻ từ M. Vớ dụ 6: Tỡm m ủể tiếp tuyến của ủồ thị hàm số 3 21 1 3 2 3 my x x= − + tại ủiểm cú hoành ủộ bằng -1 song song với ủường thẳng 5x-y=0. Giải: Tiếp tuyến d của ủồ thị hàm số tại ủiểm cú hoành ủộ x=-1, cú dạng : ( 1) 1 2 my m x= + + + d song song với ủường thẳng y=5x 1 5 4 1 0 2 m mm  + =⇔ ⇔ =  + ≠ . Vậy m=4 là giỏ trị cần tỡm. Vớ dụ 7: Cho hàm số 2 2 2 1 x xy x + + = + (C). GV: Nguyễn Tất Thu- Biờn Hũa Giải Tớch 1) Gọi I là tõm ủối xứng của (C) và M là một ủiểm bất kỡ thuộc (C). Tiếp tuyến tại M cắt hai ủường tiệm cận tại A và B. Chứng minh rằng M là trung ủiểm của AB và tam giỏc IAB khụng phụ thuộc vào vị trớ của M. 2) Tỡm vị trớ của M ủể AB nhỏ nhất. 3)Tỡm M thuộc (C) sao cho tiếp tuyến tại M vuụng gúc với tiệm cận xiờn. Giải: 1) (C) cú hai tiệm cận là x=-1 và y=x+1 I là tõm ủối xứng ( 1;0)I⇒ − (I là giao của hai tiệm cận). Xột 0 0( ; ( )) ( )M x f x C∈ . Tiếp tuyến ∆ tại M của (C): 0 0 0'( )( )y y x x x y= − + hay là: 0 22 00 0 02 00 2 22 ( ) 1( 1) x xx x y x x xx + ++ = − + ++ ∆ cắt tiệm cận ủứng tại 0 2( 1; ) 1 A x − + và cắt tiệm cận xiờn tại 0 0(2 1;2 2)B x x+ + suy ra 0 2 0 0 0 2 2 2 2 1 A B M A B M x x x x x xy y y x  + = = ⇒  + ++ = = + M là trung ủiểm của AB. Gọi H là hỡnh chiếu của B lờn IA 02 | 1|BH x⇒ = + , mà 0 2 | 1|IA x= + , suy ra 1 . 2 2ABI S BH IA∆ = = ⇒ủpcm. 2) Ta cú: 2 20 2 0 14[2( 1) 2] 4(2 2 2) 2 2 2 2 ( 1) AB x AB x = + + − ≥ − ⇒ ≥ − + ðẳng thức xảy ra 40 0 4 12( 1) 1 1 2 x x⇔ + = ⇔ =− ± . 3) Chỳ ý: Tớnh chất trờn cũng ủỳng trong trường hợp tổng quỏt, tức là ta cú bài toỏn sau: “Cho hàm số 2 ( . ' 0) ' ' ax bx cy a a a x b + + = ≠ + cú ủồ thị (C). Gọi I là tõm ủối xứng của (C) và M là một ủiểm bất kỡ thuộc (C). Tiếp tuyến tại M cắt hai ủường tiệm cận tại A và B. Chứng minh rằng M là trung ủiểm của AB và tam giỏc IAB khụng phụ thuộc vào vị trớ của M .” GV: Nguyễn Tất Thu- Biờn Hũa Giải Tớch Dạng 2: Biện luận số tiếp tuyến Vớ dụ 1: Cho hàm số 2 6 9 2 x xy x − + = − + . 1) Tỡm tất cả cỏc ủiểm M trờn trục tung sao cho từ M kẻ ủược ớt nhất một tiếp tuyến với ủồ thị,song song với ủường thẳng 3 4 y x=− . 2) N là ủiểm nằm trờn tiệm cận ủứng. Hỏi từ N cú thể kẻ ủến (C) bao nhiờu tiếp tuyến. 3) Tỡm tập hợp tất cả cỏc ủiểm nằm trong mặt phẳng Oxy sao cho từ ủú cú thể kẻ ủến ủồ thị (C) hai tiếp tuyến vuụng gúc với nhau. Giải: 1) (0; )M Oy M m∈ ⇒ . gọi d là ủường thẳng ủi qua và song song với ủường thẳng 3 4 y x=− 3: 4 d y x m⇒ =− + . d là tiếp tuyến ⇔ hệ 2 2 2 6 9 3 (1) 2 4 4 3 3 (2) 4( 2) x x x m x x x x  − + =− + − +  − + − =− − cú nghiệm. 2(2) 4 0 0, 4.x x x x⇔ − = ⇔ = = * 9 90 (0; ) 2 2 x m M= ⇒ = ⇒ . * 7 74 (0; ) 2 2 x m M= ⇒ = ⇒ . Vậy cú hai ủiểm M thỏa món yờu cầu bài toỏn. 2) Ta cú: (2; )N n . ðường thẳng d ủi qua N, hệ số gúc k cú pt: ( 2)y k x n= − + . d là tiếp tuyến ⇔ hệ 2 2 2 6 9 ( 2) (3) 2 4 3 (4) ( 2) x x k x n x x x k x  − + = − + − +  − + − = − cú nghiệm. Thế (4) vào (3) ta ủược: 2 26 9 4 3 ( 2) 2( 3) (*) 2 2 x x x x n n x n x x − + − + − = − ⇔ − = − − + − Số tiếp tuyến kẻ từ N ủến (C) chớnh là số nghiệm của (*) * Nếu n=2 thỡ (*) vụ nghiệm nờn khụng cú tiếp tuyến nào kẻ từ N. * Nếu 2n≠ thỡ (*) cú nghiệm duy nhất nờn cú ủỳng một tiếp tuyến kẻ từ N Vậy từ (2; )N n với 2n≠ kẻ ủược duy nhất một tiếp tuyến ủến (C), cũn từ '(2;2)N khụng cú tiếp tuyến nào kẻ ủến (C). GV: Nguyễn Tất Thu- Biờn Hũa Giải Tớch 3) Xột 0 0( ; )M x y . ðường thẳng d ủi qua M, hệ số gúc k cú ptrỡnh : y=k(x-x0)+y0. d là tiếp tuyến của (C) ⇔ hệ 2 0 0 2 2 6 9 ( ) 2 4 3 ( 2) x x k x x y x x x k x  − + = − + − +  − + − = − cú nghiệm. Hệ 0 0 2 1( 2) 2 ( 2) (2 ) 2 11 ( 2) x k x x k y x k x − − + − = − + − + −⇔ − + = − 0 0 2 1 12 (2 ) 2 2 11 ( 2) x k y x x k x  − = + − + − −⇔ − + = − 0 0 2 1 1 (2 ( 2) ) 2 2 11 ( 2) x k y x k x  = + − − −⇔ − + = − 2 0 0 0 0 11 [( 2) 2 ] 4 2 2 x k y k y k x − + − + − =⇒  − ≠ − 2 2 2 0 0 0 0 0 0 ( 2) 2[( 2)( 2) 2] ( 2) 4 0 (*) 2 2 x k x y k y y k x  − − − − + + − − = ⇔ − ≠ − ðể từ M kẻ ủược hai tiếp tuyến vuụng gúc ⇔ (*) cú hai nghiệm phõn biệt 0 0 2 2 y x − ≠ − và k1.k2=-1 0 0 2 2 20 0 02 0 0 0 0 0 2 2 ( 2) 4 1 ( 2) ( 2) 4 ( 2) 4 0 4 0 x x y x y x x y x y  ≠  ≠   − − ⇔ =− ⇔ − + − =   −   + − ≠  + − ≠ . Vậy quỹ tớch của M là ủường trũn 2 2( 2) ( 2) 4x y− + − = , trừ bốn ủiểm sau 1(2;0)M 2 3 4(2;4); (2 2;2 2); (2 2;2 2)M M M+ − − + . Chỳ ý: Từ cõu 2 ta thấy trờn mọi ủiểm tiệm cận ủứng (trừ giao của hai tiệm cận) ta luụn kẻ ủược ủỳng một tiếp tuyến ủến ủồ thị. Tớnh chất này cũng ủỳng cho mọi hàm phõn thức cú dạng 2 ; ' ' ' ' ax b ax bx cy y a x b a x b + + + = = + + . GV: Nguyễn Tất Thu- Biờn Hũa Giải Tớch Vớ dụ 2: Cho hàm số =− + +3 3 2y x x . Tỡm những ủiểm trờn trục hoành sao cho từ ủú kẻ ủược ba tiếp tuyến ủến ủồ thị hàm số và trong ủú cú hai tiếp tuyến vuụng gúc với nhau. Giải: Xột ủiểm ( ;0)M m Ox∈ . ðường thẳng d ủi qua M, hệ số gúc k cú pt: ( )y k x m= − . d là tiếp tuyến ⇔ hệ 3 2 3 2 ( ) 3 3 x x k x m x k − + + = −  − + = cú nghiệm. Thế k vào phương trỡnh thứ nhất, ta ủươc: 2 33( 1)( ) ( 3 2) 0x x m x x− − − − − = 2 2( 1)(3 3(1 ) 3 ) ( 1)( 2) 0x x m x m x x x⇔ + − + + − + − − = 2 2 1 ( 1)[2 (3 2) 3 2] 0 2 (3 2) 3 2 0 (*) x x x m x m x m x m  =− ⇔ + − + + + = ⇔   − + + + = ðể từ M kẻ ủược ba tiếp tuyến thỡ (*) phải cú hai nghiệm phõn biệt khỏc -1 2(3 2)(3 6) 0 V 2 3 3 3 0 1 m m m m m m  ∆= + − >   ⇔   + ≠  ≠− (**). Gọi x1,x2 là hai nghiệm của (*), khi ủú hệ số gúc của ba tiếp tuyến là : 2 1 13 3,k x=− + 2 2 23 3,k x=− + 3 0k = . ðể hai trong ba tiếp tuyến này vuụng gúc với nhau 1 2. 1k k⇔ =− 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 29( 1)( 1) 1 9 9( ) 18 8 0 (i)x x x x x x x x⇔ − − = ⇔ − + + + = Mặt khỏc theo ðịnh lớ Viet 1 2 1 2 3 2 3 2 ; 2 2 m m x x x x + + + = = . Do ủú 26( ) 9(3 2) 8 0 27 i m m⇔ + + = ⇔ =− thỏa món ủiều kiện (**) . Vậy 26( ;0) 27 M − là ủiểm cần tỡm. Vớ dụ 3: Tỡm tất cả những ủiểm nằm trờn trục tung sao cho từ ủú cú thể kẻ tới ủồ thị hàm số 4 22 1y x x= − − ủỳng ba tiếp tuyến. Giải: Xột (0; )M m Oy∈ . ðường thẳng d ủi qua M, hệ số gúc k cú pt: y kx m= + . d là tiếp tuyến ⇔ hệ 4 2 3 2 1 4 4 x x kx m x x k  − − = +   − = cú nghiệm. Thế k vào phương trỡnh thứ nhất, ta ủươc: 4 2 4 22 1 4 4x x x x m− − − = − + 4 25 2 1 0x x m− + + = (*) ðể từ M ta cú thể kẻ ủến ủồ thị ủỳng ba tiếp tuyến (*)⇔ cú ba nghiệm phõn biệt GV: Nguyễn Tất Thu- Biờn Hũa Giải Tớch 1 0 1m m⇔ + = ⇔ =− . Khi ủú (*) cú 2 nghiệm 20; 5 x x= =± và ba tiếp tuyến ủú là: 21; 1 5 y y x=− =± − . Vậy M(0;-1) là ủiểm cần tỡm. Vớ dụ 4: Tỡm tất cả cỏc ủiểm nằm trờn trục tung mà từ ủú chỉ cú thể kẻ ủược ủỳng một tiếp tuyến ủến ủồ thị hàm số 1 1 xy x + = − . Giải: Xột (0; )M m Oy∈ . ðường thẳng d ủi qua M, hệ số gúc k cú pt: y kx m= + . d là tiếp tuyến ⇔ hệ 2 1 1 2 ( 1) x kx m x k x  + = + −   − = − cú nghiệm. Thế k vào phương trỡnh thứ nhất, ta ủươc: 2 2 1 2 ( 1) 2( 1) 1 0 1 ( 1) x x m m x m x m x x + − = + ⇔ − − + + + = − − (*). ðể từ M chỉ kẻ ủược ủỳng một tiếp tuyến ủến ủồ thị hàm số ủó cho ⇔ (*) cú ủỳng một nghiệm. Do (*) khụng cú nghiệm x=1 nờn (*) cú ủỳng một nghiệm 1 1 ' 2 2 0 1 m m m m  = =  ⇔ ⇔   ∆ = + = =−   . Vậy cú hai ủiểm 1 2(0;1), (0; 1)M M − thoảmanx bài toỏn. Vớ dụ 5: Cho hàm số: 2 1 xy x + = − (C). Cho ủiểm M(0;m). Xỏc ủịnh m ủể từ A kẻ ủược 2 tiếp tuyến ủến (C) sao cho hai tiếp ủiểm tương ứng nằm về hai phớa ủối với trục Ox. Giải: ðường thẳng d ủi qua M, hệ số gúc k cú pt: y kx m= + . d là tiếp tuyến ⇔ hệ 2 2 1 3 ( 1) x kx m x k x  + = + −   − = − cú nghiệm. Thế k vào phương trỡnh thứ nhất, ta ủươc: 2 2 2 3 ( 1) 2( 2) 2 0 1 ( 1) x x m m x m x m x x + − = + ⇔ − − + + + = − − (*). ðể từ M kẻ ủược hai tiếp tuyến thỡ (*) cú hai nghiệm phõn biệt khỏc 1 GV: Nguyễn Tất Thu- Biờn Hũa Giải Tớch ' 3( 2) 0 2 1 (i) 1 1 2( 2) 2 0 m m m m m m m ∆ = + >  >−  ⇔ ≠ ⇔    ≠  − − + + + ≠ Khi ủú tọa ủộ hai tiếp ủiểm là: 1 1 1 2 2 2( ; ), ( ; )M x y M x y với x1,x2 là nghiệm của (*) 1 2 1 2 1 2 2 2 ; 1 1 x x y y x x + + = = − − ðể M1, M2 nằm về hai phớa Ox thỡ 1 2 1 21 2 1 2 1 2 2( ) 4 . 0 0 (1)( ) 1 x x x x y y x x x x + + + < ⇔ < − + + Áp dụng ủịnh lớ Viet: 1 2 1 2 2( 2) 2 ; 1 1 m m x x x x m m + + + = = − − . 9 6 2(1) 0 3 3 m m + ⇒ ⇔ − − . Kết hợp với (i) ta cú 2 3 1 m m  >−   ≠ là những giỏ trị cần tỡm. Vớ dụ 6: Cho hàm số 22 1 1 x xy x − + = − (C). 1)Cú nhận xột gỡ về cỏc tiếp tuyến kẻ ủến (C) từ cỏc ủiểm nằm trờn ủường thẳng y=7. 2) Chứng tỏ rằng trờn ủường thẳng y=7, cú 4 ủiểm sao cho từ mỗi ủiểm ủú cú thể kẻ ủến (C) hai tiếp tuyến lập với nhau một gúc 045 . Giải: Xột 0( ;7)M x . ðường thẳng d ủi qua M, hệ số gúc k cú ptrỡnh : 0( ) 7y k x x= − + d là tiếp tuyến của (C) ⇔ hệ 0 2 22 1 ( ) 7 (1) 1 22 (2) ( 1) x k x x x k x  + + = − + −   − = − cú nghiệm. Thế k vào phương trỡnh thứ nhất, ta ủươc: 02 2 22( 1) 3 (2 )( 1) (1 ) 7 1 ( 1) x x x k x x − + + = − − + − + − − 0(1 ) 41 1 4 x k x − + ⇔ = − Thay vào (2) ta cú: 20 0 2 0 0 0 [( 1) 8( 2)]=0 ( 1) 8( 2) 0 k k x k x x k x  = − − − ⇔   − − − = . Vậy ủường thẳng y=7 là tiếp tuyến của ủũ thị hàm số. 2) ðể từ M kẻ ủược hai tiếp tuyến thỡ 0 1x ≠ . Khi ủú hệ số gúc hai tiếp tuyến là 0 1 2 2 0 8( 2) 0; ( 1) x k k x − = = − . GV: Nguyễn Tất Thu- Biờn Hũa Giải Tớch hai tiếp tuyến lập với nhau một gúc 045 01 2 2 1 2 tan 45 1 1 1 k k k k k − ⇔ = = ⇔ =± + * 02 02 0 8( 2) 1 1 5 2 2 ( 1) x k x x − = ⇔ = ⇔ = ± − . * 02 02 0 8( 2) 1 1 3 2 6 ( 1) x k x x − = ⇔ =− ⇔ = ± − . Vậy ta tỡm ủược 4 ủiểm M thỏa món bài toỏn⇒ủpcm. Vớ dụ 7: Tỡm những ủiểm trờn ủồ thị (C) của hàm số 11 1 y x x = + + − cú hoành ủộ lớn hơn 1 sao cho tiếp tuyến tại ủú tạo với hai tiệm cận một tam giỏc cú chu vi nhỏ nhất. Giải: Xột 0 0 0 1( ; 1 ) 1 M x x x + + + . Tiếp tuyến tại M cú phương trỡnh 2 2(1 ) 2 1y m x m m= − + + + ( với 0 1 1 m x = − ) tiếp tuyến cắt tiệm cận ủứng tại (1;2 2)A m+ , cắt tiệm cận xiện tại 2 2(1 ;2 )B m m + + và hai tiệm cận cắt nhau tại I(1;2) Chu vi tam giỏc ABI: 2 2 8 2 24 8 2 | || |P AB BI IA m mmm= + + = + + + + Áp dụng Bất ủẳng thức Cụsi, ta cú: 2 42 8 2 24 8 2; 2 | | 4 2| |m mmm+ ≥ + ≥ 48 2 8 4 2P⇒ ≥ + + . ðẳng thức xảy ra 4 2m⇔ =± Vậy 44 4 1 1(1 ;2 2) 2 2 M ± ± ± . Vớ dụ 8: Tỡm tất cả cỏc ủiểm trờn Oy sao cho từ ủú ta cú thể vẽ ủược ớt nhất một tiếp tuyến ủến ủồ thị hàm số 24 2 1y x x x= + + + . Giải: Xột (0; )M m Oy∈ . ðường thẳng d ủi qua M, hệ số gúc k cú phương trỡnh: y=kx+m. d là tiếp tuyến ⇔ hệ 2 2 4 2 1 4 11 4 2 1 x x x kx m x k x x  + + + = +  + + = + + cú nghiệm. Thay k vào phương trỡnh thứ nhất ta ủược: GV: Nguyễn Tất Thu- Biờn Hũa Giải Tớch 2 2 2 44 2 1 4 2 1 x x x x x x m x x + + + + = + + + + 2 2 2 2 14 2 1 4 4 2 1 ( ) 4 2 1 x x x x x m x x m f x x x + ⇔ + + = + + + + ⇔ = = + + (*) ðể từ M kẻ ủược ớt nhất một tiếp tuyến ủến ủồ thị (*)⇔ cú ớt nhất một nghiệm. xột hàm số f(x), ta cú: 2 3 3 '( ) '( ) 0 0 ( 4 2 1) xf x f x x x x − = ⇒ = ⇔ = + + Mặt khỏc: 1 1( ) ; ( ) 2 2x x Lim f x Lim f x →+∞ →−∞ = =− ta cú BBT: x −∞ 0 +∞ f’(x) + 0 - f(x) 1 -1/2 1/2 (*) cú nghiệm 1 1 2 m⇔− < ≤ . Vậy M(0;m) với 1 1 2 m− < ≤ là những ủiểm cần tỡm. Bài tập: Bài 1: Cho hàm số 3 21 2 3 3 y x x x= − + . Viết phương trỡnh tiếp tuyến tại ủiểm uốn và chứng minh tiếp tuyến này cú hệ số gúc nhỏ nhất. Bài 2: Viết phương trỡnh tiếp tuyến của ủồ thị hàm số 4 22 1y x x= − + , biết tiếp tuyến ủi qua A(0;1). Bài 2: 1) Viết phương trỡnh tiếp tuyến của ủồ thị hàm số 2 4 1x xy x + + = biết tiếp tuyến song song với ủường thẳng y=-3x+1 2) Viết phương trỡnh tiếp tuyến của ủồ thị hàm số y=x3-6x2+11x-1 tại ủiểm cú tung ủộ bằng 5. 3) Viết phương trỡnh tiếp tuyến của ủồ thị hàm số 3 21 1 42 3 2 3 y x x x= + − − , biết tiếp tuyến song song với ủường thẳng y=4x+2. Bài 3: Cho hàm số 3 22 3( 3) 11 3y x m x m= + − + − ( mC ) GV: Nguyễn Tất Thu- Biờn Hũa Giải Tớch 1) Cho m=2 . Tỡm phương trỡnh cỏc ủường thẳng qua 19( ,4) 12 A và tiếp xỳc với ủồ thị ( 2C ) của hàm số . 2) Tỡm m ủể hàm số cú hai cực trị. Gọi 1M và 2M là cỏc ủiểm cực trị ,tỡm m ủể cỏc ủiểm 1M , 2M và B(0,-1) thẳng hàng. Bài 4: 1. Khảo sỏt hàm số: 2 3 6 1 x xy x − + = − (C). 2. Từ ủồ thị (C), hóy nờu cỏch vẽ và vẽ ủồ thị của hàm số: 2 3 6 1 x xy x − + = − 3.Từ gúc toạ ủộ cú thể vẽ ủược bao nhiờu tiếp tuyến của hàm số (C) ? Tỡm toạ ủộ cỏc tiếp ủiểm (nếu cú). Bài 5: 1) Tỡm toạ ủộ cỏc giao ủiểm của cỏc ủường tiếp tuyến của ủồ thị hàm số 1 3 xy x + = − với trục hoành ,biết rằng cỏc tiếp tuyến ủú vuụng gúc với ủường thẳng y=x+2001. 2) Cho hàm số 3 21 1 42 3 2 3 y x x x= + − − .Viết pt tt biết tt song song y=4x+2. 3) Viết phương trỡnh tiếp tuyến của ủồ thị hàm số 2 2 1 2 x xy x − + = − , biết tiếp tuyến ủi qua ủiểm M(6;4). 4) Viết phương trỡnh tiếp tuyến của ủồ thị hàm số 2 4 1x xy x + + = , biết tiếp tuyến ủi qua M(1;0). BÀi 6: M là một ủiểm thuộc ủũ thị hàm số 3 21 1 3 2 3 my x x= − + cú hoành ủộ bằng -1. Tỡm m ủể tiếp tuyến của ủồ thị tại M song song với ủường thẳng 5x-y=0. Bài 7: Tỡm những ủiểm trờn ủồ thị hàm số 11 1 y x x = + + − cú hoành ủộ lớn hơn 1 sao cho tiếp tuyến tại ủú tạo với hai tiệm cận một tam giỏc cú chu vi nhỏ nhất? Bài 8: Tỡm những ủiểm M nằm trờn ủường thẳng y=1 sao cho từ M cú thể kẻ ủược ủỳng một tiếp tuyến ủến ủồ thị hàm số 22 1 x xy x + = + Bài 9: Tỡm trờn ủồ thị hàm số 2 2 2 1 x xy x + + = + cỏc ủiểm sao cho tiếp tuyến tại ủú vuụng gúc với tiệm cận xiờn ủồ thị hàm số ủó cho. Bài 10: Tỡm những ủiểm trờn trục Oy sao cho từ ủú kẻ ủược hai tiếp tuyến với ủồ thị hàm số 2 2 1 1 x x y x + + = − và hai tiếp tuyến ủú vuụng gúc với nhau GV: Nguyễn Tất Thu- Biờn Hũa Giải Tớch Bài 11: Cho hàm số 2 3 2x xy x − + = 1) Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ ủồ thị(C) của hàm số. 2) Tỡm trờn ủường thẳng x=1 những ủiểm M sao cho từ M kẻ ủược hai tiếp tuyến ủến (C) và hai tiếp tuyến ủú vuụng gúc với nhau. Bài 12: 1) Khảo sỏt và vẽ ủũ thị hàm số : 2 1 xy x = − .Gọi ủồ thị là (C) 2) Tỡm trờn ủường thẳng y=4 tất cả cỏc ủiểm mà từ mỗi ủiểm ủú cú thể kẻ tới ủồ thị (C) hai tiếp tuyến lập với nhau một gúc 45° Bài 13: Cho hàm số : 2 2 x xy x + = − (C) 1) Khảo sỏt hàm số (C) 2) ðường thẳng( )∆ ủi qua ủiểm B(0,b) và song song với tiếp tuyến của (C) tại ủiểm O(0,0) .Xỏc ủịnh b ủể ủường thẳng ( )∆ cắt (C) tại hai ủiểm phõn biệt M,N. Chứng minh trung ủiểm I của MN nằm trờn một ủường thẳng cố ủịnh khi b thay ủổi. Bài 14: Cho hàm số 22 (6 ) 2 x m xy mx + − = + 1) Tỡm m ủể ủồ thị hàm số cú ớt nhất một tiếp tuyến ủi qua O. 2) Khảo sỏt hàm số khi m=1 (C). 3) Chứng minh rằng tại mọi ủiểm của ủồ thị (C) tiếp tuyến luụn luụn cắt hai tiệm cận một tam giỏc cú diện tớch khụng ủổi. Bài 15: Cho hàm số : 31 2 3 3 y x x= − + (1) 1) Khảo sỏt sự biến thiờn và cẽ ủồ thị (C) của hàm số (1) 2) Tỡm trờn ủồ thị (C) ủiểm mà tại ủú tiếp tuyến của ủồ thị (C) vuụng gúc với ủường thẳng : 1 2 3 3 y x= − + Bài 16: Cho hàm số : 3 21 1 3 y x mx x m= − − + + 1) Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ ủồ thị của hàm số ứng với m= 0 . 2) Trong tất cả cỏc tiếp tuyến với ủồ thị của hàm số ủó khảo sỏt , hóy tỡm tiếp tuyến cú hệ số gúc nhỏ nhất . Bài 17: Cho hàm số 2 1 1 xy x − = − (C). 1) Khảo sỏt và vẽ ủồ thị (C). 2) Gọi I là giao ủiểm hai ủường tiệm cận của (C). Tỡm ủiểm M thuộc (C) sao cho tiếp tuyến tại M vuụng gúc với IM. Bài 18: Cho hàm số 2 2 2 x xy x − − = + (C). 1) Khảo sỏt và vẽ ủồ thị (C). GV: Nguyễn Tất Thu- Biờn Hũa Giải Tớch 2) Giả sử tiếp tuyến của (C) tại ủiểm ( )M C∈ cắt hai tiệm cận của (C) tại P và Q. Chứng minh rằng MP MQ= Bài 19: Tỡm m ủể ủồ thị hàm số 3 2(2 1) 1y x m x m=− + + − − tiếp xỳc với ủường thẳng 2 1y mx m= − − . Bài 20: Cho hàm số 2 3 1 x x ay x + + = + . Với giỏ trị nào của a thỡ ủồ thị hàm số cú tiếp tuyến vuụng gúc với ủường phõn giỏc của gúc thứ nhất. Chứng minh rằng khi ủú hàm số luụn cú cực ủại và cực tiểu. Bài 21: Cho hàm số 1 1 xy x + = − . Tỡm những ủiểm trờn trục tung mà từ mỗi ủiểm ấy chỉ kẻ ủược ủỳng một tiếp tuyến tới ủồ thị hàm số trờn. Bài 22: Tỡm tập hợp cỏc ủiểm trong mặt phẳng Oxy ủể từ ủú ta cú thể vẽ ủược hai tiếp tuyến ủến ủồ thị hàm số 2 1 xy x = − và hai tiếp tuyến ủú vuụng gúc với nhau. Bài 23: Tỡm những ủiểm M nằm trờn ủường thẳng y=1 sao cho từ ủú cú thể kẻ ủược ủỳng một tiếp tuyến tới ủồ thị hàm số 22 1 x xy x + = + . Bài 24: Cho hàm số 3( 1) (2 1) 1y m x m x m= + − + − + , cú ủồ thị (Cm). 1) Chứng minh rằng với mọi m, ủồ thị hàm số ủó cho luụn ủi qua ba ủiểm cố ủịnh thẳng hàng. 2) Với giỏ trị nào của m thỡ ủồ thị (Cm) cú tiếp tuyến vuụng gúc với ủường thẳng ủi qua ba ủiểm cố ủịnh trờn. Bài 25: Chi hàm số 3 2(2 1) ( 2) 2 ( )my mx m x m x C= − − + − − . Chứng minh rằng mọi ủường cong của họ (Cm) ủều tiếp xỳc với nhau. Bài 26: Từ gốc tọa ủộ cú thể vẽ ủược bao nhiờu tiếp tuyến với ủồ thị hàm số 2 3 6 1 x xy x − + = − . Tỡm tọa ủộ tiếp ủiểm nếu cú. Bài 27: Với giỏ trị nào của a thỡ ủồ thị hàm số 2a x (2 1) 3 2 a x ay x + + + + = + tiếp xỳc với ủường thẳng 4y a= + . Bài 28: Tỡm trờn Oy cỏc ủiểm mà từ ủú cú thể kẻ ủược ớt nhất một tiếp tuyến ủến ủồ thị hàm số 2 1 1 x xy x − + = − . Bài 29: Cho hàm số 4 2 53 2 2 xy x= − + (C). 1) Khảo sỏt và vẽ ủồ thị (C). 2) Gọi d là tiếp tuyến của (C) tại ủiểm cú hoành ủộ Mx a= . Cmr hoành ủộ cỏc giao ủiểm của (C) và d là nghiệm của phương trỡnh: 2 2 2( ) ( 2 3 6) 0x a x ax a− + + − = . GV: Nguyễn Tất Thu- Biờn Hũa Giải Tớch 3) Tỡm a ủể tiếp tuyến d cắt (C) tại hai ủiểm P, Q khỏc M. Tỡm quỹ tớch trung ủiểm K của PQ. Bài 30: Với giỏ trị nào của m thỡ tiếp tuyến của ủồ thị hàm số 24 3 4 mx xy x m + − = + tại ủiểm cú hoành ủộ x=0 vuụng gúc với tiệm cận xiờn của nú. Bài 31: Cho hàm số 3 23 3 5y x x x= + + + 1) Chứng minh rằng trờn ủồ thị khụng tồn tại hai ủiểm sao cho tiếp tuyến tại hai ủiểm ủú của ủồ thị vuụng gúc với nhau. 2) Tỡm k ủể cú ớt nhất một ủiểm mà tiếp tuyến tại ủú vuụng gúc với ủường thẳng y=kx. Bài 32: Cho hàm số 2 2x mx my x m − + = + . 1) Chứng minh rằng nếu ủồ thị hàm số cắt Ox tại ủiểm 0x x= thỡ hệ số gúc của tiếp tuyến tại ủú là: 0 0 2 2x mk x m − = + . 2) Tỡm tất cả cỏc giỏ trị của m ủể ủồ thị hàm số cắt Ox tại hai ủiểm và tiếp tuyến tại hai ủiểm ủú vuụng gúc với nhau. Bài 33: Tỡm m sao cho qua A(0;1) khụng cú tiếp tuyến nào kẻ ủến ủồ thị hàm số 22 1 x mx my x + + = + . Bài 34: Chứng tỏ rằng ủồ thị hàm số 2( 2) ( 2 4)m x m my x m − − − + = − luụn tiếp xỳc với hai ủường thẳng cố ủịnh.