Các phương pháp ước lượng hướng góc tới

Nghiên cứu khảo sát và ứng dụng anten trong thông tin vô tuyến Trang 218 Chương 8 Các phương pháp ước lượng hướng góc tới Chương 8 Các phương pháp ước lượng hướng góc tới Trong các vấn đề về kênh truyền dẫn đã thảo luận ở Chương 7, ta thấy rằng một nguồn tin có thể có nhiều đường truyền dẫn và nhiều góc tới khác nhau. Nếu nhiều máy phát hoạt động cùng lúc, thì mỗi nguồn tín hiệu có thể tạo ra một thành phần đa đường tại bộ thu. Do đó, cần phải ước lượng hướng góc tới để giải mã xem bộ phát nào đang hiện diện và vị trí góc khả dụng của chúng là vị trí nào. Có thể dùng các dữ kiện này để ước lượng hoặc liên kết các tín hiệu lại nhằm tăng độ tin cậy, loại bỏ nhiễu, hoặc cả hai. Ước lượng hướng góc tới (AOA) cũng được gọi là ước lượng phổ, ước lượng hướng đến (DOA), hoặc ước lượng phương hướng. Gần đây, người ta xem ước lượng phổ chính là khả năng có thể chọn ra các tín hiệu có tần số khác nhau từ một tập hợp nhiều tín hiệu. Khái niệm này đã được khai thác thêm để tăng số lượng tần sóng và để ước lượng AOA về sau. Ước lượng phương hướng là thuật ngữ được sử dụng thường hơn trong thông tin dò tìm dưới biển và là ước lượng hướng góc tới cho vấn đề về âm thanh. Mức độ phát triển của kỹ thuật ước lượng hướng góc tới ngày nay chính nó đã tạo ra nhiều nền tảng cho kỹ thuật phân tích chuỗi, phân tích phổ, đồ thị hàm số, phương pháp cấu trúc riêng, phương pháp tham số, phương pháp dự báo tuyến tính, định dạng búp sóng, xử lý mảng, và các phương pháp thích nghi mảng. Có thể tìm hiểu sâu hơn trong bài báo của Godara [1], phân tích phổ của Capon [2], tạp chí về ước lượng phổ của Johnson [3], bài viết về mọi khía cạnh anten của Van Trees [4] và một bài viết của Stoica and Moses [5]. Nghiên cứu khảo sát và ứng dụng anten trong thông tin vô tuyến Trang 219 Chương 8 Các phương pháp ước lượng hướng góc tới 8.1. Cơ sở về đại số ma trận Trước khi bắt đầu tìm hiểu về phương pháp ước lượng AOA, ta sẽ xem lại một số kiến thức cơ bản về đại số ma trận. Ta sẽ quy ước rằng vector là ký tự in thường có gạch ngắn trên đầu. Ví dụ ̅. Và ma trận là ký tự in hoa cũng có gạch ngắn trên đầu. Ví dụ ̅. 8.1.1. Một số kiến thức cơ bản về Vector Vetor Cột Vector ̅ có thể được ký hiệu là vector cột hoặc vector hàng. Nếu là vector cột hoặc ma trận 1 cột, ta sẽ có ̅ [ ] Vetor Hàng Nếu ̅ là vector hàng hoặc ma trận 1 hàng, ta sẽ có ̅ [ ] Vector chuyển vị Bất kỳ vector cột nào cũng được đổi thành vector hàng hoặc ngược lại như sau ̅ [ ] ̅ [ ] Vector chuyển vị Hermitian Chuyển vị Hermitian là chuyển vị kết hợp cho một vector và được ký hiệu là toán tử H. Chuyển vị Hermitian1 của vector ̅ và ̅ ở trên sẽ có dạng ̅ [ ] ̅ [ ] Vector tích trong Tích trong của một vector hàng với chính nó thường được mô tả như sau ̅ ̅ [ ] [ ] 1 Chuyển vị Hermitian còn được ký hiện là biểu tượng Nghiên cứu khảo sát và ứng dụng anten trong thông tin vô tuyến Trang 220 Chương 8 Các phương pháp ước lượng hướng góc tới Vector Vandermonde Là một vector M phần tử có dạng ̅ [ ] Ta thấy, vector lái mảng của biểu thức (4.8) là một vector Vandermonde. 8.1.2. Một số kiến thức cơ bản về ma trận Một ma trận M x N sẽ được mô tả như sau: ̅ [ ] Với M x N là kích thước hoặc bậc của ma trận. Định thức ma trận Định thức của một ma trận vuông có thể được xác định bằng khai triển Laplace như sau | ̅| | | ∑ ∑ Với là phần phụ đại số của phần tử và được định nghĩa như sau: ( ) và là thứ cấp của . Thứ cấp chính là định thức của ma trận khi đã bỏ đi hàng thứ i và cột thứ j. Nếu bất kỳ hai cột hay hàng nào của ma trận là đồng nhất, định thức sẽ bằng không. Toàn tử định thức trong MATLAB được thực hiện bằng lệnh det(A). Ví dụ 8.1 Tìm định thức của ma trận ̅ [ ] Giải Dùng các hệ số của hàng đầu tiên | ̅| ∑ . Ta có: | ̅| [ ] [ ] [ ] Nghiên cứu khảo sát và ứng dụng anten trong thông tin vô tuyến Trang 221 Chương 8 Các phương pháp ước lượng hướng góc tới Kết quả có thể được kiểm tra bằng hai dòng lệnh MATLAB: >> A = [ 1 2 0 ; 3 2 1 ; 5 1 -1 ]; >> det (A) ans = 13 Cộng ma trận Các ma trận có thể được cộng hoặc trừ nhau bằng cách cộng hoặc trừ từng phần tử tương ứng. Ta có: ̅ ̅ ̅ Nhân ma trận Điều kiện để nhân ma trận là số phần tử cột của ma trận đầu tiên phải bằng số phần tử hàng của ma trận thứ 2. Do đó một ma trận M x N có thể là tích của ma trận N x L với ma trận M x L. Tích này có dạng: ̅ ̅ ̅ ∑ Ví dụ 8.2 Nhân hai ma trận ̅ * + và ̅ * + Giải ̅ ̅ * + Có thể thực hiện bằng MATLAB bằng các lệnh sau: >> A = [ 1 -2 ; 3 4 ] ; >> B = [ 7 3 ; -1 5 ] ; >> A * B * + Ma trận đơn vị Ma trận đơn vị, ký hiệu là ,̅ được định nghĩa là một ma trận M x M có các một dọc theo đường chéo và các không ở vị trí còn lại ̅ | | Tích của một ma trận đơn vị ̅với bất kỳ ma trận vuông ̅ nào đều cho ra kết quả là ma trận ̅ như sau ̅ ̅ ̅ ̅ ̅. Ma trận đơn vị có thể được tạo ra bằng MATLAB bằng lệnh eye(M), lệnh này và sẽ tạo ra một ma trận đơn vị M x M. Vector gốc Đề Các Cột của ma trận đơn vị ̅được gọi là Vector gốc Đề Các. Vector gốc Đề Các được ký hiệu là ̅ ̅ ̅ trong đó ̅ [ ] , ̅ [ ] , …, ̅ [ ] . Do đó, ma trận đơn vị có thể được đĩnh nghĩa như sau: ̅ [ ̅ ̅ ̅ ]. Nghiên cứu khảo sát và ứng dụng anten trong thông tin vô tuyến Trang 222 Chương 8 Các phương pháp ước lượng hướng góc tới Trace ma trận Trace của một ma trận vuông là tổng của các phần tử đường chéo. Ta có ̅ ∑ Trong MATLAB, trace ma trận được biểu diễn bằng lệnh trace(A). Ma trận chuyển vị Chuyển vị của một ma trận là sự hoán đổi hàng và cột và được ký hiệu là ̅ . Chuyển vị của tích hai ma trận là tích của các chuyển vị ở thứ tự ngược lại: ̅ ̅ ̅ ̅ . Chuyển vị trong MATLAB được thự hiện bằng lệnh transpose(A) hoặc A.’. Ma trận chuyển vị Hermitian Chuyển vị Hermitian là chuyển vị ghép đôi các phần tử ma trận và được ký hiệu là ̅ . Chuyển vị Hermitian trong MATLAB được thực hiện bằng toán tử ctranspose(A) hoặc A’. Định thức của một ma trận cũng là định thức của chuyển vị của nó: | ̅| | ̅ |. Định thức của một ma trận là liên hợp của chuyển vị Hermitian của nó | ̅| | ̅ | . Chuyển vị Hermitian của tích hai ma trận là tích của các chuyển vị Hermitian ở thứ tự ngược lại ̅ ̅ ̅ ̅ . Đây là một đặc tính quan trọng và sẽ được dùng ở phần sau. Ma trận nghịch đảo Nghịch đảo của một ma trận được định nghĩa là ̅ ̅ ̅với ̅ là nghịch đảo của ̅. Ma trận ̅ khả nghịch khi | ̅| . Ta định nghĩa ma trận phần phụ đại số là ̅ ̅ [ | ̅ |] và ̅ là ma trận khi đã bỏ đi hàng i và cột j. Nghịch đảo của một ma trận trong MATLAB được thực hiện bằng lệnh inv(A). Một cách toán học, nghịch đảo ma trận sẽ có dạng ̅ ̅ | ̅| Ví dụ 8.3 Tìm nghịch đảo của ma trận ̅ * + Giải Đầu tiên ta tìm ma trận phần phụ đại số ̅ và định thức của ma trận ̅ ̅ * + | ̅| Nghịch đảo của ma trận ̅ như sau: ̅ * + * + Ta có thể dùng MATLAB để giải bài toán bằng cách dùng các lệnh sau: >> A = [1 3 ; -2 5] ; >> inv(A) Nghiên cứu khảo sát và ứng dụng anten trong thông tin vô tuyến Trang 223 Chương 8 Các phương pháp ước lượng hướng góc tới * + Trị riêng (eigenvalues) và vector đặc trưng (eigenvectors) của một ma trận. Trong tiếng Đức, từ eigen có nghĩa là riêng hoặc đặc trưng. Trị riêng của ma trận vuông ̅ bậc N là và thõa mãn điều kiện sau: | ̅ ̅| Định thức trên được gọi là định thức đặc tính, có vế phải là một đa thức bậc N như sau: | ̅ ̅| Mỗi trị riêng sẽ thõa mãn biểu thức (8.16). Nếu ma trận ̅ có N trị riêng riêng biệt , nó sẽ có N vector đặc trưng ̅ thõa mãn: ( ̅ ̅) ̅ Trong MATLAB, ta có thể tìm trị riêng và vector đặc trưng của một ma trận A bằng lệnh [EV,V] = eig(A). Vector đặc trưng là các cột của ma trận EV và trị riêng tương ứng là các phần tử đường chéo của ma trận V. Lệnh diag(V) tạo ra một vector các trị riêng dọc theo đường chéo của V Ví dụ 8.4 Dùng MATLAB để tìm trị riêng và vector đặc trưng của ma trận sau * + Giải >> A=[1 2 ; 3 5] ; >> [EV,V] = eig (A) ; >> EV EV = -0.8646 -0.361 0.5025 -0.9325 >> diag(V) ans = -0.1623 6.1623 Cột đầu tiên của EV là vector đặc trưng và trị riêng tương ứng là . Cột thứ 2 của EV là vector . Các lệnh cho vector và ma trận này sẽ giúp ta trong việc dùng MATLAB để giải các thuật toán ước lượng hướng góc tới AOA và sẽ được thảo luận ở mục 8.3. Nghiên cứu khảo sát và ứng dụng anten trong thông tin vô tuyến Trang 224 Chương 8 Các phương pháp ước lượng hướng góc tới 8.2. Ma trận tương quan mảng Các thuật toán AOA đều dựa theo ma trận tương quang mảng. Để hiểu về ma trận tương quan mảng, ta sẽ biểu diễn lại anten mảng, tín hiệu thu được, và nhiễu cộng như sau Hình 8.1 Các tín hiệu đến của anten mảng M phần tử. Hình 8.1 miêu tả một anten mảng thu và các tia tới có sóng dạng phẳng đến từ nhiều hướng khác nhau. Hình 8.1 cho thấy có D tín hiệu đến từ D hướng khác nhau. Chúng được thu bởi một anten mảng M phần tử và có M trọng số. Mỗi tín hiệu thu bao gồm nhiễu cộng, nhiễu trung bình không, nhiễu Gaussian. Thời gian được thể hiện bằng k. Khi đó, ngõ ra anten mảng y có dạng: ̅ ̅ Với ̅ [ ̅ ̅ ̅ ] [ ] ̅ ̅ ̅ ̅ Và ̅ [ ] các trọng số mảng ̅ vector các tín hiệu đến đơn sắc có dạng phức tại thời điểm ̅ vector nhiễu tại mỗi phần tử anten , trung bình không, phương sai ̅ Vector lái anten mảng M phần tử với là hướng góc tới. ̅ [ ̅ ̅ ̅ ] là ma trận các vector lái ̅ Do đó, mỗi trọng số của D tín hiệu phức đến với góc và bị chắn bởi M phần tử anten. Giả sử ban đầu tín hiệu đến là đơn sắc và số tín hiệu đến D < M. Ta hiểu rằng các tín hiệu đến trong từng thời gian khác nhau và do đó việc tín toán sẽ dựa trên các thời điểm nhất định của tín hiệu đến. Dễ thấy rằng nếu các máy phát đang Nghiên cứu khảo sát và ứng dụng anten trong thông tin vô tuyến Trang 225 Chương 8 Các phương pháp ước lượng hướng góc tới di chuyển, ma trận các vector lái sẽ thay đổi theo thời gian và các góc tới tương ứng sẽ thay đổi. Khi các điều kiện khác là không đổi, sự phuộc thuộc vào thời gian của tín hiệu sẽ được mô tả như biểu thức (8.19) và (8.20). Để đơn giản, ta sẽ đặt ma trận tương quan mảng M x M là ̅ [ ̅ ̅ ] [ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ] ̅ [ ̅ ̅ ] ̅ [ ̅ ̅ ] ̅ ̅ ̅ ̅ Với ̅ ma trận tương quan của tín hiệu nguồn ̅ ̅ ma trận tương quan của tín hiệu nhiễu ̅ ma trận đơn vị Ma trận tương quan mảng ̅ và ma trận tương quan mảng của tín hiệu nguồn ̅ được xác định bằng ̅ [ ̅ ̅ ] và ̅ [ ̅ ̅ ]. Nếu không biết các thông số chính xác của tín hiệu và nhiễu, ta có thể xấp xỉ tương ứng bằng cách dùng phương pháp tương quan trung bình theo thời gian. Trong trường hợp đó, các ma trận tương quan được xác định bằng ̂ ∑ ̅ ̅ ̂ ∑ ̅ ̅ ̂ ∑ ̅ Ta thấy rằng khi các tín hiệu không tương quan, thì ̅ phải là ma trận đường chéo bởi vì các phần tử ngoài đường chéo không có tính tương quan. Khi các tín hiệu tương qua từng phần, ̅ sẽ là ma trận không suy biến. Khi các tín hiệu ăn khớp nhau, ̅ trở thành ma trận suy biến vì có các hàng được kết hợp tuyến tính với nhau [5]. Ma trận vector lái, ̅, là một ma trận M x D trong đó các cột sẽ khác nhau. Cấu trúc của chúng là Vandermonde và do đó các cột là độc lập [6, 7]. Thường thì ma trận tương quan mảng được gọi là ma trận hiệp biến. Điều này chỉ xảy ra khi các giá trị trung bình của tín hiệu và nhiễu là không. Trong trường hợp đó, các ma trận tương quan và hiệp biến là như nhau. Giá trị trung bình của tín hiệu đến nhất thiết phải bằng không vì các anten không nhận được tín hiệu d.c. Bản thân tín hiệu nhiễu trong bộ thu có hoặc không có trung bình bằng không là tùy thuộc vào nguồn của nhiễu máy thu. Còn nhiều thông tin hữu ích để tìm hiểu về trị riêng và đặc trưng của ma trận tương quan mảng này. Có thể tham khảo ở Godara [1]. Cho một anten mảng M phần tử với D tín hiệu băng hẹp và tín hiệu nhiễu không tương quan, ta có thể giả sử gán các thuộc tính cho ma trận tương quan. Đầu tiên, ̅ là ma trận Hermitian M x M và sẽ bằng với ma trận chuyển vị liên hiệp phức như sau: ̅ ̅ . Ma trận tương quan mảng có M trị riêng ứng với M vector đặc trưng tương ứng ̅ [ ̅ ̅ ̅ ]. Nếu các trị riêng được sắp xếp từ nhỏ tới lớn, ta có thể chia ma trận ̅ thành hai không gian vector con như sau: ̅ [ ̅ ̅ ]. Không gian con thứ nhất ̅ được gọi là không gian con nhiễu và nó bao gồn M – D vector đặc Nghiên cứu khảo sát và ứng dụng anten trong thông tin vô tuyến Trang 226 Chương 8 Các phương pháp ước lượng hướng góc tới trưng tương ứng với tín hiệu nhiễu. Đối với tín hiệu nhiễu không tương quan, các trị riêng của nó là: . Trị riêng thứ hai ̅ được gọi là không gian con tín hiệu bao gồm D vector đặc trưng tương ứng với tín hiệu đến. Không gian con của tín hiệu nhiễu là một ma trận M x (M - D). Không gian con của tín hiệu là một ma trận M x D. Mục tiêu của các kỹ thuật ước lượng hướng góc tới là để xác định một hàm dùng để chỉ định hướng góc tới dựa trên các góc cực đại. Hàm này thường được gọi là hàm phổ giả và có đơn vị là năng lượng hoặt watts (hoặc số lần năng lượng hoặc watts bình phương). Có nhiều cách để xác định phổ giả thông qua quá trình định dạng búp sóng, ma trận tương quan mảng, quá trình phân tích trị riêng, đặc trưng, maximum likelihood, tiêu chuẩn nhỏ nhất (Min-norm), MUSIC, root- MUSIC, và nhiều phương pháp khác nhưng không đề cập trong chương này. Có thể tìm hiểu thêm trong Stoica and Moses [5] và Van Trees [4]. Ta sẽ tổng kết lại một vài bài toán phổ giả thông dụng ở phần kế tiếp này. 8.3. Các phương pháp ước lượng AOA 8.3.1. Ước lượng AOA Bartlett Nếu anten mảng có trọng số đều, ta có thể xác định ước lượng AOA Bartlett [8] như sau: ̅ ̅ ̅ Phương pháp ước lượng AOA Bartlett có đồ thị hàm số dạng không gian và là phương pháp ước lượng AOA có quá trình định dạng búp sóng. Với các điều kiện mà tại đó ̅ tượng trưng cho các tín hiệu đơn sắc không tương quan và không có nhiễu hệ thống, biểu thức (8.22) tương đương với biểu thức sau: |∑∑ | Do đó, đồ thị hàm số này sẽ tương đương với biến đổi Fourier có không gian hữu hạn của tất cả tín hiệu đến. Việc này cũng tương ứng với việc cộng tất cả hàm hệ số sắp xếp lái búp với mỗi góc đến hay việc tìm ra giá trị bình phương tuyệt đối. Ví dụ 8.5 Dùng MATLAB để vẽ phổ giả dùng ước lượng Bartlett cho anten mảng M = 6 phần tử. Với khoảng cách các phần tử là , các nguồn tín hiệu có cùng độ lớn và không tương quan, , , và hai cặp góc đến và , giả sử có tính ergodic. Giải Từ dữ kiện trên, ta tìm được: ̅ * + ̅ [ ] ̅ [ ̅ ̅ ] ̅ * + Nghiên cứu khảo sát và ứng dụng anten trong thông tin vô tuyến Trang 227 Chương 8 Các phương pháp ước lượng hướng góc tới Áp dụng biểu thức (8.21), ta có thể tìm ̅ . Thế ̅ vào biểu thức (8.22) và sử dụng MATLAB, ta có thể vẽ phổ giả như Hình 8.2a và b. (a) (b) Hình 8.2 (a) Phổ giả Bartlett với . (b) Phổ giả Bartlett với Nhắc lại độ rộng búp sóng nửa công suất của một anten mảng tuyến tính ở Chương 4, biểu thức (4.21), qua đó ta có thể ước lượng độ rộng búp sóng của anten Nghiên cứu khảo sát và ứng dụng anten trong thông tin vô tuyến Trang 228 Chương 8 Các phương pháp ước lượng hướng góc tới mảng M = 6 phần tử này sẽ . Nếu hai nguồn tín hiệu nếu cách nhau khoảng thì mới có thể giải bằng phương pháp Bartlett. Hai nguồn tín hiệu cách nhau thì không thể giải bằng phương pháp này. Do đó, Herein đã đặt ra các giới hạn của phương pháp xấp xỉ Barlett khi dùng để ước lượng hướng góc tới là: các góc có thể dùng được phải nằm trong giới hạn của độ rộng búp sóng nửa công suất. Muốn tăng độ phân giải thì phải có một anten mảng lớn hơn. Đối với anten mảng có độ dài lớn với khoảng cách , độ phân giải hướng góc tới sẽ xấp xỉ 1/M. Do đó, 1/M là giới hạn phân giải hướng góc đến của một phổ giả, và trường hợp trên là một ví dụ về độ phân giải của phương pháp Bartlett. Cần chú ý rằng khi hai bộ phát được tách biệt với một góc rộng hơn độ phân giải của anten mảng, thì ta vẫn giải được bài toán đó nhưng cần phải xê dịch cho nó. Sự xê dịch này sẽ tạo ra các giá trị đỉnh để làm lệch khỏi hướng góc tới thực tế. Và nó giảm một cách tiệm cận khi độ dài của anten mảng tăng. 8.3.2. Ước lượng AOA Capon Ước lượng AOA Capon [2, 4] được gọi là đáp ứng không biến dạng có phương sai nhỏ nhất (MVDR). Nó còn được xem như phương pháp ước lượng maximum likelihood khi ước lượng công suất đến từ một hướng và xem tất cả các nguồn tín hiệu còn lại là nhiễu. Do đó, mục tiêu chính là tối đa hóa tỉ số tín hiệu trên nhiễu (SIR) khi cho tín hiệu mong muốn đi qua không méo về biên độ và pha. Giả sử ma trân tương quan của tín hiệu nguồn ̅ là ma trận đường chéo. Tỉ số SIR tối đa này đạt được khi có một tập hợp các trọng số mảng ̅ [ ] như Hình 8.1 như sau ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ Với ̅ là ma trận tương quan mảng không có trọng số. Thế các trọng số của biểu thức (8.24) vào anten mảng của hình (8.1), ta có phổ giả như sau ̅ ̅ ̅ Ví dụ 8.6 Dùng MATLAB để vẽ phổ giả sử dụng ước lượng Capon cho anten mảng M = 6 phần tử. Với khoảng cách các phần tử là , các nguồn tín hiệu có cùng độ lớn và không tương quan, , , và cặp góc đến , giả sử có tính ergodic Giải Ta có thể dùng lại ma trận tương quan mảng của Ví dụ 8.5. Dùng MATLAB, ta vẽ được Hình 8.3 Dễ thấy là ước lượng AOA Capon có độ phân giải lớn hơn ước lượng AOA Barlett. Trong trường hợp các nguồn tin cạnh nhau có tính tương quan cao, độ Nghiên cứu khảo sát và ứng dụng anten trong thông tin vô tuyến Trang 229 Chương 8 Các phương pháp ước lượng hướng góc tới phân giải Capon thật ra còn trở nên tệ hơn. Việc tìm ra các trọng số Capon là trong điều kiện xem như các nguồn tín hiệu khác là nhiễu. Trường hợp có nhiều tín hiệu có thể coi là các tín hiệu đa đường có biên độ Rayleigh và pha đều, khi đó điều kiện không tương quan sẽ xảy ra và ta sẽ cần đến ước lượng Capon này. Thuận lợi của phương pháp ước lượng Capon và Bartlett là chúng không có tham số và không cần phải biết về các thông số thuộc tính đặc trưng. Hình 8.3 Phổ giả Capon (ML) với . 8.3.3. Ước lượng AOA dự báo tuyến tính Mục tiêu của phương pháp dự báo tuyến tính là để giảm sai số dự đoán giữa ngõ ra của cảm biến thứ m và ngõ ra thực tế [3, 9]. Mục tiêu của ta là tìm ra các trọng số nào làm giảm sai số tiên đoán bình phương trung bình. Tương tự như ở biểu thức (8.24), ta có thể tìm các trọng số bằng biểu thức ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ Với ̅ là vector cơ sở Cartesian có được từ cột thứ m của ma trận đơn vị M x M. ̅ ̅ ̅ | ̅ ̅ ̅ | Việc chọn cột thứ m nào để dự đoán là ngẫu nhiên, mặc dù nó có thể ảnh hưởng nhiều tới kết quả sau cùng. Nếu chọn phần tử trung tâm của anten mảng, thì việc kết Nghiên cứu khảo sát và ứng dụng anten trong thông tin vô tuyến Trang 230 Chương 8 Các phương pháp ước lượng hướng góc tới nối tuyến tính của các phần tử cảm biến còn lại có thể cho ra một ước lượng tốt hơn vì các phần tử anten mảng khác cách nhau khoảng bằng với pha của phần tử tâm của anten mảng [3]. Anten mảng lẻ có thể cho kết quả tốt hơn các anten mảng chẵn vì phần tử trung tâm sẽ là pha trung tâm của anten mảng. Kỹ thuật dự báo tuyến tính thỉnh thoảng được gọi là kỹ thuật tự hồi quy [4]. Người ta chứng minh được rằng các đỉnh của phổ khi dùng phương pháp dự báo tuyến tính thì tỉ lệ với bình phương công suất [3]. Có thể chứng minh điều này bằng ví dụ 8.7 sau Ví dụ 8.7 Dùng MATLAB để vẽ phổ giả sử dụng ước lượng dự báo tuyến tính cho anten mảng M = 6 phần tử. Với khoảng cách các phần tử là , các nguồn tín hiệu có cùng độ lớn và không tương quan, , , và cặp góc đến , chọn phần tử thứ 3 của anten mảng làm phần tử quy chiếu, khi đó vector cơ sở Cartesian là ̅ [ ] . Giả sử có tính ergodic Giải Phổ giả được tính bằng công thức ̅ ̅ ̅ | ̅ ̅ ̅ | và có hình vẽ như hình 8.4. Dễ thấy rằng trong các điều kiện này, phương pháp dự đoán tuyến tính cho hiệu quả cao hơn cả ước lượng Bartlett và Capon. Tính hiệu quả đó là phụ thuộc vào phần tử anten mảng nào được chọn và không gian vector con ̅ . Nếu ta chọn các tín hiệu đến có biên độ khác nhau, thì các giá trị đỉnh của phổ dự đoán tuyến tính này sẽ tỉ lệ nghịch với cường độ tín hiệu đến. Do đó, phương pháp dự đoán tuyến tính không chỉ cung cấp thông tin về hướng góc đến mà còn có thông tin về cường độ tín hiệu. Hình 8.4 Phổ giả dự đoán tuyến tính với Nghiên cứu khảo sát và ứng dụng anten trong thông tin vô tuyến Trang 231 Chương 8 Các phương pháp ước lượng hướng góc tới 8.3.4. Ước lượng AOA entropy cực đại Phương pháp entropy cực đại được tìm ra bởi Burg [10, 11]. Có thể tìm hiểu thêm ở [1, 12]. Mục tiêu của ta là tìm ra phổ giả nào làm tối đa hàm entropy theo các điều kiện ràng buộc. Phổ giả có dạng ̅ ̅ ̅ ̅ Với ̅ là cột thứ j của ma trận nghịch đảo tương quan mảng ̅ . Ví dụ 8.8 Dùng MATLAB để vẽ phổ giả sử dụng phương pháp ước lượng AOA entropy cực đại cho anten mảng M = 6 phần tử. Với khoảng cách các phần tử là , các nguồn tín hiệu có cùng độ lớn và không tương quan, , , và cặp góc đến , chọn cột thứ 3 ̅ của ma trận tương quan mảng để thõa mãn biểu thức (8.28). Giả sử có tính ergodic Giải Phổ giả có hình vẽ như Hình 8.5. Chú ý rằng trong phương pháp entropy cực đại, khi ta chọn cột ̅ từ ma trận ̅ , sẽ cho ra cùng một phổ giả như phương pháp dự đoán tuyến tính. Việc chọn ̅ có thể ảnh hưởng nhiều đến kết quả thu được. Các cột ở giữa của ma trận tương quan mảng nghịch đảo có xu hướng cho ra kết quả tốt hơn với các điều kiện đã giả sử trong chương này. Hình 8.5 Phổ giả entropy cực đại với . Nghiên cứu khảo sát và ứng dụng anten trong thông tin vô tuyến Trang 232 Chương 8 Các phương pháp ước lượng hướng góc tới 8.3.5. Ước lượng AOA phân tích hài Pisarenko Ước lượng AOA phân tích hài Pisarenko (PHD) được đặt tên theo một nhà toán học người Nga đã nghĩ ra phương pháp sai số bình phương trung bình bé nhất này [13, 14]. Mục tiêu của phương pháp này là tối thiểu sai số bình phương trung bình của ngõ ra anten mảng với điều kiện ràng buộc rằng chuẩn của vector trọng số phải là đơn nhất. Vector đặc trưng dùng để tối thiểu sai số bình phương trung bình này sẽ phù hợp với trị riêng nhỏ nhất. Đối với anten mảng M = 6 phần tử, 2 tín hiệu đến, sẽ có 2 vector đặc trưng liên quan với tín hiệu và có 4 vector đặc trưng liên quan với nhiễu. Phổ giả PHD sẽ có dạng như biểu thức (8.29) | ̅ ̅ | Với ̅ là vector đặc trưng liên quan với trị riêng nhỏ nhất . Ví dụ 8.9 Dùng MATLAB để vẽ phổ giả sử dụng phương pháp ước lượng Pisarenko Harmonic Decomposition cho anten mảng M = 6 phần tử. Với khoảng cách các phần tử là , các nguồn tín hiệu có cùng độ lớn và không tương quan, , , và cặp góc đến . Chọn vector đặc trưng nhiễu đầu tiên để tính phổ giả. Giải Sau khi tìm ra ma trận tương quan mảng, ta có thể dùng lệnh eig() trong MATLAB để tìm ra các vector đặc trưng và các trị riêng tương ứng. Các trị riêng tìm được: , , . Vector đặc trưng đầu tiên có liên quan tới : ̅ [ ] Thế vector đặc trưng vào biểu thức (8.29), ta vẽ được Hình 8.6 Các giá trị đỉnh Pisarenko không phải chỉ biên độ của tín hiệu. Các đỉnh này là các gốc của đa thức ở mẫu số của biểu thức (8.29). Dễ thấy rằng, bài toán Pisarenko cho ra độ phân giải tốt nhất. Nghiên cứu khảo sát và ứng dụng anten trong thông tin vô tuyến Trang 233 Chương 8 Các phương pháp ước lượng hướng góc tới Hình 8.6 Phổ giả Phân tích Hài Pisarenko với . 8.3.6. Ước lượng AOA chuẩn bé nhất (Min-norm) Phương pháp chuẩn bé nhất được phát triển bởi Reddi [15] và Kumaresan và Tufts [16]. Phương pháp này cũng được giải thích rõ ràng bởi Ermolaev và Gershman [17]. Phương pháp chuẩn bé nhất chỉ thích hợp cho các anten mảng tuyến tính đồng dạng (ULA). Thuật toán chuẩn bé nhất tối ưu trọng số vector bằng cách giải quyết bài toán tối ưu với: ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ Trong đó: ̅ các trọng số anten mảng ̅ không gian con của D vector đặc trưng [ ̅ ̅ ̅ ] số phần tử anten mảng Số tín hiệu đến ̅ Vector cơ sở Cartesian (cột đầu tiên của ma trận đơn vị M x M) [ ] Giải theo tính tối ưu sẽ cho ra phổ giả chuẩn bé nhất. ̅ ̅ ̅ ̅ | ̅ ̅ ̅ ̅ | Với ̅ Không gian con của các vector đặc trưng của tín hiệu nhiễu M – D [ ̅ ̅ ̅ ] ̅ vector lái mảng Nghiên cứu khảo sát và ứng dụng anten trong thông tin vô tuyến Trang 234 Chương 8 Các phương pháp ước lượng hướng góc tới Vì tử số trong biểu thức (8.31) là một hằng số, ta có thể chuẩn hóa phổ giả như sau: | ̅ ̅ ̅ ̅ | Ví dụ 8.10 Dùng MATLAB để vẽ phổ giả sử dụng phương pháp ước lượng AOA chuẩn bé nhất cho anten mảng M = 6 phần tử. Với khoảng cách các phần tử là , các nguồn tín hiệu có cùng độ lớn và không tương quan, , , và cặp góc đến . Sử dụng tất cả vector đặc trưng của tín hiệu nhiễu đễ tạo ra không gian con nhiễu ̅ . Giải Sau khi tìm ra ma trận tương quan mảng, ta có thể dùng lệnh eig() trong MATLAB để tìm ra các vector đặc trưng và các trị riêng tương ứng. Các trị riêng này chia thành 2 nhóm. Có các vector đặc trưng liên quan với trị riêng của tín hiệu nhiễu: . Có các vector đặc trưng liên quan tới trị riêng của tín hiệu nguồn và . Không gian con tạo bởi vector đặc trưng của tín hiệu nhiễu như sau: ̅ [ ] Áp kết quả nảy vào biểu thức (8.32), ta có thể vẽ được phổ góc như Hình 8.7 Hình 8.7 Phổ giả chuẩn bé nhất (Min-norm) với . Nghiên cứu khảo sát và ứng dụng anten trong thông tin vô tuyến Trang 235 Chương 8 Các phương pháp ước lượng hướng góc tới Chú ý rằng phổ giả từ phương pháp chuẩn nhỏ nhất hầu như đồng nhất với phổ giả PHD. Phương pháp chuẩn bé nhất này kết hợp tất cả vector đặc trưng của tín hiệu nhiễu lại trong khi phương pháp PHD chỉ dùng vector đặc trưng của tín hiệu nhiễu đầu tiên. 8.3.7. Ước lượng AOA MUSIC MUSIC là viết tắt của MUltiple SIgnal Classification. Phương pháp này đầu tiên được đặt ra bởi Schmidt [18] và là một phương pháp cấu trúc riêng có độ phân giải cao và phổ biến. MUSIC tạo ra các ước lượng không lệch cho nhiều tín hiệu, nhiều góc tới, và nhiều dạng sóng có độ lớn cao. Thuật toán MUSIC giả định rằng nhiễu ở mỗi kênh là không tương quan và tạo ra ma trận đường chéo tương quan của tín hiệu nhiễu. Theo một cách nào đó mà các tín hiệu đến này có thể tương quan và tạo ra một ma trận tương quan ngoài đường chéo của tín hiệu. Tuy nhiên, nếu sự tương quan tín hiệu cao thì thuật toán MUSIC truyền thống sẽ vô dụng và cần phương pháp khác để khắc khục điểm yếu này. Các phương pháp đó sẽ được thảo luận ở phần sau của chương này. Ta phải biết trước số lượng tín hiệu đến hoặc phải tìm các trị riêng để xác định số lượng tín hiệu đến. Nếu số lượng tín hiệu là D, thì số lượng trị riêng và vector đặc trưng của tín hiệu là D, còn số lượng trị riêng và vector đặc trưng của tín hiệu nhiễu là M – D (M là số phần tử anten mảng). Vì MUSIC khai thác không gian con vector đặc trưng của tín hiệu nhiễu, nên đôi khi còn được gọi là phương pháp không gian con. Tương tự như phần trước, ta sẽ tính ma trận tương quan mảng, giả sử tín hiệu nhiễu không tương quan và có phương sai bằng nhau. ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ Kế đó, tìm các trị riêng và vector đặc trưng cho ma trận ̅ . Sau đó tạo ra D vector đặc trưng tương ứng với tín hiệu và M – D vector đặc trưng tương ứng với nhiễu. Ta chọn các vector đặc trưng nào tương ứng với các trị riêng nhỏ nhất. Đối với các tín hiệu không tương quan, trị riêng nhỏ nhất sẽ bằng với phương sai của tín hiệu nhiễu. Ta có thể tạo ra không gian con có kích thức M x (M – D) ghép bởi các vector đặc trưng của tín hiệu nhiễu như sau: ̅ [ ̅ ̅ ̅ ] Các vector đặc trưng không gian con của tín hiệu nhiễu sẽ trực giao với các vector lái mảng với góc đến . Vì điều kiện trực giao này, ta có thể suy ra khoảng cách Euclidean ̅ ̅ ̅ ̅ từ mỗi góc đến tới các góc đến còn lại . Thế các giá trị khoảng cách này vào tử số ta sẽ có được đỉnh nhọn tại mỗi góc đến. Khi đó, phổ giả của MUSIC sẽ bằng Nghiên cứu khảo sát và ứng dụng anten trong thông tin vô tuyến Trang 236 Chương 8 Các phương pháp ước lượng hướng góc tới | ̅ ̅ ̅ ̅ | Ví dụ 8.11 Dùng MATLAB để vẽ phổ giả sử dụng phương pháp ước lượng AOA MUSIC cho anten mảng M = 6 phần tử. Với khoảng cách các phần tử là , các nguồn tín hiệu có cùng độ lớn và không tương quan, , , và cặp góc đến . Sử dụng tất cả vector đặc trưng của tín hiệu nhiễu để tạo ra không gian con nhiễu ̅ Giải Sau khi tìm ra ma trận tương quan mảng, ta có thể dùng lệnh eig() trong MATLAB để tìm ra các vector đặc trưng và các trị riêng tương ứng. Các trị riêng tìm được: , , và . Trong MATLAB, các trị riêng và vector đặc trưng có thể được sắp xếp từ nhỏ nhất tới lớn nhất bằng lệnh: [V,Dia] = eig(Rxx) ; [Y,Index] = sort(diag(Dia)) ; EN = V(:,Index(1:M-D)) ; Hình 8.8 Phổ giả MUSIC với . Một lần nữa, không gian con được tạo bởi vector đặc trưng cho tín hiệu nhiễu như sau: Nghiên cứu khảo sát và ứng dụng anten trong thông tin vô tuyến Trang 237 Chương 8 Các phương pháp ước lượng hướng góc tới ̅ [ ] Áp kết quả này vào biểu thức (8.35), ta có thể vẽ được phổ góc như Hình 8.8 Theo các điều kiện đã biết cho khai triển hài Pisarenko, phương pháp chuẩn nhỏ nhất, và phương pháp MUSIC, thì các bài toán điều có cùng cách giải. Nên biết rằng ở tất cả các ví dụ đã thảo luận ở phần trước, ta đều giả định rằng ma trận tương quan mảng có dạng như biểu thức (8.33), rằng phương sai nhiễu đối với tất cả phần tử là đồng nhất, và rằng các tín hiệu khác nhau là hoàn toàn không tương quan. Trong trường hợp mà ma trận tương quan của tín hiệu nguồn không phải là ma trận đường chéo, hoặc các phương sai của nhiễu biến thiên, thì các đồ thị có thể thay đổi nhiều và độ phân giải sẽ giảm. Trong các ứng dụng thực tế, ta cần thu vài mẫu theo thời gian của tín hiệu thu có nhiễu, giả sử có tính ergodicity, và ước lượng các ma trận tương quan thông qua việc lấy trung bình theo thời gian. Ta có thể lặp lại biểu thức (8.33) mà không cần giả định rằng đã biết được các thông số của tín hiệu ̂ [ ̅ ̅ ] ∑ ̅ ̅ ̅ ̂ ̅ ̅ ̂ ̂ ̅ ̂ Với ̂ ∑ ̅ ̅ ̂ ∑ ̅ ̅ ̂ ∑ ̅ ̅ ̂ ∑ ̅ ̅ Ví dụ 8.12 Dùng MATLAB để vẽ phổ giả sử dụng phương pháp ước lượng AOA MUSIC cho anten mảng M = 6 phần tử. Với khoảng cách các phần tử là , cặp góc đến . Giả định rằng các tín hiệu Walshlike nhị phân có biên độ là 1, nhưng chỉ có K mẫu tín hiệu hữu hạn. Giải sử rằng nhiễu phân bố Gaussian là nhưng chỉ có K mẫu tín hiệu nhiễu hữu hạn. Và cũng giả sử rằng quá trình có tính ergodic và thu được mẫu theo thời gian của tín hiệu như sau và nhiễu là . Tính tất cả ma trận tương qua thông qua việc trung bình theo thời gian như định nghĩa ở biểu thức (8.36). Có thể thực hiện việc này bằng MATLAB bằng các lệnh Nghiên cứu khảo sát và ứng dụng anten trong thông tin vô tuyến Trang 238 Chương 8 Các phương pháp ước lượng hướng góc tới . Giả sử cặp góc đến là . Dùng tất cả vector đặc trưng để tạo không gian con nhiễu ̅ và tìm phổ giả. (Quan trọng: MATLAB sẽ không sắp xếp các trị riêng từ nhỏ tới lớn, vì thế ta phải sắp xếp chúng trước khi chọn các vector đặc trưng nhiễu xấp xỉ). Phương pháp sắp xếp được chỉ ra ở ví dụ trước. Không gian con của tín hiệu nhiễu sẽ được tính bằng . Mã MATLAB cho ví dụ này sẽ chứng minh được quá trình sắp xếp đó). Giải Ta có thể tạo ra 100 mẫu theo thời gian của tín hiệu và nhiễu như đã chỉ định trước đó. Sau khi tìm ra ma trận tương quan mảng ̂ , ta có thể dùng lệnh eig() trong MATLLAB để tìm ra các vector đặc trưng và các trị riêng tương ứng. Các trị riêng này như sau: . Áp kết quả này vào biểu thức (8.35), ta có thể vẽ được phổ góc như Hình 8.9. Thông qua ví dụ cuối cùng này, ta dễ thấy rằng độ phân giải của thuật toán MUSIC bắt đầu hẹp lại vì ta cần ước lượng các ma trận tương quan bằng các trung bình theo thời gian để có: ̂ ̅ ̂ ̅ ̅ ̂ ̂ ̅ ̂ . Hình 8.9 Phổ giả MUSIC sử dụng các trung bình theo thời gian với . Nghiên cứu khảo sát và ứng dụng anten trong thông tin vô tuyến Trang 239 Chương 8 Các phương pháp ước lượng hướng góc tới 8.3.8. Ước lượng AOA Root-MUSIC Nhìn chung thuật toán MUSIC có thể áp dụng cho bất kỳ anten mảng bất kỳ nào mà không cần quan tâm đến vị trí các phần tử của nó. Thuật toán Root-MUSIC ngụ ý là sẽ thu hẹp lại thuật toán MUSIC để tìm ra các gốc của một đa thức ngược với việc chỉ đơn thuần vẽ phổ giả hoặc tìm các đỉnh trong phổ giả. Barabell [12] đã đơn giản hóa thuật toán MUSIC cho trường hợp mà anten là một ULA. Nhắc lại rằng phổ giả MUSIC có dạng: | ̅ ̅ ̅ ̅ | Ta có thể đơn giản hóa biểu thức ở mẫu số bằng cách đặt ̅ ̅ ̅ , và ̅ là Hermitian. Khi đó ta có biểu thức root-MUSIC: | ̅ ̅ ̅ | Nếu ta có một ULA, phần tử thứ m của vector lái mảng sẽ có dạng: Argument của mẫu số trong biểu thức (8.38) có thể được viết như sau: ̅ ̅ ̅ ∑∑ ∑ Với là tổng các phần tử đường chéo của ma trận ̅ dọc theo đường chéo thứ ∑ Chú ý rằng ma trận ̅ có các tổng ngoại chéo | | với . Do đó tổng của các phần tử ngoại chéo luôn nhỏ hơn các phần tử đường chéo chính. Mặt khác, . Đối với một ma trận 6 x 6, ta sẽ có 11 đường chéo sắp xếp theo các số đường chéo . Đường chéo nằm ngoài cùng bên trái là trong khi đường chéo ngoài cùng bên phải là . Các hệ số được tính như sau , , , tương tự cho các hệ số còn lại. Ta có thể đơn giản hóa biểu thức (8.40) để tạo ra một đa thức có các hệ số là : ∑ Với Nghiên cứu khảo sát và ứng dụng anten trong thông tin vô tuyến Trang 240 Chương 8 Các phương pháp ước lượng hướng góc tới Các gốc của nằm gần vòng tròn đơn vị nhất sẽ phù hợp với các cực của phổ giả MUSIC. Do đó, kỹ thuật này được gọi là Root-MUSIC. Đa thức của biểu thức (8.42) có bậc 2(M – 1) và do đó có các gốc là . Mỗi gốc có thể là một số phức và ta có thể viết lại bằng ký hiệu cực như sau: | | Với là góc pha của . Các không trong sẽ tồn tại khi độ lớn của các gốc | | . Ta có thể tính được hướng góc đến AOA bằng cách so sánh với , ta được: ( ) Ví dụ 8.13 Lặp lại ví dụ 8.12 bằng cách thay đổi phương sai nhiễu thành . Thay đổi góc đến thành và . Anten mảng giảm còn M = 4 phần tử. Xấp xỉ các ma trận tương quan bằng các trung bình theo thời gian qua K = 300 điểm dữ liệu. So sánh đồ thị phổ giả với các gốc của thuật toán root-MUSIC. Giải Ta có thể chỉnh sửa chương trình MALAB để anten mảng 4 phần tử này tạo ra ma trận ̅ 4 x 4 như đã định nghĩa trước đó như sau: ̅ [ ] Các hệ số đa thức root –MUSIC được tính bằng các tổng các phần tử dọc theo các đường chéo 2M – 1 như sau: Ta có thể dùng lệnh root trong MATLAB để tìm ra các gốc và sau đó tìm biên độ và góc của 2(M – 1) = 6 gốc. Ta có thể vẽ vị trí của tất cả 6 gốc này để thấy các gốc nào là gần với đường tròn đơn vị nhất như Hình 8.10. Dễ thấy là chỉ 4 gốc ở phía phải trục y là gần với đường tròn đơn vị nhất và gần với các góc đến mong muốn. Ta có thể chọn 4 gốc gần đường tròn đơn vị nhất và vẽ lại chúng theo phổ giả MUSIC như Hình 8.11. Các gốc tìm ra bằng thuật toán root-MUSIC trước đó không phản ánh chính xác được vị trí góc đến của và nhưng chúng thực sự chỉ được 2 góc đến. Chính các gốc này cho thấy sự tồn tại của một góc đến gần mà ta không thấy được từ đồ thị phổ giả MUSIC. Sai số của việc định vị các vị trí gốc chính xác là do trong thực tế các tín hiệu đến tương quan từng phầ, và rằng tỉ số S/N tương đối Nghiên cứu khảo sát và ứng dụng anten trong thông tin vô tuyến Trang 241 Chương 8 Các phương pháp ước lượng hướng góc tới thấp. Ta có thể áp dụng cẩn thận thuật toán root-MUSIC bằng cách tìm cách nào đó mà biết được các giả định hay các điều kiện vào bài toán. Chú ý rằng đa thức là một đa thức tự nghịch đảo . Các gốc của đa thức được nghịch đảo theo cặp nghĩa là . Hình 8.10 Tất cả 6 gốc trong hệ toạn độ Đề Các. Nghiên cứu khảo sát và ứng dụng anten trong thông tin vô tuyến Trang 242 Chương 8 Các phương pháp ước lượng hướng góc tới Hình 8.11 Phổ giả MUSIC và các gốc khi dùng thuật toán MUSIC với Do tính đối xứng tự nghịch đảo của , ta có thể rút gọn bằng cách dùng phương pháp Fejér: ( ) Theo các điều kiện này thì đã đủ để tìm được các gốc của đa thức bậc . Các gốc của là nằm trên hoặc trong đường tròn đơn vị trong khi các gốc của ( ) hoặc này trên hoặc ngoài đường tròn đơn vị. Một phương pháp được đề nghị bởi Ren và Willis [19] nhằm giảm bặc của đa thức và do đó giảm bớt việc tính toán để tìm ra gốc. Phương pháp tìm gốc bằng đa thức cũng có thể được áp dụng vào thuật toán Capon khi ta thế ̅ ̂ vào ̅ ̅ ̅ . Tuy nhiên, vì độ chính xác của thuật toán ước lượng Capon thì ít hơn nhiều so với của MUSIC, việc tìm gốc cũng chịu một tổn hao trong vấn đề chính xác. Các nguyên lý đã áp dụng trong root-MUSIC cũng có thể được áp dụng vào phương pháp chuẩn bé nhất (Min-Norm) để tạo ra bài toán root-Min-Norm. Ta sẽ ghi lại biểu thức (8.32) như sau: | ̅ ̅ ̅ | Với ̅ Vector cơ sở Cartesian (là cột đầu tiên của ma trận đơn vị M x M) [ ] Nghiên cứu khảo sát và ứng dụng anten trong thông tin vô tuyến Trang 243 Chương 8 Các phương pháp ước lượng hướng góc tới ̅ ̅ ̅ ma trận Hermitian M x M ̅ Không gian con của M – D vector đặc trưng của tín hiệu nhiễu ̅ vector lái mảng Tích của vector cơ sở Cartesian và ma trận Hermitian cho ra kết quả là tạo ra một vector cột là đầu tiên của ma trận ̅. Vector cột dựa trên cột đầu tiên của ̅ sẽ thành ̅ [ ] với số 1 ở dưới là chỉ thị cột đầu tiên. Ta có thể thế nó và biểu thức (8.46). | ̅ ̅| ̅ ̅ ̅ ̅ Trong một mẫu tương tự Biểu thức (8.42), ta có thể tạo ra một đa thức từ mẫu số của biểu thức (8.47) như sau: ∑ Các hệ số là tổng của 2M – 1 đường chéo của ma trận ̅ ̅ . Ví dụ 8.14 Áp dụng phương pháp root-MUSIC vào phương pháp chuẩn bé nhất với , , và M = 4. Tạo ra các ma trận tương quan bằng các trung bình thời gian với K = 300 điểm dữ liệu như đã làm ở ví dụ 8.12. So sánh các đồ thị phổ giả chuẩn bé nhất và các gốc của thuật toán noot-Min- Norm. Giải Cột đầu tiên của ma trận ̅ có dạng: ̅ [ ] Ta có thể tính được ma trận ̅ ̅ và tìm được các hệ số đa thức bằng cách cộng các đường chéo lại, Có thể dùng lệnh root của MATLAB để tìm ra gốc và sau đó tìm biên độ và góc của gốc. Ta có thể vẽ vị trí của tất cả 6 gốc để thấy các gốc nào gần với đường tròn đơn vị nhất (Hình 8.12). Ta cũng có thể thêm các gốc gần nhất đó vào đồ thị của phổ giả chuẩn bé nhất (Min-Norm) như Hình 8.13. Phổ giả có độ phân giải nhọn hơn MUSIC nhưng không chỉ ra hướng góc tới AOA tại . Tuy nhiên thuật toán root-Min-Norm chỉ đúng vị trí của cả 2 góc đến. Nghiên cứu khảo sát và ứng dụng anten trong thông tin vô tuyến Trang 244 Chương 8 Các phương pháp ước lượng hướng góc tới Hình 8.12 Tất cả 6 gốc trong hệ tọa độ Đề Các Hình 8.13 Phổ giả Tiêu chuẩn nhỏ nhất (Min-norm) và các gốc khi dùng thuật toán Tiêu chuẩn gốc nhỏ nhất (root-Min-Norm) 8.3.9. Ước lượng AOA ESPRIT ESPRIT là viết tắt của Estimation of Signal Parameters via Rotational Invariance Techniques, được đưa ra bởi Roy và Kailath [20] vào năm 1989. Các tóm tắt hữu Nghiên cứu khảo sát và ứng dụng anten trong thông tin vô tuyến Trang 245 Chương 8 Các phương pháp ước lượng hướng góc tới ích của kỹ thuật này được đưa ra bởi Godara [1] và Liberti and Rappaport [21]. Mục tiêu của kỹ thuật ESPRIT là để khai thác sự bất biến rota trong không gian con của tín hiệu, không gian con này được tạo ra bằng 2 anten mảng có cấu trúc bất biến tịnh tiến. ESPRIT vốn đã giả định rằng các tín hiệu là ở dải hẹp để ta biết được mối quan hệ về pha tịnh tiến giữa nhiều anten đang dùng. Như MUSIC, thuật toán ESPRIT giả định rằng có D < M nguồn tín hiệu băng hẹp đặt ở giữa với tần số trung tâm là fo. Các nguồn tín hiệu được cho là có đủ băng để trường lan truyền của tín hiệu đến xấp xỉ phẳng. Các nguồn tín hiệu có thể hoặc ngẫu nhiên hoặc đã định trước và tín hiệu nhiễu được cho là ngẫu nhiên và có trung bình bằng không. ESPRIT gọi đa anten mảng đồng nhất này là các anten lưỡng cực (doublets). Các anten này có thể là các anten mảng riêng biệt hoặc có thể bao gồm các anten mảng con của anten mảng lớn hơn. Điều quan trọng là các anten mảng này được đổi chỗ tịnh tiến với nhau mà không có xoay. Hình 8.14 là ví dụ về một anten lưỡng cực có 4 phần tử anten mảng được gộp từ 2 anten mảng con 3 phần tử đồng dạng hoặc 2 anten lưỡng cực. Hai anten mảng con này được đổi chỗ tịnh tuyến với khoảng cách là d. Ta sẽ đặt nhãn cho các anten mảng này là mảng 1 và mảng 2. Hình 8.14 Anten lưỡng cực bao gồm 2 anten mảng đồng nhất đã đổi chỗ Các tín hiệu được tạo ra từ mỗi trong số các anten mảng đó có dạng: ̅ [ ̅ ̅ ̅ ] [ ] ̅ ̅ ̅ ̅ Và ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ Với ̅ { } = một ma trận đơn nguyên chéo D x D trong đó các anten lưỡng cực được dịch pha dịch pha nhau ứng với mỗi AOA ̅ Ma trận Vandermonde gồm các vector lái cho các mảng con Tín hiệu sau khi đã thu hoàn toàn có dạng: Nghiên cứu khảo sát và ứng dụng anten trong thông tin vô tuyến Trang 246 Chương 8 Các phương pháp ước lượng hướng góc tới ̅ [ ̅ ̅ ] [ ̅ ̅ ̅ ] ̅ [ ̅ ̅ ] Bây giờ ta có thể tính được ma trận tương quan cho anten mảng đầy đủ như sau ̅ [ ̅ ̅ ] ̅ ̅ ̅ ̅ Hoặc cho 2 anten mảng con: ̅ [ ̅ ̅ ] ̅ ̅ ̅ ̅ Và ̅ [ ̅ ̅ ] ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ Mỗi trong số các ma trận tương quan đủ bậc trong biểu thức (8.53) và (8.54) có một tập hợp các vector đặc trưng tương ứng với D tín hiệu đến. Việc tạo ra không gian con tín hiệu cho 2 anten mảng con này sẽ tạo ra 2 ma trận ̅ và ̅ . Việc tạo ra không gian con tín hiệu cho cả một anten mảng sẽ tạo ra một không gian con tín hiệu ̅ . Vì cấu trúc bấy biến của anten mảng, nên ̅ có thể được phân ra thành các không gian con ̅ và ̅ . Cả hai ma trận ̅ và ̅ đầu là ma trận M x D và có các cột bao gồm D vector đăc trưng tương ứng các trị riêng lớn nhất của ̅ và ̅ . Vì các anten mảng có quan hệ tịnh tiến, nên các không gian con của các vector đặc trưng liên hệ với nhau bởi một ma trận ánh xạ không suy biến ̅ ̅ ̅ ̅ Ngoài ra cũng có một ma trận ánh xạ không suy biết đơn nhất ̅ như sau ̅ ̅ ̅ Và ̅ ̅ ̅ Thế biểu thức (8.55) và (8.56) vào (8.57) và giả sử ma trận ̅ có đủ bậc, ta có thể suy ra mốt quan hệ như sau: ̅ ̅ ̅ Do đó, các trị riêng của ̅ phải bằng với các phần tử đường chéo của ̅ như sau: và các cột của ma trận ̅ phải là các vector đặc trưng của ̅ . ̅ là một toán tử ROT dùng để ánh xạ không gian con của tín hiệu ̅ vào không gian con của tín hiệu ̅ . Bây giờ ta sẽ còn lại bài toán về ước lượng không gian con toán tử ROT ̅ và do đó cần tìm các trị riêng của ̅ Nếu chỉ biết trước một số giá trị mà bài toán cung cấp, khi đó ta có thể giả sử rằng các không gian con ̅ và ̅ tương đương với nhiễu, và ước lượng toán tử ROT ̅ bằng cách dùng chuẩn tổng các bình phương nhỏ nhất (TLS). Có thể tìm Nghiên cứu khảo sát và ứng dụng anten trong thông tin vô tuyến Trang 247 Chương 8 Các phương pháp ước lượng hướng góc tới hiểu về TLS ở van Huffel and Vandewalle [22]. Thủ tục này được tóm tắt như sau: (xem Roy and Kailath [20])  Ước lượng các ma trận tương quan mảng ̅ , ̅ từ các mẫu dữ liệu.  Khi biết được các ma trận tương quan mảng cho cả 2 anten mảng con, ta có thể ước lượng được tổng số lượng nguồn tín hiệu bằng nhiều trị riêng lớn ở ̅ hoặc ̅ .  Tính các không gian con ̅ và ̅ dựa trên các vector đặc trưng tín hiệu của ̅ và ̅ . Đối với ULA, ta có thể tạo ra các không gian con tín hiệu từ không gian con tín hiệu của cả một anten mảng ̅ . ̅ là một ma trận M x D bao gồm các vector đặc trưng của tín hiệu. ̅ có thể được tạo ra bằng cách chọn hàng đầu tiên ( với anten mảng lẻ) của ma trận ̅ . ̅ có thể được tạo ra bằng cách chọn hàng ( cho các anten mảng lẻ) của ma trận ̅ .  Kế đến ta tạo ra một ma trận 2D x 2D bằng cách dùng các không gian con tín hiệu như: ̅ [ ̅ ̅ ] [ ̅ ̅ ] ̅ ̅ ̅ Với ma trận ̅ lấy từ quá trình khai triển trị riêng (EVD) của ma trận ̅ và có và ̅ { }  Chi ma trận ̅ thành 4 mà trận con D x D như sau: ̅ [ ̅ ̅ ̅ ̅ ]  Ước lượng toán tử ROT ̅ bằng ̅ ̅ ̅  Tính các trị riêng của ̅  Bây giờ ước lượng hướng góc đến, với | | ( ) Nếu được yêu cầu, ta có thể ước lượng các vector lái từ không gian con ̅ và các vector đặc trưng của ̅ cho bởi ̅ ̅ như sau ̂ ̅ ̅ ̅. Ví dụ 8.14 Dùng thuật toán ESPRIT để dự đoán hướng góc tới của một anten mảng M = 4 phần tử, có phương sai nhiễu . Tính các ma trận tương qua bằng cách trung bình thời gian qua điểm dữ liệu như đã làm ở ví dụ 8.12. Các góc đến là , Giải Không gian con tín hiệu cho ma trận tương quan toàn mảng ULA lý tưởng: Nghiên cứu khảo sát và ứng dụng anten trong thông tin vô tuyến Trang 248 Chương 8 Các phương pháp ước lượng hướng góc tới ̅ [ ] Khi đó có thể tính hai không gian con tín hiệu của anten mảng phụ bằng cách lấy 3 hàng đầu tiên của ̅ để xác định ̅ và 3 hàng cuối cùng của ̅ để xác định ̅ ̅ [ ] ̅ [ ] Ta có ma trận các không gian con tín hiệu như sau: ̅ [ ̅ ̅ ] [ ̅ ̅ ] [ ] Ta có thể tạo ra ma trận ̅ bằng cách khai triển riêng như sau: ̅ [ ̅ ̅ ̅ ̅ ] [ ] Khi đó ta có thể tín được toán tử ROT ̅ ̅ ̅ như sau: ̅ ̅ ̅ * + Kết đến ta tính các trị riêng của ̅ và tìm các góc đến bằng: ( ) ( )