Các lớp hàm Distortion tương ứng với các thái độ chấp nhận rủi ro của người ra quyết định - Phạm Hoàng Uyên

TAÏP CHÍ KHOA HOÏC ÑAÏI HOÏC SAØI GOØN Soá 8 (33) - Thaùng 10/2015 33 Các lớp hàm Distortion tương ứng với các thái độ chấp nhận rủi ro của người ra quyết định Classes of distortion functions corresponding attitudes toward risk of decision – makers 1 TS. Phạm Hoàng Uyên, 2 ThS. Lý Sel, 3 ThS. Lê Thanh Hoa 1 Trường Đại học Kinh tế – Luật, ĐHQG TP.HCM 2 Trường Đại học Tôn Đức Thắng 3 Trường Đại học Kinh tế – Luật, ĐHQG TP.HCM 1 Ph.D. Pham Hoang Uyen, 2 M.Sc. Ly Sel, 3 M.Sc. Le Thanh Hoa 1 University of Economics and Law, National University Ho Chi Minh City 2 Ton Duc Thang University 3 University of Economics and Law, National University Ho Chi Minh City Tóm tắt Lý thuyết quyết định được tiếp cận dựa trên các hàm hữu ích hoặc sử dụng các độ đo rủi ro. Trong bài báo này, chúng tôi khảo sát mối liên hệ giữa các hàm hữu ích, các hàm trọng sử dụng trong độ đo rủi ro phổ và các hàm distortion dùng trong rủi ro sử dụng tích phân Choquet. Từ đó, nghiên cứu các thái độ của những người ra quyết định đối với rủi ro như trung tính với rủi ro, lo ngại rủi ro hay thích rủi ro khi họ sử dụng tương ứng các lớp hàm distortion cụ thể. Từ khóa: lý thuyết quyết định, hàm hữu ích, hàm trọng, hàm distortion, độ đo rủi ro phổ, độ đo rủi ro distortion, thái độ chấp nhận rủi ro của người ra quyết định Abstract Decision theory is mainly based on utility functions which could be seen via risk measures. In this paper, we concern about relationship between utility functions and weighted functions of spectral risk measures as well as distortion functions in terms of Choquet integrals. The paper proposes a theorem which can be used to determine a distortion function whether or not it characterizes attitudes toward risks of a decision-maker such as risk adverse, risk seeking and risk neutral. In addition, a new class of distortion, named dual-gamma distortion is defined and some properties are examined. Keywords: decision theory, utility function, weighted function, distortion function, spectral risk measure, distortion risk measure, risk aversion 1. Giới thiệu Giả sử trong một đầu tư, ta có hai phương án để lựa chọn. Chẳng hạn, đối với phương án thứ nhất thì số tiền lợi nhuận (hay thua lỗ) là một biến ngẫu nhiên X1, tương tự đối với phương án thứ hai là biến ngẫu nhiên X2. Vấn đề đặt ra, người ra quyết định sẽ chọn phương án nào? Thực tế, điều đó còn phụ thuộc vào thái độ chấp nhận rủi ro của người ra quyết định, tức là người đó thích mạo hiểm, lo ngại hay là trung tính với các rủi ro của từng phương án đang xét. Do đó, người ta xây dựng lý thuyết hàm hữu ích cũng như lý thuyết các 34 độ đo rủi ro và ứng dụng trong quyết định các vấn đề kinh tế-xã hội. Năm 2006 trong [2], K. Dowd, J. Cotter, G. Sorwar đã nghiên cứu mối liên hệ giữa thái độ chấp nhận rủi ro (thông qua hàm hữu ích) và độ đo rủi ro phổ (thông qua hàm trọng). Tuy nhiên, mối liên hệ chỉ là một phía từ hàm hữu ích qua hàm trọng và chỉ dựa trên hai lớp hàm mũ và hàm lũy thừa. Năm 2010 trong [5], S. Sriboonchitata, Hung T. Nguyen và K. Kreinovich đã đưa ra mối liên hệ hai phía giữa hàm trọng và hàm hữu ích một cách tổng quát hơn bằng bài toán tương tự trong Thống kê robust về sự tương ứng giữa ước lượng M và ước lượng L. Tuy nhiên, các kết quả vẫn còn nhiều hạn chế và chưa khảo sát vấn đề thái độ chấp nhận rủi ro. Như vậy, chúng ta có một số quan hệ sau: i) Mối liên hệ giữa M-estimates và L-estimates. ii) Mối liên hệ giữa M-estimates và hàm hữu ích (utilities). iii) Mối liên hệ giữa L-estimates và độ đo rủi ro phổ (spectral risk measures). iv) Mối liên hệ giữa hàm hữu ích và hàm trọng (weighting functions). Từ đó, ta có thể thiết lập mối liên hệ giữa hàm hữu ích và độ đo rủi ro phổ. v) Mối liên hệ giữa hàm trọng và hàm distortion. vi) Mối liên hệ giữa hữu ích và hàm distortion. Tiếp nối các kết quả đã có, chúng tôi tập trung tìm mối liên hệ giữa hàm hữu ích và hàm distortion. Từ đó, chúng tôi đi sâu phân tích thái độ chấp nhận rủi ro ứng với lớp các hàm distortion cụ thể. Về cấu trúc, nội dung bài báo gồm 6 phần. Mục 1 giới thiệu về nguồn gốc bài toán, các kết quả cũng như các vấn đề còn hạn chế. Mục 2 nhắc lại lý thuyết quyết định truyền thống tiếp cận theo hàm hữu ích và mục 3 là tiếp cận dựa trên các độ đo rủi ro. Về vấn đề xây dựng mối liên hệ giữa các hàm hữu ích và hàm trọng được trình bày trong mục 4. Đối với mục 5 là các kết quả chính của bài báo về thiết lập quan hệ và khảo sát các tính chất giữa hàm hữu ích và hàm distortion. Cuối cùng trong mục 6, chúng tôi ứng dụng các kết quả ở mục 5 để phân tích thái độ chấp nhận rủi ro của người ra quyết định. 2. Lý thuyết quyết định dựa trên kỳ vọng hữu ích Chúng ta hãy bắt đầu với câu hỏi "Tại sao mỗi người ra quyết định hành động theo nhiều kiểu khác nhau khi đối mặt với cùng một tình huống rủi ro?" Rõ ràng, đây là một câu hỏi quan trọng vì người ra quyết định thường có thái độ chấp nhận rủi ro riêng theo cá nhân của họ. Ở đây, mục tiêu là mô hình hóa và tiên đoán hành vi của người ra quyết định. Hơn nữa, chúng ta cung cấp các công cụ để giúp họ làm sao ra các quyết định hợp lý. Thông thường, hướng tiếp cận truyền thống là sử dụng hàm hữu ích. Cụ thể hơn, quyết định dựa trên kỳ vọng hữu ích đạt được. Giả sử X và Y là số tiền lợi nhuận (hay thua lỗ) trong một dự án đầu tư nào đó nhưng theo hai phương án khác nhau. Trong từng trường hợp, giả sử X có thể nhận các giá trị , 0,1,...,ix i n với các xác suất tương ứng là , 0,1,...,ip i n . Tương tự, Y có thể nhận các giá trị , 0,1,...,iy i n với các xác suất tương ứng là , 0,1,...,iq i n . Với mỗi giá trị nhận được của X và Y, người đầu tư có thể gán cho chúng một hữu ích bằng một hàm hữu ích chọn trước. Chẳng hạn, ta gọi là hàm  u x . Khi đó, nếu X nhận giá trị xi thì hữu ích đạt được là  iu x (tương tự cho Y) và như thế kỳ vọng hữu ích xác định theo lý thuyết xác suất và thống kê là 35                     0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 ; . n i i n n i n i i n n i E u X p u x p u x p u x p u x E u Y q u y q u y q u y q u y                     Khi đó, người đầu tư sẽ chọn phương án thứ nhất nếu    E u X E u Y       và ngược lại. Vấn đề ở đây có thể hỏi là tại sao người đầu tư không sử dụng trực tiếp kỳ vọng của X và Y rồi ra quyết định chọn lựa. Câu trả lời có thể có nhiều lý do sẽ đề cập sau và một trong những lý do chính mà lý thuyết hữu ích giải thích là người ra quyết định phản ứng khác nhau khi đứng trước các tình huống có rủi ro. Do đó, hàm hữu ích là một công cụ có thể mô hình hóa các thái độ đó của họ. Nhắc lại, các thái độ chấp nhận rủi ro của người ra quyết được phân loại theo Pratt và các cộng sự (1964) và Arrow và các cộng sự (1974) như sau: (i) Trung tính với rủi ro (Risk neutral): Tức là khi một người đứng trước hai tình huống có rủi ro khác nhau và có cùng kỳ vọng    E X E Y , nhưng thái độ của họ lại cảm thấy thờ ơ, không có gì khác nhau. (ii) Lo ngại rủi ro (Risk adverse): Nếu một người đứng trước hai tình huống có rủi ro khác nhau, có cùng kỳ vọng    E X E Y , thì họ sẽ lựa chọn phương án có rủi ro thấp hơn. (ii) Thích rủi ro (Risk seeking): ngược lại, nếu một người đối mặt với hai tình huống có rủi ro khác nhau, có cùng kỳ vọng    E X E Y , thì họ sẽ ưu tiên lựa chọn phương án có rủi ro cao hơn. Ví dụ: Nếu bạn được hỏi chọn lựa lấy 100 ngàn một cách chắc chắn hay chơi một trò chơi: "Tung một đồng xu đồng chất, nếu mặt ngửa xuất hiện bạn sẽ có 200 ngàn; còn nếu mặt sấp xảy ra thì bạn không nhận được gì cả". Rõ ràng, kỳ vọng nhận được tiền trong trò chơi cũng là 100 ngàn vì 1 1 200 .0 100 2 2   . Khi đó, nếu bạn trả lời "Tôi không quan tâm, lựa chọn nào cũng như nhau" thì bạn là người trung tính với rủi ro; còn nếu bạn quyết định lấy 100 ngàn chochắc thì bạn thuộc nhóm người lo ngại rủi ro. Nhưng nếu bạn quyết định chọn tham gia trò chơi để có cơ hội lấy được 200 ngàn thì bạn chính là người thích rủi ro. Mô hình hóa các thái độ chấp nhận rủi ro trên có thể dựa trên các hàm hữu ích. Trước hết, định nghĩa về chúng như sau:  Định nghĩa 2.1 (Hàm hữu ích) Một hàm số 𝑢: 𝑅 → 𝑅 được gọi là một hàm hữu ích nếu nó là một hàm không giảm. Tính chất không giảm của hàm hữu ích là điều cần thiết vì nếu giả sử X chỉ nhận hai giá trị 1 2,x x với xác suất đều bằng 0.5 và giả sử 1 2x x thì hiển nhiên các hữu ích cũng phải thỏa mãn    1 2 .u x u x Điều đó có nghĩa là giá trị nào lớn hơn thì sẽ có hữu ích nhiều hơn và sẽ được thích hơn. Ngoài ra, ta biết rằng  1 2 1 2max , . 2 x x x x   Khi đó, nếu một người lựa chọn trung bình 1 2 2 x x với khả năng chắc chắn, thay vì chọn 1x hoặc 2x với khả năng 50% thì người đó là lo ngại rủi ro. Nếu xét theo hữu ích thì họ cho rằng    1 2 1 2 1 1 . 2 2 2 x x u u x u x        Như vậy, 36 nếu mô hình theo hàm hữu ích thì lo ngại rủi ro được định nghĩa như sau:  Định nghĩa 2.2 (Lo ngại rủi ro) Người ra quyết định được gọi là lo ngại rủi ro nếu như hàm hữu ích (không giảm) u(x) của họ thỏa mãn      , 2.1u E X E u X       trong đó, X là một biến ngẫu nhiên không suy biến, tức thỏa .E X   Tương tự, chúng ta xét thái độ thích rủi ro được mô tả theo hàm hữu ích như sau:  Định nghĩa 2.3 (Thích rủi ro) Người ra quyết định được gọi là thích rủi ro nếu như hàm hữu ích (không giảm) u(x) của họ thỏa mãn      , 2.2u E X E u X       trong đó, X là một biến ngẫu nhiên không suy biến, tức thỏa .E X   Dễ thấy rằng, các bất đẳng thức (2.1) và (2.2) có thể diễn đạt lại bằng tính chất giải tích của hàm hữu ích như sau.  Định lý 2.1 (Lo ngại rủi ro) Người ra quyết định là người lo ngại rủi ro khi và chỉ khi hàm hữu ích (không giảm) u(x) của họ là một hàm lõm. Chứng minh định lý dựa vào bất đẳng thức Jensen và độc giả có tham khảo thêm trong [4]. Hơn nữa, nếu giả sử các hàm hữu ích u khả vi đến cấp hai thì tính lõm thể hiện bằng đạo hàm cấp hai thỏa mãn   0, .u x x   Chẳng hạn, xét   ln .u x x  Định lý 2.2 (Thích rủi ro) Người ra quyết định là người thích rủi ro khi và chỉ khi hàm hữu ích (không giảm) u(x) của họ là một hàm lồi. Tương tự, nếu giả sử các hàm hữu ích u khả vi đến cấp hai thì tính lồi thể hiện bằng đạo hàm cấp hai thỏa mãn   0, .u x x   Ví dụ xét   2.u x x Ngược lại với lo ngại và thích rủi ro là thái độ trung tính với rủi ro. Trường hợp này có thể đặc trưng bằng     .u E X E u X       Chằng hạn, xét  u x x (hàm tuyến tính). Thêm nữa, để đặc trưng cho mức độ sự lo ngại rủi ro, các tác giả Pratt (1964) và Arrow (1974) cũng đã đưa ra hệ số lo ngại rủi ro tuyệt đối (coefficients of absolute risk adversion) như sau        . 2.3 u x r x u x      Nếu r(x) > 0 thì u(x) đặc trưng cho lo ngại rủi ro.  Nếu r(x) < 0 thì u(x) đặc trưng cho thích rủi ro.  Nếu r(x) = 0 thì u(x) đặc trưng cho trung tính rủi ro. 3. Lý thuyết quyết định dựa trên các độ đo rủi ro Một cách khác để đưa ra quyết định là tiếp cận theo độ đo rủi ro. Ở đây, chúng ta xét X và Y là các biến ngẫu nhiên không âm thể hiện số tiền tổn thất hay thua lỗ (loss variable) tương ứng với hai phương án đầu tư khác nhau. Khi đó, nếu độ đo rủi ro     ,X Y  thì phương án đầu tư thứ nhất sẽ được thích hơn và được chọn. Một trong những độ đo rủi ro thường dùng là VaR (Value at Risk) và TVaR (Tail Value at Risk). Chúng được nghĩa như sau  Định nghĩa 3.1 (VaR) VaR của một danh mục đầu tư ở mức xác suất  tại thời điểm t được định nghĩa là giá trị nhỏ nhất của x sao cho xác suất để tổn thất  X t 37 lớn hơn x , lớn nhất bằng  . Tức là” 𝑉𝑎𝑅𝛼(𝑋(𝑡)) = inf{𝑥 ∈ 𝑅: 𝑃(𝑋(𝑡) > 𝑥) ≤ 𝛼} = inf{𝑥 ∈ 𝑅: 𝑃(𝑋(𝑡) ≤ 𝑥) ≥ 1 − 𝛼} (3.1)  Ví dụ 3.1: Xét một danh mục đầu tư cổ phiếu có VaR 5% là 1 triệu đôla mỗi tháng. Điều đó có nghĩa là danh mục đầu tư có khả năng bị tổn thất từ 1 triệu đôla trở lên mỗi tháng với xác suất không quá 5%. Tuy VaR là chuẩn mực trong đo lường và giám sát rủi ro thị trường nhưng nó vẫn có những hạn chế nhất định. Một trong những khuyết điểm là độ đo rủi ro VaR không có tính chất rất cần thiết trong khoa học về đầu tư, đó là sự đa dạng trong đầu tư, có nghĩa là người ta muốn đầu tư vào nhiều danh mục nhưng rủi ro của tổng thể các danh mục phải nhỏ hơn hoặc bằng tổng các rủi ro thành phần. Về mặt toán học, tính chất này được gọi là bán cộng tính, tức là:      .X Y X Y     Tiếp theo, độ đo rủi ro TVaR (Tail Value at Risk) hay TCE (Tail Conditional Expectation) cùng dạng với VaR nhưng khắc phục được các hạn chế. Nếu độ đo rủi ro VaR được tính nhằm trả lời câu hỏi: “Tổn thất nhỏ nhất phải chịu trong trường hợp xấu nhất của đầu tư danh mục là bao nhiêu?” thì độ đo rủi ro TVaR được tính nhằm trả lời câu hỏi: “Tổn thất trung bình phải chịu trong trường hợp xấu nhất của đầu tư danh mục là bao nhiêu?”. Về mặt toán học tài chính, sau khi đã tính VaR của danh mục, chúng ta quan tâm tới những trường hợp tổn thất thực tế của danh mục vượt ngưỡng VaR, kỳ vọng của các tổn thất này gọi là TVaR.  Định nghĩa 3.2 (TVaR) Giả sử biến ngẫu nhiên  X t là tổn thất của các danh mục đầu tư và cho sẵn mức xác suất  0;1 . TVaR được định nghĩa như sau: 𝑇𝑉𝑎𝑅𝛼 (𝑋(𝑡)) = 𝐸(𝑋(𝑡)|𝑋(𝑡) > 𝑉𝑎𝑅𝛼(𝑋(𝑡))) (3.2) Một độ đo rủi ro thứ ba là độ đo rủi ro phổ (spectral risk measure).  Định nghĩa 3.3 (Độ đo rủi ro phổ) Giả sử X là một tổn thất không âm và có hàm phân phối là FX . Khi đó, độ đo rủi ro phổ của X được xác định như sau:         1 1 0 = , 3.3 X R X p F p dp    trong đó, 1 X F  là hàm phân vị (quantile) của X và  p là một hàm trọng (weighting function) thỏa mãn ba tính chất sau: i) Không âm:   0.p  ii) Chuẩn hóa:   1 0 1.p dp  ii) Không giảm:   0.p  Chúng ta biết rằng, kỳ vọng của X có thể tính bằng       1 1 0 = . X X E X xdF x F p dp      Như vậy, độ đo rủi ro phổ thực chất là kỳ vọng có trọng số của X. Ở đây, hàm trọng  p là do người ra quyết định tự chọn lựa khi họ cần định lượng tổn thất X. Do đó, hàm trọng cũng thể hiện thái độ chấp nhận rủi ro của người ra quyết định. Vì vậy, rõ ràng là hàm trọng có mối liên hệ với hàm hữu ích. Ở mục 4, chúng ta sẽ nói về quan hệ này. Ngoài ra, độ đo VaR hay TVaR đều có thể biểu diễn qua độ đo rủi ro phổ. Chính xác là: 38         1 1 1 ; 1 . 1 X X VaR X F TVaR X F p dp            Hiện nay, người ta xây dựng khá nhiều độ đo rủi ro. Tuy nhiên, để  X nào đó là một độ đo rủi ro thì chúng cần phải thỏa mãn một số tính chất cần thiết sau đây và khi đó  X còn được gọi là độ đo rủi ro coherent (coherent risk measure):  Định nghĩa 3.4 (Độ đo rủi ro coherent) Giả sử X và Y là các biến ngẫu nhiên tổn thất. Khi đó,  được gọi là độ đo rủi ro coherent nếu nó thỏa mãn các tiên đề sau: i) Tính đơn điệu: Nếu X  Y thì    .X Y  ii) Tính thuần nhất: Với a > 0 thì    .aX a X  iii) Tính bất biến dịch chuyển: Với c 𝑅, thì     .X c X c    iv) Tính bán cộng tính:      .X Y X Y     Các tính chất (i), (ii), (iii) và (iv) có ý nghĩa như sau: (i) Xét các biến ngẫu nhiên tổn thất, biến nhỏ hơn sẽ có rủi ro nhỏ hơn. (ii) Rủi ro của tổn thất tài chính sẽ tỷ lệ với kích cỡ của rủi ro. Nghĩa là, danh mục có quy mô càng lớn thì rủi ro càng cao. (iii) Nếu bổ sung thêm các tài sản phi rủi ro giá trị c thì mức độ rủi ro giảm đi là c, tức là     .X X c c    (iv) Khi kết hợp nhiều danh mục đầu tư trong một phương án đầu tư thì rủi ro phải nhỏ hơn so với việc đầu tư riêng lẻ từng danh mục. Người ta đã kiểm tra được rằng TVaR là coherent, còn VaR thì không coherent. Một đại lượng đặc trưng thống kê nữa cũng thỏa mãn các tính chất coherent là kỳ vọng E(X). Tuy nhiên, kỳ vọng không sử dụng như là độ đo rủi ro vì kỳ vọng là "khách quan", trong khi việc đưa ra quyết định phụ thuộc vào chủ quan của người ra quyết định. Do đó, thay vì đi tính kỳ vọng dưới dạng, (chú ý X  0)        0 0 1 , X E X P X x dx F x dx        người ta sử dụng phép biến đổi g sau đây để định lượng rủi ro X:        0 1 , 3.4 g X M X g F x dx    trong đó,    : 0;1 0;1 ,g  là một hàm không giảm và thỏa mãn 𝑔(0) = 0, 𝑔(1) = 1 được gọi là một hàm biến dạng (distortion function) và Mg(X) xác định một độ đo rủi ro distortion. Để Mg thỏa mãn tính chất coherent thì nó còn phụ thuộc vào tính chất của hàm distortion g.  Định lý 3.1 Độ đo rủi ro distortion Mg cho bởi (3.4) là coherent khi và chỉ khi g là một hàm lõm. Ngoài ra, VaR và TVaR cũng có thể được biểu diễn qua độ đo rủi ro distortion. Cụ thể,      0 1 ,VaR X g F x dx     với      ;1 0, 0 . 1 1, 1. t g t t t                 0 1 ,TVaR X g F x dx     với   min 1, . t g t         Rõ ràng, hàm distortion có chứa đựng các thái độ chấp nhận rủi ro của người ra quyết định. Đây là vấn đề chính của bài 39 báo và sẽ được khảo sát ở mục 6. Một lớp độ đo rủi ro tổng quát đó là tích phân Choquet được định nghĩa trong đó,  là hàm khả năng (capacity function) xác định trên trường  của các sự kiện sơ cấp, tức là  : 0;1  sao cho    0, 1,     và đơn điệu tăng: nếu A B thì ta có    .A B  Dễ thấy rằng, nếu ta chọn g P  thì rõ ràng tích phân Choquet biểu diễn cho độ đo rủi ro distortion. Hơn nữa, nếu hàm g trùng với hàm distortion của VaR và TVaR thì VaR và TVaR cũng là một tích phân Choquet. Tổng quát, độ đo rủi ro phổ, độ đo rủi ro distortion và tích phân Choquet có mối liên hệ sau:  Định lý 3.2 Giả sử  R X là một độ đo rủi ro phổ được cho ở (3.3) . Khi đó, ta có:    R X C X  , trong đó, hàm capacity ,g P  với g là hàm distortion có dạng     1 0 1 . p g p s ds     4. Mối liên hệ giữa hàm hữu ích và hàm trọng Qua các mục 2 và mục 3, chúng ta thấy rằng các hàm hữu ích cũng như hàm trọng sử dụng trong độ đo rủi ro phổ đều có thể đặc trưng cho thái độ chấp nhận rủi ro của người ra quyết định. Vì vậy, chúng có mối liên hệ với nhau và bài toán được giải quyết thông qua thống kê robust. Cụ thể, để tìm hàm trọng từ hàm hữu ích hoặc ngược lại, trong [5] các tác giả đã thực hiện tính toán như sau. 4.1 Từ hàm hữu ích tìm hàm trọng  Bước 1: Tìm một hàm bổ trợ f(x)        0 exp , 4.1 x c f x u t dt  với c0 là một hằng số được chọn thích hợp.  Bước 2: Ta tìm hàm F(x) thỏa     . x F x f t dt     Bước 3: Tìm một hàm M(p) theo công thức            1 4.2 . M F x u x M p u F p     Bước 4: Chúng ta tính hằng số chuẩn hóa I bằng tích phân     1 0 , 4.3 def I M p dp  và ta được hàm trọng có dạng      . 4.4 M p p I   Khi đó, độ đo rủi ro phổ được xác định theo sau với FX(x) là hàm phân phối xác suất của X. 4.2 Từ hàm trọng tìm hàm hữu ích Nếu biết hàm trọng  p , ta có thể tìm hàm hữu ích u(x) bằng cách sử dụng liên hệ      ,M F x u x và    .I p M p  .  Bước 1: Tìm hàm F(x) và giá trị chuẩn hóa I bằng cách giải phương trình sau: (3.5) (4.5) 40                . ln . . 4.6 I F x F x F x I F x F x                Bước 2: Tìm hàm f(x) bằng đạo hàm của F(x)    .f x F x  Bước 3: Cuối cùng ta được hàm hữu ích        . 4.7 f x u x f x    5. Mối liên hệ giữa hàm hữu ích và hàm distortion 5.1 Tìm hàm distortion thông qua hàm hữu ích Theo định lý 3.2 thì ta có mối quan hệ giữa hàm trọng và hàm distortion như sau:     1 0 1 , p g p s ds     hay      1 . 5.1p g p   Do đó, chúng ta hoàn toàn có thể xác định mối liên hệ giữa hàm hữu ích và các hàm distortion. Đầu tiên, ta có một mệnh đề sau:  Mệnh đề 5.1 Giả sử u là một hàm hữu ích không giảm. Khi đó, u thỏa mãn đẳng thức          2 ' , 5.2u x u x dF x F x    với F'= f xác định bởi (4.1). Chứng minh: Vì u là hàm không giảm nên hàm u tồn tại đạo hàm hầu khắp nơi. Sử dụng (4.7) và tích phân từng phần ta được                               2 2 2 ' . f x u x dF x f x dx f x f x f x dx f x dx f x f x u x dF x F x u x dF x                                 Tìm hàm distortion qua hàm hữu ích được thực hiện thông qua một số bước biến đổi và sử dụng mệnh đề trên. Thật vậy,                1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 , 5.3 p p F p g p s ds u F s ds I u x dF x I                 trong đó,      0 exp . x t c F x u s ds dt     Áp dụng (5.2) và đặt c = 1/I, ta có thêm một biểu thức thứ hai xác định hàm distortion  Nhận xét: i) Từ (5.3), ta có đẳng thức          1 1 = 1 5.5 F p u x dF x I g p        ii) Nếu hàm hữu ích u có đạo hàm tới cấp hai thì khi đó bằng cách sử dụng tích phân từng phần cho (5.3), ta được một công thức thứ ba để tìm hàm distortion. (5.4) (5.6) 41 Ta xét một số ví dụ.  Ví dụ 5.1: Cho hàm hữu ích u(x) = x. Tìm hàm distortion tương ứng? Ta có,     0 2 1 1 exp exp . 2 x x t c F x sds dt c t dt               Chọn 1 1 2 c   thì F(x) là hàm phân phối chuẩn tắc. Do đó, ta tính được giá trị I = 1. Khi đó, sử dụng (5.3) và ta nhận được hàm distortion tương ứng g(p) = p.  Ví dụ 5.2: Cho hàm hữu ích   0, 0, 2 , 0, khi x u x x khi x x      Tìm hàm distortion tương ứng? Khi x > 0, ta viết lại u(x) như là một trường hợp riêng của hàm hữu ích lũy thừa   2 1,u x x    Nhắc lại, hàm hữu ích lũy thừa có dạng     1. 1 , 1. 5.7 1 k x U x         Ở đây, ta xét  = 2, k = 2 để nhận được hàm u(x) trong Ví dụ 5.2 này. Khi đó, ta có   0 2 3 1 1 1 2 exp 1 . x x x c f x dt c x e c x e t                   Chọn c1 = 1/(3) = 1/2 thì f(x) chính là hàm mật độ xác suất Gamma với tham số hình dạng (shape) bằng 3 và tham số tỷ lệ (scale) bằng 1. Vì thế, ta có:         2 2 0 1 1 1 3, 1 1, 3 3 2 x t xF x x t e dt x x e                  trong đó, (s) và , x) lần lượt là hàm Gamma và Gamma không đầy đủ dưới (lower incomplete gamma).         1 0 1 0 , 5.8 , . 5.9 s t x t s t e dt x t e dt            Do đó, F-1(p) là phân vị của hàm phân phối Gamma. Cụ thể,       1 1 13, 3 3,2 .F p p p      Tiếp theo, giá trị I = 1. Sử dụng công thức (5.3), ta nhận được hàm distortion      1exp 3,2 . 5.10g p p     Đồ thị của g(p) được cho ở dưới và ta thấy rằng g(p) là một hàm lồi, g"(p) > 0. Hình 1. Đồ thị hàm distortion g(p) = exp(- -1(3, 2p)) .  Ví dụ 5.3: Cho hàm hữu ích u(x) với các tham số k >1 và  > 0,   0, 0, , 0. khi x u x k khi x x         Tìm lớp hàm distortion tương ứng? Ta xét Ví dụ 5.3 là mở rộng của Ví dụ 5.2. Ta có 42     0 1 1 1exp . x k x c k f x dt c x e t                   Chọn   1 1 , 1 k c k      thì f(x) chính là hàm mật độ xác suất Gamma với tham số hình dạng (shape) bằng k+1 và tham số tỷ lệ (scale) bằng 1/ (còn  là tham số tốc độ (rate parameter)). Để thuận tiện, chúng ta ký hiệu hàm phân phối xác suất Gamma với tham số hình dạng  và tham số tỷ lệ  bằng (x; , )       1 1 0 1 ; , . 5.11 x t x t e dt            Khi đó, ta có   1 ; 1, .F x x k          Do đó, F-1(p) là phân vị của hàm phân phối Gamma với shape  = k+1 và scale  = 1/.    1 1 ; 1, .F p p k     Chú ý rằng theo Ví dụ 5.2 thì F(x) cũng có thể viết dưới dạng hàm Gamma không đầy đủ dưới như sau:       1 1, . 1 F x k x k      Tiếp theo, giá trị I được tính   2 . 1 I k    Sử dụng công thức (5.3) và đặt  = 1/, ta nhận được lớp hàm distortion tương ứng trong đó,  ; ,x   là phân phối đuôi (tail) Gamma,    ; , 1 ; ,x x      Với trường hợp đặc biệt ở Ví dụ 5.2, k = 2 và  = 1 thì      1 11 1 ;3,1 ;1,1 exp 3,2g p p p             Hình 2. Đồ thị hàm distortion    11 1 ; 1,1 ; 1,1g p p k k        . Từ ví dụ 5.3 và biểu thức (5.12), chúng tôi đề nghị xây dựng thêm một lớp hàm distortion dạng Gamma. Nhắc lại rằng trong [7], S.Wang cũng đã xây dựng một lớp hàm distortion dạng phân phối chuẩn như sau:     1 .g p p     Định nghĩa 5.1 (Hàm dual-gamma distortion) Hàm dual-gamma distortion là một hàm phụ thuộc vào 4 tham số dương 1 1 2 2, , ,    được định nghĩa như sau: Hàm đối ngẫu của dual-gamma distortion là một hàm phân phối gamma. Thật vậy,        * 1 1 1 2 21 1 ; , ; , , 0;1G p G p p p             (5.12) (5.13) 43 Khảo sát một số tính chất cần thiết của hàm dual-gamma distortion.  Định lý 5.1 Cho G(p) là hàm được định nghĩa trong (5.13). Khi đó, (i)  G p là một hàm tuyến tính khi và chỉ khi 1 2 1 2, .     (ii)  G p là một hàm lồi khi và chỉ khi 1 2 1 2 1 1 .       Hai trường hợp đặc biệt, G(p) là lồi nếu 1 2 1 2 1 2 1 2 , ,              . (ii)  G p là một hàm lõm khi và chỉ khi 1 2 1 2 1 1 .       Hai trường hợp đặc biệt, G(p) là lõm nếu 1 2 1 2 1 2 1 2 , ,              Chứng minh (i) là rõ ràng vì khi 1 2 1 2,     thì    1 1 .G p p p    (ii) Để đơn giản, ta ký hiệu:        1 1 1 2 2 2; , ; ; , .F x x F x x       Ta có đạo hàm cấp 1           1 2 1 2 1 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 exp 1 . G p F p F p p                                Đạo hàm cấp hai Có thể thấy rằng dấu của đạo hàm cấp 2 trên khoảng (0;1) phụ thuộc vào đại lượng  1 2 2 1 1 1 S              . Từ đó, ta có:  G(p) là hàm lồi khi và chỉ khi  2 1 2 1 2 1 1 0 0 . G p S p               Ngược lại, G(p) là hàm lõm khi và chỉ khi 𝛼1 − 1 𝜃1 < 𝛼2 − 1 𝜃2 . Hình 3. Đồ thị hàm dual-gamma distortion G(p). 44 Để đánh giá mức độ thích rủi ro, một cách tương tự Pratt và Arrow, ta định nghĩa hệ số thích rủi ro tuyệt đối (coefficient of absolute risk seeking) như sau:  Định nghĩa 5.2 (Hệ số thích rủi ro tuyệt đối) Giả sử g(p) là một hàm distortion. Khi đó, hệ số thích rủi ro tuyệt đối của g được định nghĩa là        . 5.14 g p s p g p      Nếu s(p) > 0 thì g(p) đặc trưng cho thích rủi ro.  Nếu s(p) < 0 thì g(p) đặc trưng cho lo ngại rủi ro.  Nếu s(p) = 0 thì g(p) đặc trưng cho trung tính rủi ro. Trở lại, hệ số thích rủi ro tuyệt đối của hàm dual-gamma distortion G(p) (hay gọi tắt là độ risk seeking) được tính như sau:                       1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 1 2 22 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 1 1 1 , 1 1 1 1 exp 1 . G p s p F p G p s p F p F p                                                               Nhận xét: Khi G(p) thể hiện thích rủi ro thì độ risk seeking là một hàm tăng theo p và ngược lại. Điều đó cho thấy sử dụng lớp hàm dual-gamma distortion rất tốt trong việc đặc trưng thái độ chấp nhận rủi ro. Vấn đề sẽ được nghiên cứu sâu hơn sau này. 5.2 Tìm hàm hữu ích thông qua hàm distortion Vì              1 ; ; . p g p M p I p M F y u y          nên                  . . 1 . 1 . 5.15 t c I F y u y I g F y u y I g F y dy u t         Biểu thức (5.15) thể hiện mối liên hệ giữa hàm hữu ích và hàm distortion. Thông qua biểu thức này, chúng ta có thể khảo sát một số tính chất liên quan. Đặc biệt là vì thái độ chấp nhận rủi ro có thể đặc trưng thông qua hàm hữu ích. Từ đó, chúng ta có thể đánh giá thái độ đối với rủi ro của người ra quyết định qua hàm distortion.  Định lý 5.2 Giả sử g(p) là hàm distortion của người ra quyết định . Khi đó, (i) Người ra quyết định là người thích rủi ro khi và chi khi g(p) là một hàm lõm. (ii) Người ra quyết định là người lo ngại rủi ro khi và chi khi g(p) là một hàm lồi. Chứng minh: Ta có thể giả hàm g(p) là một hàm có đạo hàm tới cấp 2. Trường hợp g(p) không thỏa điều này thì chứng minh sử dụng bất đẳng thức Jensen. Từ (5.15) ta có               . 1 . 1 5.16 I g F x u x I g F x F x u x         45 Mặt khác, vì u(x) là hàm không giảm, ta có      1 1 1 0 0 = 0, def I M p dp u F p dp   và 𝐹′(𝑥) = 𝑓(𝑥) = exp (− ∫ 𝑢(𝑡)𝑑𝑡 𝑥 𝑐 ) > 0, ∀𝑥 ∈ 𝑅 Do đó, từ (5.16)     0 1 0, .u x g F x x      Suy ra u(x) là một hàm lồi trên 𝑅 khi và chỉ khi g(p) là một hàm lõm trên [0;1]. Theo định lý 2.2 ta có (i). Tương tự, ta cũng có 𝑢"(x)≤0↔g"(1 − 𝐹(𝑥)) ≥ 0, ∀𝑥 ∈ 𝑅. Suy ra u(x) là một hàm lõm trên 𝑅 khi và chỉ khi g(p) là một hàm lồi trên [0;1]. Theo định lý 2.1 ta có (ii). Chúng ta xét một số ví dụ minh họa tìm hàm lợi ích khi ta biết hàm distortion.  Ví dụ 5.4: Cho g(p) là một hàm dual power distortion như sau: Tìm hàm hữu ích tương ứng?  Khi  = 1, ta có:    1 1 1 .g p p p    Sử dụng (5.15), ta được u(x) là một hàm bậc nhất có dạng,   ,u x ax b  với a = I, b = - I.c là các hằng số.  Khi  = 2, ta có:     2 2 1 1 .g p p   Sử dụng (5.16), ta được u(x) là một hàm thỏa mãn phương trình vi phân,         2 . 2 . x c u t dt I F x u x I e u x      Rõ ràng, hai vế đều dương nên ta có thể lấy lôgarit hai vế      ln 2 ln . x c I u t dt u x  Khi đó, bằng cách đạo hàm hai vế, ta được:        . 5.17 u x u x u x     Đến đây, ta dễ dàng kiểm tra thấy rằng nếu ta chọn u(x) có dạng   3 ,u x x c   thì u(x) thỏa mãn (5.17). 6. Thái độ chấp nhận rủi ro tương ứng các lớp hàm distortion Bây giờ, chúng ta sử dụng định lý 5.2 để khảo sát các lớp hàm distortion g(u) cụ thể tương ứng với các thái độ chấp nhận rủi ro của người ra quyết định: 1) VaR distortion function (Hàm biến dạng VaR)   0, , 1, . p g p p       Dễ thấy g(u) không phải làm lõm và cũng phải hàm lồi. Do đó, VaR distortion không đặc trưng cho người thích rủi ro hay ghét rủi ro. Nó phù hợp hơn với dạng người trung tính rủi ro. 2) TVaR distortion function (Hàm biến dạng TVaR)   , . 1, . p p g p p          46 TVaR distortion rõ ràng là một hàm lõm (không chặt). Do đó, nó đặc ưng cho nhóm người thích rủi ro hoặc trung tính. 3) Dual-power distortion function (Hàm biến dạng kép)    1 1 , 1.g u u      Ta có:          1 2 1 , 1. 1 1 0. 1. g u u g u u                      Dual-power distortion là một hàm lõm. Vì vậy, nó đặc trưng cho thích rủi ro. Trường hợp đặc biệt,  1 ,g u u    mô tả cho thái độ trung tính rủi ro. Độ risk seeking được tính           2 1 , 1 1 1 0, 1. 1 g u s u g u u s u u                    Rõ ràng, độ risk seeking s(u) của dual- power distortion là một hàm tăng theo u. 4) Proportional hazard distortion function (Hàm biến dạng rủi ro theo tỷ lệ)   1 , 1.g u u   Ta có:     1 1 2 2 1 , 1. 1 0. 1. g u u g u u                     Do đó,   1, :g u u   Trung tính rủi ro.    1 1, :g u u   Thích rủi ro. Độ risk seeking được tính           1 2 1 2 2 1 , 1, 1 0, 1, g u s u u g u s u u                            Độ risk seeking s(u) của proportional hazard distortion là một hàm giảm theo u. 5) Wang's distortion function (Hàm biến dạng của Wang)     1 .g u u    a) Đạo hàm cấp 1: Ta có:               2 1 1 1 1 1 ( ) 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 . 2 u ug u u u u u uu u e u                                     Ta lại có đạo hàm của hàm ngược được tính theo công thức   1 1 ( ) 1 . ( ) F x x F F x      Vì vậy, ta có:         2 1 2 1 ( )1 2 1 ( ) 2 1 ( ) 1 1 2 . ( ) 1 ( ) 2 u u u e u u e u                   Do đó,   2 1 ( ) 2 0, ug u e u u           . b) Đạo hàm cấp 2       2 1 2 1 2 1 12 ( ) 2 2 ( ) ( ) 2 2 ( ) 2 . u p u ug u e u u e                            47 Suy ra,   0g u  , tức  g u là hàm lõm nếu 0.  Ngược lại,   0g u  , tức  g u là hàm lồi nếu 0.  Vậy, hàm Wang distortion đặc trưng cho cả ba thái độ chấp nhập rủi ro. Hàm dual gamma distortion trong định nghĩa 5.1 cũng là một lớp hàm distortion như thế. Cụ thể,   = 0: Trung tính rủi ro.   > 0: Thích rủi ro.   < 0: Ghét rủi ro. Độ risk seeking được tính           2 1 ( ) 2 1 2 , 2 . ( ), u g u s u e g u s u u             Độ risk seeking s(u) của Wang's distortion phụ thuộc vào  và điều này là phù hợp với tích chất của Wang's distortion. Cụ thể,   > 0: độ thích rủi ro tăng theo u.   < 0: độ thích rủi ro giảm theo u, tức là ghét rủi ro tăng. 6) Denneberg's distortion function (Hàm biến dạng của Denneberg)       1 , 0 0,5 , 0 1. 1 , 0,5 1 u u g u u u                Có thể chứng minh được rằng Denneberg's distortion là một hàm lõm. Do đó,nó đặc trưng cho nhóm người thích rủi ro. Bây giờ, ta chứng minh Denneberg's distortion là lõm. Lấy  , , 0;1u v  . Khi đó, các trường hợp có thể có:  Trường hợp  , 0;0,5u v hoặc  , 0;0,5u v : Giả sử ta xét  , 0;0,5u v thì dễ thấy    1 0;0,5u v    . Và vì g(u) là tuyến tính nên rõ ràng nó thỏa mãn bất đẳng thức Jensen (chính xác hơn là xảy ra dấu bằng)         1 1 .g u v g v g v        Suy ra g(u) là một hàm lõm.  Trường hợp    0;0,5 , 0,5;1u v  hoặc    0;0,5 , 0,5;1v u  : Không mất tính tổng quát, ta xét    0;0,5 , 0,5;1u v  , tức là:         1 ; 1 . g u u g v v           Ta có    1 0;0,5u v    hoặc    1 0,5;1u v    . Do đó, + Nếu    1 0;0,5u v    thì ta có:                                               1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 . g u v u v u v u v v u v v g u g v v g u g v                                                                         48 + Nếu    1 0,5;1u v    thì ta có:                                     1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 2 , 0;0,5 1 . g u v u v u v u v u g u g v u u g u g v                                                              Vậy, g(u) là một hàm lõm. Một cách trực quan hơn, đồ thì của g(u) được vẽ dưới đây ứng với  = 0,5. Hình 2 7) Quadratic distortion function (Hàm biến dạng bậc hai)     21 , 0 1.g u u u       Ta có       1 2 0, 0 1. 2 0, 0 1. g u u g u                     = 0: Trung tính rủi ro.   > 0: Thích rủi ro. Độ risk seeking được tính             2 2 2 , 1 1 2 4 0. 1 1 2 g u s u g u u s u u                    Như vậy, độ risk seeking s(u) của quadratic distortion là một hàm giảm theo u. 8) Square-root distortion function (Hàm biến dạng căn bậc hai)   1 1 , 0. 1 1 , 0. u g u u               Ta có,     1 1 , 0. 12 1 1 1, 0. ug u                 3 1 1 0, 0. 4 1 1 1 0, 0. g u u              Vậy,   = 0: Trung tính rủi ro.   > 0: Thích rủi ro. Độ risk seeking           2 1 1 0, 0, 2 1 0, 0. 1 0, 0. 2 1 g u s u u g u s u u                        Rõ ràng, khi  = 0 thì g(u) đặc trưng cho trung tính rủi ro nên độ risk seeking bằng 0. Ngược lại, khi  > 0 thì độ risk seeking 49 của square-root distortion giảm theo u. 9) Exponential distortion function (Hàm biến dạng dạng mũ)   1 , 0. 1 , 0. ue g u e u              Ta có:   , 0. 1 1, 0. ue g u e               và   2 0, 0. 1 0, 0. ue g u e                 Vậy,   = 0: Trung tính rủi ro.   > 0: Thích rủi ro. Độ risk seeking       , 0, 0, 0. g u s u g u            Như vậy, exponential distortion có độ risk seeking là một hằng số. 10) Logarithm distortion function (Hàm biến dạng logarit)       ln 1 , 0. ln 1 , 0. u g u u            Ta có,     1 , 0. ln 1 1 1, 0. ug u              và       2 2 1 0, 0. ln 1 1 0, 0. g u u               Vậy,   = 0: Trung tính rủi ro.   > 0: Thích rủi ro. Độ risk seeking       2 2 , 0, 1 0, 0. 0, 0 1 s u u s u u                    Độ risk seeking của logarithm distortion tương tự như square-root distortion. Tuy nhiên, khi  > 2 thì square- root distortion có độ thích rủi ro lớn hơn logarithm distortion. Ngược lại, khi 0 <  < 2 thì square-root distortion có độ thích rủi ro nhỏ hơn logarithm distortion.  Nhận xét: Các hàm distortion đa số là các hàm lõm. Do đó, chúng thể hiện thái độ thích rủi ro của người ra quyết định. Điều kiện hàm lõm cũng chính là điều kiện để độ đo rủi ro distortion thỏa mãn các tiên đề của một độ đo rủi ro, đặc biệt đó lá tính bán cộng tính (subadditive). 7. Kết luận Bài báo đã thiết lập mối liên hệ giữa hàm hữu ích trong lý thuyết hữu ích (utility theory) và hàm distortion trong độ đo rủi ro distortion. Một số biểu thức được xây dựng để tìm hàm distortion thông qua 50 hàm hữu ích. Ngược lại, vấn đề từ hàm distortion tìm hàm hữu ích tuy vẫn chưa thiết lập được công thức tường minh nhưng thông qua phương trình biểu diễn mối liên hệ đó, chúng tôi đã nghiên cứu được tính chất lồi lõm cần thiết của các hàm distortion. Cụ thể, khi hàm distortion lồi thì hàm hữu ích lõm và ngược lại. Từ đó, chúng tôi khảo sát nhiều lớp hàm distortion và rút ra các đặc trưng cho các thái độ chấp nhận rủi ro của người ra quyết định. Hơn nữa, mức độ chấp nhận rủi ro của người ra quyết định khi họ sử dụng các lớp hàm này cũng được tính toán thông qua hệ số thích rủi ro tuyệt đối (coefficient of absolute risk seeking). Bài báo cũng đã xây dựng được một lớp hàm dual-gamma distortion với bốn tham số. Do đó, nó có thể linh hoạt mô tả thái độ chấp nhận rủi ro của người ra quyết định khi ta điều chỉnh các tham số của nó. Nghiên cứu sâu hơn về lớp hàm dual- gamma distorion sẽ là hướng tiếp theo của bài báo. TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. K. J. Arrow (1974), Essays in the Theory of Risk Bearing, North Holland. 2. K. Dowd, J. Cotter, G. Sorwar (2008), “Spectral risk measures: properties and limitations”, Journal of Financial Services Research, Vol. 34, pp. 61–75. 3. J. W. Pratt (1964), Risk aversion in the small and in the large, Econometrica (320), 122-136. 4. S. Sriboonchitta, W.-K.Wong, S. Dhompongsa, and H.T. Nguyen (2009), “Stochastic Dominance and Applications to Finance”, Risk and Economics, CRC Press, Boca Raton, Florida. 5. S. Sriboonchitta1, H. T. Nguyen, V. Kreinovich (2010), “How to relate Spectral Risk Measures and Utilities”, International Journal of Intelligent Technologies and Applied Statistics, 3:141. 6. S. Wang (1996), “Premium calculation by transforming the layer premium density”, ASTIN Bulletin, (26), 71-92. 7. S. Wang (1999), “A class of distortion operators for pricing financial and insurance risks”, Technical report, SCOR Reinsurance Company. Ngày nhận bài: 11/9/2015 Biên tập xong: 15/10/2015 Duyệt đăng: 20/10/2015