Các bài toán về dạng đại số của số phức (Phần 2)

CÁC BÀI TOÁN VỀ DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC -----------Phần 2--------- B. Xác định tập hợp điểm M trong mặt phẳng phức I. Kiến thức cần nhớ Dạng 1: Số phức z thỏa mãn biểu thức về độ dài (môđun). Khi đó ta sử dụng công thức 2 2z a b  Dạng 2: Số phức z là số thực (thực âm hoặc thực dương), số ảo. Khi đó, ta sử dụng kết quả sau: a. Để z là số thực điều kiện là b=0. b. Để z là số thực âm điều kiện là: 0 0 a b    . c. Để z là số thực dương điều kiện là: 0 0 a b    . d. Để z là số ảo điều kiện là a=0. II. Bài tập Ví dụ 1: Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thỏa mãn từng điều kiện sau: a. 1z i  b. 1 z i z i    c. 3 4z z i   Giải: Với số phức  ,z x yi x y R   được biểu diễn bởi điểm  ;M x y . a. Ta có:     221 1 1z i x yi i x y i x y             22 1 1x y    . Vậy tập hợp điểm M thuộc đường tròn tâm  I 0;1 , bán kính 1R  . b. Ta có:    1 1 1 z i z i z i x y i x y i z i                  2 22 21 1 0x y x y y        Vậy tập hợp điểm M thuộc trục Ox (trục thực). c. Ta có:  3 4 3 4 3 4z z i x yi x yi i x y i                 2 22 2 3 4 6 8 25 0x y x y x y          Vậy tập hợp điểm M thuộc đường thẳng   : 6 8 25 0d x y   . Ví dụ 2: a) Cho số phức  ,z x yi x y R   . Khi z i , hãy tìm phần thực và phần ảo của số phức z i z i   . b) Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện z i z i   là số thực dương. Giải: a) Ta có:           22 1 11 w 1 1 x y i x y ix y iz i x yi i z i x yi i x y i x y                             2 2 22 1 2 1 x y xi x y       Do đó số phức w có phần thực là     2 2 22 1 1 x y x y     , phần ảo là   22 2 1 x x y  . b) Để w là số thực dương điều kiện là: 2 2 11 0 2 0 0 yx y x x            . Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z thuộc trục Oy (trục ảo) trừ các điểm có tung độ 1y  . Ví dụ 3: Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số thỏa mãn điều kiện 3 4z z   . Giải: Với số phức  ,z x yi x y R   được biểu diễn bởi điểm  ;M x y . Ta có: 4 3 2 3 2 3 4x yi x yi x x           1 2 7 2 x x         . Vậy tập hợp điểm M thuộc hai đường thẳng 1 2 x  và 7 2 x   . Ví dụ 4: Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số thỏa mãn điều kiện   2 z i z  là số ảo tùy ý. Giải: Với số phức  ,z x yi x y R   được biểu diễn bởi điểm  ;M x y . Ta có:        2 2w 2 2 2 2 2z i z x yi i x yi x y x y x y i                Để w là số ảo điều kiện là:   2 22 2 1 52 0 1 2 4 x y x y x y                . Vậy tập hợp điểm M thuộc đường tròn tâm 1 1; 2 I       , bán kính 5 2 R  Ví dụ 5: Tìm số phức z thỏa mãn hai điều kiện: 1 2 3 4z i z i     và 2z i z i   là một số thuần ảo. Giải: Đặt z= x+ yi (x,y R ) Theo bài ra ta có             2 2 2 2 1 2 3 4 1 2 3 4 5 x y i x y i x y x y y x                   Số phức            2 22 2 2 1 2 32 w 1 1 x y i x y y x y iz i x y iz i x y               w là một số ảo khi và chỉ khi      2 22 122 1 0 7 1 0 23 5 7 x y y x x y yy x                      Vậy 12 23 7 7 z i   Ví dụ 6: Tìm tất cả các số phức z biết 22z z z  Giải: Gọi z= a+ bi (a,b R ) ta có:     222 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 0 2 1 1 ; 2 22 1 02 1 1 ; 2 2 z z z a bi a b a bi a b abi a b a bi a b a ba b a b a a b b aab b a b                                               Vậy z=0; 1 1 1 1 ; 2 2 2 2 z i z i      Ví dụ 7: Tìm số phức z biết  2 3 1 9z i z i    Giải: Gọi z= a+ bi (a,b R ) ta có:     2 3 1 9 2 3 1 9z i z i a bi i a bi i             3 1 2 3 3 3 1 9 3 3 9 1 a b a a b a b i i a b b                     Vậy z= 2-i Ví dụ 8: Tìm số phức z thỏa mãn 2z  và z2 là số thuần ảo. Giải: Gọi z= a+ bi (a,b R ) Ta có 2 2z a b  và 2 2 2 2z a b abi   Yêu cầu bài toán thỏa mãn khi và chỉ khi 2 2 2 2 2 2 2 1 1 10 1 a b a a ba b b                   Vậy các số phức cần tìm là 1+i; 1-i; -1+i; -1-i Ví dụ 9: TÌm số phức z biết 5 3 1 0 i z z     Giải: Gọi z= a+ bi (a,b R ) và 2 2 0a b  ta có     2 2 2 2 2 2 2 5 3 5 3 1 0 1 0 5 3 0 5 0 5 3 0 3 0 2 0 1; 3 3 2 2; 3 i i z a bi a b i a bi z a bi a b a a b a b i b a a a b b a b                                                      Vậy 1 3z i   hoặc 2 3z i  Bài tập áp dụng: 1. Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số thỏa mãn điều kiện 2 2z i z z i    . ĐS: M thuộc parabol   2 : 4 x P y  . 2. Xác định tập hợp các điểm nằm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thỏa mãn z k z i   , k là số thực dương cho trước. ĐS: M thuộc đường thẳng 1 2 y  hoặc M thuộc đường tròn tâm 2 2 0; 1 k I k       , bán kính 2 1 k R k   . 3. Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số z thỏa mãn 0zz z z k     , trong đó  là số phức cho trước, k là số thực cho trước. 4. Tìm số phức z thỏa mãn đông thời 1 1 z z i    và 3 1 z i z i    . 5. Tìm số phức z thỏa mãn 4 1 z i z i       . 6. Xác định tập hợp cac điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thỏa mãn từng điều kiện sau: a) 1z i  b) 1 z i z i    c) 3 4z z i  