Các bài toán về dạng đại số của số phức (Phần 1)

CÁC BÀI TOÁN VỀ DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC -----------Phần 1--------- A. CÁC PHÉP TÍNH VỀ SỐ PHỨC I. Kiến thức cần nhớ  Số phức (dạng đại số):  2, , 1z a bi a b R i     ; a là phần thực, b là phần ảo của z; z là số thực  phần ảo của z bằng 0; z là số ảo  phần thực của z bằng 0.  Hai số phức bằng nhau:   ' ' ' , , ', ' ' a a a bi a b i a b a b R b b         .  Biểu diễn hình học: Số phức  ,z a bi a b R   được biểu diễn bởi điểm  ;M a b hay bởi vec tơ  ;u a b trong mặt phẳng tọa độ Oxy (mặt phẳng phức).  Cộng, trừ số phức:               ( ) ' ' ' ' ( ) ' ' ' ' , , , ', ' a bi a b i a a b b i a bi a b i a a b b i a b a b R                Số đối của z a bi  là  ,z a bi a b R     . z biểu diễn bởi u , z’ biểu diễn bởi 'u thì: 'z z biểu diễn bởi 'u u 'z z biểu diễn bởi 'u u .  Nhân hai số phức:         ' ' aa ' ' ' ' , , , ', 'a bi a b i bb ab ba i a b a b R       k là số thực, z biểu diễn bởi u thì kz biểu diễn bởi ku .  Số phức liên hợp của số phức  ,z a bi a b R   là z a bi  . ; ' '; ' 'z z z z z z zz zz     z là số thực  z z , z là số ảo  z z  .  Môđun của số phức  ,z a bi a b R   : 2 2z a b zz   0z  với mọi z C và 0 0z z   ' ' , ' 'zz z z z z z z    với mọi , 'z z C .  Chia hai số phức: Số phức nghịch đảo của  0z z  : 1 2 1 z z z   Thương của 'z chia cho  0z z  : 1 2 ' ' ' ' z z z z z z z z zzz    Với ' 0, w ' w z z z z z     thì: '' ' ' , zz z z z z z z         Căn bậc hai của số phức Z là một căn bậc hai của số phức 2w z w  .  ,z x yi x y R   là căn bậc hai của   2 2 w , 2 x y a a bi a b R xy b          . Số 0 có đúng một căn bậc hai là 0. Số phức khác 0 có đúng hai căn bậc hai là hai số đối nhau. Hai căn bậc hai của số thực 0a  là a . Hai căn bậc hai của số thực 0a  là ai  . II. Bài tập 1. Xác định các yếu tố của số phức Ví dụ 1 Xác định phần thực và phần ảo của mỗi số phức sau: a)    2 4 3 2z i i i     b)   2 2 3z i  c)   2 3 2 3z i i   d)   2 3z i i i   Giải: a) 1z i   có phần thực là -1; phần ảo là -1. b) 7 6 2z i   có phần thực là -7; phần ảo là 6 2 . c) 13z  có phần thực là 13, phần ảo là 0. d) 1 7z i  có phần thực là 1, phần ảo là 7. Ví dụ 2: Thực hiện phép tính: 1 1 3 2 3 4 ; ; ; 2 3 41 3 2 2 i i i i i i      Giải: a)     2 1 2 3 2 3 1 2 3 2 3 2 3 2 3 4 9 13 i i i i i i i           b) 1 3 1 1 32 2 2 21 3 1 3 1 3 2 2 2 2 2 2 i i i i i                c) 2 2 3 2 2 3 2 3 i i i i i i        d)         3 4 43 4 1 16 13 4 4 4 17 i ii i i i i         Ví dụ 2: Cho 1 3 2 2 z i   . Hãy tính   3 2 21 ; ; ; ;1z z z z z z   . Giải: 1 3 1 1 1 32 2 2 21 3 1 3 1 3 2 2 2 2 2 2 i i z i i i                      1 3 2 2 z i   2 1 3 1 3 1 3 2 2 2 2 2 2 z i i i                     3 1z  2 1 3 1 31 1 0 2 2 2 2 z z i i        Ví dụ 3: Giả sử z1; z2 là hai số phức thỏa mãn 6 2 3z i iz   và 1 2 1 3 z z  Tính môđun 1 2z z Giải: Đặt  ,z x yi x y R               2 2 2 2 2 2 6 2 3 6 6 1 2 3 3 1 1 6 6 1 2 3 3 9 3 z i iz x y i y xi x y y x x y z                      Suy ra 1 2 1 3 z z  Ta lại có:       2 2 21 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 9 9 z z z z z z z z z z z z z z z z            Suy ra 1 2 2 1 1 9 z z z z  Khi đó:     2 2 21 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 3 z z z z z z z z z z z z         1 2 1 3 z z   Chú ý: Học sinh có thể đặt z1; z2 dạng đại số để tính. Ví dụ 4: Gọi z1 và z2 là hai nghiệm phức của phương trình 2 2 10 0z z   Tính giá trị biểu thức 2 2 1 2A z z  Giải: Ta có:       2 2 22 2 10 0 1 9 1 3 1 3 1 3 z z z z i z i z i                     2 2 1 1 2 2 1 3 1 3 10 1 3 10 z i z z i z              Vậy 2 2 1 2 20A z z   Ví dụ 5: Cho số phức z thỏa mãn 2 6 13 0z z   Tính 6 z z i   Giải:       2 2 22 6 13 0 3 4 3 2 3 2 3 2 z z z z i z i z i                 Với 3 2z i  ta có 6 6 3 2 4 17 3 3 z i i z i i          Với 3 2z i  ta có 6 6 1 3 2 24 7 5 3 5 z i i z i i          Ví dụ 6: Cho số phức z thỏa mãn   3 1 3 1 i z i    Tìm môđun của số phức z iz Giải: Ta có   3 1 3 8   Do đó 8 4 4 1 z i i       Suy ra 4 4z i    4 4 4 4 8 8z iz i i i i           Vậy 8 2z iz  Ví dụ 7: Tính mô đun của số phức z biết rằng:      2 1 1 1 1 2 2z i z i i       Giải: Gọi z= a+ bi (a, b R ) Ta có                           2 1 1 1 1 2 2 2 1 2 1 1 1 2 2 2 2 1 2 2 1 1 1 2 2 1 3 3 2 3 3 3 2 2 2 2 2 1 3 z i z i i a bi i a bi i i a b a b i a b a b i i a a b a b a b i i a b b                                                            Suy ra môđun: 2 2 2 3 z a b   Ví dụ 8: Cho hai số phức z1; z2 thỏa mãn điều kiện: 1 1 2 2 2 2 1 2 3 1 z i iz z i iz         Tính 1 2P z z  biết 1 2 1z z  Giải: Đặt  ,z x yi x y R       2 22 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 1 2 2 2 z i iz x y y x x y z z                Đặt   2 2 2 21 2; , , , 2; 2z a bi z c di a b c d R a b c d          Từ             2 2 1 2 2 22 2 2 2 2 1 2 1 1 2 3 2 7 z z a c b d ac bd P z z P a c b d a b c d ac bd                         Vậy 7P  Ví dụ 9: Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện  1 2 1 1 i z i     Tìm số phức có mô đun nhỏ nhất, lớn nhất. Giải: Đặt  ,z x yi x y R   thì         22 2 2 2 2 1 2 1 2 1 1 2 1 1 4 3 4 3 i z y xi i x y x y y z x y y                      Từ (1) ta có:   2 2 1 1 3 1 4 3 9y y y         Vậy số phức có mô đun lớn nhất là z=3i và số phức có mô đun nhỏ nhất là z=i Ví dụ 10: Biết rằng số phức z thỏa mãn   3 1 3u z i z i     là một số thực. Tìm giá trị nhỏ nhất của z Giải: Đặt  ,z x yi x y R   ta có          2 2 3 1 1 3 4 4 6 2 4 u x y i x y i x y x y x y i                      Ta có: 4 0u R x y     Tập hợp các điểm biểu diễn của z là đường thẳng d: x-y-4=0, M(x;y) là điểm biểu diễn của z thì mô đun của z nhỏ nhất khi và chỉ khi độ dài OM nhỏ nhất OM d  Tìm được M(-2;2) suy ra z=-2+2i. Ví dụ 11: Biết rằng số phức z thỏa mãn 2 2 1 z i z i      Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của z Giải: Gọi  ,z x yi x y R   ta có     2 2 2 1 2 1 1 1 z i x y i x y i z i                        2 2 2 2 222 1 2 1 1 3 10x y x y x y              Tập hợp các điểm biểu diễn của z là đường tròn tâm I(0;-3) bán kính 10R  M là điểm biểu diễn của z thì z nhỏ nhất khi và chỉ khi OM nhỏ nhất, z lớn nhất khi và chỉ khi OM lớn nhất. Tìm được Min 3 10z    khi  3 10z i   và Max 3 10z   khi  3 10z i   Ví dụ 12: Cho ba số phức 1 2 3, ,z z z đều có mô dun bằng 1. Chứng minh rằng: 1 2 3 1 2 2 3 3 1z z z z z z z z z     Giải: Vì 1 2 3 1z z z  Nên 1 2 2 3 3 11 2 2 3 3 1 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 1 1z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z               Suy ra 1 2 3 1 2 2 3 3 1z z z z z z z z z     Ví dụ 13: Chứng minh rằng nếu số phức z thỏa mãn 3 3 8 9z z   thì 2 3z z   Giải: Đặt   2 0a z a z    Ta có: 3 3 3 3 3 3 3 2 8 2 6 2 8 2 6 9 6 z z z z z z a z z z a z z z                          Ta được   3 26 9 0 3 3 3 0a a a a a        vì 2 3 3a a  >0 nên 2 3a z z    Ví dụ 14: Tìm các căn bậc hai của mỗi số phức sau: ;4 ; 4;1 4 3i i i   . Giải: a) Gọi  ,z x yi x y R   là căn bậc hai của i . Khi đó:   22 2 2w 2z x yi i x y xyi i          2 2 2 20 2 1 2 1 x y x y xy xy             Vậy có hai căn bậc hai là:   1 1 2 i  và   1 1 2 i   . b) Gọi  ,z x yi x y R   là căn bậc hai của 4i . Khi đó:   22 2 2w 4 2 4z x yi i x y xyi i        2 2 2 20 2 4 2 4 x y x y xy xy           Vậy có hai căn bậc hai là:  2 1 i và  2 1 i  . c) Hai căn bậc hai của -4 là 2i . d) Gọi  ,z x yi x y R   là căn bậc hai của 1 4 3i . Khi đó:   22 2 2w 1 4 3 2 1 4 3z x yi i x y xyi i          2 2 2 2 11 2 3 2 4 3 x y x y xy y x               Vậy có hai căn bậc hai là: 2 3i và 2 3i  . 2. Ứng dụng của số phức trong chứng minh bất đẳng thức Ví dụ:15 Chứng minh rằng các bất đẳng thức: a)    2 2 2 2 2 2 3 , , 0x xy y y yz z z zx x x y z x y z             b)        2 2 2 2 2 24 os cos sin 4sin sin sin 2 ,c x y x y x y x y x y R        Giải: a) Đặt 1 2 3 3 2 2 3 2 2 3 2 2 y z x yi z z y zi x z z xi          Ta có: 2 2 1 2 2 2 2 2 3 z x xy y z y yz z z z zx x          Và  1 2 3 3z z z x y z     Do 1 2 3 1 2 3z z z z z z     nên ta có điều phải chứng minh. b) Đặt     1 2 2cos cos isin 2sin sin isin z x y x y z x y x y       Làm tương tự như phần a) ta có điều phải chứng minh. Ví dụ 1: Chứng minh rằng nếu 1z  thì 2 1 1 2 z iz    Giải: Giả sử  ,z a bi a b R   thì 2 2z a b  2 2 2 21 1 1z a b a b       Ta có:         22 2 2 4 2 12 2 12 1 2 2 2 a ba b iz iz b ai b a           đpcm         22 2 22 2 2 2 2 2 4 2 1 1 4 2 1 2 1 2 a b a b b a a b b a                vậy ta có điều phải chứng minh. Ví dụ 2: Cho số phức z khác 0 thỏa mãn điều kiện 3 3 1 2z z   CMR: 1 2z z   Giải: Ta có với hai số phức 1 2 ,z z bất kỳ ta có : 1 2 1 2 z z z z   Ta có : 3 3 3 3 3 3 1 1 1 1 1 1 1 3 3 2 3z z z z z z z z z z z zz z                          Đặt 1 z a z   ta có    23 3 2 0 2 1 0a a a a       Vậy ta có điều phải chứng minh. Phạm Thị Thêu – ĐH Giáo Dục – ĐHQG Hà Nội. Ban Toán Sđt: 01649 232 901 8 Bài tập tự luyện 1. Cho các số phức : 2 3 ;2 ;3 2i i i   a) Biểu diễn các số đó trong mặt phẳng phức. b) Viết số phức liên hợp của mỗi số đó và biểu diễn chúng trong mặt phẳng phức. c) Viết số đối của mỗi số phức đó và biểu diễn chúng trong mặt phẳng phức. 2. Xác định phần thực, phần ảo và tính môđun của các số sau: a)   1 2 3 2i i  b)   2 1 3i i i  c)      4 2 3 5i i i     d)     2 2 1 1i i   e)     3 3 2 3i i   g) 3 2 1 i i i i     h) 7 7 1 1 2 i i i       k)      33 101 1 1 2 3 2 3 1 i i i i i i            l)         2 3 20 1 1 1 1 ... 1i i i i         . 3. Tìm căn bậc hai của mỗi số phức sau: a) 1 4 3i  b) 1 4 3i c) 4 6 5i d) 1 2 6i 