Các bài toán liên quan đến khảo sát hàm số

GIẢI TÍCH 12 Trang1 Gv : Trịnh Công Sự CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ I. HÀM BẬC BA. Bài 1: Cho hàm số   3 23 2y x x . a) Khảo sát và vẽ đồ thị  C của hàm số . b) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình :    3 23 2 0x x m . c) Chứng minh đồ thị  C có một tâm đối xứng Bài 2: Cho hàm số   3 22 3 5y x x . a) Khảo sát và vẽ đồ thị  C của hàm số . b) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình :    3 22 3 4 0x x m . c) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị  C biết tiếp tuyến đó song song với    : 12 2006d y x . Bài 3: Cho hàm số   3 21 2 3 3 y x x x . a) Khảo sát và vẽ đồ thị  C của hàm số. b) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình :     3 21 3 3 1 0 3 x x x m . c) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị  C biết tiếp tuyến đó vuông góc với     : 3 2 0d x y . Bài 4: Cho hàm số         3 22 3 6 1 2 1y x x m x m . a) Định m để hàm số có cực đại và cực tiểu . b) Khảo sát và vẽ đồ thị  C của hàm số khi m = 1 . c) Dùng đồ thị  C biện luận theo k số nghiệm của phương trình :    3 22 3 2 0x x k . Bài 5 : Cho hàm số y = x3 + 3x2 + 1 . a) Khảo sát và vẽ đồ thị  C của hàm số . b) Dựa vào đồ thị  C biện luận theo m số nghiệm của phương trình x3 + 3x2 + m = 0 c) Từ gốc tọa độ có thể kẻ được bao nhiêu tiếp tuyến với đồ thị  C . Viết phương trình các tiếp tuyến đó . Bài 6 : Cho hàm số    3 3 2y x x . a) Khảo sát và vẽ đồ thị  C của hàm số . b) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình :    3 3 1 0x x m c) Cho  d là đường thẳng đi qua điểm uốn của  C có hệ số góc k . Biện luận theo k vị trí tương đối của  d và  C . Bài 7 : Cho hàm số y = x3 – 3x2 – 1 . a) Khảo sát và vẽ đồ thị  C của hàm số . b) Dựa vào đồ thị biện luận theo m số nghiệm của phương trình x3 – 3x2 + 5 – 2m = 0 . c) Viết phương trình tiếp tuyến của  C , biết tiếp tuyến song song với đường thẳng   : 4 1y x GIẢI TÍCH 12 Trang2 Gv : Trịnh Công Sự Bài 8 : Cho hàm số   3 24 4y x x x . a) Khảo sát và vẽ đồ thị  C của hàm số . b) Lập phương trình tiếp tuyến với  C đi qua điểm A  0;6 . c) Gọi  kd là đường thẳng qua gốc tọa độ O có hệ số góc k . Định k để đường thẳng  kd cắt  C tại 3 điểm phân biệt . Bài 9 : Cho hàm số :     3 23 4y x m x mx có đồ thị là  mC . a) Định m để  mC có cực trị . b) Khảo sát và vẽ đồ thị  0C của hàm số khi m = 0 . c) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị  0C đi qua A       1;0 3 . Bài 10 : Cho hàm số :     3 23 3 3 4y x x mx m có đồ thị  mC . a) Định m để  mC có cực trị . b) Định m để  mC cắt Ox tại 3 điểm phân biệt . c) Khảo sát và vẽ đồ thị  1C của hàm số khi m = 1 . d) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị  1C đi qua A  0;7 . II. HÀM TRÙNG PHƯƠNG Bài 1 : Cho hàm số 4 2y x 2x 3    có đồ thị  C . a) Khảo sát hàm số. b) Dựa vào đồ thị  C , hãy xác định m để phương trình 4 2x 2x m 0   có bốn nghiệm phân biệt. Bài 2 : Cho hàm số 4 21 9y x 2x 4 4     a) Khảo sát và vẽ đồ thị  C của hàm số . b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị  C vẽ từ 9A 0; 4       . Bài 3 : Cho hàm số   4 21 33 2 2 y x x . a) Khảo sát và vẽ đồ thị  C của hàm số . b) Viết phương trình tiếp tuyến của  C tại điểm uốn . c) Tìm tiếp tuyến của  C đi qua điểm      30; 2 A . Bài 4 : Cho hàm số :       4 2 29 10 1y mx m x ( m là tham số ) a) Khảo sát và vẽ đồ thị  1 của hàm số khi m = 1. b) Tìm m để hàm số  1 có ba cực trị . GIẢI TÍCH 12 Trang3 Gv : Trịnh Công Sự Bài 5 : Cho hàm số    4 2 92 4 4 xy x . a) Khảo sát và vẽ đồ thị  C của hàm số . b) Viết phương trình tiếp tuyến của  C tại các giao điểm của nó với trục Ox. c) Biện luận theo k số giao điểm của  C với đồ thị của hàm số 2y k 2x  . Bài 6 : Cho hàm số :      4 2 5y f x x mx m có đồ thị là  mC a) Xác định m để  mC có ba điểm cực trị. b) Khảo sát và vẽ đồ thị  C của hàm số với m 2  . c) Viết phương trình tiếp tuyến của  C song song với đường thẳng  d : y 24x 1  . III. HÀM nhất biến Bài 1 : Cho hàm số   3 2 2 xy x có đồ thị là  C . a) Khảo sát và vẽ đồ thị  C của hàm số . b) Tìm các điểm trên  C có tọa độ là những số nguyên . c) Chứng minh rằng không có tiếp tuyến nào của  C đi qua giao điểm hai đường tiệm cận của  C . Bài 2 : Cho hàm số   3 1 xy x có đồ thị là  C . a) Khảo sát và vẽ đồ thị  C của hàm số . b) Chứng minh rằng đường thẳng  2y x m luôn cắt  C tại 2 điểm phân biệt M và N. c) Xác định m sao cho độ dài đọan MN là nhỏ nhất. Bài 3: Cho hàm số   1 1 xy x có đồ thị là  C . a) Khảo sát và vẽ đồ thị  C của hàm số . b) Chứng minh đồ thị nhận giao điểm của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng . c) Viết phương tiếp tuyến của  C tại  M 0; 1 . Bài 4 : Cho hàm số   2 1 1 xy x có đồ thị là  C . a) Khảo sát và vẽ đồ thị  C của hàm số . Tìm các điểm trên  C có tọa độ là những số nguyên . b) Tìm trên  C những điểm có tổng khoảng cách từ đó đến hai tiệm cận của  C là nhỏ nhất . c) Đường thẳng  d đi qua A  1;1 có hệ số góc k . Định k để  d cắt  C tại hai điểm thuộc hai nhánh của  C . d) Lập phương trình tiếp tuyến với  C , biết tiếp tuyến đó song song với đường phân giác của góc phần tư thứ nhất . Bài 5 : Cho hàm số   2 3 xy x có đồ thị là  C . GIẢI TÍCH 12 Trang4 Gv : Trịnh Công Sự a) Khảo sát và vẽ đồ thị  C của hàm số . b) Chứng minh giao điểm của hai đường tiệm cận của đồ thị làm tâm đối xứng của  C . c) Tìm điểm M trên đồ thị  C sao cho khoảng cách từ M đến đường tiệm cận đứng bằng khoảng cách từ M đến đường tiệm cận ngang. Bài 6 : Cho hàm số 2x 1y x 1    . a) Khảo sát và vẽ đồ thị  C của hàm số. b) Chứng minh đồ thị  C có tâm đối xứng. c) Gọi I là tâm đối xứng của  C . Tìm M thuộc  C sao cho IM nhỏ nhất. Bài 7 : Cho hàm số  3 x 1y x 2    . a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị  C của hàm số. b) Tìm tất cả các điểm trên  C có toạ độ là các số nguyên. c) Viết phương trình tiếp tuyến của  C kẽ từ gốc toạ độ. IV. HÀM hữu tỉ Bài 1 : Cho hàm số    2x x 1y x 1 a) Khảo sát và vẽ đồ thị  C của hàm số. b) Dựa vào đồ thị,hãy biện luận theo m số nghiệm của phươngtrình      2x 1 m x 1 m 0 c) Chứng minh  C không có tiếp tuyến nào song song với đường thẳng  y 2x 1 . Bài 2 : Cho hàm số      2 3 1 x m x m y x , m là tham số, đồ thị là  mC . a) Khảo sát và vẽ đồ thị  C của hàm số khi m = 2 . b) Chứng minh rằng  mC nhận giao điểm các đường tiệm cận làm tâm đối xứng. c) Đường thẳng  d đi qua gốc tọa độ có hệ số góc làk .  Biện luận theo k số giao điểm của đường thẳng  d và đồ thị  C .  Suy ra phương trình tiếp tuyến của đồ thị  C vẽ từ góc tọa độ .Vẽ tiếp tuyến đó. Bài 3 : Cho hàm số     2 22 1x mx my x m với m là tham số . a) Khảo sát và vẽ đồ thị  C của hàm số với m = 1 . b) Viết phương trình đường thẳng  d đi qua điểm  3;0A có hệ số góc k .Biện luận theo k số giao điểm của đồ thị  C và đường thẳng  d . Viết phương trình tiếp tuyến của  C đi qua điểm A . c) Chứng minh với m bất kì đồ thị hàm số luôn có điểm cực đại, điểm cực tiểu và tổng các tung độ của chúng bằng 0. GIẢI TÍCH 12 Trang5 Gv : Trịnh Công Sự Bài 4 : Cho hàm số     12 1 1 y x x a) Khảo sát và vẽ đồ thị  C của hàm số . b) Viết phương trình tiếp tuyến với  C kẻ từ điểm A  1;3 . c) Định m để đường thẳng    :d y x m cắt  C tại hai điểm I , J sao cho độ dài IJ bằng 4. Bài 5 : Cho hàm số   2 2 1 xy x có đồ thị là  C . a) Khảo sát và vẽ đồ thị  C của hàm số . b) Tìm các điểm trên  C có tọa độ là những số nguyên . c) Tìm các điểm trên  C cách đều hai trục tọa độ. Bài 6 : Cho hàm số   2 3 1 xy x có đồ thị là  C . a) Khảo sát và vẽ đồ thị  C của hàm số . b) Dùng độ thị biện luận theo m số nghiệm của phương trình :    2 3 0x mx m . c) Một điểm  0 0;M x y bất kì thuộc  C . Chứng minh rằng tích khoảng cách từ M đến hai tiệm cận không đổi . d) Tìm điểm M trên  C sao cho tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận là nhỏ nhất. Bài 7 : Cho hàm số   2 5 1 xy x có đồ thị là  C . a) Khảo sát và vẽ đồ thị  C của hàm số . b) Dùng đồ thị biện luận theo m số nghiệm của phương trình :    2 5 0x mx m . c) Viết phương trình tiếp tuyến   đi qua  3;0M đến  C . d) Một điểm  0 0;M x y bất kì thuộc  C . Chứng minh rằng tích khoảng cách từ M đến hai tiệm cận không đổi . Bài 8 : TNTHPT 2007 Cho hàm số 2y x 1 2x 1     , gọi đồ thị của hàm số là  H . a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số. b) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị  H tại điểm  A 0; 3 . Bài 9 : ĐH khối D 2003 Cho hàm số     2 2 4 1 2 x xy x ( với m là tham số ) . a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số  1 . b) Tìm m để đường thẳng     : 2 2md y mx m cắt đồ thị của hàm số  1 tại hai điểm phân biệt