Các bài toán hình chọn lọc

Toaùn 12 – Hình hoïc khoâng gian Trần Quang Thuận 1 CAÙC BAØI TOAÙN HÌNH CHOÏN LOÏC 1) Trong khoâng gian vôùi heä toïa ñoä Oxyz, cho hình laäp phöông ABCD.A’B’C’D’ vôùi A(0; 0; 0), B(1; 0; 0), D(0; 1; 0), A’(0; 0; 1). Goïi M vaø N laàn löôït laø trung ñieåm cuûa AB vaø CD, a) Tính khoaûng caùch giöõa hai ñöôøng thaúng A’C vaø MN. b) Vieát phöông trình maët phaúng chöùa A’C vaø taïo vôùi maët phaúng Oxy moät goùc α bieát 1 cos 6 α = (Ñaïi hoïc khoái A – 2006) Giaûi a) Tính khoaûng caùch giöõa hai ñöôøng thaúng A’C vaø MN Choïn heä truïc toïa ñoä Axyz nhö hình veõ thì toïa ñoä caùc ñieåm laø: A(0; 0; 0), B(1; 0; 0), C(1; 1; 0), D(0; 1; 0), A’(0; 0; 1); B’(1; 0; 1), C’(1; 1; 1), D’(0; 1; 1), M( 1 2 ; 0; 0), N( 1 2 ; 1; 0) Ta coù ( ) ( ) 1A ' C 1;1; 1 , MN 0; 1; 0 , A ' M ; 0; 1 2   = − = = −   












 ( ) ( ) 2 2 2 A ' C, M N 1; 0;1 1 1A ' C, M N .A ' M 12 d A ' C, MN 2 21 0 1A ' C, MN   =  −    ⇒ = = =   + + 




























 1 b) Vieát phöông trình maët phaúng chöùa A'C vaø taïo vôùi m aët phaúng Oxy moät goùc bieát cos 6 α α = A ' C coù qua A'(0;0;1) VTCP laø A'C (1;1; 1) x - y 0x y z 1 neân pt chính taéc A'C laø pt toång quaùt A'C laø y z 1 01 1 1 Goïi (P) laø m aët phaúng caàn tìm . Vì m p (P) chöùa A'C neân pt mp (P) daïng = − =− = = ⇒  + − =− 



 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 Oxy 22 2 2 2 2 2 2 1 A x - y B y z - 1 0 A B 0 Ax B A y Bz B 0 M p Oxy coù pt laø z 0 n 0; 0;1 B 1 Ycbt cos cos ( P ), (Oxy) 6A B A B A 2 B 6 B 2 A 2 AB 2 B A AB 2 B 0 A B A 2 B. Choïn B 1, A 2 pt m p (P ) :2 x y z 1 0 A B. + + = + ≠ ⇔ + − + − = = ⇒ = ⇒ α = = = + − + = ⇔ = − + ⇔ − − = ⇔  = − − = = = ⇒ − + − = − = −



 2 Choïn B 1, A 1 pt m p (P ) :x 2 y z 1 0= − = ⇒ − − + = z A B(1; 0; 0) C D(0; 1; 0) A’(0; 0; 1) B’ C’ D’ y x M N Toaùn 12 – Hình hoïc khoâng gian Trần Quang Thuận 2 2) Trong khoâng gian vôùi heä toïa ñoä Oxyz, cho hai ñöôøng thaúng 1 2 x 1 2 t x y 1 z 2 d : vaø d : y 1 t 2 1 1 z 3 = − + − +  = = = + −  = a) Chöùng minh raèng d1 vaø d2 cheùo nhau. b) Vieát phöông trình ñöôøng thaúng d vuoâng goùc vôùi maët phaúng (P) : 7x + y - 4z = 0 vaø caét hai ñöôøng thaúng d1 vaø d2. (Ñaïi hoïc khoái A – 2007) Giaûi a) Chöùng minh d1 vaø d2 cheùo nhau. ( ) ( ) 1 2d qua A ( 0;1; 2 ) coù VTCP laø a (2; 1; 1), d qua B( 1; 1; 3) coù VTCP laø b (2; 1; 0 ) Ta coù : a, b 1; 2; 4 0 a vaø b k hoân g cuøn g p höôn g (1 ) AB -1; 0; 5 , a, b .AB 1 0 2 0 21 0 3 v ectô a, b − = − − =   = − ≠ ⇒   = = + + = ≠ ⇒        


  


  1 2 , AB k hoâng ñoàn g ph aúng (2 ) Töø (1 ) & (2 ) d v aø d cheùo n hau⇒ 


 b) Vieát phöông trình ñöôøng thaúng d vuoâng goùc vôùi maët phaúng (P) : 7x + y - 4z = 0 vaø caét hai ñöôøng thaúng d1 vaø d2. ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 2 x 2 y 2 0 x 2 y 3 0 Ta coù PTTQ cuûa d : , d : y z 1 0 z 3 0 chöùa d chöùa d Ta coù d m p : , d m p : P P Vieát pt m p : chöùa d neân pt m p daïng : A x 2 y 2 B y z 1 0 A B 0 Ax 2 A B y Bz 2 A B + − = − + =    + + = − =  α β   ⊂ α ⊂ β  α ⊥ β ⊥   − α α α + − + + + = + ≠ ⇔ + + + − + = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) P 2 2 2 P 0 Ycbt n .n 0 7A 2 A B 4 B 0 9 A 3B 0 B 3A Choïn A 1 B 3 : pt : x 5y 3z 1 0 Vieát pt m p : chöùa d neân pt m p daïng : M x 2 y 3 N z 3 0 M N 0 M x 2 My Nz 3M 3N 0 Ycbt n .n 0 7M 2 M 4 N 0 5M 4 N 0 Choïn α β ⇒ = ⇔ + + − = ⇔ − = ⇔ = = ⇒ = α + + + = − β β β − + + − = + ≠ ⇔ − + + − = ⇒ = ⇔ − − = ⇔ − =







 ( ) ( ) ( )1 2 M 4 N 5 : pt : 4 x 8y 5z 3 0 x 5y 3z 1 0 Vaäy ptñt d: 4 x 8y 5z 3 0 Ro õ raøng : d caét d taïi M 2;0; 1 , caét d taïi N 5; 1;3 neân ta nhaän pt ñt d treân = ⇒ = β − + − = + + + =  − + − = − − − 3) Trong khoâng gian vôùi heä toïa ñoä Oxyz, cho ñieåm A(1;2;3) vaø hai ñöôøng thaúng: 1 2 x 2 y 2 z 3 x 1 y 1 z 1 d : , d : 2 1 1 1 2 1 − + − − − + = = = = − − a) Tìm toïa ñoä ñieåm A’ ñoái xöùng vôùi ñieåm A qua ñöôøng thaúng d1. b) Vieát phöông trình ñöôøng thaúng ∆ ñi qua A, vuoâng goùc vôùi d1 vaø caét d2. (Ñaïi hoïc khoái D – 2006) Toaùn 12 – Hình hoïc khoâng gian Trần Quang Thuận 3 Giaûi a) Tìm toïa ñoä A’ ñoái xöùng vôùi ñieåm A qua ñöôøng thaúng d1 ( ) 1 1 P d1 Tröôùc tieân ta tìm H - hìn h chieáu v uoâng goùc cuûa A leân d Goïi (P) laø maët ph aúng q ua A vaø v uoâng goùc vôùi d th ì (P) coù VTPT laø n =a = 2; 1;1 Vaäy p t mp (P) d aïng : 2 x y z m 0. Vì (P) q − − + + =



 ( ) ( ) A A ' H A A ' H A A ' H ua A (1; 2; 3) n eân 2 2 3 m 0 m 3 2 x y z 3 0 Vaäy p t mp (P) laø : 2 x y z 3 0 H thoûa H 0; 1; 2x 2 y 2 z 3 2 1 1 x x 2 x H laø trung ñieåm cuûa AA' n eân y y 2 y A ' 1; 4; 1 z z 2z − + + = ⇔ = − − + − =  − + − = ⇒ ⇔ − − + − = = − + =  + = ⇔ − −  + = b) Vieát phöông trình ñöôøng thaúng ∆ ñi qua A, vuoâng goùc vôùi d1 vaø caét d2. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 2 2 2 2 (P) qua A (Q ) ch öùa d mp P , m p(Q ) ( P ) d (Q ) q ua A 2 x y 3 0 Vieát pt mp (Q) : Ta coù PTTQ cuûa d : x z 0 Vì (Q) ch öùa d n eân pt m p (Q) daïn g : A 2 x y 3 B x z 0 A B 0 2 A B x Ay Bz 3A 0 (Q) q ua A(1 ;2;  ∆ ⊂ ∆ ⊂ ⊥  + − =  + = + − + + = + ≠ ⇔ + + + − = ( )2 3 ) n eân 2 A B 2 A 3B 3A 0 A 4 B 0 Choïn B 1, A 4, ta ñöôïc p t m p (Q) : 7x 4 y z 12 0 2 x y z 3 0 Vaäy p t ñt : 7 x 4 y z 1 2 0 Ro õ raøng caét d taïi M 2; 1; 2 n eân nh aän p t ñt treân + + + − = ⇔ + = = − = + − − = − + − =∆  + − − = ∆ − − ∆ 4) Trong khoâng gian vôùi heä toïa ñoä Oxyz cho hình laêng truï ñöùng ABC.A1B1C1. Bieát A(a;0;0), B(-a;0;0), C(0;1;0), B1(-a;0;b), a>0, b>0 a) Tính khoaûng caùch giöõa 2 ñöôøng thaúng B1C vaø AC1 theo a vaø b. b) Cho a, b thay ñoåi nhöng luoân luoân thoûa maõn a+ b = 4. Tìm a, b ñeå khoaûng caùch giöõa 2 ñöôøng thaúng B1C vaø AC1 ñaït giaù trò lôùn nhaát. (Ñaïi hoïc khoái D – 2004) Giaûi a) Khoaûng caùch giöõa hai ñöôøng thaúng B1C vaø AC1 ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 B1 B C1 C C1 B1 B C1 C C1 1 B1 B C1 C C1 1 1 1 1 ABC.A B C laø hình laêng truï ñöùng neân ta coù : BB CC x x x x x 0 y y y y y 1 C 0;1; b z z z z z b B C a; 1; b , AC a;1; b , B C, AC 2 b; 0; = − = − =    ⇔ − = − ⇔ = ⇒    − = − =   = = − = 























 ( ) ( ) ( ) 1 11 1 2 2 2 2 1 1 2a , AC a;1; 0 B C, AC .AC 2ab ab d B C, AC 4a 4 b a bB C, AC = −   −  = = =   + + 





















 Toaùn 12 – Hình hoïc khoâng gian Trần Quang Thuận 4 b) Tìm a vaø b ñeå khoaûng caùch giöõa hai ñöôøng thaúng treân ñaït giaù trò lôùn nhaát 2 2 2 2 max AÙp d uïn g BÑT Cau chy : a b 2 ab ab ab 1 1 a b n eân a b 2 ab ab 2 ( Vì a b 4) 22 ab 2 2a b Vaäy d 2 k hi a b 2 + ≥ + + ≥ ⇒ ≤ = ≤ = + = + = = = 5) Trong khoâng gian vôùi heä toïa ñoä Oxyz cho ñieåm I(1;1;1) vaø ñöôøng thaúng x 2 y z 9 0 d 2 y z 5 0 − + − =  + + = Vieát phöông trình maët caàu (S) coù taâm laø I, caét ñöôøng thaúng d theo 1 daây cung AB coù ñoä daøi baèng 16 Giaûi ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 pt m aët caàu (S) taâm I, baùn kính R laø : x 1 y 1 z 1 R AB Goïi H laø trung ñieåm cuûa AB thì IH AB. Vaäy R IA IH HA vôùi HA 8; IH d I, d 2 x z 9 x 14 Trong ñt d cho y 0, ta ñöôïc M 14 z 5 z 5 − + − + − = ⊥ = = + = = = + = =  = ⇔ ⇒  = − = −  ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 d 1 2 d 2 d d d ; 0; 5 d IM 13; 1; 6 n 1; 2; 1 d coù caëp VTPT laø d coù VTCP laø a n , n 4; 1; 2 a 16 1 4 21 n 0; 2; 1 a ,IM 8; 2; 17 a ,IM 64 4 289 357 a ,IM IH − ∈ ⇒ = − −  = −  ⇒ = = − − ⇒ = + + =   =    = − − − ⇒ = + + =    =



























( ) ( ) ( ) 2 d 2 2 2 357 17 R 17 64 81 21a Vaäy pt m c (S) laø x 1 y 1 z 1 81     = = ⇒ = + = − + − + − =



 6) Trong khoâng gian vôùi heä toïa ñoä Oxyz cho ñieåm M(1;1;1), maët phaúng (P) : x + 2y + 3z – 6 = 0 vaø maët caàu (S) : x2 + y2 + z2 = 100. Vieát phöông trình ñöôøng thaúng d qua M, naèm trong maët phaúng (P) vaø caét maët caàu (S) theo daây AB thoûa MA = MB. Giaûi ( ) ( ) = < ⇒ ⊂ = = ⊥ = =









 P d P M aët caàu (S) coù taâm O, baùn kính laø 10, OM 3 R M ôû trong maët caàu Vì d m p(P) neân n 1; 2; 3 laø 1 VTPT cuûa d M A MB neân OM AB neân OM 1; 1;1 laø 1 VTPT cuûa d Vaäy d coù VTCP laø a n ( ) ( ) − − −  = − − = =  − −



 x 1 y 1 z 1 , OM 1; 2; 1 m aø d qua M 1;1;1 neân pt ñt d : 1 2 1 7) Trong khoâng gian vôùi heä toïa ñoä Oxyz cho hai ñieåm A(1;4;2), B(-1;2;4) vaø ñöôøng thaúng x 1 y 2 z : 1 1 2 − +∆ = = − a) Vieát phöông trình ñöôøng thaúng d ñi qua troïng taâm G cuûa tam giaùc OAB vaø vuoâng goùc vôùi maët phaúng OAB. b) Tìm toïa ñoä ñieåm M thuoäc ñöôøng thaúng ∆ sao cho MA2 + MB2 nhoû nhaát. (Ñaïi hoïc khoái D – 2007) Giaûi Toaùn 12 – Hình hoïc khoâng gian Trần Quang Thuận 5 a) Vieát phöông trình ñöôøng thaúng d qua G, vuoâng goùc mp(OAB) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) O A B G O A B G O A B G d x x x x 0 3 y y y G laø troïng taâm OAB n eân G th oûa y 2 G 0; 2; 2 3 z z z x 2 3 m p(OAB) coù caëp VTCP laø OA 1; 4; 2 , OB 1; 2; 4 n 1 2; 6; 6 6 2; 1;1 d m p( P ) n eân a n 2; 1; 1 m aø d + + = =  + +∆ = = ⇒  + + = =  = = − ⇒ = − = − ⊥ = = −





 

  x y 2 z 2 q ua G n eân pt ñt d : 2 1 1 − − = = − b) Tìm M∈∆ ñeå MA2 + MB2 nhoû nhaát ( ) 2 2 2 2 2 2 P AB Goïi E laø trun g ñieåm cuûa AB th ì MA M B 2 M E 2 Vaäy M A M B m in M E m in M H h ình chieáu cuûa E leân ñt E laø trung ñieåm AB n eân E 0 ;3 ;3 ; Goïi (P) laø mp qua E vaø vuoâng g oùc ñt th ì n a∆ + = + + ⇔ ⇔ ≡ − ∆ ∆ = =



 ( ) ( ) 1; 1; 2 p t m p (P) : x y 2 z m 0.(P) qua E neân 3 6 m 0 m 9 pt m p (P) : x y 2z 9 0 x 1x y 2z 9 0 Vaäy H thoûa y 0 M 1; 0; 4x 1 y 2 z z 41 1 2 − ⇒ − + + + = + + = ⇔ = − ⇒ − + + − = = − − + + − =   ⇔ = ⇒ − − + = =  = −  8) Trong khoâng gian vôùi heä toïa ñoä Ñeàcac vuoâng goùc Oxyz cho hai ñöôøng thaúng : 1 2 x 1 t x 2 y z 4 0 : vaø : y 2 t x 2 y 2z 4 0 z 1 2 t = + − + − = ∆ ∆ = +  + − + =  = + a) Vieát phöông trình maët phaúng (P) chöùa ñöôøng thaúng ∆1 vaø song song vôùi ñöôøng thaúng ∆2. b) Cho ñieåm M(2;1;4). Tìm toïa ñoä ñieåm H thuoäc ñöôøng thaúng ∆2 sao cho ñoaïn thaúng MH coù ñoä daøi nhoû nhaát. (Ñaïi hoïc khoái A – 2002) Giaûi a) Vieát phöông trình maët phaúng (P) chöùa ñöôøng thaúng ∆1 vaø song song vôùi ñöôøng thaúng ∆2. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 n 1; 2;1 coù caëp VTPT laø coù VTCP laø a = n ,n 2; 3; 4 n 1; 2; 2 x 2 y 4 x 0 Trong cho z 0, ta ñöôïc qua A 0; 2; 0 x 2 y 4 y 2 Vì m p (P) chöùa neân a = 2; 3; 4 la  = −  ∆ ⇒ ∆ =   = − − = = ∆ = ⇔ ⇒ ∆ −  + = − = −  ∆











 ( ) ( ) ( ) 1 2 2 2 ø 1 VTCP cuûa (P) ( P ) coù VTPT laø n a , a 2; 0; 1 m p (P) // neân a = 1;1; 2 laø 1 VTCP cuûa (P) pt m p (P) daïng : 2 x z m 0. (P) qua A 0; 2; 0 neân m 0. Vaäy pt mp (P) laø : 2 x z 0   ⇒ = = −  ∆  ⇒ − + = − = − = 





 b) Tìm H ∈ ∆2 ñeå MH nhoû nhaát. Toaùn 12 – Hình hoïc khoâng gian Trần Quang Thuận 6 ( ) 2 2 2 Q 2 Keû M E . Ta coù ME MH. Vaäy M H min M H ME H E hình chieáu cuûa M xuoáng Goïi (Q) laø m p qua M vaø vuoâng goùc vôùi th ì (Q) coù VTPT laø n a 1; 1; 2 pt m p (Q) daïng : x y 2z m 0. Vì (Q) qua ⊥ ∆ ≤ ⇔ = ⇔ ≡ − ∆ ∆ = = ⇒ + + + =



 ( ) ( ) M 1;2;4 neân m 11 Vaäy pt m p (Q) : x y 2z 11 0 x 1 t x 2 y 2 t H thoûa : y 3 H 2; 3; 3 z 1 2 t z 3 x y 2z 11 0 = − + + − = = + = = +  ⇔ = ⇒  = +  = + + − = 9) Trong khoâng gian vôùi heä toïa ñoä Ñeàcac vuoâng goùc Oxyz cho hình hoäp chöõ nhaät ABCD.A’B’C’D’ coù A truøng vôùi goác cuûa heä toïa ñoä, B(a;0;0), D(0;a;0); A’(0;0;b) (a>0, b>0). Goïi M laø trung ñieåm caïnh CC’. a) Tính theå tích khoái töù dieän BDA’M theo a vaø b. b) Xaùc ñònh tæ soá a b ñeå hai maët phaúng (A’BD) vaø (MBD) vuoâng goùc vôùi nhau. (Ñaïi hoïc khoái A – 2003) Giaûi a) Tính theå tích khoái töù dieän BDA’M Toïa ñoä cuûa caùc ñieåm laø : A(0;0;0), B(a;0;0), C(a;a;0), D(0;a;0) A’(0;0;b), B’(a;0;b), C’(a;a;b), D’(0;a;b), M(a;a; b 2 ) ( ) ( ) ( ) 2 22 2 2 2 BDA ' M b Ta coù : BD a; a; 0 , BA ' a; 0; b , BM 0; a; 2 a b 3a b BD, BA ' ab; ab; a , BD, BA ' .BM a b 2 2 1 1 3a b a b V BD, BA ' .BM 6 6 2 4   = − = − =        = = + =     = = = 







































 b) Xaùc ñònh tæ soá a b ñeå 2 mp (A’BD) vaø (MBD) vuoâng goùc ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 (A'BD) coù caëp VTCP A ' B a; 0; b , A ' D 0; a; b 2( A ' BD) coù VTPT n A ' B, A ' D ab; ab; a a b; b; a1 b (M BD) coù caëp VTCP MB 0; a; ; BD a; a; 0 2 ( MBD) coù VTPT n M B − = − = −  ⇒ = = =  −  − = − = −    ⇒ =




























 ab ab b b2, BD ; ; a a ; ; a 2 2 2 2 2 2 b ab b a2 2 2Ñeå 2 m p treân vuoâng goùc th ì n .n 0 a 0 b a 0 11 2 b a( loaïi a, b 0)2 2 b a KL : 1 th ì 2 mp(A'BD) vaø (M BD) vuoâng goùc b      = − = −         = = ⇔ + − = ⇔ − = ⇔ ⇔ = = − > =






 A B(a; 0; 0) C D(0; a; 0) A’(0; 0; b) B’ C’ D’ y x M z Toaùn 12 – Hình hoïc khoâng gian Trần Quang Thuận 7 10) Tìm m ñeå hai maët phaúng sau song song : mp (P) : 2x + my + 3z + 6 –m = 0 vaø mp (Q) : (m+3)x + 2y + (5m+1)z – 10 = 0 Giaûi ( ) ( ) ( ) ( ) P Q 2 2 P Q P Q 2 2 Ta coù : n 2; m; 3 vaø n m 3; 2; 5m 1 Ñeå mp(P) // m p (Q) thì n // n n , n 0 5m m 6; 7m 7; 4 m 3m 0; 0; 0 5m m 6 0 7m 7 0 m 1 4 m 3m 0 Vôùi m 1 : m p(P ) : 2 x y 3z 5 0, mp(Q ) : 4 x 2 y 6z = = + +  ⇔ = ⇔ + − − + − − =   + − =  ⇔ − + = ⇔ =  − − = = + + + = + + −











 10 0 \ Nhaän thaáy m p (P) // m p (Q) neân nhaän m 1 = = 11) Cho töù dieän ABCD coù AD vuoâng goùc vôùi maët phaúng (ABC) vaø tam giaùc ABC vuoâng taïi A, AD = a, AC = b, AB = c. Tính dieän tích S cuûa tam giaùc BCD theo a, b, c vaø chöùng minh raèng : ( )2S abc a b c≥ + + (Döï bò 2 – Ñaïi hoïc khoái D – 2003) Giaûi Choïn heä truïc toïa ñoä nhö hình veõ, ta coù toïa ñoä caùc ñieåm laø : A(0;0;0), B(c;0;0), C(0;b;0), D(0;0;a) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 BCD 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 BC c; b; 0 , BD c; 0; a , BC, BD ab; ac; b c 1 1 S BC, BD a b a c b c 2 2 ñp cm a b a c b c ab c(a b c) a b a c b c ab c(a b c) Theo BÑT Cauch y ta ñöôïc : a b +b c 2 ab c b c +c a  = − = − =   = = + +  ⇔ + + ≥ + + ⇔ + + ≥ + + ≥

















 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2b c a Coän g v eá : a b a c b c ab c(a b c)(ñp cm ) c a a b 2 ca b   ≥ + + ≥ + + + ≥  12) Trong khoâng gian vôùi heä toïa ñoä Oxyz cho maët caàu (S) : x2 + y2 + z2 – 2x + 4y + 2z – 3 = 0 vaø maët phaúng (P) : 2x – y + 2z – 14 = 0 a) Vieát phöông trình maët phaúng (Q) chöùa truïc Ox vaø caét (S) theo moät ñöôøng troøn coù baùn kính baèng 3. b) Tìm toïa ñoä ñieåm M thuoäc maët caàu (S) sao cho khoaûng caùch töø M ñeán maët phaúng (P) lôùn nhaát. (Ñaïi hoïc khoái B – 2007) Giaûi a) Vieát phöông trình mp (Q) chöùa Ox, caét (S) theo 1 ñöôøng troøn coù baùn kính baèng 3 ( )2 2 M.caàu (S) coù taâm I(1; 2; 1), b aùn k ính R 1 4 1 3 3 y 0 m p (Q) ch öùa truïc Ox n eân p t m p (Q) daïn g : Ay Bz 0 A B 0 z 0 Vì m p (Q) caét (S) th eo 1 ñöôøng troøn b aùn k ính b aèng 3 n eân (Q) ph aûi q ua taâm − − = + + + = = + = + ≠ = I cuûa m .c Vaäy 2 A B 0. Ch oïn A 1, B 2, ta ñöôïc p t m p (Q) : y 2z 0− − = = = − − = z y x A B C D Toaùn 12 – Hình hoïc khoâng gian Trần Quang Thuận 8 b) Tìm toïa ñoä ñieåm M thuoäc maët caàu (S) sao cho khoaûng caùch töø M ñeán mp (P) laø max ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Goïi d laø ñöôøng thaún g qua I vaø v uoâng goùc vôùi mp (P). d caét m. c taïi A v aø B. Neáu d A, m p(P) d B,m p(P) th ì d M, mp (P) m ax k hi M A x 1 y 2 z 1 d coù VTCP laø a 2; 1; 2 , qua I n eân p tñt d laø 2 1 2 Goïi l > ≡ − + + = − = = − α  ( ) ( ) ( ) ( )1 aø tieáp dieän cuûa m .c (S) vaø // mp (P) th ì pt daïn g: 2 x y 2z m 0 m 2 9 m 72 2 2 m Ñeå tieáp xuùc m .c (S) ñk laø d I, m p( ) R 3 m 2 9 m 2 9 m 1 14 1 4 Vôùi m 7, ta coù p t : 2 x y 2z 7 0 . d caét α − + + = + = =+ − +   α α = ⇔ = ⇔ + = ⇔ ⇔ + = − = −+ +   = α − + + = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 2 2 x y 2z 7 0 taïi A th oûa h pt A 1; 1; 3x 1 y 2 z 1 2 1 2 2 x y 2 z 1 1 0 Vôùi m 1 1, ta coù p t : 2 x y 2z 1 1 0. d caét taïi B th oûa h pt B 3; 3; 1x 1 y 2 z 1 2 1 2 2 1 6 14 Ta coù d A, m p( P ) 7, 4 1 4 − + + =  α ⇒ − − − − + + = = − − + − =  = − α − + − = α ⇒ − − + + = = − − + − − = = + + ( ) ( ) ( ) 6 3 2 14 d B, m p( P ) 1. 4 1 4 Vaäy d M , mp( P ) max k hi M A 1; 1; 3 + + − = = + + ≡ − − − 13) Tìm a, b ñeå 3 maët phaúng sau cuøng chöùa moät ñöôøng thaúng : Mp (P) : 5x + ay + 4z + b = 0 , mp (Q) : 3x – 2y + z – 3 = 0 , mp (R) : x – 2y – 2z + 5 =0 Giaûi 3x 2 y z 3 0 Goïi d laø g iao tuyeán cuûa m p (Q) v aø m p (R) th ì p t ñt d laø : x 2 y 2z 5 0 Ñeå 3 m p treân cuøn g chöùa 1 ñt th ì m p (P) p haûi chöùa ñöôøng d 9 5 Ta th aáy ñöôøng d qua 2 ñieåm : A 4; ; 0 , B 2 − + − =  − − + =       11 ; ;1 2 4 9 20 a b 0 a 22Ñeå mp (P) ch öùa ñöôøng d thì A , B m p( P ) 2 5 11 b 1 1 a 4 b 0 2 4        + + = = − ∈ ⇒ ⇔  = − + + + =  14) Trong khoâng gian vôùi heä toïa ñoä Oxyz cho hai ñöôøng thaúng : 1 2 x 1 t x 2 t : y t vaø : y 4 2 t z 4 t z 1 = − = −    = = +    = =  d d Vieát phöông trình ñöôøng thaúng d naèm trong maët phaúng (P) : y + 2z = 0 vaø caét caû hai ñöôøng thaúng d1 vaø d2. (Cao ñaúng kyõ thuaät Cao Thaéng – 2007) Giaûi Toaùn 12 – Hình hoïc khoâng gian Trần Quang Thuận 9 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 Goïi A d P , ta theá x,y,z vaøo pt mp (P) : t 8t 0 t 0 A 1; 0; 0 Goïi B d P , ta theá x,y,z vaøo pt mp (P) : 4 2 t 2 0 t 3 B 5; 2; 1 d ( P ) caét caû d vaø d neân d qua A vaø B. Vôùi VTCP AB 4; 2; 1 , ta ñöôïc = + = ⇔ = ⇒ = + + = ⇔ = − ⇒ − ⊂ = − ∩ ∩


 x 1 y z pt ñt d : 4 2 1 − = = − 15) Trong khoâng gian vôùi heä truïc toïa ñoä Oxyz, cho hình choùp S.ABCD vôùi ñaùy ABCD laø hình thoi coù taâm O, A(2;0;0), B(0;1;0), S(0;0; 2 2 ). Goïi M laø trung ñieåm cuûa caïnh beân SA. a) Tính khoaûng caùch giöõa hai ñöôøng thaúng SC vaø DM. b) Maët phaúng (CDM) caét SB taïi N. Tính theå tích khoái töù dieän SCMN. (Ñaïi hoïc Saøi Goøn – Khoái A – 2007) Giaûi a) Khoaûng caùch giöõa SC vaø DM Ta coù toïa ñoä caùc ñieåm S(0;0; 2 2 ), A(2;0;0), B(0;1;0), C(-2;0;0), D(0;-1;0), M(1;0; 2 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) SC 2; 0; 2 2 , DM 1; 1; 2 , SD 0; 1; 2 2 , SC, DM 2 2 ; 0; 2 SC, DM .SD 4 2 4 2 2 6 Vaäy d SC, DM 31 2 2 3SC, DM  = − − = = − − = −      = = = =    

































 b) Tính VSCMN. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) m p(CDM ) coù caëp VTCP laø CD 2; 1; 0 , CM 3; 0; 2 (CDM ) coù VTPT laø n CD, CM 2 ; 2 2 ; 3 pt (CDM ) daïng : 2 x 2 2 y 3z m 0 (CDM ) qua C 2; 0; 0 neân m 2 2 pt CDM : 2 x 2 2 y 3z 2 2 0 SB 0; 1; 2 2 pt ñ = − =  = = − − ⇒ − − + + =  − = − ⇒ − − + − = = − ⇒






 








 { } ( ) ( ) ( ) ( ) SCMN x 0 1 t SB: y 1 t .Vì N SB CDM neân ta coù toïa ñoä N 0; ; 2 2 z 2 2 t 1 SC 2; 0; 2 2 , SM 1; 0; 2 , SN 0; ; 2 , SC, SM 0; 4 2 ; 0 , SC, SM .SN 2 2 2 1 V SC, SM . 6  =    = + =     = −      = − − = − = − = =        =   ∩





























 1 2 SN .2 2 (ñvtt ) 6 3 = =


 16) Trong khoâng gian vôùi heä toïa ñoä Oxyz cho ñieåm A(2;1;-3), ñöôøng thaúng d : x 3 y 1 z 5 2 1 2 − − − = = vaø maët phaúng (P) : x + y – z – 1 = 0. a) Vieát phöông trình ñöôøng thaúng ∆ ñi qua A, vuoâng goùc vôùi ñöôøng thaúng d vaø song song vôùi maët phaúng (P). b) Tìm toïa ñoä ñieåm M thuoäc d sao cho khoaûng caùch töø M ñeán maët phaúng (P) baèng 3 . (Cao ñaúng kinh teá – 2007) Giaûi a) Vieát phöông trình ñöôøng thaúng ∆ qua A, vuoâng goùc d vaø // (P) Toaùn 12 – Hình hoïc khoâng gian Trần Quang Thuận 10 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) d P d P d n eân coù 1 VTPT laø a 2; 1; 2 // m p( P ) n eân coù 1 VTPT laø n 1; 1; 1 coù VTCP laø a a , n 3; 4;1 x 2 y 1 z 3 q ua A 2;1; 3 n eân pt ñt : A P neân //( P ) 3 4 1 ∆ ∆ ⊥ ∆ = ∆ ∆ = −  ⇒ ∆ = = −  − − +∆ − ∆ = = ∉ ∆ −









 b) Tìm toïa ñoä M thuoäc d sao cho khoaûng caùch töø M ñeán (P) baèng 3 ( ) ( ) ( ) ( )1 2 x 3 2 t Ta coù pt ñt d y 1 t .Vì M d neân M 3 2 t; 1 t; 5 2 t z 5 2 t t 2 3 t 53 2 t 1 t 5 2 t 1 d M, m p( P ) 3 t 2 3 t 2 3 t 11 1 1 Vaäy M 13; 6;15 , M 1; 0; 3 = +  = + ∈ + + +  = + − = =+ + + − − −   = = ⇔ − = ⇔ ⇔  − = − = −+ +   17) Trong khoâng gian vôùi heä toïa ñoä Ñeàcac vuoâng goùc Oxyz cho maët phaúng (P) : x – y + z + 3 = 0 vaø hai ñieåm A(-1;-3;-2) ; B(-5;7;12). a) Tìm toïa ñoä ñieåm A’ laø ñieåm ñoái xöùng vôùi ñieåm A qua maët phaúng (P). b) Giaû söû M laø moät ñieåm chaïy treân maët phaúng (P), tìm giaù trò nhoû nhaát cuûa bieåu thöùc : MA + MB (Döï bò 2 – Ñaïi hoïc khoái A – 2002) Giaûi a) Tìm A’ – ñoái xöùng vôùi A qua (P) ( ) Goïi d laø ñöôøn g th aún g q ua A vaø v uoâng goùc vôùi mp (P) th ì x 1 y 3 z 2 pt ñt d : 1 1 1 Goïi H laø hìn h chieáu v uoâng goùc cuûa A leân mp (P) thì x 1 y 3 z 2 H thoûa heä H 2; 2; 31 1 1 x y z 3 0 H laø + + + = = − + + + = = ⇒ − − − −  − + + = ( ) A A ' H A A ' H A A ' H x x 2 x trung ñieåm AA' neân y y 2 y A ' 3; 1; 4 z z 2 z + =  + = ⇒ − − −  + = b) Tìm min(MA + MB) ( ) ( ) A BTheá toïa ñoä A, B vaøo pt mp (P) ta ñöôïc 3, 3. Vaäy AB naèm cuøng phía vôùi m p (P) A' laø ñoái xöùng cuûa A qua m p (P) neân M A MA ' M A MB MA ' MB A ' B MA M B 18 ( A ' B 2; 8; 16 ) M in MA M B 18 khi M A ' ρ = ρ = = + = + ≥ ⇒ + ≥ = − + = =



 ( ) (P) : x y z 3 0 B mp ( P ) M thoûa heä M 4; 3; 4x 3 y 1 z 4 A ' B : 1 4 16 − + + =  ∩ ⇒ ⇒ −+ + + = = − A H A’ M B P Toaùn 12 – Hình hoïc khoâng gian Trần Quang Thuận 11 18) Trong khoâng gian vôùi heä toïa ñoä Oxyz cho caùc ñieåm A(-1;2;3), B(0;3;1), C(2;2;-1) vaø D(4;-2;1) Tìm M∈AB, N∈CD sao cho ñoä daøi ñoaïn MN nhoû nhaát. Giaûi ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x 1 t AB 1; 1; 2 , pt ñt AB : y 2 t , M AB M 1 t; 2 t; 3 2 t z 3 2 t x 2 t ' CD 2; 4; 2 , p t ñt CD : y 2 2 t ' , N CD N 2 t '; 2 2 t '; 1 t ' z 1 t ' M N t ' t 3; 2 t ' t; t ' 2 t 4 M N m in chæ k hi MN laø ñöôøn g v uoâng = − +  = − = + ∈ ⇒ − + + −  = − = +  = − = − ∈ ⇒ + − − +  = − + = − + − − + −









 ( ) MN.AB 0 g oùc ch ung cuûa AB vaø CD v aäy MN.CD 0 4 1 3 5t ' 1 M ; ;t ' t 3 2 t ' t 2 t ' 4 t 8 0 3t ' 6 t 11 3 3 37 2 t ' 2 t 6 8t ' 4 t 2 t ' 4 t 8 0 12 t ' 6 t 2 t N 1; 4; 23  =  =  − = − − + − − − − + = − − = −     ⇔ ⇔ ⇔ ⇒      − + + + + + − = + = =    − 













 19) Trong maët phaúng vôùi heä toïa ñoä Ñeàcac vuoâng goùc Oxyz, cho ñöôøng ( ) ( ) 3x ky k 0 d : k 0 1 k x k z 0 + − = ≠ − − = Chöùng minh raèng d luoân ñi qua 1 ñieåm coá ñònh vaø luoân naèm trong 1 maët phaúng coá ñònh. Giaûi a) CMR : d luoân ñi qua 1 ñieåm coá ñònh ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) b 1 0 k b 1 3a 03a kb k 0 Goïi E a;b ;c laø ñieåm coá ñònh cuûa d thì k 0 k 0 a 0 1 k a k c 0 k a c a 0 a c 0 E 0; 1; 0 laø ñieåm coá ñòn h cuûa ñöôøng thaún g d − =  − + =+ − =   ≠ ⇔ ≠ ⇔ =   − − = − − + =   − − = ⇒ b) CMR : d luoân naèm trong 1 mp coá ñònh ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 Goïi (P) laø maët phaúng coá ñònh chöùa ñöôøng d thì pt m p (P) daïng : a 3x ky k b 1 k x kz 0 a b 0 3a b kb x kay kbz ka 0 k ay bz a bx 3a b x 0 Choïn 3a b 0.a 1, b 3 pt mp (P) laø 3x y 3z 1 0 Ñaây laø mp coá + − + − − = + ≠ ⇔ + − + − − = ⇔ − − − + + = + = = = − ⇒ + + − = ñònh chöùa ñöôøng d 20) Trong khoâng gian vôùi heä toïa ñoä Oxyz cho A(2;3;-1), ñöôøng thaúng x 5 y z 25 d : 1 1 1 − + = = − Vieát phöông trình maët phaúng (P) qua ñöôøng thaúng d sao cho khoaûng caùch töø ñieåm A ñeán maët phaúng (P) ñaït giaù trò lôùn nhaát. Giaûi Toaùn 12 – Hình hoïc khoâng gian Trần Quang Thuận 12 Keû AH ( P ), AE d , ta coù : AH AE AH m ax AH AE H E Vaäy m p (P) caàn tìm p h aûi vuoân g g oùc v ôùi AE Goïi ( ) laø m p q ua A vaø d thì pt ( ) daïn g : x y z m 0 . ( ) q ua A(2 ;3; 1 ) n eân 2 3 1 m 0 m 6 pt ( ) : x y z ⊥ ⊥ ≤ ⇒ ⇔ = ⇔ ≡ α ⊥ α + − + = α − + + + = ⇔ = − ⇒ α + − ( ) ( ) ( ) 6 0 x 5 y z 25 E th oûa heä E 3; 8; 1 71 1 1 x y z 6 0 ( P ) AE n eân AE 5; 11; 1 6 laø VTPT cuûa (P) pt (P) daïn g : 5x 1 1y 1 6z n 0 ( P ) q ua E 3; 8; 17 n eân 15 88 2 72 n 0 n 37 5 p t m p (P) :5x 1 1y 1 6z 37 5 − = − + = = ⇒ − − − −  + − − = ⊥ = − − − ⇒ − − − + = − − − + + + = ⇔ = − ⇒ + + +


 0= 21) Trong khoâng gian vôùi heä toïa ñoä Ñeâcac vuoâng goùc Oxyz cho toïa ñoä caùc ñieåm B(1;1;0), D(0;0;m). Goïi H laø hình chieáu vuoâng goùc cuûa O leân ñöôøng thaúng BD. Tìm m ñeå dieän tích tam giaùc OBH ñaït giaù trò lôùn nhaát. Giaûi ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 o 2 2 2 2 1 a b 1 HO HB S HO.HB. AÙp duïn g BÑT Cauch y:a.b S 2 2 2 2 BO.BD2 Vaäy Smax k hi HO HB BO, BD 45 2 BO BD 1 12 Vôùi BO 1; 1; 0 , BD 1; 1; m 2 m 2 2 2 2 m 2 m 4 m 2 m 2 + + = ≤ ⇒ ≤ = ⇒ = ⇔ = + = − − = − − ⇒ = ⇔ + = + ⇔ + = ⇔ = ⇔ = ±

















 22) Trong khoâng gian vôùi heä toïa ñoä Ñeàcaùc vuoâng goùc Oxyz, cho caùc ñieåm A(2;0;0), B(0;3;0), C(0;0;3). Goïi M, N laàn löôït laø trung ñieåm cuûa OA vaø BC. Goïi P, Q laø 2 ñieåm treân OC, AB sao cho OP 2 OC 3 = . Bieát raèng MN vaø PQ caét nhau. Haõy vieát phöông trình maët phaúng (MNPQ) vaø tính tæ soá AQ AB Giaûi ( ) ( ) ( ) 3 3 Vì M, N laàn löôït laø trung ñieåm cuûa OA, BC neân toïa ñoä laàn löôït laø M 1; 0; 0 , N 0; ; 2 2 OP 2 2 2 Vì OP OC OP OC P 0; 0; 2 OC 3 3 3 3 3 m p (MNPQ) coù caëp VTCP laø M P 1; 0; 2 , M N 1; ; 2 2       = ⇔ = ⇒ = ⇒   = − = − 












 ( )1 3 1( MNPQ ) coù VTPT n MP , M N 3; ; 6;1; 3 ( MNPQ ) daïng : 6 x y 3z m 0 2 2 2 ( M NPQ ) qua M neân m 6 pt mp (M NPQ) : 6 x y 3z 6 0     ⇒ = = − − − = − ⇒ + + + =     = − ⇒ + + − = 






 O B H D Toaùn 12 – Hình hoïc khoâng gian Trần Quang Thuận 13 ( ) { } ( ) 2 x 2 2 t AB qua A coù VTCP laø AB 2; 3; 0 pt ñt AB : y 3t z 0 2 2 Q AB ( M NPQ ) neân : 6 2 2 t 3t 6 0 t Q ; 2; 0 3 3 4 2 13 AQ 2 AB 4 9 13 , AQ 4 3 3 AB 3 = −  = − ⇒ =  =   = ∩ − + − = ⇔ = ⇒       = + = = − + = ⇒ =   


 23) Trong khoâng gian vôùi heä toïa ñoä Oxyz cho hai ñöôøng thaúng : 1 2 x y z 2 0x 1 y 2 z 1 d : vaø d : x 3y 12 03 1 2 + − − =− + + = =  + − =−  a) Chöùng minh raèng d1 vaø d2 song song vôùi nhau. Vieát phöông trình maët phaúng (P) chöùa caû hai ñöôøng thaúng d1 vaø d2. b) Maët phaúng toïa ñoä Oxz caét hai ñöôøng thaúng d1, d2 laàn löôït taïi caùc ñieåm A, B. Tính dieän tích tam giaùc OAB ( O laø goác toïa ñoä ) (Ñaïi hoïc khoái D – 2005) Giaûi a) CMR : d1 // d2. Vieát pt mp (P) chöùa caû d1 vaø d2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 2 2 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 d qua M 1; 2; 1 , coù VTCP laø a 3; 1; 2 n 1; 1; 1 d coù caëp VTPT laø d coù VTCP laø a n , n 3; 1; 2 n 1; 3; 0 Roõ raøn g : a a . M d , M d d // d Vì m p (P) chöùa d n eân − − = −  = −  ⇒ = = −   = = ∈ ∉ ⇒















 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 1 pt m p (P) daïn g : A x y z 2 B x 3y 12 0 A B x A 3B y Az 2 A 12 B 0. A B 0 Vì m p (P) chöùa d n eân (P) p h aûi qua M A B 2 A 6 B A 2 A 12 B 0 2 A 17 B 0 Choïn A 17, B 2 p t m p (P) : 15x 1 1y 1 7z 10 0 + − − + + − = ⇔ + + + − − − = + ≠ ⇒ + − − + − − = ⇔ − − = = = − ⇒ + − − = b) Tính dieän tích tam giaùc OAB ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 OAB m p(Oxz ) : y 0 caét d vaø d taïi A vaø B x y z 2 0x 1 y 2 z 1 A thoûa heä A 5; 0; 5 , B thoûa heä x 3y 12 0 B 12; 0; 103 1 2 y 0 y 0 OA 5; 0; 5 , OB 12; 0;10 , OA, OB 0; 10; 0 1 S OA, 2 = + − − = − + + = =  ⇒ − − + − = ⇒ −   = =   = − − = = −  =














 1 OB .10 5(ñvdt ) 2   = = 


 Toaùn 12 – Hình hoïc khoâng gian Trần Quang Thuận 14 24) Trong khoâng gian vôùi heä toïa ñoä Oxyz cho 2 ñöôøng thaúng : 1 2 x y 2 z 4 x 8 y 6 z 10 d : , d : 1 1 2 2 1 1 − + + − − = = = = − − a) Cho A ∈ d1, B ∈ d2. AB vuoâng goùc vôùi d1 vaø d2. Vieát phöông trình maët caàu ñöôøng kính AB. b) Vieát phöông trình maët phaúng (P) song song vôùi d1, d2 vaø caùch ñeàu chuùng. Giaûi a) Vieát pt maët caàu ñöôøng kính AB : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 1 2 2 1 2 A d n eân A t , 2 t , 2 t 4 , B d neân B 2 t ' 8, 6 t ',1 0 t ' AB 2 t ' t 8, t ' t 4, t ' 2 t 1 4AB d AB.a 0 Vì Vôùi AB d AB.a 0 a 1; 1; 2 , a 2; 1; 1 2 t ' t 8 t ' t 4 2 t ' 4 t 2 8 0 Ta ñöôïc : 4 t ' ∈ − − ∈ − + −  = − − + + − − +⊥ =  ⇒ ⊥ = = − = −  − − − − − − − + = −
















 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 t ' 6 t 1 6 t ' 4 2 t 16 t ' t 4 t ' 2 t 14 0 6 t ' t 2 6 t 2 A 2; 0; 0 , B 0; 10; 6 . M aët caàu ñöôøng kín h AB coù taâm I laø trung ñieåm AB I 1; 5; 3 AB 4 10 0 3 6 R 35 pt .mc(S) : x 1 y 5 z 3 3 5 2 2 − − = − =   ⇔ ⇔   − + + + + + − = + = =   ⇒ ⇒ + + = = = ⇒ − + − + − = b) Vieát phöông trình mp (P) : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 1 2 1 2 a 1; 1; 2 ( P ) coù caëp VTCP laø ( P ) coù VTPT laø n a , a 1; 5; 3 a 2; 1; 1 pt m p (P) daïng : x 5y 3z m 0 Laáy C 0; 2; 4 d , D 8; 6; 10 d .Y / c : d d , ( P ) d d , ( P ) d C, ( P ) d D, ( P ) 10 12 m 1 25 9  = −  ⇒ = = −   = − ⇒ − + + + = − ∈ − ∈ = ⇒ = − + ⇔ = + +

 





 m 2 m 68 (voâ lyù!)8 30 30 m m 2 m 68 m 2 m 68 m 331 25 9 pt .m p.( P ) : x 5y 3z 33 0 + = ++ + +  ⇔ − = + ⇔  + = − − ⇔ = −+ +  ⇒ − + + − = 25) Trong khoâng gian vôùi heä toïa ñoä Oxyz cho hai ñieåm A(4;2;2), B(0;0;7) vaø ñöôøng thaúng x 3 y 6 z 1 d : 2 2 1 − − − = = − Chöùng minh raèng hai ñöôøng thaúng d vaø AB thuoäc cuøng moät maët phaúng. Tìm ñieåm C thuoäc ñöôøng thaúng d sao cho tam giaùc ABC caân taïi ñænh A. (Döï bò 1 – Ñaïi hoïc khoái B – 2004) Giaûi ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) d d d d a 2; 2; 1 , AB 4; 2; 5 , a , AB 12; 6; 12 0 d vaø AB khoâng cuøng phöông d qua D 3; 6; 1 , AC 1; 4; 1 . a , AB .AC 12 24 12 0 3 vectô a , AB, AC ñoàng phaúng Vaäy d vaø  = − = − − = ≠ ⇒   = − − = − + − = ⇒ 









 


















 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 22 2 12 2 2 AB thuoäc cuøng m oät m aët phaúng C d neân C 3 2 t , 6 2 t ,1 t .ycbt AB AC 45 2 t 1 2 t 4 t 1 t 1 C 1; 8; 2 9 t 18t 18 45 9 t 18t 27 0 t 3 C 9; 0; 2 ∈ − + + ⇒ = ⇔ = − − + + + − = ⇒ ⇔ + + = ⇔ + − = ⇔  = − ⇒ − Toaùn 12 – Hình hoïc khoâng gian Trần Quang Thuận 15 26) Trong khoâng gian vôùi heä toïa ñoä Ñeàcac vuoâng goùc Oxyz cho ñöôøng thaúng 2 x 2 y z 1 0 d : x 2 y 2z 4 0 − − + =  + − − = vaø maët caàu (S) : x2 + y2 + z2 + 4x – 6y + m = 0. Tìm m ñeå ñöôøng thaúng d caét maët caàu (S) taïi hai ñieåm M, N sao cho khoaûng caùch giöõa hai ñieåm ñoù baèng 9. (Döï bò 1 – Ñaïi hoïc khoái D – 2002) Giaûi ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 2 M aët caàu (S) coù taâm I 2; 3; 0 , R 13 m . Ñeå (S) laø m aët caàu th ì 13 m 0 m 13 M N 9 HM 2 2Goïi H laø trung ñieåm MN thì IH MN R IM IH HM (*) IH d I, d d coù caëp VTPT laø n 2; 2; 1 , n 1; 2; 2 d coù VT − = − − > ⇔ < = = ⊥ ⇒ = = + = = − − = − ⇒



 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2CP laø a n , n 6; 3; 6 Trong pt ñt d cho x 0 y 1; z 1 A 0; 1; 1 d IA 2; 2; 1 , a, IA 9; 18; 18 a, IA 81 324 324 81 65 d I, d 3 IH. Vaäy (*) 13 m 9 m 4 436 9 36a  = =   = ⇒ = = − ⇒ − ∈ ⇒ = − − = −    + +  = = = = ⇔ − = + ⇔ = − + + 





 

 

  27) Trong khoâng gian vôùi heä toïa ñoä Ñeàcac vuoâng goùc Oxyz , cho caùc ñieåm A(1;-3;0), B(5;-1;-2) vaø maët phaúng (P) : x + y + z – 1 = 0. Tìm toïa ñoä M∈(P) sao cho | MA – MB | ñaït giaù trò lôùn nhaát. Giaûi A BTheá toïa ñoä A, B vaøo p t mp (P), ta ñöôïc 3, 1 A , B ôû traùi ph ía vôùi m p (P) Goïi A' laø ñoái x öùn g cuûa A q ua mp (P) th ì MA M A ' M A MB MA ' M B A ' B M A M B max kh i M laø g iao ñieåm cuûa A'B v aø m p ( ρ = − ρ = ⇒ = ⇒ − = − ≤ ⇒ − { } ( ) ( ) P) Goïi H laø h ình ch ieáu cuûa A leân mp (P). Goïi d laø ñöôøng thaún g qua A, vuoân g g oùc m p (P) x 1 y 3 z p t d : . H d ( P ) neân H 2; 2;1 . A' laø ñoái x öùng cuûa A q ua (P) A' 3; 1; 2 1 1 1 A ' B q ua B coù VTCP laø − + ⇒ = = = − ⇒ −∩ ( ) ( ) { } ( ) x 5 y 1 z 2 AB 2; 0; 4 2 1; 0; 2 p t A ' B : 1 0 2 M A ' B ( P ) M 6; 1; 4 .Max MA MB A ' B 4 16 2 5 − + + = − = − ⇒ = = − = ⇒ − − − = = + =


 ∩ 28) Trong khoâng gian vôùi heä toïa ñoä Ñeàcac vuoâng goùc Oxyz cho maët phaúng (P) : x + y + z + 3 = 0. M laø moät ñieåm di ñoäng chaïy treân maët phaúng (P). Tìm toïa ñoä ñieåm M sao cho M A M B+






 ñaït giaù trò nhoû nhaát, bieát toïa ñoä ñieåm A(3;1;1), B(7;3;9). Giaûi ( ) Goïi E laø trung ñieåm AB thì : MA M B 2 ME M A MB 2 M E M A MB m in ME m in M H : hình chieáu cuûa E leân mp (P) E laø trung ñieåm AB neân E 5;2;5 .Goïi d laø ñöôøng thaúng qua E v + = ⇔ + = ⇒ + ⇔ ⇔ ≡























 { } ( ) aø vuoâng goùc m p (P) x 5 y 2 z 5 pt d : . E d (P ) M E 0; 3; 0 1 1 1 − − − = = = ⇒ ≡ −∩ Toaùn 12 – Hình hoïc khoâng gian Trần Quang Thuận 16 29) Trong khoâng gian vôùi heä toïa ñoä Oxyz, cho ñieåm A(0;1;2) vaø hai ñöôøng thaúng : 1 2 x 1 t x y 1 z 1 d : , d : y 1 2 t 2 1 1 z 2 t = + − +  = = = − − −  = + a) Vieát phöông trình maët phaúng (P) qua A, ñoàng thôøi song song vôùi d1 vaø d2. b) Tìm toïa ñoä caùc ñieåm M thuoäc d1, N thuoäc d2 sao cho ba ñieåm A, M, N thaúng haøng. (Ñaïi hoïc khoái B – 2006) Giaûi a) Vieát phöông trình maët phaúng (P) : ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 ( P ) // d vaø d neân coù caëp VTCP laø a 2;1; 1 , a 1; 2; 1 ( P ) coù VTPT laø n a , a 1; 3; 5 pt .m p( P ) : x 3y 5z m 0 ( P ) qua A 0;1; 2 neân 3 10 m 0 m 13 Vaäy pt m p (P) : x 3y 5z 13 0 = − = −  ⇒ = = − − − ⇒ − − − + =  − − + = ⇔ = + + − =



 



 b) Tìm toïa ñoä M, N : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2M d n eân M 2 t ', 1 t ', 1 t ' , N d n eân N 1 t , 1 2 t , 2 t AM 2 t ', t ', 3 t ' , AN 1 t , 2 2 t , t A, M, N th aún g h aøng AM, AN 0 Maø AM, AN 2 tt ' 6 t 2 t ' 6; 3tt ' 3t t ' 3; 5tt ' 5t ' Vaäy 2 ∈ + − − ∈ + − − + = − − = + − −    ⇔ = = − − − − − − − − − −    −













 






 ( ) ( ) ( ) ( ) tt ' 6 t 2 t ' 6; 3tt ' 3t t ' 3; 5tt ' 5t ' 0; 0; 0 2 tt ' 6 t 2 t ' 6 0 t ' 0 3tt ' 3t t ' 3 0 M 0;1; 1 , N 0; 1; 1 t 1 5tt ' 5t ' 0 − − − − − − − − − = − − − − = = ⇒ − − − − = ⇔ ⇒ −  = − − − = 30) Cho tam giaùc ABC bieát A(2;-1;3), B(4;0;1), C(-10;5;3). Haõy tìm toïa ñoä J – taâm ñöôøng troøn noäi tieáp cuûa tam giaùc ABC. Giaûi ( ) ( ) C A D C A D C D Goïi D laø chaân ñöôøng phaân giaùc trong goùc B. Ta coù BA 2; 1; 2 BA 4 1 4 3, BC 14; 5; 2 BC 196 25 4 15. x 5x 10 10 x 0 6 6 y 5yDA BA 1 5 5 Ta coù DC 5DA DC 5DA y 0 DC BC 5 6 6 z 5z z = − − ⇒ = + + = = − ⇒ = + + = + − + = = = + − = = ⇒ = ⇒ = − ⇒ = = = + =











 ( ) ( ) A D 0; 0; 3 3 15 3 6 6 Goïi J laø taâm ñöôøng troøn noäi tieáp cuûa tam giaùc ABC. AD 2;1; 0 AD 5 JB AB 3 3 3 4 5 9 5 JB JD JB JD J ; 0; JD AD 5 5 5 3 5 3 5     ⇒  + = =  = − ⇒ =  + = = ⇒ = ⇒ = − ⇒   + + 






 Toaùn 12 – Hình hoïc khoâng gian Trần Quang Thuận 17 Mọi thắc mắc liên quan tới chuyên đề xin vui lòng liên hệ theo số máy : 091.56.57.952. By: Trần Quang Thuận-Khoa Toán-ĐHSPHN. Email: aspvietnam_netuk@yahoo.com.