Các bài tập về bất đẳng thức và giá trị lớn nhất, nhỏ nhất

NGUYỄN MINH NHIấN – TRƯƠNG THPT QUẾ Vế 1 – ĐT : 0976566882 2 2 2a b c 3+ + = CÁC BÀI TẬP VỀ BẤT ĐẲNG THỨC VÀ GIÁ TRỊ LỚN NHẤT NHỎ NHẤT Bài 1 . Cho a,b,c dương và a+b+c=1 .Chứng minh rằng : ( ) 3 2 2 2 a b c 10 abc c a b 9 a b c + + + ≥ + + Bài 2 . Cho a,b,c dương thoả món : a+b+c=abc . Chứng minh rằng : 2 2 2 1 1 11 1 1 2 3 a b c + + + + + ≥ Bài 3 . Cho 3 số d−ơng a,b,c thoả mn : 9a b c+ + = Chứng minh rằng: ( )2 2 27 7 7 7 3 31 1 1 6 2a b c a b cb c a+ + + + + ≥ + + + Bài 4. Cho a,b,c là cỏc số dương chứng minh rằng : 2 2 2 2 2 23 2 2 2 2 2 2 a b c2abc a b c b c c a a b   + + < + +  + + +  Bài 5. Cho a,b,c là cỏc số dương chứng minh rằng : ( )3 a b ca b c 2b c c a a b + + + + ≥ + + + Bài 6. Cho a,b,c là cỏc số dương thoả món : Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của 5 5 5 4 4 4 3 2 3 2 3 2 a b c a b c b c c a a b + + + + + + + + Bài 7. Cho a,b,c là cỏc số dương thoả món a+b+c=1 , chứng minh rằng : 1 1 30 1 2(ab bc ca) abc+ ≥− + + Bài 8. Cho a,b,c là cỏc số dương , chứng minh rằng : 2 2 2 2 2 2a b c b c a b c c a a b b c c a a b + + ≥ + + + + + + + + Bài 9. Cho a,b,c là cỏc số thuộc đoạn [0;1], tỡm giỏ trị lớn nhất của : P=(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c) Bài 10. Cho a,b,c là cỏc số thực khỏc 0 , chứng minh rằng : NGUYỄN MINH NHIấN – TRƯƠNG THPT QUẾ Vế 1 – ĐT : 0976566882 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 22 2 2 a b c 3 5a b c b c a c a b + + ≥ + + + + + + Bài 11. Cho a,b,c là cỏc số dương và ab+bc+ca=1 . Chưng minh rằng : 3 3 3 1 1 1 16b 6c 6a a b c abc + + + + + ≤ Bài 12. Cho x,y,z dương , chứng minh rằng : ( )2 3 3 32 2 2 1 6 3 x y z x y zx y z + ≥ + + + ++ + Bài 13. Cho a,b,c là cỏc số dương , chứng minh rằng : 2 2 2 a b c 3 2ab b bc c ca a + + ≥ + + + Bài 14. Cho x,y,z là cỏc số dương thoả món 3x y z 2 + + ≤ , tỡm giỏ trị nhỏ nhất của : 2 2 2 1 1 1M x y z x y z = + + + + + Bài 15. Cho a,b,c dương và a+b+c=1 , chứng minh rằng : 2 2 2a abc b abc c abc 1 c ab a bc b ac 2 abc + + + + + ≤ + + + Bài 16. Cho a,b,c dương chứng minh rằng : 3 2 3 2 3 2 2 2 2 a b c 1 1 1 1 a b b c c a 2 a b c   + + ≤ + + + + +   Bài 17. Cho a,b,c là cỏc số dương và abc=1 , tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức : a, 2 2 2 2 2 2 bc ca abA a b a c b a b c c b c a = + + + + + b, 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 bc ca abB a b a c b a b c c b c a = + + + + + Bài 18. Cho a,b dương chứng minh rằng : 3 3 3 3 1 a 1 ab b a b a b + + ≥ + + NGUYỄN MINH NHIấN – TRƯƠNG THPT QUẾ Vế 1 – ĐT : 0976566882 Bài 20. Cho a,b,c thoả món : a+b+c=1 , chứng minh rằng : a b c a b c 1 1 1 a b c3 3 3 3 3 3 3   + + ≥ + +    Bài 21. Cho tam giac ABC , tỡm giỏ trị lớn nhất của biểu thức : 246 1 tg A 2 64sin B 4 2M tg A 12sin B ++ = + Bài 22. Cho x,y dương thoả món x+y ≥ 4 tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức : 2 2 2 3x 4 2 yA 4x y + + = + Bài 23. Cho a,b,c là 3 cạnh của 1 tam giỏc . chứng minh rằng : a b c b c a c a b a b c+ − + + − + + − ≤ + + Bài 24. Cho x,y,z là cỏc số dương , chứng minh rằng : 3 x y z x y z1 1 1 2 1 y z x xyz    + +   + + + ≥ +            Bài 25. Cho x,y,z là cỏc số dương thoả món : 3x y z 2 + + ≤ , tỡm giỏ trị nhỏ nhất của : ( ) 22 2 21 1P x y 1 zx y z= + + + + Bài 26. Cho x,y,z là cỏc số dương , tỡm giỏ trị nhỏ nhất của : 2 2 2 2 2 2 x y zA x 2yz y 2zx z 2xy = + + + + + Bài 27. Cho x,y là cỏc số thực khụng õm thoả món : x+y=1. Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức : 2008 2008A 1 x 1 y= + + + Bài 28. Cho x,y,z dương thoả món xyz=1 , tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức : ( ) ( ) ( )3 3 3 1 1 1A x y z y z x z x y = + + + + + NGUYỄN MINH NHIấN – TRƯƠNG THPT QUẾ Vế 1 – ĐT : 0976566882 Bài 29. Cho a,b,c dương và a+b+c=1 , tỡm giỏ trị lớn nhất của biểu thức : 2 2 2M a abc b abc c abc 9 abc= + + + + + + Bài 30. Cho 3 số dương x,y,z thoả món : 1 1 1 1 x y z + + = chứng minh rằng : x yz y zx z xy xyz x y z+ + + + + ≥ + + + CÁC BÀI TẬP PHƯƠNG TRèNH , HỆ PHƯƠNG TRèNH Bài 31. Tỡm cỏc số thực dương x,y,z thoả món hệ : 1 4 9 3 x y z x y z 12  + + =   + + ≤ Giải cỏc hệ sau : Bài 32. ( ) ( ) x y 2 2 2 2 y x xy 2 x y 2  − = − +  + = Bài 33 ( ) ( ) 2 2 ln 1 x ln 1 y x y x 12xy 20y 0  + − + = −  − + = Bài 34. 3 3 2 2 2 2 22 2 x y 6y 3x 9y 2 0 1 x 1 xlog log 2 0 y 4y 5 2 4y y 3  − + − − + =  − + + + = − + + − − Bài 35. 2 y 1 2 x 1 x x 2x 2 3 1 y y 2y 2 3 1 − −  + − + = +  + − + = + Bài 36. 2 2 2 8xy x y 16 x y x y x y  + + = +  + = − Bài 37. ( ) ( ) 2 2 2 y x 2 3 2 x 1 e y 1 3log x 2y 6 2log x y 2 1 −  + = +  + + = + + + NGUYỄN MINH NHIấN – TRƯƠNG THPT QUẾ Vế 1 – ĐT : 0976566882 Bài 38 . 3 2 2 x y 1 x y 5 x xy 4 y xy 4 12  + + + + =  + + + + + = Bài 39 . 10 10 4 4 x y xy y x x y 8x y  + =   + = Bài 40. 23 23 x 1 y 6 y 1 y 1 x 6 x 1  − + + = −  − + + = − Cũn nữa…………………………………………