Các bài tập Hình học không gian tổng hợp giải bằng phương pháp tọa độ

Chuyên đề phương pháp toạ độ trong không gian vungocvinh59@yahoo.com 1 1 CÁC BÀI TẬP HÌNH HỌC KHÔNG GIAN TỔNG HỢP GIẢI BẰNG PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ PHẦN II: HÌNH CHÓP Vũ Ngọc Vinh - THPT A Nghĩa Hưng - Nam Định vungocvinh59@yahoo.com PHƯƠNG PHÁP CHUNG GIẢI TOÁN Để giải được các bài toán hình không gian bằng phương pháp tọa độ ta cần phải chọn hệ trục tọa độ thích hợp. Lập tọa độ các đỉnh, điểm liên quan dựa vào hệ trục tọa độ đã chọn và độ dài cạnh của hình. Bài toán đơn giản hay không một phần phụ thuộc vào cách chọn hệ trục toạ độ vuông góc và đơn vị trên các trục. Böôùc 1: Choïn heä truïc toaï ñoä Oxyz thích hôïp, chuù yù ñeán vò trí cuûa goác O ( Đỉnh của góc vuông, tâm mặt cầu ….) Böôùc 2: Dựa vào điều kiện của bài toán để xác định toạ độ của điểm, phương trình của đường và mặt cần thiết trong hệ trục toạ độ ấy. (coù theå xaùc ñònh toaï ñoä taát caû caùc ñieåm hoaëc moät soá ñieåm caàn thieát) Khi xaùc ñònh toïa ñoä caùc ñieåm ta coù theå döïa vaøo : +)YÙ nghóa hình hoïc cuûa toïa ñoä ñieåm (khi caùc ñieåm naèm treân caùc truïc toïa ñoä, maët phaúng toïa ñoä). +) Döïa vaøo caùc quan heä hình hoïc nhö baèng nhau, vuoâng goùc, song song ,cuøng phöông , thaúng haøng, ñieåm chia ñoïan thaúng ñeå tìm toïa ñoä +) Xem ñieåm caàn tìm laø giao ñieåm cuûa ñöôøng thaúng, maët phaúng. +) Döaï vaøo caùc quan heä veà goùc cuûa ñöôøng thaúng, maët phaúng. Böôùc 3: Chuyển các tính chất hình học trong giả thiết hoặc kết luận của bài toán sang tính chất đại số và giải tích, đưa bài toán về bài toán đại số, giải tích. Söû duïng caùc kieán thöùc veà toaï ñoä ñeå giaûi quyeát baøi toaùn . Caùc daïng toaùn thöôøng gaëp: - Ñoä daøi ñoïan thaúng - Khoaûng caùch töø ñieåm ñeán maët phaúng - Khoaûng caùch töø ñieåm ñeán ñöôøng thaúng - Khoaûng caùch giöõa hai ñöôøng thaúng - Goùc giöõa hai ñöôøng thaúng - Goùc giöõa ñöôøng thaúng vaø maët phaúng - Goùc giöõa hai maët phaúng - Theå tích khoái ña dieän - Dieän tích thieát dieän - Chöùng minh caùc quan heä song song , vuoâng goùc - Baøi toaùn cöïc trò, quyõ tích Boå sung kieán thöùc : 1) Neáu moät tam giaùc coù dieän tích S thì hình chieáu cuûa noù coù dieän tích S' baèng tích cuûa S vôùi cosin cuûa goùc  giöõa maët phaúng cuûa tam giaùc vaø maët phaúng chieáu cos.' SS  2) Cho khoái choùp S.ABC. Treân ba ñöôøng thaúng SA, SB, SC laáy ba ñieåm A', B', C' khaùc vôùi S Ta luoân coù: Chuyên đề phương pháp toạ độ trong không gian vungocvinh59@yahoo.com 2 2 SC SC SB SB SA SA V V ABCS CBAS ''' . '''. .. Chú ý. a) Hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với đáy và đáy là hình vuông (hoặc hình chữ nhật). Ta chọn hệ trục tọa độ như dạng tam diện vuông. b) Hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông (hoặc hình thoi) tâm O đường cao SO vuông góc với đáy. Ta chọn hệ trục tọa độ tia OA, OB, OS lần lượt là Ox, Oy, Oz. Giả sử SO = h, OA = a, OB = b ta có O(0; 0; 0), A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(–a; 0; 0), D(0;–b; 0), S(0; 0; h). c) Hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật ABCD và AB = b. SAD đều cạnh a và vuông góc với đáy. Gọi H là trung điểm AD, trong (ABCD) ta vẽ tia Hy vuông góc với AD. Chọn hệ trục tọa độ Hxyz ta có: H(0; 0; 0),    a aA ; 0; 0 , B ; b; 02 2     a a a 3, C ; b; 0 , D ; 0; 0 , S 0; 0; .2 2 2       Phần II. 1 . HÌNH CHÓP CÓ MỘT CẠNH BÊN VUÔNG GÓC VỚI ĐÁY ( Hay hình chóp có hai mặt bên vuông góc với đáy) * Lưu ý: Đường cao của hình chóp là cạnh bên vu«ng gãc đáy. Ví dụ 1. Tø diÖn ABCD: AB, AC, AD ®«i mét vu«ng gãc víi nhau; AB = 3; AC = AD= 4 TÝnh kho¶ng c¸ch tõ A tíi mÆt ph¼ng (BCD) ( KD: 2002) Giảii + Chän hÖ trôc Oxyz sao cho A  O D Ox; C  Oy và B  Oz  A(0;0;0); B(0;0;3); C(0;4;0); D(4;0;0)  Phương tr×nh ®o¹n ch¾n cña (BCD) lµ: 1 4 4 3   x y z  3x + 3y + 4z - 12 = 0 Kho¶ng c¸ch tõ A tíi mÆt ph¼ng (BCD) lµ: d(A; mp’(BCD)) = 6 34 17 Ví dụ 2. Cho töù dieän ABCD coù AD vuoâng goùc vôùi maët phaúng (ABC) vaø tam giaùc ABC vuoâng taïi A, AD = a, AC = b, AB = c.Tính dieän tích S cuûa tam giaùc BCD theo a, b, c vaø chöùng minh raèng :  2S abc a b c   (DB – ÑH. K. D – 2003) Giaûi Choïn heä truïc toïa ñoä nhö hình veõ, ta coù toïa ñoä caùc ñieåm laø :A(0;0;0), B(c;0;0), C(0;b;0), D(0;0;a) z y x B C D A Chuyên đề phương pháp toạ độ trong không gian vungocvinh59@yahoo.com 3 3                                      2 2 2 2 2 2 BCD 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 BC c;b;0 ,BD c;0;a , BC,BD ab;ac;bc 1 1S BC,BD a b a c b c ñpcm 2 2 a b a c b c abc(a b c) a b a c b c abc(a b c) Theo BÑT Cauchy ta ñöôïc : a b +b c 2ab c b c +c a            2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2bc a Coäng veá : a b a c b c abc(a b c) c a a b 2ca b Ví dụ 3. Cho hình choùp S.ABCD laø hình vuoâng caïnh a, SA  (ABCD), SA a 2. Maët phaúng () qua A vuoâng goùc vôùi SC caét SB, SC, SD laàn löôït laø M, N, P. Chöùng minh raèng töù giaùc AMNP coù hai ñöôøng cheùo vuoâng goùc vaø tính dieän tích cuûa töù giaùc. Giải Döïng heä truïc Ax, Ay, Az ñoâi moät vuoâng goùc, vôùi A(0; 0; 0), B(a; 0; 0), C(a; a; 0), D(0; a; 0), S(0; 0; a 2) 1SC (a; a; a 2) a(1; 1; 2) a.u       2SB (a; 0; a 2) a(1; 0; 2) a.u       3SD (0; a; a 2) a(0; 1; 2) a.u       Phöông trình mp(qua A(0; 0; 0) vôùi phaùp vectô 1n u (1; 1; 2)     : ( ) : x y 2z 0.    Phöông trình ñöôøng thaúng SC qua C(a; a; 0) vôùi vectô chæ phöông 1u  : x a t (SC) : y a t z 2t         N SC N(a t; a t; 2t)     a a a a 2N ( ) a t a t 2( 2t) 0 t N ; ; 2 2 2 2                   Phöông trình ñöôøng thaúng (SB): x = a + t; y = 0; x 2t.  Ta coù: a 2a a 2M SB; M ( ) t M ; 0; 3 3 3             . Phöông trình ñöôøng thaúng (SD): x 0; y a t; z 2t.     Ta coù: a 2a a 2P SD; P ( ) t P 0; ; 3 3 3             S A P N M B C a O z a 2 a x D y z y x A B C D Chuyên đề phương pháp toạ độ trong không gian vungocvinh59@yahoo.com 4 4 a a a 2 2a 2a 2a 2AN ; ; ; AN a; MP ; ; 0 ; MP . 2 2 2 3 3 3                 Ta coù: 2 2a 2a a 2a a 2 a aAN.MP . . .0 0 AN MP 2 3 2 3 2 3 3                (ñpcm) Dieän tích töù giaùc AMNP: 21 1 2a 2 a 2S .AN.MP .a. . 2 2 3 3    Ví dụ 4. Cho hình choùp S ABCD, SA  (ABCD), SA = a, SC  BD; ñaùy ABCD laø hình thang vuoâng coù BC = 2a, aAD 2  vaø ñöôøng cao AB = a. M laø ñieåm treân caïnh SA, ñaët AM = x (0 x a)  . Tính ñoä daøi ñöôøng cao DE cuûa BMD. Ñònh x ñeå DE ñaït giaù trò nhoû nhaát. Giải Döïng heä truïc Axyz vôùi Ax, Ay, Az ñoâi moät vuoâng goùc, A(0; 0; 0), B(a; 0; 0), C(a; 2a; 0), aD 0; ; 0 , S(0; 0; a), M(0; 0; x) 2      . BM ( a; 0; x).   Phöông trình ñöôøng thaúng BM qua B vôùi , vectô chæ phöông: x a at (BM) : y 0 z xt       aE BM E(a at; 0; xt) DE a at; ; xt 2            aDE BM DE.BM 0 (a at)( a) .0 xt.x 0 2                   2 2 2 2 2 2 a(x a )t a t . x a Ta coù: 2 2 2 2 2 2 ax a a xDE ; ; 2x a x a                               2 4 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a x a a x a a x (x a a 4xDE 1 4 4 2(x a ) (x a ) (x a ) x a a aDE minDE x 0 x 0 M A. 2 2 Ví dụ 5. Cho hình choùp SABCD, ABCD laø hình vuoâng caïnh a, SA  (ABCD), SA = 2a. Maët phaúng () qua BC hôïp vôùi AC moät goùc 30o, caét SA, SD laàn löôït taïi M, N. Tính dieän tích thieát dieän BCNM. Giải. Döïng heä truïc toïa ñoä Axyz, vôùi Ax, Ay, Az ñoâi moät vuoâng goùc, A(0; 0; 0), B(a; 0; 0), C(a; a; 0), S(0; 0; 2a). Ñaët: AM = h; (0 < h < 2a)  M(0; 0; h) M E A D a C y z S a B x Chuyên đề phương pháp toạ độ trong không gian vungocvinh59@yahoo.com 5 5 BM ( a; a;h), BC (0; a; 0),      2[BM; BC] ( a.h; 0; a ) a(h; 0; a)       a.n   , vôùi n (h; 0; a) n (h; 0; a)  laø phaùp vectô cuûa maët phaúng (). Ñöôøng thaúng AC coù vectô chæ phöông 1u (a; a; 0) a(1; 1; 0) a.u ,     vôùi 1u (1; 1; 0)  . () hôïp vôùi AC moät goùc 30o.                  o 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1.h 1.0 0.a 1sin30 21 1 0. h 0 a h 1 22 h a h 2 h a 2h h a h a   M laø trung ñieåm SA. Ta coù: MN ( ) (SAD) MN// BC// AD. BC// AD      BC (SAB) BC BM BCNM    laø hình thang vuoâng taïi B vaø M. ABM vuoâng caân ñænh A  BM a 2. MN laø ñöôøng trung bình cuûa SAD aMN . 2   Dieän tích hình thang vuoâng BCNM: 21 3a 2S .BM(MN BC) 2 4    . Ví dụ 6. Cho hình chóp O.ABC có OA = a, OB = b, OC = c đôi một vuông góc. Điểm M cố định thuộc tam giác ABC có khoảng cách lần lượt đến các mp(OBC), mp(OCA), mp(OAB) là 1, 2, 3. Tính a, b, c để thể tích O.ABC nhỏ nhất. Giải Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ, ta có: O(0; 0; 0), A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c). d[M, (OAB)] = 3  zM = 3. Tương tự  M(1; 2; 3). pt(ABC): x y z 1a b c   1 2 3M (ABC) 1a b c     (1). O.ABC 1V abc6 (2). 3 1 2 3 1 2 3(1) 1 3 . .a b c a b c     1 abc 276  . C y 2a S N D y a x a B H A M Chuyên đề phương pháp toạ độ trong không gian vungocvinh59@yahoo.com 6 6 (2) min 1 2 3 1V 27 a b c 3      3 6 9 a b c      Ví dụ 7. Tứ diện S.ABC có cạnh SA vuông góc với đáy và ABC vuông tại C. Độ dài của các cạnh là SA = 4, AC = 3, BC = 1. Gọi M là trung điểm của cạnh AB, H là điểm đối xứng của C qua M. Tính cosin góc phẳng nhị diện [H, SB, C] Giải. Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ, ta có: A(0; 0; 0), B(1; 3; 0), C(0; 3; 0), S(0; 0; 4) và H(1; 0; 0). mp(P) qua H vuông góc với SB tại I cắt đường thẳng SC tại K, dễ thấy [H, SB, C] =  IH, IK  (1). SB ( 1; 3; 4)    , SC (0; 3; 4)   suy ra: ptts SB: x 1 t y 3 3t z 4t       , SC: x 0 y 3 3t z 4t      và (P): x + 3y – 4z – 1 = 0.    5 15 3 51 32I ; ; , K 0; ; 8 8 2 25 25 379 281cos[H, SB, C] 12645  Ví dụ 8. Cho hình choùp S. ABCD coù SA  (ABCD) vaø SA = a 6 , ñaùy ABCD laø nöûa luïc giaùc ñeàu noäi tieáp trong ñöôøng troøn ñöôøng kính AD = 2a. Tính khoaûng caùch töø ñöôøng thaúng AD ñeán maët phaúng (SBC). Giải. Döïng / /BB AD, CC AD  vaø I laø trung ñieåm AD / / / /a 3 a 3aBB CC ; AB ; AC 2 2 2      Döïng heä truïc Axyz, vôùi Ax, Ay, Az ñoâi moät vuoâng             a 3 a a 3 3agoùc A(0; 0; 0), B ; ; 0 , C ; ; 0 , 2 2 2 2 D(0; 2a; 0), S(0; 0; a 6). a 3 a a 3 3aSB ; ; a 6 , SC ; ; a 6 2 2 2 2                 2 2 2 2 a 3 a 3 a 3[SB; SC] a 6; 0; (2 2; 0; 1) .n, 2 2 2           vôùi n (2 2; 0; 1) Phöông trình maët phaúng (SBC) qua S vôùi phaùp vectô n : (SBC) : 2 2x z a 6 0   Vì: AD// BC AD//(SBC) d(AD; (SBC)) d(SBC))   z S a 6 x A B B/ C C/ I D 2a y Chuyên đề phương pháp toạ độ trong không gian vungocvinh59@yahoo.com 7 7 Ta coù: 0 0 a 6 a 6d(A; (SBC)) 38 1     . Vaäy, a 6d(AD; (SBC)) . 3  BÀI TẬP Bài 1( KA 2000) Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC vuông góc với từng đôi một có OA = a, OB = a 2 , OC = c. Gọi D là đỉnh đối diện với O của hình chữ nhật AOBD và M là trung điểm của BC. (P) là mặt phẳng qua A, M và cắt mặt phẳng (OCD) theo một đường thẳng vuông góc với AM. 1) Gọi E là giao điểm của (P) với OC, tính độ dài OE. 2) Tính khoảng cách từ C đến mp’(P). 3) Tính tỉ số thể của hai khối đa diện được tạo thành khi cắt khối chóp C.AOBD bởi mặt phẳng (P). Bài 2. ( ĐH 2001 ) Cho tam giác vuông cân ABC có AB = AC = a, M là trung điểm BC. Trên các nửa đường thẳng AA1, MM1 vuông góc với mặt phẳng (ABC) về cùng một phía, lấy tương ứng các điểm N, I sao cho 2MI = NA = a. Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ A xuống NB. Chứng minh rằng: AH  NI. Bài 3. Trên ba tia Ox, oy, oz vuông góc với từng đôi một lấy lần lượt các điểm A, B, C. Giả sử A cố định còn B, C thay đổi sao cho OA = OB + OC. Hãy xác định vị trí của B, C sao cho thể tích của tứ diện OABC là lớn nhất. Bài 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA = 3a và vuông với đáy. 1) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC). 2) Tính khoảng cách từ tâm O của hình vuông đến mặt phẳng (SBC). 3) Tính khoảng cách từ trọng tâm của tam giác SAB đến mặt phẳng (SAC). Bài 5. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân với BA = BC = a, SA = a và vuông góc với đáy. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của AB và AC. 1) Tính góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và mặt phẳng (SBC). 2) Tính góc giữa hai mặt phẳng (SEF) và mặt phẳng (SBC). Bài 6. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA = 2a và vuông góc với đáy. 1) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC), từ C đến mặt phẳng (SBD). 2) MN lần lượt là trung điểm của AB, AD. CMR: MN // (SBD) và tính khoảng cách từ MN đến mặt phẳng (SBD). Bài 7. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với cạnh AB = a, AD = 2a, SA = a và vuông góc với đáy. 1) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBD) và khoảng cách từ trung điểm I của SC đến mặt phẳng (SBD). 2) Gọi M là trung điểm của cạnh CD, tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBM). Bài 8.( KA – 2000) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D với AB = AD = a, DC = 2a , SD = a và vuông góc với đáy. 1) Chứng minh rằng tam giác SBC vuông và tính diện tích của tam giác đó. 2) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC). Bài 9. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA = 2a và vuông góc với đáy. Chuyên đề phương pháp toạ độ trong không gian vungocvinh59@yahoo.com 8 8 1) Gọi M, N theo thứ tự thuộc BC, DC sao cho BM = 3, 2 4 a aDN  . Chứng minh rằng hai mặt phẳng (SAM) và mặt phẳng (SMN) vuông góc với nhau. 2) Gọi M, N theo thứ tự thuộc BC, DC sao cho BM = x, DN = y. a. Tìm hệ thức liên hệ giữa x và y để hai hai mặt phẳng (SAM) và mặt phẳng (SMN) vuông góc với nhau. b. Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để nhị diện (M, SA, N) có số đo bằng 600 là : 23 ( )a x y xy a   . Bài 10. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp đường tròn đường kính AB = 2a, SA = 6a và vuông góc với đáy. 1) Tính góc giữa hai mặt phẳng (SAD) và mặt phẳng (SBC); Tính góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và mặt phẳng (SBC). 2) Tính khoảng cách từ A , D đến mặt phẳng (SBC) và từ đường thẳng AB đến mặt phẳng (SCD). 3) Tính diện tích thiết diện của hình chóp S.ABCD tạo bởi mặt phẳng ( ) song song với mặt phẳng (SAB) và cách mặt phẳng (SAB) một khoảng bằng 3 4 a . Bài 11. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B với AB = a, 2SA a và vuông góc với đáy. Gọi M là trung điểm của AB. Tính độ dài đường vuông chung của SM và BC. Bài 12. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông đường cao AB = a, BC = 2a, SA = a vuông góc với đáy, ngoài ra còn có SC vuông góc với BD. 1) Tính AD. 2) Gọi M là một điểm trên đoạn SA, đặt AM = x (0 ≤ x ≤ a). Tính độ dài đường cao DE của tam giác BDM. Xác định x để DE có giá trị lớn nhất, nhỏ nhất. Bài 13. Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với đáy mặt phẳng (ABC), ABC là tam giác vuông tại B, AB = a, AC = 2a, mặt (SBC) hợp với mặt (ABC) góc 600 . 1) Tìm trên đoạn BC điểm M cách đều hai mặt phẳng (SAB) và (SAC). Tính khoảng cách đó. 2) Tìm trên đoạn SA điểm N cách đều hai mặt phẳng (SBC) và (SAC). Tính khoảng cách đó. 3) Tìm trên đoạn AB điểm P cách đều hai mặt phẳng (SAC) và (SBC). Tính khoảng cách đó. Bài 14. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại C với AB = 2a, góc BAC = 300 , SA = 2a và vuông góc với đáy . Gọi M là một điểm di động trên cạnh AC, đặt AM = x (0 ≤ x ≤ 3a ). 1) Tính khoảng cách từ S đến BM theo a và x. 2) Tìm giá trị x để khoảng cách trên có giá trị lớn nhất, nhỏ nhất. Bài 15. ( ĐH- KA 2001) Cho tứ diện SABC có SC = CA = AB = 2a , SC vuông góc với mặt phẳng (ABC), tam giác ABC vuông tại A, các điểm M thuộc SA và N thuộc BC sao cho AM = CN = t (0 < t < 2a). 1) Tính độ dài đoạn thẳng MN. Tìm giá trị của t để đoạn MN ngắn nhất. 2) Khi đoạn MN ngắn nhất, chứng minh MN là đường vuông góc chung của BC và SA. Bài 16. Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông cạnh a, SA = a và vuông góc với đáy. Gọi E là trung điểm CD. 1) Tính diện tích SBE. 2) Tính khoảng cách từ đỉnh C đến (SBE). 3) (SBE) chia hình chóp thành hai phần, tính tỉ số thể tích hai phần đó. Chuyên đề phương pháp toạ độ trong không gian vungocvinh59@yahoo.com 9 9 Bài 17. Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông cạnh a. Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA a 3 . 1) Tính khoảng cách từ đỉnh C đến (SBD). 2) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SD và AC. 3) Tính góc phẳng nhị diện [B, SC, D]. Bài 18. Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông cạnh 3cm. Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA 3 2 cm. Mp( ) đi qua A và vuông góc với SC cắt các cạnh SB, SC, SD lần lượt tại H, M, K. 1) Chứng minh AH vuông góc với SB, AK vuông góc với SD. 2) Chứng minh BD song song với ( ) . 3) Chứng minh HK đi qua trọng tâm G của SAC . 4) Tính thể tích hình khối ABCDKMH. Bài 18. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB = a, AD = b. Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA = 2a. Gọi M, N là trung điểm cạnh SA, SD. 1) Tính khoảng cách từ A đến (BCN). 2) Tính khoảng cách giữa SB và CN. 3) Tính góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (SBC). 4) Tìm điều kiện của a và b để  3cosCMN 3 . Trong trường hợp đó tính thể tích hình chóp S.BCNM. Bài 20. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với AB = a, AD = 2a. Đường cao SA = 2a. Trên cạnh CD lấy điểm M, đặt MD = m (0 m a)  . 1) Tìm vị trí điểm M để diện tích SBM lớn nhất, nhỏ nhất. 2) Cho am 3 , gọi K là giao điểm của BM và AD. Tính góc phẳng nhị diện [A, SK, B]. Baøi 21: Cho hình vuoâng ABCD caïnh baèng a taâm I . Treân hai tia Ax, By cuøng chieàu vaø cuøng vuoâng goùc vôùi maët phaúng (ABCD) laàn löôït laáy hai ñieåm M,N . Ñaët AM=x, CN=y 1) Tính theå tích hình choùp ABCMN. 2) CMR ñieàu kieän caàn vaø ñuû ñeå goùc MIN=900 laø 2xy=a2 . Baøi 22: Cho hình choùp S.ABC coù ñaùy laø tam giaùc vuoâng caân ABC vôùi caïnh huyeàn AB = 4 2 . Caïnh beân SC (ABC) vaø SC = 2 .Goïi M laø trung ñieåm cuûa AC, N laø trung ñieåm AB 1) Tính goùc cuûa hai ñöôøng thaúng SM vaø CN 2) Tính ñoä daøi ñoïan vuoâng goùc chung cuûa SM vaø CN. Chuyên đề phương pháp toạ độ trong không gian vungocvinh59@yahoo.com 10 10 Phần II. 2 . HÌNH CHÓP CÓ MỘT MẶT BÊN ( HOẶC MẶT CHÉO) VUÔNG GÓC VỚI ĐÁY * Lưu ý: Đường cao của hình chóp là cạnh đường cao của mặt bên hoặc mặt chéo đó. Ví dụ . Cho hình choùp SABCD coù ñaùy ABCD laø hình vuoâng caïnh a. Maët beân SAB laø tam giaùc ñeàu vaø vuoâng goùc vôùi ñaùy. Goïi H laø trung ñieåm cuûa AB vaø M laø ñieåm di ñoäng treân caïnh BC. Chöùng minh SH vuoâng goùc (ABCD). Ñaët x = CM vôùi 0 x a (a 0)   . Tính khoaûng caùch töø S ñeán DM. Tìm x ñeå khoaûng caùch naøy lôùn nhaát. Giải. Ta coù: (SAB) (ABCD), (SAB) (ABCD) AB SH AB      SH (ABCD)  Choïn heä truïc Hxyz, vôùi Hx, Hy, Hz añoâi moät vuoâng goùc, H(0; 0; 0), A ; 0; 0 , 2 a a aB ; 0; 0 , C ; a; 0 , D ; a; 0 , 2 2 2 a 3 aS 0; 0; , M ; a x; 0 , 0 x a; a 0 2 2                                  x 2 2a a 3SD ; a; , DM (a; x; 0), DM a x 2 2               2 2ax 3 a 3 ax[SD; DM' ; ; a 2 2 2           2 2 4 2 2 2 23a x 2a a a[SD; DM] (x 2a) 4x 4ax 7a 4 4 4 2           Khoaûng caùch töø S ñeán ñöôøng thaúng DM: 2 2 2 2 [SD; DM] a 4x 4ax 7ad(S; DM) 2 x aDM        . Xeùt haøm soá: 2 2 2 2 4x 4ax 7af(x) , x a    vôùi 0 x a (a 0)   2 2 / 2 2 2 2a(2x 3ax 2a )f (x) (x a )    / 2 2 af (x) 0 2x 3ax 2a 0 x hay x 2a. 2          z S a 3 2 A D C B a 2 M x H y Chuyên đề phương pháp toạ độ trong không gian vungocvinh59@yahoo.com 11 11 Baûng bieán thieân: x a 2  0 a 2a f/(x) + 0 - - - 0 + f(x) 7 7 2 Töø baûng bieán thieân ta coù: maxf(x) 7 taïi x = 0. Vậy: Maxd(S; DM) = 7 2 a , đạt được khi x = 0. BÀI TẬP Bài 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. SAD đều và vuông góc với (ABCD). Gọi H là trung điểm của AD. 1) Tính d(D, (SBC)), d(HC, SD). 2) Mặt phẳng ( ) qua H và vuông góc với SC tại I. Chứng tỏ ( ) cắt các cạnh SB, SD. 3) Tính góc phẳng nhị diện [B, SC, D]. Baøi 2: Cho hình thoi ABCD taâm O, caïnh baèng a vaø AC=a, Töø trung ñieåm H cuûa caïnh AB döïng SH (ABCD) vôùi SH=a 1) Tính khoaûng caùch töø O ñeán maët phaúng (SCD). 2) Tính khoaûng caùch töø A ñeán maët phaúng (SBC). Bài 3. Cho hình vuông ABCD cạnh bằng a. Từ trung điểm H của cạnh AB dựng SH vuông góc với mặt phẳng (ABCD) sao cho nhị diện cạnh AD của hình chóp S.ABCD có số đo bằng 600 . 1) Tính SH và khoảng cách từ H đến mặt phẳng (SCD). 2) Gọi K là trung điểm cạnh AD. Chứng minh CK  SD và tính số đo nhị diện (A, SD, C) 3) Tính góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và mặt phẳng ( SCK). Bài 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Mặt bên SAD là tam giác đều và vuông góc với (ABCD). Gọi H là trung điểm của AB. 1) Tính góc giữa DB và mặt phẳng (SAD). 2) Tính góc giữa DS và mặt phẳng (SCH). Chuyên đề phương pháp toạ độ trong không gian vungocvinh59@yahoo.com 12 12 Phần II. 3 . HÌNH CHÓP ĐỀU * Lưu ý: Chân đường cao của hình chóp là tâm của đa giác đáy. Ví dụ 1. (ĐH. K A – 2002). Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có độ dài cạnh đáy là a. Gọi M, N là trung điểm SB, SC. Tính theo a diện tích AMN, biết (AMN) vuông góc với (SBC). Giải Gọi O là hình chiếu của S trên (ABC), ta suy ra O là trọng tâm ABC . Gọi I là trung điểm của BC, ta có: 3 a 3AI BC2 2  a 3 a 3OA , OI3 6   Trong mp(ABC), ta vẽ tia Oy vuông góc với OA. Đặt SO = h, chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ ta được: O(0; 0; 0), S(0; 0; h), a 3A ; 0; 03      a 3I ; 0; 06       , a 3 aB ; ; 06 2      , a 3 aC ; ; 06 2       , a 3 a hM ; ; 12 4 2      và a 3 a hN ; ; 12 4 2       . 2 (AMN) ah 5a 3n AM, AN ; 0; 4 24               , 2 (SBC) a 3n SB, SC ah; 0; 6               2 2 2 (AMN) (SBC) AMN 5a 1 a 10(AMN) (SBC) n .n 0 h S AM, AN12 2 16               . Ví dụ 2. Cho h×nh chãp SABC, c¸c c¹nh ®Òu cã ®é dµi b»ng 1, O lµ t©m cña ABC. I lµ trung ®iÓm cña SO. 1) MÆt ph¼ng (BIC) c¾t SA t¹i M. T×m tØ lÖ thÓ tÝch cña tø diÖn SBCM vµ tø diÖn SABC. 2) H lµ ch©n ®­êng vu«ng gãc h¹ tõ I xuèng c¹nh SB. CMR: IH ®i qua träng t©m G cña SAC. Giải. Chän hÖ trôc Oxyz sao cho O lµ gèc täa ®é AOx, S Oz, BC//Oy Täa ®é c¸c ®iÓm: 3( ;0;0) 3 A ; 3 1( ; ;0) 6 2  B ; 3 1( ; ;0) 6 2 C ; 6(0;0 ) 3 S ; 6(0;0; ) 6 I Ta có: (0;1;0)  BC ; 3 1 6( ; ; ) 6 2 6     IC ; 6 3, ( ;0; ) 6 6        BC IC z x y I O H A C S G N Chuyên đề phương pháp toạ độ trong không gian vungocvinh59@yahoo.com 13 13  Phư¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (IBC) lµ: 6 3 6( 0) 0( 0) ( ) 0 6 6 6       x y z Hay: 62 0 6    z mà ta lại có: 3 6( ;0; ) // (1;0; 2) 3 3        SASA SA u Phư¬ng tr×nh ®ưêng th¼ng SA: 3 ; 3  x t 0; 2  y z t . + Täa ®é ®iÓm M lµ nghiÖm cña hÖ: 3 (1) 3 0 (2) 2 (3) 62 0(4) 6              x t y y t x z Thay (1) (2) (3) vµo (4) cã: 3 6 3 6; 0; ( ;0; ) 12 4 12 4     x y z M ; 3 6( ;0; ) 4 12 12         SM SA SM  M n»m trªn ®o¹n SA vµ 1 4 SM SA ( ) 1 ( ) 4  SBCM SABC V V . 2. Do G lµ träng t©m cña ASC  SG ®i qua trung ®iÓm N cña AC  GI  (SNB)  GI vµ SB ®ång ph¼ng (1). Ta l¹i cã täa ®é: G 3 1 6( ; ; ) 18 6 9 3 1 6( ; ; ) 18 6 18      GI 3 1 6( ; ; ) 18 6 18      GI . 0 (2)      GI SB GI SB Tõ (1) vµ (2)   GI SB H Ví dụ 3. Cho töù dieän ñeàu SABC coù caïnh laø a. Döïng döôøng cao SH. 1) Chöùng minh SA  BC. Tính theå tích vaø dieän tích toaøn phaàn cuûa hình choùp SABC. 2) Goïi O laø trung ñieåm cuûa SH. Chöùng minh raèng OA, OB, OC ñoâi moät vuoâng goùc vôùi nhau. Giải 1) Goïi M laø trung ñieåm BC a 3AM BC, AM 2    . Goïi SH laø ñöôøng cao cuûa töù dieän ñeàu, neân SH laø truïc ñöôøng troøn (ABC)  H laø taâm ñöôøng troøn (ABC) 2 a 3AH AM . 3 3    Döïng heä truïc Axyz, vôùi Ax, Ay, Az ñoâi moät vuoâng goùc,                   a a 3 a a 3 a 3 a 6A(0; 0; 0), B ; ; 0 , C ; ; 0 , S 0; ; , 2 2 2 2 3 3             a 3 a 3M 0; ; 0 , H 0; ; 0 . 2 3 a 3 a 6BC ( a; 0; 0), SA 0; ; 3 3           . Ta coù: a 3 a 6SA.BC 0.( a) .0 .0 0 SA BC 3 3            . Vaäy, SA BC. Chuyên đề phương pháp toạ độ trong không gian vungocvinh59@yahoo.com 14 14 . Theå tích hình choùp: 2 3 ABC 1 1 a 6 a 3 a 2V .SH.S . . 3 3 3 4 12    . Dieän tích toaøn phaàn: 2 2 tp ABC a 3S 4.S 4. a . 3. 4    2) O laø trung ñieåm SH  toïa ñoä a 3 a 6O 0; ; 3 6      a 3 a 6 a a 3 a 6 a a 3 a 6OA 0; ; , OB ; ; , OC ; ; 3 6 2 6 6 2 6 6                          . Ta coù: 2 2a a 3 a 3 a 6 a 6 a aOA.OB 0. . . 0 OA OB. 2 3 6 6 6 6 6           Chöùng minh töông töï ta cuõng coù: OB OC, OC OA.  Vaäy, OA, OB, OC ñoâi moät vuoâng goùc nhau. BÀI TẬP Bài 1. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD. Gọi I là trung điểm của đường cao SO với O là tâm của ABCD. Biết khoảng cách từ I đến cạnh bên và mặt bên của hình chóp theo thứ tự bằng p, q, Tính thể tích của hình chóp. Bài 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh a, SO vuông góc với đáy. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của SA và BC. Biết rằng góc giữa MN và mặt phẳng (ABCD) bằng 600 . 1) Tính MN và SO. z x y I O B A C S M Chuyên đề phương pháp toạ độ trong không gian vungocvinh59@yahoo.com 15 15 2) Tính góc giữa MN và mặt phẳng (SBD). Bài 3. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD cạnh bằng 2a. Gọi d1 , d2 , d3 , d4 theo thứ tự là khoảng cách từ điểm M bất kì thuộc đáy ABCD tới các mặt bên. CMR: Tổng d1 + d2 + d3 + d4 không phụ thuộc vào vị trí của điểm M. Bài 4. Cho hình chóp đều S.ABC, gọi O là trọng tâm tam giác ABC và I là trung điểm SO. Chứng minh rằng IA, IB, Ic đôi một vuoâng goùc vôùi nhau. Bài 5. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có đường cao SO = 1 và đáy Abc có cạnh bằng 6a . Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm AB, AC. Tính thể tích hình chóp S.AMN và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. Bài 6. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có độ dài cạnh đáy là a, đường cao SH = h. Mặt phẳng ( ) đi qua AB và vuông góc với SC. 1. Tìm điều kiện của h theo a để ( ) cắt cạnh SC tại K. 2. Tính diện tích ABK . 3. Tính h theo a để ( ) chia hình chóp thành hai phần có thể tích bằng nhau. Chứng tỏ rằng khi đó tâm mặt cầu nội tiếp và ngoại tiếp trùng nhau. Chuyên đề phương pháp toạ độ trong không gian vungocvinh59@yahoo.com 16 16 Phần II. 4 . HÌNH CHÓP CÓ CÁC CẠNH BÊN BẰNG NHAU ( Hay hình chóp có các cạnh bên tạo với đáy các góc bằng nhau) * Lưu ý: Chân đường cao của hình chóp trùng với tâm của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy. Ví dụ . Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA = SB = SC, khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABC) bằng h. Tìm điều kiện của a và h để hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) vuoâng goùc vôùi nhau. BÀI TẬP Cho töù dieän OABC (vuoâng taïi O), bieát raèng OA,OB,OC laàn löôït hôïp vôùi maët phaúng (ABC) caùc goùc  ,, . Chöùng minh raèng: 1) 2 2 2cos cos cos 2     2) 2222 ABCOCAOBCOAB SSSS   Phần II. 5 . HÌNH CHÓP CÓ CÁC MẶT BÊN NGHIÊNG ĐỀU TRÊN ĐÁY * Lưu ý: Chân đường cao của hình chóp trùng với tâm của đường tròn nội tiếp đa giác đáy. Ví dụ . Cho töù dieän OABC coù ba caïnh OA;OB;OC ñoâi moät vuoâng goùc . Goïi ; ;   laàn löôït laø caùc goùc giöõa maët phaúng (ABC) vôùi caùc maët phaúng (OBC);(OCA) vaø (OAB). Chöùng minh raèng : 1) 2 2 2cos cos cos 1     2) cos cos cos 3     BÀI TẬP Cho hình cầu bán kính R nội tiếp trong hình chóp. Đáy của hình chóp là hình thoi có góc nhọn  , các mặt bên của hình chóp tạo với đáy góc  . Tính thể tích của hình chóp. Phần II. 6 . CÁC LOẠI HÌNH CHÓP KHÁC Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình thoi ABCD có tâm O, SO là đường cao của hình chóp. M là trung điểm cạnh SC. SO = 2a , AC = 4, BD = 2. 1) Tính góc và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BM. 2) Giả sử mặt phẳng (ABM) cắt đường thẳng SD tại N. Tính thể tích của khối chóp S.ABMN. 3) Chứng minh rằng mọi điểm thuộc đường cao của hình chóp cách đều bốn mặt bên của hình chóp. BÀI TẬP. Cho hình chữ nhật ABCD. Trên các nửa đường thẳng At, Ct’ vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và nằm cùng phía đối với mặt phẳng (ABCD) lần lượt lấy các điểm M, N tương ứng. Đặt AM = m, CN = n, AB = a, BC = b. 1) Tìm điều kiện của a, b, m, n đẻ mặt phẳng (MBD) vuông góc với mặt phẳng (NBD). 2) Trong trường hợp mặt phẳng (MBD) vuông góc với mặt phẳng (NBD). Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của tứ diện ACMN theo a, b, m, n.