Bất phương trình hàm chuyển tiếp từ trung bình cộng thành trung bình bậc k > 1 tùy ý - Phạm Thùy linh

ISSN: 1859-2171 e-ISSN: 2615-9562 TNU Journal of Science and Technology 204(11): 137 - 141 Email: jst@tnu.edu.vn 137 BẤT PHƯƠNG TRèNH HÀM CHUYỂN TIẾP TỪ TRUNG BèNH CỘNG THÀNH TRUNG BèNH BẬC k > 1 TÙY í Phạm Thị Linh*, Nguyễn Thị Thu Hằng Trường Đại học Kinh tế và Quản trị Kinh doanh – ĐH Thỏi Nguyờn TểM TẮT Phương trỡnh và bất phương trỡnh hàm là một nội dung khú. Nội dung này thu hỳt được sự quan tõm của nhiều nhà nghiờn cứu. Lý thuyết về phương trỡnh và bất phương trỡnh hàm cú mặt ở hầu hết cỏc lĩnh vực và cú nhiều ứng dụng trong đời sống cũng như trong kỹ thuật. Sự phỏt triển của nú đúng gúp rất nhiều cho sự phỏt triển của toỏn học và ảnh hưởng rất nhiều đến cỏc lĩnh vực khỏc như kinh tế học, sinh thỏi học, lý thuyết thụng tin, thống kờ,.... Trong bài bỏo này chỳng tụi sẽ nghiờn cứu về bất phương trỡnh hàm chuyển tiếp từ trung bỡnh cộng thành trung bỡnh cộng, trung bỡnh bậc hai và trung bỡnh bậc k > 1 tựy ý và một số dạng toỏn liờn quan. Keywords: Hàm, phương trỡnh hàm, bất phương trỡnh hàm, trung bỡnh cộng, trung bỡnh bậc hai. Ngày nhận bài: 26/6/2019; Ngày hoàn thiện: 14/8/2019; Ngày đăng: 19/8/2019 FUNCTIONAL INEQUALITIES INDUCED BY ARITHMETIC MEAN TO MEAN OF DEGREE k > 1 Pham Thi Linh * , Nguyen Thi Thu Hang University of Economics and Business Administration - TNU ABSTRACT Functional equalities and inequalities are difficult. Many authors studied functional equa- tions and inequalities. The development used to application in several areas - not only in mathematics but also in other disciplines. Functional equalities and inequalities are applied computers, econimics, polynomials, engineering, infermation theory, reporducing scoring system, taxation, etc. In this paper, we establish some functional inequalities induced by arithmetic mean to arithmetic mean, quadratic mean and mean of degree k > 1 with k is a positive interger and their related problems. Keywords: Functional, functional equalities, functional inequatlities, arithmetic mean, quadratic mean. Received: 26/6/2019; Revised: 14/8/2019; Published: 19/8/2019 * Corresponding author. Email: linhpham19101985@gmail.com 1. Mởt số kián thực bờ trủ Trong b i bĂo n y, chúng tổi khÊo sĂt cĂc dÔng toĂn bĐt phữỡng trẳnh h m chuyºn tiáp tứ Trung bẳnh cởng cừa cĂc ối số (xem [1, 2]) x + y ; x; y 2 R; 2 Trung bẳnh bẳnh phữỡng cừa cĂc ối số (xem [1, 2])r x2 + y2 2 ;x; y 2 R+: Trung bẳnh bêc k (k > 1) cừa cĂc ối số  xk + 2 yk  k1 ; x; y 2 R+; th nh cĂc Ôi lữủng Trung bẳnh cởng cừa cĂc h m số (xem [1, 2]) f (x) + f (y) 2 ; Trung bẳnh bẳnh phữỡng cừa cĂc h m số (xem [1, 2]) s [f(x)]2 + [f(y)]2 2 ; Trung bẳnh bêc k (k > 1) cừa cĂc h m số  [f(x)]k + [f(y)]k 2  1 k : º giÊi mởt số b i toĂn liản quan án bĐt phữỡng trẳnh h m, chúng tổi  sỷ dửng phữỡng phĂp quy nÔp, phữỡng phĂp thá,... Chú ỵ 1. º sỷ dửng phữỡng phĂp thá, ta thữớng thay cĂc giĂ trà °c biằt: +) Vẵ dử thay x = a sao cho f(a) xuĐt hiằn nhiãu trong phữỡng trẳnh. +) x = a, y = b rỗi hoĂn và, thay ời i º tẳm liản hằ giỳa f(a) v  f(b). +) °t f(0) = b, f(1) = b, . . . > +) Náu f l  to n Ănh, tỗn tÔi a: f (a) = 0 (dũng trong phữỡng trẳnh cởng), cỏn náu tỗn tÔi a: f (a) = 1 (náu trong phữỡng trẳnh cõ nhƠn). Chồn x; y phũ hủp º triằt tiảu i f (g(x; y)) cõ trong phữỡng trẳnh. H m cõ x bản ngo i thẳ cố gưng ch¿ ra nõ l  ỡn Ănh ho°c to n Ănh. +) L m xuĐt hiằn f (x). +) f (x) = f (y) vợi mồi x; y 2 A suy ra f (x) = const vợi mồi x 2 A. 2. BĐt phữỡng trẳnh h m chuyºn tiáp tứ trung bẳnh cởng th nh trung bẳnh bêc tũy ỵ Trong mửc n y, chúng tổi x²t cĂc dÔng toĂn vã bĐt phữỡng trẳnh h m chuyºn tiáp tứ cĂc Ôi lữủng trung bẳnh cởng cừa cĂc ối số v o cĂc Ôi lữủng trung bẳnh cởng, trung bẳnh cởng bêc hai v  trung bẳnh bêc tũy ỵ cừa cĂc h m số. Mởt số trữớng hủp ỡn giÊn  ữủc x²t trong t i liằu [3]. B i toĂn 1 (Trung bẳnh cởng th nh trung bẳnh cởng). Cho cĂc số thỹc a; b: XĂc ành cĂc h m số f (x) thọa mÂn ỗng thới cĂc iãu kiằn sau: f  x + 2 y  > f (x) + 2 f (y) ; 8x; y 2 R (1) v  f (0) = b; f (t) > at + b; 8t 2 R: (2) Lới giÊi. Thá x = t; y = t v o (1), ta thu ữủc b = f (0) = f  t + ( 2 t)  f (t) + f (t) 2 > (at+ b) + (at+ b) 2 = b; vợi mồi t 2 R: Suy ra f (t)  at+b: Thỷ lÔi, ta thĐy h m n y thọa mÂn cĂc iãu kiằn (1)-(2). Vêy nghiằm cừa b i toĂn  cho l  f (t)  at + b: Tứ Ơy, ta cõ hằ quÊ sau. Hằ quÊ 1 (xem [3]). CĂc h m số f (x) thọa mÂn ỗng thới cĂc iãu kiằn sau: f  x + 2 y  > f (x) + 2 f (y) ; 8x; y 2 R: (3) v  f(0) = 0; f(t) > 0; 8t 2 R; (4) l  h m số f(x)  0: B i toĂn 2 (Trung bẳnh cởng th nh trung bẳnh bêc hai). Tẳm cĂc h m số f(x) xĂc ành, liản tửc trản R v  thoÊ mÂn cĂc iãu kiằn f x+ y 2  > r [f(x)]2 + [f(y)]2 2 ; 8x; y 2 R (5) v  f(0) = 0: Lới giÊi. Tứ giÊ thiát suy ra f(x)  0; 8x 2 R: Do õ (5), h f x+ y 2 i2 > [f(x)] 2 + [f(y)]2 2 ; vợi mồi x; y 2 R hay g x+ y 2  > g(x) + g(y) 2 ; 8x; y 2 R; vợi g(x) = [f(x)]2  0: Theo kát quÊ cừa Hằ quÊ 1 thẳ g(x)  0: Suy ra f(x)  0: Thỷ lÔi ta thĐy h m n y thọa mÂn iãu kiằn b i ra. Vêy f(t)  0: B i toĂn 3 (Trung bẳnh cởng th nh trung bẳnh bêc tũy ỵ). Cho số k > 1: Tẳm cĂc h m số f (x) xĂc ành, liản tửc trản R v  thoÊ mÂn cĂc iãu kiằn f  x + 2 y  > rk [f (x)]k + [ 2 f (y)]k ; 8x; y 2 R (6) v  f (0) = 0: Lới giÊi. Tứ giÊ thiát suy ra f (x) > 0; 8x 2 R: Do õ (6) , h f  x + 2 y ik > [f (x)]k + [ 2 f (y)]k ; vợi 8x; y 2 R: Hay g  x + 2 y  > g(x) + 2 g(y) ; 8x; y 2 R; vợi g(x) = [f (x)]k > 0: Theo kát quÊ cừa Hằ quÊ 1 thẳ g(x)  0: Suy ra f (x)  0: Thỷ lÔi ta thĐy h m n y thọa mÂn iãu kiằn b i ra. Kát luên: f (t)  0: 3. Mởt số dÔng toĂn liản quan Trong mửc n y, ta x²t mởt số b i toĂn cử thº liản quan án bĐt phữỡng trẳnh h m. CĂc b i toĂn n y ữủc tham khÊo chẵnh tứ cĂc t i liằu số [1; 4; 5]. B i toĂn 4. XĂc ành cĂc h m số f (t) thọa mÂn ỗng thới cĂc iãu kiằn sau: f(t)  0; 8t 2 R; (7) f(x+ y)  f(x) + f(y); 8x; y 2 R: (8) Lới giÊi. Thá x = 0; y = 0 v o (8), ta thu ữủc f(0)  2f(0); suy ra f(0)  0: Kát hủp vợi (7) ta ữủc f(0) = 0: Tiáp theo, thá x = t; y = t v o (8), ta cõ 0 = f(0) = f(t + (t))  f(t) + f(t)  0 vợi mồi t 2 R: Suy ra f(t)  0: Thỷ lÔi, ta thĐy h m n y thọa mÂn cĂc iãu kiằn (7) v  (8). Vêy nghiằm cừa b i toĂn l  f(t)  0: B i toĂn 5. Cho h m số h(t) = at; a 2 R. XĂc ành h m số f(t) thọa mÂn ỗng thới cĂc iãu kiằn sau: (i) f(t)  h(t); 8t 2 R (ii) f(x+ y)  f(x) + f(y); 8x; y 2 R Lới giÊi. º ỵ rơng h(x+ y) = h(x) + h(y). °t f(t) = h(t)+g(t). Khi õ ta thu ữủc cĂc iãu kiằn (i) g(t)  0; 8t 2 R (ii) g(x+ y)  g(x) + g(y); 8x; y 2 R L°p lÔi cĂch giÊi cừa B i toĂn 4, thay t = 0 v o iãu kiằn Ưu b i, ta thu ữủc g(0)  0 g(0)  0 , g(0) = 0 Vêy nản 0 = g(0) = g(x+ (x))  g(x) + g(x)  0: iãu n y k²o theo g(t)  0 hay f (t) = at. Thỷ lÔi, ta thĐy h m số f (t) = at thọa mÂn iãu kiằn Ưu b i. B i toĂn 6. Cho số dữỡng a. XĂc ành cĂc h m số f (t) thọa mÂn ỗng thới cĂc iãu kiằn sau: (i) f (t)  at; 8t 2 R (ii) f (x + y)  f (x)f (y); 8x; y 2 R Lới giÊi. º ỵ rơng f (t) > 0; 8t 2 R. Vêy ta cõ thº logarit hõa hai vá cĂc bĐt ¯ng thực cừa iãu kiằn  cho: (i) ln f (t)  (ln a)t; 8t 2 R (ii) ln f (x + y)  ln f (x) + ln f (y); 8x; y 2 R °t ln f (t) = '(t), ta thu ữủc (i) '(t)  ln at; 8t 2 R (ii) '(x + y)  '(x) + '(y); 8x; y 2 R Ta nhên ữủc B i toĂn 5. Nhữ vêy '(t) = (ln a)t: Suy ra f(t) = at. Thỷ lÔi ta thĐy h m số f(t) = at thọa mÂn iãu kiằn b i ra. Nhên x²t 1. - Vợi 0 1 + t; vợi mồi t < 0 v  at < 1 + t; 8t  0; - Vợi a  1 thẳ ta cõ at > 1 + t; vợi mồi t < 0; at  1 + t; vợi mồi t 2 [0; 1) v  at  1 + t; vợi mồi t  1. Mởt cƠu họi tỹ nhiản ữủc °t ra: Trong B i toĂn 6, cõ thº thay h m số g(t) = at bði h m số n o º b i toĂn cụng cõ nghiằm khổng tƯm thữớng? Tứ Nhên x²t 1, ta x²t h m số g(t) = t + 1. Khi õ ta cõ b i toĂn sau. B i toĂn 7. XĂc ành cĂc h m số f(t) thọa mÂn ỗng thới cĂc iãu kiằn sau: (i) f(x+ y)  f(x)f(y); 8x; y 2 R; (ii) f(t)  1 + t; 8t 2 R. Lới giÊi. Ta cõ f(t) = f  t 2 + t 2   f2  t 2   0; x 2 R: Náu f(x0) = 0, thẳ 0 = f(x0) = f x0 2 + x0 2   f2 x0 2  : Do õ f x0 2  = 0. Bơng phữỡng phĂp quy nÔp, ta cõ f x0 2n  = 0 vợi mội số nguyản dữỡng n: Tuy nhiản, tứ iãu kiằn thự hai cừa b i toĂn suy ra rơng f(x) > 0 vợi x gƯn 0. Do õ iãu giÊ thiát trản l  mƠu thuăn. Vêy f(x) > 0; x 2 R: Tiáp theo, ta chựng minh rơng f khÊ vi tÔi mội iºm x 2 R v  f 0(x) = f(x). Thêt vêy, tứ (i) v  (ii), vợi h > 0 ừ nhọ, ta cõ f(x+ h) f(x)  f(x)f(h) f(x) = (f(h) 1)f(x)  hf(x): Do õ f(x+ h) f(x) h  f(x): M°t khĂc, cụng tứ (i) v  (ii), vợi h > 0 ừ nhọ, ta cõ f(x) = f(x+ h h)  f(x+ h)f(h)  (1 h)f(x+ h): Suy ra (1 h)f(x) + hf(x)  (1 h)f(x+ h): Do õ hf(x)  (1 h)(f(x+ h) f(x)) hay f(x+ h) f(x) h  f(x) 1 h: Vêy, vợi h > 0 ừ nhọ, ta cõ f(x)  f(x+ h) f(x) h  f(x) 1 h: Tữỡng tỹ, bĐt ¯ng thực trản cụng úng ối vợi chiãu ngữủc lÔi, vợi h < 0 ừ nhọ. Do õ, ta cõ f 0(x) = lim h!0 f(x+ h) f(x) h tỗn tÔi v  bơng f (x), vợi x 2 R. Tứ õ, vợi x 2 R, ta cõ  f e ( x x) 0 = f 0(x) e x f (x) = 0: Do õ f (x) = C:ex; C l  hơng số: Hỡn nỳa, tứ (i) ta cõ f (0)  f 2(0) hay f (0)  1 v  tứ (ii) ta cõ f (0)  1: Do õ C = f (0) = 1: Thỷ lÔi, h m f (x) = ex thọa mÂn cĂc iãu kiằn (i) v  (ii). Nhữ vêy, vợi g(x) = ax ho°c g(x) = 1 + x (6) v  (7) ãu giÊi ữủc. T i liằu tham khÊo [1]Nguyạn Vôn Mêu (1997), Phữỡng trẳnh h m, NXB GiĂo dửc. [2] Nguyạn Vôn Mêu (2016), Phữỡng trẳnh h m vợi ối số bián ời, NXB HQG H  Nởi. [3] PhÔm Thà Vi (2014), Phữỡng trẳnh v  bĐt phữỡng trẳnh h m chuyºn tiáp cĂc Ôi lữủng trung bẳnh, Luên vôn ThÔc sÿ, HKH, H ThĂi Nguyản. [4] Titu Andresscu, Iurie Boreico (2007), Func- tional equations - 17 Chapters and 199 Prob- lems with Solution, Electronic Edition. [5]Trành  o Chián (2012), GiÊi bĐt ¯ng thực h m bơng phữỡng phĂp chuyºn qua giợi hÔn dÂy số, K yáu HTKH, CĂc chuyản ã toĂn hồc bỗi dữùng hồc sinh giọi, Quy Nhỡn, 14- 15/04/ 2012.