Bất phương trình chứa giá trị tuyệt đối

57 VAÁN ÑEÀ 4 BAÁT PHÖÔNG TRÌNH CHÖÙA GIAÙ TRÒ TUYEÄT ÑOÁI 58 Vaán ñeà 4 Baát Phöông Trình Chöùa Giaù Trò Tuyeät Ñoái A. TOÙM TAÉT LYÙ THUYEÁT : I. Vaøi neùt chung : Baèng caùch loaïi boû daáu giaù trò tuyeät ñoái, moät baát phöông trình chöùa daáu trò tuyeät ñoái ñöôïc bieán ñoåi töông ñöông vôùi moät hay nhieàu baát phöông trình hoaëc töông ñöông vôùi moät hay nhieàu heä baát phöông trình khoâng chöùa giaù trò tuyeät ñoái. Chuù yù : Ñeå giaûi moät heä coù daïng f (x) 0(1) g(x) 0(2) ≥⎧⎨ ≥⎩ Ta tìm taäp nghieäm 1S vaø 2S cuûa (1), (2) Taäp nghieäm cuûa heä laø 1 2S S S= ∩ Ñeå giaûi hai heä coù daïng : f (x) 0 h(x) 0 (I) (II) g(x) 0 k(x) 0 ≥ ≥⎧ ⎧∨⎨ ⎨≥ ≥⎩ ⎩ Ta tìm nghieäm S cuûa (I) vaø S' cuûa (II) Taäp nghieäm cuûa hai heä treân laø: 'S S∪ II. Caùc daïng thöôøng gaëp 1. ⏐A⏐ ≤ B ⇔ -B ≤ A ≤ B Chöùng minh : Ta coù ⏐A⏐ ≤ B (1) • B < 0 : (1) khoâng xaûy ra • B ≥ 0 : (1) ⇔ A2 ≤ B2 59 ⇔ (A + B)(A – B) ≤ 0 ⇔ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎩⎨ ⎧ ≥ −≤ ⎩⎨ ⎧ ≥ −≥ ⇔ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎩⎨ ⎧ ≤+ ≥− ⎩⎨ ⎧ ≥+ ≤− BA BA BA BA BA BA BA BA 0 0 0 0 ⇔ ⎢⎣ ⎡ ≤≤− ra xay Khong BAB ⇔ -B ≤ A ≤ B 2. ⏐A⏐ ≥ B ⇔ ⎢⎣ ⎡ ≥ −≤ BA BA (Ban ñoïc coù theå töï chöùng minh nhö tính chaát treân) 3. ⏐A⏐ ≥ ⏐B⏐ ⇔ ⏐A⏐2 ≥ ⏐B⏐2 ⇔ A2 ≥ B2 ⇔ (A + B)(A – B) ≥ 0 (Sau ñoù thöôøng duøng xeùt daáu veá traùi ) 4. Vôùi 2 soá thöïc baát kyø a,b a b a b+ ≤ + . Daàu “=” xaûy ra khi a , b khoâng aâm Nhö vaäy , neáu ab < 0 thì a b a b+ < + 5. Duøng phöông phaùp chia khoaûng . 6. Duøng ñoà thò ñeå giaûi baát phöông trình chöùa giaù trò tuyeät ñoái. B. CAÙC VÍ DUÏ : Ví duï 1 a) 2x 2x x (1)− 〈 Giaûi (1) 2 2 x 2x x x 2x x ⎡ − 〈⎢⇔ ⎢− + 〈⎣ x 0 x 2 x 2 ≤ ∨ ≥ 〈 〈 ,neáu ,neáu 0 2 2 x 3x 0 x x 0 ⎡ − 〈⎢⇔ ⎢ − 〉⎣ x o x 2 o x 2 ≤ ∨ ≥ 〈 〈 0 x x 3 0 x 1 〈 〈⎡⇔ ⎢ 〈 ∨ 〉⎣ neáu x 0 x 2 0 x 2 ≤ ∨ ≥ 〈 〈 2 x 3 1 x 3 1 x 2 ≤ <⎡⇔ ⇔ < <⎢ < <⎣ Keát luaän : Taäp nghieäm cuûa Baát Phöông trình la:ø S = (1,3) Nhôù : A B A B A⊂ ⇒ ∩ = vaø A B B∪ = 60 b) 2x4 x2x − −+ > 0 (1) Ñieàu kieän : 4 – x2 > 0 ⇔ x 2 < 4 ⇔ 2− < x < 2 (*) Vôùi ñieàu kieän (*) thì (1) ⇔ x2x −+ > 0 ⇔ (x + 2)2 > x2 ⇔ (x + 2 – x)(x + 2 + x) > 0 ⇔ 2(2x + 2) > 0 ⇔ x > 1− Keát luaän : 2x1 <<− Ví duï 2 • Neáu BPT coù daïng ( )f x g(x) (1)< (1) f (x) g(x) x 0 f ( x) g(x) x 0 ⎡ <⎧⎨⎢ ≥⎩⎢⇔ ⎢ − <⎧⎢⎨ <⎢⎩⎣ Giaûi BPT : 2x 2 x 3 (1)− < (1) 2 2 2 2 x 2x 3 x 2x 3 0, x 0 x 2.( x) 3 x 2x 3 0, x 0 vôùi x 0 neáu vôùi x<0 neáu ⎡ ⎡− < ≥ − − < ≥⎢ ⎢⇔ ⇔⎢ ⎢− − < + − < <⎣ ⎣ 1 x 3, x 0 3 x 03 x 1, x 0 neáu 0 x<3 -3 < x < 3 neáu − < < ≥ ≤⎡ ⎡⇔ ⇔ ⇔⎢ ⎢− < <− < < < ⎣⎣ Keát luaän : Taäp nghieäm cuûa BPT ñaõ cho laø S = (- 3; + 3) Caùch khaùc : Coù theå ñaët aån phuï ñeå giaûi : (1) 2t 2t 3 x 3 t x 0 0 t < 3 -3 < x < 3 ⎧ − <⎪⇔ ⇔ ≤ ⇔ ≤ < ⇔⎨ = ≥⎪⎩ * Toác ñoä vieäc giaûi baèng aån phuï coù leõ nhanh hôn phaûi khoâng baïn ñoïc. Nhöng phaûi nhaåm ñaáy nheù. Baøi Taäp töông Töï : Giaûi BPT : 2x x x 6< − + + ÑS : 1 7 x 6− < < 61 Ví duï 3 Giaûi vaø Bieän luaän BPT sau : 2x 5x 4 a (1)− + < Giaûi a 0 : (1)≤ voâ nghieäm vì 2x 5x 4 0, x R− + ≥ ∀ ∈ a 0 :> 2x 5x 4− + = 0 coù 1x 1= vaø 2x 4= , Döïa vaøo baûng xeùt daáu Xeùt caùc tröôøng hôïp sau : • x 1< : (1) 2x 5x 4 a 0 (a) x 1 ⎧⎪ − + − <⇔ ⎨ <⎪⎩ Vaäy 2f (x) x 5x 4 a= − + − coù 9 4a∆ = + Vôùi a 0, (a)> coù taäp nghieäm laø 5 9 4a 5 9 4ax 2 2 − + + +< < Chöùng minh ñöôïc : Khi a > 0 : 5 9 4a 4 2 + + > vaø 5 9 4a 1 2 − + < Vaäy : taäp nghieäm cuûa BPT luùc naøy laø : 5 9 4a x 1 2 − + < < • 1 x 4 :≤ ≤ (1) trôû thaønh 2x 5x 4 a 0 (b)− + + > Vaät VT laø 2g(x) x 5x 4 a= − + + coù 9 4a∆ = − Vôùi 90 a , (b) 4 < ≤ coù taäp nghieäm laø : 1x (5 9 4a ) (5 9 4a ) 2 1 v 2 −∞ < < − − − − 9a : 4 > bpt coù taäp nghieäm 1 x 4≤ ≤ 90 a : 4 < ≤ bpt coù taäp nghieäm 11 x (5 9 4a 2 ≤ < − − hay 1 (5 9 4a ) x 4 2 − − < ≤ • 5x 4 a 0x 4 : x 4 2f(x) = x (1) ⎧⎪ − + − ⇔ ⎨ >⎪⎩ 62 1 1(5 9 4a x (5 9 4a ) 2 2 x 4 ⎧ − + ⎩ 14 x (5 9 4a ) 2 ⇔ < < + + Toùm laïi : a ≤ 0 : BPT voâ nghieäm 0 < a ≤ 9 4 : BPT coù nghieäm : 5 9 4a 5 9 4ax 2 2 ⎛ ⎞− + − −< <⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ hay 5 9 4a 5 9 4ax 2 2 + − + +< < a > 9 4 : BPT coù nghieäm : 5 9 4a 5 9 4ax 2 2 − + + +< < Caùc em coù theå ñoái chieáu vôùi ñoà thò Ví duï 4 Giaûi baát phöông trình sau : ⏐x - 1⏐ ≥ ⏐x⏐ Giaûi Ñaët ( ) ( )⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ = =− xgx xfx 1 Veõ f(x) = ⏐x - 1⏐ = ⎩⎨ ⎧ <− ≥− )1(1 )1(1 xx xx Veõ g(x) = ⏐x⏐ = ⎩⎨ ⎧ <− ≥ )0( )0( xx xx chöa veõ hình Nhìn tröïc tieáp vaøo ñoà thò ta thaáy nghieäm cuûa baát phöông trình laø taäp hôïp caùc giaù trò cuûa x sao cho ñoà thò cuûa haøm soá f(x) naèm hoaøn toaøn treân ñoà thò cuûa haøm soá g(x) , ñoù laø x ∈ ⎥⎦ ⎤⎜⎝ ⎛ ∞− 2 1, Vaäy taäp nghieäm cuûa baát phöông trình laø S = ⎥⎦ ⎤⎜⎝ ⎛ ∞− 2 1, Chuù yù : 2 ñoà thò coù hoaønh ñoä giao ñieåm laø x= 2 1 63 Ví duï 5 1. Giaûi caùc baát phöông trình sau : a) ⏐x2 + 4x - 12⏐ < x + 5 ⇔ -x – 5 < x2 +4x – 12 < x + 5 (do tính chaát ⏐A⏐ < B ⇔ -B < A < B) ⇔ ⎪⎩ ⎪⎨⎧ <−−−+ >−+−+ 05124 05124 2 2 xxx xxx ⇔ ⎪⎩ ⎪⎨⎧ <−+ >−+ 0173 075 2 2 xx xx ⇔ ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ +−<<−− +−>∨−−< 2 773 2 773 2 335 2 535 x xx ⇔ 2 773 2 535 +−<<+− x b) ⏐x2 – 5x + 9⏐ > ⏐x - 6⏐ ⇔ (x2 – 5x + 9)2 > (x – 6)2 ⇔ (x2 – 6x + 15)(x2 – 4x + 3) > 0 ⇔ x 3 c) ⏐x - 1⏐ + ⏐2 - x⏐ > 3 + x x 1 2 x-1 - 0 + | + x-2 + | + 0 - • TH1 : 0 0 1 321 1 <⇔⎩⎨ ⎧ < <⇔⎩⎨ ⎧ −>−++− ≤ x x x xxx x • TH2 : ⎩⎨ ⎧ > <<⇔⎩⎨ ⎧ −>−+− << 2 21 321 21 x x xxx x ⇔ x ∈ ∅ • TH3 : 2 321 2 >⇔⎩⎨ ⎧ −>+−− ≥ x xxx x . Hôïp 3 tröôøng hôïp , bpt (1) coù nghieäm laø x 2 2. Giaûi caùc baát phöông trình : a) 2⏐x + 3⏐ > x + 6 ⇔ ( )( ) ⎢⎣ ⎡ > −<⇔⎢⎣ ⎡ −−<+ +<+⇔⎢⎣ ⎡ −−<+ +>+ 0 4 662 662 632 632 x x xx xx xx xx Vaäy nghieäm cuûa baát phöông trình laø x 0 64 b) 1 21 >−++ x xx • x + 1 ≥ 0 ⇔ x ≥ 1 (1) bpt ⇔ 1001021 >∨−⇔>−−++ xx x x x xxx (2) (1) vaø (2) ⇔ -1 ≤ x 1 • x + 1 < 0 ⇔ x < -1 (3) bpt ⇔ 0303021 >∨−−−⇔>−−+−− xx x x x xxx (4) (2) vaø (4) ⇔ -3 < x < -1 Vaäy taäp nghieäm cuûa baát phöông trình laø: –3 1 c) ⏐x2 – 3x + 2⏐ > ⏐x2 + 3x + 2⏐ ⇔ (x2 – 3x + 2)2 – (x2 + 3x + 2)2 > 0 ⇔ -6x(2x2 + 4) > 0 Vì 2x2 + 4 > 0 , ∀x ∈ R Neân –6x > 0 ⇔ x < 0 Vaäy taäp nghieäm cuûa baát phöông trình laø: x < 0 3. Giaûi caùc baát phöông trình sau : a) 2x2 + x x 1+ + 22x - 1 > 0 Ñaët x x 1+ = t (t ≥ 2) ⇒ t2 = x2 + 2 + 21x ⇒ 2 1 2 2 2 −=+ t x x bpt ⇔ 2(t2 – 2) + t – 1 > 0 , t ≥ 2 ⇔ 2t2 + t – 5 > 0 ⇔ 4 411 4 411 +−>∨−−< tt ] Giao vôùi ñieàu kieän t ≥ 2 ta ñöôïc t ≥ 2 ⇔ 21 ≥+ x x ⇔ ∀x ≠ 0 Vaäy baát phöông trình coù voâ soá nghieäm loaïi tröø x = 0 b) ⏐x3 + x2 - 1⏐ ≤ ⏐ x3 + 2x - 4⏐ ⇔ (x3 + x2 – 1)2 ≥ (x3 + 2x – 4)2 ⇔ (2x3 + x2 + 2x – 5)(x2 – 2x + 3) ≤ 0 Nhaän xeùt : x2 – 2x + 3 > 0 ,∀x 65 ⇒ bpt : 2x3 + x2 + 2x – 5 ≤ 0 ⇔ (x – 1)(2x2 + 3x + 5) ≤ 0 (*) Nhaän xeùt : 2x2 + 3x + 5 > 0 ,∀x (*) ⇔ x – 1 ≤ 0 ⇔ x ≤ 1 Ví duï 6 Giaûi baát phöông trình : x2 ≤ 2x 21− (*) Giaûi Ñieàu kieän : x ≠ 0 (*) ⇔ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ −≥− −≤ 2 2 2 2 x 21x x 21x ⇔ ⎢⎢⎣ ⎡ ≥+−− ≤+− 02xx 62xx 24 24 Ñaët t = x2 ; t > 0 vôùi ∀x ≠ 0 ⇔ ⎢⎢⎣ ⎡ ≥+−− ≤+− 02tt 02tt 2 2 ⇔ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎩⎨ ⎧ > ≤≤ ∀>+−∅∈ 0t 1t2- t), t (vì 2 02tt ⇔ 0 < t ≤ 1 (*) (*) ⇔ 0 ≤ x2 ≤ 1 ⇔ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ ≤ ≠∀> 1 0x 2 2x 0x , ⇔ ⎩⎨ ⎧ ≤≤− ∈∀ 1x1 }0{\Rx ⇔ -1 ≤ x ≤ 1 vaø x ≠ 0 Ví duï 7 Giaûi baát phöông trình sau : |x3 + x2 – 1| ≤ |x3 + 2x – 4| Giaûi ⇔ (x3 + x2 – 1)2 ≤ (x3 + 2x – 4)2 ⇔ (x3 + x2 –1 – x3 – 2x + 4)(x3 + x2 – 1 + x3 + 2x – 4) ≤ 0 ∀x ⇔ (x2 – 2x + 3)(2x3 + x2 + 2x – 5) ≤ 0 ⇔ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ ≥−++ ≤−− ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ ≤−++ ≥+− 05x2xx2 03x2x 05x2xx2 03x2x 23 2 23 2 ⇔ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎪⎩ ⎪⎨⎧ ≥++− ∅∈ ⎪⎩ ⎪⎨⎧ ≤++− ∈ 0)5x3x2)(1x( x 0)5x3x2)(1x( Rx 3 2 ⇔ (x – 1)(2x3 + 3x + 5) ≤ 0 66 ⇔ x – 1 ≤ 0 ⇔ x ≤ 1 (Vì 2x2 + 3x + 5 ≥ 0, ∀x) Ví duï 8 Giaûi baát phöông trình sau : 2 + x 2x 2 + ≤ 2 24 x 4x4x +− Giaûi Ñaët ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ ≥ −= 0t x 2xt 2 ⇒ t2 = 2 24 x 4x4x +− ⇔ ⎪⎩ ⎪⎨⎧ ≥ ≤+ 0t tt2 2 ⇔ ⎪⎩ ⎪⎨⎧ ≥ ≥−− 0t 02tt 2 ⇔ ⎩⎨ ⎧ ≥ ≥∨−≤ 0t 2t1t ⇔ t ≥ 2 ⇒ x 2x 2 − ≥ 2 ⇔ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ ≥− −≤− 22 22 2 2 x x x x ⇔ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ ≥−− ≤−+ 0 x 2x2x 0 x 2x2x 2 2 ⇔ ⎢⎢⎣ ⎡ +≥∨<≤− +−≤<∨−−≤ 31x0x31 31x031x Keát quaû : x ≤ -1 - 3 ∨ 1 - 3 ≤ x < 0 ∨ 0 < x ≤ -1 + 3 ∨ x ≥ 1 + 3 Ví duï 9 Giaûi vaø bieän luaän : 2 2x mx m 1 x mx(*)− + + < − Giaûi Döïa vaøo tính chaát : A B< B A B⇔ − < < . 2 2 2 2 x mx m x mx (*) x mx m 1 x mx (1) (2) ⎧ − + + − +⎪⎩ Goïi 1S vaø 2S laàn löôït laø taäp nghieäm cuûa (1)vaø (2) Ta coù : (1) ⇔ 0x > m + 1 * m 1: (1)≥ − voâ nghieäm 1S⇒ =∅ * m 1: (1)< − ñuùng 1x R S R∀ ∈ ⇒ = 67 Nghieäm cuûa baát phöông trình (*)laø 1 2S S S= ∩ Do ñoù : * m 1: S≥ − = ∅ * 2m 1: S S< − = Giaûi (2) vôùi m maø ' 2m 2(m 1) 0(do )m Do ñoù: '2 1 2S ( , x ) (x )= −∞ ∪ +∞ vôùi 2 1,2 m m 2m 2x 2 ± − −= Keát luaän : Nghieäm cuûa baát phöông trình (*) laø : 1 1,S ( , x ) (x= −∞ ∪ ∞ ) Ví duï 10 Xaùc ñònh m sao cho moïi nghieäm cuûa baát phöông trình : mx2 - 1m + x + 3 m 4 1 2 1 − ≥ 0 (1) thoûa maõn baát phöông trình 2 mxsin 1 < (2) Giaûi Xeùt ñieàu kieän cuûa (2) : sinmx ≠ 0 ⇔ mx ≠ kπ (k ∈ Z) (1) ⇔ ⎢⎢⎣ ⎡ > < 2 1mxsin 0mxsin ⇔ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ π+π<<π+π π+π<<π+π 22 11 k2 6 5mxk2 6 k22mxk2 (3) Do (2) ta luoân coù ñieàu kieän m ≠ 0 Neáu m > 0 thì nghieäm cuûa (1) seõ hoaëc laø ñuùng vôùi moïi x (trong tröôøng hôïp ∆ ≤ 0 ) hoaëc laø 2 khoaûng nghieäm [-∞ , x1] vaø [x2 ,∞] (trong tröôøng hôïp ∆ > 0) neân ñieàu kieän : vôùi moïi nghieäm cuûa (1) laø nghieäm cuûa (2) khoâng thoûa maõn . Vaäy baøi toaùn chæ caàn xeùt tröôøng hôïp m < 0 . Do m < 0 , nhaân 2 veá cuûa (1) vôùi m Ñaët t = mx , ta coù : T2 - (m + 1)t + 3m ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ − m 4 1 2 1 ≤ 0 (3) 68 ∆ = (m+1)2 –12m ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ − m 4 1 2 1 = (2m – 1)2 a) Neáu m < -1 : (m+1)=-(m+1) (2) coù nghieäm 2 2m − ≤ t ≤ 2 m3− b) Neáu m ≥ -1 thì (3) coù nghieäm : 2 m3 ≤ t ≤ 2 m2 − Ta thaáy raèng nghieäm cuûa (1) laø khoaûng (4) hoaëc (5) tuøy theo m , luoân laø khoaûng coù 2 ñaàu muùt traùi daáu . Coøn nghieäm cuûa (2) laø caùc khoaûng cho bôûi (3) , al2 caùc khoaûng coù ñaàu muùt cuøng daáu (döông hay aâm tuyø theo vieäc choïn k1 hoaëc k2) Vaäy : nghieäm cuûa (1) khoâng phaûi taát caû ñeàu laø nghieäm cuûa (2) . Hay khoâng toàn taïi m thoûa maõn baøi toaùn cho Ví duï 11 Moät tí suy nghó töø phöông trình chuyeån qua baát phöông trình ( ngaøy 2-4-2001 taïi moät lôùp hoïc 12 PTTH Chuyeân Leâ hoàng Phong ) Cho phöông trình : x2 – x + 1 = 3|x – 1| + m. Ñònh m ñeå phöông trình coù boán nghieäm phaân bieät. Giaûi Caùch 1 x2 – x + 1 = 3|x – 1| + m (1) ⇔ 2 2 1 3(1 ) , x 1 x 1 3(1 ) , x<1 x x x m x x m ⎡ − + = − + ≥⎢ − + = − +⎣ ⇔ 2 2 ( ) 4 4 0, x 1 (Ia) g(x)=x 2 2 0, x<1 (Ib) f x x x m x m ⎡ = − + − = ≥⎢ + − − =⎣ Yeâu caàu ñeà baøi laø (1) coù boán nghieäm ⇔ ≤ <⎧⎨ < <⎩ 1 2 1 2 ( ) coù hai nghieäm phaân bieät thoûa 1 x ( ) coù hai nghieäm phaân bieät thoûa x 1 Ia x Ib x (deã thaáy hieän töôïng truøng nghieäm giöõa hai phöông trình khoâng xaûy ra) 69 ⇔ ≥⎧⎪∆ >⎪⎪ >⎪⎪⎨⎪⎪∆⎪⎪ <⎪⎩ 1 2 (1) 0 0 1 (luoân ñuùng) 2 g(1)>0 g>0 S 1 2 f f S ⇔ − + − ≥⎧⎪ >⎪⎨ − >⎪⎪ + >⎩ 1 4 4 0 0 1 0 3 0 m m m m ⇔ ⎪⎨ −⎩ 1 0 1 3 m m m m ⇔ 0 < m < 1 Caùch 2 Ta coù phöông trình ñaàu tieân ⇔ 2 2 ( ) 4 4 khi x 1 g(x)=x 2 2 khi x<1 f x x x x ⎡ = − + ≥⎢ + −⎣ Baûng bieán thieân : x - ∞ -1 1 2 +∞ f(x) | 0 g(x) -3 | h(x) +∞ 1 +∞ -3 0 (vôùi h(x) = x2 – x + 1 – 3|x – 1| = m) Soá giao ñieåm cuûa ñöôøng bieåu dieãn Ch vôùi (d) : y = m laø soá nghieäm cuûa phöông trình (1) Vaäy phöông trình coù boán nghieäm phaân bieät khi 0 < m < 1. Töø baøi toaùn treân caùc baïn coù theå chuyeån qua caùc baøi toaùn veà baát phöông trình deå daøng. VD nhö sau : a) Tìm m ñeå baát phöông trình : x2 –x + 1 < 3|x – 1| + m (a) coù nghieäm. Ta coù : x2 – x + 1 – 3|x – 1| < m (a) (a) coù nghieäm khi m > min ( ) x R f x← ⇔ m > -3 b) Tìm m ñeå baát phöông trình treân voâ nghieäm . Baát phöông trình (a) voâ nghieäm khi m ≤ -3. 70 Baïn ñoïc coù theå tìm toøi caùc baøi baát phöông trình coù chöùa GTTÑ vôùi m laø tham soá ñeå cheá ra caùc baøi toaùn töông töï nhö treân. Chuùc caùc baïn seõ tìm ñöôïc nhieàu ñieàu lyù thuù . C. BAØI TAÄP TÖÏ GIAÛI : Baøi 1 Giaûi caùc bpt sau : a) 2x 1 2x 0 x 1 2 ÑS : -1+ 2− − < < < + b) x 2 x 4 x 2 ÑS: x 3≤ − + − ≤ hay x 5≥ c) 2 4 2 2 x 2 x 4x 42 x x ÑS: x 1− − ++ ≤ ≤ d) 3 2 3x x 1 x 2x 4 + − ≤ + − Höôùng daãn : ( )A B A B (A B) 0< ⇔ + − < e) 2 x 3 x 6 ÑS: x 0+ > + f) x 1 x 2 1 x ÑS: -3 1 + + − > g) 2 2x 3x 2 x 3x 2 ÑS: x + + h) 24 x 3x 6x 2x 6 ÑS: x− + − < − ∈∅ g) |3x3 + 5x – 8| < x2 – 1 h) |2x + 7| ≤ x2 i) |x2 + 4x – 12| < x + 5 j) 2 2 x 5x 4 1 x 4 − + <− Baøi 2 Giaûi caùc bpt sau : a) 2 2 x 4 1 171 x 4x x 2 -1- 17 ÑS: -6 x 4 − − +≤ ≤ ≤ ∨ ≥+ + b) 2 2 2x 1 x ≤ − c) 2 2 x 3x 2 1 x 3x 2 − + ≥+ + 1 ÑS: x 0 x -2 x -1≥ ≤ ∧ ≠ ∧ ≠ d) 4x2 + 2|x + 3| - 10 ≤ 0 71 e) |5 – 4x| ≥ 2x – 1 f) |x2 – 5| > 4x g) 2 3 | x | x 1 − + ≤ 1 h) 2 21 x − ≥ x2 i) |x2 – 3x – 3| - |x + 3| ≥ 0 j) |2x + 3| > | 11x – 4| k) |2x2 – 5x| > |x2 – 4| Baøi 3. Giaûi caùc baát phöông trình : a) |x – 3| + |5 – x| < 3x b) |x2 – x – 6| < x c) |x2 – 5x + 4| > x – 2 d) |x - |x – 2|| < 2 e) |3x2 – 2x – 1| < |x2 – x| Ñaùp soá : a) x > 5 8 b) 71x6 +<< c) x 3 + 3 d) x > 2 1 Baøi 4 Giaûi vaø bieän luaän theo m baát phöông trình : |x2 – 2x + m| ≤ |x2 – 3x – m| Baøi 5 Ñònh m ñeå bpt sau coù taäp nghieäm laø R∈ a) 2x 2mx 2 x m 2 0 m 2 ÑS:- 2− + − + > < < b) Ñònh a ñeå : ( )6sin x x a sin 2x ,6cos x+ ≥ ∀ Höôùng daãn : t sin 2x ,0 t 1= ≤ ≤ ÑS : 1a 4 ≤ c) Ñònh m ñeå baát phöông trình 2x 2 x 1 m− − ≥ thoûa vôùi moïi x Ñaùp soá : m 3≤ − d) 2 24x mx 2 4x 2x 4+ + < + + Baøi 6 Ñònh m ñeå bpt sau coù nghieäm a) 2 22x 4 x 1 m m 0 (1)− + + − ≤ Höôùng daãn : ñaët t x 1 x t 1= + ⇔ = − 2 2(1) 2(t 1) 4 t m m 0⇔ − − + − ≤ 72 2 2 2 2 t 0 f (t) 2t 8t m m 2 0 t 0 g(t) 2t m m 2 0 (a) (b) ⎡ ≥⎧⎪⎢⎨ = − + − + ≤⎢⎪⎩⇔ ⎢ <⎧⎢⎪⎨⎢ = + − + ≤⎪⎢⎩⎣ Xöû duïng phöông phaùp giaùn tieáp , tìm m ñeå (1) voâ nghieäm (a) f (t) 0, t 0 (b) g(t) 0, t 0 voâ nghieäm voâ nghieäm > ∀ ≥⎧ ⎧⇔ ⇔⎨ ⎨ > ∀ <⎩ ⎩ b) [ ]2 2x 2 x m m 2m 0 ÑS : m -1,0+ − + + ≤ ∈ Baøi 7 Giaûi vaø bieän luaän baát phöông trình : a) 2x 2x m x− + ≥ b) 2x 2x 3 3− − < c) x m x 2 x 2 − + <+ d) 2 2x x 2m x x 2+ − ≤ − − Baøi 8. Ñònh m ñeå baát phöông trình coù nghieäm a) 2x 2 x m m 0+ − + ≤ b) 2x 1 x m< − − Baøi 9. Ñònh m ñeå baát phöông trình a) 2x m x 2x m− ≥ − + thoûa x R∀ ∈ b) 2 2x m x 2m− ≤ − thoûa [ ]x 0,1∀ ∈ Baøi 10. Giaûi vaø bieän luaän baát phöông trình theo m : a) 2x 2x 3 m− − < b) 2x x x m− + ≤ c) 2x x m x− + > d) 2 2x x m x 3x m− + ≤ − − Baøi 11. Ñònh m ñeå baát phöông trình coù nghieäm a) 2 2x x m x x− + < − b) 2x 3x m 3 x− + < − c) 2x 3 x m x 2− − + Baøi 12. 73 Ñònh m ñeå baát phöông trình thoûa x R∀ ∈ a) 2x 3x 2 mx 1− + + > b) 2x 2x x m m+ + − ≥ c) 2x 2mx 2 x m 2 0+ − + + > Baøi 13. Cho baát phöông trình : 2x x m 3(*).+ − < Ñònh m ñeå : a) Baát phöông trình (*) coù nghieäm b) Baát phöông trình (*) coù nghieäm aâm c) Baát phöông trình thoûa ( )x 1;0∀ ∈ − Baøi taäp laøm theâm Baøi 1 Giaûi phöông trình : a) 0,3 x -1≤ 2 x6 − b) ( x - 3)( 7x + ) < 0 c) ( x - 5)( 7x − ) ≤ 0 d) 2 x -4,5≥ 8 x340 − e) ( x - 17)( 6x + ) ≥ 0 f) ( x - 8)( 2x − ) > 0 g) x2 – 8x- 4x 3 − +18 ≤ 0 h) x 2 – 4x - 2 2x − +1≤0 j) x2 + 6x - 4 3x + -12≤0 k) x2 + 10x - 5x 5 + + 4 > 0 l) 1 2x 4x ≤+ + m) 1 5x 3x ≥− − Baøi 2 Giaûi phöông trình : a) x3− < 4 b) 5x3 − ≥10 c) 2 1x + >x+4 d)3 1x − ≤ x+3 e) x2 –7x +12 < 4x − f) x2 –5x +9 < 6x − g) x4x 2 − 4 74 j) x3x 2 + ≥ 2- x2 k) 8x6x 2 +− < 5x-x2 Baøi 3 Giaûi phöông trình : a) 7x2 − ≤ 5 b) x5 − ≥ 2 1 c) 2x − < 2x-10 d) 1x2 − ≥ x - 1 e) x2 – x- 2< 3x5 − f)2x2 –9x+9 ≥ 2x − g) 3xx 2 −− < 9 h) 15x9x2 2 +− ≥ 20 j) 2x3x 2 +− > 3x-x2 -2 k) 1x 2 − < 3x Baøi 4 Giaûi phöông trình : a) 1 2x x3x >+ ++ b) 2 x x2x <−+ c) 1 3x 5x2 −>− − d) 0 7x 6xx 2 <+ +− e) 0 9x6x 10x7x 2 2 <+− +− f) 2 1x 1x2 >− − g) 3 1xx 1x3x 2 2 <++ −− h) 1 2x3x 2x3x 2 2 ≥++ +− Baøi 5 Giaûi phöông trình : a) 3 6x xx4 <+ +− b) 0 2x 2x ≥− − c) 2 1 3x 1 <− d) 26x5x 3x 2 ≥+− − e) x2 3x 12xx 2 ≥− −− f) 1 4x 2 >− 75 g) 1 2x 1x 2 <+ − h) 1 4x 4x5x 2 2 ≤− +− Baøi 6 Giaûi phöông trình : a) 9x4x213 −≥− b) x33x +<+ c) x3x22x −−+>− d) 3x x2x −≥ e) 1 5xx 3x4x 2 2 ≥−+ +− f) 2x7x3x27 ++−<− Baøi 7 Giaûi phöông trình : a) ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ <− ≥ 31x 1x b) ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ <+ <+ 21x 6x5x 2 Baøi 8 Giaûi phöông trình : a) 1x1x −>+ ; b) x33x +>+ s c) x3x22x −−+>− d) 3x x2x −≥ e) 1 5xx 3x4x 2 ≥−+ +− 2 f) 7x2x2x5 −+−<− Baøi 9 Giaûi heä baát phöông trình : a) ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ <+ <− 31x 5x4x 2 b) ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ ≤+ <+ 11x 6x5x 2 Baøi 10 Giaûi baát phöông trình : a) 1x 21x 4 −≥−+ b) x11x 3 −>− 76 c) 3 1x 2x3 <− + Baøi 11 Giaûi vaø bieän luaän baát phöông trình : a) a2axa3x <+−− b) a2x a8x2x 2 −<+ Baøi 12 Giaûi baát phöông trình : a) 2x 13x 4 +≥−− b) 23 xx11x ++≤− c) ! x1 x32 >+ − Baøi 13 Giaûi vaø bieän luaän baát phöông trình : a) >−− a2ax a3x − b) x3axa2x <−++ Baøi 14 Giaûi baát phöông trình : a) ⎩⎨ ⎧ >− ≥ 31x2 xx b) ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ >+ −≤ 12x xx c) ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ −+−< −≥+ 2x4x2x x475x2 d) ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ <−−+ −>−−+−− 11x1x 61x9x34x2 e) ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ ≥++− ≥+−− 0x213x 07x45x2 2 f) ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ ≥− + >+−+ 1 1x 2x 05x37x2 g) ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ ≤+−− −>− 22xx31 1x21x 2 h) ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ ≥−+ +− <−++ 1 5xx 3x4x 0103x2x 2 2 2 77 j) ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ ≤− − −>− xxx 1x2 3 2x 2 3 Baøi 15 Tuøy theo a , giaûi vaø bieän luaän caùc baát phöông trình : a) axx1 ≤+ b) ax1x ≥− c) xax ≥− d) xax ≤+ e) x1ax +≥ f) ax1x 2 ≤− g) a1x 2 ≥− h) xax 2 ≥+ j) 2 ax − < 2ax - x2 - 2 k) ax 2 a3ax2 −+>+ l) 222 a2ax >− m) 0 a2x a4a 2 ≥−+ n) xax1 −<−