Bất đẳng thức

1 1. PHƯƠNG PHÁP CƠ BẢN ĐỂ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC A. TÍNH CHẤT BẤT ĐẲNG THỨC 1. Định nghĩa : • Bất đẳng thức là hệ thức có một trong các dạng : A > B ⇔ A – B > 0 hay A < B ⇔ A – B < 0 A ≥ B ⇔ A – B ≥ 0 hay A ≤ B ⇔ A – B ≤ 0 (dạng suy rộng) Trong đó A, B là các biểu thức chứa biến số hay các số. 2. Tính chất cơ bản : 2.1 a > 0 ⇔ a + m > b + m 2.2 Nếu m > 0 thì : a > b ⇔ am > bm Nếu m b ⇔ am < bm 3. Vài tính chất khác : 3.1 Nếu a > b thì b < a 3.2 Nếu a > b và b > c thì a > c 3.3 Nếu a > b và c > d thì a + c > b + d (tính chất này không áp dụng cho phép trừ hai đẳng thức cùng chiều) 3.4 Nếu a > b > 0 và c > d > 0 thì ac > bd 3.5 Nếu a > b và ab > 0 thì <1 1 a b 3.6 Nếu a > b > 0 và n là số nguyên dương thì : an > bn 3.7 Nếu a > b > 0 và n là số nguyên dương thì : >n na b Ghi chú : Các tính chất nêu trên vẫn được sử dụng đối với các bất đẳng thức suy rộng. 4. Vài cách thông thường để chứng minh bất đẳng thức : • Dựa vào định nghĩa (xét hiệu hai vế) • Dùng phương pháp biến đổi tương đương • Dựa vào các bất đẳng thức đúng đã biết … hoặc phối hợp các phương pháp này. 2 B. PHƯƠNG PHÁP DỰA VÀO ĐỊNH NGHĨA Muốn chứng minh bất đẳng thức A ≥ B ta xét hiệu A – B và chứng minh A – B ≥ 0 Lưu ý : A2 ≥ 0 A2 + B2 ≥ 0 Và các hằng bất đẳng thức : (A ± B)2 = A2 ± 2AB + B2 ≥ 0 (A + B + C)2 = A2 + B2 + C2 + 2(AB + BC + CA) ≥ 0 1.1 Chứng minh các bất đẳng thức : 1. x4 + y4 ≥ x3y + xy3 2. x4 + y4 + 2 ≥ 4xy 1.2 1. Cho hai số dương x, y chứng minh bất đẳng thức : x3 + y3 ≥ x2y + xy2 2. Cho hai số dương x, y thỏa điều kiện : x3 + y3 = x – y. Chứng minh bất đẳng thức : x2 + xy + y2 < 1 1.3 Chứng minh các bất đẳng thức : 1. a2 + b2 + 1 ≥ ab + a + b 2. 2 2 2a b c ab 2bc ca 4 + + ≥ + − 1.4 Chứng minh bất đẳng thức : x2 + y2 + 4 ≥ 2(x + y) + xy Đẳng thức xảy ra khi nào ? Gợi ý : Tách –2x thành x – 3x, đưa hiệu hai vế về dạng : ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 2 2 1 3 1 2 2 x xy 1.5 Chứng minh rằng nếu abc = 1 và a3 > 36 thì : 2 2 2 3 + + > + +a b c ab bc ca 3 Gợi ý : Tách 2 3 a thành + 2 2 4 12 a a . Đưa hiệu hai vế về dạng : −⎛ ⎞− − +⎜ ⎟⎝ ⎠ 2 3 36 2 12 a ab c a C. PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG Dùng các tính chất của bất đẳng thức để biến đổi bất đẳng thức phải chứng minh tương đương với một bất đẳng thức mà ta biết là đúng. Cần lưu ý các biến đổi tương đương có điều kiện, chẳng hạn : A2 > B2 ⇔ A > B trong điều kiện A, B > 0 m > n ⇔ Am > An trong điều kiện A > 1 và m, n nguyên dương 1.6 Chứng minh các bất đẳng thức : 1. (a2 + b2)(x2 + y2) ≥ (ax – by)2 2. x + y + z ≥ + +xy yz zx (với x, y, z ≥ 0) 1.7 Chứng minh bất đẳng thức : (a6 + b6)(a4 + b4) ≤ 2(a10 + b10) 1.8 Cho ba số dương a, b, c . Chứng minh rằng : 1. Nếu <a 1 b thì +< + a a c b b c 2. Nếu >a 1 b thì +> + a a c b b c 1.9 Cho hai số dương a và b và ≤x y a b . Chứng minh rằng : +≤ ≤+ x x y y a a b b 1.10 1. Gọi a, b, c là độ dài ba cạnh một tam giác. Chứng minh rằng : < <+ + + + + a a 2a a b c b c a b c 2. Suy ra : < + + <+ + + a b c1 2 b c c a a b 4 Hướng dẫn : 2. ⎫< < ⎪+ + + + + ⎪⎪< < ⎬+ + + + + ⎪⎪< < ⎪+ + + + + ⎭ a a 2a a b c b c a b c b b 2b a b c c a a b c c c 2c a b c a b a b c ⇒ < + < <+ + + a b c1 2 b c c a a b 1.11 Gọi a, b, c là độ dài ba cạnh một tam giác với a ≥ b. Chứng minh rằng : a(a2 – 3ab – c2) ≤ b(b2 – 3ab – c2) 1.12 Cho hai số dương x, y thỏa điều kiện x + y = 1 . Chứng minh rằng : ⎛ ⎞⎛ ⎞+ + ≥⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠ 1 11 1 9 x y Hướng dẫn : Trong điều kiện x > 0, y > 0 và x + y = 1 ta có : (x + 1)(y + 1) ≥ 9xy ⇔ xy + x + y + 1 ≥ 9xy ⇔ 2 ≥ 8xy ⇔ 1 ≥ 4xy ⇔ (x + y)2 ≥ 4xy ⇔ (x – y)2 ≥ 0 1.13 Cho a > b > 0 và hai số nguyên dương m và n với m > n. Chứng minh rằng : − −>+ + m m n n m m n n a b a b a b a b 1.14 Cho ba số dương x, y, z với x > z và y > z. Chứng minh rằng : − + − ≤z(x z) z(y z) xy 1.15 Cho ba số dương x, y, z thỏa điều kiện : x3 + y3 + z3 = 1. 1. Chứng minh bất đẳng thức : ≥− 2 3 2 x 2x 1 x 2. Suy ra : + + >− − − 2 2 2 2 2 2 x y z 2 1 x 1 y 1 z Gợi ý : 2. Lưu ý đẳng thức không xảy ra. 5 1.16 Cho xy ≥ 1 , chứng minh bất đẳng thức : + − ≥+ + +2 2 1 1 2 0 1 x 1 y 1 xy Hướng dẫn : Trong điều kiện xy ≥ 1 Bất đẳng thức tương đương với : ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ + + +⎝ ⎠ ⎝ ⎠2 2 1 1 1 1 1 x 1 xy 1 y 1 xy ≥ 0 ⇔ ………… ⇔ ⇔ − − ≥+ + + 2 2 2 (x y) (xy 1) 0 (1 x )(1 y )(1 xy) ⇔ xy – 1 ≥ 0 1.17 Cho x ≥ y ≥ z > 0. Chứng minh rằng : ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + ≤ + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 1 1 1 1 1y (z x) (z x) z x y z x Hướng dẫn : Trong điều kiện x ≥ y ≥ z > 0, chứng minh bất đẳng thức tương đương với y2 + zx ≤ yz + xy ⇔ (y – x)(y – z) ≤ 0 1.18 Tìm các số nguyên x, y, z thỏa bất đẳng thức : x2 + y2 + z2 < xy + 3y + 2z – 3 Hướng dẫn : Do x, y, z là số nguyên, bất đẳng thức tương đương với : x2 + y2 + z2 – xy – 3y – 2z + 3 ≤ -1 ⇔ ( )2 22 23 1 2 1 04 4y yx xy y z z⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + + − + + − + ≤⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⇔ 2 2 23 1 ( 1) 0 2 2 y yx z⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + − + − ≤⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Tìm được : x = 1 , y = 2 , z = 1 6 D. PHƯƠNG PHÁP TỔNG HỢP Dựa vào các tính chất của bất đẳng thức và các hằng bất đẳng thức bằng suy diễn để tìm ra bất đẳng thức phải chứng minh. Ta thường dùng các bổ đề sau : A2 + B2 ≥ 2AB (A + B)2 ≥ 4AB + +⎛ ⎞≥ ⎜ ⎟⎝ ⎠ 22 2A B A B 2 2 A + 1 A ≥ 2 (với A > 0) +A B B A ≥ 2 (với AB > 0) + ≥ + 1 1 4 A B A B (với A, B > 0) … 1.19 Chứng minh bất đẳng thức : x2 + y2 + z2 + t2 ≥ (x + y)(z + t) 1.20 Chứng minh rằng : 1. Nếu a + b > 2 thì a2 + b2 > 2 2. Nếu a2 + b2 ≤ 2 thì a + b ≤ 2 1.21 Chứng minh bất đẳng thức : x4 + y4 + z4 ≥ xyz(x + y + z) 1.22 Chứng minh rằng nếu x2 + y2 = 1 thì : - 2 ≤ x + y ≤ 2 1.23 Chứng minh rằng : a2 + b2 + c2 = 1 thì : − 1 2 ≤ ab + bc + ca ≤ 1 Hướng dẫn : Với a2 + b2 + c2 = 1 ta có : (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca) ≥ 0 hay 1 + 2(ab + bc + ca) ≥ 0 ab + bc + ca ≥ - 1 2 (1) 7 Mặt khác : ⎫+ ≥ ⎪+ ≥ ⎬⎪+ ≥ ⎭ 2 2 2 2 2 2 a b 2ab b c 2bc c a 2ca ⇒ a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca hay ab + bc + ca ≤ 1 (2) 1.24 Cho hai số không âm a, b. Chứng minh rằng : (a + b)(ab + 1) ≥ 4ab 1.25 Cho ba số không âm x, y, z. Chứng minh rằng : (x + y)(y + z)(z + x) ≥ 8xyz 1.26 Chứng minh bất đẳng thức : (x + y)2(y + z)2 ≥ 4xyz(x + y + z) Hướng dẫn : (x + y)2(y + z)2 = (xy + y2 + zx + yz)2 = [(x + y + z)y + zx]2 ≥ 4(x + y + z)y.zx = 4xyz(x + y + z) 1.27 Cho ba số dương x, y, z thỏa điều kiện : x + y + z = 1 Chứng minh rằng : y + z ≥ 16xyz Hướng dẫn : 12 = [x + (y + z)]2 ≥ 4x(y + z) mà y + z > 0 1(y + z) ≥ 4x(y + z)2 mà (y + z)2 ≥ 4yz y + z ≥ 4x.4yz = 16xyz 1.28 1. Cho ba số dương x, y, z. Chứng minh rằng : + + ++ + ≥x y y z z x 6 z x y 2. Gọi a, b, c là độ dài ba cạnh một tam giác. Chứng minh : + ++ − + − + − 2a 2b 2c b c a c a b a b c ≥ 6 Hướng dẫn : 2. Đặt : b + c – a = x ; c + a – b = y ; a + b – c = z thì : 2a = y + z ; 2b = z + x ; 2c = x + y Vận dụng kết quả của câu (1) 8 1.29 Cho bốn số dương x, y, z, t thỏa điều kiện : xyzt = 1 . Chứng minh rằng x2 + y2 + z2 + t2 + x(y + z) + y(z + t) + z(t + x) + t(x + y) ≥ 12 Gợi ý : x, y, z, t > 0 và xyzt = 1 cho zt = >1 0 xy ; xy + zt = xy + 1 xy ≥ 2 1.30 Cho ba số dương x, y, z thỏa điều kiện : + =1 1 2 x y z Chứng minh bất đẳng thức : + ++− − x z z y 2x z 2y z ≥ 4 Hướng dẫn : Tính z theo x, y : z = + 2xy x y . Thế vào vế trái của bất đẳng thức phải chứng minh rồi biến đổi : x z z y x 3y y 3x 1 3 y 1 3 x. . 2x z 2y z 2x 2y 2 2 x 2 2 y + + + ++ = + = + + +− − = ⎛ ⎞⎛ ⎞+ + + ≥ + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 1 1 3 x y 31 .2 4 2 2 2 y x 2 1.31 Cho ba số dương x, y, z . 1. Chứng minh bất đẳng thức : +≤+ xy x y x y 4 2. Suy ra : + ++ + ≤ + + + 1 1 1 x y z 1 1 1 1 1 1 2 x y y z z x Gợi ý : 2. = =+ ++ 1 1 xy 1 1 x y x y x y xy ≤ +x y 4 9 1.32 1. Cho hai số dương x, y . Chứng minh rằng : + ≥ + 1 1 4 x y x y Đẳng thức xảy ra lúc nào ? 2. Gọi a, b, c là độ dài ba cạnh một tam giác và p là nửa chu vi. Chứng minh rằng : ⎛ ⎞+ + ≥ + +⎜ ⎟− − − ⎝ ⎠ 1 1 1 1 1 12 p a p b p c a b c Đẳng thức xảy ra lúc tam giác có đặc điểm gì ? 1.33 Gọi a, b, c là độ dài ba cạnh một tam giác . Chứng minh bất đẳng thức : + + > + ++ − + − + − 1 1 1 1 1 1 a b c b c a c a b a b c Hướng dẫn : Do bất đẳng thức giữa độ dài ba cạnh một tam giác, ta có : a + b – c > 0 b + c – a > 0 c + a – b > 0 Nên : ++ − + − 1 1 a b c b c a ≥ =+ − + + − 4 2 a b c b c a b (1) Tương tự : + ≥+ − + − 1 1 2 b c a c a b c (2) + ≥+ − + − 1 1 2 c a b a b c a (3) Từ (1), (2), (3) suy ra điều phải chứng minh. 1.34 Cho hai số dương x,y thỏa điều kiện x+y =1. Chứng minh bất đẳng thức : + ≥+2 2 1 1 6 xy x y Hướng dẫn : - Dùng hằng bất đẳng thức : (x + y)2 ≥ 4xy tìm được : ≥1 4 xy - Vận dụng bất đẳng thức : + ≥ + 1 1 4 a b a b (với a, b > 0) : ⎛ ⎞+ = + + ≥ +⎜ ⎟+ + +⎝ ⎠2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 4 xy x y 2xy 2xy x y 2xy (x y) … 10 1.35 Cho ba số x, y, z thỏa hai điều kiện : x + y + z = 2 và xy + yz + zx = 1 Chứng minh rằng mỗi số x, y, z đều thuộc đoạn 40; 3 ⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦ Hướng dẫn : x + y + z = 2 ⇔ 2 – x = y + z (2 – x)2 = (y + z)2 ≥ 4yz 4yz = 4[1 – x(y + z)] = 4[1 – x(2 – x)] (2 – x)2 ≥ 4(x – 1)2 ⇔ x(3x – 4) ≤ 0 ⇔ 0 ≤ x ≤ 4 3 Tương tự với y và z. 1.36 1. Chứng minh bất đẳng thức : + +⎛ ⎞≥ ⎜ ⎟⎝ ⎠ 22 2a b a b 2 2 2. Vận dụng để chứng minh rằng nếu có + + + = +1 x 1 y 2 1 z thì có : x + y ≥ 2z 1.37 Cho hai số dương x, y thỏa điều kiện x + y = 1. Chứng minh rằng : ⎛ ⎞⎛ ⎞+ + + ≥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 221 1 25x y x y 2 Hướng dẫn : Vận dụng bất đẳng thức : + +⎛ ⎞≥ ⎜ ⎟⎝ ⎠ 22 2a b a b 2 2 2 221 1 1 1 1 1x y x y 2 x y 4 x y ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞+ + + ≥ + + +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ( ) 2 1 x yx y 4 xy ⎡ ⎤+= + +⎢ ⎥⎣ ⎦ = 2 1 11 4 xy ⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠ (do x + y = 1) Mặt khác : (x + y)2 ≥ 4xy hay 1 ≥ 4xy ⇒ ≥1 4 xy (do xy > 0) Nên : ( )⎛ ⎞⎛ ⎞+ + + ≥ + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 22 21 1 1 25x y 1 4 x y 2 2 11 1.38 1. Chứng minh bất đẳng thức : + + + +⎛ ⎞≥ ⎜ ⎟⎝ ⎠ 22 2 2a b c a b c 3 3 2. Cho ba số dương x, y, z thỏa điều kiện x + y + z = 1. Chứng minh rằng : ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + + + ≥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ 22 21 1 1x y z 33 x y z Hướng dẫn : 2. ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + + + ≥ + + + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 2 22 21 1 1 1 1 1 1x y z x y z x y z 3 x y z = ( )⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + + + ++ + + + + = + + +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ 2 2 1 1 1 1 1 x y z x y z x y zx y z 1 3 x y z 3 x y z = ( )⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + + + + + + + ≥ + + + + + +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ 2 21 x y y z z x 11 (1 1 1) 1 1 1 1 2 2 2 3 y x z y x z 3 = >21 .10 33 3 1.39 1. Cho a > b > 0, so sánh hai số : A = ++ + 2 1 a 1 a a B = ++ + 2 1 b 1 b b 2. So sánh hai số : A = +1999 2001 B = 2 2000 1.40 Cho hai số nguyên m và n với m > n. Chứng minh rằng : 1. Nếu 0 < x < 1 thì xm < xn 2. Nếu x > 1 thì xm > xn Hướng dẫn : Đặt k = m – n > 0 1. Nếu 0 < x < 1 thì : 0 < xk < 1k và 0 < xn Nên : xn.xk < xn.1k hay xn.xm – n < xn.1k xm < xn 2. Nếu x > 1 thì : Nên : xn.xk > xn.1k hay xn + k > xn xm > xn 12 1.41 1. Chứng minh bất đẳng thức : a12 – a9 + a4 – a + 1 > 0 2. Chứng minh rằng nếu có bất đẳng thức : y ≥ x3 + x2 + |x| + 1 thì có bất đẳng thức : x2 + y2 ≥ 1 1.42 Cho –1 ≤ x ≤ 1 và số nguyên dương n, chứng minh rằng : (1 + x)n + (1 – x)n ≤ 2n Gợi ý : Từ –1 ≤ x ≤ 1 suy ra : 0 ≤ +1 x 2 ≤ 1 và 0 ≤ −1 x 2 ≤ 1 Nên : + +⎛ ⎞ ≤⎜ ⎟⎝ ⎠ n1 x 1 x 2 2 − −⎛ ⎞ <⎜ ⎟⎝ ⎠ n1 x 1 x 2 2 … 1.43 Cho ba số không âm thỏa điều kiện : x + y + z = 1 Chứng minh bất đẳng thức : 4(1 – x)(1 – y)(1 – z) ≤ x + 2y + z Đẳng thức xảy ra khi nào ? Hướng dẫn : Do x + y + z = 1, ta có : 1 – x = y + z Do 0 ≤ y ≤ 1 , ta có : 0 ≤ 1 – y2 ≤ 1 Từ hằng bất đẳng thức : (a + b)2 ≥ 4ab 4(1 – x)(1 – y)(1 – z) = 4[(y + z)(1 – z)].(1 – y) ≤ ≤ (y + z + 1 – z)2.(1 – y) = (1 + y)2(1 – y) = (1 – y2)(1 + y) ≤ ≤ 1 + y = x + y + z + y = x + 2y + z Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi : 2 1 x 1 z (1 y )(1 y) 1 y x y z 1 − = −⎧⎪ − + = +⎨⎪ + + =⎩ ⇔ x = z = 1 2 ; y = 0 1.44 Cho x2 + y2 + z2 = 1 , chứng minh bất đẳng thức : xyz + 2(xy + yz + zx + x + y + z + 1) ≥ 0 Hướng dẫn : Trong điều kiện : x2 + y2 + z2 = 1 biến đổi vế trái thành : A = (xyz + xy + yz + zx + x + y + z + 1) + (xy + yz + zx + x + y + z + 1) Mà : 13 xyz + xy + yz + zx + x + y + z + 1 = (x + 1)(y + 1)(z + 1) (1) Và xy + yz + zx + x + y + z + 1 = x2 + y2 + z2 + xy + yz + zx + x + y + z = 2(x y z 1) 2 + + + (2) Mà |x| ≤ 1 , |y| ≤ 1 , |z| ≤ 1 suy ra điều phải chứng minh. 1.45 Chứng minh rằng nếu a, b, c là độ dài ba cạnh một tam giác thì : ab + bc + ca ≤ a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca) Gợi ý : a 0 ⇒ a2 < a(b + c) hay a2 < ab + ca 1.46 Gọi a, b, c là độ dài ba cạnh một tam giác . Chứng minh bất đẳng thức : abc ≥ (a + b – c)(b + c – a)(c + a – b) Hướng dẫn : a, b, c > 0, a + b > c, b + c > a, c + a > b a2 ≥ a2 – (b – c)2 hay a2 ≥ (a + b – c)(c + a – b) (1) Tương tự : b2 ≥ (b + c – a)(a + b – c) (2) c2 = (c + a – b)(b + c – a) (3) 1.47 Gọi a, b, c là độ dài ba cạnh một tam giác với a ≤ b ≤ c. Chứng minh bất đẳng thức : (a + b + c)2 ≤ 9bc Hướng dẫn : Do a ≤ b nên : (a + b + c)2 ≤ (2b + c)2 Ta chứng minh bất đẳng thức : (2b + c)2 ≤ 9bc Xét hiệu hai vế : (2b + c)2 – 9bc = (b – c)(4b – c) Mà b ≤ c nên b – c ≤ 0, do đó ta còn phải chứng minh : 4b – c ≥ 0 Do a ≤ b nên : 4b – c = 2b + (b + b – c) ≥ 2b + (a + b - c) Mà a + b – c > 0 nên : 4b – c ≥ 2b + (a + b – c) > 0 Bất đẳng thức được chứng minh. 14 1.48 Gọi a, b, c là độ dài ba cạnh một tam giác có chu vi là 2. Chứng minh rằng : a2 + b2 + c2 + 2abc < 2 Hướng dẫn : Trước hết chứng minh : a < 1; b < 1 ; c < 1 Để có : (1 – a)(1 – b)(1 – c) > 0 ⇔ 1 – (a + b + c) + ab + bc + ca – abc > 0 Mà a + b + c = 2, nên : -1 + ab + bc + ca – abc > 0 Vận dụng hằng đẳng thức : (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca) ab + bc + ca = 2 2 2 2 2 2 2(a b c) (a b c ) a b c2 2 2 + + − + + + += − Ta có : -1 + 2 - 2 2 2a b c abc 0 2 + + − > hay 2 – (a2 + b2 + c2) – 2abc > 0 ⇔ a2 + b2 + c2 + 2abc < 2 15 2. VÀI BẤT ĐẲNG THỨC THƯỜNG DÙNG A. BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY 1. Định lý : • Với hai số không âm a và b, ta có bất đẳng thức : a b ab 2 + ≥ Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b 2. Hệ quả : • Nếu a ≥ 0, b ≥ 0 và tổng a + b = k (hằng) thì tích ab lớn nhất khi và chỉ khi a = b : max(ab) = 2k 4 ⇔ a = b Trong các hình chữ nhật có chu vi bằng nhau thì hình vuông có diện tích lớn nhất. • Nếu a ≥ b, b ≥ 0 và tích ab = k (hằng) thì tổng a + b nhỏ nhất khi và chỉ khi a = b min(a + b) = 2 k ⇔ a = b Trong các hình chữ nhật có diện tích bằng nhau thì hình vuông có chu vi nhỏ nhất. 3. Tổng quát : • Với a1, a2, …, an là n số không âm, ta có bất đẳng thức : 1 2 n n 1 2 n a a ... a a a ...a n + + + ≥ Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi : a1 = a2 = … = an 2.1 1. Chứng minh bất đẳng thức Cauchy cho hai số không âm : a b ab 2 + ≥ 2. Vận dụng để chứng minh bất đẳng thức Cauhy có bốn số không âm, ba số không âm : 4a b c d abcd 4 + + + ≥ 3a b c abc 3 + + ≥ 16 2.2 1. Cho ba số không âm a, b, c. Chứng minh bất đẳng thức : (a + b)(b + c)(c + a) ≥ 8abc 2. Cho a, b, c ≥ 0 và a + b + c = 1, chứng minh bất đẳng thức : a4 + b4 + c4 ≥ abc 2.3 1. Chứng minh rằng, nếu x > 1 thì : x 2 x 1 ≥− 2. Cho x > 1 và y > 1, chứng minh bất đẳng thức : 2 2x y y 1 x 1 +− − ≥ 8 2.4 1. Chứng minh bất đẳng thức : 2 2 a 5 a 1 + + ≥ 4 2. Cho a ≥ 1 và b ≥ 1, chứng minh bất đẳng thức : a b 1 b a 1− + − ≤ ab Gợi ý : 1. 2 2 2 2 a 5 4a 1 a 1 a 1 + = + ++ + 2. a 1 (a 1).1− = − 2.5 1. Cho a, b, c ≥ - 1 4 và a + b + c = 1. Chứng minh bất đẳng thức : 4a 1 4b 1 4c 1 5+ + + + + < 2. Cho a, b, c > 0, Chứng minh bất đẳng thức : 2 2 2 1 1 1 a b c a bc b ca c ab 2abc + ++ + ≤+ + + Hướng dẫn : 1. Lưu ý đẳng thức không xảy ra. 2. a2 + bc ≥ 2 2a bc = 2a bc ⇒ 2 1a bc+ ≤ 1 2a bc 17 2.6 Cho ba số dương x, y, z với x > z và y > z. Chứng minh bất đẳng thức : z(x z) z(y z) xy− + − ≤ Hướng dẫn : Bình phương hai vế được : z(x – z) + z(y – z) + 2 z(x z).z(y z)− − ≤ xy ⇔ 2z (x z)(y z)− − ≤ 2z2 + xy – yz – zx ⇔ 2z (x z)(y z)− − ≤ z2 + (x – z)(y – z) Đây là bất đẳng thức đúng theo bất đẳng thức Cauchy với hai số dương z2 và (x – z)(y – z) 2.7 Gọi a, b, c là ba cạnh một tam giác và p là nửa chu vi a b cp 2 + +⎛ ⎞=⎜ ⎟⎝ ⎠ . Chứng minh bất đẳng thức : (p – a)(p – b)(p – c) ≤ 1 abc 8 2.8 Gọi R, r và S lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp, bán kính đường tròn nội tiếp và diện tích một tam giác vuông. Chứng minh rằng : R + r ≥ 2S Hướng dẫn : Gọi a là độ dài canh huyền, b và c là độ dài hai cạnh góc vuông R = a 2 S = 1 (a b c)r 2 + + và S = 1 bc 2 r = bc a b c+ + Nên : R + r = 2a bc a(a b c) 2bc a ab ca 2bc 2 a b c 2(a b c) 2(a b c) + + + + + ++ = =+ + + + + + Mà theo định lí Pitago thì : a2 = b2 + c2 nên R + r = 2 2 2b c ab ac 2bc (b c) a(b c) 2(a b c) 2(a b c) + + + + + + +=+ + + + = (b c)(a b c) b c 2(a b c) 2 + + + +=+ + Vận dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương b, c: 18 R + r = b c 2 + ≥ bc 2S= (do S = 1 bc 2 ) 2.9 1. Cho ba số dương a, b, c . Chứng minh bất đẳng thức : (a + b + c) 1 1 1 a b c ⎛ ⎞+ +⎜ ⎟⎝ ⎠ ≤ 9 2. Vận dụng kết quả đó để chứng minh bất đẳng thức : x y z 3 y z z x x y 2 + + ≥+ + + với x, y, z là ba số dương. Gợi ý : Vận dụng bất đẳng thức Cauchy với ba số dương : 3 3 a b c 3 abc 1 1 1 1 1 13 . . a b c a b c ⎫+ + ≥ ⎪⎬+ + ≥ ⎪⎭ ⇒ ( ) 1 1 1a b c a b c ⎛ ⎞+ + + +⎜ ⎟⎝ ⎠ ≥ 9 2.10 1. Cho x ≥ 0 và y ≥ 0. Chứng minh bất đẳng thức : 3x2 + 7y2 > 9xy2 2. Cho ba số không âm a, b, c. Chứng minh bất đẳng thức : a3 + b3 + c3 ≥ a2 2 2bc b ca c ab+ + Gợi ý : 1. Vận dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số không âm : 3x3 + 7y3 = 3x3+3y3 + 4y3 ≥ 3 3 33 3x .3y .4y = 2 233xy 3 .4 >3xy2 33 3 = 9xy2 2. a3 + b3 + c3 ≥ 3abc ⇔ 2(a3 + b3 + c3) ≥ a3 + b3 + c3 + 3abc = (a3 + abc) + (b3 + abc) + (c3 + abc) a3 + abc ≥ 2 3 2a abc 2a bc= b3 + abc ≥ 2b2 ca c2 + abc ≥ 2c2 ab …… a3 + b3 + c3 ≥ a2 2 2bc b ca c ab+ + 19 2.11 Chứng minh các bất đẳng thức sau đây : 1. 4(x2 + y2)3 ≥ 27x2y4 2. 6 9x y 4 + ≥ 3x2y3 – 16 (với y ≥ 0) Gợi ý : Vận dụng bất đẳng thức Cauchy với ba số không âm : 1. x2 + y2 = x2 + 2 2y y 2 2 + ≥ 3 2 2 23 y yx . . 2 2 … 2. 6 9x y 4 + ≥ 3x2y2 – 16 ⇔ x6 + y9 + 64 ≥ 12x2y3 x6 + y9 + 64 = (x2)3 + (y3)3 + 43 ≥ 3 6 9 33 x .y .4 … 2.12 Cho ba số dương x, y, z thoả điều kiện : 1 1 1 2 1 x 1 y 1 z + + ≥+ + + Chứng minh rằng : xyz ≤ 1 8 Gợi ý : Điều kiện đã cho tương đương với : 1 ≥ 2xyz + xy + yz + zx Vận dụng bất đẳng thức Cauchy với bốn số không âm 2.13 1. Cho n số dương : x1, x2, … ,xn . Chứng minh rằng : 1 2 n 2 3 1 x x x... x x x + + + ≥ n 2. Cho ba số không âm z, y, z thoả điều kiện x + y + z = 1. Chứng minh rằng : xy2z3 ≤ 1 432 Gợi ý : 2. x + y + z = x + y y z z z 2 2 3 3 3 + + + + (=1) Vận dụng bất đẳng thức Cauchy cho sáu số không âm. 20 2.14 1. Cho ba số dương x, y, z thỏa điều kiện x + y + z = 1. Chứng minh rằng : 16xyz ≤ y + z 2. Cho bốn số dương x, y, z, t thỏa điều kiện : 1 1 1 1 3 1 x 1 y 1 z 1 t + + + ≥+ + + + Chứng minh rằng : xyzt ≤ 1 81 Hướng dẫn : 1. 1 = x + (y + z) ≥ 2 x(y z)+ ⇔ 1 ≥ 4x(y + z) ⇔ y + z ≥ 4x(y + z)2 ⇔ y + z ≥ 4x(2 yz )2 ⇔ y + z ≥ 16xyz 2. Nhận xét : 1 1 1 11 1 1 1 x 1 y 1 z 1 t ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞≥ − + − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ + + +⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ = y z t 1 y 1 z 1 t + ++ + + Vận dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số không âm : 1 y z t 1 x 1 y 1 z 1 t ≥ + ++ + + + ≥ 3 3 yzt (1 y)(1 z)(1 t)+ + + Tương tự, rồi nhân theo vế bốn bất đẳng thức tìm được : 1 (1 x)(1 y)(1 z)(1 t)+ + + + ≥ 81 xyzt (1 x)(1 y)(1 z)(1 t)+ + + + xyzt ≤ 1 81 21 B. BẤT ĐẲNG THỨC SCHWARTZ 4. Định lí : • Nếu (a ; b) và (z ; y) là hai bộ hai số thì : (ax + by)2 ≤ (a2 + b2)(x2 + y2) hay |ax + by| ≤ 2 2 2 2(a b )(x y )+ + Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x y a b = (với qui ước a = 0 thì x = 0, b = 0 thì y = 0) 5. Tổng quát : Nếu (a1 , a2 , … , an) và (x1 , x2 , … , xn) là hai bộ n số thì : (a1x1 + a2x2 + … + anxn)2 ≤ (a12 + a22 + … + an2)(x12 + x22 + … + xn2) hay |a1x1 + a2x2 + … + anxn| ≤ ( )( )2 2 2 2 2 21 2 n 1 2 na a ... a x x ... x+ + + + + + Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1 2 n 1 2 n x x x... a a a = = = (với qui ước trên) 2.15 Chứng minh các bất đẳng thức : 1. (ax + by)2 ≤ (a2 + b2)(x2 + y2) 2. (ax + by + cz)2 ≤ (a2 + b2 + c2)(x2 + y2 + z2) 2.16 1. Cho hai số x, y thỏa điều kiện 4x – 6y = 1. Chứng minh rằng : 4x2 + 9y2 ≥ 1 8 2. Cho hai số x, y thoả điều kiện 2x + 3y = 5. Chứng minh rằng : 2x2 + 3y2 ≥ 5 2.17 1. Cho a2 + b2 = 1 và x2 + y2 + z2 = 1. Chứng minh bất đẳng thức : |ax + by + z| ≤ 2 2. Cho xy + yz + zx = 4. Chứng minh bất đẳng thức : x4 + y4 + z4 ≥ 16 3 22 2.18 Cho 3 2 ≤ x ≤ 50 3 , chứng minh bất đẳng thức : x 1 2x 3 50 3x 12+ + − + − < 2.19 Cho ba số dương x, y, z thoả điều kiện x > z và y > z. Chứng minh : z(x z) z(y z) xy− + − ≤ Gợi ý : z(x z) z(y z) z. x z y z. z− + − = − + − ≤ (z y z)(x z z) yx+ − − + = 2.20 Cho x + y + z = 1. Chứng minh bất đẳng thức : x2 + 4y2 + 9z2 ≥ 36 49 Gợi ý : 1 = 2 2 2 2 2 2 21 1 1 11.x .2y 3z 1 x (2y) (3z) 2 3 2 3 ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎡ ⎤+ + ≤ + + + +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎣ ⎦⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦ 2.21 Cho hai số x, y thỏa điều kiện : (x – 1)2 + (y – 2)2 = 5 Chứng minh rằng : x + 2y ≤ 10 Hướng dẫn : [1(x – 1)2 + 2(y – 2)2] ≤ (12 + 22)[(x – 1)2 + (y – 2)2] = 5.5 (x + 2y – 5)2 ≤ 25 x + 2y – 5 ≤ |x + 2y – 5| ≤ 5 x + 2y ≤ 10 2.22 Gọi x0 là một nghiệm của phương trình bậc hai : x2 + px + q = 0. Chứng minh rằng : x02 < p2 + q2 + 1 Hướng dẫn : x02 + px0 + q = 0 ⇔ x02 = - (px0 + q) x04 = (px0 + q)2 ≤ (p2 + q2)(x02 + 1) 23 p2 + q2 = 4 0 2 0 x x 1+ > ( )( )2 24 0 0 20 02 2 0 0 x 1 x 1x 1 x 1 x 1 x 1 + −− = = −+ + x02 < p2 + q2 + 1 2.23 Gọi a, b, c là độ dài ba cạnh một tam giác , đặt p = a b c 2 + + . Chứng minh rằng : p p a p b p x< − + − + − ≤ 3p Hướng dẫn : - Dùng biến đổi tương đương để có : p p a p b p c< − + − + − - Dùng bất đẳng thức Schwartz để có : p a p b p c− + − + − ≤ 3p 2.24 Cho ba số dương x, y, z. Chứng minh bất đẳng thức : xyz(x + y + z) ≤ x3y + y3z + z3x Hướng dẫn : - Chứng minh bất đẳng thức tương với : x + y + z ≤ 2 2 2x y z z x y + + - Vận dụng bất đẳng thức Schwartz : 2 x y z. z . x . y z x y ⎛ ⎞+ +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ≤ ≤ ( ) ( ) ( )22 2 2 2 2x y z z x y z x y ⎡ ⎤⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎡ ⎤⎢ ⎥+ + + +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ 2.25 Cho a2 + b2 + c2 + d2 = 1. Chứng minh bất đẳng thức : (x2 + ax + b)2 + (x2 + cx + d)2 ≤ (2x2 + 1)2 Hướng dẫn : Vận dụng bất đẳng thức Schwartz : (x2 + ax + b)2 = (x.x + ax + b.1)2 ≤ (x2 + a2 + b2)(x2 + x2 + 1) (1) (x2 + cx + d)2 = (x.x + cx + d.1)2 ≤ (x2 + c2 + d2)(x2 + x2 + 1) (2) Cộng (1) và (2) được điều phải chứng minh . 24 C. BẤT ĐẲNG THỨC CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI 6. Định lí : • Với hai số thực a, b ta có : 1. |a + b| ≤ |a| + |b| Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi : ab ≥ 0 2. |a – b| ≤ |a| + |b| Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi : ab ≤ 0 Nhắc lại : 1. |a| ≥ 0 |a| = 0 ⇔ a = 0 2. -|a| ≤ a ≤ |a| - |a| = a = |a| ⇔ a = 0 2.26 Cho hai số thực a, b. Chứng minh các bất đẳng thức : 1. |a + b| ≤ |a| + |b| . Đẳng thức xảy ra khi nào ? 2. |a – b| ≤ |a| + |b| . Đẳng thức xảy ra khi nào ? Hướng dẫn : 1. Dùng phép biến đổi tương đương : |a + b| ≤ |a| + |b| ⇔ (a + b)2 ≤ (|a| + |b|)2 ⇔ a2 + 2ab + b2 = a2 + 2|ab| + b2 ⇔ ab ≤ |ab| (bất đẳng thức đúng) Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi : ab ≥ 0 2. Chứng minh tương tự, đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi : ab ≤ 0 2.27 Cho |x| < 1 và |y | < 1. Chứng minh mỗi bất đẳng thức sau đây : 1. |x + y| < |1 + xy| 2. x y 1 1 xy − <− 2.28 Chứng minh mỗi bất đẳng thức sau đây : 1. 2 | x | 1 1 x 2 ≤+ 2. x y 1 xy + ≤ (với |x| ≥ 2 và |y| ≥ 2) 2.29 Chứng minh rằng : -3 ≤ x | x 1 | | x 2 | | x | x 1 x 2 − −+ +− − ≤ 3 (với x ≠ 0, x ≠ 1, x ≠ 2) 25 3. VÀI PHƯƠNG PHÁP KHÁC ĐỂ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC A. PHƯƠNG PHÁP LÀM TRỘI Dựa vào các tính chât của bất đẳng thức để biến đổi một vế của bất đẳng thức thành dạng tính được tổng hay tích hữu hạn. Thường thì : • Để tính tổng hữu hạn ta biến đổi số hạng tổng quát về dạng hiệu hai số hạng liên tiếp : un = an – an – 1 Từ đó : S = (a1 – a2) + (a2 – a3) + … + (an – an + 1) = a1 – an + 1 • Để tính tích hữu hạn ta biến đổi số hạng tổng quát về dạng thương hai số hạng liên tiếp : un = n n 1 a a + Từ đó : P = 1 2 n 1 2 3 n 1 n 1 a a a a. .... a a a a+ + = • Hoặc xét tính chất của mỗi hạng tử. 3.1 Cho số nguyên n ≥ 1, chứng minh rằng : 1. 1 1 1... 1 1.2 2.3 n(n 1) + + + <+ 2. 1 1 1 1... 1.3 3.5 (2n 1)(2n 1) 2 + + + <− + Hướng dẫn : 1. 1 1 1 n(n 1) n n 1 = −+ + 2. 1 1 1 1 (2n 1)(2n 1) 2 2n 1 2n 1 ⎛ ⎞= −⎜ ⎟− + − +⎝ ⎠ 26 3.2 Cho số nguyên n ≥ 2, chứng minh rằng : 1. 1 + 2 2 2 1 1 1 1... 2 2 3 n n + + + < − 2. 2 2 2 1 1 1 1 1.... 2 4 (2n) 2 4n + + + < − Hướng dẫn : 1. 1 1 1 (n 1)n n 1 n = −− − 2. 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1... 1 ... 2 4 (2n) 2 2 n ⎛ ⎞+ + + = + + +⎜ ⎟⎝ ⎠ 3.3 Chứng minh rằng : 1 1 1 5.... 1001 1002 2000 8 + + + > Hướng dẫn : Ghép biểu thức ở vế trái thành bốn nhóm mỗi nhóm 250 hạng tử rồi làm trội từng nhóm. 3.4 Cho ba số x, y, z đều không nhỏ hơn - 1 4 và thỏa điều kiện x + y + z = 1 Chứng minh rằng : 4x 1 4y 1 4z 1 5+ + + + + < Hướng dẫn : 24x 1 4x 4x 1+ ≤ + + = |2x + 1| = 2x + 1 (do x ≥ - 1 4 ) 4x 1 4y 1 4z 1+ + + + + ≤ 2(x + y + z) + 3 = 5 Lưu ý : loại trừ trường hợp xảy ra đẳng thức 3.5 Cho ba số nguyên n > 1. Chứng minh bất đẳng thức : 2 2 1 1 1 1 1... 1 n n 1 n 2 n 1 n + + + + + >+ + − Gợi ý : - Hạng tử nhỏ nhất của vế trái : 2 1 n - Kể từ hạng tử thứ hai, số hạng tử là : n2 – n 27 3.6 Chứng minh rằng với mọi số nguyên n > 1, ta đều có : 1 1 1 1 3... 2 n 1 n 2 n n 4 < + + + <+ + + Hướng dẫn : 1 1 n 1 2n >+ 1 1 1 1 .... n 2 2n n n 2n > =+ + (n hạng tử) - Chứng minh bổ đề : 1 1 3 n k 2n k 1 2n + <+ − + (k = 1 ; 2 ; 3 …… ; k ≤ n) - Vận dụng : 1 1 3 n 1 2n 2n + <+ ; 1 1 3 n 2 2n 1 2n + <+ − ; … 1 1 3 2n n 1 2n + <+ Nên : 2 1 1 1 3 3... n. n 1 n 2 2n 2n 2 ⎛ ⎞+ + + < =⎜ ⎟+ +⎝ ⎠ 1 1 1 3.... n 1 n 2 2n 4 + + + <+ + 3.7 Chứng minh bất đẳng thức (n là số nguyên dương) : 2 2 1 1 1 1 1... 5 13 25 n (n 1) 2 + + + + <+ + Gợi ý : n2 + (n + 1)2 = 2n2 + 2n + 1 = 2n(n + 1) + 1 n2 + (n + 1)2 ≥ 2n(n + 1) 2 2 1 1 1 1 1 1 1. n (n 1) 2n(n 1) 2 n(n 1) 2 n n 1 ⎛ ⎞< = = −⎜ ⎟+ + + + +⎝ ⎠ 3.8 Chứng minh rằng với mọi số nguyên n ≥ 1. 1 3 2n 1 1. ...... 2 4 2n 2n 1 − ≤ + Gợi ý : 2 2 (2n 1)2n 1 2n 4n −− = ≤ 2 2 (2n 1) 2n 1 2n 14n 1 − −= +− 28 B. PHƯƠNG PHÁP PHẢN CHỨNG Ta giả sử bất đẳng thức phải chứng minh sai, rồi kết hợp với giả thiết suy ra điều đó vô lý. Điều vô lý có thể là trái với giả thiết, có thể là điều trái với điều đúng, có thể là hai điều mâu thuẫn nhau … Từ đó suy ra bất đẳng thức phải chứng minh là đúng. 3.9 Cho ba số x, y, z thuộc khoảng (0 ; 1). Chứng minh rằng có ít nhất một trong ba bất đẳng thức sau đây là sai : x(1 – y) > 1 4 y(1 – z) > 1 4 z(1 – x) > 1 4 3.10 Cho bốn số x, y, z, t thỏa điều kiện : x + y = 2zt. Chứng minh rằng có ít nhất một trong hai bất đẳng thức sau đây là đúng : z2 ≥ x t2 ≥ y 3.11 Cho ba số x, y, z thỏa ba điều kiện : x + y + z > 0 xy + yz + zx > 0 xyz > 0 Chứng minh rằng cả ba số x, y, z đều là số dương. Hướng dẫn : Giả sử x ≤ 0 thì từ xyz > 0 phải có x < 0 Nếu x < 0 thì yz < 0 Do : xy + yz + zx > 0 ta có : xy + zx > -yz > 0 (do yz < 0) hay : x(y + z) > 0 Mà x < 0 nên : y + z < 0 Do đó : x + y + z < 0 Vô lí, vậy x > 0 (do x ≠ 0), tương tự : y > 0 ; z > 0 3.12 Chứng minh rằng không có ba số a, b, c nào đồng thời thoả ba bất đẳng thức : |b – c| > |a| |c – a| > |b| |a – b| > |c| Hướng dẫn : Giả sử có ba số a, b, c thỏa cả ba bất đẳng thức trên, thế thì : 29 |b – c| > |a| ⇔ (b – c)2 > a2 ⇔ - (a + b – c)(c + a – b) > 0 (1) Tương tự : - (b + c – a)(a + b – c) > 0 (2) - (c + a – b)(b + c – a) > 0 (3) Tư (1) (2) (3) suy ra : - [(a + b – c)(b + c – a)(c + a – b)]2 > 0 Vô lí, vậy không có ba số a, b, c nào đồng thời thỏa ba bất đẳng thức nêu trên. C. PHƯƠNG PHÁP TRUY CHỨNG (QUY NẠP TOÁN HỌC) Cho một bất đẳng thức phụ thuộc vào số nguyên dương n. Để chứng minh bất đẳng thức đúng với n ≥ n0 , ta thực hiện như sau : 1. Kiểm nghiệm bất đẳng thức đúng với n = n0 2. Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k (ta có giả thiết quy nạp) 3. Từ đó chứng minh bất đẳng thức đúng với n = k + 1 (thay n = k + 1 rồi biến đổi để áp dụng giả thiết quy nạp) Kết luận bất đẳng thức đúng với mọi n ≥ n0 3.13 Cho số nguyên n ≥ 3, chứng minh bất đẳng thức : 2n > 2n + 1 3.14 Với những số nguyên dương n nào thì bất đẳng thức sau đây đúng : 2n > n2 Hướng dẫn : - Thử để thấy : • Với n = 1 thì bất đẳng thức đúng • Với n = 2, 3, 4 thì bất đẳng thức không đúng • Với n = 5 thì bất đẳng thức đúng - Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k (k ∈ Z và k ≥ 5) 2k > k2 - Ta chứng minh bất đẳng thức đúng với n = k + 1, nghĩa là : 2k + 1 > (k + 1)2 Ta có : 2k + 1 – (k + 1)2 = 2.2k – k2 – 2k – 1 > 2k2 – k2 – 2k – 1 = (k – 1)2 – 2 ≥ 0 (vì k ≥ 5) Vậy bất đẳng thức đúng với n = 1 và n ≥ 5 (n ∈ Z) 30 3.15 Cho số nguyên n ≥ 2, chứng minh bất đẳng thức : 1 1 1 13... n 1 n 2 2n 24 + + + >+ + 3.16 Gọi a, b, c là độ dài ba cạnh một tam giác vuông (a là độ dài cạnh huyền). Chứng minh rằng : a2n ≥ b2n + c2n (n ∈ N và n ≥ 1) 3.17 Chứng minh rằng với mọi giá trị của a 2 2 2a a ... a+ + + ≤ |a| + 1 Vế trái có n dấu 3.18 Cho số nguyên n ≥ 1, chứng minh bất đẳng thức : 1 1 11 ... 2 n 2 3 n + + + + < Hướng dẫn : Đặt E là vế trái của bất đẳng thức : - Với n = 1 ta có : 1 < 2 1 (bất đẳng thức đúng) - Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k, nghĩa là : Ek < 2 k - Ta phải chứng minh bất đẳng thức đúng với n = k + 1 nghĩa là : Ek + 1 < 2 k 1+ Thật vậy : Ek + 1 < 2 k + 1 k 1+ = 2 k. k 1 1 k 1 + + + Mà theo bất đẳng thức Cauchy với hai số không âm thì : 2 k. k 1+ ≤ k + k + 1 = 2k + 1 Ek + 1 < 2k 1 1 2(k 1) 2 k 1 k 1 k 1 + + += = ++ + Vậy bất đẳng thức đúng với mọi số nguyên n ≥ 1 31 4. VẬN DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC ĐỂ TÌM CỰC TRỊ Coi hàm số f(x) có tập xác định D : 1. k là giá trị lớn nhất của f(x) nếu thỏa được hai điều kiện : a) f(x) ≤ k (k là hằng số) b) Có lúc f(x) = k (nghĩa là có giá trị x0 của x để có đẳng thức) Kí hiệu : maxf(x) = k (tại x = x0) 2. k là giá trị nhỏ nhất của f(x) nếu thỏa được hai điều kiện : a) f(x) ≥ k (k là hằng số) b) Có lúc f(x) = k (nghĩa là có giá trị x0 của x để có đẳng thức) Kí hiệu : min f(x) = k (tại x = x0) Như vậy muốn tìm cực trị (giá trị lớn nhất hay nhỏ nhất) của một hàm số f(x) trên tập xác định D, ta phải thực hiện hai bước : • Chứng minh một bất đẳng thức • Tìm một điểm của D sao cho ứng với điểm đó bất đẳng thức trở thành một đẳng thức. 4.1 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : A = (2x – 1)2 – 3|2x – 1| + 3 2. Tìm giá trị lớn nhất của biến thức : B = -(x – 1)2 + 2(|x – 1| + 1) Hướng dẫn : 1. A = (|2x – 1| - 3 2 )2 + 3 4 ≥ 3 4 minA = 3 4 (tại x = 5 4 hoặc x = - 1 4 ) 2. B = -(|x – 1| - 1)2 + 3 ≤ 3 maxB = 3 (tại x = 2 hoặc x = 0) 4.2 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : A = x4 – 4x3 + 10x2 – 12x + 9 2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : B = (x2 – 2x + 2)(2 + 4x – 2x2) 32 Gợi ý : 1. A = (x2 – 2x + 3)2 = [(x – 1)2 + 2]2 ≥ 4 2. B = [2 + (x2 – 2x)].2[1 – (x2 – 2x)] = 2 2 29 1 9(x 2x ) 4 2 2 ⎡ ⎤− − + ≤⎢ ⎥⎣ ⎦ 4.3 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : A = |x – 3| + |x – 5| 2. Tìm số nguyên x để biểu thức : B = |x – 2| + |x – 3| + |x – 4| + |x – 5| có giá trị nhỏ nhất. 4.4 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : P = x2 + xy + y2 – 3(x + y) + 5 Gợi ý : P = 1 2 [(x2 + y2 + 4 + 2xy – 4x – 4y) + (x2 – 2x + 1) + (y2 – 2y + 1) + 4] 4.5 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : E = xy(x – 2)(y + 6) + 12x2 – 24x + 3y2 + 18y + 36 Hướng dẫn : E = xy(x – 2)(y + 6) + 12x(x – 2) + 3y(y + 6) + 36 = x(x – 2)[y(y + 6) + 12] + 3[y(y + 6) + 12] E = [(x – 1)2 + 2][(y + 3)2 + 3] ≥ 2.3 = 6 4.6 Cho hai số x, y có tổng bằng 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : A = x3 + y3 + xy Hướng dẫn : Trong điều kiện : x + y = 1 A = x2 + y2 mà 2(x2 + y2) ≥ (x + y)2 = 1 min A = 1 2 (tại x = y = 1 2 ) 33 4.7 Cho hai số x, y thỏa điều kiện : x2 + y2 = 1. Tìm giá trị lớn nhất của : A = x6 + y6 Gợi ý : Trong điều kiện x2 + y2 = 1, biến đổi để có : A = 1 – 3x2y2 ≤ 1 4.8 Cho phương trình có hai ẩn số x, y : x2 + 3y2 + 2xy – 10x – 14y + 18 = 0 Tìm x, y để tổng x + y lớn nhất ? Nhỏ nhất ? Gợi ý : Đặt phương trình dưới dạng : (x + y – 5)2 + 2(y – 1)2 – 9 = 0 Nên : 9 – 2(y – 1)2 = (x + y – 5)2 ≥ 0 (x + y – 5)2 ≤ 9 ⇔ |x + y – 5| ≤ 3 ⇔ 2 ≤ x + y ≤ 8 4.9 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : A = 2 2 2 2 4 2x 8 x 48 x x ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ − + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (với x ≠ 0) Gợi ý : Biến đổi biểu thức trong dấu căn thành dạng : 2 2 2 2 2 4 4x 8 x 16 x x ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ − + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ = 2 4 2 2 4 2x 4 x x x ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ − = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 4.10 1. Tìm giá trị lớn nhất của phân thức : A = 2 8 x 2x 5+ + 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của phân thức : B = 2 3 4 2x x− + − 4.11 Tìm giá trị nhỏ nhất của phân thức : E = 2 2 4(x x 1) (x 1) − + − (với x ≠ 1) 34 Gợi ý : E = ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 3x 6x 3 x 2x 1 x 13 x 1x 1 − + + + + +⎛ ⎞= + ⎜ ⎟−⎝ ⎠− ≥ 3 4.12 Tìm giá trị lớn nhất của phân thức : E = 2 2 2x 4x 7 x 2x 2 − + − + Gợi ý : x2 – 2x + 2 = (x – 1)2 + 1 ≠ 0 E = 2 2 2 2 2 2x 4x 7 (2x 4x 4) 3 32 2 3 5 x 2x 2 x 2x 2 (x 1) 1 − + − + += = + ≤ + =− + − + − + 4.13 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của phân thức : A = 2 2 x 1 x x 1 + − + Gợi ý : Cách 1 : x2 – x + 1 = 21 3x 2 4 ⎛ ⎞− +⎜ ⎟⎝ ⎠ ≠ 0 A = 2 - 2 2 (x 1) x x 1 − − + ≤ 2 A = ( ) 2 2 2 (x 1) 3 3 x x 1 ++ − + ≥ 2 3 2 A 2 3 ≤ ≤ Cách 2 : x2 – x + 1 = 21 3x 2 4 ⎛ ⎞− +⎜ ⎟⎝ ⎠ ≠ 0 Ta có : A(x2 – x + 1) = x2 + 1 ⇔ (A – 1)x2 – Ax + (A – 1) = 0 - Nếu A = 1 thì x = 0 - Nếu A ≠ 1 thì Δ = -3A2 + 8A - 4 -3A2 + 8A – 4 ≥ 0 ⇔ 3A2 – 8A + 4 ≤ 0 ⇔ 2 3 ≤ A ≤ 2 35 4.14 1. Cho hai số dương x, y thỏa điều kiện : x + y = xy Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : A = x + y 2. Cho a ≥ 4, tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : B = a 4 2a − Hướng dẫn : 1. x > 0, y > 0 : x + y ≥ 2 xy hay : xy ≥ 2 xy ⇔ (xy)2 ≥ 4xy ⇔ xy ≥ 4 A = x + y ≥ 4 minA = 4 (tại x = y = 2) 2. a ≥ 4 B = (a 4).4a 4 2 a 4 2a 4a 4a −− −= = ≤ a 4 4 1 2.4a 8 − + = maxA = 1 8 (tại a = 8) 4.15 Cho hai số dương x, y có tổng bằng 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của : E = 2 2 1 11 1 x y ⎛ ⎞⎛ ⎞− −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠ Hướng dẫn : Trong điều kiện x, y > 0 và x + y = 1 biến đổi E thành dạng : E = 21 xy + Mặt khác do x + y = 1 và xy > 0 tìm được : 1 xy ≥ 4 min E = 9 (tại x = y = 1 2 ) 4.16 1. Cho x > 0, tìm giá trị nhỏ nhất của : A = 28x 2 x + 2. Tìm giá trị lớn nhất của : B = 16x3 – x6 với 0 ≤ x ≤ 2 3 2 4.17 Cho hai số dương x, y thỏa điều kiện xy = 216. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : 36 E = 6x + 4y 4.18 Tìm giá trị của x để biểu thức : A = 2 2 2 (x 2x 3)(x 2x 9) x 2x 1 + + + + + + (với x ≠ -1) đạt giá trị nhỏ nhất. Gợi ý : Biến đổi rồi vận dụng bất đẳng thức Cauchy : A = ( ) ( ) 22 4 2 2 2 (x 1) 2 x 1 8 (x 1) 10(x 1) 16 (x 1)x 1 ⎡ ⎤⎡ ⎤+ + + + + + + +⎣ ⎦ ⎣ ⎦ = ++ = 2 2 16(x 1) 10 (x 1) + + + + ≥ 2 2 2 16(x 1) . 10 18 (x 1) + + =+ Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi : (x + 1)2 = 2 16 (x 1)+ ⇔ x 1 x 3 =⎡⎢ = −⎣ 4.19 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : E = |x| 21 x− (với –1 ≤ x ≤ 1) Gợi ý : E = |x| 2 2 21 x x (1 x )− = − ≤ 2 2x (1 x ) 1 2 2 + − = 4.20 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức : A = 1 x 1 x+ + − (với –1 ≤ x ≤ 1) Gợi ý : A2 = 1 + x + 2 21 x− + 1 – x = 2 + 2 21 x− Mà theo bất đẳng thức Cauchy, thì : 1 + x + 1 – x ≥ 2 (1 x)(1 x)+ − ≥ 0 ⇔ 2 ≥ 2 21 x− ≥ 0 ⇔ 4 ≥ 2 + 2 21 x− ≥ 2 hay 2 ≤ A2 ≤ 4 ⇔ 2 ≤ A ≤ 2 4.21 Cho ba số dương x, y, z thỏa điều kiện : x + y + z = xyz . Tìm giá trị nhỏ nhất của : E = xyz 37 Gợi ý : Vận dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số dương x, y, z : E = xyz = x + y + z ≥ 3 3 xyz = 33 E E3 ≥ 27E ⇔ E2 ≥ 27 ⇔ E ≥ 3 3 4.22 Cho bốn số dương x, y, z, t thỏa điều kiện : 2x + xy + z + yzt = 1. Tìm giá trị lớn nhất của : E = x2y2z2t Gợi ý : Vận dụng bất đẳng thức Cauchy cho bốn số dương : 2x, xy, z, yzt 2x + xy + z + yzt ≥ 4 4 2x.xy.z.yzt hay 1 ≥ 2 2 244 2x y z t ⇔ 2x2y2z2t ≤ 41 14 256= E = x2y2z2t ≤ 1 512 4.23 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : P = x100 – 10x10 + 10 Gợi ý : P = x100 – 10x10 + 10 = x100 + 9 – x10 + 1 Trong đó : x100 + 9 = x100 + 9 so á1 1 1 .... 1⎛ ⎞+ + +⎜ ⎟⎝ ⎠ ≥ 10 100 10 9 số 1 x .1.1....1 = 10x10 Nên : P ≥ 10x10 – 10x10 + 1 = 1 min P = 1 (tại |x| = 1) 4.24 Cho xy + yz + zx = 1, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : A = x4 + y4 + z4 Gợi ý : Vận dụng liên tiếp hai lần bất đẳng thức Schwartz sẽ có : A = x4 + y4 + z4 ≥ 1 3 38 4.25 Cho biểu thức : E = 2 2 2x 1 2x 4 21 3x+ + − + − 1. Tìm điều kiện của biến số x để E có nghĩa. 2. Tìm giá trị lớn nhất của E và giá trị tương ứng của x. Hướng dẫn : - 7 ≤ x ≤ - 2 hoặc 2 ≤ x ≤ 7 E2 = ( )22 2 2x 1 2x 4 21 3x+ + − + − ≤ ≤ (12 + 12 + 12)(x2 + 1 + 2x2 – 4 + 21 – 3x2) = 54 Nên E ≤ 54 : max E = 54 (tại x = ± 5 ) 4.26 Cho bốn số x, y, z, t thỏa điều kiện : 1 1 1 1 1x x y y z z t t 4 4 4 4 2 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + − + − + − ≤⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của : E = x + y + z + t Hướng dẫn Điều kiện đã cho tương đương với : 4(x2 + y2 + z2 + t2) ≤ (x + y + z + t) + 2 (1) Vận dụng bất đẳng thức Schwartz ta có : (x + y + z + t)2 ≤ 4(x2 + y2 + z2 + t2) (2) Từ (1) và (2) : (x + y + z + t)2 ≤ (x + y + z + t) + 2 hay E2 ≤ E + 2 ⇔ E2 – E – 2 ≤ 0 ⇔ (E + 1)(E – 2) ≤ 0 ⇔ -1 ≤ E ≤ 2 a) maxE = 2 (tại x = y = z = t = 1 2 ) b) minE = -1 (tại x = y = z = t = - 1 4 ) 39 4.27 Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của x sao cho thỏa hệ điều kiện : 2 2 2 2 x a b c 7 x a b c 13 + + + =⎧⎨ + + + =⎩ với a, b, c là các tham số. Hướng dẫn : a + b + c = 7 – x a2 + b2 + c2 = 13 – x2 Vận dụng bất đẳng thức Schwartz ta có : (a + b + c)2 ≤ (12 + 12 + 12)(a2 + b2 + c2) hay (7 – x)2 ≤ 3(13 – x2) ⇔ 2x2 – 7x + 5 ≤ 0 ⇔ (x – 1)(2x – 5) ≤ 0 ⇔ 1 ≤ x ≤ 5 2 a) x = 1 khi a = b = c = 2 b) x = 5 2 khi a = b = c = 3 2 4.28 Cho hai số dương x, y thỏa điều kiện x + y = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : E = 8(x4 + y4) + 1 xy Hướng dẫn : x > 0 ; y > 0 ; x + y = 1 Vận dụng bất đẳng thức Cauchy : x + y ≥ 2 xy hay 1 ≥ 2 xy ⇔ 1 xy ≥ 4 (1) Vận dụng liên tiếp bất đẳng thức Schwartz : 12 = (x + y)2 ≤ (12 + 12)(x2 + y2) ⇔ 1 2 ≤ (x2 + y2) 21 2 ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ ≤ (x 2 + y2)2 ≤ (12 +12)(x4 + y4) ⇔ 1 8 ≤ x4+y4 ⇔ 8(x4 + y4) ≥ 1 (2) Từ (1) và (2) : 8(x4 + y4) + 1 xy ≥ 1 + 4 = 5 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = 1 2 max E = 5 (tại x = y = 1 2 ) 40 4.29 Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol (P) biểu diễn hàm số y = f(x) = x2 và điểm A(3 ; 0) . Gọi M là một điểm thuộc (P) có hoành độ x0. Tính x0 để độ dài đoạn thẳng AM nhỏ nhất. Gợi ý : AM2 = |xA – xM|2 + |yA – yM|2 = x04 + x02 – 6x0 + 9 = (x2 – 1)2 + 3(x0 – 1)2 + 5 ≥ 5 min AM = 5 (tại x0 = 1 ; y0 = 1) 4.30 Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol (P) biểu diễn hàm số y = f(x) = - 2x 4 và điểm A(0 ; -2). Gọi (d) là đường thẳng qua A và có hệ số góc k. Chứng tỏ (d) luôn luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt M và N. Tính k để độ dài đoạn MN nhỏ nhất. Gợi ý : Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) : x2 + 4kx – 8 = 0 Δ’ = 4k2 + 8 ≥ 8 Mặt khác : MN2 = |xM – xN|2 + |yM – yN|2 = |xM – xN|2 2 M N M N y y1 x x ⎡ ⎤⎛ ⎞−⎢ ⎥+ ⎜ ⎟−⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦ Trong đó : (xM – xN)2 = (xM + xN)2 – 4xMxN = (-4k)2 – 4.(-8) = 16(k2 + 2) và : M N M N y y k x x − =− Nên : MN2 = 16(k2 + 2)(1 + k2) ≥ 32 ⇔ MN ≥ 4 2 min MN = 4 2 (tại k = 0) 4.31 Cho parabol (P) biểu diễn hàm số y = f(x) = 2x 4 và hai điểm A và B trên (P) có hoành độ lần lượt là –2 và 4. 1. Víêt phương trình đường thẳng AB 2. Tìm điểm M trên cung AB của (P) tương ứng với x ∈ [-2 ; 4] sao cho tam giác MAB có diện tích lớn nhất. Hướng dẫn : 1. Phương trình đường thẳng AB : 41 y = 1 2 x + 2 2. Gọi M (x0 ; 2 0x 4 ) là tiếp điểm của tiếp tuyến (d) của (P) song song với AB : x0 ∈ [-2 ; 4] . Phương trình của (d) : y = 1 2 x + k Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) : x2 – 2x – 4k = 0 Do (d) tiếp xúc với (P) nên Δ’ = 0 1 + 4k = 0 ⇔ k = - 1 4 Phương trình của tiếp tuyến (d) : y = 1 1x 2 4 − Tọa độ tiếp điểm M : (x0 = 1 ; y0 = 1 4 ) Mặt khác (P) ở phía trên (d), thực vậy : 2x 4 ≥ 1 1x 2 4 − ⇔ x2 – 2x + 1 ≥ 0 ⇔ (x – 1)2 ≥ 0 (Bất đẳng thức đúng) Suy ra khoảng cách từ M đến AB là lớn nhất, do đó diện tích tam giác MAB lớn nhất; khi M có tọa độ : M (x0 = 1 ; y0 = 1 4 ) 4.32 1. Cho ba số dương a, b, c có tổng là hằng số. Tìm a, b, c sao cho ab + bc + ca d0ạt giá trị lớn nhất. 2. Giả sử rằng giá bán của viên kim cương (hột xoàn) tỉ lệ với bình phương khối lượng của nó. Khi đem một viên kim cương cắt thành ba phần và vẫn bán với giá như trên (đúng tỉ lệ trên) thì tổng số tiền thu được tăng hay giảm và trong trường hợp chia cắt nào thì sự sai biệt về giá là lớn nhất : Hướng dẫn : 1. Ta có : 42 2 2 2 2 2 2 a b 2ab b c 2bc c a 2ca ⎫+ ≥ ⎪+ ≥ ⎬⎪+ ≥ ⎭ ⇒ 2(a2 + b2 + c2) ≥ 2(ab + bc + ca) hay a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca Mặt khác : (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca) ≥ 3(ab + bc + ca) Nên : ab + bc + ca ≤ 2(a b c) 3 + + max(ab + bc + ca) = 2(a b c) 3 + + (tại a = b = c) 2. Gọi S là khối lượng viên kim cương bị cắt thành các khối a, b, c ; A là giá trị bán của S; x, y, z lần lượt là giá bán của a, b, c : 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 A x y z x y z A (x y z) S a b c a b c S (a b c ) + + − + += = = = =+ + − + + = 2 2 2 2 A (x y z) A (x y z) (a b c) (a b c ) 2(ab bc ca) − + + − + +=+ + − + + + + Nên giá bị giảm : A – (x + y + z) = 2 2A S (ab + bc + ca) Mà theo kết quả câu (1) thì : ab + bc + ca ≤ 2(a b c) 3 + + Nên : A – (x + y + z) = 2 2 2A S 2A. S 3 3 = Giảm giá lớn nhất khi : a = b = c nghĩa là khi viên kim cương được cắt thành ba phần bằng nhau. 43 • Có những phương trình ta có thể thử trực tiếp để thấy nghiệm của chúng rồi dùng tính chất của bất đẳng thức để chứng minh được ngoài nghiệm này ra phương trình không còn nghiệm nào khác nữa. • Đối với những phương trình có dạng f(x)= k (hằng) mà ta chứng minh được f(x) ≥ k hoặc f(x) ≤ k thì nghiệm của phương trình là các giá trị của x làm cho có đẳng thức f(x) = k. • Đối với những phương trình có dạng f(x) = g(x) mà ta luôn có f(x) ≥ k (hằng) và g(x) ≤ k thì nghiệm của phương trình là các giá trị của x đồng thời có các đẳng thức : f(x) = k và g(x) = k. • Ta cũng có thể vận dụng các bất đẳng thức quen thuộc (Cauchy , Schwartz …) để giải phương trình . 5. VẬN DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH 5.1 Giải phương trình : xxxxx 24)1)(3(213 −=−++−++ Hướng dẫn : – Điều kiện : x ≥ 1 – Do phép thử phương trình có nghiệm : x = 1 – Nếu x > 1 thì : Vế trái > 2 và vế phải < 2. Phương trình có nghiệm duy nhất x =1. 5.2 Chứng tỏ phương trình sau đây vô nghiệm : x8 – x5 + x2 – x + 1 = 0 Hướng dẫn : – Nếu x ≤ 0 thì : x8 – x5 + x2 – x + 1 > 0 – Nếu 0 0 – Nếu 1 ≤ x thì : (x8 – x5) + (x2 – x) + 1 > 0 5.3 Giải phương trình : 8122233 2 =−+++ xxx 44 Hướng dẫn : – Điều kiện để phương trình có nghĩa : x ≥ 1 – Thay x = 2 . ta nhận thấy 2 là nghiệm của phương trình . – Nếu 1 ≤ x < 2 thì : Vế trái < 8 – Nếu x > 2 thì : Vế trái > 8 5.4 Giải phương trình : (x2 + 10x + 8)2 = (8x + 4)(x2 + 8x + 7) Hướng dẫn : – Phương trình có thể viết dưới dạng : [(x2 + 8x + 7) + (2x + 1)]2 = 4(x2 + 8x + 7)(2x + 1). – Do hằng bất đẳng thức : (A + B)2 ≥ 4AB. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi A = B . Ta có : [(x2 + 9x + 7) + (2x + 1)]2 ≥ 4(x2 + 8x + 7)(2x + 1) Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi : x2 + 8x + 7 = 2x + 1 ⇔ x2 + 6x + 6 = 0 ⇔ ⎢⎢⎣ ⎡ −−= +−= 33 33 x x 5.5 Giải phương trình : 338419854 222 +=++++−+++ xxxxxx Gợi ý : 2314)2(3)4(1)2( 222 ++≥++++−+++ xxx 2 2 (x 2) 0 x 2 x 4(x 4) 0 ⎧ + = = −⎧⎪ ⇔⎨ ⎨ =− =⎪ ⎩⎩ ⇔ x ∈ ∅ 5.6 Giải phương trình : 32 64 4 2 2 ++=+− yyxx Gợi ý : 2 2)2( 4 2 ≤+−x (y + 1) 2 + 2 ≥ 2 (x = 2 ; y = –1) 45 5.7 Giải phương trình : 2 4 23x 6x 12 5x 10x 9+ + + − + = 3 – 4 x – 2x2 Gợi ý : 2 23(x 1) 9 5(x 1) 4+ + + − + ≥ 3 + 2 = 5 3 – 4x – 2x2 = 5 – 2(x + 1)2 ≤ 5 x = –1 5.8 Giải phương trình : 224 2 24141051963 xxxxxx −+=+++++ Gợi ý : 9)1(516)1(3 24 2 +++++ xx ≥ 2 + 3 = 5 4 + 2x – x2 = 5 – (x – 1)2 ≤ 5 Phương trình vô nghiệm 5.9 Giải phương trình : (x2 – 6x + 11)(y2 + 2y + 4) = 2 + 4z – z2 Gợi ý : [(x – 3)2 + 2][(y + 1)2 + 3] ≥ 2.3 = 6 2 + 4y – z2 = 6 – (z – 2)2 ≤ 6 (x = 3 ; y = –1 ; z = 2) 5.10 1. Tìm tất cả các cặp số (x , y) thỏa phương trình : 10x2 + 5y2 – 2xy – 38x – 60y + 41 = 0 2. Tìm nghiệm dương của phương trình : x(x + 1)2 + y(y + 1)2 = 8xy Hướng dẫn : 1. Gọi (x0 ; y0) là cặp số phải tìm. Viết phương trình dưới dạng bậc hai của x : 10x02 – 2(y0 + 19)2x + (5y02 – 6y0 + 41) = 0 Điều kiện để phương trình có nghiệm : Δ’ ≥ 0 Δ’ = -49y02 + 98y0 – 49 = -49(y0 – 1)2 -49(y0 – 1)2 ≥ 0 ⇔ (y0 – 1)2 ≤ 0 ⇔ (y0 – 1)2 = 0 ⇔ y0 = 1 Tìm được : x0 = 2 Vậy : (x0 = 2 ; y0 = 1) 2. Vận dụng hằng bất đẳng thức : (a + 1)2 ≥ 4a (x + 1)2 ≥ 4x nên x(x + 1)2 ≥ 4x2 46 (y + 1)2 ≥ 4y nên y(y + 1)2 ≥ 4y2 Ta có : x(x + 1)2 + y(y + 1)2 ≥ 4(x2 + y2) Mà : x2 + y2 ≥ 2xy nên x(x + 1)2 + y(y + 1)2 ≥ 8xy Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi : x = y = 1 5.11 Giải phương trình : x + y + z = 2 ( )21 −+−+ zyx Hướng dẫn : x ≥ 0 , y ≥ 1 , z ≥ 2 . Vận dụng bất đẳng thức Cauchy : ⎪⎪⎭ ⎪⎪⎬ ⎫ −≥+− −≥+− ≥+ 1).2(21)2( 1).1(21)1( 1.21 zz yy xx x + y + z ≥ 22122 −+−+ zyx Tìm được : (x = 1 ; y = 2 ; z = 3) 5.12 Giải phương trình : (x2 + 1)(y2 + 2)(z2 + 8) = 32xyz Với x, y, z dương. Hướng dẫn : ⎪⎪⎭ ⎪⎪⎬ ⎫ ≥+ ≥+ ≥+ 8.28 2.22 1.21 22 22 22 zz yy xx ⇒ (x2 + 1)(y2 + 2)(z2 + 8) ≥ 32xyz (x = 1 ; y = 2 ; z = 2 2 ) 5.13 Giải phương trình : 2 2x x 1 x x 1+ + + − + + = x2 – x + 2 Hướng dẫn : Vận dụng bất đẳng thức Cauchy : 2 2x x 1 (x x 1).1+ − = + − ≤ 2x x 1 1 2 + − + 2 2x x 1 ( x x 1).1− + + = − + + ≤ 2x x 1 1 2 − + + + Nên : 2 2x x 1 x x 1+ − + − + + ≤ x + 1 hay x2 – x + 2 ≤ x + 1 ⇔ x2 – 2x + 1 ≤ 0 ⇔ (x – 1)2 ≤ 0 ⇔ (x – 1)2 = 0 ⇔ x = 1 47 5.14 Giải phương trình : x2 + 2x – 1 = 2 )23)(1( 2 −+− xxx Hướng dẫn : Do x2 – x + 1 > 0 nên 3x – 2 ≥ 0 ⇔ x ≥ 3 2 (x2 – x + 1) + (3x – 2) ≥ 2 ( ) )23(12 −+− xxx x2 – x + 1 = 3x – 2 ⇔ x2 – 4x + 3 = 0 ⇔ x = 1 hoặc x = 3 5.15 Giải phương trình : x2 – y2 + 2x + 4y + 1 = 2 )24)(32( 22 −+−++ yyxx Hướng dẫn : Do x2 + 2x + 3 = (x + 1)2 + 2 > 0 nên –y2 + 4y – 2 ≥ 0 (x2 + 2x + 3) + (–y2 + 4y – 2) ≥ 2 )24)(32( 22 −+−++ yyyx x2 + 2x + 3 = – y2 + 4y – 2 ⇔ (x + 1)2 + 2 = 2 – (y – 2)2 (x = –1 ; y = 2) 5.16 Giải phương trình : 3111 4 244 =−+−++ xxx Hướng dẫn : -1 ≤ x ≤ 1 2 111.114 ++≤+=+ xxx 2 111.114 +−≤−=− xxx xxxxx +−=−+=− 1.1)1)(1(1 44 2 ≤ 2 11 xx −++ 4 244 111 xxx −+−++ ≤ xx −+++ 111 ≤ ≤ 3 2 1)1( 2 1)1(1 =+−++++ xx ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ −=+ =− =+ xx x x 11 11 11 ⇔ x = 0 48 5.17 Giải phương trình : 12x2 + 9 = 33 24 )92(25 +xx Hướng dẫn : 5x2 + 5x2 + (2x2 + 9) ≥ 33 222 )92(5.5 +xxx 5x2 = 2x2 + 9 ⇔ x = ± 3 5.18 Giải phương trình : 11642 2 +−=−+− xxxx Hướng dẫn : 2 ≤ x ≤ 4, vận dụng bất đẳng thức Schwartz : ( )242 xx −+− ≤ (12 + 12)(x – 2 + 4 – x) = 4 xx −+− 42 ≤ 2 Mặt khác : x2 – 6x + 11 = (x – 3)2 + 2 ≥ 2 ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ =− −=− 0)3( 42 2x xx ⇔ x = 3 5.19 Giải phương trình : 13662 2 +−=−++ xxxx Gợi ý : –2 ≤ x ≤ 6 ( ) ( )( ) 16621162 222 =−+++≤−++ xxxx 462 ≤−++ xx x2 – 6x + 13 = (x – 3)2 + 4 ≥ 4 ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ =− −=+ 0)3( 1 6 1 2 2x xx ⇔ ⎩⎨ ⎧ = = 3 2 x x ⇔ x ∈ ∅ 5.20 Giải phương trình : x + 3442 22 ++=− yyx Gợi ý : – 22 ≤≤ x (x + 22 x− )2 ≤ (12 + 12)(x2 + 2 – x2) = 4 49 x + 22 x− ≤ 2 4y2 + 4y + 3 = (2y + 1)2 + 2 ≥ 2 (x = 1 ; y = - 2 1 ) 5.21 Giải phương trình : x 3 4 x 1 x 8 6 x 1 1+ − − + + − − = Hướng dẫn : Biến đổi vế trái (x ≥ 1) (x 1) 4 x 1 4 (x 1) 6 x 1 9 1− − − + + − − − + = ⇔ ( ) ( )2 2x 1 2 x 1 3 1− − + − − = ⇔ | x 1 2 | | x 1 3 | 1− − + − − = ⇔ | x 1 2 | | 3 x 1 | 1− − + − − = Vận dụng bất đẳng thức : |A| + |B| ≥ |A + B| (đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi : AB ≥ 0) Ta có : | x 1 2 | | 3 x 1 |− − + − − ≥ | x 1 2 3 x 1 | 1− − + − − = Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi : ( )( )x 1 2 3 x 1− − − − ≥ 0 ⇔ 5 ≤ x ≤ 10 5.22 Giải phương trình : 2 2 2 44 44 x 1 4x x y 2y 3 x 16 y 5− + + + + − − = − − + Hướng dẫn : Điều kiện để phương trình có nghĩa : 2 4 2 2 4 x 0 (1) 1 4x 0 (2) x 16 0 (3) x y 2y 3 0 (4) ⎧ − ≥ + ≥⎪⎨ − ≥ + − − ≥⎪⎩ - Từ (3) : x4 – 16 ≥ 0 ⇔ (x2 + 4)(x2 – 4) ≥ 0 ⇔ x2 – 4 ≥ 0 - Nhưng theo (1) : 4 – x2 ≥ 0 ⇔ x2 – 4 ≤ 0 - Nên : x2 – 4 = 0 ⇔ x = -2 hoặc x = 2 - Theo (2) thì x ≥ - 1 4 , nên ta nhận : x = 2 Ta có : 24 40 9 (y 1) 0 y 5+ + − = − + ⇔ |y – 1| = 2 – y ⇔ y = 3 2 Vậy : (x = 2 ; y = 3 2 ) 50 5.23 Giải hệ phương trình : ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ −=− =+ xyyzx xyz 4121 21 2 2 Hướng dẫn : ⎫≥ ⎪⎪⎬⎪≤ ⎪⎭ 1Do phương trình thứ nhất : xy 4 1Do phương trình thứ hai : xy 4 nên xy = 4 1 ⎪⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ =− =+ = 01 11 4 1 2 2 x z xy ⇔ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ =−=−= === 0z ; ; ; ; 4 11 0 4 11 yx zyx 5.24 Giải hệ phương trình : ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ =+ −=− xyx yxy 2 84 2 2 Hướng dẫn : Do |xy – 4| ≥ 0 nên : 8 – y2 ≥ 0 ⇔ |y| ≤ 2 2 Do xy = x2 + 2 > 0 nên xy = |x|.|y| ≤ |x|.2 2 Suy ra : x2 + 2 ≤ |x|.2 2 ⇔ x2 – 2|x| 2 + 2 ≤ 0 ⇔ (|x| - 2 )2 = 0 ⇔ x = 2 hoặc x = – 2 (x = 2 ; y = 2 2 ) (x = – 2 ; y = –2 2 ) 5.25 Giải hệ phương trình 2 2 2 2 2x y 4x 2y 1 3x 2y 6x 4y 5 ⎧ + − + =⎪⎨ − − − =⎪⎩ Hướng dẫn : 2 2 2 2 2x y 4x 2y 1 3x 2y 6x 4y 5 ⎧ + − + =⎪⎨ − − − =⎪⎩ ⇔ 2 2 2 2 2(x 2x 1) (y 1) 3(x 2x 1) 2(y 1) ⎧ − − = − +⎪⎨ − − = +⎪⎩ Nên : 51 2 2 x 2x 1 0 x 2x 1 0 ⎧ − − ≤⎪⎨ − − ≥⎪⎩ ⇔ x2 – 2x – 1 = 0 Ta có : 2 2 x 2x 1 0 (y 1) 0 ⎧ − − =⎪⎨ + =⎪⎩ ⇔ x 1 2 , y -1 x 1 2 , y 1 ⎡ = + =⎢ = − = −⎢⎣ 5.26 Giải hệ phương trình 2 2 2 2zx y y 1 0 x 2xy 2z 0 x 4yz 2z 0 ⎧ + + + =⎪ + + =⎨⎪ + + =⎩ Hướng dẫn : - Do phương trình thứ nhất : 2zx = -(y2 + y + 1) = - 21 3y 2 4 ⎡ ⎤⎛ ⎞+ +⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦ < 0 Nên : z ≠ 0 x ≠ 0 zx < 0 (1) - Do phương trình thứ hai : x(2y + 1) = -2z2 < 0 (do z ≠ 0) - Do phương trình thứ ba : 2z(2y + 1) = -x2 < 0 (do x ≠ 0) Suy ra : 2zx(2y + 1)2 > 0 mà (2y + 1)2 > 0 nên : zx > 0 (2) Hai điều (1) và (2) mâu thuẫn nhau, vậy hệ phương trình vô nghiệm. 5.27 Giải hệ phương trình : ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ =− =− =− 1 1 1 xz zy yx Hướng dẫn : Ta có : x = y + 1 nên x > 0 , cũng vậy y > 0 , z > 0 Địa vị của x, y, z như nhau, nên giả sử : x ≥ y ≥ z > 0 z = x + 1 ≥ y + 1 = x Vậy z ≥ x Suy ra : x = y = z Tìm được : ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ +=== 2 53zyx 52 5.28 Tìm số nguyên dương n và các số dương x1, x2 ,…, xn thỏa các điều kiện : ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ =+++ =+++ 21...11 2... 21 21 n n xxx xxx Hướng dẫn : 4 = n x x x x x x n n 2 1...11 2 2 1 1 ≥⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ +++⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ++⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ + (do x + 21 ≥ x với x > 0) 2n ≤ 4 ⇔ n ≤ 2 n = 1 ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ = = 21 2 1 1 x x ⇔ x1 ∈ ∅ n = 2 ⎩⎨ ⎧ = =+⇔ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ =+ =+ 1. 2 211 2 21 21 21 21 xx xx xx xx ⇔ x1 = x2 = 2 5.29 Giải hệ phương trình : ⎪⎪ ⎪⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎨ ⎧ =+ =+ =+ x z z z y y y x x 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 Hướng dẫn : Hệ phương trình có nghiệm : (x = 0 ; y = 0 ; z = 0) Ngoài ra hệ cho thấy x>0 ; y>0 ; z>0 : y = x x x x x =≤+ 2 2 1 2 2 2 2 (do1 + x2 ≥ 2x) z ≤ y x ≤ z y ≤ x ≤ z ≤ y Nên x = y = z . Hệ phương trình có hai nghiệm : (x = y = z = 0) (x = y = z = 1) 53 5.30 Giải hệ phương trình : ⎪⎩ ⎪⎨⎧ =++ =++ xyzzyx zyx 444 1 Gợi ý : Vận dụng bất đẳng thức Cauchy : ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ === 3 1zyx 5.31 Giải hệ phương trình : ( )⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ =−+− =−+− xyxyyx xyxyyx 2)1(1 11 Hướng dẫn : x ≥ 1 , y ≥ 1 . Vận dụng bất đẳng thức Cauchy : 22 1)1(1).1( yyy =+−≤− nên 2 11 ≤− y y xyxyyx x x y y ≤−+−⇔≤−+− 11111 (x = y = 2) 5.32 Giải hệ phương trình 2 2 2 | xy | x 9 (2x y) 36 y ⎧ = +⎪⎨ − = −⎪⎩ Hướng dẫn : - Do phương trình thứ nhất : x ≠ 0 ; y ≠ 0 - Vận dụng bất đẳng thức Cauchy : |xy| = x2 + 9 ≥ 22 x .9 hay |x|.|y| ≥ 6|x| ⇔ |y| ≥ 6 (1) - Xét phương trình thứ hai, do (2x – y)2 ≥ 0 ta có : 36 – y2 ≥ 0 ⇔ y2 ≤ 36 ⇔ |y| ≤ 6 (2) - Từ (1) và (2) : |y| = 6 ⇔ y = 6 hoặc y = -6 Nên : (2x – y)2 = 0 ⇔ x = y 2 Vậy : (x = 3 ; y = 6) (x = -3 ; y = -6) 54 5.33 Giải hệ phương trình : ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ = =++ 1 3 3 xyz x z z y y x Hướng dẫn : – Phương trình thứ nhất cho biết x, y, z cùng dấu. – Kết hợp với phương trình thứ hai được : x > 0 ; y > 0 ; z > 0 – Vận dụng bất đẳng thức Cauchy với ba số không âm: (x = y = z = 1) 5.34 Giải hệ phương trình : 3x y 9 3x y 6 ⎧ =⎨ + =⎩ Hướng dẫn : Gọi (x0 ; y0) là nghiệm nếu có của hệ phương trình. - Phương trình thứ nhất cho biết x3 (do đó x0) và y cùng dấu. - Kết hợp với phương trình thứ hai ta có x0 và y0 đều dương - Vận dụng bất đẳng thức Cauchy cho bốn số dương : 3x0 + y0 = x0 + x0 + x0 + y0 ≥ 4 34 0 0x y hay 6 ≥ 4 4 9 ⇔ 3 ≥ 2 3 ⇔ 9 ≥ 12 Bất đẳng thức không đúng, điều này cho thấy hệ phương trình vô nghiệm. 5.35 Tìm tất cả các giá trị của x, y thỏa hệ : ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ ≥+ ≤+ 1 1 35 24 yx yx Hướng dẫn : Từ x4 + y2 ≤ 1 ta có –1 ≤ x ≤ 1 và –1 ≤ y ≤ 1 – Nếu x 1 ( vô lý) – Nếu y 1 (vô lý) – Nếu 0 < x < 1 và 0 < y < 1 thì : 1 ≥ x4 + y2 ≥ x5 + y3 ≥ 1 (vô lý) Vậy : x = 0 hoặc x = 1 (x = 0 ; y = 1) (x = 1 ; y = 0) 55 5.36 1. Tìm tất cả các số dương x, y thỏa hệ : 1 4 3 x y x y 3 ⎧ + ≤⎪⎨⎪ + =⎩ 2. Tìm tất cả các số dương x, y, z thỏa hệ : 1 4 9 3 x y z x y z 12 ⎧ + + =⎪⎨⎪ + + ≤⎩ Hướng dẫn : Vận dụng bất đẳng thức Schwartz : 1. 1 4 (x y) x y ⎛ ⎞+ +⎜ ⎟⎝ ⎠ ≤ 9 32 = ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ ≤ + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ 2 1 2 1 4. x . y (x y) x yx y ≤ 9 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi : x y 1 2 x y 3 ⎧ =⎪⎨⎪ + =⎩ ⇔ (x = 1 ; y = 2) 2. 1 4 9 (x y z) x y z ⎛ ⎞+ + + +⎜ ⎟⎝ ⎠ ≤ 36 62 = 2 1 2 3. x . y z x y z ⎛ ⎞+ +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ≤ 1 4 9 (x y z) x y z ⎛ ⎞+ + + +⎜ ⎟⎝ ⎠ ≤ 36 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi : x y z 1 2 3 x y z 12 ⎧ = =⎪⎨⎪ + + =⎩ ⇔ (x = 2 ; y = 4 ; z = 6) 56 6. VÀI BẤT ĐẲNG THỨC TRONG HÌNH HỌC PHẲNG A. BẤT ĐẲNG THỨC TRONG TAM GIÁC – QUY TẮC BA ĐIỂM. 1. Trong tam giác ABC ta có: • AC - AB < BC < AB + AC • ∧ABC ≥ ∧ACB ⇔ AC ≥ AB 2. Hai tam giác ABC và A/B/C/mà có: AB = A/B/ và AC = A/C/ thì : BC < B/C/ ⇔ ∧ A < ∧ A / 3. Với ba điểm A, B, C ta luôn có : AB + BC ≥ AC 6.1 Cho tam giác ABC và điểm M thuộc miền trong tam giác này. Chứng minh rằng : 1. MB + MC < AB + AC 2. MA + MB + MC < AB + BC +AC < 2(MA + MB + MC) 6.2 1. Cho tứ giác ABCD có M và N lần lượt là trung điểm các cạnh đối AB và CD. Chứng minh : MN ≤ 2 BC AD + 2. Cho tứ giác ABCD có cạnh AB bằng đường chéo AC. Chứng minh rằng cạnh BC nhỏ hơn đường chéo BD. 6.3 Cho tứ giác ABCD có : AB + BD ≤ AC + CD Chứng minh : AB < AC 6.4 Cho tam giác ABC với điểm M thuộc cạnh BC (M khác B và C). Chứng minh bất đẳng thức : MA . BC < MB . CA + MC . AB Hướng dẫn Từ M kẻ đường thẳng song song với AB cắt AC ở N : MN MC MC.AB NA MB MB.CAMN NA AB BC BC CA BC BC = ⇒ = = ⇒ = 57 Vận dụng bất đẳng thức trong tam giác đối tam giác AMN. MA < MN + NA hay MA < BC CA.MB BC AB.MC + … 6.5 Cho tam giác ABC : phân giác các góc A, B, C lần lượt cắt các cạnh BC, AC, AB tại D, E, F. Chứng minh : CF 1 BE 1 AD 1 AC 1 BC 1 AB 1 ++<++ Hướng dẫn. Qua B kẻ đường thẳng song song với AD cắt AC ở E : AE = AB Đối với tam giác cân ABE : BE < AB + AE hay BE < 2AB Đối với tam giác BCE (do AD // BF) CE CA BE AD = mà CE = AE + AC = AB + AC AC AC)(ABAD BE AC AB CA BE AD +=⇒+= mà BE < 2AB 2AC 1 2AB 1 AD 1 +> … 6.6 Cho tam giác ABC có cạnh BC lớn nhất. Trên tia đối của tia CB lấy CD = CA. Chứng minh góc BAD là góc tù. 6.7 Cho tam giác ABC với trung tuyến AM 1. Chứng minh rằng : – Nếu BC < 2MA thì góc A là góc nhọn. – Nếu BC = 2MA thì góc A là góc vuông. – Nếu BC > 2MA thì góc A là góc tù. 2. Phát biểu và chứng minh phần đảo. 6.8 Cho hình thang ABCD (AB // BD) có : ∧>∧ BCDADC Chứng minh : AC > BD Lược giải Trên cạnh DC lấy điểm E sao cho ABED là hình thang cân: AE = BD (đường chéo hình thang cân). Đối với tam giác ADE thì ∧ AEC là góc ngoài: ∧>∧ ADEAEC (hay ∧ADC ) (1) Theo giả thiết : ∧>∧ BCDADC (2) 58 Mặt khác tia CA nằm giữa hai tia CB và CD nên : ∧>∧ ACEBCD (3) Từ (1), (2), (3) ta có : ∧>∧ ACEAEC Nên đối với tam giác ACE : AC > AE mà AE = BD nên AC > BD. 6.9 Cho tam giác ABC (AB < AC) với các phân giác BD và CE của các góc B và C. Trong tam giác ABD kẻ tia AF (F thuộc AC) sao cho ∧=∧ ACEDBF . Gọi G là giao điểm của BF và CE . 1. Chứng minh : CG BD CF BF = 2. Chứng minh : BD < CE 6.10 Cho tam giác ABC (AB < AC) với trung tuyến AM, lấy điểm D thuộc đoạn thẳng AM . Chứng minh : 1. ∧>∧ AMCAMB 2. ∧>∧ DCBDBC . Hướng dẫn 1. Xét hai tam giác MAB và MAC , do : MA chung, MB = MC, AB < AC nên : ∧>∧ AMCAMB . 2. Xét hai tam giác MDB và MDC, do : MD chung MB = MC ∧>∧ DMCDMB nên : DB < DC Trong tam giác DBC, do : DB ∧ DCMDBM hay ∧>∧ DCBDBC 6.11 Cho tam giác cân ABC (AB =AC). Trên tia đối của tia BA lấy điểm M và trên cạnh CA lấy điểm N sao cho BM = CN . So sánh chu vi hai tam giác AMN và ABC. Nhận xét ? 6.12 1. Cho hình bính hành ABCD có góc A tù. Kẻ hai đường chéo AC và BD . Chứng minh : AC < BD 2. Cho tứ giác MNPQ có ba góc M, N,Q tù. Kẻ hai đường chéo MP và NQ . Chứng minh : MP > NQ 59 B. ĐƯỜNG VUÔNG GÓC VÀ ĐƯỜNG XIÊN . Từ điểm M ở ngoài đường thẳng (d) kẻ đường thẳng vuông góc MH và các đường xiên MA, MB (các điểm H, A, B thuộc (d)) thì : • Đường vuông góc là đường ngắn nhất : MA ≥ MH • Trong hai đường xiên : đường lớn hơn (hay bằng) đường kia khi và chỉ khi nó có hình chiếu trên (d) lớn hay (hay bằng) hình chiếu của đường kia . MA ≥ MB ⇔ HA ≥ HB • Trong tam giác vuông cạnh huyền lớn hơn mỗi cạnh góc vuông . 6.13 Cho tam giác ABC vuông góc tại A có cạnh huyền BC = 2. Kẻ ba trung tuyến AM, BN, CP. Chứng minh : 4 < AM + BN + CP < 5 6.14 Cho tam giác ABC vuông góc tại A với đường cao AH. Trên cạnh huyền BC lấy điểm M sao cho CM = CA. Trên cạnh AB lấy điểm N sao cho AN = AH 1. Chứng minh MN vuông góc với AB. 2. Suy ra rằng : Trong tam giác vuông tổng độ dài hai cạnh của góc vuông nhỏ hơn tổng độ dài cạnh huyền và đường cao tương ứng. 6.15 Cho tam giác ABC vuông góc tại A (AB ≤ AC). Phân giác của góc A cắt cạnh BC tại D. Kẻ BH và CK vuông góc với đường thẳng AD tại H và K. Chứng minh : 2AD ≤ BH + CK ≤ BC 6.16 Cho tam giác ABC có ba góc nhọn có trực tâm H. Chứng minh : 1. AB + AC > HA + HB + HC 2. 2(AB + BC + AC) > 3 (HA + HB + HC) Hướng dẫn 1. Qua H kẻ đường thẳng song song với AB cắt AC tại M và đường thẳng song song với AC cắt AB tại N. HM ⊥ HC HN ⊥ HB Do tính chất đường vuông góc và đường xiên : 60 MC > HC (1) NB > HB (2) Đối với tam giác AMH : AM + MH > HA (3) Từ (1), (2), (3) : MC + NB + AM + MH > HC + HB + HA mà MH = AN Nên : (AN + NB) + (AM + MC) > HA + HB + HC AB +AC > HA + HB + HC (4) 2. Tương tự : AC + BC > HA + HB + HC (5) BC + AB > HA + HB + HC (6) Nên : 2(AB + BC + AC) > 3(HA + HB + HC) 6.17 Cho hình vuông ABCD có độ dài đường chéo là 1. Trên các cạnh AB, BC, CD, DA lấy lần lượt các điểm E, F, G, H. Kẻ EI vuông góc với BD tại I và EK vuông góc với AC tại K. 1. Gọi O là giao điểm của AC và BD, chứng minh tứ giác EIOK là hình chữ nhật, tính chu vi hình này. 2. Chứng minh chu vi tứ giác EFGH không nhỏ hơn 2. 6.18 Cho hai đường tròn (O ; R) và (O/ ; r) cắt nhau tại A và B với R ≠ r. Kẻ tiếp tuyến chung CD: C thuộc (O ; R) và D thuộc (O/ ; r). Gọi I là giao điểm của AB và CD, qua C kẻ đường thẳng song song với AD và qua D kẻ đường thẳng song song với AC chúng cắt nhau tại E. 1. Chứng minh ba điểm A, B, E thẳng hàng. 2. Chứng minh : BE > R + r Hướng dẫn 1. Hai tam giác đồng dạng IAC và ICB cho : IC2 = IA . IB Hai tam giác đồng dạng IAD và IDB cho : ID2 = IA . IB Từ đó I là trung điểm của CD. Hai đường chéo của hình bình hành ACED cắt nhau tại trung điểm mỗi đường nghĩa là tại I. Đường thẳng AB cũng qua I, vậy ba điểm A, B, E thẳng hàng. 2. Gọi H là giao điểm của AB và OO/ và gọi M là trung điểm của OO/ Ta có : AB ⊥ OO/ (tại I) AB = 2AH MI là đường trung bình của hình thang OCDO/: IM = 2 r R 2 DO OC / +=+ Ta có : BE = BA + AE = 2(HA + AI) = 2HI 61 Mà theo tính chất đường vuông góc và đường xiên : HI ≤ IM Nên : BE = 2HI ≤ 2 IM = R + r Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi H trùng M nghĩa là R =r, điều này trái với giả thiết . Vậy : BE < R + r 6.19 Cho tam giác ABC vuông tại A. Đường tròn tâm O và đường kính AB và đường tròn tâm O/ đường kính AC còn cắt nhau tại D. Gọi M là điểm chính giữa của cung nhỏ CD, tia AM cắt cung AD của đường tròn tâm O tại N. 1. Chứng minh ba điểm O, O/, N thẳng hàng 2. Chứng minh : 2 / 2 2 1 1 1 OA O A AN + ≥ C. BẤT ĐẲNG THỨC TRONG ĐƯỜNG TRÒN . Cho đường tròn tâm O đường kính AB với hai dây cung MN và PQ. Kẻ OH vuông góc với MN (tại H) và OI vuông góc với PQ (tại I). • Đường kính AB là dây cung lớn nhất. • Đối với hai dây không bằng nhau, dây lớn hơn khi và chỉ khi có khoảng cách đến tâm nhỏ hơn : MN > PQ ⇔ OH < OI • Đối với hai cung nhỏ : cung lớn hơn khi và chỉ khi dây căng cung đó lớn hơn : q pPQMN > ⇔ : MN > PQ 6.20 Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB với hai dây cung AC và AD của nửa đường tròn này. Từ điểm M bất kì trên nửa đường tròn kẻ MH vuông góc với AC tại H và MK vuông góc với AD tại K. Chứng minh : HK ≤ AB 6.21 Cho đường tròn tâm O và điểm M thuộc miền trong đường tròn này. Qua M kẻ dây AB vuông góc với OM và dây CD bất kì. Kẻ bán kính OP qua M và bán kính OQ vuông góc với CD tại H. Chứng minh : 1. AB < CD 2. MP < HQ 3. AP < CQ 62 6.22 Cho đường tròn tâm O với hai dây AB và CD : AB > CD. Biết rằng hai đường thẳng AB và CD cắt nhau tại điểm M ở miền ngoài đường tròn. Gọi H và K lần lược là trung điểm các dây AB và CD. 1. Chứng minh : n nOMH OMK< 2. Chứng minh : MH > MK 6.23 Trên dây cung AB của đường tròn tâm O có hai điểm C và D chia dây này thành ba phần bằng nhau : AC = CD = DB. Kẻ các bán kính OE qua C và OF qua D 1. Chứng minh : p pAE BF= 2. Chứng minh : AE < EF 6.24 Cho đường tròn tâm O và điểm A ở ngoài đường tròn này. Kẻ hai cát tuyến ABC và ADE sao cho BC > DE và hai tiếp tuyến AF và AG (F và G là hai tiếp điểm) biết rằng hai điểm B và F ở trong cùng một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng OA. Đường tròn tâm O bán kính OA còn cắt hai cát tuyến ABC và ADE lần lượt tại M và N, cắt hai cát tuyến AF và AG tại P và Q. 1. So sánh độ dài hai đoạn thẳng : AP và AQ, AM và AN. 2. So sánh hai góc MAP và NAQ. Lược giải. 1. OF ⊥ AP (tại F);OG ⊥ AQ (tạiG) mà OF = OG nên : AP = AQ. Kẻ OH ⊥ BC (tại H); OK ⊥ DE (tại K) mà BC > DE ( giả thiết) nên: OH AN 2. Do tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau: : ∧<∧ OAQOAP (1) Hai tam giác OAM và OAN có : OA chung; OM = ON; AM > AN nên : ∧∧ > AONAOM Đối với các tam giác cân OAM và OAN do ∧∧ > AONAOM , nên : OAM OAN∧ ∧< (2) Từ (1) và (2) : ∧∧ −OAMOAP ∧−∧< OAN OAQ hay : ∧∧ > NAQMAP 63 6.25 Cho hình vuông ABCD có hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O. Gọi E, F, G lần lượt là trung điểm của CD, OB, OD. 1. Chứng minh hai tam giác OAF và GFE bằng nhau. 2. Chứng minh bốn điểm A, D, E, F thuộc cùng một đường tròn , suy ra AE > DF D. VẬN DỤNG CÁC BẤT ĐẲNG THỨC ĐẠI SỐ Đối với các bất đẳng thức hình học , trong nhiều trường hợp ngoài việc sử dụng các tính chất của bất đẳng thức đại số ta còn có thể dùng các bất đẳng thức đại số quen thuộc kết hợp với các kiến thức hình học để chứng minh. Khi cần vận dụng một bất đẳng thức có dạng lạ, nhất thiết phải chứng minh lại xem như một bổ đề. 6.26 Cho hai hình chữ nhật có chu vi bằng nhau. – Hình thứ nhất có kích thước hai cạnh là a và b (với a > b). – Hình thứ hai có kích thước hai cạnh là c và d (với c > b). Biết rằng : a – b > c – d. Chứng minh diện tích hình thứ nhất nhỏ hơn diện tích hình thứ hai. 6.27 1. Chứng minh bất đẳng thức : 3(x2 + y2 + z2) ≥ (x + y + z)2 2. Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh là : BC = a, CA = b, AB = c. Gọi p là nưả chu vi tam giác, chứng minh : 3pcpbp ap ≤−+−+− 6.28 Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh là a, b, c (với a ≥ b ≥ c). Gọi ha , hb , hc lần lượt là ba chiều cao tương ứng với ba cạnh này. Chứng minh : ch ah bh ch ah bh ah ch ch bh bh ah ++≥++ 6.29 Cho tam giác ABC có diện tích S : độ dài ba cạnh là BC = a, CA = b, AB = c; độ dài ba đường cao tương ứng với ba cạnh a, b, c lần lượt là ha , hb , hc. Gọi ra, rb, rc lần lượt là bán kính các đường tròn bàng tiếp trong các góc A, B, C. Chứng minh : ra + rb + rc ≥ ha + hb + hc 64 Gợi ý : Vận dụng bất đẳng thức : ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ++≥−+−+− c 1 b 1 a 12 cp 1 bp 1 ap 1 đã được chứng minh ở bài tập 1.32. 6.30 1. Chứng minh diện tích một tam giác không lớn hơn nửa tích số đo hai cạnh. 2. Cho hình chữ nhật ABCD có diện tích S. Gọi M là một điểm ở miền trong hình chữ nhật này. Chứng minh : S ≤ MA . MC + MB . MD Hướng dẫn 2. Lấy điểm N ở miền ngoài hình chữ nhật ABCD sao cho : NC = MA, ND = MB. Hai tam giác NCD và MAB bằng nhau nên : S (NCD) = S (MAB). Ta có : S = 2 ( ) ( )[ ]MABSMCDS + = 2 ( ) ( )[ ]NCDSMCDS + = 2 S(CMDN) = 2 ( ) ( )[ ]DMNSCMNS + . Trong đó : S (CMN) ≤ 2 1 NC . MC = 2 1 MA . MC S (DMN) ≤ 2 1 ND .MD = 2 1 MB . MD Nên : S ≤ 2 ( 2 1 MA . MC + 2 1 MB . MD) hay S ≤ MA . MC + MB . MD 6.31 Cho tam giác ABC vuông góc tại A với đường cao AH. Trên cạnh AB lấy điểm M và trên cạnh AC lấy điểm N sao cho : AM = AN = AH. Đường thẳng MN cắt tia phân giác của các góc BAH và HAC lần lượt tại O và O/. Gọi S và S1 lần lượt là diện tích các tam giác ABC và AMN 1. Chứng minh O và O/ lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp các tam giác ABH và HAC. 2. Chứng minh : S ≥ 2S1. 6.32 Cho tam giác ABC vuông góc tại A : BC = a, CA = b, AB = c với đường cao AH = h. Gọi R và r lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp tam giác ABC. 1. Chứng minh : b + c = 2 (R + r) và r 2 1 a 2 −≤ 65 2. Chứng minh : 2 1 h r 5 2 <≤ 6.33 Cho tam giác đều ABC : trên cạnh BC lấy điểm D, trên cạnh CA lấy điểm E và trên cạnh AB lấy điểm F (F khác A) sao cho : ∧ DFE = 600. Chứng minh : AE . BD ≤ 4 AB2 . Đẳng thức xẩy ra khi nào ? 6.34 Cho đường tròn tâm I bán kinh r nội tiếp tam giác ABC. Chứng minh bất đẳng thức : IA + IB +IC ≥ 6r 6.35 Cho một hình vuông và một tam giác có diện tích bằng nhau. Hình nào có chu vi lớn hơn ? Hướng dẫn Gọi x là cạnh hình vuông ; a, b, c là độ dài ba cạnh tam giác và h là độ dài đường cao tương ứng với cạnh a. Diện tích hai hình lần lượt là : S = x2 S = 2 1 ah Do tính chất đường vuông góc và đường xiên : b ≥ h c ≥ h Nên: b + c > 2h (do hai đẳng thức b=h và c=h không đồng thời xẩy ra) Ta có : a+ b + c > a + 2h Vận dụng bất đẳng thức Cauchy với hai số dương a và 2h a + 2h ≥ S44S2a.2h2 == = 4x Suy ra : a+ b + c > 4x 6.36 Chứng minh rằng trong tam giác ABC : sin 2 A ≤ AB.AC2 BC 6.37 Cho đường tròn tâm O với hai dường kính vuông góc AB và CD. Lấy điểm M bất kì trên cung AC, nối MD cắt AB ở E ; nối MB cắt CD ở F. 1. Chứng minh : hai tam giác AED và MAD đồng dạng ; cũng vậy đối với hai tam giác OED và MCD. 2. Chứng minh : 2 CF OF AE OE ≥+ 66 6.38 Cho tam giác ABC có diện tích S. Gọi M là một điểm ở trong tam giác này. Qua M kẻ ba đường thẳng: đường thứ nhất song song với AB cắt BC ở D và cắt CA ở E, đường thứ hai song song với BC cắt AB ở F và cắt CA ở G, đường thứ ba song song với CA cắt AB ở H và cắt BC ở I. Gọi S1, S2, S3 lần lượt là diện tích các tam giác MGE, MHF và MDI. Chứng minh : 1. S = ( )2321 SSS ++ 2. S ≤ 3(S1 + S2 + S3) Hướng dẫn 1. Các tứ giác MEAH, MFBD, MICG đều là hình bình hành. Hai tam giác đồng dạng MEG và ABC cho : 2 11 SS EG EG (1) S AC ACS ⎛ ⎞= ⇒ =⎜ ⎟⎝ ⎠ Tương tự : 2S HM (2) ACS = AC GC S S3 = (3) Từ (1), (2), (3) : 1 AC AC AC GC AC AE AC EG S S S S S S 321 ==++=++ Nên : SSSS 321 =++ hay S = ( )2321 SSS ++ 2. Vận dụng bất đẳng thức Schwartz : S = ( )2321 SSS ++ ≤ (12+ 12+12) (S1 + S2 + S3) Hay : S ≤ 3(S1 + S2 + S3) 67 7. VÀI BÀI TOÁN TÌM CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC. 1. Bài toán tìm cực trị trong hình học. Xét tập hợp các hình có chung một tính chất, ta phải tìm một hình mà một đại lượng nào đó của hình này (độ dài đoạn thẳng, số đo góc, số đo diện tích…) đạt một giá trị nhỏ nhất hay lớn nhất. Bài toán như vậy được gọi là bài toán tìm cực trị trong hình học. 2. Cách giải Ta thường giải theo một trong hai hướng sau đây : A. Cách 1 Thay điều kiện của đại lượng cần tìm cực trị bằng các điều kiện tương đương khác. Từ đó đi đến việc xác định vị trí của các điểm tại đó đại lượng đạt cực trị (điều kiện xẩy ra đẳng thức). B. Cách 2 Chỉ ra một hình trong tập hợp các hình rồi chứng minh mỗi hình khác trong tập hợp này có yếu tố nhỏ hơn hay lớn hơn yếu tố tương ứng của hình đã được chỉ ra. C. Ghi chú Trong nhiều bài toán tìm cực trị trong hình học. – Ta còn dùng các kiến thức về đại số hay về diện tích. – Cũng có khi ta thay việc tìm giá trị lớn nhất của đại lượng này bằng việc tìm giá trị nhỏ nhất của một đại lượng khác hay ngược lại. 7.1 Coi tập hợp các tam giác ABC vuông góc tại A có tổng độ dài hai cạnh góc vuông : AB + AC = k là một hằng số. Tìm tam giác có chu vi nhỏ nhất ? Lược giải Chu vi tam giác ABC : AB + AC + BC Trong đó AB + AC = k (hằng) nên chu vi tam giác ABC nhỏ nhất khi và chỉ khi cạnh huyền BC nhỏ nhất Đặt AB = 2 k + x thì AC = 2 k – x, vận dụng định lí Pitago : 68 BC2 = AB2 + AC2 = ( 2 k + x)2 + ( 2 k – x)2 = 2 k 2 + 2x2 ≥ 2 k 2 Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi : x = 0 nghĩa là AB + AC = 2 k Vậy trong tập hợp các tam giác ABC vuông góc tại A có tổng độ dài hai cạnh góc vuông là hằng số thì tam giác vuông cân có chu vi nhỏ nhất. 7.2 Cho góc nhọn xOy và điểm M thuộc miền trong góc này. Một đường thẳng (d) qua M cắt các tia Ox, Oy lần lượt tại A và B. Xác định vị trí của (d) để : MB 1 MA 1 + đạt giá trị lớn nhất. Lược giải Qua O kẻ đường thẳng song song với đường thẳng (d) và qua M kẻ đường thẳng song song với Ox. Chúng cắt nhau tại N, tứ giác OBMN là hình bình hành nên : ON = MB. Gọi I là giao điểm của MN và Oy. Do M là điểm cố định và MN song song với Ox nên I là điểm cố định. Qua I kẻ đường thẳng song song với (d) cắt OM tại J. Vận dụng hệ quả của định lí Talet đối với các tam giác OMA và OMN : IJ // AM OM OJ MA JI = (1) IJ // NO OM MJ ON JI = mà ON = MB Nên : OM MI MB JI = (2) Từ (1), (2): IJ 1 OM OM OM MJOJ MB 1 MA 1 ==+=+ ⎟⎟⎠ ⎞⎜⎜⎝ ⎛ IJ 1 MB 1 MA 1 =+⇒ Vậy MB 1 MA 1 + đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi IJ 1 lớn nhất ⇔ IJ nhỏ nhất . Do ∧ xOy < 902 nên yOM ∧ < 900 và điểm I cố định, OM cố định nên : IJ nhỏ nhất ⇔ IJ ⊥ OM ⇔ (d) ⊥ OM 7.3 Cho đường tròn (O ; r) nội tiếp tam giác ABC. Đường thẳng (d) qua O cắt các cạnh AB và AC lần lượt tại M và N. Xác định vị trí của (d) để tam giác AMN có diện tích nhỏ nhất. 69 Lược giải Qua O kẻ đường thẳng (d/) vuông góc với OA cắt AB và AC lần lượt tại M/ và N/. Tam giác AM/N/ cân tại A (do có AO vừa là đường cao vừa là phân giác của góc A) cho ta : AM/ = AN/ và có diện tích không đổi. Không mất tính tổng quát, giả sử : AM ≥ AM/ = AN/ ≥ AN. Do AO là đường phân giác của góc BAC nên : AN AM ON OM = Mà : AM ≥ AN nên : OM ≥ ON Vậy có một điểm D thuộc đoạn thẳng OM để OD = ON. Hai tam giác ODM/ và ONN/ có : ∧∧ = // NONDOM (góc đối đỉnh); OD = ON; OM/ =ON/ Chúng bằng nhau, nên có diện tích bằng nhau, suy ra : S (OMM/) ≥ S (ONN/) S (AMN) ≥ S (AN/M/) (= không đổi) Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi : OM = ON, tam giác AMN cân tại A nên trung tuyến AO cũng là đường cao, hay đường thẳng (d) vuông góc với OA tại O. A. VẬN DỤNG QUY TẮC BA ĐIỂM • Dối với ba điểm A, B, C bất kì ta có : AB + BC ≥ AC Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi B nằm giữa A và C 7.4 Cho đường thẳng (d) và hai điểm A và B không thuộc (d) và cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ là (d). Xác định điểm M thuộc (d) sao cho MA + MB đạt giá trị nhỏ nhất. 7.5 Cho tứ giác ABCD và điểm M thuộc miền trong tứ giác này. Xác định vị trí của M để tổng : MA + MB + MC + MD đạt giá trị nhỏ nhất ? 7.6 Cho đường tròn (O) và điểm M ở ngoài đường tròn này. Đường thẳng qua M và O cắt (O) tại A và B (A nằm giữa M và O). 70 1. Chứng minh MA là khoảng cách nhỏ nhất nối M với một điểm bất kì của (O). 2. Chứng minh MB là khoảng cách lớn nhất nối M với một điểm bất kì của (O). 7.7 Cho tam giác ABC vuông góc tại A với đường cao AH. Coi góc vuông xHy : tia Hx cắt cạnh AB tại D và tia Hy cắt cạnh AC tại E. Xác định vị trí của D và E để DE có độ dài nhỏ nhất. 7.8 Cho đường tròn tâm O đường kính AB và điểm C cố định nằm giữa O và A. Điểm M di động trên đường tròn. Xác định vị trí của M để độ dài CM lớn nhất ? nhỏ nhất ? Hướng dẫn CM ≤ OC + OM = OC + OB = BC (hằng) Nên CM lớn nhất khi O thuộc CM nghĩa là M trùng B. Mặt khác : CM ≥ OM – OC = OA – OC = AC(hằng) Nên CM nhỏ nhất khi M trùng A. 7.9 Trong các tứ giác ABCD có : – Độ dài hai đường chéo AC và BD không đổi. – Góc lập bởi hai đường chéo có số đo không đổi. Hỏi tứ giác nào có chu vi nhỏ nhất ? Lược giải Dựng các hình bình hành ADBE và BDCF AE // BD AE = BD CF // BD CF = BD thì tứ giác AEFC là hình bình hành Chu vi tứ giác ABCD: AB + BC + CD + DA = (AB + CD) + (BC + DA) Mà CD = BF và DA = BE (cạnh đối hình bình hành) Nên : Chu vi (ABCD) = (AB + BF) + (CB + BE) Chu vi (ABCD) ≥ AF + CE Chu vi tứ giác ABCD nhỏ nhất khi điểm B thuộc đoạn thẳng AF và cũng thuộc đoạn thẳng CE, nên : CD // AB AD // BC Vậy tứ giác ABCD là hình bình hành. 71 B. VẬN DỤNG ĐƯỜNG VUÔNG GÓC VÀ ĐƯỜNG XIÊN Từ điểm M không thuộc đường thẳng (d) kẻ đường vuông góc MH và các đường xiên MA, MB với (d) (các điểm H, A, B thuộc (d)) thì : 1. MA ≥ MH. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi A trùng H. 2. MA ≥ MB ⇔ HA ≥ HB 7.10 Cho tam giác ABC vuông góc tại A với đường cao AH. Coi điểm M thuộc cạnh huyền BC, kẻ MD và ME lần lượt vuông góc với AB và AC tại D và E. Định vị trí của M để đoạn thẳng DE có độ dài nhỏ nhất. 7.11 Cho tam giác ABC có ba góc nhọn với điểm M thuộc cạnh BC, kẻ MD và ME lần lượt vuông góc với AB và AC tại D và E. Xác định vị trí của M để đoạn thẳng DE có độ dài nhỏ nhất? Hướng dẫn Gọi O là trung điểm của AM, do tính chất trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông : OA = OD = OM = OE (= ) 2 AM Tam giác cân ODE (OD = OE) có : ∧∧∧ += MOEDOMDOE = 2 ( ∧∧ +OAEDAO ) = 2 ∧BAC (hằng) Kẻ OI vuông góc với DE (tại I): ∧∧ = BACDOI DE = 2DI. Kẻ đường cao AH của tam giác ABC : AM ≥ AH DE = 2DI = 2OD.sin ∧ DOI = AM sin ∧ BAC ≥ AH sin ∧BAC (hằng) Đằng thức xẩy ra khi và chỉ khi điểm M trùng điểm H. Vậy đoạn thẳng DE có độ dài nhỏ nhất khi điểm M trùng chân H của đường vuông góc kẻ từ A đến BC. 7.12 Cho tam giác ABC có tâm O, coi đường thẳng (d) qua O. Kẻ AD, BE, CF lần lượt vuông góc với (d) tại D, E, F. Xác định vị trí của (d) để tổng : AD + BE + CF đạt giá trị lớn nhất. 72 7.13 Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và điểm M ở miền trong tam giác này. 1. Chứng minh : BC.MA ≥ 2 [diện tích (MAB) + diện tích (MCA)]. 2. Xác định vị trí của M để biểu thức sau đây đạt giá trị nhỏ nhất. MA.BC + MB.CA + MC.AB 7.14 Cho đường tròn (O; R) và đường thẳng (d) ở ngoài đường tròn này. Lấy điểm M bất kì trên (d), kẻ hai tiếp tuyến MA, MB (A, B là hai tiếp điểm). Xác định vị trí của M để bán kính đường tròn nội tiếp tam giác MAB đạt giá trị nhỏ nhất. Hướng dẫn Gọi I và H là giao điểm của MO với cung nhỏ AB và dây AB, dễ thấy I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác MAB và IH là bán kính đường tròn này. IH = OI – OH = R – OH. Do hệ thức lượng trong tam giác vuông OMA : OA2= OM.OH ⇒ OH = OM R OM OA 22 = nên IH = R – OM R 2 Kẻ OC vuông góc với (d) tại C, do tính chất đường vuông góc và đường xiên : OM ≥ OC (hằng ) IH nhỏ nhất khi và chỉ khi OM R 2 lớn nhất ⇔ OM nhỏ nhất nghĩa là M trùng C. Vậy bán kính đường tròn nội tíep tam giác MAB nhỏ nhất khi M là chân đường thẳng vuông góc kẻ từ O đến đường thẳng (d). C. VẬN DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC TRONG ĐƯỜNG TRÒN 1. Cho đường tròn (O) đường kính AB và dây cung MN, do đường kính là dây cung lớn nhất, ta luôn có : MN ≤ AB 2. Trong đường tròn (O) coi hai dây cung AB và CD, gọi H và K lần lượt là trung điểm của hai dây này thì : AB ≤ CD ⇔ OH ≥ OK. 73 7.15 Cho đường tròn tâm O và điểm A ở miền trong đường tròn này (A khác O). Một đường thẳng (d) qua A cắt đường tròn tại M và N, gọi H là trung điểm của MN. 1. Chứng minh điểm H thuộc một đường tròn xác định. 2. Xác định vị trí của (d) để độ dài dây cung MN lớn nhất ? nhỏ nhất ? 7.16 Cho đường tròn (O,R)với dây cung AB cố định không qua O. Xác định vị trí điểm M trên cung lớn AB để chu vi tam giác MAB lớn nhất . Hướng dẫn Trên tia đới của tia MA lấy MC = MB. Tam giác cân MBC cho ∧ ACB= 2 AMB ∧ (hằng) Mà AB cố định nên C thuộc cung chứa góc có số đo bằng 4 1 số đo pAB của đường tròn (O ; R) dựng trên đoạn thẳng AB. Chu vi tam giác MAB : MA + MB + AB mà độ dài AB không đổi, nên chu vi tam giác MAB lớn nhất khi và chỉ khi : (MA +MB) lớn nhất ⇔ AC lớn nhất. Nghĩa là AC là đường kính của cung chứa góc nói trên ⇔ ∧ABC= 900. Trong điều kiện đó : A C∧ ∧+ = 900 và 1 2B B ∧ ∧+ = 900 mà ∧=∧ 2BC . Nên : 1BA ∧=∧ ⇔ p qMA MB= Vậy chu vi tam giác MAB lớn nhất khi M có vị trí, M0 là điểm chính giữa của cung lớn AB. 7.17 Cho đường tròn (O; R) và điểm I ở miền trong đường tròn này (I khác O). Tìm trên đường tròn một điểm M sao cho góc IMO có số đo lớn nhất. 7.18 Cho tam giác ABC vuông góc tại A với điểm M thuộc cạnh AC. Gọi N là điểm đối xứng của M qua A và P là điểm đối xứng của M qua đường thẳng BC. Xác định vị trí của điểm M để đường tròn ngoại tiếp tứ giác BNCP có bán kính nhỏ nhất. 7.19 Cho hai đường tròn (O) và (O/) cắt nhau tại A và B (tâm O và O/ ở hai nửa mặt phẳng phân biệt, bờ là đường thẳng AB. Một đường thẳng (d) qua B cắt (O) tại 74 M và cắt (O/) tại N (B nằm giữa M va N). Xác định vị trí của (d) để bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN có độ dài lớn nhất. 7.20 Cho tam giác đều ABC nội tiếp trong đường tròn (O ; R). Lấy điểm M trên cung nhỏ BC : kẻ MH , MI, MK lần lượt vuông góc với BC, CA, AB tại H, I, K. Xác định vị trí của M để : Σ = MA + MB + MC + MH + MI + MK có giá trị nhỏ nhất ? có giá trị lớn nhất ? Hướng dẫn : Gọi a là độ dài cạnh tam giác đều ABC, đặt : Σ1 = MA + MB + MC Σ2 = MH + MI + MK Trên dây MA lấy MD = MB, chứng minh : - Tam giác MBD đều để có : BD = MB - Hai tam giác MBC và DBA bằng nhau để có : MC = DA Nên : Σ1 = MA + MB + MC = 2MA Mặt khác : MH = 2S( MBC) a Δ MI = 2S( MCA) a Δ MK = 2S( MAB) a Δ Σ2 = 2a [S(ΔABC) + 2S(ΔMBC)] Ta có : Σ nhỏ nhất khi M trùng B (hoặc C) lúc đó cả Σ1 và Σ2 đều nhỏ nhất và Σ lớn nhất khi M trùng M0 (M0 là điểm chính giữa của cung nhỏ BC) lúc đó cả Σ1 và Σ2 đều lớn nhất. D. VẬN DỤNG CÁC BẤT ĐẲNG THỨC ĐẠI SỐ Để vận dụng được các bất đẳng thức đại số ta thường đặt một (hay nhiều) đại lượng hình học (độ dài đoạn thẳng, số đo góc, tỉ số lượng giác một góc, diện tích một hình …) làm biến. Biểu thị đại lượng cần tìm giá trị nhỏ nhất hay lớn nhất bằng một biểu thức của biến (hay những biến) này rồi sử dụng bất đẳng thức đại số thích hợp để tìm điều kiện mà biểu thức đó đạt cực trị. 75 7.21 Cho tam giác ABC có diện tích S. Trên cạnh BC, CA, AB lấy lần lượt các đoạn thẳng : BD = k.BC, CE = k.CA, AF = k.AB 1. Tính diện tích tam giác DEF theo S và k 2. Định k để diện tích tam giác DEF nhỏ nhất. Hướng dẫn : S( ABD) BD k S BC Δ = = ⇒ S(ΔABD) = k.S S( AFD) AF S( ABD) AB Δ =Δ = k ⇒ S(ΔAFD) = k 2.S S(ΔDBF) = S(ΔABD) – S(ΔAFD) = k(1 – k).S S(ΔCED) = k(1 – k).S ; S(ΔAFE) = k(1 – k).S S(ΔDEF) = S – 3k(1 – k).S = S(3k2 – 3k + 1) Mà S(3k2 – 3k + 1) = S 21 13 k 2 4 ⎡ ⎤⎛ ⎞− +⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦ ≥ S 4 min S(ΔDEF) = S 4 (tại k = 1 2 ) 7.22 Cho đường tròn tâm O đường kính AB = 2R và điểm M trên đường tròn này. Kẻ MH vuông góc với AB tại H. Định vị trí của điểm M để diện tích tam giác OMH lớn nhất. Hướng dẫn : OH2 + HM2 = OM2 = R2 S = 1 2 OH.HM Mà : OH2 + HM2 ≥ 2OH.HM hay R2 ≥ 4S max S = 2R 4 (tại OH = HM hay MOH ∧ = 450) 7.23 Cho tam giác nhọn ABC có cạnh BC cố định. Kẻ hai đường cao AD và BE, gọi H là trực tâm. Xác định vị trí của điểm D trên cạnh BC để tích DA. DH đạt giá trị lớn nhất. Hướng dẫn : Hai tam giác vuông DBH và DAC đồng dạng cho : DA.DH = DB.DC 76 Mà : (DB + DC)2 ≥ 4DB.DC hay 2BC 2 ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ ≥ DB.DC Nên : DA.DH = DB.DC ≤ 2BC 4 (hằng) Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi DB = DC max(DA.DH) = 2BC 4 (tại D là trung điểm của BC) 7.24 Cho tam giác ABC vuông tại A. Từ điểm M ở miền trong tam giác kẻ MD, ME, MF lần lượt vuông góc với BC, CA, AB tại D, E, F. Xác định vị trí của M để : MD2 + ME2 + MF2 đạt giá trị nhỏ nhất. Hướng dẫn : Kẻ đường cao AH và đường thẳng MN ⊥ AH tại N. Vận dụng định lí Pitago : ME2 + MF2 = ME2 + AE2 = MA2 mà MA ≥ NA nên : ME2 + MF2 ≥ NA2 mà MD = NH nên : MD2 + ME2 + MF2 ≥ NH2 + NA2 2 2NH NA 2 + ≥ 2 2NH NA AH 2 4 +⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠ MD2 + ME2 + MF2 ≥ 2AH 2 (hằng) min (MD2 + ME2 + MF2) = 2AH 2 (tại M là trung điểm của AH) 7.25 Cho tam giác nhọn ABC. Từ điểm M thuộc miền trong tam giác kẻ MH, MI, MK lần lượt vuông góc với BC, CA, AB tại H, I, K. Xác định vị trí của M để : Σ = AK2 + BH2 + CI2 nhỏ nhất. N M 77 Hướng dẫn : 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 AK MK MA AI MI BH MH MB BK MK CI MI MC CH MH ⎫+ = = + ⎪+ = = + ⎬⎪+ = = + ⎭ nên AK2 +BH2 +CI2 = AI2 +CH2 +BK2 2Σ = (AK2 + BK2) + (BH2 + CH2) + (AI2 + CI2) ≥ ≥ 2 2 2(AK BK) (BH CH) (AI CI) 2 2 2 + + ++ + Σ ≥ 2 2 2AB BC CA 4 + + minΣ = 2 2 2AB BC CA 4 + + (tại M là tâm đường tròn ngoại tiếp ΔABC) 7.26 Cho tam giác nhọn ABC với ba đường cao AD, BE, CF. Gọi H là trực tâm, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : Σ = AH BH CH DH EH FH + + Hướng dẫn : Gọi S, S1, S2 , S3 lần lượt là diện tích các tam giác ABC, HBC, HCA, HAB : 1 S AD S DH = ⇒ 1 1 1 AD DH AD DH AH S S S S S S −= = =− − ⇒ 1 1 AH S S DH S −= 2 3 1 AH S S DH S += 3 1 2 BH S S EH S += 1 2 3 CH S S FH S += Nên Σ = 1 2 2 3 3 1 2 1 3 2 1 3 S S S S S S S S S S S S ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞+ + + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ≥ 2 + 2 + 2 = 6 min Σ = 6 (tại S1 = S2 = S3 = S3 ) 7.27 Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh là BC = a, CA = b, AB = c . Gọi x, y , z lần lượt là khoảng cách từ điểm M ở miền trong tam giác với các cạnh BC, CA, AB. Xác định vị trí của M để tổng : 78 Σ = a b c x y z + + đạt giá trị nhỏ nhất. Hướng dẫn : Diện tích tam giác ABC : S = 1 2 (ax + by + cz) Xét tích : (ax + by + cz) a b c x y z ⎛ ⎞+ +⎜ ⎟⎝ ⎠ = a 2 + b2 + c2 + ab x y y z z xbc ca y x z y x z ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ≥ a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca = (a + b + c)2 hay 2S. Σ ≥ (a + b + c)2 ⇔ Σ ≥ 2(a b c) 2S + + minΣ = 2(a b c) 2S + + (tại M là tâm đường tròn nội tiếp ΔABC) 7.28 Cho tam giác ABC vuông góc tại A có diện tích S. Gọi M là một điểm thuộc cạnh huyền BC, kẻ MD và ME lần lượt vuông góc với AB và AC tại D và E. Xác định vị trí của M để diện tích của tứ giác ADME lớn nhất, theo S tính diện tích lớn nhất đó. Hướng dẫn : S = AB.AC 2 S’ = AD.AE Vận dụng bất đẳng thức Cauchy : AB AD DB 2 AD.DB AC AE EC 2 AE.EC ⎫= + ≥ ⎪⎬= + ≥ ⎪⎭ ⇒ AB.AC ≥ 4 AD.DB.AE.EC Hai tam giác vuông đồng dạng BDM và MEC cho : MD DB CE EM = nên CE.DB = MD.EM = AE.AD Nên : AB.AC ≥ 24 (AD.AE) = 4AD.AE hay : 2S ≥ 4S’ ⇔ S’ ≤ S 2 79 max S’ = S 2 (tại M là trung điểm của BC) 7.29 Cho hình vuông ABCD cạnh a. Trên cạnh CD lấy điểm E (E khác D), đặt DE = x. Đường thẳng vuông góc với AE tại A cắt đường thẳng CD tại F. 1. Tính các cạnh của tam giác AEF theo a và x. 2. Xác định vị trí của E để độ dài đoạn thẳng EF nhỏ nhất. Hướng dẫn : 1. EF = x + 2a x AE = 2x a+ AF = 2 2a x a x + 2. EF = x + 2a x ≥ 2 2ax. 2a x = min EF = 2a (tại x = a hay E trùng C) 7.30 Cho tam giác ABC và điểm M ở miền trong tam giác này. Các đường thẳng AM, BM, CM cắt BC, CA, AB lần lượt tại D, E, F. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : Σ = AM BM CM. . DM EM FM Hướng dẫn : Gọi S, S1, S2 , S3 lần lượt là diện tích các tam giác ABC, MBC, MCA, MAB. Kẻ đường cao AH và đường thẳng MK ⊥ BC tại K. 1 S AH AD AM MD AM 1 S MK DM DM DM += = = = + ⇒ 1 2 3 1 1 1 AM S S S S S1 DM S S S − += − = = 3 1 2 BM S S EM S += 1 2 3 CM S S FM S += Σ = 2 3 3 1 1 2 1 2 3 AM BM CM S S S S S S. . . . DM EM FM S S S + + += ≥ ≥ 2 3 3 1 1 2 1 2 3 2 S .S .2 S .S .2 S .S 8 S S S = 80 min Σ = 8 (tại M là trọng tâm tam giác ABC) 7.31 Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại O. Biết rằng diện tích tam giác OAB bằng 4 cm2 và diện tích tam giác OCD bằng 9 cm2. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích tứ giác ABCD Hướng dẫn : Gọi S1, S2 , S3 , S4 lần lượt là diện tích các tam giác OAB, OBC, OCD, ODA. Tỉ số diện tích hai tam giác có cùng chiều cao bằng tỉ số hai đáy ứng với chiều cao này : 1 2 4 3 OB S S OD S S = = ⇒ S2.S4 = S1.S3 Vận dụng bất đẳng thức Cauchy : S2 + S4 ≥ 2 2 4 1 3S .S 2 S .S= hay S2 + S4 ≥ 2 4.9 = 12 min (S2 + S4) = 12 (tại S2 = S4 = 6) min (S1 + S2 + S3 + S4) = 4 + 9 + 12 = 25 cm2 (khi đó S2 = S4 = 6 cm2) 7.32 Cho hình vuông ABCD cạnh a. Trên hai cạnh AB và AD lấy lần lượt hai điểm M và N sao cho tam giác AMN có chu vi 2a. Xác định vị trí của M và N để tam giác AMN có diện tích lớn nhất. Hướng dẫn : Đặt AM = x , AN = y (0 < x, y < a) thì : MN = 2 2x y+ x + y + 2 2x y+ = 2a - Vận dụng bất đẳng thức Cauchy : x + y ≥ 2 xy - Mặt khác : x2 + y2 ≥ 2xy hay 2 2x y 2xy+ ≥ Nên 2a = x + y + 2 2x y+ ≥ 2 xy 2xy+ ⇒ xy ≤ 2a 2 2+ hay xy ≤ 22a 2 2 ⎛ ⎞⎜ ⎟+⎝ ⎠ Do đó : S = 1 xy 2 ≤ 1 2 22a 2 2 ⎛ ⎞⎜ ⎟+⎝ ⎠ ( = hằng) max S = 21 2a. 2 2 2 ⎛ ⎞⎜ ⎟+⎝ ⎠ (tại AM = AN = 2a 2 2+ ) 7.33 81 Cho tam giác ABC có chu vi 2p. Một đường thẳng song song với BC cắt hai cạnh AB, AC lần lượt tại M và N. Biết rằng MN tiếp xúc với đường tròn nột tiếp tam giác ABC. Tìm giá trị lớn nhất của độ dài đoạn thẳng MN. Hướng dẫn : Kẻ đường cao AH của tam giác ABC, gọi r là bán kính đường tròn nội tiếp. Đặt BC = a , AH = h thì đường cao AK của tam giác AMN là : (h – 2r) Do MN // BC : MN h 2r a h −= ⇒ MN = a(h 2r) h − Diện tích tam giác ABC : 1S ah 2 S pr ⎫= ⎪⎬⎪= ⎭ ⇒ r = ah 2p Do đó : MN = a 2ah a(p a)h h 2p p ⎛ ⎞ −− =⎜ ⎟⎝ ⎠ Chứng minh : p – a > 0, vận dụng bất đẳng thức Cauchy : a(p – a) ≤ 2 2a (p a) 2 + − Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = p 2 max MN = p 4 (tại a = p 2 ) 7.34 Cho đường tròn cố định tâm O, bán kính R = 1. Tam giác ABC thay đổi và luôn ngoại tiếp đường tròn (O). Một đường thẳng qua O cắt AB, AC lần lượt tại M và N. Xác định giá trị nhỏ nhất của diện tích tam giác AMN. H r K 82 Hướng dẫn : Kẻ đường cao MH của tam giác AMN. Diện tích tam giác AMN. S = 1 2 AM.1 + 1 2 AN.1 = AM AN 2 + Vận dụng bất đẳng thức Cauchy ta có : S = AM AN 2 + ≥ AM.AN ≥ 2S Nên : S2 ≥ 2S ⇔ S ≥ 2 min S = 2 (khi AM ⊥ AN và AM = AN = 2) 7.35 Cho tam giác ABC và điểm M thuộc miền trong tam giác này. Gọi x, y, z lần lượt là khoảng cách từ M đến BC, CA, AB. Xác định vị trí của M để tích xyz đạt giá trị lớn nhất. Hướng dẫn : Đặt BC = a, CA = b, AB = c , diện tích tam giác ABC là : S = 1 2 (ax + by + cz) Vận dụng bất đẳng thức Cauchy : ax + by + cz ≥ 3 3 ax.by.cz hay ax + by + cz ≥ 3 3 abc.xyz Mà : abc là hằng số nên tích xyz lớn nhất khi và chỉ khi : ax = by = cz Gọi D, E, F là giao điểm của MA, MB, MC lần lượt với BC, CA, AB ta có : S(DAB) DB S(DAC) DC = S(DMB) DB S(DMC) DC = Nên : DB S(DAB) S(DMB) DC S(DAC) S(DMC) = = = S(DAB) S(DMB) S(MAB) cz 1 S(DAC) S(DMC) S(MCA) by − = = =− Suy ra : DB = DC hay D là trung điểm của BC Tương tự : E là trung điểm của CA, F là trung điểm của AB Vậy tích xyz đạt giá trị lớn nhất khi M là trọng tâm tam giác ABC. 83 7.36 Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R. Trong các hình chữ nhật MNPQ nội tiếp trong nửa đường tròn, (M, N thuộc nửa đường tròn; P, Q thuộc đường kính AB) hình nào có chu vi lớn nhất ? Hướng dẫn : Đặt PQ = 2a, MQ = b (a, b > 0) Aùp dụng định lí Pitago đối với tam giác OMQ : a2 + b2 = R2 Chu vi hình chữ nhật MNPQ : 2(2a + b) Chu vi này lớn nhất khi : (2a + b)2 lớn nhất Vận dụng bất đẳng thức Schwartz : (2a + b)2 ≤ (22 + 12)(a2 + b2) hay (2a + b)2 ≤ 5R2 Vậy : max 2(2a + b) = 2R 5 (tại a = R 5 ; b = R 5 2 ) (ứng với tgAOM ∧ = 1 2 : điểm M được xác định) 7.37 Cho tam giác vuông cân ABC : AB = AC = a. Trên các cạnh BC, CA, AB lấy lần lượt các điểm D, E, F sao cho DEF là tam giác vuông cân tại E. Xác định vị trí của D, E, F để tam giác DEF có diện tích nhỏ nhất. Hướng dẫn : Kẻ DH ⊥ AC tại H được hai tam giác vuông bằng nhau AEF và HDE. Đặt : AF = HE = x AE = HD = y thì : AB = AE + HE + HC = y + x + y hay : a = x + 2y Diện tích tam giác vuông cân DEF : S = 2 2 2EF x y 2 2 += Vận dụng bất đẳng thức Schwartz : a2 = (x + 2y)2 ≤ (12 + 22)(x2 + y2) hay a2 ≤ 5.2S S ≥ 2a 10 min S = 2a 10 Tại AF = a 5 ; AE = 2a 5 và D thuộc cạnh BC sao cho tam giác DEF cân tại E, lúc đó dễ thấy : 84 0 0 0 0 0DEF 180 (AEF DEH) 180 (AEF EFA) 180 90 90 ∧ ∧ ∧ ∧ ∧= − + = − + = − = 7.38 Cho đường tròn (O ; r). Coi tam giác ABC ngoại tiếp (O ; r), kẻ các tiếp tuyến song song với các cạnh của tam giác. Các tiếp tuyến này tạo với các cạnh của tam giác ABC ba tam giác AMN, BPQ, CRS có diện tích lần lượt là S1, S2, S3. Gọi S là diện tích tam giác ABC. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : 1 2 3S S S S + + Hướng dẫn : Gọi h1 và h lần lượt là chiều cao phát xuất từ A của hai tam giác đồng dạng AMN và ABC. 2 2 2 1 1S h h 2r 2r1 S h h h −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Đặt : BC = a , CA = b , AB = c và p là nửa chu vi tam giác ABC S = ah 2 S = pr Nên : 2r = ah p Do đó : 2 1S a1 S p ⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠ hay 1S a1 S p = − Tương tự : 2S b1 S p