Báo cáo Khoa học Mô hình cố định, ngẫu nhiên và hỗn hợp trong phân tích phương sai

Bỏo cỏo khoa học Mụ hỡnh cố định, ngẫu nhiờn và hỗn hợptrong phõn tớch phương sai Tạp chí KHKT Nông nghiệp, Tập 1, số 4/2003 318 Mô hình cố định, ngẫu nhiên và hỗn hợptrong phân tích ph−ơng sai Use of fixed, random and mixed models in analysis of variance Nguyễn Đình Hiền1 Summary In experimental designs there are three models for analysis of variance: fixed, random and mixed models. The present paper described in detail model with one and two factors. The model, the hypothesis and the testing of hypothesis of frequently used designs such as one factor completely randomised design, two factors crossed design, hierarchical design and split plot design were presented. Keywords: Analysis of variance, fixed, random, mixed models. Trong các giáo trình ph−ơng pháp thí nghiệm và toán sinh học tr−ớc đây khi phân tích ph−ơng sai các nhân tố th−ờng đ−ợc coi là cố định. Việc phân tích và kết luận đ−ợc trình bày theo các mẫu định sẵn đ7 quen thuộc với cán bộ giảng dạy và sinh viên trong tr−ờng. Trong những năm gần đây, do đòi hỏi của thực tế và cũng do những tiến bộ của việc nghiên cứu và phân tích các thiết kế thí nghiệm, các nhân tố có thể cố định hay ngẫu nhiên và mô hình phân tích ph−ơng sai đ−ợc sắp thành 3 loại: Cố định (Fixed - nếu tất cả các nhân tố đều cố định), ngẫu nhiên (Random - nếu tất cả các nhân tố đều ngẫu nhiên) và hỗn hợp (Mixed - nếu có một số nhân tố cố định, một số ngẫu nhiên). Việc quyết định xem nhân tố cố định hay ngẫu nhiên phải làm tr−ớc khi bố trí thí nghiệm và căn cứ vào bản chất của nhân tố cũng nh− ảnh h−ởng của kết luận khi ứng dụng trong thực tế. Bài này nhằm giới thiệu cách nhìn đầy đủ hơn về phân tích ph−ơng sai. Bài sau sẽ giới thiệu các cách so sánh các trung bình sau khi phân tích ph−ơng sai nh− cách so sánh theo LSD, Duncan, Student-Newman-Keuls, Tukey, Dunnet, Scheffé . . . Sau đây là một số mô hình th−ờng dùng trong phân tích ph−ơng sai. 1. Phân tích ph−ơng sai một nhân tố1 Mô hình một nhân tố có a mức, mỗi mức lặp lại ri lần xi j = à + ai + ei j (i = 1, a; j = 1, ri) à là trung bình chung ai là tác động của mức Ai ei j là sai số ngẫu nhiên gỉa thiết độc lập, phân phối chuẩn N(0,σ 2 e) Nếu nhân tố A cố định thì mô hình gọi là mô hình cố định, các ai là hằng số thoả m7n điều kiện 1 Bộ môn Tin học, Khoa S− phạm kỹ thuật ∑ = = a i ia 1 0 mô hình cố định, ngẫu nhiên và hỗn hợp ... 319 Nếu nhân tố A ngẫu nhiên thì mô hình gọi là mô hình ngẫu nhiên, các ai là các giá trị của biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn N(0,σ2a) Ph−ơng pháp phân tích Cả hai mô hình đều chung cách phân tích mà nội dung gồm: a- Tách tổng bình ph−ơng toàn bộ SSTO thành hai phần: tổng bình ph−ơng do nhân tố SSAvà tổng bình ph−ơng do sai số SSE b- Tách bậc tự do của tổng bình ph−ơng toàn bộ dfTO thành hai phần: bậc tự do dfA của tổng bình ph−ơng SSAvà bậc tự do dfE của tổng bình ph−ơng SSE c- Chia tổng bình ph−ơng cho bậc tự do đ−ợc bình ph−ơng trung bình msA, msE d- Tóm tắt toàn bộ cách phân tích vào trong bảng: n = Σri Bảng phân tích ph−ơng sai (ANOVA) Nguồn biến động Bậc tự do Tổng bình ph−ơng Bình ph−ơng trung bình Ftn Kỳ vọng Nhân tố a - 1 dfA SSA msA = SSA/dfA msA msE Sai số n - a dfE SSE msE = SSE/dfE σ2e Toàn bộ n - 1 SSTO Cách kiểm định giả thiết Tuỳ theo mô hình có thể tính các kỳ vọng của msA và msE. Từ đó có cách tính tỷ số Ftn và cách kiểm định giả thiết đối với nhân tố A. Mô hình cố định Giả thiết H0: “các ai bằng không”, đối thiết: “có ai khác không”. Kỳ vọng của msE bằng σ2e, còn kỳ vọng của msA bằng σ 2 e + ΦA Trong đó ΦA = nếu mọi ri đều bằng r thì ΦA = Nếu giả thiết H0 đúng thì tỷ số Ftn = msA/msE phân phối Fisơ Snêđêco với a-1 và n-a bậc tự do và ta có quy tắc kiểm định: Tìm giá trị tới hạn F(α,a-1,n-a). Nếu Ftn ≤ F(α,a-1,n-a) thì chấp nhận H0, nếu ng−ợc lại thì chấp nhận H1. Mô hình ngẫu nhiên Giả thiết H0: “σ 2 A bằng không”, đối thiết: “σ 2 A khác không”. Kỳ vọng của msE bằng σ2e, còn kỳ vọng của msA bằng σ 2 e + r’σ 2 A với r’ = nếu mọi ri đều bằng r thì r’ = r )1( 1 2 − ∑ = a ar a i ii Na rN k i i )1( 1 22 − −∑ = 1 1 2 − ∑ = a ar a i i Nguyễn Đình Hiền 320 Nếu giả thiết H0 đúng thì tỷ số Ftn = msA/msE phân phối Fisơ Snêđêco với a-1 và n-a bậc tự do và ta có quy tắc kiểm định: Tìm giá trị tới hạn F (α,a-1,n-a). Nếu Ftn ≤ F (α,a-1,n-a) thì chấp nhận H0, nếu ng−ợc lại thì chấp nhận H1 σ2e đ−ợc −ớc l−ợng bằng msE Nếu msA > msE thì σ2A đ−ợc −ớc l−ợng bằng (msA - msE) / r’ 2- Phân tích ph−ơng sai hai nhân tố chéo nhau (crossed) Mô hình hai nhân tố chéo nhau (hay trực giao) Nhân tố A có a mức, nhân tố B có b mức, mỗi công thức (ai,bj) lặp lại r lần xi j k = à + ai + bj + abi j + ei j k (i = 1, a; j = 1, b; k = 1, r) à là trung bình chung ai là tác động của mức Ai của nhân tố A bj là tác động của mức Bj của nhân tố B (ab)i j là t−ơng tác giữa 2 mức Ai và Bj của hai nhân tố A,B ei j k là sai số ngẫu nhiên gỉa thiết độc lập, phân phối chuẩn N(0,σ 2 e). Nếu các mức Ai và Bj cố định thì mô hình gọi là mô hình cố định, các ai và bj là hằng số thoả m7n điều kiện Nếu cả 2 mức Ai và Bj ngẫu nhiên thì mô hình gọi là mô hình ngẫu nhiên, các ai là các giá trị của biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn N(0,σ2a), các bj là các giá trị của biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn N(0, σ2b) còn (ab)i j là các giá trị của biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn N(0, σ 2 ab) Nếu một trong 2 nhân tố cố định, nhân tố kia ngẫu nhiên thì có mô hình hỗn hợp. Ph−ơng pháp phân tích Cả ba mô hình đều chung cách phân tích mà nội dung gồm: a-Tách tổng bình ph−ơng toàn bộ SSTO thành bốn phần: tổng bình ph−ơng do nhân tố A (SSA), tổng bình ph−ơng do nhân tố B (SSB), tổng bình ph−ơng do t−ơng tác SS(AB) và tổng bình ph−ơng do sai số SSE b-Tách bậc tự do của tổng bình ph−ơng toàn bộ dfTO thành bốn phần: bậc tự do dfA của tổng bình ph−ơng SSA, bậc tự do dfB của tổng bình ph−ơng SSB, bậc tự do dfAB của tổng bình ph−ơng SSAB và bậc tự do dfE của tổng bình ph−ơng SSE c- Chia tổng bình ph−ơng cho bậc tự do đ−ợc bình ph−ơng trung bình msA, msB, msAB và msE d-Tóm tắt toàn bộ cách phân tích vào trong bảng : ∑ = = a i ia 1 0 0 1 =∑ = b i jb 0 1 =∑ = a i ijab 0 1 =∑ = b j ijab mô hình cố định, ngẫu nhiên và hỗn hợp ... 321 Bảng phân tích ph−ơng sai Nguồn biến động Bậc tự do Tổng bình ph−ơng Bình ph−ơng trung bình Ftn Kỳ vọng Nhân tố A dfA = a-1 SSA msA FtnA Nhân tố B dfB = b-1 SSB msB FtnB T−ơng tác DfAB = (a-1)(b-1) SSAB msAB FtnAB Sai số dfE = ab(r-1) SSE msE σ-2e Toàn bộ abr -1 SSTO Cách kiểm định giả thiết Tuỳ theo mô hình có thể tính các kỳ vọng của msA, msB, msAB và msE. Từ đó có cách tính tỷ số Ftn và cách kiểm định các giả thiết đối với nhân tố A, nhân tố B và t−ơng tác AB. Mô hình cố định Giả thiết H0A: Các ai bằng không, đối thiết H1A : có ai khác không Giả thiết H0B: Các bj bằng không, đối thiết H1B : có bj khác không Giả thiết H0AB: Các abi j bằng không, đối thiết H1AB : có abi j khác không Kỳ vọng Kiểm định giả thiết E(msA) = σ2e+(brΣa2i)/(a-1) FtnA= msA/msE so với F(α,dfA,dfE) E(msB) = σ2e+(arΣb2j)/(b-1) FtnB= msB/msE so với F(α,dfB,dfE) E(msAB)= σ2e+ (rΣΣab2i j) / (a-1)(b-1) FtnAB= msAB/msE so với F(α,dfAB,dfE) E(msE) = σ2e Mô hình ngẫu nhiên Giả thiết H0A : σ 2 A bằng không, đối thiết H1A : σ 2 A khác không Giả thiết H0B : σ 2 B bằng không, đối thiết H1B : σ 2 B khác không Giả thiết H0Ab : σ 2 AB bằng không, đối thiết H1AB : σ 2 AB khác không Kỳ vọng Kiểm định giả thiết E(msA) = σ2e + rσ2AB + brσ 2 A FtnA= msA/msAB so với F(α,dfA,dfAB) E(msB) = σ2e + rσ2AB + arσ 2 B FtnB= msB/msAB so với F(α,dfB,dfAB) E(msAB)=σ2e + rσ2AB FtnAB= msAB/msE so với F(α,dfAB,dfE) E(msE) = σ2e Có thể −ớc l−ợng các ph−ơng sai nh− sau: σ2e −ớc l−ợng bằng msE σ2AB −ớc l−ợng bằng (msAB - msE)/ r σ2B −ớc l−ợng bằng (msB - msAB) / ar σ2A −ớc l−ợng bằng (msA - msAB)/ br Mô hình hỗn hợp Giả sử nhân tố A cố định, nhân tố B ngẫu nhiên (kéo theo AB ngẫu nhiên) Giả thiết H0A: Các ai bằng không, đối thiết H1A : có ai khác không Nguyễn Đình Hiền 322 Giả thiết H0B: σ 2 B bằng không, đối thiết H1B: σ 2 B khác không Giả thiết H0Ab: σ 2 AB bằng không, đối thiết H1AB: σ 2 AB khác không Kỳ vọng Kiểm định giả thiết E(msA) =σ2e + rσ 2 AB + (brΣa2i)/(a-1) FtnA=msA/msAB so với F(α,dfA,dfAB) E(msB) = σ2e + arσ2B FtnB=msB/msE so với F(α,dfB,dfE) E(msAB)=σ2e + rσ2AB FtnAB=msAB/msE so với F(α,dfAB,dfE) E(msE) = σ2e 3- Phân tích ph−ơng sai hai nhân tố phân cấp (Hierachical) Mô hình hai nhân tố phân cấp (hay còn gọi là chia ổ nested) Nhân tố A là cấp trên có a mức, nhân tố B là cấp d−ới có b mức, mỗi công thức (ai,bj) lặp lại r lần xi j k = à + ai + bj(i) + ei j k (i = 1, a; j = 1, b; k = 1, r) à là trung bình chung ai là tác động của mức Ai của nhân tố A bj(i) là tác động của mức Bj (d−ới mức i của nhân tố A) của nhân tố B ei j k là sai số ngẫu nhiên giả thiết độc lập, phân phối chuẩn N(0,σ 2 e). Nếu các mức Ai và Bj ngẫu nhiên thì mô hình gọi là mô hình ngẫu nhiên, nếu A cố định B ngẫu nhiên thì có mô hình hỗn hợp. ∑ = = a i ia 1 0 Trong mô hình ngẫu nhiên nhân tố A ngẫu nhiên, các ai là các giá trị của biến chuẩn N (0, σ 2 A). Nhân tố B ngẫu nhiên, các bj trong cùng một mức i của nhân tố A là các giá trị của biến chuẩn N(0, σ2B). Trong mô hình hỗn hợp nhân tố A cố định, các ai thoả m7n điều kiện Nhân tố B ngẫu nhiên, các bj trong cùng một mức i của nhân tố A là các giá trị của biến chuẩn N(0, σ2B). Ph−ơng pháp phân tích Cả hai mô hình đều chung cách phân tích mà nội dung gồm: a-Tách tổng bình ph−ơng toàn bộ SSTO thành ba phần: tổng bình ph−ơng do nhân tố A SSA, tổng bình ph−ơng do nhân tố B trong A SSB(A) và tổng bình ph−ơng do sai số SSE. b-Tách bậc tự do của tổng bình ph−ơng toàn bộ dfTO thành ba phần: bậc tự do dfA của tổng bình ph−ơng SSA, bậc tự do dfB(A) của tổng bình ph−ơng SSB(A) và bậc tự do dfE của tổng bình ph−ơng SSE c- Chia tổng bình ph−ơng cho bậc tự do đ−ợc bình ph−ơng trung bình msA, msB và msE Tóm tắt toàn bộ cách phân tích vào trong bảng: mô hình cố định, ngẫu nhiên và hỗn hợp ... 323 Nguồn Bậc tự do Tổng bình ph−ơng Bình ph−ơng trung bình Ftn Kỳ vọng Nhân tố A dfA = a-1 SSA msA FtnA Nhân tố B dfB(A) = a(b-1) a(b-1) SSB(A) msB(A) FtnB Sai số dfE = ab(r-1) SSE msE Toàn bộ dfTO = abr-1 SSTO σ2e Cách kiểm định giả thiết Mô hình ngẫu nhiên Giả thiết H0A: σ 2 A bằng không, đối thiết H1A: σ 2 A khác không Giả thiết H0B: σ 2 B bằng không, đối thiết H1B: σ 2 B khác không Kỳ vọng Kiểm định giả thiết E (msA) = σ2e + rσ2B + brσ 2 A FtnA= msA/ msB (A) so với F(α,dfA,dfB(A)) E (msB(A)) = σ2e + rσ2B FtnB= msB (A)/ msE so với F(α,dfB(A),dfE) E (msE) = σ2e Ước l−ợng các ph−ơng sai: σ2e đ−ợc −ớc l−ợng bằng smE σ2B đ−ợc −ớc l−ợng bằng (msB (A)- msE) / r σ2A đ−ợc −ớc l−ợng bằng (msA - msB (A)) / br Mô hình hỗn hợp Giả thiết H0A: các ai bằng không, đối thiết H1A: có ai khác không Giả thiết H0B: σ 2 B bằng không, đối thiết H1B: σ 2 B khác không Kỳ vọng Kiểm định giả thiết E(msA) = σ2e + rσ2B + ΦA FtnA= msA/ msB(A) so với F(α,dfA,dfB(A)) E(msB) = σ2e + rσ2B FtnB= msB(A)/ msE so với F(α,dfB(A),dfE) E(msE) = σ2e với Có thể −ớc l−ợng các ph−ơng sai: σ2e đ−ợc −ớc l−ợng bằng msE σ2B đ−ợc −ớc l−ợng bằng (msB - msE) / r 4- Phân tích ph−ơng sai hai nhân tố chia ô (Split plot) Mô hình hai nhân tố chia ô Trong bố trí thí nghiệm chia ô lớn, ô nhỏ (Split plot) nhân tố A bố trí trên ô lớn, nhân tố B bố trí trên ô nhỏ, mối lần lặp là một khối (Block) xi j k = à + ck + ai + cdik + bj+ abi j + ei j k (i = 1, a; j = 1, b; k = 1, r) à là trung bình chung 1 1 2 − =Φ ∑ = a abr a i i A Nguyễn Đình Hiền 324 ck là tác động của khối k ai là tác động của mức Ai của nhân tố A cdik là t−ơng tác giữa khối và nhân tố A bj là tác động của mức Bj của nhân tố B abi j là tác động của t−ơng tác AB ei j k là sai số ngẫu nhiên gỉa thiết độc lập, phân phối chuẩn N(0,σ 2 e). Khối th−ờng đ−ợc coi là nhân tố ngẫu nhiên: Các ck phân phối chuẩn N(0, σ 2 K) còn A và B thì có thể cố định hoặc ngẫu nhiên, nếu A cố định thì thoả m7n điều kiện Σai = 0 (B cố định thì Σbj = 0) còn nếu A ngẫu nhiên thì các giá trị ai phân phối chuẩn n(0, σ2A) (B ngẫu nhiên thì bj phân phối chuẩn n(0, σ2B)). Th−ờng lấy t−ơng tác A x K làm sai số ô lớn và bỏ qua t−ơng tác BK. Tuỳ giả thiết hai nhân tố cố định hay ngẫu nhiên hay hỗn hợp mà có cách kiểm định khác nhau. Ph−ơng pháp phân tích Các mô hình đều chung cách phân tích mà nội dung gồm: a-Tách tổng bình ph−ơng toàn bộ SSTO thành sáu phần: tổng bình ph−ơng do khối SSK, tổng bình ph−ơng do nhân tố A (SSA), tổng bình ph−ơng do nhân tố B (SSB), tổng bình ph−ơng do t−ơng tác AK (SSAK), tổng bình ph−ơng do t−ơng tác AB (SSAB), và tổng bình ph−ơng do sai số SSE. b-Tách bậc tự do của tổng bình ph−ơng toàn bộ dfTO thành sáu phần: bậc tự do dfK của tổng bình ph−ơng SSK, bậc tự do dfA của tổng bình ph−ơng SSA, bậc tự do dfAK của tổng bình ph−ơng SSAK, bậc tự do dfB của tổng bình ph−ơng SSB, bậc tự do dfAB của tổng bình ph−ơng SSAB và bậc tự do dfE của tổng bình ph−ơng SSE c- Chia tổng bình ph−ơng cho bậc tự do đ−ợc bình ph−ơng trung bình msK, msA, msAK, msB, msAB và msE d- Tóm tắt kết quả vào bảng phân tích ph−ơng sai Bảng phân tích ph−ơng sai Nguồn biến động Bậc tự do Tổng bình ph−ơng Bình ph−ơng trung bình Ftn Kỳ vọng Khối dfK = r-1 SSK msK Nhân tố A dfA = a-1 SSA msA FtnA T−ơng tác AK Sai số ô lớn dfAK=(a-1)(r-1) SSAK msAK Nhân tố B dfB = b-1 SSB msB FtnB T−ơng tác AB dfAB= (a-1)(b-1) SSAB msAB tnAB Sai số ô nhỏ dfE = a(b-1)(r-1) SSE msE σ-2e Toàn bộ abr -1 SSTO mô hình cố định, ngẫu nhiên và hỗn hợp ... 325 Cách kiểm định giả thiết Mô hình cố định Giả thiết H0A : Các ai bằng không, đối thiết H1A : có ai khác không Giả thiết H0B : Các bj bằng không, đối thiết H1B : có bj khác không Giả thiết H0Ab : Các abi j bằng không, đối thiết H1AB : có abi j khác không Kỳ vọng Kiểm định giả thiết Ô lớn E(msK)= σ2e + abσ 2 K E(msA) =σ2e+ b σ 2 AK + (brΣa2i)/(a-1) FtnA= msA/msAK so với F(α,dfA,dfAK) E(msAK) =σ2e+ b σ 2 AK Ô nhỏ E(msB) =σ2e+(arΣb2j)/(b-1) FtnB= msB/msE so với F(α,dfB,dfE) E(msAB)=σ2e+(rΣΣab2i j)/ (a-1)(b-1) FtnAB= msAB/msE so với F(α,dfAB,dfE) E(msE) = σ2e Mô hình ngẫu nhiên: nhân tố A và nhân tố B ngẫu nhiên Giả thiết H0A : σ 2 A bằng không, đối thiết H1A : σ 2 A khác không Giả thiết H0B : σ 2 B bằng không, đối thiết H1B : σ 2 B khác không Giả thiết H0AB : σ 2 AB bằng không, đối thiết H1AB : σ 2 AB khác không Kỳ vọng Kiểm định giả thiết ô lớn E(msK)= σ2e +bσ 2 AK + abσ 2 K E(msA) = σ2e + bσ2AK + r σ 2 AB + brσ2A Không có kiểm định chính xác (Có thể dùng kiểm định gần đúng) E(msAK) = σ2e + bσ2AK ô nhỏ E(msB) =σ2e + rσ 2 AB + arσ 2 B FtnB=msB/msAB so với F(α,dfB,dfAB) E(msAB)=σ2e+r σ 2 AB FtnAB=msAB/msE so với F(α,dfAB,dfE) E(msE)= σ2e Mô hình hỗn hợp: nhân tố A cố định, nhân tố B ngẫu nhiên Giả thiết H0A : mọi ai bằng không, đối thiết H1A : có ai khác không Giả thiết H0B : σ 2 B bằng không, đối thiết H1B : σ 2 B khác không Giả thiết H0AB : σ 2 AB bằng không, đối thiết H1AB : σ 2 AB khác không Nguyễn Đình Hiền 326 Kỳ vọng Kiểm định giả thiết ô lớn E(msK)= σ2e + abσ 2 K E(msA) = σ2e + bσ2AK + r σ 2 AB + (brΣa2i) / (a-1) Không có kiểm định chính xác (Có thể dùng kiểm định gần đúng) E(msAK) = σ2e + bσ2AK ô nhỏ E(msB) =σ2e + arσ 2 B FtnB = msB/msE so với F(α,dfB,dfE) E(msAB)=σ2e+r σ 2 AB FtnAB = msAB/msE so với F(α,dfAB,dfE) E(msE)= σ2e Mô hình hỗn hợp: nhân tố A ngẫu nhiên, nhân tố B cố định Giả thiết H0A : σ 2 A bằng không, đối thiết H1A : σ 2 A khác không Giả thiết H0B : các bj bằng không, đối thiết H1B : có bj khác không Giả thiết H0AB : σ 2 AB bằng không, đối thiết H1AB : σ 2 AB khác không Kỳ vọng Kiểm định giả thiết ô lớn E(msK)= σ2e + bσ 2 AK + abσ 2 K E(msA) = σ2e + bσ2AK + brσ 2 A FtnA = msA/ msAK so với F(α,dfA,dfAK) E(msAK) = σ2e + bσ2AK ô nhỏ E(msB) = σ2e + rσ 2 AB +(arΣb2j)/(b-1) FtnB = msB/msAB so với F(α,dfB,dfAB) E(msAB) = σ2e+r σ 2 AB FtnAB = msAB/msE so với F(α,dfAB,dfE) E(msE) = σ2e Các mô hình một nhân tố khối ngẫu nhiên đầy đủ (RCBD) hay ô vuông La tinh chủ yếu dùng với nhân tố cố định và cách phân tích không khác gì cách trình bày trong các giáo trình về ph−ơng pháp thí nghiệm và toán sinh học hiện đang dùng. Đối với mô hình 3 nhân tố thì việc phân tích phức tạp hơn và có thể tập trung vào mô hình 3 nhân tố chéo nhau (cross), phân cấp (hierarchical) hay chia ô lớn, ô vừa, ô nhỏ (split split plot). Mô hình cố định hay ngẫu nhiên không phức tạp nh−ng mô hình hỗn hợp thì phức tạp hơn nhiều. Trong các bộ ch−ơng trình chuyên về thống kê nh− Minitab, SPSS, Statistica, Irristat Ver 4.0 đối với mỗi nhân tố phải khai báo rõ cố đinh hay ngẫu nhiên, chéo nhau hay phân cấp để ch−ơng trình xử lý và đ−a ra kết luận. Một số tr−ờng hợp không có kiểm định F chính xác phải dùng các kiểm định F trong đó mẫu số là tổ hợp một số các bình ph−ơng trung bình.