Bài tập Vật lý thống kê có lời giải chi tiết - Lê Anh
Tài liệu Bài tập Vật lý thống kê có lời giải chi tiết - Lê Anh: Cho hệ ba mức năng lượng = , = 2 , = 3 , có các bậc suy biến lần lượt là = 1, = 2, = 3. Những hạt không phân biệt được và được phân bố trên ba mức năng lượng này. Hệ có năng lượng toàn phần là = 3 , và có số hạt không xác định. Gọi trạng thái vĩ mô là trạng thái được đặc trưng bởi năng lượng = 3 , và số hạt trên mỗi mức năng lượng là như nhau. Hãy vẽ sơ đồ phân bố các hạt trên các mức năng lượng và đếm số trạng thái vĩ mô cũng như số trạng thái vi mô khả dĩ tương ứng với số trạng thái vĩ mô trên. Vi mô: Ω = 6 Vĩ mô: Ω = 3 Một hệ gồm hai dao động tử điều hòa lượng tử độc lập, phân biệt được có tần số lần lượt là và 3 . Tìm số trạng thái vi mô khả dĩ của hệ ứng với trạng thái vĩ mô có năng lượng 10 . Năng lượng dao động tử điều hòa ứng với tần số và 3 là: = + 1 2 = = 2 = 3 = = 2 = 3 = = 2 = 3 = = 2 = 3 = = 2 = 3 = = 2 ...
Bạn đang xem trước 20 trang mẫu tài liệu Bài tập Vật lý thống kê có lời giải chi tiết - Lê Anh, để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
Cho hệ ba mức năng lượng = , = 2 , = 3 , có các bậc suy biến lần lượt là = 1,
= 2, = 3. Những hạt không phân biệt được và được phân bố trên ba mức năng lượng này.
Hệ có năng lượng toàn phần là = 3 , và có số hạt không xác định. Gọi trạng thái vĩ mô là trạng
thái được đặc trưng bởi năng lượng = 3 , và số hạt trên mỗi mức năng lượng là như nhau.
Hãy vẽ sơ đồ phân bố các hạt trên các mức năng lượng và đếm số trạng thái vĩ mô cũng như số
trạng thái vi mô khả dĩ tương ứng với số trạng thái vĩ mô trên.
Vi mô: Ω = 6
Vĩ mô: Ω = 3
Một hệ gồm hai dao động tử điều hòa lượng tử độc lập, phân biệt được có tần số lần lượt là và
3 . Tìm số trạng thái vi mô khả dĩ của hệ ứng với trạng thái vĩ mô có năng lượng 10 .
Năng lượng dao động tử điều hòa ứng với tần số và 3 là:
= +
1
2
=
= 2
= 3
=
= 2
= 3
=
= 2
= 3
=
= 2
= 3
=
= 2
= 3
=
= 2
= 3
=
= 2
= 3
=
= 2
= 3
=
= 2
= 3
= +
1
2
3
Năng lượng toàn phần = 10 :
= + = +
1
2
+ +
1
2
3 = 10
⇒ + 3 = 8
⇒
= 8
= 0
∨
= 5
= 1
∨
= 2
= 2
⇒ Ω = 3
Xét một tinh thể rắn gồm nút mạng. Mỗi nút mạng có thể xem gần đúng gồm 3 dao động tử điều
hòa lượng tử một chiều độc lập phân biệt được, dao động với cùng tần số góc . Năng lượng tổng
cộng của tinh thể là
= ℏ
+
3
2
ℏ =
Trong đó, là số lượng tử của dao động tử điều hòa thứ . Số lượng tử của mạng tinh thể được
giữ ở = ∑
.
a. Tính số trạng thái vi mô khả dĩ dứng với năng lượng và số lượng tử .
b. Hãy tìm hàm entropy theo nhiệt độ và số nút mạng .
a. Số trạng thái vi mô khả dĩ ứng với năng lượng và số lượng tử cũng giống như cách
sắp xếp hạt vào 3 cái hộp. Ta biểu diễn 3 cái hộp từ 3 + 1 vạch thẳng đứng, còn
các hạt biểu diễn bằng các ngôi sao (*), chẳng hạn như:
│**│*│***│****││*│
Như vậy, ở ngoài cùng luôn là 2 vạch thẳng đứng, bên trong còn lại 3 − 1 vạch và hạt.
Ta có số cách sắp xếp khác nhau bằng số cách chọn phần tử trong 3 − 1 + phần tử
bên trong:
=
(3 − 1 + )!
!(3 − 1)!
Số trạng thái vi mô khả dĩ ứng với năng lượng và số lượng tử là:
Ω =
(3 − 1 + )!
!(3 − 1)!
Entropy vi chính tắc của hệ có dạng:
∗ = lnΩ = ln
(3 − 1 + )!
!(3 − 1)!
Vì ≫ 1, áp dụng công thức Stirling, suy ra:
∗ = ln
(3 + )!
!(3 )!
= [ln(3 + )!− ln !− ln3 !]
= [(3 + )ln(3 + )− (3 + )− ln + − 3 ln3 + 3 ]
= [(3 + )ln(3 + )− ln − 3 ln3 ]
Năng lượng tổng cộng của hệ:
= +
3
2
ℏ ⇒ =
ℏ
−
3
2
Thay vào ∗, ta được:
∗ = 3 +
ℏ
−
3
2
ln 3 +
ℏ
−
3
2
−
ℏ
−
3
2
ln
ℏ
−
3
2
− 3 ln3
Gọi ∗ là nhiệt độ vi chính tắc, ta có hệ thức:
1
∗
=
∗
⇒
1
∗
=
ℏ
ln 3 +
ℏ
−
3
2
+ 1 − ln
ℏ
−
3
2
− 1
=
ℏ
ln 3 +
ℏ
−
3
2
− ln
ℏ
−
3
2
=
ℏ
ln
3 +
ℏ
−
3
2
ℏ
−
3
2
=
ℏ
ln 1 +
3
⇒
ℏ
∗
= ln 1 +
3
⇒
ℏ
∗ = 1 +
3
⇒ =
3
ℏ
∗ − 1
Thay vào ∗, ta được đáp số:
∗( ∗, )= 3 +
3
ℏ
∗ − 1
ln 3 +
3
ℏ
∗ − 1
−
3
ℏ
∗ − 1
ln
3
ℏ
∗ − 1
− 3 ln3
Một hạt có spin ½ được đặt vào trong từ trường ⃗ sẽ có thể hướng dọc theo từ trường hoặc ngược
lại. Năng lượng tương ứng là
ℋ = ⃗ ⃗ =
+ , ↓
− , ↑
a. Một hệ có ba hạt đặt vào trong từ trường ⃗ . Các hạt là phân biệt được. Các trạng thái vĩ
mô có cùng tổng năng lượng được xem là cùng một trạng thái vĩ mô. Hãy tính số trạng
thái vi mô và số trạng thái vĩ mô tương ứng.
b. Xét hệ hạt phân biệt được. Hãy tính số trạng thái vi mô tương ứng với trạng thái vĩ mô
được xác định bởi năng lượng .
a. Số trạng thái vi mô: Ω = 8
Số trạng thái vĩ mô: Ω = 4
1 hạt mang 2 giá trị spin (↓,↑), do đó 3 hạt có Ω = 2 = 8 trạng thái vi mô.
3 hạt sẽ có 4 trạng thái vĩ mô là:
+ 3 hạt có spin cùng chiều ⃗ (−3 )
+ 2 hạt có spin cùng chiều ⃗ và 1 hạt có spin ngược chiều ⃗ (− )
+ 1 hạt có spin cùng chiều ⃗ và 2 hạt có spin ngược chiều ⃗ (+ )
+ 3 hạt có spin ngược chiều ⃗ (+3 )
↑↑↑ ⟶ −3
↑↑↓ ↑↓↑ ↓↑↑ ⟶ −
↓↓↑ ↓↑↓ ↑↓↓ ⟶ +
↓↓↓ ⟶ +3
b. Ta có: − ≤ ≤ +
Năng lượng: = với ∈ ℤ
⃗
Gọi là số hạt có spin hướng lên ↑ (cùng chiều ⃗ )
số hạt có spin hướng xuống ↓ (ngược chiều ⃗ ) là
Ta có: = − và = +
⇒ =
−
2
=
−
2
Số trạng thái vi mô tương ứng với trạng thái vĩ mô được xác định bởi năng lượng E cũng chính là
cách sắp xếp hạt trong vị trí.
=
!
−
2 !
+
2 !
Thành phần Hamiltonian theo spin của một hệ ion được cho bởi:
ℋ =
Trong đó, có thể có các giá trị 0, ±1. Thành phần Hamiltonian này mô tả hiệu ứng tĩnh điện lên
các ion spin 1.
a. Hãy chứng tỏ rằng, số trạng thái vi mô khả dĩ ứng với trạng thái vĩ mô có năng lượng là
( , )=
!
−
!
− ! !
b. Với , → ∞ và / = vẫn không đổi, chứng tỏ rằng:
1
=
2 − 1 −
1 −
−
Biểu thức này là entropy trung bình trên mỗi hạt trong hệ đơn vị hằng số Boltzmann .
a. Số trạng thái vi mô ứng với bộ 3 số ( , , ) với = + − là:
Ω( , , )=
=
!
!( − )!
( − )!
!( − − )!
=
!
! ! !
Số trạng thái ứng với năng lượng và số ion :
Ω( , )=
!
! ! !
, ,
Ta lại có:
+ + =
+ =
Thay vào Ω( , ), ta được:
Ω( , )=
!
− ! ! −
!
=
!
−
!
− ! !
b. Ta xét gần đúng :
!
! ! !
≈
!
2 !
2 ! !
=
!
2
!
!
=
!
2
!
−
!
Vì
= ⇒
=
Ta có :
lnΩ = ln !− 2ln
2
!− ln −
!
≈ ln − −
ln
2
+
− −
ln −
+ −
1
lnΩ = ln −
ln
2
− 1 −
ln −
= ln −
ln − ln2 + ln
− 1 −
ln + ln 1 −
= ln −
ln +
ln2 −
ln
− ln +
ln − 1 −
ln 1 −
=
ln2 − 1 −
ln 1 −
−
ln
Entropy :
= lnΩ =
ln2 − 1 −
ln 1 −
−
ln
Hãy vẽ quỹ đạo pha trong mỗi trường hợp sau:
a. Chất điểm khối lượng m chuyển động theo quán tính.
b. Chất điểm khối lượng m rơi tự do không vận tốc đầu ở nơi có gia tốc trọng trường g.
c. Dao động tử điều hòa một chiều.
d. Chất điểm M khối lượng m mang điện tích –e (e > 0), chuyển động trong điện trường của
một điện tích điểm +e đứng yên. Cho biết vị trí và vận tốc lúc đầu của M là r0 và v0 = 0.
a. Chất điểm khối lượng m chuyển động theo quán tính
= + =
2
⎩
⎨
⎧ ̇ =
=
=̇ −
= 0
⇒
=
+
=
b. Chất điểm khối lượng m rơi tự do không vận tốc đầu ở nơi có gia tốc trọng trường g.
= + =
2
+
⎩
⎨
⎧ ̇ =
=
=̇ −
= −
⇒
=
+
= −
⇒
=
+
=
−
⇒
=
−
+
=
−
⇒
= − +
=
−
O q
p
=
1
; =
c. Dao động tử điều hòa một chiều
= + =
2
+
1
2
⎩
⎨
⎧ ̇ =
=
=̇ −
= −
⇒
= ̇
=̇ −
⇒
=̇ ̈
̈ = −
⇒
=̇ ̈
̈ + = 0
⇒
= cos( + )
= sin( + )
⇒
+
= 1
O q
p
O q
p
q0
p0
d. Chất điểm M khối lượng m mang điện tích –e (e > 0), chuyển động trong điện trường của
một điện tích điểm +e đứng yên. Cho biết vị trí và vận tốc lúc đầu của M là r0 và v0 = 0.
= + =
2
−
⎩
⎪
⎨
⎪
⎧ ̇ =
=
=̇ −
= −
⇒
=
+
= −
⇒
= −
+
= −
⇒
= −
+
= −
⇒
⎩
⎪
⎨
⎪
⎧ =
1 +
= −
Tính thể tích pha trong các trường hợp sau:
a. Dao động tử điều hòa.
b. Hạt chuyển động phi tương đối tính trong thể tích V.
c. Hạt chuyển động tương đối tính trong thể tích V.
d. Hạt chuyển động siêu tương đối tính trong thể tích V.
a. Dao động tử điều hòa: Thể tích pha = diện tích elip
Γ( )= = = √2
2
=
2
O q
p
r0
b. Hạt chuyển động phi tương đối tính trong thể tích V:
=
2
⇒ = √2
Thể tích pha:
Γ( )= ⃗ ⃗ = ⃗
⃗
= =
= 4
=
4
3
=
4
3
√2
c. Hạt chuyển động tương đối tính trong thể tích V:
= + ⇒ =
√ −
Thể tích pha:
Γ( )=
4
3
=
4
3
√ −
d. Hạt chuyển động siêu tương đối tính trong thể tích V:
= ⇒ =
Thể tích pha:
Γ( )=
4
3
=
4
3
Trong thể tích V có N hạt khí lí tưởng tuân theo phân bố vi chính tắc với năng lượng E. Tính thể
tích pha, entropy S và nhiệt độ T đối với hệ đã cho, tìm phương trình trạng thái.
=
2
⇒ = √2
Thể tích pha:
Ω( )=
4
3
(2 )
Entropy:
= lnΩ = ln
4
3
+ ln +
3
2
ln(2 )
Nhiệt độ:
1
∗
=
⇒
1
∗
=
3
2
⇔ ∗ =
2
3
Áp suất:
∗ = ∗
∗
= ∗
Phương trình trạng thái:
∗ = ∗
Xét vector ⃗ = ⃗ có độ lớn không đổi, quay đều quanh gốc O của trục ⃗ theo chiều dương
của vòng trong lượng giác.
a. Tính xác suất để góc ⃗ ; ⃗ có giá trị trong khoảng và + .
b. Tính mật độ xác suất ( ) để hình chiếu của ⃗ có giá trị là trên trục ⃗ . Vẽ đường
biểu diễn của ( ) theo .
a. Xác suất để góc ⃗ ; ⃗ có giá trị trong khoảng và + .
=
2 ∫ sin
2 ∫ sin
=
cos − cos( + )
1
= cos − cos( + )
b. Mật độ xác suất ( ) để hình chiếu của ⃗ có giá trị là trên trục ⃗
( )=
2 −
4
=
1
2
1
−
Xét hàm phân bố có dạng hàm mũ ( )= với > 0, ≥ 0. (Hàm phân bố này đặc trưng
cho quá trình phân rã phóng xạ, sự biến thiên của số phân tử khí theo độ cao,).
a. Hãy chuẩn hóa ( ).
b. Hãy tính trị trung bình, phương sai và độ thăng giáng của .
a. Chuẩn hóa:
= 1 ⇒ =
Hàm chuẩn hóa: ( )=
b. Trị trung bình:
=
=
1
Phương sai:
=
1
=
=
2
(∆ ) = −
=
2
−
1
=
1
Độ thăng giáng:
(∆ ) =
1
=
1
Cho phân bố chuẩn một chiều (phân bố Gauss):
( )=
1
√2
( )
, − ∞ < < +∞
a. Chứng minh rằng ( ) đã được chuẩn hóa.
b. Tính và (∆ ) .
c. Cho = 0, chứng minh rằng entropy của phân bố trên là √2 .
d. Chứng tỏ rằng nếu trung bình = 0 và phương sai là những hằng số thì entropy thu
được ở câu trên chính là entropy cực đại.
a. Ta có:
= ( )
=
1
√2
( )
Đặt
=
−
⇒ =
=
√2
=
1
√2
=
1
√2
1
2
= 1
Vậy hàm ( ) đã được chuẩn hóa.
b. Tính và (∆ )
=
√2
( )
Đặt
=
−
⇒ =
= +
=
( + )
√2
=
√2
+
√2
=
√2
=
√2
1
2
=
Ta có:
=
=
√2
( )
=
( + )
√2
=
√2
+
2
√2
+
√2
=
√2
1
2
1
2
+ 0 +
√2
1
2
= +
⇒ (∆ ) = −
= +
−
=
c. Ta có:
( )=
1
√2
Entropy:
= − ( )ln ( )
= −
1
√2
ln
1
√2
=
−
√2
ln
1
√2
+ ln
=
−
√2
ln
1
√2
−
2
=
2 √2
−
ln
1
√2
√2
=
2 √2
1
2
1
2
−
ln
1
√2
√2
1
2
=
2
− ln
1
√2
=
2
[1 + ln(2 )]=
2
ln(2 )= ln 2
d. Entropy:
= − ( )ln ( )
= −
1
√2
( )
ln
1
√2
( )
Đặt:
= − ⇒ =
= −
1
√2
ln
1
√2
= ln 2
(không phụ thuộc vào )
Chứng minh cực đại khi x0, là hằng số bằng phương pháp Larange.
Xét phân bố Lorentz:
( )=
( − ) +
a. Chứng minh rằng phân bố trên đã được chuẩn hóa.
b. Gọi Độ rộng của nửa độ cao (FWHM – full width half maximum) là giá trị của ∆ tại đó
( ) có giá trị bằng 1/2 giá trị cực đại của ( ). Chứng minh rằng ∆ = 2 và các tiếp
tuyến ở độ nửa cao (cực đại) cắt nhau tại đỉnh của phân bố.
a. Ta có:
= ( )
=
( − ) +
=
+
=
1
arctan
+ ∞
−∞
=
1
2
+
2
= 1
Phân bố đã được chuẩn hóa.
b. Ta có:
[ ( )] ⇔ = ⇒ [ ( )] =
1
( )
=
[ ( )] .
∆
Khi ( )=
[ ( )] thì:
( − )
+
=
1
2
1
⇒ ( − )
+ = 2 ⇒ ( − )
= ⇒
= +
= −
⇒ ∆ = 2
Ta có:
( )=
2( − )
[( − ) + ]
Dễ thấy:
( + )= ( − )=
1
2
Và
( + )= −
( − )
Phương trình tiếp tuyến tại điểm − ; ( − ) là:
= ( − )( − + )+ ( − )
Phương trình tiếp tuyến tại điểm + ; ( + ) là:
= ( + )( − − )+ ( + )
Phương trình hoành độ giao điểm 2 tiếp tuyến:
( − )( − + )+ ( − )=
( + )( − − )+ ( + )
⇒ ( − )( − + )= −
( − )( − − )
⇒ − + = − + +
⇒ =
Vậy 2 tiếp tuyến cắt nhau tại đỉnh của phân bố.
Xét phân bố nhị thức:
( , )=
!
!( − )!
Trong trường hợp rất lớn, rất lớn và được xem như biến thiên liên tục trong vùng gần và đủ
xa , tức là hàm ( , ) biến thiên chậm trong khoảng giữa và − 1:
| ( , )− ( , − 1)|≪ ( , )
a. Xác định giá trị cái nhiên nhất của . Cho biết !≅
b. Tính giá trị trung bình, phương sai và độ thăng giáng của phân bố nhị thức.
c. Khai triển Taylor của hàm ( , ) quanh giá trị . Suy ra rằng ở trong những điều
kiện đã cho ở trên, phân bố nhị thức tương đương với phân bố Gauss. Hãy chuẩn hóa hàm
phân bố này.
a. Ta có:
ln ( , )= 0
⇒
[ln !− ln !− ln( − )!+ ln + ( − )ln ]= 0
⇒
[ ln − − ln + − ( − )ln( − )+ − + ln
+ ( − )ln ]= 0
⇒
[ ln − ln − ( − )ln( − )+ ln + ( − )ln ]= 0
⇒ − ln − 1 + ln( − )+ 1 + ln − ln = 0
⇔ ln
−
= ln
= ln
1 −
⇒
=
1
⇒ =
b. Giá trị trung bình:
=
!
!( − )!
=
!
!( − )!
=
( − 1)!
( − 1)!( − )!
=
= ( + )
=
Tương tự ta có:
=
!
!( − )!
=
!
!( − )!
=
( − 1)!
( − 1)!( − )!
= ( − 1)
( − 1)!
( − 1)!( − )!
+
( − 1)!
( − 1)!( − )!
= ( − 1)
( − 1)!
( − 1)!( − )!
+
( − 1)!
( − 1)!( − )!
= ( − 1)
( − 2)!
( − 2)!( − )!
+
( − 1)!
( − 1)!( − )!
= ( − 1)
+
= [( − 1) ( + )
+ ( + )
]= [( − 1) + 1]
= [ − + 1]= ( )
+
Phương sai: (∆ ) = − = ( )
+ − ( )
=
Độ thăng giáng: ∆ = (∆ ) =
c. Khai triển Taylor hàm ln ( , ):
Ta có:
( , )=
!
!( − )!
≈
( − )
≈
−
Đặt = − ⇒
= +
− = −
Ta có:
( , )=
+
−
=
+
−
=
+ 1
1 −
Ta lại có:
ln(1 + )= −
1
2
+
1
3
− ⋯
ln(1 − )= − −
1
2
−
1
3
− ⋯
Vì: → = ⇒ ⟶ 0, suy ra:
ln ( , )= −( + )ln 1 +
+ ( − )ln 1 −
≈ −( + )
−
1
2
− ( − )
+
1
2
= −
+
2( )
− +
2
−
−
2( )
+ +
2
= −
+
2( )
+
2
−
−
2( )
+
2
= −
2
2
+
2
−
2
2
+
2
+
2( )
−
2( )
= −
2
−
2
+
2( )
−
2( )
= −
2
+
2( )
−
2( )
≈ −
2
Vậy:
( , )≈
=
( )
(gần giống phân bố Gauss)
Chuẩn hóa hàm:
( , )≈
( )
Ta có:
= ( , )
=
( )
Đặt
=
−
⇒ =
=
=
= √2 = 1 ⇒ =
1
√2
Phân bố Poisson được định nghĩa bởi xác suất để một biến ngẫu nhiên có những giá trị n (nguyên,
dương, hay bằng không) và
=
!
, > 0
a. Chứng minh rằng đã chuẩn hóa.
b. Tính
a. Ta có:
=
!
=
!
= = 1
Vậy đã chuẩn hóa
b. Ta có:
=
=
!
=
!
=
!
= ( )
=
=
Vậy =
Theo định luật Maxwell, số phân tử khí có vận tốc ở trong khoảng [ , + ] được phân bố theo
công thức: = ( ) , với ( )=
, trong đó, là động năng của mỗi phân tử,
là nhiệt độ của khối khí, và là hằng số Boltzmann. là tổng số phân tử khí.
a. Xác định hằng số .
b. Hãy so sánh vận tốc trung bình ,̅ vận tốc toàn phương trung bình và vận tốc cái
nhiên nhất . (Vận tốc cái nhiên nhất được định nghĩa bởi
( )
= 0).
c. Hãy tính vận tốc trung bình, vận tốc toàn phương trung bình và vận tốc cái nhiên nhất của
các phân tử CO ở 300K và 1000K.
a. Chuẩn hóa:
= 1 ⇒
= 1 ⇒
1
4
2
= 1
⇒ = 4
1
2
= 4
2
b. Vận tốc trung bình:
=̅ ( )
= 4
2
= 4
2
1
2
2
= 8
2
= 8
1
(2 )
=
8
Vận tốc toàn phương trung bình:
= ( )
= 4
2
= 4
2
3
8
2
=
3
2
2
2
=
3
2
2
=
3
Vận tốc cái nhiên nhất, ta có:
( )
= 0 ⇒
= 0 ⇒
= 0 ⇒ 2
−
= 0
⇒
= 2 ⇒ =
2
So sánh:
< <̅
c. Ở 300K:
=
3
=
3.1,38.10 .300
28.1,66.10
= 16,65 ⁄
=
2
=
2.1,38.10 .300
28.1,66.10
= 13,6 ⁄
Ở 1000K:
=
3
=
3.1,38.10 .1000
28.1,66.10
= 30,4 ⁄
=
2
=
2.1,38.10 .1000
28.1,66.10
= 24,82 ⁄
Xét một khối khí lý tưởng đơn nguyên tử gồm phân tử ( ≫ 1) chứa trong một bình có thể tích
không đổi. Gọi là xác suất tìm thấy phân tử nằm trong vùng thể tích ( là một thể tích
nhỏ nằm trong thể tích ).
a. Chứng minh rằng, tuân theo phân bố nhị thức:
=
!
!( − )!
1 −
b. Chứng tỏ rằng ở trường hợp giới hạn ≪ , phân bố trên sẽ trở thành phân bố Poisson:
=
〈 〉
!
〈 〉
Trong đó, 〈 〉 là số hạt trung bình chứa trong thể tích .
Cho biết các công thức:
→
1 −
= ; !≅ ( − )! ℎ ≪
a. Xác suất để 1 phân tử nằm trong vùng thể tích :
=
Xác suất để 1 phân tử không nằm trong vùng thể tích :
= 1 −
Gọi Gọi là xác suất tìm thấy phân tử nằm trong vùng thể tích ⇒ tuân theo phân bố nhị
thức:
=
=
!
!( − )!
1 −
b. Ta đặt:
〈 〉=
Vì ≪ ⇒
〈 〉
→ 0
Ta có:
=
!
!( − )!
〈 〉
1 −
〈 〉
≈
( − )!
!( − )!
〈 〉
1 −
〈 〉
1 −
〈 〉
=
〈 〉
!
〈 〉
Xét hệ vật lý là một dao động tử điều hòa tuyến tính:
= ( + )
Trị trung bình theo thời gian của một đại lượng vật lý nào đó của dao động tử này được tính
theo công thức:
=
1
( )
Với là chu kỳ của dao động tử.
a. Hãy tính và .
b. Xét tập hợp thống kê của nhiều dao động tử điều hòa tuyến tính có cùng tần số góc và
có cùng năng lượng toàn phần. Giả sử rằng các giá trị của pha ban đầu đều đồng xác
suất trong khoảng 0 và 2 (giả thiết vi chính tắc).
Trị trung bình trên tập hợp của một đại lượng được tính theo công thức:
=̅
1
2
( )
Hãy tính ̅và . Suy ra rằng hệ các dao động tử này là tập hợp ergodic.
a. Trị trung bình theo thời gian:
=
1
( )
=
1
cos( + )
=
cos
2
+
=
2
sin
2
+
= 0
=
1
( )
=
1
cos ( + )
=
1 − cos(2 + 2 )
2
=
2
=
2
b. Trị trung bình theo tập hợp:
=̅
1
2
( )
=
2
cos( + )
=
2
sin( + )|
=
2
[sin( + 2 )− sin( )]= 0
=
1
2
( )
=
2
cos ( + )
=
2
1 − cos(2 + 2 )
2
=
2
2
=
2
Vậy: = ̅và = (phù hợp với nguyên lý ergodic)
Một cylinde chứa khí hydro ở điều kiện tiêu chuẩn. Hãy ước tính:
a. Mật độ phân tử hydro trong bình.
b. Số va chạm trong 1 giây trên một đơn vị diện tích thành cylinde.
c. Quãng đường tự do trung bình của một phân tử hydro.
a. Mật độ phân tử hydro trong bình:
=
=
=
22,4
=
6,023.10
22,4
= 2,689.10 ℎạ / = 2,689.10 ℎạ /
b. Số va chạm trong 1 giây trên một đơn vị diện tích:
= √2 ℎ =
c. Quãng đường tự do trung bình:
=
1
√2
=
1
√2 (1,1.10 ) .2,689.10
= 6,92.10
Một khí lý tưởng trong giếng thế điều hòa. Hệ N hạt khí lý tưởng không phân biệt được, khối
lượng mỗi hạt là m1 chuyển động trong giếng thế:
( )=
2
a. Xác định hàm tổng thống kê.
b. Viết phương trình trạng thái.
Năng lượng của 1 hạt:
=
2
+
2
Hàm tổng thống kê 1 hạt:
=
1
(2 ℏ)
⃗ ⃗
=
1
(2 ℏ)
⃗
⃗
Ta có:
⃗ =
= √2
⃗ =
4
=
2
8
Vậy:
=
1
(2 ℏ)
√2
8
2
=
4
(2 ℏ)
√2
2
Hàm tổng thống kê N hạt:
=
1
!
⃗ ⃗ . ⃗ ⃗
(2 ℏ)
∑
=
1
!
=
1
(2 ℏ)
√2
2
Năng lượng tự do:
= − ln = − ln
4
(2 ℏ)
√2
2
= − ln
4
(2 ℏ)
√2
2
− ln
Phương trình trạng thái:
= −
=
⇒ =
Mô hình zipper:
Một zipper (dây khóa kéo) có N liên kết. Mỗi liên kết chỉ có thể ở một trong hai trạng thái: đóng
có mức năng lượng 0, mở có mức năng lượng . Zipper chỉ có thể mở từ một phía (quy ước bên
trái). Liên kết thứ n chỉ mở được nếu các liên kết trái nó đều mở.
a. Tìm hàm tổng thống kê trên.
b. Tìm số liên kết được mở trung bình.
c. Ở nhiệt độ thấp ( → 0), trạng thái của zipper như thế nào?
a. Ta có:
Trạng thái 0 có 0 liên kết mở, năng lượng: = 0
Trạng thái 1 có 1 liên kết mở, năng lượng: =
Trạng thái có liên kết mở, năng lượng: = .
Hàm tổng thống kê:
=
= 1 + + + ⋯ + =
1 − ( )
1 −
=
1 − ( )
1 −
Với
=
b. Số liên kết được mở trung bình:
=
=
∑
∑
=
(∑ )
∑
= ln
= [ln(1 − )− ln(1 − )] =
− ( + 1)
1 −
+
1
1 −
=
(1 − )
−
( + 1)
1 −
c. Ở nhiệt độ thấp: → 0 ⇒ → ∞ ⇒ → 0 ⇒ = 0
Một bình chứa N hạt khí lý tưởng không phân biệt được ở nhiệt độ T và áp suất p1, thể tích bình là
V.
a. CMR: = ( ⁄ )− ( ), trong đó ( ) là hàm chỉ phụ thuộc nhiệt độ.
b. Bình thứ hai cùng loại khí, cùng số hạt và nhiệt độ ở áp suất p2. Viết biểu thức tổng
entropy của 2 bình.
c. Rút vách ngăn để khí trong 2 bình trộn lẫn mà không sinh công. Viết biểu thức độ biến
thiên entropy trước và sau khi rút vách ngăn.
d. Xét trường hợp p1 = p2, tìm độ biến thiên entropy.
a. Hàm tổng thống kê:
=
1
!
1
(2 ℏ)
(2 )
=
1
!
(2 )
(2 ℏ)
Đặt
( )=
(2 )
(2 ℏ)
Năng lượng tự do:
= − ln = − [− ln !+ ln + ln ( )]
= [ln !− ln − ln ( )]
= [ ln − − ln − ln ( )]
= ln
− [1 + ln ( )]
Entropy:
= −
= − ln
− ( )= ln
− ( )
Với:
( )= −
{ [1 + ln ( )]}
b. Quá trình đẳng nhiệt:
= =
Entropy bình thứ 2:
= ln
− ( )
Entropy 2 bình:
= + = ln
− ( )+ ln
− ( )
= ln
− 2 ( )
c. Nguyên lý thứ I nhiệt động lực học: = +
Do = 0 và = 0 nên = 0 ⇒ ∆ = 0 ⇒ không đổi.
Lúc sau: thể tích = + , số hạt
= 2
⇒ =
ln
− ( )
= 2 ln
+
2
− 2 ( )
= ln
( + )
4
− 2 ( )
⇒ ∆ = − = ln
( + )
4
− ln
= ln
( + )
4
Dễ thấy:
( + )
4
≥ 1 ⇒ ∆ ≥ 0
d. Khi = ⇒ = ⇒ ∆ = 0
Hệ 2 mức năng lượng
Hệ gồm N hạt phân biệt được, mỗi hạt có thể ở một trong hai trạng thái có năng lượng là 0 và .
Gọi ⁄ là năng lượng trung bình của một hạt.
a. Tính giá trị cực đại của ⁄ .
b. Tính entropy trung bình của N hạt.
a. Hàm tổng thống kê 1 hạt:
=
≈ 1 +
Hàm tổng thống kê hệ N hạt:
=
= 1 +
Năng lượng trung bình của hệ:
= −
ln == −
ln 1 +
=
1 +
Suy ra:
=
1 +
=
1 +
⇔ 1 +
⇒ = 0 ⇒ → ∞
Khi đó:
=
2
b. Năng lượng tự do:
= − ln = − ln 1 +
= − ln 1 + = − ln 1 +
Entropy:
= −
= ln 1 + +
1 +
= ln 1 + +
(1 + )
Entropy trung bình:
= ln 1 + +
(1 + )
Xét một khối khí lý tưởng đặt trong trọng trường đều g. Các hạt xem như không phân biệt được.
1. Chứng minh rằng ở trạng thái chính tắc, hàm phân bố mật độ phân tử theo độ cao z có
dạng:
( )=
2. Từ kết quả trên, hãy suy ra hệ thức tính áp suất:
( )=
1. Năng lượng 1 hạt:
=
2
+
Hàm tổng thống kê 1 hạt:
=
1
(2 ℏ)
⃗ ⃗ =
1
(2 ℏ)
⃗ ⃗
=
1
(2 ℏ)
√2
=
1
(2 ℏ)
√2
Xác suất để hạt ở trong khoảng ⃗ → ⃗ + ⃗ ; ⃗ → ⃗ + ⃗ là:
⃗, ⃗ =
1
⃗ ⃗ =
⃗, ⃗
⇒ ⃗, ⃗ =
⃗ ⃗
Số hạt có tọa độ từ ⃗ → ⃗ + ⃗ là:
⃗ =
⃗
⃗ =
⃗ √2
Hàm phân bố mật độ phân tử:
⃗
⃗
=
√2
Hay:
=
Với:
=
√2
=
1
(2 ℏ)
√2
√2
=
(2 ℏ)
2. Phương trình trạng thái khí lý tưởng:
=
Áp suất:
= =
=
Một hệ khí lý tưởng cân bằng nhiệt độ T gồm các hạt độc lập có khối lượng m, chuyển động trong
thế năng ( )= , với 0 ≤ ≤ ∞ , > 0 và > 0.
1. Tìm hàm tổng thống kê của hệ.
2. Tìm năng lượng trung bình của một hạt.
3. Tìm lại kết quả trên trong trường hợp hạt chuyển động trong trọng trường đều.
1. Năng lượng 1 hạt:
=
2
+
Hàm tổng thống kê 1 hạt:
=
1
2 ℏ
⃗ ⃗ =
1
2 ℏ
⃗
⃗
=
1
2 ℏ
=
√2
2 ℏ
Đặt:
= ⇒ =
⇒ =
1
( )
⇒ =
=
1
( )
=
1
( )
Γ
1
Vậy:
=
√2
2 ℏ ( )
Γ
1
2. Thế năng trung bình của 1 hạt:
= −
ln = −
ln
√2
2 ℏ ( )
Γ
1
= −
ln
√2
2 ℏ
Γ
1
−
ln( )
=
1
=
3. Hạt chuyển động trong trọng trường đều:
= ⇒ = 1 ⇒ =
Xét một hệ khí gồm N hạt không phân biệt. Mỗi hạt khí được xem là một quả cầu có thể tích là ,
với khối tâm có thể chuyển động trong vùng có thể tích là ≫ . Các hạt khí xem như không
tương tác với nhau, ngoại trừ khi va chạm.
1. Hãy viết biểu thức entropy S của hệ dưới dạng hàm của năng lượng E.
Trong bài này, ta sử dụng phép gần đúng
( − )( − ( − ) )≃ −
2
2. Viết phương trình trạng thái cho hệ khí này.
3. Chứng tỏ rằng hệ số nén đẳng nhiệt của hệ luôn dương.
Hệ số nén đẳng nhiệt được tính theo công thức:
= −
1
1. Số trạng thái:
Ω =
1
!(2 ℏ)
⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗
=
1
!(2 ℏ)
⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗
Trong đó:
= ⃗ ⃗ ⃗ ∝
= ⃗ ⃗ ⃗ = ( − )( − 2 ) ( − ( − 1) )
Mà:
( − )( − ( − ) )≃ −
2
= .( − )( − ( − 1) ).( − 2 )( − ( − 2) ) = −
2
= −
2
Do đó:
Ω =
!(2 ℏ)
−
2
Entropy:
= lnΩ = ln
!
− 3 ln(2 ℏ)+
3
2
ln + ln + ( − 1)ln −
2
2. Ta có phương trình trạng thái:
=
=
1
+
− 1
−
2
≈
−
2
−
2
≈
−
2
=
−
2
=
−
2
⇒ =
+
2
3. Hệ số nén đẳng nhiệt:
= −
1
= −
1
−
=
> 0
Xét một hệ khí gồm N hạt không phân biệt được chứa trong thể tích V. Thế năng tương tác giữa
hai hạt có dạng:
( )=
∞ ; <
−
; >
Với là khoảng cách giữa hai hạt, và là các hằng số.
1. Giả sử mỗi phân tử có thể xem là chuyển động trong thế năng hiệu dụng (giống nhau
cho mỗi phân tử) do tất cả các phân tử khác sinh ra. Chứng tỏ rằng ta có thể viết hàm tổng
thống kê của hệ dưới dạng:
=
1
!
(2 )
(2 ℏ)
( − )
2. Sử dụng phép gần đúng ( − 1)≃ khi rất lớn, hãy suy ra phương trình trạng thái
của hệ (phương trình Van der Waals) có dạng:
+
( − )=
1. Hàm tổng thống kê của N hạt:
=
1
!
1
(2 ℏ)
⃗ ⃗
Với ⃗ = ⃗ ⃗ ⃗ và ⃗ = ⃗ ⃗ ⃗
=
1
!(2 ℏ)
∑
⃗ ⃗ =
1
!(2 ℏ)
√2
⃗
Trong một thể tích nào đó mà → ∞ (do lực đẩy rất mạnh) và trong thể tích còn lại −
có thể xem = = .
Vậy:
=
(2 )
!(2 ℏ)
( − )
2. Số cặp hạt :
=
!
2!( − 2)!
=
( − 1)
2
≈
2
Một hạt chịu tương tác của ( − 1) hạt còn lại với thế năng hiệu dụng
Cả hệ có thế năng hiệu dụng là .
Gọi là thế năng tương tác trung bình của mỗi cặp hạt, thế năng toàn hệ là ( /2) .
Ta có :
=
2
⇒ =
2
=
2
( ) ( )
=
2
∫ ( )
=
2
( )4
=
2
−
=
− 2
=
2
3
= −
Với :
= −
2
3
Thể tích cấm của hệ khí là :
=
2
4
3
⇒ =
2
3
=
Với :
=
2
3
Vậy :
=
(2 )
!(2 ℏ)
( − )
=
(2 )
!(2 ℏ)
( − )
Phương trình trạng thái :
=
1
ln =
1
ln
(2 )
!(2 ℏ)
+ ln( − )−
=
−
−
⇒ +
( − )=
1. Hãy vẽ đồ thị ( , ) của khí thực ứng với các giá trị khác nhau của nhiệt độ.
2. Từ phương trình Van der Waals đối với khí thực, hãy chứng minh các đẳng thức sau cho
các giá trị tới hạn :
=
8
27
, = 3 , =
27
1. Phương trình Van der Waals :
+
( − )=
Suy ra :
=
−
−
Ta có đồ thị :
2. Xác định các điểm tới hạn:
Ta có:
⎩
⎪⎪
⎨
⎪⎪
⎧ =
−
−
= 0
= 0
⇒
⎩
⎪⎪
⎨
⎪⎪
⎧ =
−
−
−
( − )
+
2
= 0
2
( − )
−
6
= 0
⇒
⎩
⎪⎪
⎨
⎪⎪
⎧ =
−
−
( − )
=
2
( − )
=
3
⇒
⎩
⎪⎪
⎨
⎪⎪
⎧ =
−
−
3
2 ( − )
=
3
( − )
=
3
⇒
⎩
⎪⎪
⎨
⎪⎪
⎧ =
−
−
3
2
=
1
−
( − )
=
2
⇒
⎩
⎪
⎨
⎪
⎧ =
−
−
2 = 3 − 3
( − )
=
2
⇒
⎩
⎪
⎨
⎪
⎧ =
−
−
= 3
(3 − )
=
2
(3 )
⇒
⎩
⎪
⎨
⎪
⎧ =
−
−
= 3
4
=
2
27
⇒
⎩
⎪
⎨
⎪
⎧ =
−
−
= 3
=
8
27
⇒
⎩
⎪
⎨
⎪
⎧
=
8
27
3 −
−
(3 )
= 3
=
8
27
⇒
⎩
⎪
⎨
⎪
⎧ =
4
27
−
9
= 3
=
8
27
⇒
⎩
⎪
⎨
⎪
⎧ =
27
= 3
=
8
27
Xét một khối khí tuân theo phương trình trạng thái Dietrici:
( − )=
Trong đó, , là các hằng số, , , , là áp suất, thể tích, nhiệt độ và số mol. Hãy tìm các thông
số tới hạn , , .
Ta có:
=
−
Xác định điểm tới hạn:
⎩
⎪
⎨
⎪
⎧ =
−
= 0
= 0
⇒
⎩
⎪⎪
⎨
⎪⎪
⎧ =
−
−
( − )
+
−
= 0
= 0
⇒
⎩
⎪⎪
⎨
⎪⎪
⎧ =
−
−
−
( − )
= 0
2
( − )
−
(3 − 2 )
( − )
+
−
−
( − )
= 0
⇒
⎩
⎪⎪
⎨
⎪⎪
⎧ =
−
=
−
1
−
2
−
−
(3 − 2 )
+
−
−
= 0
⇒
⎩
⎪
⎨
⎪
⎧ =
−
=
−
2
=
3 − 2
⇒
⎩
⎪
⎨
⎪
⎧ =
−
(2 )
=
2 −
= 2
⇒
⎩
⎪
⎨
⎪
⎧ =
−
=
4
= 2
⇒
⎩
⎪
⎨
⎪
⎧
=
4
2 −
=
4
= 2
⇒
⎩
⎪
⎨
⎪
⎧ =
4
=
4
= 2
⇒
⎩
⎪
⎨
⎪
⎧ =
4
=
4
= 2
Động năng trung bình của các nguyên tử Hidro trong khí quyển của một ngôi sao nào đó (giả
thiết là ở trạng thái cân bằng nhiệt) là 1.0 eV.
1. Nhiệt độ của khí quyển đó tính bằng độ Kelvin là bao nhiêu?
2. Tỉ lệ của số nguyên tử ở trạng thái kích thích thứ hai (n = 3) đối với số nguyên tử ở trạng
thái cơ bản là bao nhiêu?
1. Năng lượng 1 hạt:
=
2
⇒ =
3
2
⇒ =
2
3
=
2.1.1,6.10
3.1,38.10
= 3864,73
2. Xác suất để 1 hạt ở mức năng lượng :
=
1
=
⇒
⎩
⎨
⎧ =
=
⇒
= ( ) =
( ) =
,
,
= 1,33.10
Một hình trụ bán kính a chiều dài L chứa khí lý tưởng đơn nguyên tử. Hình trụ này quay đều với
vận tốc góc quanh trục đối xứng của nó. Khối khí bên trong cân bằng ở nhiệt độ T trong một hệ
tọa độ quay cùng với hình trụ. Giả thiết rằng các nguyên tử của chất khí có khối lượng m và
không phân biệt được.
1. Tìm biểu thức năng lượng của hệ.
2. Tìm hàm tổng thống kê của hệ.
1. Năng lượng 1 hạt:
=
2
+ −
1
2
Với thế năng:
=
∞ ; à ℎì ℎ ụ
0 ; ℎì ℎ ụ
Năng lượng của hệ:
=
2. Hàm tổng thống kê 1 hạt:
=
1
(2 ℏ)
Với:
=
⃗ = (2 )
=
⃗ =
= 2
=
2
1
2
=
2
− 1
Vậy:
=
2
− 1 (2 )
(2 ℏ)
Một dao động tử điều hóa lượng tử một chiều ở trong trạng thái cân bằng nhiệt với một bình điều
nhiệt tại nhiệt độ T.
1. Xác định giá trị trung bình của dao động tử, , xem như là một hàm của T.
2. Xác định giá trị của ∆ , tức độ thăng giáng năng lượng.
3. Xác định giá trị của và ∆ ở các giới hạn ≪ ℏ và ≫ ℏ
1. Hàm tổng thống kê 1 hạt:
=
=
ℏ
=
ℏ ℏ
=
ℏ 1
1 − ℏ
=
1
ℏ −
ℏ
Năng lượng trung bình 1 hạt:
=
=
∑
∑
= −
= −
ln( )== −
ln1 − ln
ℏ −
ℏ
=
1
2ℏ
ℏ +
1
2ℏ
ℏ
ℏ −
ℏ
=
1
2ℏ
ℏ +
ℏ
ℏ −
ℏ
=
1
2ℏ
ℏ + 1
ℏ − 1
=
1
2ℏ
ℏ − 1 + 2
ℏ − 1
=
ℏ
2
+
ℏ
ℏ − 1
2. Ta có:
∆ = −
Trong đó:
=
=
∑
∑
=
∑
∑
=
⇒ ∆ = − =
− −
=
−
=
=
=
ℏ
2
+
ℏ
ℏ − 1
=
(ℏ ) ℏ
( ℏ − 1)
=
ℏ
ℏ
| ℏ − 1|
3. Khi ≪ ℏ :
=
ℏ
2
+
ℏ
ℏ
− 1
=
ℏ
2
∆ =
ℏ
ℏ
ℏ
− 1
=
1
2
ℏ
ℏ
= 0
Khi ≫ ℏ :
=
ℏ
2
+
ℏ
ℏ
− 1
=
ℏ
2
+
ℏ
ℏ
=
ℏ
2
+ =
∆ =
ℏ
ℏ
ℏ
− 1
=
ℏ
ℏ
ℏ
=
ℏ
=
Xét một hệ gồm có N dao động tử điều hòa lượng tử không tương tác đang trong trạng thái cân
bằng ở nhiệt độ T. Các mức năng lượng của một dao động tử riêng lẻ là:
= +
1
2
Với = 0,1,2,
Trong đó, là hằng số và là thể tích một chiều.
1. Tìm nội năng (năng lượng trung bình) và nhiệt dung đẳng tích của hệ dưới dạng hàm
của nhiệt độ.
2. Vẽ các đồ thị của ( ) và ( ).
3. Xác định phương trình trạng thái của hệ.
1. Hàm tổng thống kê 1 hạt:
=
=
=
=
1
1 −
=
1
−
Năng lượng trung bình 1 hạt:
=
=
∑
∑
= −
= −
ln( )== −
ln1 − ln
−
=
1
2
+
1
2
−
=
1
2
+
−
=
1
2
+ 1
− 1
=
1
2
− 1 + 2
− 1
=
2
+
− 1
Năng lượng cả hệ:
= =
1
2
+
−
=
1
2
coth
2
Nhiệt dung riêng đẳng tích:
=
=
1
2
coth
2
=
1
2
coth
2
=
2
2
csch
2
=
2
csch
2
2. Các đồ thị:
3. Ta có:
= −
= −
(− ln )=
ln =
ln1 − ln
−
=
1
2
+
1
2
−
=
1
2
+
1
2
−
=
2
coth
2
Phương trình trạng thái:
=
2
coth
2
Xét một hệ gồm N dao động tử điều hòa cổ điển có tọa độ và xung lượng là { , }. Biểu thức
năng lượng của hệ có dạng:
=
2
+
2
1. Viết biểu thức của entropy dưới dạng hàm của năng lượng tổng cộng.
2. Từ kết quả trên, hãy tìm năng lượng của hệ dưới dạng hàm của nhiệt độ.
3. Tìm hàm tổng thống kê cho một dao động tử, từ đó tìm năng lượng trung bình của một dao
động tử.
1. Entropy:
= lnΩ
Với
Ω =
(2 ℏ)
=
∫ ⃗ ⃗ . ⃗ ⃗
(2 ℏ)
Năng lượng của hệ:
=
2
+
2
Sử dụng phép biến đổi chính tắc:
= √
=
√
⇒ =
2
+
2
=
2
+
2
⇒
2
= (
+
)
(Phương trình mặt cầu 2N chiều, bán kính 2 / )
⇒ =
Γ
2 + 1
=
Γ( + 1)
2
=
1
N!
2
Vậy:
= lnΩ = ln
1
N!
2
(2 ℏ)
= ln
1
!
ℏ
= − ln !+ ln
ℏ
= − ln + + ln
ℏ
= ln
+ ln
ℏ
= ln
ℏ
2. Ta có:
1
=
=
⇒ =
3. Xác suất để 1 hạt ở trạng thái năng lượng :
( , )=
Ω ,
Ω ,
2 ℏ
Trong đó:
Ω , =
1
N!
2
(2 ℏ)
Ω , =
1
( − 1)!
2 ( − )
(2 ℏ)
( , )=
1
( − 1)!
2 ( − )
(2 ℏ)
1
N!
2
(2 ℏ)
2 ℏ
=
2 ℏ
2
( − )
2 ℏ
=
2
1 −
≈
2
1 −
≈
2
1 −
≈
2
=
2
=
2
Hàm tổng thống kê:
=
2
=
2
Năng lượng trung bình 1 dao động tử điều hòa:
= −
(ln )= −
ln
2
= −
ln
2
=
1
=
Xét một hệ gồm N dao động tử điều hòa lượng tử có biểu thức năng lượng:
= +
1
2
ℏ
Với = 0,1,2, là số lượng tử của dao động tử thứ .
1. Viết biểu thức của entropy dưới dạng hàm của năng lượng tổng cộng.
2. Từ kết quả trên, hãy tìm năng lượng của hệ dưới dạng hàm của nhiệt độ.
3. Tìm hàm tổng thống kê cho một dao động tử, từ đó tìm năng lượng trung bình của một dao
động tử.
4. Nhận xét về các kết quả của dao động tử điều hòa cổ điển và lượng tử.
5. Tìm lại công thức nhiệt dung chất rắn của Einstein:
= ( ℏ )
ℏ
( ℏ − 1)
1. Năng lượng của dao động tử điều hòa:
= +
1
2
ℏ
=
2
ℏ + ℏ
⇒
ℏ
−
2
=
⇒ =
ℏ
−
2
=
Yêu cầu tìm số bộ số ( , , , ) thỏa phương trình trên.
Số trạng thái:
Ω =
=
( + − 1)!
!( − 1)!
Entropy:
= lnΩ = ln
( + − 1)!
!( − 1)!
= ln
ℏ
−
2 + − 1 !
ℏ
−
2 !
( − 1)!
2. Ta có:
1
=
=
ln
ℏ
+
2
− 1 !− ln
ℏ
−
2
!
=
ℏ
+
2
− 1 ln
ℏ
+
2
− 1 −
ℏ
+
2
− 1
−
ℏ
−
2
ln
ℏ
−
2
+
ℏ
−
2
=
ln
ℏ
+
2 − 1
ℏ
−
ln
ℏ
−
2
ℏ
=
ℏ
ln
ℏ
+
2
− 1
ℏ
−
2
≈
ℏ
ln
ℏ
+
2
ℏ
−
2
=
ℏ
ln
2 + ℏ
2 − ℏ
⇒
2 + ℏ
2 − ℏ
=
ℏ
⇒ 2 + ℏ = 2
ℏ
− ℏ
ℏ
⇒ =
ℏ 1 +
ℏ
2
ℏ
− 1
=
ℏ 2 +
ℏ
− 1
2
ℏ
− 1
= ℏ
1
2
+
1
ℏ
− 1
3. Xác suất để 1 dao động tử điều hòa trong hệ ở mức năng lượng :
=
Ω ,
Ω ,
=
=
( − + − 2)!
( − )!( − 2)!
!( − 1)!
( + − 1)!
=
( − + − 2)!
( − )!( − 2)!
!( − 1)!
( + − 1)!
=
!( − 1)!
( − )!( − 2)!
( + − − 2)!
( + − 1)!
=
[ − ( − 1)][ − ( − 2)] .( − 2)
[ + − ( + 1)][ + − ] ( + − 1)
≈
( + )
Mặt khác:
=
( + )
=
+
+
=
+
1 −
+
Ta có:
+
=
ℏ
1
2 +
1
ℏ
− 1
ℏ
+
2
=
1
1 +
1
ℏ
− 1
= 1 −
ℏ
Vậy:
=
+
1 −
+
= 1 −
ℏ
ℏ
=
ℏ
−
( )
ℏ
=
ℏ
−
ℏ
ℏ
Xác suất có dạng:
=
1
ℏ
Đồng nhất đa thức:
ℏ
= 0
1
= −
ℏ
⇒
⟶ ∞
= −
ℏ
4. Trong cổ điển: ≫ ℏ
=
ℏ 1 +
ℏ
2
ℏ
− 1
≈
1 +
ℏ
+
ℏ
ℏ
2
1
ℏ
=
ℏ
+ + ℏ
2
=
2
Trong lượng tử: ≪ ℏ
= ℏ
1
2
+
1
ℏ
− 1
≈
ℏ
2
5. Nhiệt dung riêng chất rắn:
=
=
ℏ
1
2
+
1
ℏ
− 1
=
(ℏ )
ℏ
ℏ
− 1
= ( ℏ )
ℏ
( ℏ − 1)
Một chất khí đơn nguyên tử gồm nguyên tử với nội năng gồm 2 mức: trạng thái cơ bản có độ
suy biến và một trạng thái kích thích nằm thấp có độ suy biến , hiệu năng lượng của 2 mức
năng lượng là .
1. Tìm hàm tổng thống kê của hệ này.
2. Tìm nhiệt dung riêng của chất khí này.
1. Hàm tổng thống kê của 1 hạt:
=
+
=
+
( ) = +
Hàm tổng thống kê của hệ:
=
= +
2. Ta có:
= −
ln = = −
ln + ln +
=
− ln +
= −
+
= −
+
Nhiệt dung riêng:
=
=
−
+
=
+
=
−
+
+
+
=
⎣
⎢
⎢
⎡ 1 −
−
+
⎦
⎥
⎥
⎤
Các file đính kèm theo tài liệu này:
02_bai_tap_vat_ly_thong_ke_co_loi_giai_chi_tiet_tac_gia_le_anh_dhsp_tp_hcm_0916_2161715.pdf
