Bài tập môn Toán Trung học Phổ thông - Thảo luận chương 1

  1 KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN BỘ MÔN TOÁN HỌC PHẦN TOÁN 3 BÀI TẬP THẢO LUẬN CHƯƠNG 1 BT 1. Tìm miền xác định của các hàm số: 1.  1 1 f ( x, y ) x y x y     2. 2 2 2 24 1f ( x, y ) x y x y      3. 1y f ( x,y ) arcsin x   4. 2 1 f ( x, y ) y x   3.  3 3 2 2 x y f ( x, y ) x y    .  4.  y f ( x, y ) xarctg x    BT 2. Tìm các đạo hàm riêng và vi phân toàn phần của các hàm số sau: 1. ( , ) ( ) x yf x y tg x y e  7. ( , , ) ( ) , 0zf x y z xy xy  2. 2 2 x ( , ) arcsin x f x y y   8. ( , , ) z y f x y z x        3. ( , ) ln( )f x y xy xy 9. ( , , ) , 0 x yf x y z z z  4. 2 2( , ) ln( )f x y x x y   10. ( , , ) , 0, 0 zyf x y z x x y   5. 2 2 ( , ) x f x y x y   11. ( , , ) sinxyz y f x y z e z  6. ( , ) , 0 yxf x y x x  12. 2 2 ( , , ) z f x y z x y   BT 3. Tìm đạo hàm của các hàm số hợp sau: 1. 2 22 2 2 osu ( , ) , y= u x y x c f x y e v      6. sinu ( , ) artg , os3tv u t f x y v c     2. 2 2( , ) ln( ), x v= y u xy f x y u v        7. ( , ) ( , ) x y f x y f y x  3. 2 2 2 u ( , ) ln , y=e v u x vf x y x y        8. 2 2( , ) ( , )f x y f x y x y   4. usinvx ( , ) artg , y=vcosuy x f x y     9. 2 1 ( , , ) , ln x t f x y z xyz y t z tgt           2 5. v( , ) u , x u yf x y v xy       10. 3 2 2 2 3 ( , , ) , sin 2 4 tx e f x y z x y z y t z t           BT 4. Tìm đạo hàm của các hàm số ẩn xác định bởi các phương trình sau: 1. 3 3 4 ,x y y x a  tính  y 2. yxe x xyye e  , tính  y 3. x+y artg a y a  , tính y 4. 2 2 y ln x artg x y  , tính y , y 5. mx axyz, m,n,p Nn py z    tính ,x yz z  6. 1 - ln( ) 0xy xyxy e e   , tính y , 7. xy=1+y , tính y 8. xy 2sinxy-e x y , tính y 9. z x+ y z y xe   tính  ,x yz z  10. 2 2 2sinxyz+cos(x ) 1y z   tính ,x zy y  . BT 5. Phương trình   2 2 2 2 z y z x     xác định hàm số ẩn z = z( x, y ) chứng minh rằng :   2 1 1 x yx z z y z    .  BT 6. Cho   x z u y z     .Tính    ,x yu u   biết z là hàm ẩn của x, y xác định từ phương trình   z x yze xe ye  .  BT 7 Tính các đạo hàm riêng cấp hai của các hàm số sau: 1. yz x 6. x+y arctg 1-xy z  2. 2 osxx yz e c  7. 2 2 2u x y z   3. x arctg y z  8. z x u y        4. 2 2 x yz x y e   5.    1 1 m n z x y   BT 8. 1. Tính đạo hàm của hàm số  2 3u xy z  tại điểm Mo( 1; 2; -1 ) theo hướng xác định  bởi véc tơ  0 1M M   với M1( 0; 4; -3 )    3 2.  Cho u = x2y2z2. Tính  gradu   và  u l     tại M0(1; -1; 3 ) biết  l  được xác định bởi véc  tơ  0 1M M   với M1( 0; 1; 1 )  3. Cho 2 2 2u 3x 2y z 2yz    . Tính đạo hàm của hàm số u theo hướng véc tơ  0 1M M   tại điểm  1M  biết     0 1M 3, 2,1 ;M 2,1, 2    .  BT 9. Cho hàm số  3 3 3 3z x y z xyz     và điểm M(1, 2, 1).   1. Tìm độ lớn và hướng của  gradu   tại M.  2. Tìm M sao cho  gradu   triệt tiêu.  3. Tìm hướng  l  mà tại đó    z M l    = 0.  BT 10. Tìm cực trị của các hàm số sau:  1) yz x y xe   9) 3 24z x x xy   2) 4 4 2 22 2z x y x y    10) ax 2( 2 )z e x y y   3) 4 4 22 4 4z x y x y    11) 2 2ln( )z xy x y  4) 2 22 2 ( )(ax ) x yz by e   12) 3 3 1 ( ) 3 z xy x y   5) 3 3axz bxy ay   13) 2 2 2 2 2 ( 0) 1 ax by c z a b c x y         6) 50 20 ( 0, 0)z xy x y x y      14) 2 2 2 2 1 ( 0, 0) x y z xy a b a b      7) 2 21 axz xy by   15) 2 2( )(5 7 25) x xy yz x y e       8)  3 3 2 2 1 1       –   3 3 z x y y x   .                               16)  z = x2(x + 1) + y3.  BT 11. Tìm cực trị có điều kiện của các hàm số sau: 1) 1 1 z x y   với điều kiện  2 2 2 1 1 1 x y a     2)  z xy    với điều kiện  1x y    3)  2z x y     với điều kiện  2 2 5x y    4)   2 2z x y     với điều kiện  1 2 3 x y     5)  u x y z      với điều kiện  1 1 1 1 x y z      6)  2 2 2u x y z      với điều kiện  2 2 2 2 2 2 1 ( ) x y z a b c a b c        7)  2 2u x y z      với điều kiện  2 2 2 9x y z       4 8)  3 2 3 5u x y z       với điều kiện  0x y z     9)  2 2 22u x y z      với điều kiện  1x y z     10)  2 3u xy z    với điều kiện  x y z a     11)  u = x + y với điều kiện  1 1 1 x y   .  BT 12. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau: 1) 2 2z x y  trong miền tròn  2 2 4x y    2)  2 (4 )z x y x y    trong hình tam giác giới hạn bởi các đường thẳng x = 0,   y = 0, x + y = 6  3)  2 2( ) 2 2(ax )x yz e by    trong miền tròn  2 2 1x y    4)  z x y   trong miền tròn  2 2 1x y    5)  3 3 3z x y xy    trên miền  0 2, 1 2D x y        6)  2 2 4 8z x xy x y     trên miền  0 1,0 2D x y       7)  s inx+siny+sin(x+y)z    trên miền  0 ,0 2 2 D x y           8)  2 2 2z x y x y      trên miền   0, 0, 2D x y x y     9)   2 4z x y x y    với D là miền giới hạn bởi x = 0, y = 0, x + y = 6.  10)  2 2 2 23 x y x y z e      trong miền tròn  2 2 4x y 