Bài tập giải tích khảo sát đại số

TRAÀN SÓ TUØNG ---- ›š & ›š ---- BAØI TAÄP GIAÛI TÍCH 12 OÂN THI TOÁT NGHIEÄP THPT & ÑAÏI HOÏC Naêm 2009 Traàn Só Tuøng Khaûo saùt haøm soá Trang 1 1. Ñinh nghóa: Haøm soá f ñoàng bieán treân K Û ("x1, x2 Î K, x1 < x2 Þ f(x1) < f(x2) Haøm soá f nghòch bieán treân K Û ("x1, x2 Î K, x1 f(x2) 2. Ñieàu kieän caàn: Giaû söû f coù ñaïo haøm treân khoaûng I. a) Neáu f ñoàng bieán treân khoaûng I thì f¢(x) ³ 0, "x Î I b) Neáu f nghòch bieán treân khoaûng I thì f¢(x) £ 0, "x Î I 3. Ñieàu kieän ñuû: Giaû söû f coù ñaïo haøm treân khoaûng I. a) Neáu f¢ (x) ³ 0, "x Î I (f¢(x) = 0 taïi moät soá höõu haïn ñieåm) thì f ñoàng bieán treân I. b) Neáu f¢ (x) £ 0, "x Î I (f¢(x) = 0 taïi moät soá höõu haïn ñieåm) thì f nghòch bieán treân I. c) Neáu f¢(x) = 0, "x Î I thì f khoâng ñoåi treân I. Chuù yù: Neáu khoaûng I ñöôïc thay bôûi ñoaïn hoaëc nöûa khoaûng thì f phaûi lieân tuïc treân ñoù. VAÁN ÑEÀ 1: Xeùt chieàu bieán thieân cuûa haøm soá Ñeå xeùt chieàu bieán thieân cuûa haøm soá y = f(x), ta thöïc hieän caùc böôùc nhö sau: – Tìm taäp xaùc ñònh cuûa haøm soá. – Tính y¢. Tìm caùc ñieåm maø taïi ñoù y¢ = 0 hoaëc y¢ khoâng toàn taïi (goïi laø caùc ñieåm tôùi haïn) – Laäp baûng xeùt daáu y¢ (baûng bieán thieân). Töø ñoù keát luaän caùc khoaûng ñoàng bieán, nghòch bieán cuûa haøm soá. Baøi 1. Xeùt chieàu bieán thieân cuûa caùc haøm soá sau: a) 22 4 5y x x= - + + b) 2 5 4 4 xy x= + - c) 2 4 3y x x= - + d) 3 22 2y x x x= - + - e) 2(4 )( 1)y x x= - - f) 3 23 4 1y x x x= - + - g) 4 21 2 1 4 y x x= - - h) 4 22 3y x x= - - + i) 4 21 1 2 10 10 y x x= + - k) 2 1 5 xy x - = + l) 1 2 xy x - = - m) 11 1 y x = - - n) 22 26 2 x xy x + + = + o) 13 1 y x x = - + - - p) 24 15 9 3 x xy x - + = CHÖÔNG I ÖÙNG DUÏNG ÑAÏO HAØM ÑEÅ KHAÛO SAÙT VAØ VEÕ ÑOÀ THÒ CUÛA HAØM SOÁ I. TÍNH ÑÔN ÑIEÄU CUÛA HAØM SOÁ Khaûo saùt haøm soá Traàn Só Tuøng Trang 2 Baøi 2. Xeùt chieàu bieán thieân cuûa caùc haøm soá sau: a) 4 3 26 8 3 1y x x x= - + - - b) 2 2 1 4 xy x - = - c) 2 2 1 1 x xy x x - + = + + d) 2 2 1xy x - = e) 2 3 2 xy x x = - + f) 3 2 2y x x= + + - g) 2 1 3y x x= - - - h) 22y x x= - i) 22y x x= - k) sin 2 2 2 y x x æ ö = - < <ç ÷ è ø p p l) sin 2 2 2 y x x x æ ö = - - < <ç ÷ è ø p p VAÁN ÑEÀ 2: Tìm ñieàu kieän ñeå haøm soá luoân ñoàng bieán hoaëc nghòch bieán treân taäp xaùc ñònh (hoaëc treân töøng khoaûng xaùc ñònh) Cho haøm soá ( , )y f x m= , m laø tham soá, coù taäp xaùc ñònh D. · Haøm soá f ñoàng bieán treân D Û y¢ ³ 0, "x Î D. · Haøm soá f nghòch bieán treân D Û y¢ £ 0, "x Î D. Töø ñoù suy ra ñieàu kieän cuûa m. Chuù yù: 1) y¢ = 0 chæ xaûy ra taïi moät soá höõu haïn ñieåm. 2) Neáu 2'y ax bx x= + + thì: · 0 0' 0, 0 0 a b cy x R a éì = = íê ³î³ " Î Û ê ì >êíê £îë D · 0 0' 0, 0 0 a b cy x R a éì = = íê £î£ " Î Û ê ì <êíê £îë D 3) Ñònh lí veà daáu cuûa tam thöùc baäc hai 2( )g x ax bx c= + + : · Neáu D < 0 thì g(x) luoân cuøng daáu vôùi a. · Neáu D = 0 thì g(x) luoân cuøng daáu vôùi a (tröø x = 2 b a - ) · Neáu D > 0 thì g(x) coù hai nghieäm x1, x2 vaø trong khoaûng hai nghieäm thì g(x) khaùc daáu vôùi a, ngoaøi khoaûng hai nghieäm thì g(x) cuøng daáu vôùi a. 4) So saùnh caùc nghieäm x1, x2 cuûa tam thöùc baäc hai 2( )g x ax bx c= + + vôùi soá 0: · 1 2 0 0 0 0 x x P S ì > ïí ï <î D · 1 2 0 0 0 0 x x P S ì > ïí ï >î D · 1 20 0x x P< < Û < 5) Ñeå haøm soá 3 2y ax bx cx d= + + + coù ñoä daøi khoaûng ñoàng bieán (nghòch bieán) (x1; x2) baèng d thì ta thöïc hieän caùc böôùc sau: · Tính y¢. · Tìm ñieàu kieän ñeå haøm soá coù khoaûng ñoàng bieán vaø nghòch bieán: 0 0 aì ¹ í >îD (1) Traàn Só Tuøng Khaûo saùt haøm soá Trang 3 · Bieán ñoåi 1 2x x d- = thaønh 2 2 1 2 1 2( ) 4x x x x d+ - = (2) · Söû duïng ñònh lí Viet ñöa (2) thaønh phöông trình theo m. · Giaûi phöông trình, so vôùi ñieàu kieän (1) ñeå choïn nghieäm. Baøi 1. Chöùng minh raèng caùc haøm soá sau luoân ñoàng bieán treân töøng khoaûng xaùc ñònh (hoaëc taäp xaùc ñònh) cuûa noù: a) 3 5 13y x x= + + b) 3 23 9 1 3 xy x x= - + + c) 2 1 2 xy x - = + d) 2 2 3 1 x xy x + - = + e) 3 sin(3 1)y x x= - + f) 2 2 1x mxy x m - - = - Baøi 2. Chöùng minh raèng caùc haøm soá sau luoân nghòch bieán treân töøng khoaûng xaùc ñònh (hoaëc taäp xaùc ñònh) cuûa noù: a) 5 cot( 1)y x x= - + - b) cosy x x= - c) sin cos 2 2y x x x= - - Baøi 3. Tìm m ñeå caùc haøm soá sau luoân ñoàng bieán treân taäp xaùc ñònh (hoaëc töøng khoaûng xaùc ñònh) cuûa noù: a) 3 23 ( 2)y x mx m x m= - + + - b) 3 2 2 1 3 2 x mxy x= - - + c) x my x m + = - d) 4mxy x m + = + e) 2 2 1x mxy x m - - = - f) 2 22 3 2 x mx my x m - + = - Baøi 4. Tìm m ñeå haøm soá: a) 3 23y x x mx m= + + + nghòch bieán treân moät khoaûng coù ñoä daøi baèng 1. b) 3 21 1 2 3 1 3 2 y x mx mx m= - + - + nghòch bieán treân moät khoaûng coù ñoä daøi baèng 3. c) 3 21 ( 1) ( 3) 4 3 y x m x m x= - + - + + - ñoàng bieán treân moät khoaûng coù ñoä daøi baèng 4. Baøi 5. Tìm m ñeå haøm soá: a) 3 2( 1) ( 1) 1 3 xy m x m x= + + - + + ñoàng bieán treân khoaûng (1; +¥). b) 3 23(2 1) (12 5) 2y x m x m x= - + + + + ñoàng bieán treân khoaûng (2; +¥). c) 4 ( 2)xy m x m + = ¹ ± + ñoàng bieán treân khoaûng (1; +¥). d) x my x m + = - ñoàng bieán trong khoaûng (–1; +¥). e) 2 22 3 2 x mx my x m - + = - ñoàng bieán treân khoaûng (1; +¥). f) 22 3 2 1 x x my x - - + = + nghòch bieán treân khoaûng 1 ; 2 æ ö - +¥ç ÷ è ø . Khaûo saùt haøm soá Traàn Só Tuøng Trang 4 VAÁN ÑEÀ 3: ÖÙng duïng tính ñôn ñieäu ñeå chöùng minh baát ñaúng thöùc Ñeå chöùng minh baát ñaúng thöùc ta thöïc hieän caùc böôùc sau: · Chuyeån baát ñaúng thöùc veà daïng f(x) > 0 (hoaëc <, ³, £ ). Xeùt haøm soá y = f(x) treân taäp xaùc ñònh do ñeà baøi chæ ñònh. · Xeùt daáu f¢ (x). Suy ra haøm soá ñoàng bieán hay nghòch bieán. · Döïa vaøo ñònh nghóa söï ñoàng bieán, nghòch bieán ñeå keát luaän. Chuù yù: 1) Trong tröôøng hôïp ta chöa xeùt ñöôïc daáu cuûa f¢ (x) thì ta ñaët h(x) = f¢ (x) vaø quay laïi tieáp tuïc xeùt daáu h¢ (x) … cho ñeán khi naøo xeùt daáu ñöôïc thì thoâi. 2) Neáu baát ñaúng thöùc coù hai bieán thì ta ñöa baát ñaúng thöùc veà daïng: f(a) < f(b). Xeùt tính ñôn ñieäu cuûa haøm soá f(x) trong khoaûng (a; b). Baøi 1. Chöùng minh caùc baát ñaúng thöùc sau: a) 3 sin , 0 6 xx x x vôùi x- b) 2 1sin tan , 0 3 3 2 x x x vôùi x+ > < < p c) tan , 0 2 x x vôùi x< < < p d) sin tan 2 , 0 2 x x x vôùi x+ > < < p Baøi 2. Chöùng minh caùc baát ñaúng thöùc sau: a) tan , 0 tan 2 a a vôùi a b b b < < < < p b) sin sin , 0 2 a a b b vôùi a b- < - < < < p c) tan tan , 0 2 a a b b vôùi a b- < - < < < p Baøi 3. Chöùng minh caùc baát ñaúng thöùc sau: a) 2sin , 0 2 xx vôùi x> < < p p b) 3 3 5 sin , 0 6 6 120 x x xx x x vôùi x- Baøi 4. Chöùng minh caùc baát ñaúng thöùc sau: a) 1 , 0xe x vôùi x> + > b) ln(1 ) , 0x x vôùi x+ c) 1ln(1 ) ln , 0 1 x x vôùi x x + - > > + d) ( )2 21 ln 1 1x x x x+ + + ³ + Baøi 5. Chöùng minh caùc baát ñaúng thöùc sau: a) 0tan 55 1,4> b) 01 7sin 20 3 20 HD: a) 0 0 0tan 55 tan(45 10 )= + . Xeùt haøm soá 1( ) 1 xf x x + = - . b) Xeùt haøm soá 3( ) 3 4f x x x= - . f(x) ñoàng bieán trong khoaûng 1 1; 2 2 æ ö -ç ÷ è ø vaø 01 7,sin 20 , 3 20 Î 1 1; 2 2 æ ö -ç ÷ è ø . c) Xeùt haøm soá ( ) log ( 1)xf x x= + vôùi x > 1. Traàn Só Tuøng Khaûo saùt haøm soá Trang 5 VAÁN ÑEÀ 4: Chöùng minh phöông trình coù nghieäm duy nhaát Ñeå chöùng minh phöông trình f(x) = g(x) (*) coù nghieäm duy nhaát, ta thöïc hieän caùc böôùc sau: · Choïn ñöôïc nghieäm x0 cuûa phöông trình. · Xeùt caùc haøm soá y = f(x) (C1) vaø y = g(x) (C2). Ta caàn chöùng minh moät haøm soá ñoàng bieán vaø moät haøm soá nghòch bieán. Khi ñoù (C1) vaø (C2) giao nhau taïi moät ñieåm duy nhaát coù hoaønh ñoä x0. Ñoù chính laø nghieäm duy nhaát cuûa phöông trình (*). Chuù yù: Neáu moät trong hai haøm soá laø haøm haèng y = C thì keát luaän treân vaãn ñuùng. Baøi 1. Giaûi caùc phöông trình sau: a) 5 5x x+ - = b) 5 3 1 3 4 0x x x+ - - + = c) 5 7 16 14x x x x+ - + + + + = d) 2 215 3 2 8x x x+ = - + + Baøi 2. Giaûi caùc phöông trình sau: a) 5 5 51 2 3 0x x x+ + + + + = b) ln( 4) 5x x- = - c) 3 4 5x x x+ = d) 2 3 5 38x x x+ + = Baøi 3. Giaûi caùc baát phöông trình sau: a) 3 4 51 5 7 7 5 13 7 8x x x x+ + - + - + - < b) 22 7 2 7 35x x x x x+ + + + + < Baøi 4. Giaûi caùc heä phöông trình sau: a) 3 2 3 2 3 2 2 1 2 1 2 1 x y y y y z z z z x x x ì + = + + ï í + = + + ï + = + +î b) 3 2 3 2 3 2 2 2 2 x y y y y z z z z x x x ì = + + - ï í = + + - ï = + + -î c) tan tan 52 3 4 x y y x x y ì - = -ï í + =ïî p d) 3 2 3 2 3 2 6 12 8 6 12 8 6 12 8 y x x z y y x z z ì = - + ï í = - + ï = - +î HD: a, b) Xeùt haøm soá 3 2( )f t t t t= + + c) Xeùt haøm soá f(t) = tant + t d) Xeùt haøm soá 2( ) 6 12 8f t t t= - + Khaûo saùt haøm soá Traàn Só Tuøng Trang 6 I. Khaùi nieäm cöïc trò cuûa haøm soá Giaû söû haøm soá f xaùc ñònh treân taäp D (D Ì R) vaø x0 Î D. a) x0 – ñieåm cöïc ñaïi cuûa f neáu toàn taïi khoaûng (a; b) Ì D vaø x0 Î (a; b) sao cho f(x) < f(x0), vôùi "x Î (a; b) \ {x0}. Khi ñoù f(x0) ñgl giaù trò cöïc ñaïi (cöïc ñaïi) cuûa f. b) x0 – ñieåm cöïc tieåu cuûa f neáu toàn taïi khoaûng (a; b) Ì D vaø x0 Î (a; b) sao cho f(x) > f(x0), vôùi "x Î (a; b) \ {x0}. Khi ñoù f(x0) ñgl giaù trò cöïc tieåu (cöïc tieåu) cuûa f. c) Neáu x0 laø ñieåm cöïc trò cuûa f thì ñieåm (x0; f(x0)) ñgl ñieåm cöïc trò cuûa ñoà thò haøm soá f. II. Ñieàu kieän caàn ñeå haøm soá coù cöïc trò Neáu haøm soá f coù ñaïo haøm taïi x0 vaø ñaït cöïc trò taïi ñieåm ñoù thì f¢ (x0) = 0. Chuù yù: Haøm soá f chæ coù theå ñaït cöïc trò taïi nhöõng ñieåm maø taïi ñoù ñaïo haøm baèng 0 hoaëc khoâng coù ñaïo haøm. III. Ñieåu kieän ñuû ñeå haøm soá coù cöïc trò 1. Ñònh lí 1: Giaû söû haøm soá f lieân tuïc treân khoaûng (a; b) chöùa ñieåm x0 vaø coù ñaïo haøm treân (a; b)\{x0} a) Neáu f¢ (x) ñoåi daáu töø aâm sang döông khi x ñi qua x0 thì f ñaït cöïc tieåu taïi x0. b) Neáu f¢ (x) ñoåi daáu töø döông sang aâm khi x ñi qua x0 thì f ñaït cöïc ñaïi taïi x0. Ñònh lí 2: Giaû söû haøm soá f coù ñaïo haøm treân khoaûng (a; b) chöùa ñieåm x0, f¢ (x0) = 0 vaø coù ñaïo haøm caáp hai khaùc 0 taïi ñieåm x0. a) Neáu f¢¢ (x0) < 0 thì f ñaït cöïc ñaïi taïi x0. b) Neáu f¢¢ (x0) > 0 thì f ñaït cöïc tieåu taïi x0. VAÁN ÑEÀ 1: Tìm cöïc trò cuûa haøm soá Qui taéc 1: Duøng ñònh lí 1. · Tìm f¢ (x). · Tìm caùc ñieåm xi (i = 1, 2, …) maø taïi ñoù ñaïo haøm baèng 0 hoaëc khoâng coù ñaïo haøm. · Xeùt daáu f¢ (x). Neáu f¢ (x) ñoåi daáu khi x ñi qua xi thì haøm soá ñaït cöïc trò taïi xi. Qui taéc 2: Duøng ñònh lí 2. · Tính f¢ (x). · Giaûi phöông trình f¢ (x) = 0 tìm caùc nghieäm xi (i = 1, 2, …). · Tính f¢¢ (x) vaø f¢¢ (xi) (i = 1, 2, …). Neáu f¢¢ (xi) < 0 thì haøm soá ñaït cöïc ñaïi taïi xi. Neáu f¢¢ (xi) > 0 thì haøm soá ñaït cöïc tieåu taïi xi. II. CÖÏC TRÒ CUÛA HAØM SOÁ Traàn Só Tuøng Khaûo saùt haøm soá Trang 7 Baøi 1. Tìm cöïc trò cuûa caùc haøm soá sau: a) 2 33 2y x x= - b) 3 22 2 1y x x x= - + - c) 3 21 4 15 3 y x x x= - + - d) 4 2 3 2 xy x= - + e) 4 24 5y x x= - + f) 4 2 3 2 2 xy x= - + + g) 2 3 6 2 x xy x - + + = + h) 23 4 5 1 x xy x + + = + i) 2 2 15 3 x xy x - - = - Baøi 2. Tìm cöïc trò cuûa caùc haøm soá sau: a) 3 4( 2) ( 1)y x x= - + b) 2 2 4 2 1 2 3 x xy x x + - = + - c) 2 2 3 4 4 1 x xy x x + + = + + d) 2 4y x x= - e) 2 2 5y x x= - + f) 22y x x x= + - Baøi 3. Tìm cöïc trò cuûa caùc haøm soá sau: a) 3 2 1y x= + b) 3 2 2 1 xy x = + c) 4x xy e e-= + d) 2 5 5 2 lny x x x= - + + e) 24siny x x= - f) 2ln(1 )y x x= - + VAÁN ÑEÀ 2: Tìm ñieàu kieän ñeå haøm soá coù cöïc trò 1. Neáu haøm soá y = f(x) ñaït cöïc trò taïi ñieåm x0 thì f¢ (x0) = 0 hoaëc taïi x0 khoâng coù ñaïo haøm. 2. Ñeå haøm soá y = f(x) ñaït cöïc trò taïi ñieåm x0 thì f¢ (x) ñoåi daáu khi x ñi qua x0. Chuù yù: · Haøm soá baäc ba 3 2y ax bx cx d= + + + coù cöïc trò Û Phöông trình y¢ = 0 coù hai nghieäm phaân bieät. Khi ñoù neáu x0 laø ñieåm cöïc trò thì ta coù theå tính giaù trò cöïc trò y(x0) baèng hai caùch: + 3 20 0 0 0( )y x ax bx cx d= + + + + 0 0( )y x Ax B= + , trong ñoù Ax + B laø phaàn dö trong pheùp chia y cho y¢. · Haøm soá 2 ' ' ax bx cy a x b + + = + = ( ) ( ) P x Q x (aa¢¹ 0) coù cöïc trò Û Phöông trình y¢ = 0 coù hai nghieäm phaân bieät khaùc ' ' b a - . Khi ñoù neáu x0 laø ñieåm cöïc trò thì ta coù theå tính giaù trò cöïc trò y(x0) baèng hai caùch: 00 0 ( ) ( ) ( ) P x y x Q x = hoaëc 00 0 '( ) ( ) '( ) P x y x Q x = · Khi söû duïng ñieàu kieän caàn ñeå xeùt haøm soá coù cöïc trò caàn phaûi kieåm tra laïi ñeå loaïi boû nghieäm ngoaïi lai. · Khi giaûi caùc baøi taäp loaïi naøy thöôøng ta coøn söû duïng caùc kieán thöùc khaùc nöõa, nhaát laø ñònh lí Vi–et. Khaûo saùt haøm soá Traàn Só Tuøng Trang 8 Baøi 1. Chöùng minh raèng caùc haøm soá sau luoân coù cöïc ñaïi, cöïc tieåu: a) 3 2 2 33 3( 1)y x mx m x m= - + - - b) 3 22 3(2 1) 6 ( 1) 1y x m x m m x= - + + + + c) 2 2 4( 1) 1x m m x my x m + - - + = - d) 2 2 1 x mx my x m + - + = - + Baøi 2. Tìm m ñeå haøm soá: a) 3 2( 2) 3 5y m x x mx= + + + - coù cöïc ñaïi, cöïc tieåu. b) 3 2 23( 1) (2 3 2) ( 1)y x m x m m x m m= - - + - + - - coù cöïc ñaïi, cöïc tieåu. c) 3 2 23 ( 1) 2y x mx m x= - + - + ñaït cöïc ñaïi taïi x = 2. d) 4 22( 2) 5y mx m x m= - + - + - coù moät cöïc ñaïi 1 . 2 x = e) 2 2 2x mxy x m - + = - ñaït cöïc tieåu khi x = 2. f) 2 2( 1) 4 2 1 x m x m my x - + - + - = - coù cöïc ñaïi, cöïc tieåu. g) 2 1 x x my x - + = - coù moät giaù trò cöïc ñaïi baèng 0. Baøi 3. Tìm m ñeå caùc haøm soá sau khoâng coù cöïc trò: a) 3 23 3 3 4y x x mx m= - + + + b) 3 23 ( 1) 1y mx mx m x= + - - - c) 2 5 3 x mxy x - + + = - d) 2 2( 1) 4 2 1 x m x m my x - + - + - = - Baøi 4. Tìm a, b, c, d ñeå haøm soá: a) 3 2y ax bx cx d= + + + ñaït cöïc tieåu baèng 0 taïi x = 0 vaø ñaït cöïc ñaïi baèng 4 27 taïi x = 1 3 b) 4 2y ax bx c= + + coù ñoà thò ñi qua goác toaï ñoä O vaø ñaït cöïc trò baèng –9 taïi x = 3 . c) 2 1 x bx cy x + + = - ñaït cöïc trò baèng –6 taïi x = –1. d) 2ax bx aby bx a + + = + ñaït cöïc trò taïi x = 0 vaø x = 4. e) 2 2 2 1 ax x by x + + = + ñaït cöïc ñaïi baèng 5 taïi x = 1. Baøi 5. Tìm m ñeå haøm soá : a) 3 2 2 22( 1) ( 4 1) 2( 1)y x m x m m x m= + - + - + - + ñaït cöïc trò taïi hai ñieåm x1, x2 sao cho: 1 2 1 2 1 1 1 ( ) 2 x x x x + = + . b) 3 21 1 3 y x mx mx= - + - ñaït cöïc trò taïi hai ñieåm x1, x2 sao cho: 1 2 8x x- ³ . c) 3 21 1( 1) 3( 2) 3 3 y mx m x m x= - - + - + ñaït cöïc trò taïi hai ñieåm x1, x2 sao cho: 1 22 1x x+ = . Traàn Só Tuøng Khaûo saùt haøm soá Trang 9 Baøi 6. Tìm m ñeå haøm soá : a) 2 2 1 x mx my x m + - + = - + coù cöïc ñaïi, cöïc tieåu vaø caùc giaù trò cöïc ñaïi, cöïc tieåu cuøng daáu. b) 2 2( 1) 4 2 1 x m x m my x - + - + - = - coù cöïc ñaïi, cöïc tieåu vaø tích caùc giaù trò cöïc ñaïi, cöïc tieåu ñaït giaù trò nhoû nhaát. c) 2 3 4 x x my x - + + = - coù giaù trò cöïc ñaïi M vaø giaù trò cöïc tieåu m thoaû 4M m- = . d) 22 3 2 2 x x my x + + - = + coù 12CÑ CTy y- < . Baøi 7. Tìm m ñeå ñoà thò haøm soá : a) 3 2 4y x mx= - + - coù hai ñieåm cöïc trò laø A, B vaø 2 2 900 729 mAB = . b) 4 2 4y x mx x m= - + + coù 3 ñieåm cöïc trò laø A, B, C vaø tam giaùc ABC nhaän goác toaï ñoä O laøm troïng taâm. c) 2 2x mx my x m + + - = - coù hai ñieåm cöïc trò naèm hai phía ñoái vôùi truïc tung. Chöùng minh hai ñieåm cöïc trò luoân luoân naèm cuøng moät phía ñoái vôùi truïc hoaønh. d) 2 1 x mxy x + = - coù khoaûng caùch giöõa hai ñieåm cöïc trò baèng 10. e) 2 2 5 1 x mxy x - + + = - coù hai ñieåm cöïc ñaïi vaø cöïc tieåu naèm veà hai phía ñoái vôùi ñöôøng thaúng y = 2x. f) 2 2 3x x my x m + + + = - coù hai ñieåm cöïc trò vaø khoaûng caùch giöõa chuùng nhoû nhaát. Baøi 8. Tìm m ñeå ñoà thò haøm soá : a) 3 22 12 13y x mx x= + - - coù hai ñieåm cöïc trò caùch ñeàu truïc tung. b) 3 2 33 4y x mx m= - + coù caùc ñieåm cöïc ñaïi, cöïc tieåu ñoái xöùng nhau qua ñöôøng phaân giaùc thöù nhaát. c) 3 2 33 4y x mx m= - + coù caùc ñieåm cöïc ñaïi, cöïc tieåu ôû veà moät phía ñoái vôùi ñöôøng thaúng (d): 3 2 8 0x y- + = . d) 2 2(2 1) 1 1 x m x my x + + + + = + coù hai ñieåm cöïc trò naèm ôû hai phía ñoái vôùi ñöôøng thaúng (d): 2 3 1 0x y- - = . Baøi 9. Tìm m ñeå ñoà thò haøm soá : a) 2 ( 1) 2 1x m x my x m - + + - = - coù hai ñieåm cöïc trò ôû trong goùc phaàn tö thöù nhaát cuûa maët phaúng toaï ñoä. b) 2 2 22 (4 1) 32 2 2 mx m x m my x m + + + + = + coù moät ñieåm cöïc trò naèm trong goùc phaàn tö thöù hai vaø ñieåm kia naèm trong goùc phaàn tö thöù tö cuûa maët phaúng toaï ñoä. Khaûo saùt haøm soá Traàn Só Tuøng Trang 10 c) 2 2 2( 1) 4mx m x m my x m - + + + = - coù moät ñieåm cöïc trò naèm trong goùc phaàn tö thöù nhaát vaø ñieåm kia naèm trong goùc phaàn tö thöù ba cuûa maët phaúng toaï ñoä. d) 2 2(2 1) 1 1 x m x my x + + + + = + coù hai ñieåm cöïc trò naèm ôû hai phía cuûa truïc hoaønh (tung). VAÁN ÑEÀ 3: Ñöôøng thaúng ñi qua hai ñieåm cöïc trò 1) Haøm soá baäc ba 3 2( )y f x ax bx cx d= = + + + . · Chia f(x) cho f¢ (x) ta ñöôïc: f(x) = Q(x).f¢ (x) + Ax + B. · Khi ñoù, giaû söû (x1; y1), (x2; y2) laø caùc ñieåm cöïc trò thì: 1 1 1 2 2 2 ( ) ( ) y f x Ax B y f x Ax B ì = = + í = = +î Þ Caùc ñieåm (x1; y1), (x2; y2) naèm treân ñöôøng thaúng y = Ax + B. 2) Haøm soá phaân thöùc 2( )( ) ( ) P x ax bx cy f x Q x dx e + + = = = + . · Giaû söû (x0; y0) laø ñieåm cöïc trò thì 00 0 '( ) '( ) P x y Q x = . · Giaû söû haøm soá coù cöïc ñaïi vaø cöïc tieåu thì phöông trình ñöôøng thaúng ñi qua hai ñieåm cöïc trò aáy laø: '( ) 2 '( ) P x ax by Q x d + = = . Baøi 1. Vieát phöông trình ñöôøng thaúng ñi qua hai ñieåm cöïc trò cuûa ñoà thò haøm soá : a) 3 22 1y x x x= - - + b) 2 33 2y x x= - c) 3 23 6 8y x x x= - - + d) 22 1 3 x xy x - + = + e 2 1 2 x xy x - - = - Baøi 2. Khi haøm soá coù cöïc ñaïi, cöïc tieåu, vieát phöông trình ñöôøng thaúng ñi qua hai ñieåm cöïc trò cuûa ñoà thò haøm soá: a) 3 2 2 33 3( 1)y x mx m x m= - + - - b) 2 6x mxy x m + - = - c) 3 2 23( 1) (2 3 2) ( 1)y x m x m m x m m= - - + - + - - d) 2 2 1 x mx my x m + - + = - + Baøi 3. Tìm m ñeå haøm soá: a) 3 22 3( 1) 6( 2) 1y x m x m x= + - + - - coù ñöôøng thaúng ñi qua hai ñieåm cöïc trò song song vôùi ñöôøng thaúng y = –4x + 1. b) 3 22 3( 1) 6 (1 2 )y x m x m m x= + - + - coù caùc ñieåm cöïc ñaïi, cöïc tieåu cuûa ñoà thò naèm treân ñöôøng thaúng y = –4x. c) 3 2 7 3y x mx x= + + + coù ñöôøng thaúng ñi qua caùc ñieåm cöïc ñaïi, cöïc tieåu vuoâng goùc vôùi ñöôøng thaúng y = 3x – 7. d) 3 2 23y x x m x m= - + + coù caùc ñieåm cöïc ñaïi vaø cöïc tieåu ñoái xöùng nhau qua ñöôøng thaúng (D): 1 5 2 2 y x= - . Traàn Só Tuøng Khaûo saùt haøm soá Trang 11 1. Ñònh nghóa: Giaû söû haøm soá f xaùc ñònh treân mieàn D (D Ì R). a) 0 0 ( ) ,max ( ) : ( )D f x M x DM f x x D f x M ì £ " Î= Û í$ Î =î b) 0 0 ( ) ,min ( ) : ( )D f x m x Dm f x x D f x m ì ³ " Î= Û í$ Î =î 2. Tính chaát: a) Neáu haøm soá f ñoàng bieán treân [a; b] thì [ ; ] [ ; ] max ( ) ( ), min ( ) ( ) a b a b f x f b f x f a= = . b) Neáu haøm soá f nghòch bieán treân [a; b] thì [ ; ] [ ; ] max ( ) ( ), min ( ) ( ) a b a b f x f a f x f b= = . VAÁN ÑEÀ 1: Tìm GTLN, GTNN cuûa haøm soá baèng caùch laäp baûng bieán thieân Caùch 1: Thöôøng duøng khi tìm GTLN, GTNN cuûa haøm soá treân moät khoaûng. · Tính f¢ (x). · Xeùt daáu f¢ (x) vaø laäp baûng bieán thieân. · Döïa vaøo baûng bieán thieân ñeå keát luaän. Caùch 2: Thöôøng duøng khi tìm GTLN, GTNN cuûa haøm soá lieân tuïc treân moät ñoaïn [a; b]. · Tính f¢ (x). · Giaûi phöông trình f¢ (x) = 0 tìm ñöôïc caùc nghieäm x1, x2, …, xn treân [a; b] (neáu coù). · Tính f(a), f(b), f(x1), f(x2), …, f(xn). · So saùnh caùc giaù trò vöøa tính vaø keát luaän. { }1 2[ ; ]max ( ) max ( ), ( ), ( ), ( ),..., ( )na bM f x f a f b f x f x f x= = { }1 2[ ; ]min ( ) min ( ), ( ), ( ), ( ),..., ( )na bm f x f a f b f x f x f x= = Baøi 1. Tìm GTLN, GTNN cuûa caùc haøm soá sau: a) 2 4 3y x x= + + b) 3 44 3y x x= - c) 4 22 2y x x= + - d) 2 2y x x= + - e) 2 1 2 2 xy x x - = - + f) 2 2 2 4 5 1 x xy x + + = + g) 2 1 ( 0)y x x x = + > h) 2 2 1 1 x xy x x - + = + + i) 4 2 3 1 ( 0)x xy x x x + + = > + Baøi 2. Tìm GTLN, GTNN cuûa caùc haøm soá sau: a) 3 22 3 12 1y x x x= + - + treân [–1; 5] b) 33y x x= - treân [–2; 3] c) 4 22 3y x x= - + treân [–3; 2] d) 4 22 5y x x= - + treân [–2; 2] e) 3 1 3 xy x - = - treân [0; 2] f) 1 1 xy x - = + treân [0; 4] III. GIAÙ TRÒ LÔÙN NHAÁT VAØ GIAÙ TRÒ NHOÛ NHAÁT CUÛA HAØM SOÁ Khaûo saùt haøm soá Traàn Só Tuøng Trang 12 g) 24 7 7 2 x xy x + + = + treân [0; 2] h) 2 2 1 1 x xy x x - + = + - treân [0; 1] i) 2100y x= - treân [–6; 8] k) 2 4y x x= + + - Baøi 3. Tìm GTLN, GTNN cuûa caùc haøm soá sau: a) 2sin 1 sin 2 xy x - = + b) 2 1 cos cos 1 y x x = + + c) 22sin cos 1y x x= - + d) cos2 2sin 1y x x= - - e) 3 3sin cosy x x= + f) 2 4 2 1 1 xy x x - = - + g) 2 24 2 5 2 3y x x x x= - + + - + h) 2 24 4 3y x x x x= - + + - + VAÁN ÑEÀ 2: Tìm GTLN, GTNN cuûa haøm soá baèng caùch duøng baát ñaúng thöùc Caùch naøy döïa tröïc tieáp vaøo ñònh nghóa GTLN, GTNN cuûa haøm soá. · Chöùng minh moät baát ñaúng thöùc. · Tìm moät ñieåm thuoäc D sao cho öùng vôùi giaù trò aáy, baát ñaúng thöùc vöøa tìm ñöôïc trôû thaønh ñaúng thöùc. Baøi 1. Giaû söû { }( ; ; ) / 0, 0, 0, 1D x y z x y z x y z= > > > + + = . Tìm giaù trò lôùn nhaát cuûa bieåu thöùc: 1 1 1 x y zP x y z = + + + + + . HD: 1 1 13 1 1 1 P x y z æ ö = - + +ç ÷+ + +è ø Söû duïng baát ñaúng thöùc Coâ–si: [ ] 1 1 1( 1) ( 1) ( 1) 9 1 1 1 x y z x y z æ ö + + + + = + + ³ç ÷+ + +è ø Þ P £ 3 4 . Daáu “=” xaûy ra Û x = y = z = 1 3 . Vaäy 3min 4D P = . Baøi 2. Cho D = 5( ; ) / 0, 0, 4 x y x y x y ì ü > > + =í ý î þ . Tìm giaù trò nhoû nhaát cuûa bieåu thöùc: 4 1 4 S x y = + . HD: ( ) 1 1 1 1 14 25 4 x x x x y x x x x y æ ö + + + + + + + + ³ç ÷ è ø Û 4 14( ) 25 4 x y x y æ ö + + ³ç ÷ è ø Þ S ³ 5. Daáu “=” xaûy ra Û x = 1, y = 1 4 . Vaäy minS = 5. Baøi 3. Cho D = { }( ; ) / 0, 0, 1x y x y x y> > + < . Tìm giaù trò nhoû nhaát cuûa bieåu thöùc: 2 2 1 1 1 x yP x y x y x y = + + + + - - + . HD: 2 2 1(1 ) (1 ) 2 1 1 x yP x y x y x y = + + + + + + - - - + = 1 1 1 2 1 1x y x y + + - - - + . Söû duïng baát ñaúng thöùc Coâ–si: [ ] 1 1 1(1 ) (1 ) ( ) 9 1 1 x y x y x y x y æ ö - + - + + + + ³ç ÷- - +è ø Traàn Só Tuøng Khaûo saùt haøm soá Trang 13 Û 1 1 1 9 1 1 2x y x y + + ³ - - + Þ P ³ 5 2 . Daáu “=” xaûy ra Û x = y = 1 3 . Vaäy minP = 5 2 . Baøi 4. Cho D = { }( ; ) / 0, 0, 4x y x y x y> > + ³ . Tìm giaù trò nhoû nhaát cuûa bieåu thöùc: 2 2 2 3 4 2 4 x yP x y + + = + . HD: 2 1 12 4 8 8 2 x y y x yP x y æ ö + = + + + + +ç ÷ è ø (1) Theo baát ñaúng thöùc Coâ–si: 1 12 . 1 4 4 x x x x + ³ = (2) 3 2 2 1 1 33 . . 8 8 8 8 4 y y y y y y + + ³ = (3) Þ P ³ 9 2 . Daáu “=” xaûy ra Û x = y = 2. Vaäy minP = 9 2 . VAÁN ÑEÀ 3: Tìm GTLN, GTNN cuûa haøm soá baèng caùch duøng mieàn giaù trò Xeùt baøi toaùn tìm GTLN, GTNN cuûa haøm soá f(x) treân moät mieàn D cho tröôùc. Goïi y0 laø moät giaù trò tuyø yù cuûa f(x) treân D, thì heä phöông trình (aån x) sau coù nghieäm: 0( ) (1) (2) f x y x D ì = í Îî Tuyø theo daïng cuûa heä treân maø ta coù caùc ñieàu kieän töông öùng. Thoâng thöôøng ñieàu kieän aáy (sau khi bieán ñoåi) coù daïng: m £ y0 £ M (3) Vì y0 laø moät giaù trò baát kì cuûa f(x) neân töø (3) ta suy ra ñöôïc: min ( ) ; max ( ) D D f x m f x M= = Baøi 1. Tìm giaù trò lôùn nhaát, giaù trò nhoû nhaát cuûa caùc haøm soá sau: a) 2 2 1 1 x xy x x + + = - + b) 2 2 2 7 23 2 10 x xy x x + + = + + c) 2sin cos 1 sin 2 cos 3 x xy x x + + = - + d) 2sin cos 3 2 cos sin 4 x xy x x + + = - + VAÁN ÑEÀ 4: Söû duïng GTLN, GTNN cuûa haøm soá trong PT, HPT, BPT Giaû söû f(x) laø moät haøm soá lieân tuïc treân mieàn D vaø coù min ( ) ; max ( ) D D f x m f x M= = . Khi ñoù: 1) Heä phöông trình ( )f x x D ì = í Îî a coù nghieäm Û m £ a £ M. 2) Heä baát phöông trình ( )f x x D ì ³ í Îî a coù nghieäm Û M ³ a. 3) Heä baát phöông trình ( )f x x D ì £ í Îî b coù nghieäm Û m £ b. Khaûo saùt haøm soá Traàn Só Tuøng Trang 14 4) Baát phöông trình f(x) ³ a ñuùng vôùi moïi x Û m ³ a. 5) Baát phöông trình f(x) £ b ñuùng vôùi moïi x Û M £ b. Baøi 1. Giaûi caùc phöông trình sau: a) 4 42 4 2x x- + - = b) 3 5 6 2x x x+ = + c) 5 5 1(1 ) 16 x x+ - = Baøi 2. Tìm m ñeå caùc phöông trình sau coù nghieäm: a) 22 1x x m+ + = b) 2 2 (2 )(2 )x x x x m- + + - - + = c) 3 6 (3 )(6 )x x x x m+ + - - + - = d) 7 2 (7 )(2 )x x x x m- + + - - + = Baøi 3. Tìm m ñeå caùc baát phöông trình sau nghieäm ñuùng vôùi moïi x Î R: a) 22 1x x m+ + > b) 22 9m x x m+ < + c) 4 4 0mx x m- + ³ Baøi 4. Cho baát phöông trình: 3 22 1 0x x x m- + - + < . a) Tìm m ñeå baát phöông trình coù nghieäm thuoäc [0; 2]. b) Tìm m ñeå baát phöông trình thoaû moïi x thuoäc [0; 2]. Baøi 5. Tìm m ñeå caùc baát phöông trình sau: a) 3 1mx x m- - £ + coù nghieäm. b) ( 2) 1m x m x+ - ³ + coù nghieäm x Î [0; 2]. c) 2 2( 1) 1m x x x x- + £ + + nghieäm ñuùng vôùi moïi x Î [0; 1]. Traàn Só Tuøng Khaûo saùt haøm soá Trang 15 1. Ñònh nghóa: Ñieåm ( )0 0; ( )U x f x ñgl ñieåm uoán cuûa ñoà thò haøm soá y = f(x) neáu toàn taïi moät khoaûng (a; b) chöùa ñieåm x0 sao cho treân moät trong hai khoaûng (a; x0) vaø (x0; b) tieáp tuyeán cuûa ñoà thò taïi ñieåm U naèm phía treân ñoà thò coøn treân khoaûng kia tieáp tuyeán naèm phía döôùi ñoà thò 2. Tính chaát: · Neáu haøm soá y = f(x) coù ñaïo haøm caáp hai treân moät khoaûng chöùa ñieåm x0, f¢¢(x0) = 0 vaø f¢¢(x) ñoåi daáu khi x ñi qua x0 thì ( )0 0; ( )U x f x laø moät ñieåm uoán cuûa ñoà thò haøm soá. · Ñoà thò cuûa haøm soá baäc ba 3 2y ax bx cx d= + + + (a ¹ 0) luoân coù moät ñieåm uoán vaø ñoù laø taâm ñoái xöùng cuûa ñoà thò. Baøi 1. Tìm ñieåm uoán cuûa ñoà thò caùc haøm soá sau: a) 3 26 3 2y x x x= - + + b) 3 23 9 9y x x x= - - + c) 4 26 3y x x= - + d) 4 22 3 4 xy x= - + e) 4 3 212 48 10y x x x= - + + f) 5 43 5 3 2y x x x= - + - Baøi 2. Tìm m, n ñeå ñoà thò cuûa haøm soá sau coù ñieåm uoán ñöôïc chæ ra: a) 3 23 3 3 4y x x mx m= - + + + ; I(1; 2). b) 3 2 8( 1) ( 3) 3 3 xy m x m x= - + - + + - ; I(1; 3) c) 3 2 1y mx nx= + + ; I(1; 4) d) 3 2 2y x mx nx= - + - ; 2 ; 3 3 I æ ö -ç ÷ è ø e) 3 23 2xy mx m = - + - ; I(1; 0) f) 3 23 4y mx mx= + + ; I(–1; 2) Baøi 3. Tìm m ñeå ñoà thò cuûa caùc haøm soá sau coù 3 ñieåm uoán: a) 5 4 34 (4 3) 5 1 5 3 xy x m x x= - + + + - b) 2 2 1 1 x mxy x + - = + Baøi 4. Chöùng minh ñoà thò cuûa caùc haøm soá sau coù 3 ñieåm uoán thaúng haøng: a) 2 2 1 1 xy x x + = + + b) 2 1 1 xy x + = + c) 2 2 2 3 1 x xy x - = + d) 2 2 1 1 xy x + = + e) 2 1 xy x = + f) 2 2 2 5 1 x xy x x + + = - + g) 2 2 2 3 3 3 x xy x x - = - + h) 2 2 3 1 x xy x + = + i) 3 2 4 5 xy x x = - + Baøi 5. Tìm m, n ñeå ñoà thò cuûa caùc haøm soá: a) 4 3 22 6 2 1y x x x mx m= - - + + - coù hai ñieåm uoán thaúng haøng vôùi ñieåm A(1; –2). b) 3 2 2 3 3 xy x mx= - - + + coù ñieåm uoán ôû treân ñöôøng thaúng 2y x= + . c) 4 21 4 y x mx n= - + + coù ñieåm uoán ôû treân Ox. IV. ÑIEÅM UOÁN CUÛA ÑOÀ THÒ Khaûo saùt haøm soá Traàn Só Tuøng Trang 16 1. Ñònh nghóa: · Ñöôøng thaúng 0x x= ñgl ñöôøng tieäm caän ñöùng cuûa ñoà thò haøm soá ( )y f x= neáu ít nhaát moät trong caùc ñieàu kieän sau ñöôïc thoaû maõn: 0 lim ( ) x x f x +® = +¥ ; 0 lim ( ) x x f x +® = -¥ ; 0 lim ( ) x x f x -® = +¥ ; 0 lim ( ) x x f x -® = -¥ · Ñöôøng thaúng 0y y= ñgl ñöôøng tieäm caän ngang cuûa ñoà thò haøm soá ( )y f x= neáu ít nhaát moät trong caùc ñieàu kieän sau ñöôïc thoaû maõn: 0lim ( )x f x y ®+¥ = ; 0lim ( )x f x y ®-¥ = · Ñöôøng thaúng , 0y ax b a= + ¹ ñgl ñöôøng tieäm caän xieân cuûa ñoà thò haøm soá ( )y f x= neáu ít nhaát moät trong caùc ñieàu kieän sau ñöôïc thoaû maõn: [ ]lim ( ) ( ) 0 x f x ax b ®+¥ - + = ; [ ]lim ( ) ( ) 0 x f x ax b ®-¥ - + = 2. Chuù yù: a) Neáu ( )( ) ( ) P xy f x Q x = = laø haøm soá phaân thöùc höõu tyû. · Neáu Q(x) = 0 coù nghieäm x0 thì ñoà thò coù tieäm caän ñöùng 0x x= . · Neáu baäc(P(x)) £ baäc(Q(x)) thì ñoà thò coù tieäm caän ngang. · Neáu baäc(P(x)) = baäc(Q(x)) + 1 thì ñoà thò coù tieäm caän xieân. b) Ñeå xaùc ñònh caùc heä soá a, b trong phöông trình cuûa tieäm caän xieân, ta coù theå aùp duïng caùc coâng thöùc sau: [ ]( )lim ; lim ( ) x x f xa b f x ax x®+¥ ®+¥ = = - hoaëc [ ]( )lim ; lim ( ) x x f xa b f x ax x®-¥ ®-¥ = = - Baøi 1. Tìm caùc tieäm caän cuûa ñoà thò caùc haøm soá sau: a) 2 5 1 xy x - = - b) 10 3 1 2 xy x + = - c) 2 3 2 xy x + = - d) 2 4 3 1 x xy x - + = + e) 2( 2) 1 xy x - = - f) 27 4 5 2 3 x xy x + + = - Baøi 2. Tìm caùc tieäm caän cuûa ñoà thò caùc haøm soá sau: a) 2 4 5 xy x x = - + b) 2 2 9 xy x + = - c) 2 2 4 5 1 x xy x + + = - d) 2 2 2 3 3 1 x xy x x + + = + + e) 3 2 1 1 x xy x + + = + f) 4 3 4 1 x xy x - + = - Baøi 3. Tìm caùc tieäm caän cuûa ñoà thò caùc haøm soá sau: a) 2 4y x x= - b) 2 4 2 9 xy x + = - c) 2 1 4 3 y x x = - + V. ÑÖÔØNG TIEÄM CAÄN CUÛA ÑOÀ THÒ Traàn Só Tuøng Khaûo saùt haøm soá Trang 17 d) 1 1 xy x x - = + e) 3 2 33y x x= - f) 2 3 2 2 x xy x - + = - Baøi 4. Tìm caùc tieäm caän cuûa ñoà thò caùc haøm soá sau: a) 2 1 2 1 x x y += - b) ln 2 x xe ey -- = c) 2ln( 5 6)y x x= - + Baøi 5. Tìm m ñeå ñoà thò cuûa caùc haøm soá sau coù ñuùng hai tieäm caän ñöùng: a) 2 3 2 2 1 y x mx m = + + - b) 2 2 2 3 2( 1) 4 xy x m x + = + + + c) 2 3 2 xy x x m + = + + - Baøi 6. Tìm m ñeå ñoà thò cuûa caùc haøm soá sau coù tieäm caän xieân: a) 2 (3 2) 2 1 5 x m x my x + + + - = + b) 2 (2 1) 3 2 mx m x my x + + + + = + Baøi 7. Tính dieän tích cuûa tam giaùc taïo bôûi tieäm caän xieân cuûa ñoà thò caùc haøm soá sau chaén treân hai truïc toaï ñoä: a) 23 1 1 x xy x + + = - b) 23 4 2 x xy x - + - = + c) 2 7 3 x xy x + - = - Baøi 8. Tìm m ñeå tieäm caän xieân cuûa ñoà thò caùc haøm soá sau taïo vôùi caùc truïc toaï ñoä moät tam giaùc coù dieän tích S ñaõ chæ ra: a) 2 1 1 x mxy x + - = - ; S = 8 b) 2 (2 1) 2 3 1 x m x my x + - - + = + ; S = 8 c) 22 2(2 1) 4 5 1 x m x my x + + + - = + ; S = 16 d) 22 2 1 x mxy x + - = - ; S = 4 Baøi 9. Chöùng minh raèng tích caùc khoaûng caùch töø moät ñieåm baát kì treân ñoà thò cuûa caùc haøm soá ñeán hai tieäm caän baèng moät haèng soá: a) 2 1 1 x xy x - + = - b) 22 5 4 3 x xy x + - = + c) 2 7 3 x xy x + - = - Khaûo saùt haøm soá Traàn Só Tuøng Trang 18 1. Caùc böôùc khaûo saùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò cuûa haøm soá · Tìm taäp xaùc ñònh cuûa haøm soá. · Xeùt söï bieán thieân cuûa haøm soá: + Tính y¢. + Tìm caùc ñieåm taïi ñoù ñaïo haøm y¢ baèng 0 hoaëc khoâng xaùc ñònh. + Tìm caùc giôùi haïn taïi voâ cöïc, giôùi haïn voâ cöïc vaø tìm tieäm caän (neáu coù). + Laäp baûng bieán thieân ghi roõ daáu cuûa ñaïo haøm, chieàu bieán thieân, cöïc trò cuûa haøm soá. · Veõ ñoà thò cuûa haøm soá: + Tìm ñieåm uoán cuûa ñoà thò (ñoái vôùi haøm soá baäc ba vaø haøm soá truøng phöông). – Tính y¢¢. – Tìm caùc ñieåm taïi ñoù y¢¢ = 0 vaø xeùt daáu y¢¢. + Veõ caùc ñöôøng tieäm caän (neáu coù) cuûa ñoà thò. + Xaùc ñònh moät soá ñieåm ñaëc bieät cuûa ñoà thò nhö giao ñieåm cuûa ñoà thò vôùi caùc truïc toaï ñoä (trong tröôøng hôïp ñoà thò khoâng caét caùc truïc toaï ñoä hoaëc vieäc tìm toaï ñoä giao ñieåm phöùc taïp thì coù theå boû qua). Coù theå tìm theâm moät soá ñieåm thuoäc ñoà thò ñeå coù theå veõ chính xaùc hôn. + Nhaän xeùt veà ñoà thò: Chæ ra truïc ñoái xöùng, taâm ñoái xöùng (neáu coù) cuûa ñoà thò. 2. Haøm soá baäc ba y 3 2 ( 0)y ax bx cx d a= + + + ¹ : · Taäp xaùc ñònh R = R. · Ñoà thò luoân coù moät ñieåm uoán vaø nhaän ñieåm uoán laøm taâm ñoái xöùng. · Caùc daïng ñoà thò: a > 0 a < 0 y’ = 0 coù 2 nghieäm phaân bieät Û D’ = b2 – 3ac > 0 y’ = 0 coù nghieäm keùp Û D’ = b2 – 3ac = 0 y’ = 0 voâ nghieäm Û D’ = b2 – 3ac < 0 y x 0 I y x 0 I y x 0 I y x 0 I y x 0 I VI. KHAÛO SAÙT SÖÏ BIEÁN THIEÂN VAØ VEÕ ÑOÀ THÒ CUÛA HAØM SOÁ y x 0 I Traàn Só Tuøng Khaûo saùt haøm soá Trang 19 3. Haøm soá truøng phöông 4 2 ( 0)y ax bx c a= + + ¹ : · Taäp xaùc ñònh D = R. · Ñoà thò luoân nhaän truïc tung laøm truïc ñoái xöùng. · Caùc daïng ñoà thò: 4. Haøm soá nhaát bieán ( 0, 0)ax by c ad bc cx d + = ¹ - ¹ + : · Taäp xaùc ñònh D = \ dR c ì ü -í ý î þ . · Ñoà thò coù moät tieäm caän ñöùng laø dx c = - vaø moät tieäm caän ngang laø ay c = . Giao ñieåm cuûa hai tieäm caän laø taâm ñoái xöùng cuûa ñoà thò haøm soá. · Caùc daïng ñoà thò: 5. Haøm soá höõu tyû 2 ( . ' 0, ) ' ' ax bx cy a a töû khoâng chia heát cho maãu a x b + + = ¹ + : · Taäp xaùc ñònh D = '\ ' bR a ì ü -í ý î þ . · Ñoà thò coù moät tieäm caän ñöùng laø ' ' bx a = - vaø moät tieäm caän xieân. Giao ñieåm cuûa hai tieäm caän laø taâm ñoái xöùng cuûa ñoà thò haøm soá. a > 0 a < 0 y’ = 0 coù 3 nghieäm phaân bieät Û ab < 0 y’ = 0 chæ coù 1 nghieäm Û ab > 0 y x 0 y x 0 y x 0 y x 0 0 ad – bc > 0 x y 0 ad – bc < 0 x y Khaûo saùt haøm soá Traàn Só Tuøng Trang 20 · Caùc daïng ñoà thò: a.a¢ > 0 a.a¢ < 0 y¢ = 0 coù 2 nghieäm phaân bieät y¢ = voâ nghieäm Baøi 1. Khaûo saùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò cuûa caùc haøm soá: a) 3 23 9 1y x x x= - - + b) 3 23 3 5y x x x= + + + c) 3 23 2y x x= - + - d) 2( 1) (4 )y x x= - - e) 3 2 1 3 3 xy x= - + f) 3 23 4 2y x x x= - - - + Baøi 2. Khaûo saùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò cuûa caùc haøm soá: a) 4 22 1y x x= - - b) 4 24 1y x x= - + c) 4 2 53 2 2 xy x= - + d) 2 2( 1) ( 1)y x x= - + e) 4 22 2y x x= - + + f) 4 22 4 8y x x= - + + Baøi 3. Khaûo saùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò cuûa caùc haøm soá: a) 1 2 xy x + = + b) 2 1 1 xy x + = - c) 3 4 xy x - = - d) 1 2 1 2 xy x - = + e) 3 1 3 xy x - = - f) 2 2 1 xy x - = + Baøi 4. Khaûo saùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò cuûa caùc haøm soá: a) 2 1 1 x xy x + + = + b) 2 2 1 x xy x + + = - c) 2 2 1 x xy x + - = + d) 11 1 y x x = - + + - e) 2 1 xy x = - f) 2 2 1 x xy x - = + Baøi 5. Veõ ñoà thò cuûa caùc haøm soá: a) 3 3 2y x x= - + b) 3 23 2y x x= - + - c) 4 22 3y x x= - - d) 1 1 xy x + = - e) 2 2 1 x xy x - + = - f) 2 3 3 2 x xy x + + = + 0 x y 0 x y y 0 x 0 x y Traàn Só Tuøng Khaûo saùt haøm soá Trang 21 1. SÖÏ TÖÔNG GIAO CUÛA CAÙC ÑOÀ THÒ 1. Cho hai ñoà thò (C1): y = f(x) vaø (C2): y = g(x). Ñeå tìm hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa (C1) vaø (C2) ta giaûi phöông trình: f(x) = g(x) (*) (goïi laø phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm). Soá nghieäm cuûa phöông trình (*) baèng soá giao ñieåm cuûa hai ñoà thò. 2. Ñoà thò haøm soá baäc ba 3 2 ( 0)y ax bx cx d a= + + + ¹ caét truïc hoaønh taïi 3 ñieåm phaân bieät Û Phöông trình 3 2 0ax bx cx d+ + + = coù 3 nghieäm phaân bieät. Û Haøm soá 3 2y ax bx cx d= + + + coù cöïc ñaïi, cöïc tieåu vaø . 0CÑ CTy y < . Baøi 1. Tìm toaï ñoä giao ñieåm cuûa caùc ñoà thò cuûa caùc haøm soá sau: a) 2 33 2 2 1 2 2 xy x xy ì = - + -ïï í ï = + ïî b) 2 2 4 1 2 4 xy x y x x ì - =ï í - ï = - + +î c) 34 3 2 y x x y x ì = -í = - +î d) 4 2 2 1 4 5 y x x y x ìï = - + í = -ïî e) 3 2 2 5 10 5 1 y x x x y x x ìï = - + - í = - +ïî f) 2 1 3 1 xy x y x ì ï =í - ï = - +î Baøi 2. Bieän luaän theo m soá giao ñieåm cuûa caùc ñoà thò cuûa caùc haøm soá sau: a) 3 3 2 ( 2) y x x y m x ì = - +í = -î b) 3 2 2 3 2 1 13 2 12 x xy x y m x ì = + -ïï í æ öï = + +ç ÷ï è øî c) 3 3 3 ( 3) xy x y m x ì ï = - +í ï = -î d) 2 1 2 2 xy x y x m ì +ï = í + ï = +î e) 1 1 2 xy x y x m ì +ï = í - ï = - +î f) 2 6 3 2 x xy x y x m ì - +ï =í + ï = -î g) 13 1 3 y x x y mx ìï = - + + í - ï = +î h) 2 3 3 2 4 1 x xy x y mx m ì - +ï =í - ï = - -î i) 3 2 2 1 ( 1) y x x y m x ìï = + + í = -ïî Baøi 3. Tìm m ñeå ñoà thò caùc haøm soá: a) 2( 2) 1; 1 2 xy y mx x + - = = + + caét nhau taïi hai ñieåm phaân bieät. b) 22 3 ; 2 1 x x my y x m x - + = = + - caét nhau taïi hai ñieåm phaân bieät. c) 2 ; 2 1 mx x my y mx x + + = = + - caét nhau taïi hai ñieåm coù hoaønh ñoä traùi daáu. d) 2 4 5 ; 2 2 x xy y mx x + + = = + + caét nhau taïi hai ñieåm coù hoaønh ñoä traùi daáu. e) 2( 2) ; 3 1 xy y mx x - = = + - caét nhau taïi hai ñieåm thuoäc hai nhaùnh khaùc nhau. VII. MOÄT SOÁ BAØI TOAÙN LIEÂN QUAN ÑEÁN KHAÛO SAÙT HAØM SOÁ Khaûo saùt haøm soá Traàn Só Tuøng Trang 22 f) 2 1 mx x my x + + = - caét truïc hoaønh taïi hai ñieåm phaân bieät coù hoaønh ñoä döông. Baøi 4. Tìm m ñeå ñoà thò caùc haøm soá: a) 3 23 2 ; 2y x x mx m y x= + + + = - + caét nhau taïi ba ñieåm phaân bieät. b) 3 23 (1 2 ) 1y mx mx m x= + - - - caét truïc hoaønh taïi ba ñieåm phaân bieät. c) 2 2( 1)( 3)y x x mx m= - - + - caét truïc hoaønh taïi ba ñieåm phaân bieät. d) 3 2 22 2 2 1; 2 2y x x x m y x x= + - + - = - + caét nhau taïi ba ñieåm phaân bieät. e) 3 2 2 22 3 ; 2 1y x x m x m y x= + - + = + caét nhau taïi ba ñieåm phaân bieät. Baøi 5. Tìm m ñeå ñoà thò caùc haøm soá: a) 4 22 1;y x x y m= - - = caét nhau taïi boán ñieåm phaân bieät. b) 4 2 3( 1)y x m m x m= - + + caét truïc hoaønh taïi boán ñieåm phaân bieät. c) 4 2 2(2 3) 3y x m x m m= - - + - caét truïc hoaønh taïi boán ñieåm phaân bieät. Baøi 6. Tìm m ñeå ñoà thò cuûa caùc haøm soá: a) 3 1; 2 4 xy y x m x + = = + - caét nhau taïi hai ñieåm phaân bieät A, B. Khi ñoù tìm m ñeå ñoaïn AB ngaén nhaát. b) 4 1; 2 xy y x m x - = = - + - caét nhau taïi hai ñieåm phaân bieät A, B. Khi ñoù tìm m ñeå ñoaïn AB ngaén nhaát. c) 2 2 4 ; 2 2 2 x xy y mx m x - + = = + - - caét nhau taïi hai ñieåm phaân bieät A, B. Khi ñoù tính AB theo m. Baøi 7. Tìm m ñeå ñoà thò cuûa caùc haøm soá: a) 3 23 6 8y x mx mx= - + - caét truïc hoaønh taïi ba ñieåm coù hoaønh ñoä laäp thaønh moät caáp soá coäng. b) 3 23 9 1; 4y x x x y x m= - - + = + caét nhau taïi ba ñieåm A, B, C vôùi B laø trung ñieåm cuûa ñoaïn AC. c) 4 2 2(2 4)y x m x m= - + + caét truïc hoaønh taïi boán ñieåm coù hoaønh ñoä laäp thaønh moät caáp soá coäng. d) 3 2( 1) ( 1) 2 1y x m x m x m= - + - - + - caét truïc hoaønh taïi ba ñieåm coù hoaønh ñoä laäp thaønh moät caáp soá nhaân. e) 3 23 (2 2) 9 192y x m x mx= + + + + caét truïc hoaønh taïi ba ñieåm coù hoaønh ñoä laäp thaønh moät caáp soá nhaân. Traàn Só Tuøng Khaûo saùt haøm soá Trang 23 2. BIEÄN LUAÄN SOÁ NGHIEÄM CUÛA PHÖÔNG TRÌNH BAÈNG ÑOÀ THÒ · Cô sôû cuûa phöông phaùp: Xeùt phöông trình: f(x) = g(x) (1) Soá nghieäm cuûa phöông trình (1) = Soá giao ñieåm cuûa (C1): y = f(x) vaø (C2): y = g(x) Nghieäm cuûa phöông trình (1) laø hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa (C1): y = f(x) vaø (C2): y = g(x) · Ñeå bieän luaän soá nghieäm cuûa phöông trình F(x, m) = 0 (*) baèng ñoà thò ta bieán ñoåi (*) veà moät trong caùc daïng sau: Daïng 1: F(x, m) = 0 Û f(x) = m (1) Khi ñoù (1) coù theå xem laø phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa hai ñöôøng: (C): y = f(x) d: y = m · d laø ñöôøng thaúng cuøng phöông vôùi truïc hoaønh. · Döïa vaøo ñoà thò (C) ta bieän luaän soá giao ñieåm cuûa (C) vaø d. Töø ñoù suy ra soá nghieäm cuûa (1) Daïng 2: F(x, m) = 0 Û f(x) = g(m) (2) Thöïc hieän töông töï nhö treân, coù theå ñaët g(m) = k. Bieän luaän theo k, sau ñoù bieän luaän theo m. Daïng 3: F(x, m) = 0 Û f(x) = kx + m (3) (k: khoâng ñoåi) Khi ñoù (3) coù theå xem laø phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa hai ñöôøng: (C): y = f(x) d: y = kx + m · Vì d coù heä soá goùc k khoâng ñoåi neân d cuøng phöông vôùi ñöôøng thaúng y = kx vaø caét truïc tung taïi ñieåm A(0; m). · Vieát phöông trình caùc tieáp tuyeán d1, d2, … cuûa (C) coù heä soá goùc k. · Döïa vaøo caùc tung ñoä goác b, b1, b2, … cuûa d, d1, d2, … ñeå bieän luaän. Daïng 4: F(x, m) = 0 Û f(x) = m(x – x0) + y0 (4) Khi ñoù (4) coù theå xem laø phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa hai ñöôøng: (C): y = f(x) d: y = m(x – x0) + y0 · d quay quanh ñieåm coá ñònh M0(x0; y0). · Vieát phöông trình caùc tieáp tuyeán d1, d2, … cuûa (C) ñi qua M0. · Cho d quay quanh ñieåm M0 ñeå bieän luaän. Chuù yù: · Neáu F(x, m) = 0 coù nghieäm thoaû ñieàu kieän: a £ x £ b thì ta chæ veõ ñoà thò (C): y = f(x) vôùi a £ x £ b. · Neáu coù ñaët aån soá phuï thì ta tìm ñieàu kieän cuûa aån soá phuï, sau ñoù bieän luaän theo m. y x m A (C) c.(d) : y = m c.yCÑ yCT xA y x A y = kx c. m (C) M1 M2 b1 b2 d1 d d2 O y x0 d3 d1 y0 0 (C) c.M1 M2 d2 m = –¥ m = +¥ m > 0 m = 0 m < 0 d I IV (–) (+) M x Khaûo saùt haøm soá Traàn Só Tuøng Trang 24 VAÁN ÑEÀ 1: Bieän luaän soá nghieäm cuûa phöông trình baèng ñoà thò Ñeå bieän luaän soá nghieäm cuûa phöông trình F(x, m) = 0 (*) ta bieán ñoåi (*) veà moät trong caùc daïng nhö treân, trong ñoù löu yù y = f(x) laø haøm soá ñaõ khaûo saùt vaø veõ ñoà thò. Baøi 1. Khaûo saùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò (C) cuûa haøm soá. Duøng ñoà thò (C) bieän luaän theo m soá nghieäm cuûa phöông trình: a) 3 33 1; 3 1 0y x x x x m= - + - + - = b) 3 33 1; 3 1 0y x x x x m= - + - - + + = c) 3 3 23 1; 3 2 2 0y x x x x m m= - + - - - - = d) 3 33 1; 3 4 0y x x x x m= - + - - + + = e) 4 2 4 22 2; 4 4 2 0 2 xy x x x m= - + + - - + = f) 4 2 4 22 2; 2 2 0y x x x x m= - + - - + = Baøi 2. Khaûo saùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò (C) cuûa haøm soá. Duøng ñoà thò (C) bieän luaän theo m soá nghieäm cuûa phöông trình: a) 2 25 7 ; ( 5) 3 7 0 3 x xy x m x m x - + = - + + + = - b) 2 22 4 2 ; 2 2( 2) 3 2 0 2 3 x xy x m x m x - + = - + - + = + c) 2 21; ( 1) 2 1 0xy m x x x + = - + - = d) 2 22 4 ; 2( 1) 4( 1) 0 2 4 x xy x m x m x - + = - + + + = - Baøi 3. Khaûo saùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò (C) cuûa haøm soá. Duøng ñoà thò (C) bieän luaän theo m soá nghieäm cuûa phöông trình: a) 2 22 ; 2sin 2 cos 2 0 (0 ) 2 1 xy m m x = + - - = £ £ - a a a p b) 22 3 ; cos2 ( 3)cos 2 1 0 (0 ) 2 x xy m m x - = - + + + = £ £ - a a a p c) 2 23 3 ; cos (3 )cos 3 2 0 (0 ) 2 x xy m m x + + = + - + - = £ £ + a a a p d) 3 2 3 23 6; cos 3cos 6 0y x x x x m= - + - + - = Baøi 4. Khaûo saùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò (C) cuûa haøm soá. Duøng ñoà thò (C) bieän luaän theo m soá nghieäm cuûa phöông trình: a) 2 5 7 ; 2 (3 7)2 5 3 t tx xy m m x -- += + + = + - b) 2 1; 2 ( 1)2 1 1 t tx xy m m x -+ -= + - = - - c) 2 22 5 4 ; 2 (5 ) 4 0 1 t tx xy e m e m x - + = - + + + = - d) 2 25 4 ; (5 ) 4 0t tx xy e m e x - + = - + + = Baøi 5. Khaûo saùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò (C) cuûa haøm soá. Töø ñoà thò (C) haõy suy ra ñoà thò (T). Duøng ñoà thò (T) bieän luaän theo m soá nghieäm cuûa phöông trình: a) 2 2 23 6 3 6 3 6( ) : ; ( ) : ; 2 0 1 1 1 x x x x x xC y T y m x x x - + - + - + = = - = - - - Traàn Só Tuøng Khaûo saùt haøm soá Trang 25 b) 2 2 25 4 5 4 5 4( ) : ; ( ) : ; 2 0x x x x x xC y T y m x x x - + - + - + = = - + = c) 3 2 3 2 3 2( ) : 3 6; ( ) : 3 6 ; 3 6 3 0C y x x T y x x x x m= - + = - + - + - + = d) 3 33 2 2 2( ) : 2 9 12 4; ( ) : 2 9 12 4; 2 9 12 0C y x x x T y x x x x x x m= - + - = - + - - + + = e) 2 2 2 2( ) : ( 1) (2 ); ( ) : ( 1) 2 ;( 1) 2 ( 1) (2 )C y x x T y x x x x m m= + - = + - + - = + - f) 2 2 21 1( ) : ; ( ) : ; ( 1) 2 1 0x xC y T y m x x x x + + = = - + - = Baøi 6. Cho haøm soá 2( ) 1 xy f x x + = = - . a) Khaûo saùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò (C) cuûa haøm soá. b) Vieát phöông trình tieáp tuyeán cuûa (C) vuoâng goùc vôùi ñöôøng thaúng 3 0x y- = . c) Duøng ñoà thò (C), bieän luaän soá nghieäm cuûa phöông trình: 23 ( 2) 2 0x m x m- + + + = Baøi 7. Cho haøm soá 1( ) 1 xy f x x + = = - . a) Khaûo saùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò (C) cuûa haøm soá. b) Vieát phöông trình tieáp tuyeán cuûa (C) vuoâng goùc vôùi ñöôøng thaúng 2 0x y- = . c) Duøng ñoà thò (C), bieän luaän theo m soá nghieäm cuûa phöông trình: 22 ( 1) 1 0x m x m- + + + = Baøi 8. Cho haøm soá 2 ( ) 1 xy f x x = = - . a) Khaûo saùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò (C) cuûa haøm soá. b) Vieát phöông trình tieáp tuyeán cuûa (C) ñi qua ñieåm A(0; 1). c) Duøng ñoà thò (C), bieän luaän theo m soá nghieäm cuûa phöông trình: 2(1 ) (1 ) 1 0m x m x- - - + = VAÁN ÑEÀ 2: Bieän luaän soá nghieäm cuûa phöông trình baäc ba baèng ñoà thò Cô sôû cuûa phöông phaùp: Xeùt phöông trình baäc ba: 3 2 0ax bx cx d+ + + = (a ¹ 0) (1) Goïi (C) laø ñoà thò cuûa haøm soá baäc ba: 3 2( )y f x ax bx cx d= = + + + Soá nghieäm cuûa (1) = Soá giao ñieåm cuûa (C) vôùi truïc hoaønh Daïng 1: Bieän luaän soá nghieäm cuûa phöông trình baäc 3 · Tröôøng hôïp 1: (1) chæ coù 1 nghieäm Û (C) vaø Ox coù 1 ñieåm chung Û ( .1 ) 2 ( .1 ). 0CÑ CT f khoâng coù cöïc trò h a f coù cöïc trò h by y é êì êí <êîë (C) A x0 O x y (h.1a) (C) A x0 x y (h.1b) x1 o x2 yCT yCÑ Khaûo saùt haøm soá Traàn Só Tuøng Trang 26 · Tröôøng hôïp 2: (1) coù ñuùng 2 nghieäm Û (C) tieáp xuùc vôùi Ox Û 2 ( .2). 0CÑ CT f coù cöïc trò hy y ì í =î · Tröôøng hôïp 3: (1) coù 3 nghieäm phaân bieät Û (C) caét Ox taïi 3 ñieåm phaân bieät Û 2 ( .3). 0CÑ CT f coù cöïc trò hy y ì í <î Daïng 2: Phöông trình baäc ba coù 3 nghieäm cuøng daáu · Tröôøng hôïp 1: (1) coù 3 nghieäm döông phaân bieät Û (C) caét Ox taïi 3 ñieåm phaân bieät coù hoaønh ñoä döông Û 2 . 0 0, 0 . (0) 0 ( 0) CÑ CT CÑ CT f coù cöïc trò y y x x a f hay ad ì ï <ï í > >ï < <ïî · Tröôøng hôïp 2: (1) coù 3 nghieäm coù aâm phaân bieät Û (C) caét Ox taïi 3 ñieåm phaân bieät coù hoaønh ñoä aâm Û 2 . 0 0, 0 . (0) 0 ( 0) CÑ CT CÑ CT f coù cöïc trò y y x x a f hay ad ì ï <ï í < <ï > >ïî x1 xA xB xC C (C) yCÑ y A o x2 x a > 0 yCT B f(0) x1 xA xB xC C (C) yCÑ y A o x2 x a < 0 yCT B f(0) x"0 C x1 (C) yCÑ y A o x2 x (H.3) yCÑ x0 x'0 B (C) yCÑ y A x0 o x1 B x'0 (yCT = f(x0) = 0) x (H.2) x1 xA xB xC C (C) yCÑ y A o x2 x a > 0 yCT B f(0) xC x2 x1 xA xB C (C) yCÑ y A o x a < 0 yCT B f(0) Traàn Só Tuøng Khaûo saùt haøm soá Trang 27 Baøi 1. Tìm m ñeå caùc phöông trình sau chæ coù 1 nghieäm: a) 3 22 3( 1) 6 2 0x m x mx- + + - = b) 3 23 3(1 ) 1 3 0x x m x m- + - + + = c) 3 22 3 6( 1) 3 12 0x mx m x m- + - - + = d) 3 26 3( 4) 4 8 0x x m x m- - - + - = e) 3 22 3( 1) 6( 2) 2 0x m x m x m+ - + - + - = f) 3 3 2 0x mx m- + = Baøi 2. Tìm m ñeå caùc phöông trình sau chæ coù 2 nghieäm: a) 3 2 2( 1) (2 3 2) 2 (2 1) 0x m x m m x m m- + - - + + - = b) 3 3 2 0x mx m- + = c) 3 2(2 1) (3 1) ( 1) 0x m x m x m- + + + - + = d) 3 23 3(1 ) 1 3 0x x m x m- + - + + = Baøi 3. Tìm m ñeå caùc phöông trình sau coù 3 nghieäm phaân bieät: a) 3 2 2 23 3( 1) ( 1) 0x mx m x m- + - - - = b) 3 26 3( 4) 4 8 0x x m x m- - - + - = c) 3 22 3( 1) 6( 2) 2 0x m x m x m+ - + - + - = d) 31 0 3 x x m- + = Baøi 4. Tìm m ñeå caùc phöông trình sau coù 3 nghieäm döông phaân bieät: a) 3 2 2 23 3( 1) ( 1) 0x mx m x m- + - - - = b) 3 26 3( 4) 4 8 0x x m x m- - - + - = c) 3 21 5 74 0 3 2 6 x x x m- + + + = d) 3 2 (2 1) 2 0x mx m x m- + + - - = Baøi 5. Tìm m ñeå caùc phöông trình sau coù 3 nghieäm aâm phaân bieät: a) 3 22 3( 1) 6( 2) 2 0x m x m x m+ - + - + - = b) 3 2 2 23 3( 1) ( 1) 0x mx m x m- + - - - = c) 3 23 9 0x x x m+ - + = d) 3 2 18 2 0x x mx m- + - = Khaûo saùt haøm soá Traàn Só Tuøng Trang 28 3. SÖÏ TIEÁP XUÙC CUÛA HAI ÑÖÔØNG. TIEÁP TUYEÁN CUÛA ÑÖÔØNG CONG. 1. YÙ nghóa hình hoïc cuûa ñaïo haøm: Ñaïo haøm cuûa haøm soá y = f(x) taïi ñieåm x0 laø heä soá goùc cuûa tieáp tuyeán vôùi ñoà thò (C) cuûa haøm soá taïi ñieåm ( )0 0 0; ( )M x f x . Khi ñoù phöông trình tieáp tuyeán cuûa (C) taïi ñieåm ( )0 0 0; ( )M x f x laø: y – y0 = f¢ (x0).(x – x0) 2. Ñieàu kieän caàn vaø ñuû ñeå hai ñöôøng (C1): y = f(x) vaø (C2): y = g(x) tieáp xuùc nhau laø heä phöông trình sau coù nghieäm: ( ) ( ) '( ) '( ) f x g x f x g x ì = í =î (*) Nghieäm cuûa heä (*) laø hoaønh ñoä cuûa tieáp ñieåm cuûa hai ñöôøng ñoù. 3. Neáu (C1): y = px + q vaø (C2): y = ax2 + bx + c thì (C1) vaø (C2) tieáp xuùc nhau Û phöông trình 2ax bx c px q+ + = + coù nghieäm keùp. VAÁN ÑEÀ 1: Laäp phöông trình tieáp tuyeán cuûa ñöôøng cong (C): y = f(x) Baøi toaùn 1: Vieát phöông trình tieáp tuyeán D cuûa (C): y =f(x) taïi ñieåm ( )0 0 0;M x y : · Neáu cho x0 thì tìm y0 = f(x0). Neáu cho y0 thì tìm x0 laø nghieäm cuûa phöông trình f(x) = y0. · Tính y¢ = f¢ (x0). Suy ra y¢(x0) = f¢ (x0). · Phöông trình tieáp tuyeán D laø: y – y0 = f¢ (x0).(x – x0) Baøi toaùn 2: Vieát phöông trình tieáp tuyeán D cuûa (C): y =f(x), bieát D coù heä soá goùc k cho tröôùc. Caùch 1: Tìm toaï ñoä tieáp ñieåm. · Goïi M(x0; y0) laø tieáp ñieåm. Tính f¢ (x0). · D coù heä soá goùc k Þ f¢ (x0) = k (1) · Giaûi phöông trình (1), tìm ñöôïc x0 vaø tính y0 = f(x0). Töø ñoù vieát phöông trình cuûa D. Caùch 2: Duøng ñieàu kieän tieáp xuùc. · Phöông trình ñöôøng thaúng D coù daïng: y = kx + m. · D tieáp xuùc vôùi (C) khi vaø chæ khi heä phöông trình sau coù nghieäm: ( ) '( ) f x kx m f x k ì = + í =î (*) · Giaûi heä (*), tìm ñöôïc m. Töø ñoù vieát phöông trình cuûa D. Chuù yù: Heä soá goùc k cuûa tieáp tuyeán D coù theå ñöôïc cho giaùn tieáp nhö sau: + D taïo vôùi chieàu döông truïc hoaønh goùc a thì k = tana + D song song vôùi ñöôøng thaúng d: y = ax + b thì k = a + D vuoâng goùc vôùi ñöôøng thaúng d: y = ax + b (a ¹ 0) thì k = 1 a - + D taïo vôùi ñöôøng thaúng d: y = ax + b moät goùc a thì tan 1 k a ka - = + a Baøi toaùn 3: Vieát phöông trình tieáp tuyeán D cuûa (C): y = f(x), bieát D ñi qua ñieåm ( ; )A AA x y . Caùch 1: Tìm toaï ñoä tieáp ñieåm. · Goïi M(x0; y0) laø tieáp ñieåm. Khi ñoù: y0 = f(x0), y¢0 = f¢ (x0). · Phöông trình tieáp tuyeán D taïi M: y – y0 = f¢ (x0).(x – x0) · D ñi qua ( ; )A AA x y neân: yA – y0 = f¢ (x0).(xA – x0) (2) · Giaûi phöông trình (2), tìm ñöôïc x0. Töø ñoù vieát phöông trình cuûa D. Traàn Só Tuøng Khaûo saùt haøm soá Trang 29 Caùch 2: Duøng ñieàu kieän tieáp xuùc. · Phöông trình ñöôøng thaúng D ñi qua ( ; )A AA x y vaø coù heä soá goùc k: y – yA = k(x – xA) · D tieáp xuùc vôùi (C) khi vaø chæ khi heä phöông trình sau coù nghieäm: ( ) ( ) '( ) A Af x k x x y f x k ì = - + í =î (*) · Giaûi heä (*), tìm ñöôïc x (suy ra k). Töø ñoù vieát phöông trình tieáp tuyeán D. Baøi 6. Vieát phöông trình tieáp tuyeán cuûa (C) taïi ñieåm ñöôïc chæ ra: a) (C): 3 23 7 1y x x x= - - + taïi A(0; 1) b) (C): 4 22 1y x x= - + taïi B(1; 0) c) (C): 3 4 2 3 xy x + = - taïi C(1; –7) d) (C): 21 2 1 y x x = + - - taïi D(0; 3) Baøi 7. Vieát phöông trình tieáp tuyeán cuûa (C) taïi ñieåm ñöôïc chæ ra: a) (C): 2 3 3 2 x xy x - + = - taïi ñieåm A coù xA = 4 b) (C): 3( 2) 1 xy x - = - taïi ñieåm B coù yB = 4 c) (C): 1 2 xy x + = - taïi caùc giao ñieåm cuûa (C) vôùi truïc hoaønh, truïc tung. d) (C): 22 2 1y x x= - + taïi caùc giao ñieåm cuûa (C) vôùi truïc hoaønh, truïc tung. e) (C): 3 3 1y x x= - + taïi ñieåm uoán cuûa (C). f) (C): 4 21 92 4 4 y x x= - - taïi caùc giao ñieåm cuûa (C) vôùi truïc hoaønh. Baøi 8. Vieát phöông trình tieáp tuyeán cuûa (C) taïi caùc giao ñieåm cuûa (C) vôùi ñöôøng ñöôïc chæ ra: a) (C): 3 22 3 9 4y x x x= - + - vaø d: 7 4y x= + . b) (C): 3 22 3 9 4y x x x= - + - vaø (P): 2 8 3y x x= - + - . c) (C): 3 22 3 9 4y x x x= - + - vaø (C’): 3 24 6 7y x x x= - + - . Baøi 9. Tính dieän tích tam giaùc chaén hai truïc toaï ñoä bôûi tieáp tuyeán cuûa ñoà thò (C) taïi ñieåm ñöôïc chæ ra: a) (C): 5 11 2 3 xy x + = - taïi ñieåm A coù xA = 2 . b) (C): 2 7 26y x x= - + taïi ñieåm B coù xB = 2. Baøi 10. Tìm m ñeå tieáp tuyeán cuûa ñoà thò (C) taïi ñieåm ñöôïc chæ ra chaén hai truïc toaï ñoä moät tam giaùc coù dieän tích baèng S cho tröôùc: a) (C): 2 1 x my x + = - taïi ñieåm A coù xA = 2 vaø S = 1 2 . b) (C): 3 2 x my x - = + taïi ñieåm B coù xB = –1 vaø S = 9 2 . c) (C): 3 1 ( 1)y x m x= + - + taïi ñieåm C coù xC = 0 vaø S = 8. Baøi 11. Vieát phöông trình tieáp tuyeán D cuûa (C), bieát D coù heä soá goùc k ñöôïc chæ ra: a) (C): 3 22 2 5y x x= - + ; k = 12 b) (C): 2 1 2 xy x - = - ; k = –3 Khaûo saùt haøm soá Traàn Só Tuøng Trang 30 c) (C): 2 3 4 1 x xy x - + = - ; k = –1 d) (C): 2 4 3y x x= - + ; k = 2 Baøi 12. Vieát phöông trình tieáp tuyeán D cuûa (C), bieát D song song vôùi ñöôøng thaúng d cho tröôùc: a) (C): 3 22 3 1 3 xy x x= - + + ; d: y = 3x + 2 b) (C): 2 1 2 xy x - = - ; d: 3 2 4 y x= - + c) (C): 2 2 3 4 6 x xy x - - = + ; d: 2 5 0x y+ - = d) (C): 4 21 33 2 2 y x x= - + ; d: y = –4x + 1 Baøi 13. Vieát phöông trình tieáp tuyeán D cuûa (C), bieát D vuoâng goùc vôùi ñöôøng thaúng d cho tröôùc: a) (C): 3 22 3 1 3 xy x x= - + + ; d: 2 8 xy = - + b) (C): 2 1 2 xy x - = - ; d: y x= c) (C): 2 3 1 xy x + = + ; d: y = –3x d) (C): 2 1 2 x xy x + - = + ; d: x – 2 Baøi 14. Vieát phöông trình tieáp tuyeán D cuûa (C), bieát D taïo vôùi chieàu döông truïc Ox goùc a: a) (C): 3 2 02 4; 60 3 xy x x= - + - =a b) (C): 3 2 02 4; 75 3 xy x x= - + - =a c) 03 2( ) : ; 45 1 xC y x - = = - a Baøi 15. Vieát phöông trình tieáp tuyeán D cuûa (C), bieát D taïo vôùi ñöôøng thaúng d moät goùc a: a) (C): 3 2 02 4; : 3 7; 45 3 xy x x d y x= - + - = + =a b) (C): 3 2 012 4; : 3; 30 3 2 xy x x d y x= - + - = - + =a c) 04 3( ) : ; : 3 ; 45 1 xC y d y x x - = = = - a d) 03 7( ) : ; : ; 60 2 5 xC y d y x x - = = - = - + a e) 2 03( ) : ; : 1; 60 2 x xC y d y x x - + = = - + = - a Baøi 16. Tìm m ñeå tieáp tuyeán D cuûa (C) taïi ñieåm ñöôïc chæ ra vuoâng goùc vôùi ñöôøng thaúng d cho tröôùc: a) (C): 2 (2 1) 2 1 x m x my x + + - + = + taïi ñieåm A coù xA = 0 vaø d laø tieäm caän xieân cuûa (C). b) (C): 22 1 3 x mxy x + - = - ; taïi ñieåm B coù xB = 4 vaø d: x – 12y + 1 = 0 . Baøi 17. Tìm m ñeå tieáp tuyeán D cuûa (C) taïi ñieåm ñöôïc chæ ra song song vôùi ñöôøng thaúng d cho tröôùc: a) (C): 2(3 1) ( 0)m x m my m x m + - + = ¹ + taïi ñieåm A coù yA = 0 vaø d: 10y x= - . Baøi 18. Vieát phöông trình tieáp tuyeán D cuûa (C), bieát D ñi qua ñieåm ñöôïc chæ ra: a) (C): 3 3 2y x x= - + - ; A(2; –4) b) (C): 3 3 1y x x= - + ; B(1; –6) Traàn Só Tuøng Khaûo saùt haøm soá Trang 31 c) (C): ( ) 222y x= - ; C(0; 4) d) (C): 4 21 33 2 2 y x x= - + ; 30; 2 D æ ö ç ÷ è ø e) (C): 2 2 xy x + = - ; E(–6; 5) f) (C): 3 4 1 xy x + = - ; F(2; 3) g) (C): 2 3 3 2 x xy x - + = - ; G(1; 0) h) 2 2 1 x xy x - + = - ; H(2; 2) VAÁN ÑEÀ 2: Tìm ñieàu kieän ñeå hai ñöôøng tieáp xuùc 1. Ñieàu kieän caàn vaø ñuû ñeå hai ñöôøng (C1): y = f(x) vaø (C2): y = g(x) tieáp xuùc nhau laø heä phöông trình sau coù nghieäm: ( ) ( ) '( ) '( ) f x g x f x g x ì = í =î (*) Nghieäm cuûa heä (*) laø hoaønh ñoä cuûa tieáp ñieåm cuûa hai ñöôøng ñoù. 2. Neáu (C1): y = px + q vaø (C2): y = ax2 + bx + c thì (C1) vaø (C2) tieáp xuùc nhau Û phöông trình 2ax bx c px q+ + = + coù nghieäm keùp. Baøi 1. Tìm m ñeå hai ñöôøng (C1), (C2) tieáp xuùc nhau: a) 3 21 2( ) : (3 ) 2; ( ) :C y x m x mx C truïc hoaønh= + + + + b) 3 21 2( ) : 2 ( 1) ; ( ) :C y x x m x m C truïc hoaønh= - - - + c) 31 2( ) : ( 1) 1; ( ) : 1C y x m x C y x= + + + = + d) 3 21 2( ) : 2 2 1; ( ) :C y x x x C y x m= + + - = + Baøi 2. Tìm m ñeå hai ñöôøng (C1), (C2) tieáp xuùc nhau: a) 4 2 21 2( ) : 2 1; ( ) : 2C y x x C y mx m= + + = + b) 4 2 21 2( ) : 1; ( ) :C y x x C y x m= - + - = - + c) 4 2 21 2 1 9( ) : 2 ; ( ) : 4 4 C y x x C y x m= - + + = - + d) 2 2 21 2( ) : ( 1) ( 1) ; ( ) : 2C y x x C y x m= + - = + e) 2 1 2 (2 1)( ) : ; ( ) : 1 m x mC y C y x x - - = = - f) 2 2 1 2 1( ) : ; ( ) : 1 x xC y C y x m x - + = = + - VAÁN ÑEÀ 3: Laäp phöông trình tieáp tuyeán chung cuûa hai ñoà thò (C1): y = f(x) vaø C2): y = g(x) 1. Goïi D: y = ax + b laø tieáp tuyeán chung cuûa (C1) vaø (C2). u laø hoaønh ñoä tieáp ñieåm cuûa D vaø (C1), v laø hoaønh ñoä tieáp ñieåm cuûa D vaø (C2). · D tieáp xuùc vôùi (C=1) vaø (C2) khi vaø chæ khi heä sau coù nghieäm: ( ) (1) '( ) (2) ( ) (3) '( ) (4) f u au b f u a g v av b g v a ì = + ïï = í = +ï =ïî Khaûo saùt haøm soá Traàn Só Tuøng Trang 32 · Töø (2) vaø (4) Þ f¢ (u) = g¢ (v) Þ u = h(v) (5) · Theá a töø (2) vaøo (1) Þ b = j(u) (6) · Theá (2), (5), (6) vaøo (3) Þ v Þ a Þ u Þ b. Töø ñoù vieát phöông trình cuûa D. 2. Neáu (C1) vaø (C2) tieáp xuùc nhau taïi ñieåm coù hoaønh ñoä x0 thì moät tieáp tuyeán chung cuûa (C1) vaø (C2) cuõng laø tieáp tuyeán cuûa (C1) (vaø (C2)) taïi ñieåm ñoù. Baøi 1. Vieát phöông trình tieáp tuyeán chung cuûa hai ñoà thò: a) 2 21 2( ) : 5 6; ( ) : 5 11C y x x C y x x= - + = - + - b) 2 21 2( ) : 5 6; ( ) : 14C y x x C y x x= - + = - - - c) 2 31 2( ) : 5 6; ( ) : 3 10C y x x C y x x= - + = + - VAÁN ÑEÀ 4: Tìm nhöõng ñieåm treân ñoà thò (C): y = f(x) sao cho taïi ñoù tieáp tuyeán cuûa (C) song song hoaëc vuoâng goùc vôùi moät ñöôøng thaúng d cho tröôùc · Goïi M(x0; y0) Î (C). D laø tieáp tuyeán cuûa (C) taïi M. Tính f¢ (x0). · Vì D // d neân f¢ (x0) = kd (1) hoaëc D ^ d neân f¢ (x0) = 1 dk - (2) · Giaûi phöông trình (1) hoaëc (2) tìm ñöôïc x0. Töø ñoù tìm ñöôïc M(x0; y0) Î (C). Baøi 1. Tìm caùc ñieåm treân ñoà thò (C) maø tieáp tuyeán taïi ñoù vuoâng goùc vôùi ñöôøng thaúng d cho tröôùc: a) (C): 2 3 6 1 x xy x + + = + ; d: 1 3 y x= b) (C): 2 1 1 x xy x + + = + ; d laø tieäm caän xieân cuûa (C) c) (C): 2 1 1 x xy x + - = - ; d laø ñöôøng thaúng ñi qua hai ñieåm cöïc ñaïi, cöïc tieåu cuûa (C). d) (C): 2 1x xy x - + = ; d: y = x Baøi 2. Tìm caùc ñieåm treân ñoà thò (C) maø tieáp tuyeán taïi ñoù song song vôùi ñöôøng thaúng d cho tröôùc: a) (C): 3 2 10y x x x= + + + ; d: 2y x= b) (C): 2 1x xy x - + = ; d: y = –x VAÁN ÑEÀ 5: Tìm nhöõng ñieåm treân ñöôøng thaúng d maø töø ñoù coù theå veõ ñöôïc 1, 2, 3, … tieáp tuyeán vôùi ñoà thò (C): y = f(x) Giaû söû d: ax + by +c = 0. M(xM; yM) Î d. · Phöông trình ñöôøng thaúng D qua M coù heä soá goùc k: y = k(x – xM) + yM · D tieáp xuùc vôùi (C) khi heä sau coù nghieäm: ( ) ( ) (1) '( ) (2) M Mf x k x x y f x k ì = - + í =î · Theá k töø (2) vaøo (1) ta ñöôïc: f(x) = (x – xM).f¢ (x) + yM (3) · Soá tieáp tuyeán cuûa (C) veõ töø M = Soá nghieäm x cuûa (3) Traàn Só Tuøng Khaûo saùt haøm soá Trang 33 Baøi 1. Tìm caùc ñieåm treân ñoà thò (C) maø töø ñoù veõ ñöôïc ñuùng moät tieáp tuyeán vôùi (C): a) 3 2( ) : 3 2C y x x= - + - b) 3( ) : 3 1C y x x= - + Baøi 2. Tìm caùc ñieåm treân ñöôøng thaúng d maø töø ñoù veõ ñöôïc ñuùng moät tieáp tuyeán vôùi (C): a) 1( ) : 1 xC y x + = - ; d laø truïc tung b) 2 2( ) : 1 x xC y x + + = - ; d laø truïc hoaønh c) 22( ) : 1 x xC y x + = + ; d: y = 1 d) 2 3 3( ) : 2 x xC y x + + = + ; d: x = 1 e) 3( ) : 1 xC y x + = - ; d: y = 2x + 1 Baøi 3. Tìm caùc ñieåm treân ñöôøng thaúng d maø töø ñoù veõ ñöôïc ít nhaát moät tieáp tuyeán vôùi (C): a) 2 6 9( ) : 2 x xC y x - + = - + ; d laø truïc tung b) 2 3 3( ) : 1 x xC y x + + = + ; d laø truïc tung c) 2 1( ) : 2 xC y x + = - ; d: x = 3 d) 3 4( ) : 4 3 xC y x + = - ; d: y = 2 Baøi 4. Tìm caùc ñieåm treân ñöôøng thaúng d maø töø ñoù veõ ñöôïc hai tieáp tuyeán vôùi (C): a) 2 2( ) : 2 x xC y x + - = + ; d laø truïc hoaønh b) 2 1( ) : 1 x xC y x - - = + ; d laø truïc tung c) 2 3 3( ) : 2 x xC y x + + = + ; d: y = –5 Baøi 5. Tìm caùc ñieåm treân ñöôøng thaúng d maø töø ñoù veõ ñöôïc ba tieáp tuyeán vôùi (C): a) 3 2( ) : 3 2C y x x= - + - ; d: y = 2 b) 3( ) : 3C y x x= - ; d: x = 2 c) 3( ) : 3 2C y x x= - + + ; d laø truïc hoaønh d) 3( ) : 12 12C y x x= - + ; d: y = –4 e) 4 2( ) : 2C y x x= - - ; d laø truïc tung e) 4 2( ) : 2 1C y x x= - + - ; d laø truïc tung Baøi 6. Töø ñieåm A coù theå keû ñöôïc bao nhieâu tieáp tuyeán vôùi (C): a) 3 2( ) : 9 17 2C y x x x= - + + ; A(–2; 5) b) 3 21 4 4( ) : 2 3 4; ; 3 9 3 C y x x x A æ ö = - + + ç ÷ è ø c) 3 2( ) : 2 3 5; (1; 4)C y x x A= + - - Baøi 7. Töø moät ñieåm baát kì treân ñöôøng thaúng d coù theå keû ñöôïc bao nhieâu tieáp tuyeán vôùi (C): a) 3 2( ) : 6 9 1C y x x x= - + - ; d: x = 2 b) 3( ) : 3C y x x= - ; d: x = 2 VAÁN ÑEÀ 6: Tìm nhöõng ñieåm maø töø ñoù coù theå veõ ñöôïc 2 tieáp tuyeán vôùi ñoà thò (C): y = f(x) vaø 2 tieáp tuyeán ñoù vuoâng goùc vôùi nhau Goïi M(xM; yM). · Phöông trình ñöôøng thaúng D qua M coù heä soá goùc k: y = k(x – xM) + yM · D tieáp xuùc vôùi (C) khi heä sau coù nghieäm: ( ) ( ) (1) '( ) (2) M Mf x k x x y f x k ì = - + í =î · Theá k töø (2) vaøo (1) ta ñöôïc: f(x) = (x – xM).f¢ (x) + yM (3) · Qua M veõ ñöôïc 2 tieáp tuyeán vôùi (C) Û (3) coù 2 nghieäm phaân bieät x1, x2. · Hai tieáp tuyeán ñoù vuoâng goùc vôùi nhau Û f¢ (x1).f¢ (x2) = –1 Töø ñoù tìm ñöôïc M. Khaûo saùt haøm soá Traàn Só Tuøng Trang 34 Chuù yù: Qua M veõ ñöôïc 2 tieáp tuyeán vôùi (C) sao cho 2 tieáp ñieåm naèm veà hai phía vôùi truïc hoaønh thì 1 2 (3) 2 ( ). ( ) 0 coù nghieäm phaân bieät f x f x ì í <î Baøi 1. Chöùng minh raèng töø ñieåm A luoân keû ñöôïc hai tieáp tuyeán vôùi (C) vuoâng goùc vôùi nhau. Vieát phöông trình caùc tieáp tuyeán ñoù: a) 2 1( ) : 2 3 1; 0; 4 C y x x A æ ö = - + -ç ÷ è ø b) 2 1( ) : ; (1; 1) 1 x xC y A x + + = - + c) 2 2 2( ) : ; (1;0) 1 x xC y A x + + = + d) Baøi 2. Tìm caùc ñieåm treân ñöôøng thaúng d maø töø ñoù coù theå veõ ñöôïc hai tieáp tuyeán vôùi (C) vuoâng goùc vôùi nhau: a) 3 2( ) : 3 2C y x x= - + ; d: y = –2 b) 3 2( ) : 3C y x x= + ; d laø truïc hoaønh c) 22 1( ) : 1 x xC y x + + = + ; d laø truïc tung d) 2 2 1( ) : 1 x xC y x - + = - ; d laø truïc tung e) 2 3 2( ) : x xC y x - + = ; d: x = 1 Baøi 3. Tìm m ñeå d caét (C) taïi hai ñieåm phaân bieät maø taïi ñoù hai tieáp tuyeán vôùi (C) vuoâng goùc vôùi nhau: a) 2 ( ) : 2 x x mC y x m - + - = + ; d: y = –1 b) 2 8( ) : x mxC y x m + - = - ; d laø truïc hoaønh c) 2 2( ) : x mx mC y x m - + = + ; d laø truïc hoaønh Baøi 4. Tìm m ñeå töø ñieåm A keû ñöôïc 2 tieáp tuyeán vôùi (C) sao cho 2 tieáp ñieåm naèm veà hai phía vôùi truïc hoaønh; a) 2( ) : ; (0; ) 1 xC y A m x + = - b) VAÁN ÑEÀ 7: Caùc baøi toaùn khaùc veà tieáp tuyeán Baøi 1. Cho hypebol (H) vaø ñieåm M baát kì thuoäc (H). Goïi I laø giao ñieåm cuûa hai tieäm caän. Tieáp tuyeán taïi M caét 2 tieäm caän taïi A vaø B. 1) Chöùng minh M laø trung ñieåm cuûa ñoaïn AB. 2) Chöùng minh dieän tích cuûa DIAB laø moät haèng soá. 3) Tìm ñieåm M ñeå chu vi DIAB laø nhoû nhaát. a) 2 1( ) : 1 xH y x - = - b) 1( ) : 1 xH y x + = - c) 4 5( ) : 2 3 xH y x - = - + Baøi 2. Cho hypebol (H) vaø ñieåm M baát kì thuoäc (H). Goïi I laø giao ñieåm cuûa hai tieäm caän. Tieáp tuyeán taïi M caét 2 tieäm caän taïi A vaø B. 1) Chöùng minh M laø trung ñieåm cuûa ñoaïn AB. 2) Chöùng minh tích caùc khoaûng caùch töø M ñeán 2 ñöôøng tieäm caän laø khoâng ñoåi. 2) Chöùng minh dieän tích cuûa DIAB laø moät haèng soá. 3) Tìm ñieåm M ñeå chu vi DIAB laø nhoû nhaát. Traàn Só Tuøng Khaûo saùt haøm soá Trang 35 a) 2 3 4( ) : 2 2 x xH y x - + = - b) 2 3 3( ) : 1 x xH y x - + = - c) 2 2 2( ) : 1 x xH y x + + = + Baøi 3. Tìm m ñeå tieáp tuyeán taïi ñieåm M baát kì thuoäc hypebol (H) caét hai ñöôøng tieäm caän taïo thaønh moät tam giaùc coù dieän tích baèng S: a) 2 3( ) : ; 8mxH y S x m + = = - Baøi 4. Tìm ñieåm M thuoäc hypebol (H) taïi ñoù tieáp tuyeán caét caùc truïc toaï ñoä taïi caùc ñieåm A, B sao cho DOAB vuoâng caân: a) 2 1( ) : 1 x xH y x + + = - b) 22 5( ) : 2 x xH y x + = + c) 2 3 3( ) : 2 x xH y x + + = + Baøi 5. Cho (C): 22 1 1 x xy x - + = - . Chöùng minh raèng treân ñöôøng thaúng d: y = 7 coù 4 ñieåm sao cho töø moãi ñieåm coù theå keû ñeán (C) hai tieáp tuyeán taïo vôùi nhau moät goùc 450. Baøi 6. Vieát phöông trình tieáp tuyeán vôùi ñöôøng cong (C) taïo vôùi caùc truïc toaï ñoä moät tam giaùc coù dieän tích S cho tröôùc: a) 1( ) : ; 4C y x S x = + = b) 3 1 1( ) : ; 2 xC y S x + = = Khaûo saùt haøm soá Traàn Só Tuøng Trang 36 4. HOÏ ÑOÀ THÒ Cho hoï ñöôøng (Cm): y = f(x, m) (m laø tham soá). M(x0; y0) Î (Cm) Û y0 = f(x0, m) (1) Xem (1) laø phöông trình theo aån m. Tuyø theo soá nghieäm cuûa (1) ta suy ra soá ñoà thò cuûa hoï (Cm) ñi qua M. · Neáu (1) nghieäm ñuùng vôùi moïi m thì moïi ñoà thò cuûa hoï (Cm) ñeàu ñi qua M. Khi ñoù, M ñöôïc goïi laø ñieåm coá ñònh cuûa hoï (Cm). · Neáu (1) coù n nghieäm phaân bieät thì coù n ñoà thò cuûa hoï (Cm) ñi qua M. · Neáu (1) voâ nghieäm thì khoâng coù ñoà thò naøo cuûa hoï (Cm) ñi qua M. VAÁN ÑEÀ 1: Tìm ñieåm coá ñònh cuûa hoï ñoà thò (Cm): y = f(x, m) Caùch 1: · Goïi M(x0; y0) laø ñieåm coá ñònh (neáu coù) cuûa hoï (Cm). M(x0; y0) Î (Cm), "m Û y0 = f(x0, m), "m (1) · Bieán ñoåi (1) veà moät trong caùc daïng sau: · Daïng 1: (1) Û Am + B = 0, "m · Daïng 2: (1) Û 2 0Am Bm C+ + = , "m Û 0 0 A B ì = í =î (2a) Û 0 0 0 A B C ì =ï =í ï =î (2b) · Giaûi heä (2a) hoaëc (2b) ta tìm ñöôïc toaï ñoä (x0; y0) cuûa ñieåm coá ñònh. Chuù yù: Caùc heä (2a), (2b) laø caùc heä phöông trình coù 2 aån x0, y0. Caùch 2: · Goïi M(x0; y0) laø ñieåm coá ñònh (neáu coù) cuûa hoï (Cm). M(x0; y0) Î (Cm), "m Û y0 = f(x0, m), "m (1) · Ñaët F(m) = f(x0, m) thì F(m) = y0 khoâng ñoåi. Þ F¢ (m) = 0 (3) · Giaûi (3) tìm ñöôïc x0. Thay x0 vaøo (1) tìm ñöôïc y0. Töø ñoùsuy ra ñöôïc caùc ñieåm coá ñònh. Baøi 1. Tìm caùc ñieåm coá ñònh cuûa hoï ñoà thò (Cm) coù phöông trình sau: a) ( 1) 2 1y m x m= - - + b) 2 2( 2) 3 1y mx m x m= + - - + c) 3 2( 1) 2 ( 2) 2 1y m x mx m x m= + - - - + + d) 2(1 2 ) (3 1) 5 2y m x m x m= - - - + - d) 3 2 9 9y x mx x m= + - - e) 3( 2) 2y m x mx= - - + f) 4 22 4 1y mx x m= - - + g) 4 2 5y x mx m= + - - h) ( 1) 2 ( 1, 2)m xy m m x m - - = ¹ - ¹ - - i) 3 1 ( 2) 4 x my m x m + - = + + i) 2 5 7 2 2 3 x mxy m mx æ ö- + = ¹ ±ç ÷- è ø k) 22 ( 2) ( 0) 2 x m x my m x m - + + + = ¹ - l) 2 2 ( 1) 2 2 1 x m x my x mx m + - + = + + + m) 2 2 2 6 4 2 (5 2) 6 x x my x m x + + = + + + Baøi 2. Chöùng minh raèng hoï ñoà thò (Cm) coù 3 ñieåm coá ñònh thaúng haøng. Vieát phöông trình ñöôøng thaúng ñi qua 3 ñieåm coá ñònh ñoù: a) 3 2( 3) 3( 3) (6 1) 1y m x m x m x m= + - + - + + + Traàn Só Tuøng Khaûo saùt haøm soá Trang 37 b) 3 2( 2) 3( 2) 4 2 1y m x m x x m= + - + - + - c) 3 2( 4) (6 24) 12 7 18y m x m x mx m= - - - - + - d) 3( 1) (2 1) 1y m x m x m= + - + - + VAÁN ÑEÀ 2: Tìm ñieåm maø khoâng coù ñoà thò naøo cuûa hoï ñoà thò (Cm): y = f(x, m) ñi qua · Goïi M(x0; y0) laø ñieåm maø khoâng coù ñoà thò naøo cuûa hoï (Cm) ñi qua. M(x0; y0) Ï (Cm), "m Û y0 = f(x0, m) voâ nghieäm m (1) · Bieán ñoåi (1) veà moät trong caùc daïng sau: · Daïng 1: (1) Û Am + B = 0 voâ nghieäm m Û 0 0 A B ì = í ¹î (2a) · Daïng 2: (1) Û 2 0Am Bm C+ + = voâ nghieäm m Û 2 0 0 0 4 0 A B C A B AC éì = = íê ¹îê ì ¹êíê - <îë (2b) Chuù yù: · Keát quaû laø moät taäp hôïp ñieåm. · Nhöõng ñieåm naèm treân tieäm caän ñöùng coá ñònh cuûa haøm höõu tyû laø nhöõng ñieåm ñoà thò khoâng ñi qua. Baøi 1. Tìm caùc ñieåm trong maët phaúng maø khoâng coù ñoà thò naøo cuûa hoï (Cm) ñi qua: a) 2( 2) 2y m x m m= + + + b) 2 2 2 1 1 1 m my x m m m m + = + + + + + c) 2 2(1 ) 1 ( 0)y mx m x m m= + - + + ¹ d) 2 3 2 2y x m x m= - + - d) 3 2 3 22 3 5 4y x mx m m= + - - - e) 3 2 2 24 4 6y mx m x mx m= - - + - f) 2( 2) 2 4m x m my x m - - + - = - g) 2(3 1)m x m my x m + - + = + h) 2 8 1 x mx my x + + - = - i) 2 2 2x mx my x m - + + = - k) 2 2 2 4 2 5 x mx my x x + - + = + + l) 2 2 (3 1) 10 3 2 x m xy x x + - - = - + Baøi 2. Tìm caùc ñieåm thuoäc (L) maø khoâng coù ñoà thò naøo cuûa hoï (Cm) ñi qua: a) (Cm): 3 2 2 24 4 6y mx m x mx m= - - + - ; (L) laø truïc hoaønh. b) (Cm): 3 22 3( 3) 18 6y x m x mx= - + + + ; (L): 2 14y x= + . c) (Cm): 2 2 2 1 1 x mx m my mx m m - + - + = + + + ; (L) laø truïc tung. d) (Cm): 2 2( 1) 1m x m xy x m + + + = + ; (L): x = 2. e) (Cm): 2 2 1m xy x + = ; (L): y = 1. Khaûo saùt haøm soá Traàn Só Tuøng Trang 38 VAÁN ÑEÀ 3: Tìm ñieåm maø moät soá ñoà thò cuûa hoï ñoà thò (Cm): y = f(x, m) ñi qua · Ta coù: M(x0; y0) Î (Cm) Û y0 = f(x0, m) (1) · Bieán ñoåi (1) veà moät trong caùc daïng sau: Am + B = 0 (2a) hoaëc 2 0Am Bm C+ + = (2b) · Soá nghieäm cuûa (2a) hoaëc (2b) theo m = Soá (Cm) ñi qua M. Baøi 1. Tìm caùc ñieåm trong maët phaúng sao cho coù ñuùng k ñoà thò cuûa hoï (Cm) ñi qua: a) (Cm): 22 2 2( ) mx m my x m + + = + ; k = 1. b) (Cm): 2 2x mx my x m - + - = - ; k = 2. c) (Cm): 22 2 4 0xy my mx m x m- - + - = ; k = 1. Baøi 2. Tìm caùc ñieåm thuoäc (L) sao cho coù ñuùng k ñoà thò cuûa hoï (Cm) ñi qua: a) (Cm): 3 2 2( 1) 4y x m x m= + + - ; (L): x = 2; k = 1. b) (Cm): 3 2 2( 1) 4y x m x m= + + - ; (L): x = 2; k = 2. c) (Cm): 3 2 2( 1) 4y x m x m= + + - ; (L): x = 2; k = 3. Baøi 3. Chöùng minh raèng caùc ñieåm thuoäc (L) coù ñuùng k ñoà thò cuûa hoï (Cm) ñi qua: a) (Cm): 2 2 2( 1) 2mx m m x m my x m - + - + - + = - ; (L): x > 1; k = 2. b) (Cm): 2 2( 1)m x my x m + - = - ; (L): x > 0; k = 2. c) (Cm): 4 2 22 1y x mx m= - + + ; (L): y = 1; k = 1. d) (Cm): 3 2 3( 1) (2 3 2) 2 (2 1)y x m x m m x m m= - + - - + + - ; (L): x = 1, y > –2; k = 2. Traàn Só Tuøng Khaûo saùt haøm soá Trang 39 5. TAÄP HÔÏP ÑIEÅM Baøi toaùn: Tìm taäp hôïp caùc ñieåm M(x; y) thoaû tính chaát a. · Nhaän xeùt: Tìm taäp hôïp ñieåm M trong maët phaúng toaï ñoä laø tìm phöông trình cuûa taäp hôïp ñieåm ñoù. Daïng 1: Tìm toaï ñoä cuûa ñieåm M. 1) Tìm ñieàu kieän (neáu coù) cuûa tham soá m ñeå toàn taïi ñieåm M. 2) Tính toaï ñoä ñieåm M theo tham soá m. Coù caùc tröôøng hôïp xaûy ra: Tröôøng hôïp 1: M ( ) ( ) x f m y g m ì = í =î Khöû tham soá m giöõa x vaø y, ta coù moät heä thöùc giöõa x, y ñoäc laäp vôùi m coù daïng: F(x, y) = 0 (goïi laø phöông trình quó tích) Tröôøng hôïp 2: M ( ) ( ) x a haèng soá y g m ì = í =î Khi ñoù ñieåm M naèm treân ñöôøng thaúng x = a. Tröôøng hôïp 3: M ( ) ( ) x f m y b haèng soá ì = í =î Khi ñoù ñieåm M naèm treân ñöôøng thaúng y = b. 3) Giôùi haïn quó tích: Döïa vaøo ñieàu kieän (neáu coù) cuûa m (ôû böôùc 1), ta tìm ñöôïc ñieàu kieän cuûa x hoaëc y ñeå toàn taïi ñieåm M(x; y). Ñoù laø giôùi haïn cuûa quó tích. 4) Keát luaän: Taäp hôïp caùc ñieåm M coù phöông trình F(x, y) = 0 (hoaëc x = a, hoaëc y = b) vôùi ñieàu kieän cuûa x hoaëc y (ôû böôùc 3). Daïng 2: Trong tröôøng hôïp ta khoâng theå tính ñöôïc toaï ñoä cuûa ñieåm M theo tham soá m maø chæ thieát laäp ñöôïc moät heä thöùc chöùa toaï ñoä cuûa M thì ta tìm caùch khöû tham soá m trong heä thöùc ñeå tìm ñöôïc heä thöùc daïng F(x, y) = 0. Chuù yù: Neáu baøi toaùn chæ hoûi : Ñieåm M chaïy treân ñöôøng naøo thì ta chæ tìm phöông trình F(x, y) = 0 maø khoâng caàn tìm giôùi haïn cuûa quó tích. Baøi 1. Tìm taäp hôïp caùc ñieåm ñaëc bieät cuûa hoï ñoà thò ñaõ cho. a) (Pm): 22 ( 2) 2 4y x m x m= - - + - . Tìm taäp hôïp caùc ñænh cuûa (Pm). b) (Cm): 3 23 2 3 1y x mx x m= - + - - . Tìm taäp hôïp caùc ñieåm uoán cuûa (Cm). c) (Cm): 3 22 3(2 1) 6 ( 1) 1y x m x m m x= - + + + + . Tìm taäp hôïp caùc ñieåm cöïc ñaïi cuûa (Cm). d) (Hm): ( 1) 1 1 m xy mx - + = - . Tìm taäp hôïp caùc taâm ñoái xöùng cuûa (Hm). e) (Hm): 22 3 5 2 x mx my x - + = - . Tìm taäp hôïp caùc ñieåm cöïc ñaïi cuûa (Hm). Baøi 2. Cho (C) vaø (C¢). Tìm taäp hôïp trung ñieåm cuûa ñoaïn thaúng. 1) Tìm m ñeå (C) vaø (C¢) caét nhau taïi hai ñieåm phaân bieät A, B. 2) Tìm taäp hôïp caùc trung ñieåm I cuûa ñoaïn thaúng AB. a) (C): 3 23 1y x x mx= + + + vaø (C’): 3 22 7y x x= + + . b) (C): 2 3y x mx= - + vaø (C¢): 2y mx= + . c) (C): 1 1 xy x - = + vaø (C¢): 2 0x y m- + = Khaûo saùt haøm soá Traàn Só Tuøng Trang 40 d) (C): 2( 2) 1 xy x - = - vaø (C¢) laø ñöôøng thaúng ñi qua A(0; 3) vaø coù heä soá goùc m. e) (C): 2 4 3 2 x xy x + + = + vaø (C¢): 1y mx= + . Baøi 3. Cho (C) vaø (C¢).Tìm taäp hôïp caùc ñieåm. 1) Tìm m ñeå (C) caét (C¢) taïi 3 ñieåm phaân bieät A, B, C (trong ñoù xC khoâng ñoåi). 2) Tìm taäp hôïp caùc trung ñieåm I cuûa ñoaïn thaúng AB. a) (C): 3 23y x x= - vaø (C¢): y mx= . b) (C): 3 2 2 22( 1) ( 1)y x m x m x m= - + + + - vaø (C¢): 3y mx m= - + . c) (C): 3 26 9y x x x= - + vaø (C¢): y mx= . d) (C): 2( 2)( 1)y x x= + - vaø (C¢) laø ñöôøng thaúng ñi qua C(–2; 0) vaø coù heä soá goùc m. Baøi 4. Cho (C). Tìm taäp hôïp caùc ñieåm töø ñoù coù theå veõ ñöôïc hai tieáp tuyeán cuûa (C) vuoâng goùc vôùi nhau. a) (C): 1y x x = + b) (C): 2 1 1 x xy x + + = + Baøi 5. a) Cho (C): 2 1 xy x - = - . Tìm taäp hôïp caùc ñieåm treân truïc tung maø töø ñoù coù theå keû ñöôïc tieáp tuyeán vôùi (C). b) Cho (C): 3 23 2y x x= - + - . Tìm taäp hôïp caùc ñieåm treân ñöôøng thaúng y = 2 maø töø ñoù coù theå keû ñöôïc 3 tieáp tuyeán vôùi (C). Traàn Só Tuøng Khaûo saùt haøm soá Trang 41 6. HAØM SOÁ COÙ CHÖÙA DAÁU GIAÙ TRÒ TUYEÄT ÑOÁI Baøi toaùn: Veõ ñoà thò cuûa haøm soá y = f(x) vôùi f(x) coù chöùa daáu giaù trò tuyeät ñoái. Caùch 1: Khaûo saùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò. · Xeùt daáu bieåu thöùc coù chöùa daáu giaù trò tuyeät ñoái. · Chia mieàn xaùc ñònh thaønh nhieàu khoaûng, trong moãi khoaûng ta boû daáu giaù trò tuyeät ñoái. · Veõ ñoà thò haøm soá töông öùng trong caùc khoaûng cuûa mieàn xaùc ñònh. Caùch 2: Thöïc hieän caùc pheùp bieán ñoåi ñoà thò. Daïng 1: Veõ ñoà thò haøm soá ( )y f x= . Ñoà thò (C¢) cuûa haøm soá ( )y f x= coù theå ñöôïc suy töø ñoà thò (C) cuûa haøm soá y = f(x) nhö sau: + Giöõ nguyeân phaàn ñoà thò (C) ôû phía treân truïc hoaønh. + Laáy ñoái xöùng phaàn ñoà thò cuûa (C) ôû phía döôùi truïc hoaønh qua truïc hoaønh. + Ñoà thò (C¢) laø hôïp cuûa hai phaàn treân. Daïng 2: Veõ ñoà thò cuûa haøm soá ( )y f x= . Ñoà thò (C¢) cuûa haøm soá ( )y f x= coù theå ñöôïc suy töø ñoà thò (C) cuûa haøm soá y = f(x) nhö sau: + Giöõ nguyeân phaàn ñoà thò (C) ôû beân phaûi truïc tung, boû phaàn beân traùi truïc tung. + Laáy ñoái xöùng phaàn beân phaûi truïc tung qua truïc tung. + Ñoà thò (C¢) laø hôïp cuûa hai phaàn treân. Baøi 1. Khaûo saùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò (C). Töø ñoù suy ra ñoà thò C¢). Duøng ñoà thò (C¢) bieän luaän soá nghieäm cuûa phöông trình (1): a) (C): 3 23 6y x x= - - ; (C¢): 3 23 6y x x= - - ; 3 23 6x x m- - = (1) b) (C): 4 22 3y x x= - - ; (C¢): 4 22 3y x x= - - ; 4 22 3x x m- - = (1) c) (C): 22 5 2 1 x xy x + - = + ; (C¢): 22 5 2 1 x xy x + - = + ; 22 5 2 1 x x m x + - = + (1) Khaûo saùt haøm soá Traàn Só Tuøng Trang 42 d) (C): 2 1 2 x xy x - - = - ; (C¢): 2 1 2 x xy x - - = - ; 2 1 2 x x m x - - = - (1) e) (C): 2 2 2 xy x - = - ; (C¢): 2 2 2 xy x - = - ; 2 2 2 x m x - = - (1) Baøi 2. Khaûo saùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò (C). Töø ñoù suy ra ñoà thò C¢). Duøng ñoà thò (C¢) bieän luaän soá nghieäm cuûa phöông trình (1): a) (C): 3 22 9 12 4y x x x= - + - ; (C¢): 3 22 9 12 4y x x x= - + - ; 3 22 9 12x x x m- + = b) (C): 2 1 xy x = - ; (C¢): 2 1 xy x = - ; ( 2). 0m x m- - = (1) c) (C): 2 4 5 2 x xy x + + = + ; (C¢): 2 4 5 2 x xy x + + = + ; 2 4 5 2 x x m x + + = + (1) Baøi 3. Khaûo saùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò (C). Töø ñoù suy ra ñoà thò C¢). Duøng ñoà thò (C¢), tìm m ñeå phöông trình (1) coù k nghieäm phaân bieät: a) (C): 4 22 1y x x= - - ; (C¢): 4 22 1y x x= - - ; 4 2 22 1 logx x m- - = ; k = 6. b) (C): 3 26 9y x x x= - + ; (C¢): 3 26 9y x x x= - + ; 3 26 9 3 0x x x m- + - + = ; k = 6. c) (C): 22 5 2 1 x xy x + - = + ; (C¢): 22 5 2 1 x xy x + - = + ; 22 5 2 1 x x m x + - = + ; k = 4. d) (C): 4 2 53 2 2 xy x= - + ; (C¢): 4 2 53 2 2 xy x= - + ; 4 2 253 2 2 2 x x m m- + = - ; k = 8. Traàn Só Tuøng Khaûo saùt haøm soá Trang 43 7. ÑIEÅM ÑAËC BIEÄT TREÂN ÑOÀ THÒ CUÛA HAØM SOÁ VAÁN ÑEÀ 1: Tìm ñieåm treân ñoà thò (C): y = f(x) coù toaï ñoä nguyeân Tìm caùc ñieåm treân ñoà thò haøm soá höõu tæ ( ) ( ) P xy Q x = coù toaï ñoä laø nhöõng soá nguyeân: · Phaân tích ( ) ( ) P xy Q x = thaønh daïng ( ) ( ) ay A x Q x = + , vôùi A(x) laø ña thöùc, a laø soá nguyeân. · Khi ñoù x y ì Î í Îî ¢ ¢ Û Q(x) laø öôùc soá cuûa a. Töø ñoù ta tìm caùc giaù trò x nguyeân ñeå Q(x) laø öôùc soá cuûa a. · Thöû laïi caùc giaù trò tìm ñöôïc vaø keát luaän. Baøi 1. Tìm caùc ñieåm treân ñoà thò (C) cuûa haøm soá coù toaï ñoä nguyeân: a) 2 1 xy x + = + b) 10 2 xy x - = + c) 2 2 xy x + = - d) 2 1 2 x xy x + + = + e) 2 2 1 x xy x + = + f) 41 1 y x x = + + - Baøi 2. Tìm caùc ñieåm treân ñoà thò (C) cuûa haøm soá coù toaï ñoä nguyeân: a) 2 2( 1) 4y x y x y x= + + + + b) 22 4( 1) 6y x y x y x= + + - + VAÁN ÑEÀ 2: Tìm caëp ñieåm treân ñoà thò (C): y = f(x) ñoái xöùng qua ñöôøng thaúng d: y = ax + b Cô sôû cuûa phöông phaùp: A, B ñoái xöùng nhau qua d Û d laø trung tröïc cuûa ñoaïn AB · Phöông trình ñöôøng thaúng D vuoâng goùc vôùi d: y = ax = b coù daïng: D: 1y x m a = - + · Phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa D vaø (C): f(x) = 1 x m a - + (1) · Tìm ñieàu kieän cuûa m ñeå D caét (C) taïi 2 ñieåm phaân bieät A, B. Khi ñoù xA, xB laø caùc nghieäm cuûa (1). · Tìm toaï ñoä trung ñieåm I cuûa AB. · Töø ñieàu kieän: A, B ñoái xöùng qua d Û I Î d, ta tìm ñöôïc m Þ xA, xB Þ yA, yB Þ A, B. Chuù yù: · A, B ñoái xöùng nhau qua truïc hoaønh Û A B A B x x y y ì = í = -î · A, B ñoái xöùng nhau qua truïc tung Û A B A B x x y y ì = - í =î · A, B ñoái xöùng nhau qua ñöôøng thaúng y = b Û 2 A B A B x x y y b ì = í + =î · A, B ñoái xöùng nhau qua ñöôøng thaúng x = a Û 2A B A B x x a y y ì + = í =î (d) (C) (D) B A I Khaûo saùt haøm soá Traàn Só Tuøng Trang 44 Baøi 1. Tìm treân ñoà thò (C) cuûa haøm soá hai ñieåm ñoái xöùng nhau qua ñöôøng thaúng d: a) 3( ) : ; : 2 0C y x x d x y= + + = b) 4( ) : ; : 2 6 0 2 xC y d x y x + = - - = - c) 2 ( ) : ; : 1 1 xC y d y x x = = - - d) 2 1( ) : ; : 1 1 x xC y d y x x + - = = - - Baøi 2. Cho ñoà thò (C) vaø ñöôøng thaúng d. Vieát phöông trình ñoà thò (C¢) ñoái xöùng vôùi (C) qua ñöôøng thaúng d: a) 3 2( ) : 3 5 10 2; : 2C y x x x d x= - + - = - b) 22 3 7( ) : ; : 2 1 x xC y d x x - + = = - c) 2 2( ) : ; : 2 2 x xC y d y x + - = = - d) 22 5 3( ) : ; : 1 1 x xC y d y x + - = = - - Baøi 3. Tìm m ñeå treân ñoà thò (C) coù moät caëp ñieåm ñoái xöùng nhau qua ñöôøng thaúng d: a) 3 2 2( ) : 3 2 ; :C y mx x x m d Ox= + + + VAÁN ÑEÀ 3: Tìm caëp ñieåm treân ñoà thò (C): y = f(x) ñoái xöùng qua ñieåm I(a; b) Cô sôû cuûa phöông phaùp: A, B ñoái xöùng nhau qua I Û I laø trung ñieåm cuûa AB. · Phöông trình ñöôøng thaúng d qua I(a; b), coù heä soá goùc k coù daïng: ( )y k x a b= - + . · Phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa (C) vaø d: f(x) = ( )k x a b- + (1) · Tìm ñieäu kieän ñeå d caét (C) taïi 2 ñieåm phaân bieät A, B. khi ñoù xA, xB laø 2 nghieäm cuûa (1). · Töø ñieàu kieän: A, B ñoái xöùng qua I Û I laø trung ñieåm cuûa AB, ta tìm ñöôïc k Þ xA, xB. Chuù yù: A, B ñoái xöùng qua goác toaï ñoä O Û A B A B x x y y ì = - í = -î Baøi 1. Tìm treân ñoà thò (C) cuûa haøm soá hai ñieåm ñoái xöùng nhau qua ñieåm I: a) 3 2( ) : 4 2; (2;4)C y x x x I= - + + b) 2 2 5( ) : ; 0; 1 2 x xC y I x æ ö+ + = ç ÷ - è ø c) 3 2( ) : 3 2 1; (0;0)C y x x x I O= - - + º d) 4( ) : ; (0;0) 1 xC y I O x + = º + e) 3 4( ) : ; (1;1) 2 1 xC y I x + = - e) ( ) 22 5 1( ) : ; 2; 5 1 x xC y I x - + = - - + Baøi 2. Cho ñoà thò (C) vaø ñieåm I. Vieát phöông trình ñoà thò (C¢) ñoái xöùng vôùi (C) qua ñieåm I: a) 3 2( ) : 2 3 5 1; (1;2)C y x x x I= + + + b) 2( 1)( ) : ; (1;1) 2 xC y I x - = - c) 2 1( ) : ; (2;1) 1 x xC y I x - + = - d) 3 22 5 1( ) : ; (2;1) 2 3 x x xC y I x - - + = - Baøi 3. Tìm m ñeå treân ñoà thò (C) coù moät caëp ñieåm ñoái xöùng nhau qua ñieåm: a) 3 2 2 2( ) : 3 3( 1) 1 ; (0;0)C y x mx m x m I O= - + - + - º b) 3 2( ) : 7 3; (0;0)C y x mx x I O= + + + º c) 3 2( ) : 9 4; (0;0)C y x mx x I O= + + + º d) 2 2 22( ) : ; (0;0) 1 x m x mC y I O x + + = º + A BI Traàn Só Tuøng Khaûo saùt haøm soá Trang 45 VAÁN ÑEÀ 4: Khoaûng caùch Kieán thöùc cô baûn: 1) Khoaûng caùch giöõa hai ñieåm A, B: AB = 2 2( ) ( )B A B Ax x y y- + - 2) Khoaûng caùch töø ñieåm M(x0; y0) ñeán ñöôøng thaúng D: ax + by + c = 0: d(M, D) = 0 0 2 2 ax by c a b + + + 3) Dieän tích tam giaùc ABC: S = ( ) 22 21 1. .sin . . 2 2 AB AC A AB AC AB AC= - uuur uuur Baøi 1. Cho ñoà thò (C) vaø ñieåm A. Tìm ñieåm M treân (C) sao cho AM nhoû nhaát. Chöùng minh raèng khi AM nhoû nhaát thì ñöôøng thaúng AM vuoâng goùc vôùi tieáp tuyeán cuûa (C) taïi M. a) 2( ) : 1; (0;0)C y x A O= - º b) 2( ) : ; (3;0)C y x A= c) 2( ) : 2 1; (9;1)C y x A= + Baøi 2. Cho ñoà thò (C) vaø ñöôøng thaúng d. Tìm ñieåm M treân (C) sao cho khoaûng caùch töø M ñeán d laø nhoû nhaát. a) 4 2( ) : 2 3 2 1; : 2 1C y x x x d y x= - + + = - b) 2 4 5( ) : ; : 3 6 2 x xC y d y x x + + = = - - + c) 2( ) : ; : 2( 1)C y x x d y x= - = + d) 1( ) : ; : 2 3 1 xC y d y x x + = = - + - Baøi 3. Tìm caùc ñieåm M thuoäc ñoà thò (C) sao cho d(M,Ox) = k.d(M,Oy) vôùi k cho tröôùc. a) 2( ) : ; 1 2 xC y k x + = = - b) 2 1( ) : ; 1 1 x xC y k x + - = = - c) 2 1( ) : ; 2 1 x xC y k x + - = = - d) 2 2 2( ) : ; 2 1 x xC y k x + + = = + Baøi 4. Tìm caùc ñieåm M thuoäc hypebol (H) sao cho toång caùc khoaûng caùch töø ñoù ñeán hai tieäm caän laø nhoû nhaát. a) 2( ) : 2 xH y x + = - b) 2 1( ) : 1 xH y x - = + c) 4 9( ) : 3 xH y x - = - d) 2 2( ) : 3 x xH y x + - = - e) 2 1( ) : 2 x xH y x - + = - f) 2 3 3( ) : 2 x xH y x + + = + Baøi 5. Tìm caùc ñieåm M thuoäc hypebol (H) sao cho toång caùc khoaûng caùch töø ñoù ñeán hai truïc toaï ñoä laø nhoû nhaát. a) 1( ) : 1 xH y x - = + b) 2 1( ) : 2 xH y x + = - c) 4 9( ) : 3 xH y x - = - d) 2 11( ) : 1 x xH y x + - = - e) 2 3( ) : 2 xH y x - = - f) 2 6( ) : 3 x xH y x + - = - Baøi 6. Tìm caùc ñieåm M thuoäc hypebol (H) sao cho khoaûng caùch töø ñoù ñeán giao ñieåm cuûa hai tieäm caän laø nhoû nhaát. a) 2 2 2( ) : 1 x xH y x + + = - b) 2 1( ) : ; 1 1 x xH y x x - + = > - Baøi 7. Cho hypebol (H). Tìm hai ñieåm A, B thuoäc hai nhaùnh khaùc nhau cuûa (H) sao cho ñoä daøi AB laø nhoû nhaát. Khaûo saùt haøm soá Traàn Só Tuøng Trang 46 a) 1( ) : 1 xH y x - = + b) 2 3( ) : 2 xH y x + = - c) 4 9( ) : 3 xH y x - = - d) 1( ) : 2 1H y x x = + + e) 2 3 3( ) : 1 x xH y x - + = - f) 2 2 5( ) : 1 x xH y x - + = - Baøi 8. Cho (C) vaø ñöôøng thaúng d. Tìm m ñeå d caét (C) taïi 2 ñieåm A, B sao cho ñoä daøi AB laø nhoû nhaát. a) 2 6 4( ) : ; : 1 x xH y d y k x + - = = + b) 1( ) : ; : 2 0 1 xH y d x y m x + = - + = - Traàn Só Tuøng Khaûo saùt haøm soá Trang 47 Baøi 1. Cho haøm soá: 3 2 4,y x ax= + - a laø tham soá. a) Khaûo saùt vaø veõ ñoà thò vôùi a = 3. b) Tìm caùc giaù trò cuûa tham soá a ñeå phöông trình sau coù nghieäm duy nhaát: 3 2 4 0x ax+ - = ÑS: b) a < 3. Baøi 2. a) Khaûo saùt vaø veõ ñoà thò haøm soá: 3 26 9 1y x x x= - + - . b) Töø moät ñieåm baát kyø treân ñöôøng thaúng x = 2 ta keû ñöôïc bao nhieâu tieáp tuyeán tôùi ñoà thò cuûa haøm soá? ÑS: b) moät tieáp tuyeán. Baøi 3. Cho haøm soá: 3 3 (1)y x x= - a) Khaûo saùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò cuûa haøm soá (1). b) Chöùng minh raèng m khi thay ñoåi, ñöôøng thaúng d cho bôûi phöông trình: ( 1) 2y m x= + + luoân caét ñoà thò haøm soá (1) taïi moät ñieåm A coá ñònh. Haõy xaùc ñònh caùc giaù trò cuûa m ñeå ñöôøng thaúng d caét ñoà thò haøm soá (1) taïi 3 ñieåm A, B, C khaùc nhau sao cho tieáp tuyeán vôùi ñoà thò taïi B vaø C vuoâng goùc vôùi nhau. ÑS: b) 2( 1; 2); 1 2 3 A m- = - + Baøi 4. a) Khaûo saùt vaø veõ ñoà thò haøm soá: 4 22 1 (1)y x x= - - b) Vôùi nhöõng giaù trò naøo cuûa m thì phöông trình sau coù 6 nghieäm phaân bieät. 4 2 42 1 log (2)x x m- - = ÑS: b) 4 < m < 16. Baøi 5. Cho haøm soá: 4 25 4 (1)y x x= - + a) Khaûo saùt vaø veõ ñoà thò (C) cuûa haøm soá. b) Tìm ñieàu kieän cuûa tham soá m ñeå ñöôøng thaúng y = m caét ñoà thò (C) cuûa haøm soá taïi 4 ñieåm phaân bieät. c) Tìm m sao cho ñoà thò (C) cuûa haøm soá chaén treân ñöôøng thaúng y = m ba ñoaïn thaúng coù ñoä daøi baèng nhau. ÑS: b) 9 4 4 m- < < c) 7 4 m = Baøi 6. Cho haøm soá: 4 21 3 2 2 y x mx= - + (1) a) Khaûo saùt vaø veõ ñoà thò (C) cuûa haøm soá khi m = 3. b) Vieát phöông trình tieáp tuyeán ñi qua 30; 2 A æ ö ç ÷ è ø tieáp xuùc vôùi (C). c) Xaùc ñònh m ñeå haøm soá (1) coù cöïc tieåu maø khoâng coù cöïc ñaïi. ÑS: b) 3 3; 2 2 2 2 y y x= = ± + c) m £ 0. VIII. OÂN TAÄP KHAÛO SAÙT HAØM SOÁ Khaûo saùt haøm soá Traàn Só Tuøng Trang 48 Baøi 7. Cho haøm soá: 3 4 ( ) 1 xy H x + = - a) Khaûo saùt vaø veõ ñoà thò haøm soá. b) Vôùi giaù trò naøo cuûa a, ñöôøng thaúng y = ax + 3 khoâng caét ñoà thò (H)? c) Qua ñieåm M(2 ; 3) vieát phöông trình tieáp vôùi ñoà thò (H). ÑS: b) –28 < a £ 0 c) y = –28x + 59. Baøi 8. a) Khaûo saùt vaø veõ ñoà thò 2 ( ) 1 xy C x - = - . b) Tìm taát caû nhöõng ñieåm treân ñoà thò (C) caùch ñeàu hai ñieåm A(0; 0) vaø B(2; 2). ÑS: b) (2 ; 0), (0 ; 2). Baøi 9. Cho haøm soá: 12 ( )y x C x = - + a) Khaûo saùt vaø veõ ñoà thò (C). b) Tìm treân (C) caùc ñieåm caùch ñeàu hai truïc toïa ñoä. c) Tìm k ñeå ñöôøng thaúng y = k caét (C) taïi hai ñieåm maø taïi ñoù hai tieáp tuyeán vôùi (C) vuoâng goùc vôùi nhau. ÑS: b) 1 1; 2 2 M æ ö ç ÷ è ø c) 2 5.k = - ± Baøi 10. Cho haøm soá: 2 2( 1) 4 4 2 ( 1) x m x m my x m - + + - - = - - a) Khaûo saùt vaø veõ ñoà thò vôùi m = 2. b) Tìm caùc giaù trò cuûa m ñeå haøm soá xaùc ñònh vaø ñoàng bieán treân khoaûng (0 ; +¥) ÑS: b) 2 3 3 7 2 m- £ £ Baøi 11. a) Khaûo saùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò (C) cuûa haøm soá: 2 2 2 1 x xy x + + = + . b) Goïi I laø taâm ñoái xöùng cuûa ñoà thò (C) vaø M laø moät ñieåm treân (C). Tieáp tuyeán taïi M vôùi (C) caét hai ñöôøng tieäm caän taïi A vaø B. Chöùng minh raèng M laø trung ñieåm cuûa ñoaïn AB vaø dieän tích tam giaùc IAB khoâng phuï thuoäc vaøo vò trí ñieåm M treân (C). ÑS: b) 2 2.IABS = Baøi 12. Cho haøm soá: 2 2 2 11 ( ) 1 1 x xy x C x x + + = = + + + + a) Khaûo saùt vaø veõ ñoà thò (C). b) Tìm treân ñoà thò haøm soá ñaõ cho caùc ñieåm sao cho tieáp tuyeán taïi ñoù vuoâng goùc vôùi tieäm caän xieân cuûa noù. ÑS: b) 1 2 2 3 2 2 3 21 ; ; 1 ; 2 2 2 2 M M æ ö æ ö - + - - -ç ÷ ç ÷ è ø è ø Baøi 13. Cho haøm soá: 2 ( 1) 1 ( )m x m x mxy C x m + + - + = - a) Khaûo saùt vaø veõ ñoà thò (C) cuûa haøm soá öùng vôùi m = 2. b) Chöùng minh raèng tích caùc khoaûng caùch töø moät ñieåm tuøy yù thuoäc ñoà thò (C) (vôùi m = 2 ôû caâu treân) tôùi hai ñöôøng tieäm caän luoân baèng moät haèng soá. Traàn Só Tuøng Khaûo saùt haøm soá Trang 49 c) Vôùi giaù trò naøo cuûa m thì haøm soá ñaõ cho coù cöïc ñaïi, cöïc tieåu, ñoàng thôøi giaù trò cöïc ñaïi vaø giaù trò cöïc tieåu cuøng daáu. ÑS: b) 9 2 2 c) 3 2 3 3 2 3m hay m - + Baøi 14. a) Khaûo saùt vaø veõ ñoà thò haøm soá: 2 4 1 2 x xy x + + = + b) Tìm caùc ñieåm treân ñoà thò coù khoaûng caùch ñeán ñöôøng thaúng (D) : y + 3x + 6 = 0 laø nhoû nhaát. ÑS: b) 1 2 3 5 5 5; ; ; 2 2 2 2 M M æ ö æ ö - - -ç ÷ ç ÷ è ø è ø . Baøi 15. Cho haøm soá: 22 2 1 x mxy x + - = - vôùi m laø tham soá. a) Xaùc ñònh m ñeå tam giaùc taïo bôûi hai truïc toïa ñoä vaø ñöôøng tieäm caän xieân cuûa ñoà thò cuûa haøm soá treân coù dieän tích baèng 4. b) Khaûo saùt vaø veõ ñoà thò haøm soá treân khi m = –3. ÑS: a) m = –6 hay m = 2. Baøi 16. Cho haøm soá: 2 1x xy x + + = . a) Khaûo saùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò cuûa haøm soá treân. b) Xaùc ñònh m sao cho phöông trình sau coù nghieäm: 4 3 2( 1) 3 ( 1) 1 0t m t t m t- - + - - + = ÑS: b) 3 7 . 2 2 m hay m£ - ³ Baøi 17. Cho haøm soá: 3 2 2 2 23 3(1 ) (1)y x mx m m m= - + + - + - (m laø tham soá) a) Khaûo saùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò haøm soá (1) khi m = 1. b) Tìm k ñeå phöông trình 3 2 3 23 3 0x x k k- + + - = coù 3 nghieäm phaân bieät. c) Vieát phöông trình ñöôøng thaúng ñi qua hai ñieåm cöïc trò cuûa ñoà thò haøm soá (1). ÑS: b) 1 3; 0; 2;k k k- < < ¹ ¹ c) 22y x m m= - + Baøi 18. Cho haøm soá: 4 2 2( 9) 10y mx m x= + - + (1) (m laø tham soá) a) Khaûo saùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò cuûa haøm soá (1) khi m = 1. b) Tìm m ñeå haøm soá (1) coù ba ñieåm cöïc trò. ÑS: b) 3 0 3.m hay m< - < < Baøi 19. Cho haøm soá: 2(2 1) (1) 1 m x my x - - = - (m laø tham soá) a) Khaûo saùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò (C) cuûa haøm soá (1) öùng vôùi m = –1. b) Tính dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôûi ñöôøng cong (C) vaø hai truïc toïa ñoä. c) Tìm m ñeå ñoà thò cuûa haøm soá (1) tieáp xuùc vôùi ñöôøng thaúng y = x. ÑS: b) 41 4 ln 3 S = + c) m ¹ 1. Khaûo saùt haøm soá Traàn Só Tuøng Trang 50 Baøi 20. Cho haøm soá: 2 1 mx x my x + + = - (1) (m laø tham soá) a) Khaûo saùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò haøm soá (1) khi m = –1. b) Tìm m ñeå ñoà thò haøm soá (1) caét truïc hoaønh taïi hai ñieåm phaân bieät vaø hai ñieåm ñoù coù hoaønh ñoä döông. ÑS: b) 1 0. 2 m- < < Baøi 21. Cho haøm soá: 3 23y x x m= - + (1) (m laø tham soá) a) Tìm m ñeå haøm soá (1) coù hai ñieåm phaân bieät ñoái xöùng nhau qua goác toïa ñoä. b) Khaûo saùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò haøm soá (1) khi m = 2. ÑS: a) m > 0. Baøi 22. a) Khaûo saùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò cuûa haøm soá 2 2 4 (1) 2 x xy x - + = - b) Tìm m ñeå ñöôøng thaúng dm: y = mx + 2 – 2m caét ñoà thò cuûa haøm soá (1) taïi hai ñieåm phaân bieät. ÑS: b) m > 1. Baøi 23. Cho haøm soá: 2 3 3 2( 1) x xy x - + - = - (1) a) Khaûo saùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò cuûa haøm soá (1). b) Tìm m ñeå ñöôøng thaúng y = m caét ñoà thò taïi 2 ñieåm A, B sao cho AB = 1. ÑS: b) 1 5 2 m ±= . Baøi 24. Cho haøm soá: 3 21 2 3 (1) 3 y x x x= - + coù ñoà thò (C) a) Khaûo saùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò cuûa haøm soá (1). b) Vieát phöông trình tieáp tuyeán D cuûa (C) taïi ñieåm uoán vaø chöùng minh raèng D laø tieáp tuyeán cuûa (C) coù heä soá goùc nhoû nhaát. ÑS: b) 8: ; 1. 3 y x k= - + = -D Baøi 25. Cho haøm soá: 3 23 9 1 (1)y x mx x= - + + (vôùi m laø tham soá) a) Khaûo saùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò cuûa haøm soá (1) khi m = 2. b) Tìm m ñeå ñieåm uoán cuûa ñoà thò haøm soá (1) thuoäc ñöôøng thaúng y = x + 1. ÑS: b) m = 0 hay m = 2 hay m = –2.