Bài tập chuỗi

CHUOÃI SOÁ – CHUOÃI HAØM Tính toång n n 1 x ¥ = å vôùi : a) nnx q (| q | 1)= < b) n 1x n(n 1) = + c) n 2 1x (n 2) n 1 = ³ - d) ( )n 1x n 1 n n(n 1) = + + + . Giaûi: Ñaët n 1 2 nS x x ... x= + + + a) 2 n n n 1 qS q q ... q q 1 q - = + + + = - n nnn 1 qx limS 1 q ¥ ®¥ = = = -å b) Ta coù k 1 1x , k k 1 = - + töø ñoù n 1 1 1 1 1 1S 1 ... 1 2 2 3 n n 1 n 1 æ ö æ ö æ ö= - + - + + - = -ç ÷ ç ÷ ç ÷+ +è ø è ø è ø n nnn 1 x limS 1 ¥ ®¥ = = =å c) Ta coù k 2 1 1 1 1x , k 2 k 1 2 k 1 k 1 æ ö= = - ³ç ÷- - +è ø n 2 3 n 1 1 1 1 1 1 1 1S x x ... x 1 ... 2 3 2 4 3 5 n 1 n 1 æ öæ ö æ ö æ ö æ ö= + + + = - + - + - + + -ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ç ÷- +è ø è ø è ø è øè ø 1 1 1 11 2 2 n n 1 æ ö= + - -ç ÷+è ø n nnn 1 1 1 3x limS 1 2 2 4 ¥ ®¥ = æ ö= = + =ç ÷ è ø å d) Ta coù ( )k 1 k 1 kx k. k 1k 1 k k(k 1) + - = = ++ + + 1 1 k k 1 = - + neân n 1 1 1 1 1 1S ... 1 2 2 3 n n 1 æ öæ ö æ ö= - + - + + -ç ÷ç ÷ ç ÷+è ø è øè ø 11 n 1 = - + . PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version Vaäy n nnn 1 x limS 1 ¥ ®¥ = = =å Khaûo saùt söï hoäi tuï cuûa caùc chuoãi sau : a) 2 n 1 1 n ¥ = å b) n n 1 1 2 ¥ = å c) n n 1 n 2 ¥ = å d) n 1 1 n ¥ = å e) n 2 1 ln n ¥ = å f) n n n n 1 2 3 6 ¥ = +å . Giaûi: a) 2 1 1 n n(n 1) £ + , n 1" ³ vaø n 1 1 n(n 1) ¥ = - å hoäi tuï neân 2 n 1 1 n ¥ = å hoäi tuï. b) n n 1 1 2 ¥ = å = nqå vôùi 10 q 12< = < neân nn 1 1 2 ¥ = å hoäi tuï. c) do ( )n n n2 n n 0 22 ®¥ = ® neân n 2 0n 2 , n n< " ³ . Töø ñoù n 2 0n n n 2 , n n 2 2 £ ³ hay ( ) 0nn n 1 , n n 2 2 £ ³ maø ( )n 1 2 å hoäi tuï neân n n 1 n 2 ¥ = å hoäi tuï. d) ñaët n 1 1S 1 ... 2 n = + + + vôùi 0 1 2 e = , vaø moïi soá nguyeân n Î N laây n N³ vaø m =2n thì m n 1 1 1 1S S ... ( ) n 1 n 2 n n 2 - = + + + ³ = e + + + do ñoù theo tieâu chuaån Cauchy, ( )n nS khoâng hoäi tuï, neân 1 nå phaân kyø. e) Töø n ln n , n 2> ³ ta coù 1 1 ln n n > maø 1 nå phaân kyø neân n 2 1 ln n ¥ = å phaân kyø. PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version f) Vôùi n n n n n n 2 3 1 1x 6 3 2 + = = + vaø caùc chuoãi : n 1 3å vaø n 1 2å hoäi tuï. Vaäy n n n n 1 2 3 6 ¥ = +å hoäi tuï. Chöùng minh raèng chuoãi: 2.4 2.4.61 ... 1.3 1.3.5 + + + phaân kyø. . Giaûi: Soá haïng toång quaùt n 2.4.6...2nx 1.3.5...(2n 1) = - >1 Þ daõy ( )n nx khoâng coù giôùi haïn laø 0 neân n 1 x ¥ å phaân kyø. Cho ( )n n 1 a ¥ = å vaø ( )n n 1 b ¥ = å vôùi na 0 n³ " nb 0 n³ " vaø ( )n n n alim c 0 b®¥ = ³ . CMR a) c 0= , vaø ( )n n 1 b ¥ = å hoäi tuï thì ( )n n 1 a ¥ = å hoäi tuï. b) c = ¥ , vaø ( )n n 1 b ¥ = å phaân kyø thì ( )n n 1 a ¥ = å phaân kyø. c) 0 c< < ¥ thì ( )n n 1 a ¥ = å vaø ( )n n 1 b ¥ = å cuøng baûn chaát, nghóa laø cuøng phaân kyø hay cuøng hoäi tuï, luùc ñoù seõ ghi n na ~ b (n )® ¥ . Giaûi: a) do n n n alim 0 b®¥ = neân 0n$ sao cho n n 00 a b , n n£ £ " ³ Vaäy ( )n n 1 b ¥ = å hoäi tuï daãn ñeán ( )n n 1 a ¥ = å hoäi tuï. b) do n n n alim b®¥ = ¥ neân 0n$ sao cho n nb a£ , 0n n" ³ Vaäy ( )n n 1 b ¥ = å phaân kyø daãn ñeán ( )n n 1 a ¥ = å phaân kyø. c) n n n alim c b®¥ = vôùi 0 c< < ¥ , 0n$ : n n n c 3cb a .b 2 2 £ £ , 0n n" ³ PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version neáu ( )n n 1 b ¥ = å hoäi tuï thì n n 1 3c .b 2 ¥ = å hoäi tuï, do ñoù ( )n n 1 a ¥ = å hoäi tuï neáu ( )n n 1 b ¥ = å phaân kyø thì n n 1 c .b 2 ¥ = å phaân kyø do ño ( )n n 1 a ¥ = å phaân kyø. Khaûo saùt söï hoäi tuï cuûa caùc chuoãi sau: a) 1 n(n 1)+å b) 2 1 1 n+å c) ( )n 1 ln n å d) 2 1 n(n n )+ å e) 2 n! nå f) 1 n ln nå g) n n x (x 0) n ³å h) nx n!å i) 2 n 4 2n 1 n 4n 3 ¥ = + - +å j) n 1 1 sin n n ¥ = på . Giaûi: a) 1 1~ (n ) nn(n 1) ® ¥ + vaø do n 1 1 n ¥ = å phaân kyø neân n 1 1 n(n 1) ¥ = + å phaân kyø. b) 2 2 1 1 1 n n £ + neân 2 1 1 n+å hoäi tuï. c) Ñaët ( )n n 1x ln n = ta coù n n n 1x 0 ln n ®¥ = ® (< 1) ( )n 1 ln n å hoäi tuï d) 32 2 1 1~ n(n n ) n+ ( n ® ¥ ) neân 2 1 n(n n )+ å hoäi tuï. e) n 2 n!x n = töø ñoù ( ) ( ) 2 2 n 1 2 n n 1 !x n n x n! n 1n 1 + += ´ = ® ¥ ++ , neân chuoãi 2 n! nå phaân kyø. f) Xeùt 1 nn ln n 1 ln n n = ® ¥ PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version maø 1 nå phaân kyø, vaäy 1 n ln nå phaân kyø. g) n n x nå hoäi tuï theo tieâu chuaån Cauchy. h) nx n!å hoäi tuï theo tieâu chuaån D’Alembert. i) do ( )2 2n 1 1~ n n 4n 3 n + ® ¥ - + neân 2 2n 1 n 4n 3 + - +å phaân kyø j) Xeùt n 2 1 sin n n n sin1 n n ®¥ p p = ® p neân ( )2 1n sin ~ n n n p ® ¥ . Vaäy 1 sin n n på hoäi tuï. Cho chuoãi soá p n 1 1.3.5...(2n 1) 2.4.6...2n ¥ = -é ù ê úë û å Chöùng minh raèng chuoãi hoäi tuï khi vaø chæ khi p > 2 . Giaûi: Ñaët p p n 1.3.5...(2n 1)x 2.4.6...2n -é ù= ê úë û ta coù 2n 1 3 5 (2n 1) 3 5 (2n 1) (2n 1) 1x . . ... .1. . ... . . 2 4 6 2n 2 4 (2n 2) 2n 2n 1 - - + = - + 1 1 1 1 1 1 11 1 ... 1 . 1 1 ... 1 . 2 4 2 2 4 2n 2n 1 æ öæ ö æ ö æ öæ ö æ ö= - - - + + +ç ÷ç ÷ ç ÷ ç ÷ç ÷ ç ÷ +è øè ø è ø è øè ø è ø 2 2 2 1 1 1 11 1 ... 1 . 2 4 (2n) 2n 1 æ öæ öæ ö= - - -ç ÷ç ÷ç ÷ +è øè ø è ø do ( )22 2 2k 1 1 1 1 1 1 1 1... 2 2 4 4 k 4 22n ¥ = + + + = £ =å neân 2n 1 1x . 2 2n 1 ³ + maø vì 1 1. 2 2n 1+å phaân kyø, ta coù 2 nxå phaân kyø. Töø ñoù suy ra   p 2£ : ta coù p 2n nx x³ neân p n 1 x ¥ å phaân kyø.   p 2> : PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version Ta coù p p 2 p 2 2 n n 2 2 2 1 1 1 1x (x ) 1 1 .. 1 2 4 (2n) 2n 1 é ùæ öæ öæ ö= = - - -ê úç ÷ç ÷ç ÷ +è øè ø è øë û ( ) p 2 1 2n 1 £ + maø p n 1 2 1 (2n 1) ¥ = + å hoäi tuï p( 1)2 > , neân p n n 1 x ¥ + å hoäi tuï. Khaûo saùt söï hoäi tuï tuyeät ñoái cuûa a) ( ) 2n 1 2n 1 x( 1) 2n 1 ! + +- +å b) ( ) n n 1 n x( 1) x 2 +- + å . Giaûi: a) Ñaët ( ) ( ) 2n 12n 1 2n 1 n xxa ( 1) 2n 1 ! 2n 1 ! ++ += - = + + Ta coù ( ) ( ) ( ) ( ) 2n 3 2 n 1 2n 1 n n x x2n 1 !a . 0 a 2n 3 ! 2n 2 2n 3x + + + ®¥ + = = ® + + + Vaäy naå hoäi tuï vôùi x" Î . hay ( ) 2n 1 2n 1 x( 1) 2n 1 ! + +- +å hoäi tuï tuyeät ñoái taïi x" Î . b) Ñaët ( ) nn n 1 n n n xxa ( 1) ( x 2) x 2 x 2 += - = " ¹ - + + . n n x a x 2 = + Ta coù x 1 x x 2 x 2 < Û < + + x 1Û > - x 1 x 1 x 2 > Û < - + x = -1 thì an =1 neân naå phaân kyø. Vaäy ( ) n n 1 n x( 1) x 2 +- + å hoäi tuï tuyeät ñoái khi vaø chæ khi x > -1 PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version Cho ( )n nb bò chaën vaø na 0, n³ " . Giaû söû naå hoäi tuï. CMR n na bå hoäi tuï. . Giaûi: Do ( )n nb bò chaën neân nM 0 : | b | M, n$ > £ " neân n n nM.a | a .b |, n³ " ( na 0³ ). vaø nMaå hoäi tuï neân n na bå hoäi tuï, do ñoù n na bå hoäi tuï. Xeùt tính hoäi tuï cuûa ( ) k p ln n nå vôùi k 1> vaø p 1> . Giaûi: Vôùi p > 1, ta coù p 1= + a trong ñoù 0a > . Xeùt ( ) ( ) k k p n 2 1 2 ln n ln nn 0 ( 0)1 2 n n a ®¥ a + a = ® > Maø 1 2 1 n a + å hoäi tuï, neân ( ) k p n 2 ln n n ¥ = å hoäi tuï. Khaûo saùt tính hoäi tuï cuûa n 2 1 ( , 0) n ln n ¥ a b = a b >å . Giaûi: Xeùt haøm soá 1f (x) x ln xa b = xaùc ñònh treân [2, )¥ vaø laø haøm soá giaûm. Hôn nöõa ôû baøi taäp tích phaân, ta coù   1a > 2 dx x ln x ¥ a bò hoäi tuï.   1a < 2 dx x ln x ¥ a bò phaân kyø   1a = - 1b > 2 dx x ln x ¥ a bò hoäi tuï - 1b £ 2 dx x ln x ¥ a bò phaân kyø Töø ñoù n 2 1 n ln n ¥ a b = å hoäi tuï khi vaø chæ khi 1a > hay 1a = vaø 1b > PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version Cho 2naå vaø 2nbå hoäi tuï. CMR n na bå hoäi tuï . Giaûi: Ta coù 2 2 n n n n a ba b , n. 2 + £ " maø 2naå , 2nbå hoäi tuï neân 2 2n na b+å hoäi tuï vaø do ñoù 2 2 n na b 2 +å hoäi tuï vaäy n na bå hoäi tuï, suy ra n na bå hoäi tuï. Cho na 0, n³ " vaø naå phaân kyø CMR n n 1 n a 1 a ¥ = + å phaân kyø, coøn n2 n 1 n a 1 n a ¥ = + å hoäi tuï. . Giaûi: Giaû söû n n n a 0 1 a ®¥ ® + , neáu ngöôïc laïi thì n n 1 n a 1 a ¥ = + å phaân kyø. Ta coù : 0"e > , ñaët ' 1 e e = + e 'n0 n an : n 0 1 a $ ³ Þ < e + ' n 0'a , n n1 e Þ < = e ³ - e . Vaäy nnlima 0= töø ñoù n n 0a a , n N£ " ³ (N0 ñuû lôùn). Suy ra luùc ñoù naå phaân kyø. Hôn nöõa n n n n n n a a 1 a (a 0) 1 a 22 a ³ = > + Vaø n n n a 1 a 1 a 2 ³ + neáu an = 0. do n 1 a 2å phaân kyø neân n n a 1 a+å phaân kyø. Deã daøng kieåm chöùng n 2 2 n a 1 , n 1 a .n n £ " + töø ñoù do 2 1 nå hoäi tuï, ta coù n 2 n a 1 n a+å hoäi tuï. PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version Cho na 0³ , n" vaø naå hoäi tuï. CM n a nå hoäi tuï. . Giaûi: Töø ( )2n na a=å å vaø 21nå hoäi tuï. Theo , n a nå hoäi tuï. Tìm mieàn hoäi tuï cuûa : a) nnxå b) n n x nå c) n n2 x-å d) n 2 x n 2n+å . Giaûi: a) nnn n na n a n 1®¥= Þ = ® taïi x 1= ± chuoãi phaân kyø Vaäy mieàn hoäi tuï cuûa nnxå laø ( )1,1- b) nn nn n 1 1a a 0 n n ®¥ = Þ = ® chuoãi n n x nå coù mieàn hoäi tuï laø ( ),-¥ +¥ c) n nn n 1a 2 | a | 2 -= Þ = n n2 x-å hoäi tuï treân x : | x | 2"   x=-2 : ( ) n n 2 2 - å phaân kyø.   X= 2 : n n 2 2å phaân kyø Vaäy mieàn hoäi tuï laø ( )2, 2- . d) nn n2 n 2 n 1 1a a 1 n 2n n 2n ®¥ = Þ = ® + + n na xå hoäi tuï vôùi x : | x | 1" < vaø phaân kyø vôùi x : | x | 1" > taïi x 1= ± chuoãi hoäi tuï. PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version Vaäy mieàn hoäi tuï laø [ ]1,1- Tìm mieàn hoäi tuï cuûa a) nx nå b) nx ln nå c) ( ) nx 4n 1 !-å d) ( ) n n2 x 2n 7 !+å . Giaûi: a) Baùn kính hoäi tuï laø R = 1. x 1= chuoãi phaân kyø. x 1= - chuoãi hoäi tuï (theo Leibnitz) mieàn hoäi tuï laø [ 1,1)- b) Baùn kính hoäi tuï laø R=1 taïi x 1= ± chuoãi phaân kyø. Mieàn hoäi tuï laø (-1, 1). c) ( )n 1a 4n 1 ! = - , thì ( ) ( ) ( ) ( )( ) n 1 n 4n 1 !a 2 a 4n 3 ! 4n 4n 1 4n 2 4n 3 + -= = + + + + Baùn kính hoäi tuï R = ¥ Mieàn hoäi tuï laø ( , )-¥ +¥ d) ( ) n n 2a 2n 7 ! = + thì ( ) ( ) ( )( ) n 1 n 1 n n 2n 7 !a 2 2 a 2n 9 ! 2 2n 8 2n 9 + + += ´ = + + + mieàn hoäi tuï laø ( , )-¥ +¥ . Chöùng minh raèng n n 0 x ¥ = å hoäi tuï ñeàu treân 1[0, ]2 vaø khoâng hoäi tuï ñeàu treân (0, 1). . Giaûi: Ta coù n n 1 1x , x [0, ] 2 2 æ ö£ " Îç ÷ è ø Vaø n 1 2å hoäi tuï neân nxå hoäi tuï ñeàu treân [ 10, 2 ] ñaët 2 nnS (x) 1 x x ... x= + + + + n 11 x 1 x +- = - x (0,1)" Î ta coù nn 1limS (x) S(x) 1 x = = - xeùt n 1 n 1 xS (x) 1 x 1 x + - = - - PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version vôùi n cho tröôùc, ta coù : n x 1 xlim 1 x® = ¥ - neân nxx : 1 1 x $ > - Vaäy Sn(x) khoâng hoäi tuï ñeàu veà S(x) treân (0, 1). CMR ( ) n n 0 1 x x ¥ = -å khoâng hoäi tuï ñeàu treân [0, 1]. . Giaûi: Ñaët ( ) ( ) ( ) n 1 k n 1 n k 0 1 xS x 1 x x 1 x 1 x (k 1) 1 x +¥ + = - = - = - = - ¹ -å nS (x) 0= taïi x 1= . Vaäy n 1, x 1 S (x) S(x) 0 , x 1 ¹ì ® = í =î do ñoù : ( ) nnf (x) 1 x x= - lieân tuïc treân [0, 1] vaø S(x) khoâng lieân tuïc treân [0, 1] neân nS (x) khoâng hoäi tuï ñeàu veà S(x) treân [0, 1]. Chöùng minh 2 2 1 n x+å hoäi tuï ñeàu treân [0, )¥ . Giaûi: Vôùi [ )n n2 2 2 1 1f (x) a , x 0, n x n = £ = " Î ¥ + do naå hoäi tuï neân nf (x)å hoäi tuï ñeàu. Chöùng minh sin nx n nå hoäi tuï ñeàu treân  . . Giaûi: Vôùi n sin nxf (x) n n = do n 1f (x) n n £ vaø 1 n nå hoäi tuï neân nf (x)å hoäi tuï ñeàu. Xeùt tính hoäi tuï ñeàu cuûa n nxx e-å treân [ )0,¥ . Giaûi: Xeùt haøm soá n nxnf (x) x e -= ta coù ' nx n nxn n 1f (x) nx .e nx e - - -= - = ( )n 1 nxnx e 1 x- - - PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version Vaäy nn0 f (x) e -£ £ [ ), x 0," Î ¥ maø ne-å hoäi tuï vaäy nf (x)å hoäi tuï ñeàu. Chöùng minh chuoãi n n x 1 x+å hoäi tuï ñeàu treân moïi ñoaïn [0, c] vôùi 0 c 1< < , nhöng khoâng hoäi tuï ñeàu treân [ )0,1 . . Giaûi: Vôùi moïi soá c (0,1)Î . Xeùt haøm soá n n n xf (x) 1 x = + taêng (theo bieán x) Do ñoù [ ] n n n n cf (x) c , 0,c 1 x £ £ "Î + Do ncå hoäi tuï neân nf (x)å hoäi tu ñeàu treân [0, c]. Xeùt treân [0, 1) Ñaët kn n k k 1 xS (x) 1 x= = +å m,n" cho tröôùc ta coù ( ) n 1 m 1 m n n 1 m 1 x xS (x) S (x) ... m n 1 x 1 x + + + +- = + + >+ + do n nx 1 x 1lim 1 x 2® = + neân [ ) n n x 1x 0,1 : 1 x 3 $ Î > + vaäy nf (x)å khoâng hoäi tuï ñeàu treân [0, 1). Cho 2 n 1 1f (x) 1 n x ¥ = = +å a) Tìm mieàn xaùc ñònh cuûa f. b) Xeùt tính lieân tuïc cuûa f. . Giaûi: a)   x = 0 , chuoãi khoâng hoäi tuï neân f khoâng xaùc ñònh. x 0 1 +¥ ' nf (x) + 0 - nf (x) ne- 0 0 PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version   2 1x n = - , soá haïng toång quaùt 2 1 1 n x+ khoâng xaùc ñònh, haøm soá khoâng xaùc ñònh   2 2 1 1 1x \{0, , , ,...} 1 2 3 - - - " Î ñöôïc choïn tröôùc ( )2 2 1 1~ n 1 n x n ® ¥ + neân 2 1 1 n x+å hoäi tuï tuyeät ñoái , f xaùc ñònh. Vaäy mieàn xaùc ñinh cuûa f laø 2 2 1 1 1D \{0, , , ,...} 1 2 3 - - - =  b) Laáy x0 baát kyø treân D. Toàn taïi [ ]0, : x , Da bÎ Î a b Ì Do n 2 1f (x) 1 n x = + giaûm (theo bieán x) treân [ ],a b neân [ ]n n nf ( ) f (x) f ( ), x , , nb £ £ a " Î a b " Î N , vì vaäy n n n nf (x) max( f ( ) , f ( ) ) a£ b a = Trong ñoù n na f ( )= a hay n na f ( )= b vaø coù naå hoäi tuï. Suy ra nf (x)å hoäi tuï ñeàu treân [ ],a b , maø caùc haøm fn lieân tuïc treân [ ],a b , vaäy f lieân tuïc treân [ ],a b . Töùc laø f lieân tuïc tai x0 vaø do ñoù f lieân tuïc treân D. Xeùt tính lieân tuïc cuûa 2 3 3 nxf (x) x n = +å treân [ )0,¥ . Giaûi: Vôùi x 0³ thì : 2 2 2 3 3 3 2 nx nx x x n x n £ = + Vôùi baát kyø x 0³ toàn taïi a > 0 thoûa 0 x a£ £ neân 2 2 2 3 3 3 2 nx n.a a0 x n n n £ £ = + maø 2 2 a nå hoäi tuï neân 2 3 3 nx x n+å hoäi tuï ñeàu treân [0, a] suy ra 2 3 3 nxf (x) x n = +å lieân tuïc treân [0, a] (vì 2 n 3 3 nxf (x) x n = + lieân tuïc, n" ) Þ f lieân tuïc taïi moi [ )x 0,Î ¥ . Tính ñaïo haøm cuûa 2 2 1f (x) n x = +å . Giaûi: PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version vôùi n 2 2 1f (x) n x = + ta coù ( ) ' n 22 2 2xf (x) n x - = + neân 'n 4 2 | x |f (x) n £ vôùi 0x Î cho tröôùc 'nf (x)å hoäi tuï ñeàu treân [ ]0 0x 1, x 1- + nf (x)å hoäi tuï ñeàu treân [ ]0 0x 1, x 1- + , ta laïi coù caùc haøm 'nf lieân tuïc neân [ ] ' ' n n 0 0f (x) f (x), x x 1, x 1 é ù = " Î - +ê úë û å å vaäy ( ) ' 22 2 2xf (x) , x n x - = " Î + å  Tính caùc toång voâ haïn: a) 3 5 k 2k 12x 4x 6x ... ( 1) 2k.x ...-- + - + + - | x | 1< b) 2 n 1 2 3 n 1 2x 3x nx... ... a a a a - + + + + + | x | a< c) 2 3 nx x xx ... ... 2 3 n + + + + + | x | 1< . Giaûi: a) Xeùt chuoãi n 2n 1 n 1 ( 1) 2nx ¥ - = -å (1) | x | 1< vôùi n 2n 1nf (x) ( 1) 2nx -= - coù moät nguyeân haøm laø n 2nnF (x) ( 1) x= - Chuoãi (1) coù baùn kính hoäi tuï laø R = 1, neân vôùi moïi 0x ( 1,1)Î - [ ] ( )00 : x , 1,1$a > Î -a a Ì - (1) hoäi tuï ñeàu treân [ ],-a a . Hôn nöõa nF (x)å cuõng hoäi tuï treân [ ],-a a neân: [ ] ' n n 1 n 1 F (x) f (x) , x , ¥ ¥ = æ ö = " Î -a aç ÷ è ø å å Vaø do ñoù ( ) ' n n 1 n 1 F (x) f (x) , x 1,1 ¥ ¥ = æ ö = " Î -ç ÷ è ø å å n 1 nS (x) F (x) ... F (x)= + + 2 n 2 4 n 2n 2 2 1 ( x )x x ... ( 1) x x 1 x æ ö- - = - + + + - = - ç ÷+è ø töø ñoù ( ) 2 n n 2n1 xF (x) limS (x) , x 1,1 1 x ¥ ®¥ - = = Î - +å PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version neân ( ) '2 n 22 2 x 2xf (x) 1 x 1 x ¥ æ ö - = - =ç ÷+è ø + å b) Chuoãi cho coù daïng nf (x)å vôùi n 1 n n nxf (x) a - = vôùi | x | a< coù nguyeân haøm laø nn n n x x xF (x) , 1 a a a æ ö= = <ç ÷ è ø Lyù luaän nhö treân : 'n n 2 x af (x) a (a x) æ öæ ö= =ç ÷ç ÷ç ÷ -è øè ø å å c) Chuoãi ñaõ cho coù daïng n n 1 f (x) ¥ = å vôùi xn n 1 n 0 xf (x) t dt n -= = ò do n 1 n 1 t ¥ - = å hoäi tuï ñeàu treân [0, x], vôùi | x | 1< neân x x n 1 n 1 n n 1 n 10 0 f (x) t dt t dt ¥ ¥ - - = = æ ö= = ç ÷ è ø å å åò ò ( ) x 0 dt ln 1 x 1 t = = - - -ò Cho 2n 1 n n 0 xf (x) ( 1) (2n 1)! +¥ = = - +å vaø 2n n n 0 xg(x) ( 1) (2n)! ¥ = = -å a) CMR f (0) 0= vaø f (0) 1= b) f ,g khaû vi treân  vaø ' ' f (x) g(x) g (x) f (x) ì =ï í = -ïî . Giaûi: a) Baïn ñoïc töï kieåm tra. b) Caùc chuoãi f (x),g(x) coù baùn kính hoäi tuï laø R = ¥ neân hoäi tuï ñeàu treân moïi ñoanj [ ]a, b . Caùc haøm thaønh phaàn ( ) 2n 1 n n xf (x) ( 1) 2n 1 ! + = - + vaø 2n n n xg (x) ( 1) (2n)! = - PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version khaû vi lieân tuïc treân  . Do 'n n 1f (x) g (x)-= vaø 'n n 1g (x) f (x)-= - Söï hoäi tuï ñeàu cuûa f (x),g(x) daãn ñeán söï hoäi tuï ñeàu cuûa 'nf (x)å vaø 'ng (x)å Töø ñoù ' ' ' n n nf (x) f (x) f (x) g (x) g(x) æ ö= = = =ç ÷ è ø å å å vaø ' ' ' n n ng (x) g (x) g (x) f (x) f (x) æ ö= = + = - = -ç ÷ è ø å å å . PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version