Bài tập chung về Hình học

Chöông I : VECTÔ §1: CAÙC ÑÒNH NGHÓA A: Toùm taét lyù thuyeát · Vectô laø ñoaïn thaúng coù dònh höôùng Kyù hieäu : ; hoaëc ; · Vectô – khoâng laø vectô coù ñieåm ñaàu truøng ñieåm cuoái : Kyù hieäu · Hai vectô cuøng phöông laø hai vectô coù giaù song song hoaëc truøng nhau · Hai vectô cuøng phöông thì hoaëc cuøng höôùng hoaëc ngöôïc höôùng · Hai vectô baèng nhau neáu chuùng cuøng höôùng vaø cuøng ñoä daøi B. NOÄI DUNG BAØI TAÄP : Baøi 1: Baøi taäp SGK : 1, 2, 3, 4, 5 trang 9 SGK naâng cao Baøi 2: Cho 5 ñieåm A, B, C, D, E. Coù bao nhieâu vectô khaùc vectô - khoâng coù ñieåm ñaàu vaø ñieåm cuoái laø caùc ñieåm ñoù. Baøi 3: Cho hình bình haønh ABCD coù taâm laø O . Tìm caùc vectô töø 5 ñieåm A, B, C , D , O baèng vectô ; Coù ñoä daøi baèng ê ê Baøi 4 : Cho töù giaùc ABCD, goïi M, N, P, Q laàn löôït laø trung ñieåm AB, BC, CD, DA. Chöùng minh : Baøi 5 : Cho tam giaùc ABC coù tröïc taâm H vaø O taâm laø ñöôøng troøn ngoaïi tieáp . Goïi B’ laø ñieåm ñoái xöùng B qua O . Chöùng minh : Baøi 6 : Cho hình bình haønh ABCD . Döïng . Chöùng minh §2. TOÅNG VAØ HIEÄU HAI VECTÔ A: Toùm taét lyù thuyeát : · Ñònh nghóa: Cho ; . Khi ñoù · Tính chaát : * Giao hoaùn : = * Keát hôïp () + = +) * Tín h chaát vectô –khoâng += · Quy taéc 3 ñieåm : Cho A, B ,C tuøy yù, ta coù : + = · Quy taéc hình bình haønh . Neáu ABCD laø hình bình haønh thì + = · Quy taéc veà hieäu vec tô : Cho O , B ,C tuøy yù ta coù : B. NOÄI DUNG BAØI TAÄP : B1: Traéc nghieäm Caâu1: Phaùt bieåu naøo sau ñaây laø ñuùng: Hai vectô khoâng baèng nhau thì coù ñoä daøi khoâng baèng nhau Hieäu cuûa 2 vectô coù ñoä daøi baèng nhau laø vectô – khoâng Toång cuûa hai vectô khaùc vectô –khoâng laø 1 vectô khaùc vectô -khoâng Hai vectô cuøng phöông vôùi 1 vec tô khaùc thì 2 vec tô ñoù cuøng phöông vôùi nhau Caâu 2: Cho hình chöõ nhaät ABCD, goi O laø giao ñieåm cuûa AC vaø BD, phaùt bieåu naøo laø ñuùng a) === b) = c) ç+++ ç= d) - = Caâu 3: Cho tam giaùc ñeàu ABC caïnh a, troïng taâm laø G. Phaùt bieåu naøo laø ñuùng a) = b) == c) |+| = 2a d) ç+ç= ç-ç Caâu 4: Cho khaùc vaø cho ñieåm C. Coù bao nhieâu ñieåm D thoûa çç=çç a) voâ soá b) 1 ñieåm c) 2 ñieåm d) Khoâng coù ñieåm naøo Caâu 5: Cho vaø khaùc thoûa =. Phaùt bieåu naøo sau ñaây laø ñuùng: a) vaø cuøng naøm treân 1 ñöôøng thaèng b) ç+ç=çç+çç c) çç-çç= - d) -= 0 Caâu 6: Cho tam giaùc ABC , troïng taâm laø G. Phaùt bieåu naøo laø ñuùng a) += || b) çç+çç+çç= 0 c) |+| = d) |++| = 0 B2: Töï luaän : Baøi 1: Baøi taäp SGK :1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 trang 12 SGK cô baûn ; Baøi 17, 18, 19, 20 trang 17, 18 SGK naâng cao Baøi 2: Cho hình bình haønh ABCD taâm O . Ñaët = ; = Tính ; ; ; theo vaø Baøi 3: Cho hình vuoâng ABCD caïnh a . Tính ê + ê ; ê - ê theo a Baøi 4: Cho hình chöõ nhaät ABCD coù AB = 8cm ; AD = 6cm . Tìm taäp hôïp ñieåm M , N thoûa a) ê - ê= êê b) ê - ê= êê Baøi 5: Cho 7 ñieåm A ; B ; C ; D ; E ; F ; G . Chöùng minh raèng : a) + + = + b) + + = + + c) + + + = + + d) - + - + - = Baøi 6 : Cho tam giaùc OAB. Giaû söû . Khi naøo ñieåm M naèm treân ñöôøng phaân giaùc trong cuûa goùc AOB? Khi naøo N naèm treân ñöôøng phaân giaùc ngoaøi cuûa goùc AOB ? Baøi 7 : Cho nguõ giaùc ñeàu ABCDE taâm O Chöùng minh : Baøi 8 : Cho tam giaùc ABC . Goïi A’ la ñieåm ñoái xöùng cuûa B qua A, B’ laø ñieåm ñoái xöùng vôùi C qua B, C’ laø ñieåm ñoái xöùng cuûa A qua C. vôùi moät ñieåm O baát kyø, ta coù: Baøi 9: Cho luï giaùc ñeàu ABCDEF coù taâm laø O . CMR : a) +++++= b) ++ = c) ++ = d) ++ = ++ ( M tuøy yù ) Baøi 10: Cho tam giaùc ABC ; veõ beân ngoaøi caùc hình bình haønh ABIF ; BCPQ ; CARS Chöùng minh raèng : + + = Baøi 11: Cho tam giaùc ABC noäi tieáp trong ñöôøng troøn taâm O , tröïc taâm H , veõ ñöôøng kính AD Chöùng minh raèng + = Goïi H’ laø ñoái xöùng cuûa H qua O .Chöùng minh raèng + + = Baøi 12: Tìm tính chaát tam giaùc ABC, bieát raèng : ê + ê = ê - ê §3: TÍCH CUAÛ VECTÔ VÔÙI MOÄT SOÁ Toùm taét lyù thuyeát: · Cho kÎR , k laø 1 vectô ñöôïc xaùc ñònh: * Neáu k ³ 0 thì k cuøng höôùng vôùi ; k < 0 thì k ngöôïc höôùng vôùi * Ñoä daøi vectô k baèng êk ê.êê · Tính chaát : a) k(m) = (km) b) (k + m) = k + m c) k( + ) = k + k d) k = Ûk = 0 hoaëc = · cuøng phöông ( ¹) khi vaø chæ khi coù soá k thoûa =k · Ñieàu kieän caàn vaø ñuû ñeå A , B , C thaúng haøng laø coù soá k sao cho =k · Cho khoâng cuøngphöông , " luoân ñöôïc bieåu dieãn = m + n ( m, n duy nhaát ) B. NOÄI DUNG BAØI TAÄP : B1: traéc nghieäm Caâu 1: Cho hình bình haønh ABCD coù O laø giao ñieåm cuûa AC vaø BD .Tìm caâu sai a) + = b) = (+) c) +=+ d ) + = Caâu 2: Phaùt bieåu naøo laø sai a) Neáu =thì || =|| b) = thì A, B,C, D thaúng haøng c) 3+7 = thì A,B,C thaúng haøng d) - = - Caâu 3: Cho töù giaùc ABCD coù M,N laø trung ñieåm AB vaø CD . Tìm giaù trò x thoûa + = x a) x = 3 b) x = 2 c) x = -2 d) x = -3 Caâu 4: Cho tam giaùc ABC vaø A’B’C’ coù troïng taâm laàn löôït laø G vaø G’ Ñaët P = . Khi ñoù ta coù a) P = b) P = 2 c) P = 3 d) P = - Caâu 5: Cho tam giaùc ñeàu ABC caïnh a, troïng taâm laø G. Phaùt bieåu naøo laø ñuùng a) = b) |+| = 2a c) + = d)+ = 3 Caâu 6: Cho tam giaùc ABC ,coù bao nhieâu ñieåm M thoûa ç+ +ç = 5 a) 1 b) 2 c) voâ soá d) Khoâng coù ñieåm naøo Caâu 7: Cho tam giaùc ñeàu ABC caïnh a coù I,J, K laàn löôït laø trung ñieåm BC , CA vaø AB . Tính giaù trò cuûa || a) 0 b) c) d) 3a Caâu 8: Cho tam giaùc ABC , I laø trung ñieåm BC ,troïng taâm laø G . Phaùt bieåu naøo laø ñuùng a) = 2 b) çç+çç= 0 c) + = d) GB + GC = 2GI B2: Töï luaän : Baøi 1: Baøi taäp SGK : Baøi 4, 9 trang 17 SGK cô baûn ; baøi 21 ñeán 28 trang 23, 24 SGK naâng cao Baøi 2 : Cho tam giaùc ABC coù AM laø trung tuyeán. Goïi I laø trung ñieåm AM vaø K laø moät ñieåm treân caïnh AC sao cho AK = AC. Chöùng minh ba ñieåm B, I, K thaúng haøng Baøi 3 : Cho tam giaùc ABC. Hai ñieåm M, N ñöôïc xaùc ñònh bôûi caùc heä thöùc . Chöùng minh MN // AC Baøi 4: Cho hình chöõ nhaät ABCD taâm O , ñieåm M laø 1 ñieåm baát kyø : Tính = + + + theo Töø ñoù suy ra ñöôøng thaúng MS quay quanh 1 ñieåm coá ñònh Tìm taäp hôïp ñieåm M thoûa ê + + + ê= a ( a > 0 cho tröôùc ) Tìm taäp hôïp ñieåm N thoûa ê + ê = ê + ê Baøi 5: Cho tam giaùc ABC ; treân BC laáy D ; E thoûa BD = DE = EC . Goïi I laø trung ñieåm BC S laø 1 ñieåm thoûa = + + + Chöùng minh raèng 3 ñieåm I ; S ; A thaúng haøng Baøi 6 :Cho tam giaùc ABC. Ñieåm I naèm treân caïnh AC sao cho CI = CA, J laø ñieåm maø . a) Chöùng minh : b) Chöùng minh B, I, J thaúng haøng c) Haõy döïng ñieåm J thoûa ñieàu kieän ñeà baøi Baøi 7 : Cho tam giaùc ABC . a) Tìm ñieåm K sao cho B) Tìm ñieåm M sao cho Baøi 8: Cho tam giaùc ABC. =;=; = a) Chöùng minh raèng: ++= ++= . Suy ra ABC vaø IJK cuøng troïng taâm b) Tìm taäp hôïp M thoûa: ç+ +ç= ç+ç ç2+ç=ç2+ç c) Tính ; theo vaø Baøi 9: Cho tam giacù ABC coù I, J , K laàn löôït laø trung ñieåm BC , CA , AB . G laø troïng taâm tam giaùc ABC 1) Chöùng minh raèng + + = .Suy ra tam giaùc ABC vaø IJK cuøng troïng taâm 2) Tìm taäp hôïp ñieåm M thoûa : a) ç++ç= ç+ç b) ç+ç = ç-ç 3) D, E xaùc ñònh bôûi : = 2vaø =. Tính vaø theo vaø . Suy ra 3 ñieåm D,G,E thaúng haøng Baøi 10 : Cho tam giaùc ñeàu ABC coù troïng taâm laø G , M laø 1 ñieåm naèm trong tam giaùc. Veõ MD ; ME ; MF laàn löôït vuoâng goùc vôùi 3 caïnh cuûa tam giaùc Chöùng minh raèng + + = §4 :TRUÏC TOÏA ÑOÄ VAØ HEÄ TRUÏC TOÏA ÑOÄ : A. toùm taét lyù thuyeát : · Truïc laø ñöôøng thaúng treân ñoù xaùc ñònh ñieåm O vaø 1 vectô coù ñoä daøi baèng 1. Kyù hieäu truïc (O; ) hoaéc x’Ox · A,B naèm treân truïc (O; ) thì =. Khi ñoù goïi laø ñoä daøi ñaïi soá cuûa · Heä truïc toïa ñoä vuoâng goùc goàm 2 truïc Ox ^ Oy. Kyù hieäu Oxy hoaëc (O; ;) · Ñoái vôùi heä truïc (O; ;), neáu =x +y thì (x;y) laø toaï ñoä cuûa . Kyù hieäu = (x;y) · Cho = (x;y) ; = (x’;y’) ta coù ± = (x ± x’;y ± y’) k=(kx ; ky) ; " k Î R cuøng phöông ( ¹) khi vaø chæ khi coù soá k thoûa x’=kx vaø y’= ky · Cho M(xM ; yM) vaø N(xN ; yN) ta coù P laø trung ñieåm MN thì xp = vaø yP = = (xM – xN ; yM – yN) · Neáu G laø troïng taâm tam giaùc ABC thì xG = vaø yG = B. NOÄI DUNG BAØI TAÄP : B1 : Baøi taäp traéc nghieäm Caâu 1: Cho =(1 ; 2) vaø = (3 ; 4). Vec tô = 2+3 coù toaï ñoä laø a) =( 10 ; 12) b) =( 11 ; 16) c) =( 12 ; 15) d) = ( 13 ; 14) Caâu 2: Cho tam giaùc ABC vôùi A( -3 ; 6) ; B ( 9 ; -10) vaø G( ; 0) laø troïng taâm . Toïa ñoä C laø : a) C( 5 ; -4) b) C( 5 ; 4) c) C( -5 ; 4) d) C( -5 ; -4) Caâu 3: Cho A(m - 1; 2) , B(2;5-2m) C(m-3;4). Tìm giaù trò cuûa m ñeå A ; B ; C thaúng haøng a) m = 2 b) m = 3 c) m = -2 d) m = 1 Caâu 4: Cho tam giaùc ABC vôùi A ( 3; -1) ; B(-4;2) ; C(4; 3). Tìm D ñeå ABDC laø hbh a) D( 3;6) b) D(-3;6) c) D( 3;-6) d) D(-3;-6) Caâu 5 :Cho =3 -4 vaø = -. Tìm phaùt bieåu sai : a) êê = 5 b) êê = 0 c) - =( 2 ; -3) d) êê = Caâu 6: Cho A(3 ; -2) ; B (-5 ; 4) vaø C( ; 0) . Ta coù = x thì giaù trò x laø a) x = 3 b) x = -3 c) x = 2 d) x = -4 Caâu 7: Cho =(4 ; -m) ; =(2m+6 ; 1). Tìm taát caû caùc giaù trò cuûa m ñeå 2 vectô cuøng phöông a) m=1 Ú m = -1 b) m=2 Ú m = -1 c) m=-2 Ú m = -1 d) m=1 Ú m = -2 Caâu 8: Cho tam giaùc ABC coù A(1 ; 2) ; B( 5 ; 2) vaø C(1 ; -3) coù taâm ñöôøng troøn ngoaïi tieáp I laø a) I = (3 ; ) b)I = (3 ; -1) c) I = (-3 ; ) d) I = (3 ; ) Caâu 9:Cho =( 1 ; 2) vaø = (3 ; 4) ; cho = 4- thì toïa ñoä cuûa laø : a) =( -1 ; 4) b) =( 4 ; 1) c) =(1 ; 4) d) =( -1 ; -4) Caâu 10:Cho tam giaùc ABC vôùi A( -5 ; 6) ; B (-4 ; -1) vaø C(4 ; 3). Tìm D ñeå ABCD laø hình bình haønh a) D(3 ; 10) b) D(3 ; -10) c) D(-3 ; 10) d) D(-3 ; -10) B2 :Töï luaän : Baøi 1: Baøi taäp SGK :29 ñeán 36 TRANG 30, 31 SGK naâng cao Baøi 2 : Cho tam giaùc ABC . Caùc ñieåm M(1; 0) , N(2; 2) , p(-1;3) laàn löôït laø trung ñieåm caùc caïnh BC, CA, AB. Tìm toïa ñoä caùc ñænh cuûa tam giaùc Baøi 3 : Cho A(1; 1); B(3; 2); C(m+4; 2m+1). Tìm m ñeå 3 ñieåm A, B, C thaúng haøng Baøi 4 : Cho tam giaùc ñeàu ABC caïnh a . Choïn heä truïc toïa ñoä (O; ; ), trong ñoù O laø trung ñieåm BC, cuøng höôùng vôùi , cuøng höôùng . Tính toïa ñoä cuûa caùc ñænh cuûa tam giaùc ABC Tìm toïa ñoä trung ñieåm E cuûa AC Tìm toïa ñoä taâm ñöôøng troøn ngoaïi tieáp tam giaùc ABC Baøi 5 : Cho luïc giaùc ñeàu ABCDEF. Choïn heä truïc toïa ñoä (O; ; ), trong ñoù O laø taâm luïc giaùc ñeàu , cuøng höôùng vôùi , cuøng höôùng . Tính toïa ñoä caùc ñænh luïc giaùc ñeàu , bieát caïnh cuûa luïc giaùc laø 6 . Baøi 6:Cho A(-1; 2), B (3; -4), C(5; 0). Tìm toïa ñoä ñieåm D neáu bieát: – 2 + 3 = – 2 = 2 + ABCD hình bình haønh ABCD hình thang coù hai ñaùy laø BC, AD vôùi BC = 2AD Baøi 7 :Cho hai ñieåm I(1; -3), J(-2; 4) chia ñoïan AB thaønh ba ñoïan baèng nhau AI = IJ = JB Tìm toïa ñoä cuûa A, B Tìm toïa ñoä cuûa ñieåm I’ ñoái xöùng vôùi I qua B Tìm toïa ñoä cuûa C, D bieát ABCD hình bình haønh taâm K(5, -6) Baøi 8: Cho =(2; 1) ;=( 3 ; 4) vaø =(7; 2) Tìm toïa ñoä cuûa vectô = 2 - 3 + Tìm toïa ñoä cuûa vectô thoûa + = - Tìm caùc soá m ; n thoûa = m+ n BAØI TAÄP OÂN TAÄP CHÖÔNG I Baøi 1:Baøi taäp SGK trang 35, 36, 37, 38 saùch naâng cao Baøi 2:Tam giaùc ABC laø tam giaùc gì neáu noù thoûa maõn moät trong caùc ñieàu kieän sau ? a) b) Vectô vuoâng goùc vôùi vectô Baøi 2 :Töù giaùc ABCD laø hình gì neáu noù thoûa maõn moät trong caùc ñieàu kieän sau ? a) b) Baøi 3:Cho tam giaùc ABC , vôùi moãi soá thöïc k ta xaùc ñònh caùc ñieåm A’ , B’ sao cho . Tìm quó tích troïng taâm G’ cuûa trung ñieåm A’B’C. Baøi 4: Cho töù giaùc ABCD . Caùc ñieåm M,, N, P vaø Q laàn löôït laø trung ñieåm AB, BC, CD vaø DA . Chöùng minh hai tam giaùc ANP vaø CMQ coù cuøng troïng taâm Baøi 5: :Cho tam giaùc ABC vaø moät ñieåm M tuøy yù , Chöùng minh vectô khoâng phuï thuoäc vaøo vò trí cuûa ñieåm M. Haõy döïng ñieåm D sao cho Baøi 6: Cho tam giaùc ABC noäi tieáp trong ñöôøng troøn taâm O, H laø tröïc taâm tam giaùc , D laø ñieåm ñoái xöùng cuûa A qua O. Chöùng minh töù giaùc HCDB laø hình bình haønh Chöùng minh : c) Goïi G laø troïng taâm tam giaùc ABC. Chöùng minh . Töø ñoù keát luaän gì veà 3 ñieåm G, H, O. Baøi 7: Cho hai hình bình haønh ABCD vaø AB’C’D’ coù chung ñænh A. Chöùng minh : a) b) Hai tam giaùc BC’D vaø B’CD’ coù cuøng troïng taâm Chöông II: Tích voâ höôùng cuûaHai vectô vaø öùng duïng §1: GIAÙ TRÒ LÖÔÏNG GIAÙC CUÛA MOÄT GOÙC BAÁT KYØ ( TÖØ 00 ñeán 1800) A.Toùm taét lyù thuyeát · Ñònh nghóa : Treân nöûa döôøng troøn ñôn vò laáy ñieåm M thoûa goùc xOM = a vaø M( x ; y) *. sin goùc a laø y; kyù hieäu sin a = y *. cos goùc a laø x0; kyù hieäu cos a = y0 *. tang goùc a laø( x ¹ 0); kyù hieäu tan a = *. cotang goùc a laø( y ¹ 0); kyù hieäu cot a = · Baûng giaù trò löôïng giaùc cuûa caùc goùc ñaëc bieät a 00 300 450 600 900 Sin a 0 1 Cos a 1 0 tan a 0 1 êê Cot a êê 1 0 · Hai goùc buø nhau: Sin( 1800- µ) = sin µ Cos ( 1800-µ) = - cos µ Tan (1800-µ) = - Tan µ (µ ¹ 900) Cot ( 1800-µ) = - Cot µ ( 0 <µ< 1800) B.Ví duï Ví duï 1: Tính giaù trò löôïng giaùc cuûa goùc a. 45 0 b. 1200 Giaûi: a. Sin 450 = , cos 450 = , tan 450=1, cot 450 = 1 b. Sin 1200 =, cos 1200 = -, tan1200 = -, cot1200= - Ví duï 2: Tính giaù trò bieåu thöùc A = Cos 200 + cos 800+ cos 1000+ cos1600 Giaûi: A = Cos 200+ cos 800 + (-cos 800) + ( - cos 200) = 0 C : BAØI TAÄP Baøi 1: Tính giaù trò bieåu thöùc: A=( 2sin 300 + cos 135 0 – 3 tan 1500)( cos 1800 -cot 600) B= sin2900 + cos 21200- cos200- tan2600+ cot21350 Baøi 2: Ñôn gianû caùc bieåu thöùc: a) A= Sin 1000 + sin 800+ cos 160 + cos 1640 b) B= 2 Sin (1800- µ) cotµ - cos(1800- µ) tan µ cot(1800- µ) . (Vôùi 00< µ<900) Baøi 3 : a) Chöùng minh raèng sin2x +cos2x = 1 ( 00 £ x £ 1800) b)Tính sinx khi cosx = c) Tính sinx.cosx neáu sinx – cosx = d) Chöùng minh raèng 1 + tan2 x = ( Vôùi x ¹ 900 ) e) Chöùng minh raèng 1 + cot2 x = ( Vôùi 00 < x < 18000 ) Baøi 4 : Tính giaù trò bieåu thöùc: A = cos 00 + cos100 + cos200 + . . . . . . + cos 1700 B= cos21200 - sin21500 +2 tan1350 Baøi 5: Cho tam giaùc ABC , Chöùng minh raèng sin(A + B)sin(B + C)sin(C + A) = sinAsinBsinC cos(A + C) + cos B = 0 tan( A – C) + tan( B + 2C) = 0 Baøi 6: Cho tam giaùc ñeàu ABC coù troïng taâm G . Tính goùc giöõa a) vaø b) vaø c) vaø d) vaø c) vaø §2: TÍCH VOÂ HÖÔÙNG 2 VEÙCTÔ A. toùm taét lyù thuyeát: · Cho = vaø = . Khi ñoù goùc AOB laø goùc giuõa 2 vectô vaø Kyù hieäu ( ;) Neáu =hoaëc = thì goùc ( ;) tuøy yù Neáu ( ;) = 900 ta kyù hieäu ^ · Bình phöông voâ höôùng 2 = êê2 . · Caùc quy taéc: Cho " ; " k ÎR . = . ( Tính giao hoaùn) . = 0 ^ (k, = k () (±) = ± (Tính chaát phaân phoái ñoái vôùi pheùp coäng vaø tröø ) · Phöông tích cuûa moät ñieåm ñoái vôùi moät ñöôøng troøn Cho ñöôøng troøn (O,R) vaø moät ñieåm M coá ñònh, Moät ñöôøng thaúng r thay ñoåi, luoân ñi qua ñieåm M caét ñöôøng troøn (O,R) taïi A, B Phöông tích cuûa ñieåm M, ñoái vôùi ñöôøng troøn (O,R): kí hieäu: P M/(O) P M/(O) = MO2 – R2 = Neáu M ôû ngoaøi ñöôøng troøn (O,R), MT laø tieáp tuyeán thì P M/(O) = MT2 · Bieåu thöùc toaï ñoä cuûa tích voâ höôùng Cho = (x, y) , = (x', y') ; M(xM, yM), N(xN, yN); ta coù .= x.x' + y.y' || = Cos (,) = ^ Û xx' + yy' = 0 MN = || = B : Caùc ví duï : Ví duï 1: Cho = (1, 2), = (-1, m) a) Tìm m ñeå , vuoâng goùc b) Tính ñoä daøi , ; tìm m ñeå || = || Giaûi a) ^ Û -1 + 2m = 0Û m = b) || = || = || = || Û Û m = Ví duï2: cho r ñeàu ABC caïnh a vaø troïng taâm G; tính .;.;.;.;.;. Giaûi . = a.a cos 600 = a2 . = a.a cos 1200 = - a2 . = = = =0 vì ^ Ví duï 3: Trong Mp oxy cho 2 ñieåm M(-2;2),N(4,1) a)Tìm treân truïc ox ñieåm P caùch ñeàu 2 ñieåm M,N b)Tính cos cuûa goùc MON Giaûi a) p Î ox => P( xp,0) MP = NP MP2 = NP2 (xp +2)2 + 22 = ( xp -2)2 + 12 Vaäy P (,0) b) Cos MON = cos(,)== C. BAØI TAÄP: A. Traéc nghieäm : Caâu 1: Cho tam giaùc ABC vuoâng taïi A, AB = a ; BC = 2a * Tính tích voâ höôùng . a) a2 b) 3a2 c) a2 d) a2 * Tính tích voâ höôùng . a) a2 b) a2 c) - a2 d) a2 Caâu 2: Cho =(3; -1) vaø =(-1; 2). Khi ñoù goùc giöõa vaø laø a) 300 b) 450 c) 1350 d) 900 Caâu 3:Cho =( 2 ; 5) vaø = (3 ; -7). Khi ñoù goùc giöõa vaø laø a) 450 b) 300 c) 1350 d) 1200 Caâu 4: Cho A(m - 1; 2) , B(2;5-2m) C(m-3;4). Tìm giaù trò cuûa m ñeå A ; B ; C thaúng haøng a) m = 2 b) m = 3 c) m = -2 d) m = 1 Caâu 5: Cho tam giaùc ABC vôùi A ( 3; -1) ; B(-4;2) ; C(4; 3). Tìm D ñeå ABDC laø hbh a) D( 3;6) b) D(-3;6) c) D( 3;-6) d) D(-3;-6) Caâu 6: Cho tam giaùc ABC vôùi A ( -2; 8) ; B(-6;1) ; C(0; 4). Tam giaùc ABC laø tam giaùc gì a) Caân b)Vuoâng caân c) Vuoâng d)Ñeàu Caâu 7: Cho =(2x - 5 ; 2) ; =(3 – x; -2). Ñònh x ñeå A , B , C thaúng haøng a) x = 2 b) x = -2 c) x = 1 d) x = -1 Caâu 8: Cho tam giaùc ñeàu ABC coù troïng taâm G. Phaùt bieåu naøo ñuùng a) = b) = c) .= d) 2 +2 + 2 = 2 Caâu 9:Cho (O,5), ñieåm I ôû ngoaøi (O), veõ caùt tuyeán IAB vôùi IA = 9, IB = 16 a) IO= 13 b) IO= 12 c) IO= 10 d) IO= 15 C aâu 10: Cho A( 1;4) ;B(3 ; -6) ; C(5;4). Tìm tọa độ tâm I đường tròn ngoại tiếp ABC: a) I(2;5) b) I(; 2) c)I(9; 10) d)I(3;4) Caâu 11:Ñöôøng troøn qua 3 ñieåm A(1;2) ; B(5;2) C(1 ; -3) coù taâm I laø : a) I( 2; 1) b) I( -2; 1) c) I( 3; -0.5) d) I( 2; -0.5) Caâu 12: Phaùt bieåu naøo laø sai a) Neáu = thì || =|| b) Neáu =. thì = c) . = . d) - = - Caâu 13: Cho tam giaùc ñeàu ABC caïnh a, troïng taâm laø G. Phaùt bieåu naøo laø ñuùng a) = b) |+| = 2a c) . = a2 d) .= 0 Caâu 14: Cho hình vuoâng ABCD caïnh a .Keát quaû naøo ñuùng a) . = a2 b) . = a2 c) . = 2a2 d) . = 0 Caâu 15:Cho (O,30), ñieåm I ôû ngoaøi (O), veõ caùt tuyeán IAB vôùi IA = 54, IB = 96 a) IO= 69 b) IO= 78 c) IO=84 d) IO=81 Caâu 16:Chæ ra coâng thöùc ñuùng a) = b) = ± || c) = ± d ) = || Caâu 17 : Cho tam giaùc ñeàu ABC caïnh a.Tích voâ höôùng . nhaän keát quaû naøo a) a2 b) - c) d) a2 Caâu 18:Cho . = AB. CD thì phaùt bieåu naøo sau ñaây laø ñuùng: a) ngöôïc höôùng b) A, B, C, D thaèng haøng c) cuøng höôùng d) = Câu19: Cho A(2;3) ; B(9;4) ; C(5;m) Tam giác ABC vuông tại C thì giá trị của m là : a) m = 1 hay m = 6 b) m = 0 hay m = 7 c) m = 0 hay m = -7 d) m = 1 hay m = 7 Caâu 20: Cho =(m2 -2m+2 ; 3m-5), =(2;1) . Tìm giaù trò cuûa m ñeå ^ a) m = 1 b)m = - c)m = 1 hoaëc m = - d) Caû a ; b ; c ñeàu ñuùng Caâu 21: Cho =(4;3) vaø =(1;7). Khi ñoù goùc giöõa 2 vec tô (,) laø : a) 300 b) 450 c) 600 d) Keát quaû khaùc Caâu 22: Cho tam giaùc ñeàu ABC caïnh a coù G laø troïng taâm: *. Phöông tích cuûa G vôùi ñöôøng troøn ñöôøng kính BC a) - b) c) - d) - *. Phöông tích cuûa A vôùi ñöôøng troøn ñöôøng kính BC a) b) c) a2 d) Caâu 23: Cho hình vuoâng ABCD taâm O caïnh a: *. Phöông tích cuûa A vôùi ñöôøng troøn ñöôøng kính CD a) a b)a2 c)2a2 d) *. Phöông tích cuûa A vôùi ñöôøng troøn taâm C coù baùn kính = a a) b) c) a2 d) 2a2 B.Tö luaän Baøi 1: Cho tam giaùc ABC vôùi A ( 1; 1) ; B(2;3) ; C(5; -1). Chöùng minh raèng tam giaùc vuoâng Xaùc ñònh taâm ñöông troøn ngoaïi tieáp Tính dieän tích tam giaùc vaø dieän tích ñöôøng troøn ngoaïi tieáp tam giaùc Baøi 2: Cho A (-1 ; -1) vaø B (5; 6) Tìm M Î x’Ox ñeå tam giaùc ABM caân taïi M Tìm N Î y’Oy ñeå tam giaùc ABN vuoâng taïi N Xaùc ñònh H,K ñeå ABHK laø hình bình haønh nhaän J(1;4) laøm taâm Xaùc ñònh C thoûa 3 - 4= 2 Tìm G sao cho O laø troïng taâm tam giaùc ABG Xaùc ñònh I Î x’Ox ñeå | ++| ñaït giaù trò nhoû nhaát Baøi 3: Cho A(-2;1) vaø B(4;5) a) Tìm M Î x’Ox ñeå tam giaùc ABM vuoâng taïi M b) Tìm C ñeå OACB laø hình bình haønh Baøi 4: Cho =(; -5) vaø =( k ; -4). Tìm k ñeå: a) cuøng phöông b) vuoâng goùc c) || = || Baøi 5: Cho =(-2; 3) ;=( 4 ; 1) Tính cosin goùc hôïp bôûi vaø ; vaø ; vaø ; + vaø - Tìm soá m vaø n sao cho m+n vuoâng goùc + Tìm bieát .= 4 vaø .= -2 Baøi 6: Cho tam giaùc ABC vôùi A ( -4; 1) ; B(2;4) ; C(2; -2). Tam giaùc ABC laø tam giaùc gì . Tính dieän tích tam giaùc Goïi G , H , I laø troïng taâm , tröïc taâm vaø taâm ñöôøng troøn ngoaïi tieáp cuûa tam giaùc. Tính G, H , I vaø CMR +2 = Baøi 7: Cho tam giaùc ABC coù A (-2 ; 2) , B(6 ; 6) , C(2 ; -2) Chöùng minh raèng A ; B ; C khoâng thaúng haøng Tìm toïa ñoä ñieåm D ñeå ABCD laø hình bình haønh Tìm ñieåm M Î truïc x’Ox ñeå tam giaùc ABM vuoâng taïi B Tam giaùc ABC laø tam giaùc gì ? e)Tìm toïa ñoä tröïc taâm H cuûa tam giaùc ABC Baøi 8: Cho D ABC coù AB=7, AC=5, AÂ = 1200 a) Tính .,. b) Tính ñoä daøi trung tuyeán AM (M laø trung ñieåm BC) Baøi 9: Cho 4 ñieåm baát kyø A,B,C.D: chöùng minh raèng: ++=0 Töø ñoù suy ra moät caùch chöùng minh ñònh lyù “3 ñöôøng cao cuûa moät tam giaùc ñoàng quy” Baøi 10: Cho r ABC coù 3 trung tuyeán AD, BE,CF; CMR: ++=0 Baøi 11 : Cho r ABC coù AC= b, AB= c, goùc BAC = µ vaø AD laø phaân giaùc cuûa goùc BAC ( D thuoäc caïnh BC) a) Haõy bieåu thò qua , b) Tính ñoä daøi ñoaïn AD 5) Cho 2 ñieåm M,N naèm treân ñöôøng troøn ñöôøng kính AB= 2 R, AMBN =I a) Chöùng minh: = = b) Tính + theo R Baøi 11: Cho ñoaïn AB coá ñònh, AB= 2a, k Î IR, Tìm taäp hôïp ñieåm M sao cho: a) = k b) MA2 - MB2 = k2 Baøi 12: Töø ñieån M ôû ngoaøi ñt (0) veõ caùc tuyeán MAB vôùi ñt (0) (A,B Î (0) ; 2 tieáp tuyeán taïi A,B cuûa ñöôøng troøn (0) caét nhau taïi I, IO Ç AB taïi D; ñöôøng thaúng qua I vaø vuoâng goùc vôùi MO taïi H vaø laàn löôït caét AB taïi C; caét ñöôøng troøn (0) taïi E, F Chöùng minh : a. b. OF2 = c. d. PM/(ICD) + PI/(MCH) = IM2 ( (ICD), (MCH) : ñöôøng troøn ngoaïi tieáp: D : ICD, MCH) Baøi 13:. Cho hai ñöôøng thaúng AB vaø CD caét nhau taïi M chöùng minh raèng 4 ñieåm A,B,C,D cuøng thuoäc moät ñöôøng troøn khi vaø chæ khi Baøi 14:. Trong maët phaúng toaï ñoä cho vaø Tìm caùc giaù trò cuûa k ñeå : a. b. Baøi 15:. Cho = (-2, 3), = (4,1) a. Tim coâsin cuûa goùc giöõa moãi caëp vectô sau : * vaø , vaø , + vaø - b. Tìm caùc soá k vaø l sao cho = k + l Vuoâng goùc vôùi + c. Tìm vectô bieát Baøi 16:. Cho hai ñieåm A (-3,2) B(4,3) tìm toaï ñoä cuûa a. Ñieåm M Î ox sao cho D MAB vuoâng taïi M b. Ñieåm N Î oy sao cho NA = NB c. Ñieåm K Î oy sao cho3 ñieåm A,K,B thaúng haøng d. Ñieåm C sao cho D ABC vuoâng caân taïi C Baøi 17:. Cho 3 ñieåm A (-1,1) B(3,1), C(2,4) a. Tính chu vi vaø dieän tích D ABC b. Goïi A’ laø hình chieáu vuoâng goùc cuûa A treân BC; tìm toaï ñoä A’ c. Tìm toaï ñoä tröïc taâm H, troïng taâm G, vaø taâm I ñöôøng troøn ngoaïi tieáp D ABC; töø ñoù chöùng minh 3 ñieåm I,H,G thaúng haøng. Baøi 18:. Cho 4 ñieåm A (-8,0) B(0,4), C(2,0) D (-3,-5) chöùng minh 4 ñieåm A,B,C,D cuøng thuoäc moät ñöôøng troøn Baøi 19:. Bieát A(1,-1), B (3,0) laø hai ñænh cuûa hình vuoâng ABCD; tìm toaï ñoä caùc ñænh C vaø D. Baøi 20: Cho M coá ñònh ngoaøi döôøng troøn (O,R) ,veõ caùt tuyeán MAB vaø 2 tieáp tuyeán CT vaø CT’. Goïi D laø giao ñieåm cuûa TT’ vaø AB. H vaø I laàn löôït laø trung ñieåm cuûa cuûa TT’ vaø AB a) CMR : .== b) Cho AB = 8 cm. Goïi (C1) laø ñöôøng troøn taâm A, baùn kính = 4 cm, (C2) laø ñöôøng troøn taâm B, baùn kính = 3cm. Tìm taäp hôïp N thoaû P N/(C1) + P N/(C2) = 15 Baøi 21: Cho (O;7), ñieåm I thoûa OI =11. Qua I veõ 2 caùt tuyeán IAB vaø ICD Cho IA = 12, tính IB Cho CD = 1; tính IC ; ID Baøi 22: Ñieåm I naèm trong (O;R), qua I veõ 2 daây AB vaø CD. Tính IC ; ID IA = 12 ; IB = 16 ; CD = 32 IA =12 ; IB = 18 ; Baøi 23: Cho (O;20) OM = 30, veõ tieáp tuyeán MT vaø caùt tuyeán MAB . Cho AB = 5 Tính MT ; MA ; MB Ñöôøng troøn ngoaïi tieáp DAOB caét MO taïi E. Tính OE Baøi 24: Cho (O;30); I ôû ngoaøi ñöôøng troøn , veõ 2 caùt tuyeán IAB vaø ICD ; tieáp tuyeán IT. Ñöôøng thaúng IO caét ñöôøng troøn taïi E vaø F . Cho IA = 54 ; IB = 96; IC = 64. Tính ID ; IT ; IO ; IE ; IF Baøi 25: Cho tam giaùc ABC coù 3 ñöôøng cao AA’ ; BB’ ; CC’ ñoàng quy taïi H CMR : == Baøi 26:Hai ñöôøng troøn (O) vaø (O’) caét nhau taïi A vaø B. M laø 1 ñieåm treân caïnh AB keùo daøi. Qua M laàn löôït veõ 2 tieáp tuyeán MT, MT’, 2 caùt tuyeán MCD, MC’D’ ñoái vôùi (O) vaø (O’) CMR MT = MT’ vaø CDD’C’ noäi tieáp Baøi 27: Cho tam giaùc ABC vuoâng taïi A vaø ñöôøng cao AH. Treân ñöôøng troøn taâm C, baùn kính CA laáy ñieåm M ( khoâng ôû treân ñöôøng BC keùo daøi). CMR ñöôøng thaúng CM tieáp xuùc vôùi (BHM) Baøi 28: tam giaùc ABC noäi tieáp trong (O), M laø trung ñieåm BC. Ñöôøng troøn ngoaïi tieáp tam giaùc AOM caét ñöôøng thaúng BC taïi 1 ñieåm thöù 2 laø E vaø caét (O) taïi D. AD caét BC taïi F.Chöùng minh raèng: a) = b) = c) EA tieáp xuùc vôùi (O) vaø ñöôøng troøn ngoaïi tieáp tam giaùc AMF Baøi 29: Cho P naèm ngoaøi (O), veõ caùt tuyeán PAB löu ñoäng,tieáp tuyeán vôùi (O) veõ töø A vaø B caét nhau M. Veõ MH vuoâng goùc vôùi OP. CMR : 5 ñieåm O , A , B, M , H ôû treân 1 ñöôøng troøn Tìm taäp hôïp M khi PAB quay quanh P c)Goïi I laø trung ñieåm AB, N laø giao ñieåm cuûa PAB vaø MH . CMR = Baøi 30: Cho ñöôøng troøn taâm O ñöôøng kính AB=2R. Treân ñöôøng thaúng AB laáy 1 ñieåm M ôû ngoaøi (O) sao cho MA = . Töø M veõ tieáp tuyeán MT Tính MT theo R b) Goïi TH laø ñöôøng cao trong DTMO. Chöùng minh raèng : = c) Tính ÃH/(O) d)Veõ caùt tuyeán MCD, CMR töù giaùc CDOH noäi tieáp e) AD vaø BC caét nhau taïi N. CMR : += 4R2 Baøi 31: Treân ñoaïn AB = 8, veõ (A,4) vaø (B,3). Tìm taäp hôïp M thoûa ÃM/(A) +ÃM/(B) = 15 Cho nöûa ñöôøng troøn taâm O ñöôøng kính AB . M, N laø 2 ñieåm cuøng phía treân tieáp tuyeán keû töø B. AM vaø AN caét (O) taïi M1 vaø N1. CMR töù giaùc MNN1M1 noäi tieáp Giaû söû AB = BN = 10; BM = 5. Tính AM ; AM1 ; AN1 ; sin M1AN1, M1N1 Baøi 32: M laø 1 dieåm treân nöûa ñöôøng troøn ñöôøng kính AB . H laø hình chieáu cuûa M xuoáng AB . Ñöôøng troøn ñöôøg kính MH caét MA ; MB taïi P,Q vaø caét nöûa ñöôøng troøn taïi E CMR töù giaùc APQB noäi tieáp CMR 3 ñöôøng AB ; PQ ; ME ñoàng quy Baøi 33: Cho 3 ñieåm A ; B ; C thaúng haøng theo thöù töï. AB = 5 ; BC = 7. Ñöôøng troøn di ñoäng qua A , B coù taâm laø O. Veõ 2 tieáp tuyeán CT ; CT’. Goïi D laø giao ñieåm TT’ vôùi AB. Goïi H; I laàn löôït laø trung ñieåm cuûa ñoïan TT’, AB Tìm taäp hôïp T; T’ CMR : == CMR : Ñieåm D coá ñònh. Suy ra taäp hôïp H Baøi 34 : Cho ñöôøng troøn taâm O ñöôøng kính BC = 4; A ngoaøi (O), AB = 6 ; AC = 5. AC , AB caét (O) taïi D vaø E Tính AO , AE , AD Qua A veõ AH ^BC vaø caét (O) taïi F ; K. Laáy M Î (O). Goïi BMÇAH = I ; CMÇAH = J Chöùng minh raèng = Baøi 35: Cho 2 ñöôøng troøn (O;10) ; (O’;20) tieáp xuùc ngoaøi taïi A. Tieáp tuyeán chung BB’ caét OO’ taïi I vaø caét tieáp tuyeán chung qua A taïi M Tính IO ; IO’ ; IB ; IB’ CMR: IA2 = IB.IB’. Suy ra OO’ tieáp xuùc ñöôøng troøn ñöôøng kính BB’ CMR : IM2 = IO.IO’. Suy ra BB’ tieáp xuùc ñöôøng troøn ñöôøng kính OO’ §3 : HEÄ THÖÙC LÖÔÏNG TRONG TAM GIAÙC A. toùm taét lyù thuyeát : · Caùc kyù hieäu trong D ABC B a A C c b ha ma Ñoä daøi : BC = a, CA = b, AB = c ma, mb, mc : ñoä daøi trung tuyeán öùng vôùi ñænh A,B,C ha, hb, hc : Ñoä daøi ñöôøng cao öùng vôùi ñænh A,B,C P = : nöõa chu vi D ABC S : dieän tích tam giaùc R,r : baùn kính ñöôøng troøn ngoaïi tieáp, noäi tieáp D. · Ñònh lyù Coâsin : a2 = b2 + c2 - 2bc cos A · Ñònh lyù sin : · Coâng thöùc trung tuyeán : · Coâng thöùc tính dieän tích a. S = a.ha = b.hb = c.hc b. S = b.c. sinA = c.a. sinB = a.b. sinC c. S = d. S = p.r e. S = ( Coâng thöùc Heâ – roâng) B . ví duï : Cho D ABC coù a = 7, b = 8, c = 5; tính : AÂ, S, ha, R, r, ma Giaûi : a2 = b2 + c2 - 2bc cosA Û 49 = 64 + 25 - 2.8.5 cos AÂ Û Cos A = ½ Þ AÂ = 600 S = ½ b.c.sinA = ½ 8.5. S = ½ a.ha Û ha = S = Û R = S = p.r Û r = = Þ ma = C: baøi taäp C 1: Traéc nghieäm Caâu1 : Cho tam giaùc ABC coù a= cm ; b= 2cm ; c= ( + 1) cm ; *. Khi ñoù soá ñoù goùc A laø a) 600 b) 450 c) 1200 d) 300 *. Khi ñoù soá ñoù goùc B laø a) 600 b) 450 c) 900 d) 300 *. Baùn kính ñöôøng troøn ngoaïi tieáp R laø : a) 2 cm b) cm c) cm d) 3 cm *. Chieàu cao ha laø : a) b) c) d) Caâu2 : Cho tam giaùc ABC coù b= 4 ; c = 5 ; goùc A = 1200 thì dieän tích laø a) S = 10 b) S = 5 c) S =5 d)S = 20 Caâu3 : Cho tam giaùc ABC coù b= 2 ; c = 3 ; a = thì giaù trò goùc A laø : a) 450 b) 600 c) 900 d)1200 Caâu 4: Cho tam giaùc ABC coù a= 8 ; c= 3 ; goùc B = 600. Ñoä daøi caïnh b laø bao nhieâu a) b = 49 b) b= c) b = 7 d)b= Caâu 5: Cho tam giaùc ABC coù a= 3 ; b= 7 ; c= 8 ; goùc B baèng bao nhieâu a) 600 b) 300 c) 450 d) 720 Caâu 6: Cho tam giaùc ABC vuoâng taïi A coù a= 10 cm ; c= 6cm ; baùn kính ñöôøng troøn noäi tieáp r laø a) 2 cm b) 1 cm c) cm d) 3 cm Caâu 7: Cho tam giaùc ABC coù a= 10 cm ; b= 6cm ; c= 8 cm ; ñöôøng trung tuyeán AM coù ñoä daøi a) 4 cm b) 5 cm c) 6cm d) 7 cm Caâu 8: Cho hình bình haønh ABCD coù AB = a ; BC = a vaø goùc BAC = 450 . Dieän tích hình bình haønh laø a) 2a2 b) a2 c) a2 d) a2 Caâu 9: Cho tam giaùc ABC coù b= 8 cm ; c= 5cm vaø goùc A = 600 . *. Caïnh BC laø a) 14cm b) 7cm c) 12cm d) 10cm *. Dieän tích tam giaùc : a) S = 10 b) S = 5 c) S = 10 d) S = 10 *. Baùn kính ñöôøng troøn ngoaïi tieáp R laø : a) R= b) R = c)R = d) R = 7 *. Chieàu cao ha laø : a) ha= b) ha= c) ha = d) ha = C2 : Töï luaän Baøi 1: Cho tam giaùc ABC 1) a=5 ; b = 6 ; c = 7. Tính S, ha, hb , hc . R, r 2) a= 2 ; b= 2; c= -. Tính 3 goùc 3) b=8; c=5; goùc A = 600. Tính S , R , r , ha , ma 4) a=21; b= 17;c =10.Tính S, R , r , ha , ma A = 600; hc = ; R = 5 . tính a , b, c A=1200;B =450 ;R =2. tính 3 caïnh a = 4 , b = 3 , c = 2. Tính SABC, suy ra SAIC ( I trung ñieåm AB) Cho goùc A nhoïn, b = 2m,c = m , S = m2. Tính a . la C = 3 , b = 4 ; S = 3. Tính a Neáu A = 900. CMR: *. la = *.r = ) *. *. M ÎBC; goùc BAM = a. CMR: AM = 11) Cho A=1200. CMR : 12) CMR : *. cotA + cotB + cotC = *. 13) . Tam giaùc ABC laø tam giaùc gì 14) S = p(p – c) . Tam giaùc ABC laø tam giaùc gì 15) S = (a + b – c)(a + c - b). Tam giaùc ABC laø tam giaùc gì 16) acosB = bcosA. Tam giaùc ABC laø tam giaùc gì 17) mb2 +mc2 = 5ma2 . Tam giaùc ABC laø tam giaùc gì 18) . Tam giaùc ABC laø tam giaùc gì 19) Cho AB = k . Tìm taäp hôïp M thoûa MA2 + MB2 = 20) Goïi G laø troïng taâm tam giaùc . Chöùng minh raèng *.GA2 + GB2 + GC2 = 1/3 (a2+ b2+ c2) *. ma2 +mb2 +mc2 = (a2 +b2 +c2) *. 4ma2= b2 + c2 + 2bc.cosA 21) CMR S =2R2sinA.sinB.sinC S=Rr(sinA + sinB + sinC) a =b.cosC + c.cosB ha = 2RsinBsinC sinB.cosC +sinC.cosB = sinA 22) Chöùng minh raèng . Neáu daáu “=” xaûy ra thì ABC laø tam giaùc gì ? 23) Cho b + c = 2a . Chöùng minh raèng 24) Ñònh x ñeå x2+x+1 ; 2x+1 ;x2 -1 laø 3 caïnh tam giaùc. Khi ñoù CMR tam giaùc coù goùc = 1200 25) Ñöôøng troøn noäi tieáp tieáp xuùc 3 caïnh tam gíac taïi A1;B1;C1. CMR : SA1B1C1 = 26) 2 trung tuyeán BM = 6, CN = 9 vaø hôïp vôùi nhau 1 goùc 1200 tính caùc caïnh cuûa D ABC Baøi 2: Cho töù giaùc ABCD. Goïi a laø goùc hôïp bôûi 2 ñöôøng cheùo AC vaø BD. CMR SABCD = AC.BD.sina Veõ hình bình haønh ABDC’. Chöùng minh raèng : SABCD = SACC’ Baøi 3: Cho töù giaùc ABCD coù I, J laàn löôït laø trung ñieåm cuûa 2 ñöôøng cheùo AC vaø BD. Chöùng minh raèng : AB2 + BC2 +CD2 + DA2 = AC2 + BD2 + 4 IJ2 Baøi taäp oân chöông: Traéc nghieäm : Töø baøi 1 ñeán 16 trang 71 Saùch naâng cao Töï luaän: Töø baøi 1 ñeán 12 trang 69 Saùch naâng cao