Bài giảng Xác suất và thống kê

Comunicación y Gerencia NGUYỄN VĂN ĐẮC BÀI GIẢNG XÁC SUẤT & THỐNG KÊ Giới thiệu môn học Lý thuyết xác suất là ngành khoa học ra đời vào nửa cuối thế kỷ thứ 17 ở nước Pháp, đối tượng nghiên cứu là các quy luật của hiện tượng ngẫu nhiên. Hơn 300 năm tồn tại và phát triển, đến nay lý thuyết này đã có nội dung vô cùng phong phú, được áp dụng trong nhiều ngành khoa học cũng như trong cuộc sống đời thường. Thống kê toán học(TKTH) là khoa học về các phương pháp toán học để xử lí các kết quả thực nghiệm hoặc các dữ liệu thống kê nhằm rút ra các kết luận khoa học và thực tiễn. Để có được những phán đoán chính xác, TKTH phải dựa vào lí thuyết xác suất. Giới thiệu môn học Mục đích của môn học Xác suất & thống kê trong chương trình đào tạo tại các trường kỹ thuật là trang bị cho kỹ sư tương lai những khái niệm và kết quả cơ bản của lý thuyết xác suất & thống kê toán học, nhằm giúp người học tiếp thu các môn học có liên quan và cung cấp cách thức thu thập xử lý số liệu trong quá trình công tác sau này. Nội dung môn học Chương I Biến cố và xác suất của biến cố Chương II Biến ngẫu nhiên và phân phối xác suất Chương III Kỳ vọng toán Chương IV Một số phân phối xác suất thường gặp Chương V Mẫu ngẫu nhiên và phân phối của một số thống kê cơ bản Chương VI Ước lượng tham số Chương VII Kiểm định giả thiết Chương VIII Hồi quy và tương quan tuyến tính Tài liệu tham khảo [1] Ronald E. Walpole, Raymond H.Myers và Sharon L.Myers, Xác suất và thống kê dành cho kỹ sư và nhà khoa học(Bản dịch lần 1 của Bộ môn ĐS-XS&TK ĐHTL). [2] Morris H. DeGroot, Mark J. Schervish, Probability and Statistics(Third edition). [3] Đặng Hùng Thắng, Mở đầu về lí thuyết xác suất và các ứng dụng,Nhà XBGD,1997. [4] Trần Mạnh Tuấn, Xác suất & Thống kê lý thuyết và thực hành tính toán, Nhà xuất bản ĐHQGHN, 2004. Chương I BIẾN CỐ VÀ XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ I.1 Phép thử và không gian mẫu I.2 Biến cố và các phép toán biến cố I.3 Định nghĩa xác suất của một biến cố I.4 Quy tắc cộng xác suất I.5 Xác suất điều kiện I.6 Quy tắc nhân xác suất I.7 Công thức xác suất đầy đủ và công thức Bayes. I.1 Phép thử và không gian mẫu Phép thử ngẫu nhiên là một khái niệm không có định nghĩa. Nó là danh từ để đặt tên cho một hành động hoặc một quá trình mà ta không thể đoán trước được kết quả của nó. Phép thử ngẫu nhiên được gọi tắt là phép thử. Mỗi phần tử trong không gian mẫu là một kết quả của phép thử hoặc là một điểm mẫu. Ví dụ I.1 Tung một đồng xu. Không gian mẫu Ví dụ I.2 Lấy ngẫu nhiên hai số x, y trong [0, 2]. Không gian mẫu là S = { (x, y) | 0 ≤ x ≤ 2 và 0 ≤ y ≤ 2}. Ví dụ I.3 Tung một con xúc xắc. + Nếu ta quan tâm đến số chấm xuất hiện, thì không gian mẫu là S1 = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. + Nếu ta quan tâm đến số chẵn chấm hay số lẻ chấm xuất hiện, thì không gian mẫu là S2 = {C, L}. Ví dụ I.4 Tung một đồng xu, nếu mặt ngửa xuất hiện ta tung đồng xu đó lần thứ hai còn mặt sấp xuất hiện ta tung một con xúc xắc. Hãy xác định không gian mẫu? Như vậy không gian mẫu là S = {NN, NS, S1, S2, S3, S4, S5, S 6}. I.2 Biến cố và các phép toán biến cố Định nghĩa Mỗi tập con của không gian mẫu được gọi là một biến cố. + Dùng A, B, C, A1, A2,… để ký hiệu cho biến cố. + Đặc biệt, sự kiện không bao giờ xảy ra khi thực hiện phép thử thì được ký hiệu bởi  và gọi là biến cố không, còn sự kiện chắc chắn sẽ xảy ra khi thực hiện phép thử thì được ký hiệu bởi S và gọi là biến cố chắc chắn. + Mỗi điểm mẫu cũng là một biến cố, người ta còn gọi là mỗi điểm mẫu là một biến cố sơ cấp. Định nghĩa Ví dụ I.5 Gieo hai đồng xu một lần. Không gian mẫu là S = {SS, SN, NS, NN}. Đặt A = {SS, SN, NS}, B = {NN}, C = {SN, NS, NN}. a) Biến cố nào kéo theo biến cố nào? Biến cố nào tương đương với biến cố “có ít nhất một lần xuất hiện mặt ngửa”? b) Tìm biến cố đối của B? c) Hãy phát biểu bằng lời biến cố giao của A và B. Hai biến cố A và B có xung khắc? d) Xác định biến cố A + B. Ví dụ I.6 Ba xạ thủ A, B, C bắn mỗi người một viên đạn vào một mục tiêu. Gọi A, B, C lần lượt là các biến cố “ xạ thủ A bắn trúng”, “xạ thủ B bắn trúng”, “xạ thủ C bắn trúng”. i) Hãy mô tả bằng lời các biến cố sau ABC, A’B’C’, A+B+C. ii) Xét các biến cố sau D = “Có ít nhất hai xạ thủ bắn trúng” E = “Có nhiều nhất một xạ thủ bắn trúng” F = “Chỉ có một xạ thủ bắn trúng” G = “chỉ có xạ thủ C bắn trúng”. Hãy biểu diễn các biến cố này theo các biến cố A, B, C. CÁC TÍNH CHẤT CỦA PHÉP TOÁN BIẾN CỐ I.3 Định nghĩa xác suất của một biến cố Blaise Pascal Pierre de Fermat Vào năm 1651, Blaise Pascal nhận được bức thư của nhà quý tộc Pháp, De Méré, nhờ ông giải quyết các rắc rối nảy sinh trong trò chơi đánh bạc. Pascal đã toán học hoá các trò trơi đánh bạc này, nâng lên thành những bài toán phức tạp hơn và trao đổi với Fermat, một nhà toán học. Những cuộc trao đổi đó đã nảy sinh ra Lí thuyết xác suất – Lí thuyết toán học về các hiện tượng ngẫu nhiên. Gottfried Wilhelm Leibniz James BERNOULLI * James BERNOULLI là người phát minh ra Luật Số Lớn. Chính vì lý do đó, ngày nay Hội Xác Suất Thống Kê Thế Giới mang tên BERNOULLI * Leibniz có nhiều công lao trong việc xây dựng lý thuyết xác suất Nếu số phần tử trong không gian mẫu là đếm được (nội dung còn lại chỉ đề cập đến loại không gian này), thì: Giả sử không gian mẫu của một phép thử là S = {s1, s2, s3,…}. Từ đặc điểm của phép thử, ta gán cho mỗi điểm mẫu si số thực pi với điều kiện pi thuộc [0; 1] và tổng các pi bằng 1, gọi pi là xác suất của si. Tổng xác suất của các điểm mẫu trong A được gọi là xác suất của A (the probability of A), ký hiệu P(A). Định nghĩa Cho phép thử với không gian mẫu S mà mỗi điểm mẫu đã được gán xác suất và A là một biến cố của phép thử. P(A) := tổng xác suất của các điểm mẫu trong A. 0 ≤ P(A) ≤ 1 P(S) = 1 và P() = 0. Ví dụ I.7 Một con xúc xắc được đổ chì sao cho khả năng xuất hiện mặt có số chấm chẵn gấp đôi khả năng xuất hiện mặt có số chấm lẻ. Gieo con xúc xắc đó một lần. Đặt A = “số chấm xuất hiện nhỏ hơn 4” B = “số chấm xuất hiện là chẵn” C = “số chấm xuất hiện chia hết cho 3”. a) Tính P(A)? b) Tính P(A+B), P(AC)? Ví dụ I.8 Gieo một đồng xu cân đối hai lần. Tính xác suất để ít nhất một lần mặt ngửa xuất hiện? Ví dụ I.9 Một đống kẹo trộn lẫn 6 chiếc bạc hà, 4 chiếc kẹo bơ, và 3 chiếc chocolate. Chọn ngẫu nhiên một chiếc từ đống kẹo này, hãy tìm xác suất để được một chiếc bạc hà; một chiếc kẹo bơ hoặc một chocolate. Ví dụ I.10 Rút ngẫu nhiên 5 cây từ bộ bài 52 cây, hãy tìm xác suất để được 2 cây Át và 3 cây J. Nếu số phần tử trong không gian mẫu là vô hạn không đếm được, các phần tử đồng khả năng xảy ra và không gian mẫu được biểu diễn bằng miền hình học S còn biến cố A được biểu diễn bởi miền hình học D, thì P(A) := (số đo miền D)/(số đo miền S). Nếu không rơi vào hai trường hợp trên, thì ta làm như sau: Thực hiện phép thử n lần, k = số lần biến cố A xuất hiện tần suất của A = Khi n tăng dần, nếu k/n dần tới một số xác định po, thì ta gán xác suất cho A là po. I.4 Quy tắc cộng xác suất P(A + B) = P(A) +P(B) P(A+B) = P(A) + P(B) – P(AB) Quy tắc cộng Nếu A và B là hai biến cố bất kỳ, thì P(A+B) = P(A) + P(B) – P(AB). Hệ quả • Nếu A, B, C là ba biến cố bất kỳ, thì P(A + B + C) = P(A) + P(B) + P(C) – P(AB) - P(BC) - P(CA) + P(ABC). • Nếu A và B xung khắc, thì P(A+B) = P(A) + P(B). Suy ra P(A) + P(A’) = 1. Tổng quát: Nếu A1, A2, …, An là các biến cố đôi một xung khắc thì P(A1 + A2 + … + An) = P(A1) + P(A2) + … + P(An). Nếu A1, A2, …, An là các biến cố đôi một xung khắc và tổng bằng S(thường gọi là một phân hoạch của S), thì P(A1) + P(A2) + + P(An) = 1. Ví dụ I.11 Một lớp học có 100 sinh viên, trong đó có 54 sinh viên học toán, 69 sinh viên học lịch sử và 35 sinh viên học cả lịch sử và toán. Chọn ngẫu nhiên một sinh viên. Tính xác suất để: a) Sinh viên đó học toán hoặc lịch sử. b) Sinh viên đó không học toán và không học lịch sử. Ví dụ I.12 Cho A, B, C là các biến cố sao cho P(A) = 0.5 P(B) = 0.7 P(C) = 0.6 P(AB) = 0.3 P(BC) = 0.4 P(CA) = 0.2 và P(ABC) = 0.1. a) Tính xác suất để cả ba biến cố đều không xảy ra; b) Tính xác suất để có đúng hai biến cố trong ba biến cố xảy ra; c) Tính xác suất để có đúng một trong ba biến cố xảy ra. Những nội dung chính • Khái niệm phép thử, biến cố, mối quan hệ giữa các biến cố và các phép toán biến cố. • Định nghĩa xác suất cuả một biến cố. • Quy tắc cộng xác suất P(A+B) = P(A) + P(B) – P(AB). Bài tập tuần 1 và đáp số * Bài tập: 2.1 Không gian mẫu, 2.2 Biến cố 1.1 (1.t25) 1.2 (4.t26) 1.3 (6.t26) 1.4 (17.t28) * Bài tập: 2.3 Đếm các điểm mẫu 1.5 (5.t35) (ĐS: 20) 1.6 (6.t35) (ĐS: (a) 21, (b) 15 1.7 (9.t35) (ĐS: 210) * Bài tập: 2.4 Xác suất của một biến cố 1.8 (3.t43) (ĐS: 0,85) 1.9 (11.t44) (ĐS: 65/663) 1.10 (9.t44) (ĐS:10/117) 1.11 (10.t44) (ĐS: (a) 5/36 (b) 10/36) 1.12 (12.t44) (ĐS: (a) 1/3 (b) 5/42). * Bài tập: 2.5 Quy tắc cộng 1.13 (5.t43) (ĐS: (a) 0,3 (b) 0,2) 1.14 (6.t43) (ĐS: (a) 0,75 (b) 0,25). 1.15 (8.t43) (ĐS: (a) 0,22 (b) 0,8) 1.16 (15.t44) (ĐS: (a) 0,35 (b) 0.65 c) 0.12