Bài giảng Vật lí 2 - Cơ sở học lượng tử - Lê Quang Nguyên

Cơ sở Cơ Học Lượng Tử Lê Quang Nguyên www4.hcmut.edu.vn/~leqnguyen nguyenquangle59@yahoo.com Nội dung 1. Lưỡng tính sĩng-hạt của vật chất 2. Phương trình Schrưdinger 3. Hạt trong giếng thế vơ hạn một chiều 4. Hệ thức bất định Heisenberg 5. Kính hiển vi quét dùng hiệu ứng đường ngầm (STM) 1. Lưỡng tính sĩng hạt của vật chất a. Giả thuyết De Broglie b. Ví dụ c. Kiểm chứng d. Ứng dụng e. Bản chất của sĩng vật chất f. Bài tập Louis De Broglie 1892-1987 1a. Giả thuyết De Broglie • Ánh sáng cĩ lưỡng tính sĩng-hạt. • Các hạt vật chất phải chăng cũng cĩ lưỡng tính sĩng-hạt? • De Broglie, 1923 − các hạt vật chất cũng là sĩng, bước sĩng vật chất (hay sĩng De Broglie) của một hạt cĩ động lượng p là: h p λ = CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 1b. Ví dụ 1 • Voi Dumbo khối lượng 1000 kg, bay với vận tốc 10 m/s sẽ cĩ bước sĩng De Broglie là bao nhiêu? • Bước sĩng này quá nhỏ để cĩ thể quan sát được. 34 38 3 6,626 10 6,626 10 10 10 h J s m p kg m s λ − − × ⋅ = = = × × 1b. Ví dụ 2 • Bước sĩng De Broglie của một hạt bụi khối lượng 10−9 kg rơi với vận tốc 0,020 m/s. • Bước sĩng này cũng quá nhỏ để cĩ thể quan sát được. • Các hạt vĩ mơ khơng thể hiện rõ tính sĩng. 34 23 9 6,626 10 3,313 10 10 0,020 h J s m p kg m s λ − − − × ⋅ = = = × × 1b. Ví dụ 3 • Một electron trong mạch điện hay trong nguyên tử cĩ động năng trung bình vào khoảng 1 eV, cĩ bước sĩng De Broglie bằng: • Bước sĩng này vào cỡ kích thước của nguyên tử nên cĩ thể quan sát được. • Các hạt vi mơ thể hiện rõ tính sĩng. ( ) ( ) 34 31 19 9 6,626 10 2 2 9,11 10 1,6 10 10 10Å h J s mK kg J m λ − − − − × ⋅ = = × ⋅ × ⋅ = = 1c. Kiểm chứng thực nghiệm 1 • Davisson và Germer, 1927: electron cĩ thể nhiễu xạ trên tinh thể Nickel giống như tia X vậy. • Nhiễu xạ của electron trên tinh thể cũng tuân theo định luật Bragg. • Bước sĩng electron đo được phù hợp với giả thuyết De Broglie. CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 1c. Kiểm chứng thực nghiệm 2 • G. P. Thomson, 1927: electron cĩ thể nhiễu xạ trên màng mỏng kim loại, tạo ra vân trịn tương tự như tia X nhiễu xạ trên bột đa tinh thể. Electron Tia X 1c. Kiểm chứng thực nghiệm 3 • Zeilinger et al., 1988: Nhiễu xạ neutron trên hai khe. 1c. Kiểm chứng thực nghiệm 4 • Sĩng dừng của electron trên bề mặt đồng, ảnh chụp bằng Scanning Tunneling Microscope (IBM Almaden Research Center). 1d. Ứng dụng của sĩng De Broglie • Kính hiển vi điện tử dùng sĩng electron thay cho sĩng ánh sáng, cĩ độ phĩng đại lên đến 2 triệu lần. • Nhiễu xạ electron, nhiễu xạ neutron được dùng để tìm hiểu cấu trúc vật chất, tương tự như nhiễu xạ tia X. CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 1e. Bản chất của sĩng De Broglie − 1 • Giao thoa của sĩng electron trên hệ hai khe: 100 electrons 3000 electrons 70 000 electrons Nơi hạt đến nhiều cũng là nơi cĩ cường độ sĩng lớn. Càng nhiều hạt, quy luật sĩng càng rõ. 1e. Bản chất của sĩng De Broglie − 2 • Max Born, 1928: sĩng vật chất là sĩng xác suất. • Bình phương biên độ hàm sĩng ở một vị trí thì tỷ lệ với xác suất tìm thấy hạt tại đĩ. • Gọi Ψ(x,y,z) là hàm sĩng vật chất tại vị trí (x,y,z) của một hạt, dV là một thể tích nhỏ bao quanh vị trí này, xác suất tìm thấy hạt trong thể tích dV là: • |Ψ(x,y,z)|2 là mật độ xác suất của hạt tại (x,y,z). ( ) 2, ,dP x y z dV= Ψ 1e. Bản chất của sĩng De Broglie − 3 • Ψ(x,y,z) là một số phức, nên ta cịn cĩ: • Xác suất tìm thấy hạt trong tồn bộ khơng gian V, trong đĩ hạt tồn tại, phải bằng đơn vị, do đĩ: • Đĩ là điều kiện chuẩn hĩa của hàm sĩng vật chất. ( ) 2 *, ,x y zΨ =Ψ⋅Ψ ( ) 2, , 1 V x y z dVΨ =∫ 1f. Bài tập 1 • Hình bên cho thấy sĩng dừng trong một lị vi ba, màu xám là nơi sĩng điện từ bằng khơng, cịn màu trắng và đen là nơi sĩng cực đại. • Hãy so sánh mật độ photon ở các vị trí A, B và C trên củ cà-rốt. CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 1f. Bài tập 1 • Mật độ hạt (hay xác suất) tỷ lệ với bình phương biên độ sĩng vật chất (sĩng điện từ đối với photon). • Biên độ sĩng cực đại ở A và C, • do đĩ mật độ photon cũng cực đại ở A và C. 1f. Bài tập 2 Hàm sĩng của một hạt bị “giam” trong khoảng từ 0 đến L là Asin(πx/L), A là một hằng số. Xác suất tìm thấy hạt ở vị trí nào sau đây là lớn nhất? (a) L/4 (b) L/2 (c) 3L/4 (d) L 1f. Trả lời bài tập 2 • Mật độ xác suất: • w = A2sin2(πx/L) • Cực trị của w được cho bởi: • sin(πx/L)cos(πx/L) = 0 • πx/L = 0, π/2, π • x = 0, L/2, L • w cực đại ứng với x = L/2. • Câu trả lời đúng là (b). L/2 Hàm sĩng Mật độ xác suất 1f. Bài tập 3 Bước sĩng De Broglie của một electron được tăng tốc khơng vận tốc đầu bởi hiệu điện thế U bằng: (a) (b) (c) (d) 2 e h m eU e h m eU 2 2 e h m eU 2 e h m eU CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 1f. Trả lời bài tập 3 • Động năng của electron sau khi tăng tốc: • Suy ra động lượng: • Vậy bước sĩng De Broglie là: • Câu trả lời đúng là (a). 2 2 e p K eU m = = 2 ep m eU= 2 e h m eU λ = 2. Phương trình Schrưdinger a. Phương trình Schrưdinger tổng quát b. Phương trình Schrưdinger dừng c. Hàm sĩng của hạt tự do Erwin Schrưdinger 1887-1961 2a. Phương trình Schrưdinger tổng quát • Hàm sĩng Ψ(x,y,z,t) của một hạt khối lượng m, chuyển động trong trường cĩ thế năng U(x,y,z,t) thỏa phương trình Schrưdinger tổng quát: • trong đĩ ħ = h/2π, và Δ là Laplacian: 2 2 i U t m  ∂Ψ = − ∆+ Ψ ∂   ℏ ℏ 1i = − 2 2 2 2 2 2x y z ∂ ∂ ∂∆ = + + ∂ ∂ ∂ 2b. Phương trình Schrưdinger dừng • Khi thế năng U khơng phụ thuộc vào thời gian thì nghiệm của phương trình Schrưdinger cĩ thể viết dưới dạng: • với E là năng lượng của hạt, Φ(x,y,z) là hàm sĩng dừng, thỏa phương trình Schrưdinger dừng: ( ) ( ), , , , , E i t x y z t e x y z − Ψ = Φℏ 2 2 U E m   − ∆+ Φ = Φ    ℏ ( )22 0m E U∆Φ+ − Φ = ℏ CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 2c. Hàm sĩng của hạt tự do − 1 • Phương trình Schrưdinger dừng của một hạt tự do chuyển động theo dọc trục x: • với E bây giờ là động năng của hạt. Phương trình này cĩ nghiệm tổng quát là: 2 2 2 2 0 m E x ∂ Φ + Φ = ∂ ℏ ikx ikxAe Be−Φ = + 2 2mE p k = = ℏ ℏ 2c. Hàm sĩng của hạt tự do − 2 • Hàm sĩng ứng với số hạng thứ nhất: • là một sĩng phẳng truyền theo trục x > 0, cĩ tần số gĩc ω, vectơ sĩng k, và bước sĩng phù hợp với giả thuyết De Broglie: ( )E p ii t i x Et px e Ae Ae − − − Ψ = ⋅ =ℏ ℏ ℏ ( )i t kxAe ω− −Ψ = E p kω = = ℏ ℏ 2 h k p piλ = = 3. Hạt trong giếng thế vơ hạn một chiều a. Giếng thế vơ hạn một chiều b. Năng lượng bị lượng tử hĩa c. Hàm sĩng d. Bài tập 3a. Giếng thế vơ hạn một chiều • Hạt chuyển động trong giếng thế vơ hạn một chiều cĩ thế năng xác định bởi : • trong đĩ a là độ rộng của giếng thế. 0 0 0, x a U x x a < < =  ∞ ≤ ≥ 0 a U → ∞ x CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 3b. Năng lượng bị lượng tử hĩa − 1 • Sĩng vật chất chuyển động lui tới giữa hai vách giếng thế, tạo nên sĩng dừng. • Khi đĩ bề rộng của giếng thế phải là một bội số của một nửa bước sĩng: • Suy ra động lượng hạt: 1,2 2 a n n λ = = 2 2 h h h p n a n aλ= = = n = 1 n = 2 n = 3 a 3b. Năng lượng bị lượng tử hĩa − 2 • Do đĩ năng lượng của hạt là: • Năng lượng hạt đã bị lượng tử hĩa. • Số n được gọi là số lượng tử năng lượng. • Mức năng lượng thấp nhất, ứng với n = 1, là khác khơng, trái với quan niệm cổ điển. 2 2 2 22 8n p h E n m ma = = 3b. Năng lượng bị lượng tử hĩa − 3 n = 1 n = 2 n = 3 n = 4 0 a x a = λ/2 a = 2(λ/2) a = 3(λ/2) U → ∞ 3c. Hàm sĩng − 1 • Phương trình Schrodinger dừng của hạt trong giếng thế: • Phương trình này cĩ nghiệm tổng quát: 2 2 2 2 0 m E x ∂ Φ + Φ = ∂ ℏ ( ) ( ) ( )sin cosx A kx B kxΦ = + 2k mE p= =ℏ ℏ CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 3c. Hàm sĩng − 2 • Hàm sĩng ở ngồi giếng là bằng khơng, vì hạt bị giam trong giếng thế vơ hạn. • Ngồi ra, để hàm sĩng biến thiên liên tục thì ở hai vách giếng nĩ cũng phải bằng khơng: ( ) ( )0 0, 0aΦ = Φ = ( ) ( ) ( )0 sin 0 cos 0 0 0A B BΦ = + = ⇒ = ( ) ( ) ( )sin 0 sin 0a A ka kaΦ = = ⇒ = 1,2k n a npi= = 3c. Hàm sĩng − 3 • Hàm sĩng dừng phụ thuộc vào n: • Vì k bị lượng tử hĩa nên năng lượng cũng vậy: • Từ điều kiện chuẩn hĩa ta tìm được hằng số A: ( ) sinn x A n x a pi Φ =     ( )2 2 2 22 2 2 22 2 8n k h E n n m ma ma pi = = = ℏ ℏ ( ) 2 sinn x n x a a pi Φ =     3c. Hàm sĩng − 4 • Hàm sĩng (phụ thuộc thời gian) sẽ là: • Mật độ xác suất của hạt (độc lập với thời gian): ( ) 2, exp sinnn Ex t i t n x a a pi   Ψ = −      ℏ ( ) 2 * 22, sinn n nx t n x a a pi Ψ =Ψ ⋅Ψ =     3c. Hàm sĩng − 5 Mật độ xác suất Hàm sĩng dừng n = 1 n = 2 n = 3 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 3d. Bài tập 1 Một vi hạt khối lượng m, chuyển động trên trục x trong trường thế cĩ dạng hố thế cao vơ hạn, bề rộng a. Khi hạt cĩ năng lượng: thì khả năng tìm thấy hạt là lớn nhất ở tọa độ x bằng: (a) a/4 và 3a/4 (b) a/2 (c) a/4 (d) 3a/4 2 2 22E mapi= ℏ 3d. Trả lời bài tập 1 • Năng lượng của vi hạt trong hố thế vơ hạn: • En = n2π2ħ2/2ma2 • Trong trường hợp đang xét: • E = 2π2ħ2/ma2 • n = 2, câu trả lời đúng là (a). Mật độ xác suất Hàm sĩng dừng n = 1 n = 2 n = 3 3d. Bài tập 2 Xét một vi hạt trong giếng thế cao vơ hạn, bề rộng a. Ở vị trí nào sau đây thì xác suất tìm thấy hạt ở trạng thái n = 1 và n = 2 là như nhau (trừ tại hai vách giếng thế): (a) a/3 (b) 2a/3 (c) (a) và (b) đúng. (d) (a) và (b) sai. 3d. Trả lời bài tập 2 • Ở vị trí cần tìm mật độ xác suất của hai trạng thái là như nhau: • w1 = w2 • sin2(πx/a) = sin2(2πx/a) • cos(πx/a) = ±1/2 • πx/a = π/3, 2π/3 • x = a/3, 2a/3 • Câu trả lời đúng là (c). a/3 2a/3 w2 w1 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 3d. Bài tập 3 Một electron trong một giếng thế vơ hạn cĩ bề rộng 2 nm chuyển từ mức cĩ n = 5 xuống mức cĩ n = 3. Bước sĩng của photon phát ra là: (a) 97,8 nm (b) 824 nm (c) 2 nm (d) 8971 nm 3d. Trả lời bài tập 3 • Khi electron chuyển từ mức n2 về mức n1 thì nĩ phát ra một photon cĩ năng lượng: • Suy ra bước sĩng của photon: ( ) 2 1 2 2 2 2 1 28n n c h h E E n n maλ = − = − 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 8 1 8 hc cma h ma n n h n n λ = ⋅ = ⋅ − − 3d. Trả lời bài tập 3 (tt) • λ = 824 nm, câu trả lời đúng là (b). ( )( )( )28 31 9 34 2 2 8 3 10 / 9,1 10 2 10 1 6,626 10 5 3 m s kg m J s λ − − − × ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ − 4. Hệ thức bất định Heisenberg a. Hệ thức bất định của vị trí và động lượng b. Ví dụ c. Hệ thức bất định của thời gian và năng lượng d. Hiệu ứng đường ngầm Werner Heisenberg 1901-1976 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 4a. Bất định của vị trí và động lượng • Giữa độ bất định (độ chính xác) của tọa độ và động lượng cĩ hệ thức: • Khơng thể xác định được chính xác đồng thời tọa độ và động lượng của các vi hạt. • Khơng thể xác định quỹ đạo vi hạt. x y z x p h y p h z p h ∆ ⋅∆ > ∆ ⋅∆ > ∆ ⋅∆ > ɶ ɶ ɶ 4b. Ví dụ 1 • Một electron cĩ vận tốc bằng 2,05 × 106 m/s, được đo với độ chính xác là 1,5 %. Tìm Δx. • Động lượng của electron: • Độ bất định động lượng: • Δx ~ 200 lần kích thước nguyên tử ! 82,4 10 24 x h x m nm p −∆ > = × = ∆ ɶ 31 6 24 (9,11 10 ) (2,05 10 ) 1,87 10 . p mv kg m s kgm s − − = = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ 261,5% 2,80 10 .p p kgm s−∆ = = ⋅ 4b. Ví dụ 2 • Electron trong nguyên tử cĩ Δx ~ kích thước của nguyên tử, tức là 0,1 nm. Tìm Δp. • Electron trong nguyên tử cĩ động năng vào khoảng 1 eV, do đĩ cĩ động lượng : • Δp ~ 10 p ! 34 24 9 6,626 10 6,626 10 . 0,1 10x h J s p kg m s x m − − − ⋅ ⋅∆ > = = ⋅ ∆ ⋅ ɶ ( ) ( )31 19 25 2 2 9,11 10 1,6 10 5,4 10 . xp mK kg J kg m s − − − = = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = × 4b. Ví dụ 3 • Một quả banh golf cĩ khối lượng 45 g đang bay với vận tốc 35 m/s. Vận tốc được đo với độ chính xác là 1,5 %. Tìm Δx. • Làm tương tự như trong Ví dụ 1, ta suy ra độ bất định về vị trí của quả banh: • Độ bất định này rất nhỏ: với các vật vĩ mơ vẫn xác định được chính xác đồng thời vị trí và động lượng. 323 10x m−∆ > ×ɶ CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 4b. Ví dụ 4 • Bĩ sĩng là tổ hợp tuyến tính của nhiều sĩng hình sin cĩ động lượng rất gần nhau. • Phân bố của động lượng càng rộng (Δp lớn), • thì bĩ sĩng càng hẹp (Δx nhỏ). 4c. Bất định của thời gian và năng lượng • Gọi Δt là thời gian hạt tồn tại ở một trạng thái; • ΔE là độ bất định của năng lượng hạt ở trạng thái đĩ. • Giữa chúng cĩ hệ thức: • Độ bất định năng lượng của một trạng thái càng lớn thì thời gian tồn tại của trạng thái đĩ càng ngắn. • Do đĩ một bĩ sĩng khơng thể tồn tại lâu. t E h∆ ⋅∆ >ɶ 4d. Hiệu ứng đường ngầm – 1 • Xét một hạt bị giam trong giếng thế cĩ độ sâu U. • Giả sử trạng thái hạt là khơng bền, chỉ tồn tại trong thời gian rất ngắn Δt ≈ h/U . • Trong khoảng thời gian đĩ độ bất định năng lượng của hạt là : • Hạt cĩ độ bất định năng lượng lớn hơn độ sâu giếng thế, do đĩ cĩ thể thốt ra khỏi giếng thế! h h E U t h U ∆ > = = ∆ ɶ 4d. Hiệu ứng đường ngầm – 2 U ΔE E CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 4d. Hiệu ứng đường ngầm – 3 • Hiệu ứng cũng xảy ra đối với một rào thế (hay tường thế). Hạt cĩ thể chui qua rào dù cĩ năng lượng nhỏ hơn chiều cao của rào thế. • Xác suất vượt rào (hệ số truyền qua) là: • Minh họa. ( )02exp 2aD m U E ≈ − −   ℏ 0 a U0 x E 5. Scanning Tunneling Microscope Minh họa Khi quét trên bề mặt mẫu đầu kim được kéo lên hay hạ xuống thấp để giữ cho dịng e- chui ngầm khơng đổi. Độ cao của đầu kim được hiển thị trên màn hình, đĩ chính là hình ảnh bề mặt mẫu. CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt