Bài giảng Trường điện từ - Bài 4: Trường điện tĩnh (1) - Trần Quang Việt

1 Tran Quang Viet – FEEE – HCMUT Electromagnetics Field Trường điện tĩnh (1) Lecture 4 EE 2003: Trường điện từ L.O.2.1 – Dùng luật Gauss tính trường điện tĩnh tạo ra do các phân bố điện tích đx. L.O.2.2 – Thiết lập phương trình Poisson-Laplace và điều kiện biên, sau đó áp dụng tính thế và trường điện tĩnh. EE 2015 : Signals & Systems  Tran Quang Viet – FEEE - HCMUT Tran Quang Viet – F – Electroma etics Field Trường điện tĩnh & mô hình toán Trường điện tĩnh là trường điện không thay đổi theo thời gian và không có mặt của dòng điện, thỏa mãn các phương trình sau: Vậy trường điện tĩnh được tạo ra bởi các vật mang điện tích không thay đổi theo thời gian r 0D εE ε E     Phương trình liên hệ: v rot E 0 (II) divD ρ (III)        Các phương trình Maxwell: 1t 2t 1n 2n S E E 0 D D ρ      Các điều kiện biên: CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 2EE 2015 : Signals & Systems  Tran Quang Viet – FEEE - HCMUT Tran Quang Viet – F – Electroma etics Field Tính chất thế của trường điện tĩnh A B a b Xét phương trình (II) của hệ pt Maxwell rot E 0   Lấy tích phân 2 phương trình trên ta có: rot EdS 0 AaBbAS    Edl 0 AaBbA     Edl EdlAaB AbB        Công của trường điện tĩnh dịch chuyển 1 đv điện tích từ A tới B không phụ thuộc vào đường đi  trường thế. EE 2015 : Signals & Systems  Tran Quang Viet – FEEE - HCMUT Tran Quang Viet – F – Electroma etics Field Thế điện vô hướng Định nghĩa thế điện: rot E 0 (II)   rot(grad ) 0 (gtvt)  E grad    Dấu “-” là quy ước,  là thế điện (V) Ý nghĩa: Trường điện vuông góc với các mặt đẳng thế - mặt =const Trường điện hướng theo chiều giảm của thế điện Trường điện Mặt đẳng thế CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 3EE 2015 : Signals & Systems  Tran Quang Viet – FEEE - HCMUT Tran Quang Viet – F – Electroma etics Field Tính thế điện theo trường điện Ta có (xem lại toán tử Gradient): d =grad dl   E= grad   d = Edl    Nhận xét: Thế điện có tính chất đa trị chọn gốc thế (Ref) U = = d = Edl A B AB A B B A         = Edl K     + hệ hữu hạn  = 0 + hệ kỹ thuật đất = 0 Hiệu thế điện giữa 2 điểm: Thế điện tại 1 điểm: Ref ref= = EdlA A A        EE 2015 : Signals & Systems  Tran Quang Viet – FEEE - HCMUT Tran Quang Viet – F – Electroma etics Field Dùng mặt Gauss tính trường & thế Áp dụng phương trình Maxwell (III): D (III)Vdiv    *DdS S q    (Gauss Law) --Phù hợp cho các mô hình phân bố điện tích đối xứng-- CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 4EE 2015 : Signals & Systems  Tran Quang Viet – FEEE - HCMUT Tran Quang Viet – F – Electroma etics Field Dùng mặt Gauss tính trường & thế của điện tích điểm E q aR R (Mặt đẳng thế) Do đối xứng ta có: (r)  Áp dụng: rE grad a r           (r) rE E a    (r) rD E D a      --Mặt Gauss-- Chọn mặt Gauss như hình vẽ ta có: S DdS q   2 2 0 0 (r) r sinD d d q        2(r) 4 q D r   EE 2015 : Signals & Systems  Tran Quang Viet – FEEE - HCMUT Tran Quang Viet – F – Electroma etics Field Dùng mặt Gauss tính trường & thế của điện tích điểm E q aR R (Mặt đẳng thế) Suy ra: Do hệ hữu hạn nên gốc thế tại  24 r D q E a r       --Mặt Gauss-- 24 4r r q q Edl dr r r           CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 5EE 2015 : Signals & Systems  Tran Quang Viet – FEEE - HCMUT Tran Quang Viet – F – Electroma etics Field Thế điện của hệ điện tích điểm Do hệ tuyến tính  thỏa mãn tính chất xếp chồng  tính thế của hệ điện tích dùng thế của điện tích điểm P N k P k=1 q1 φ = 4πε RK  1R 2R RN EE 2015 : Signals & Systems  Tran Quang Viet – FEEE - HCMUT Tran Quang Viet – F – Electroma etics Field Thế điện của hệ điện tích điểm Do hệ tuyến tính  thỏa mãn tính chất xếp chồng  tính thế của hệ điện tích dùng thế của điện tích điểm Line charge Surface charge Volume charge Sdq=ρ dS P P P R dq=ρ d  V dq=ρ dV R RS L V P L,S,V dq φ = 4πεR CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 6EE 2015 : Signals & Systems  Tran Quang Viet – FEEE - HCMUT Tran Quang Viet – F – Electroma etics Field Dùng mặt Gauss tính trường & thế của trục mang điện Do đối xứng: =(r)  z (Mặt đẳng thế) --Mặt Gauss-- Áp dụng: rE grad a r           (r) rE E a    (r) rD E D a      Chọn mặt Gauss như hình vẽ ta có: S DdS L    2 0 0 (r) r L D d dz L       (r) 2 D r      EE 2015 : Signals & Systems  Tran Quang Viet – FEEE - HCMUT Tran Quang Viet – F – Electroma etics Field Dùng mặt Gauss tính trường & thế của trục mang điện Suy ra: Do hệ vô hạn, giả sử chọn gốc thế tại mặt trụ r=r0 2 r D E a r          0 0 0ln 2 2 r r r r r Edl dr r r              z (Mặt đẳng thế) --Mặt Gauss-- CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 7EE 2015 : Signals & Systems  Tran Quang Viet – FEEE - HCMUT Tran Quang Viet – F – Electroma etics Field Thế điện của 2 trục mang điện trái dấu P    Gốc thế --mặt trung trực-- r r 0r0 r 0 0ln ln 2 2 r r r r           ln 2 r r        EE 2015 : Signals & Systems  Tran Quang Viet – FEEE - HCMUT Tran Quang Viet – F – Electroma etics Field Dùng mặt Gauss tính trường & thế của mặt mang điện Do đối xứng: =(y) Áp dụng: yE grad a y           ( ) yE E y a    ( ) yD E D y a      Chọn mặt Gauss như hình vẽ ta có: SS DdS A   (y const) 2 ( ) S A D y dxdz A    ( ) 2 SD y    s ρ E  y x z E  CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 8EE 2015 : Signals & Systems  Tran Quang Viet – FEEE - HCMUT Tran Quang Viet – F – Electroma etics Field Dùng mặt Gauss tính trường & thế của mặt mang điện Suy ra: Hệ vô hạn, giả sử chọn gốc thế tại y=0. Ta có: s ρ E  y x z E  s y s y ρ a (y>0) 2ε E= ρ a (y<0) 2ε         0 0 0 , y>0 2 2 , y<0 2 2 S S y y S S y dy y Edl dy y                      EE 2015 : Signals & Systems  Tran Quang Viet – FEEE - HCMUT Tran Quang Viet – F – Electroma etics Field Phương trình Poisson - Laplace Áp dụng phương trình Maxwell (III): D (III)Vdiv    E grad    D E    ( grad ) Vdiv     Nếu môi trường đồng nhất =const: /V     (Phương trình Poisson) Tại điểm tính trường V=0: 0  (Phương trình Laplce) CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 9EE 2015 : Signals & Systems  Tran Quang Viet – FEEE - HCMUT Tran Quang Viet – F – Electroma etics Field Phương trình Poisson - Laplace Hình chiếu của trường lên phương pháp tuyến và tiếp tuyến n nnE Ea grad a n            t ttE Ea grad a             Điều kiện biên liên tục của : 1 2  Điều kiện biên pháp tuyến: Điều kiện biên tiếp tuyến: 1 2 1 2 S n n             1 2 0            (D1n-D2n=S) (E1t-E2t=0) (En & Et phải hữu hạn) EE 2015 : Signals & Systems  Tran Quang Viet – FEEE - HCMUT Tran Quang Viet – F – Electroma etics Field Áp dụng phương trình Poisson cho tiếp xúc PN x Do đối xứng: N=N(x), P=P(x) Áp dụng phương trình Poisson ta có: VN D N N q         VP A P N q        D n A pN W N W S const   2 2 D N N N N q x A x B       2 2 A P P P N q x A x B      CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 10 EE 2015 : Signals & Systems  Tran Quang Viet – FEEE - HCMUT Tran Quang Viet – F – Electroma etics Field Áp dụng phương trình Poisson cho tiếp xúc PN x D n A pN W N W S const   0  biV  p(x W ) 0S    (x W ) 0S n   Áp dụng các điều kiện biên ta có: p(x W ) 0 P P S x Wx            (x W ) 0 n N S n x Wx          0D n N N q W A     0A P P N q W A    EE 2015 : Signals & Systems  Tran Quang Viet – FEEE - HCMUT Tran Quang Viet – F – Electroma etics Field Áp dụng phương trình Poisson cho tiếp xúc PN x D n A pN W N W S const   0  biV  p(x W ) 0S    (x W ) 0S n   Áp dụng các điều kiện biên ta có: D N n N q A W   A P P N q A W   2 2 A A P P P N q N q x W x B      2 2 D D N n N N q N q x W x B       CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 11 EE 2015 : Signals & Systems  Tran Quang Viet – FEEE - HCMUT Tran Quang Viet – F – Electroma etics Field Áp dụng phương trình Poisson cho tiếp xúc PN x D n A pN W N W S const   0  biV  p(x W ) 0S    (x W ) 0S n   Áp dụng các điều kiện biên ta có: 2(x ) 0 2 A A P P P P P P N q N q W W WW B         2(x ) 2 D D N n n n n N bi N q N q W W WW B V         EE 2015 : Signals & Systems  Tran Quang Viet – FEEE - HCMUT Tran Quang Viet – F – Electroma etics Field Áp dụng phương trình Poisson cho tiếp xúc PN x D n A pN W N W S const   0  biV  p(x W ) 0S    (x W ) 0S n   Áp dụng các điều kiện biên ta có: 2 2 A P P N q B W   2 2 D N bi n N q B V W    2( ) 2 A P P N q x W    2( ) 2 D N n bi N q x W V      CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 12 EE 2015 : Signals & Systems  Tran Quang Viet – FEEE - HCMUT Tran Quang Viet – F – Electroma etics Field Áp dụng phương trình Poisson cho tiếp xúc PN x D n A pN W N W S const   0  biV  p(x W ) 0S    (x W ) 0S n   Áp dụng các điều kiện biên ta có: 2 2 2 2 A D P n bi N q N q W W V     (x 0) (x 0)P N    2 2 2 /A P D n biN W N W V q  2 2 ( )( ) A D biP n A D N N V W W qN N     EE 2015 : Signals & Systems  Tran Quang Viet – FEEE - HCMUT Tran Quang Viet – F – Electroma etics Field Áp dụng phương trình Poisson cho tiếp xúc PN x D n A pN W N W S const   0  biV  p(x W ) 0S    (x W ) 0S n   Áp dụng các điều kiện biên ta có: 2 ( ) W ( ) S A D biP n A D N N V W W qN N      CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt