Bài giảng Toán kinh tế (Phần 1)

HỌC VIỆN CÔNG NGHỆ BƯU CHÍNH VIỄN THÔNG BÀI GIẢNG TOÁN KINH TẾ Chủ biên: TS. Trần Ngọc Minh Hà Nội 11- 2013 PT IT MỤC LỤC Nội dung Trang Lời mở đầu CHƯƠNG I: MÔ HÌNH TOÁN KINH TẾ 1.1 Đối tượng nghiên cứu của môn học. 1.1.1 Khái quát về tối ưu hoá: 1.1.2 Nội dung nghiên cứu của môn học 1.2 Phương pháp mô hình trong nghiên cứu và phân tích kinh tế 1.2.1 Ý nghĩa và khái niệm về mô hình toán kinh tế. 1.2.2 Khái niệm mô hình kinh tế và mô hình toán kinh tế 1.2.3 Cấu trúc mô hình toán kinh tế 1.2.4 Phân loại mô hình toán kinh tế 1.2.5 Nội dung của phương pháp mô hình trong nghiên cứu và phân tích kinh tế 1.2.6 Phương pháp phân tích mô hình – Phân tích so sánh tĩnh 1.2.7 Áp dụng phân tích đối với một số mô hình kinh tế phổ biến CHƯƠNG 2:MÔ HÌNH TỐI ƯU TUYẾN TÍNH – QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH. 2.1. Một số tình huống trong hoạt động kinh tế và mô hình bài toán quy hoạch tuyến tính. 2.1.1 Bài toán lập kế hoạch sản xuất 2.1.2. Bài toán đầu tư đạt hiệu quả cao nhất 2.1.3 Bài toán vận tải 2.1.4 Bài toán lập kế hoạch sử dụng phương pháp sản xuất khác nhau 2.2 Mô hình bài toán qui hoạch tuyến tính. 2.2.1 Bài toán quy hoạch tuyến tính tổng quát 2.2.2 Dạng chuẩn tắc và dạng chính tắc 2.2.3 Chuyển đổi dạng bài toán qui hoạch tuyến tính 2.2.4 Phương pháp hình học giải qui hoạch tuyến tính 2 biến 2.3 Tính chất bài toán qui hoạch tuyến tính 2.3.1 Tính chất chung 2.3.2 Phương án cực biên 2.4 Phương pháp đơn hình. 2.4.1 Đường lối chung 2.4.2 Cơ sở của phương pháp 2.4.3 Thuật toán đơn hình 2.4.4 Tìm phương án cực biên và cơ sở ban đầu 2.4.5 Phương pháp đơn hình giải qui hoạch tuyến tính dạng bất kỳ 2.5. Bài toán quy hoạch tuyến tính đối ngẫu 2.5.1 Cách thành lập bài toán đối ngẫu 2.5.2 Các định lý đối ngẫu 2.5.3 Các ứng dụng 1 3 3 3 3 4 4 5 6 8 9 10 17 43 43 43 44 45 45 46 46 47 48 50 51 51 51 53 53 54 57 63 70 71 71 75 76 PT IT PT IT 2.5.4 Phương pháp đơn hình đối ngẫu 2.5.5 Ứng dụng lý thuyết đối ngẫu. CHƯƠNG 3:MÔ HÌNH BÀI TOÁN VẬN TẢI 3.1 Nội dung và đặc điểm 3.2. Tìm phương án cực biên ban đầu 3.3 Phương pháp thế vị giải bài toán vận tải 3.4 Một số dạng đặc biệt của bài toán vận tải CHƯƠNG 4:BÀI TOÁN TỐI ƯU TRÊN MẠNG 4.1 Một số khái niệm cơ bản 4.1.1 Định nghĩa về đồ thị hữu hạn 4.1.2 Các yếu tố khác của đồ thị 4.1.3. Biểu diễn đồ thị dưới dạng ma trận 4.2 Bài toán đường đi ngắn nhất 4.2.1 Ý nghĩa và nội dung bài toán 4.2.2 Thuật toán Difktra 4.3 Mạng liên thông 4.3.1 Nội dung và ý nghĩa của bài toán 4.3.2 Thuật toán Prim 4.4 Bài toán luồng lớn nhất 4.4.1 Nội dung bài toán 4.4.2 Thuật toán Ford – Fulkerson 4. 5. Bài toán luồng nhỏ nhất 4.5.1 Bài toán 4.5.2 Phương pháp giải 4.6 Phương pháp sơ đồ mạng lưới (Pert) 4.6.1 Một số khái niệm và quy tắc lập sơ đồ mạng lưới 4.6.2 Các chỉ tiêu thời gian của sơ đồ mạng lưới 4.6.3 Kết hợp các ước tính thời gian xác suất 4.6.4 Tối ưu hóa quá trình rút ngắn đường găng CHƯƠNG 5:MÔ HÌNH HỆ THỐNG PHỤC VỤ CÔNG CỘNG 5.1 Bài toán lý thuyết phục vụ công cộng 5.2 Mô hình hoá hệ thống phục vụ công cộng. 5.2.1. Hệ thống phục vụ công cộng và các yếu tố cấu thành 5.2.2 Phân loại hệ thống 5.2.3 Trạng thái hệ thống, quá trình chuyển trạng thái 5.2.4 Sơ đồ trạng thái và hệ phương trình trạng thái 5.3 Một số hệ thống phục vụ công cộng. 5.3.1 Hệ thống phục vụ công cộng từ chối cổ điển (Hệ thống Eclang) 5.3.2 Hệ thống chờ với độ dài hàng chờ hạn chế và thời gian chờ không hạn chế. 5.3.3 Hệ thống chờ thuần nhất 79 85 92 92 95 98 105 119 119 119 120 122 124 124 124 127 127 128 128 128 130 134 134 134 136 136 140 145 148 156 156 157 157 158 159 161 163 163 168 171 PT IT PT IT Chương 6. MÔ HÌNH QUẢN LÝ DỰ TRỮ 6.1 Bài toán điều khiển dự trữ và các khái niệm 6.2 Một số mô hình dự trữ tất định 6.2.1 Mô hình dự trữ với việc tiêu thụ đều, bổ sung tức thời (mô hình Wilson). 6.2.2 Một số mô hình mở rộng từ mô hình Wilson 6.3 Mô hình dự trữ tiêu thụ đều 6.4 Mô hình dự trữ trong trường hợp giá hàng thay đổi theo số lượng đặt mua mỗi lần (Mô hình dự trữ nhiều mức giá) 6.5 Bài toán dự trữ nhiều loại hàng và bài toán với các điều kiện ràng buộc 6.6 Một số mô hình dự trữ với yếu tố ngẫu nhiên. 6.6.1 Mô hình dự trữ một giai đoạn 6.6.2 Mô hình dự trữ có bảo hiểm Tài liệu tham khảo 176 176 177 177 182 186 191 196 198 298 201 PT IT PT IT 1 LỜI MỞ ĐẦU Trước xu thế toàn cầu hóa, hội nhập kinh tế quốc tế, buộc các doanh nghiệp trong đó có doanh nghiệp bưu chính viễn thông không thể thờ ơ trước cuộc chiến dành miếng bánh thị phần. Các doanh nghiệp phải tìm mọi biện pháp tối ưu hóa hiệu quả sản xuất kinh doanh để tồn tại và phát triển trong môi trường cạnh tranh ngày càng khốc liệt. Các doanh nghiệp cần có chiến lược kinh doanh đúng đắn vừa đảm bảo hiệu quả đầu tư, vừa đảm bảo yêu cầu về chất lượng của sản phẩm, dịch vụ mà mình cung cấp phù hợp với nhu cầu thị trường. Để giải quyết được vấn đề này đòi hỏi doanh nghiệp phải xem xét về mọi mặt của quá trình sản xuất kinh doanh trên quan điểm tối ưu hóa kể cả trong ngắn hạn và dài hạn. Trong thực tế vấn đề tối ưu hóa rất đa dạng và phức tạp, không có một phương pháp vạn năng hữu hiệu nào có thể giải quyết, tìm lời giải tối ưu cho mọi trường hợp mà ta phải sử dụng nhiều phương pháp, nhiều công cụ khác nhau để tiếp cận, phân tích và giải quyết các vấn đề kinh tế cả ở tầm vĩ mô và vi mô, mỗi phương pháp, mỗi công cụ có những ưu nhược điểm riêng. Toán kinh tế là một phương pháp, một công cụ hữu hiệu, kết hợp được nhiều cách tiếp cận hiện đại, đặc biệt hữu ích khi có sự trợ giúp của phương tiện xử lý thông tin hiện đại. Trong khuôn khổ chương trình môn học “Toán kinh tế” dành cho chuyên ngành kinh tế và quản trị kinh doanh bậc cao đẳng và đại học, bài giảng toán kinh tế sẽ trang bị cho người học những kỹ năng cơ bản về phương pháp mô hình các vấn đề kinh tế đương đại, từ đó áp dụng các thuật toán thích hợp để tìm lời giải hoặc phân tích, dự báo. Để phục vụ tốt cho việc dạy và học, tác giả biên soạn bài giảng này trên cơ sở chọn lọc những tài liêu, giáo trình đã có trước đây, bổ sung cập nhật những kiến thức mới cho phù hợp với mục tiêu đào tạo. Để có thể tiếp thu được các nội dung của môn học này, người học cần được trang bị những kiến thức cơ bản về các học thuyết kinh tế, kinh tế học. Ngoài ra, với cách tiếp cận toán học, người học cần có những kiến thức tối thiểu về giải tích toán học, xác suất - thống kê và kinh tế lượng. Bài giảng này gồm 6 chương, đề cập đến những kiến thức cơ bản nhất và có hệ thống về tối ưu hóa với thời lượng 60 tiết. Bao gồm: Chương 1 trình bày về mô hình toán kinh tế, phân tích tìm lời giải cho các mô hình kinh tế phổ biến. Chương 2 giới thiệu về quy hoạch tuyến tính, đây là lớp bài toán phổ biến trong thực tế sản xuất kinh doanh của doanh nghiệp, nó bao gồm bài toán quy hoạch tuyến tính tổng quát, bài toán quy hoạch tuyến tính đối ngẫu. Ngoài ra, trong chương 3, 4 trình bày một số dạng đặc biệt của bài toán quy hoạch tuyến tính như bài toán vận tải, bài toán tối ưu trên mạng. Chương 5 giới thiệu về mô hình hệ thống phục vụ công cộng, một hệ thống phổ biến trong đời sống kinh tế - xã hội và an ninh quốc phòng. Chương 6 giới thiệu lớp bài toán quản lý dự trữ về các yếu tố đầu vào của mọi quá trình sản xuất. Việc xử lý và phân tích các mô hình giúp cho người học có thể tự giải quyết các vấn đề trong từng trường hợp, đồng thời tạo khả năng vận dụng một cách sáng tạo phương pháp giải quyết trong các tình huống tương tự ở bất kỳ lĩnh vực nào. Toàn bộ bài giảng cũng như trong các chương các kiến thức được kết cấu theo dạng modul do đó có thể sử dụng, lựa chọn phù hợp với đối tượng, thời lượng cụ thể. Để tạo hứng thú trong học tập, việc xây dựng và phân tích các mô hình đều bắt đầu từ nội dung kinh tế kèm theo các thí dụ minh họa. Các công cụ toán học được sử dụng ở mức vừa đủ hỗ trợ trong quá trình phân tích và tìm lời giải. Mặc dù tác giả đã bỏ nhiều công sức biên soạn bài giảng này, nhưng trong điều kiện hạn chế về tư liệu, thời gian và kiến thức, bên cạnh đó nội dung đề cập rất đa dạng nên bài giảng không tránh khỏi những khiếm khuyết. Rất mong được sự đồng tình và những ý kiến đóng góp của độc giả. PT IT PT IT 2 Hà Nội – 2013 Tác giả TS. Trần Ngọc Minh PT IT PT IT Bài giảng toán kinh tế Chương 1: Mô hình toán kinh tế 3 CHƯƠNG 1 MÔ HÌNH TOÁN KINH TẾ 1.1 Đối tượng nghiên cứu của môn học. 1.1.1 Khái quát về tối ưu hoá: ● Khái niệm tối ưu: dùng để chỉ mức độ khả dĩ đạt tới cao nhất của mục tiêu do một chủ thể đề ra và được xét trong những điều kiện nhất định. - Với mỗi sự vật, mục tiêu là một khái niệm mang tính chủ quan, tùy thuộc vào mục đích riêng của chủ thể. Thí dụ, khi nghiên cứu mạng viễn thông, người sử dụng lấy chất lượng dịch vụ làm mục tiêu. Trái lại, người quản lý khái thác mạng lấy hiệu suất sử dụng tài nguyên làm mục tiêu. - Điều kiện cụ thể gồm toàn bộ những yếu tố tác động trực tiếp đến mục tiêu của chủ thể. Thí dụ khi lập kế hoạch sản xuất tối ưu, các điều kiện ảnh hưởng trực tiếp đến mục tiêu là tình trạng máy móc thiết bị, khả năng cung cấp các yếu tố đầu vào, khả năng tiêu thụ hàng hóa trên thị trường,vv... Tối ưu hóa: là quá trình đi đến cái "tốt nhất", là sự vận động từ chưa tốt đến tốt hơn, từ tốt hơn đến tốt nhất. Phương pháp tối ưu hóa là các biện pháp, các thuật toán, các kỹ xảo, các thao tácv.v... nhằm đi đến điểm tối ưu. Phương pháp tối ưu hóa là công cụ của tối ưu hóa. Do tính đa dạng và phức tạp của các vấn đề tối ưu hóa trong thực tế, không tồn tại một phương pháp vạn năng hữu hiệu để giải quyết vấn đề để tìm lời giải tối ưu trong mọi trường hợp. ● Tối ưu hóa là quy luật khách quan của giới tự nhiên và xã hội, gắn liền với quá trình tiến hóa. Qui luật chọn lọc tự nhiên chỉ ra rằng, chỉ có những sinh vật nào thích nghi tốt nhất với điều kiện môi trường thì mới có khả năng tồn tại và phát tiển. Cái cây luôn luôn phải vươn lên để nhận được ánh sáng mặt trời nhiều nhất. Con cá có hình dáng thích hợp để bơi thuận tiện nhất. Nhà kinh doanh luôn luôn phải làm cho lợi nhuận của danh nghiệp lớn nhất. Nhà chính trị luôn luôn tìm cách điều hành xã hội phát triển nhanh nhất và ổn định nhất. ● Đối với các quá trình phức tạp, mục tiêu cuối cùng của tối ưu hóa thường không rõ ràng ngay từ đầu. Thứ nhất, khái niệm "tốt nhất" phụ thuộc vào nhận thức chủ quan của con người. Thứ hai, sự vật luôn luôn biến đổi không ngừng theo thời gian khiến cho các điều kiện luôn luôn thay đổi. Một đối tượng đang là "tốt nhất", khi điều kiện thay đổi có thể trở trhành "xấu nhất". Vì vậy, đối với quá trình phức tạp, mục tiêu tối ưu hóa thường được hiệu chỉnh theo thời gian để có ý nghĩa thiết thực. Điều này có thể được nhận thấy rất rõ trong lý thuyết kinh tế học, trong điều khiển tự thích nghi,... ● Tối ưu hóa có tính phân thân, nghĩa là nó tác động vào chính nó. Nói cách khác, các quá trình tối ưu hóa và các phương pháp tối ưu hóa cũng phải có tính tối ưu khi đặt nó vào các điều kiện và hoàn cảnh cụ thể của vấn đề mà chủ thể đặt ra để giải quyết. ● Các phương pháp tối ưu thường được nghiên cứu dưới dạng mô hình toán học, đó là các phương trình, bất phương trình, phương trình vi phân, tích phân,... 1.1.2 Nội dung nghiên cứu của môn học. Khi nghiên cứu các bài toán tối ưu người ta có thể chia ra làm ba hướng: ● Các vấn đề công nghệ hay thực tiễn: Xây dựng các mô hình toán học, thu thập dữ liệu, giải thích và phân tích kết quả tính toán,v.v... ● Các vấn đề toán học: Nghiên cứu các phương pháp toán học để giải các lớp bài toán tối ưu nhất định. PT IT PT IT Bài giảng toán kinh tế Chương 1: Mô hình toán kinh tế 4 ● Các vấn đề tính toán: Nghiên cứu sơ đồ tính toán cho các phương pháp toán học đã đề xuất và hoàn thiện các chương trình phần mềm tương ứng,v.v.... Dĩ nhiên ba hướng này không hoàn toàn tách biệt nhau. Chẳng hạn, các mô hình toán học cho các vấn đề thực tiễn cần được xây dựng sao cho phù hợp nhất với các phương pháp tính toán hiện có. Việc nghiên cứu các sơ đồ tính toán theo các phương pháp toán học đã có và thực tiễn tính toán thường giúp hòan thiện bản thân phương pháp toán học. Trong khuôn khổ môn học này ta sẽ tập trung chủ yếu vào các khía cạnh toán học và tính toán của một số mô hình tối ưu sau đây: - Mô hình Micro và Macro: Xây dựng mô hình toán đối với các mối quan hệ kinh tế đã được kinh tế học chứng minh, áp dụng phương pháp thích hợp khi phân tích các mô hình. - Quy hoạch tuyến tính: Bao gồm bài toán quy hoạch tuyến tính tổng quát, bài toán quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn tắc và chính tắc, các tính chất cơ bản, thuật toán đơn hình giải bài toán, lý thuyết đối ngẫu, bài toán vận tải, bài toán tối ưu trên mạng. - Mô hình hệ thống phục vụ công cộng - Mô hình quản lý dự tữ tối ưu. 1.2 Phương pháp mô hình trong nghiên cứu và phân tích kinh tế 1.2.1 Ý nghĩa và khái niệm về mô hình toán kinh tế. Loài người từ lâu đã biết cách tìm hiểu, khám phá những hiện tượng tự nhiên, họ biết quan sát, theo dõi và ghi nhận các hiện tượng này. Kết quả theo dõi được đúc kết thành kinh nghiệm và lưu truyền qua các thế hệ. Đó là phương pháp trực tiếp quan sát trong nghiên cứu. Đối với sự vật, hiện tượng phức tạp hơn hoặc khi chúng ta chẳng những muốn tìm hiểu các hiện tượng mà còn muốn lợi dụng chúng phục vụ cho hoạt động của mình thì phương pháp quan sát chưa đủ. Trong trường hợp này, khi nghiên cứu các đối tượng, các nhà khoa học hoặc là trực tiếp tác động vào đối tượng, hoặc sử dụng các mô hình tương tự (về mặt cấu trúc vật lý) như đối tượng, tiến hành thí nghiệm, trực tiếp tác động vào đối tượng cần nghiên cứu, phân tích kết quả để xác lập quy luật chi phối sự vận động của đối tượng. Đó là phương pháp thí nghiệm, thử nghiệm có kiểm soát và là phương pháp nghiên cứu phổ biến trong khoa học tự nhiên và kỹ thuật. Khi nghiên cứu các hiện tượng, vấn đề kinh tế - xã hội, các phương pháp trên thường không đem lại kết quả như mong muốn, vì: - Những vấn đề kinh tế vốn dĩ là những vấn đề hết sức phức tạp, đặc biệt là những vấn đề kinh tế đương đại, trong đó có nhiều mối liên hệ đan xen, thậm chí tiềm ẩn mà chúng ta không thể chỉ bằng quan sát là có thể giải thích được. - Quy mô, phạm vi liên quan của những vấn đề kinh tế xã hội nhiều khi rất rộng và đa dạng, vì vậy khi dùng phương pháp thử nghiệm đòi hỏi chi phí rất lớn về thời gian và tiền bạc và nhiều khi những sai sót trong quá trình thử nghiệm sẽ gây ra hậu quả không thể lường trước được. - Ngay cả trong trường hợp có đủ điều kiện tiến hành các thử nghiệm trong nghiên cứu kinh tế thì kết quả thu được cũng kém tin cậy vì các hiện tượng kinh tế - xã hội đều gắn với hoạt động của con người. Khi điều kiện thực tế khác biệt với điều kiện thử nghiệm, con người có phản ứng khác hẳn nhau. Để nghiên cứu các hiện tượng, các vấn đề kinh tế chúng ta phải sử dụng phương pháp suy luận gián tiếp, trong đó các đối tượng trong hiện thực có liên quan đến hiện tượng, vấn đề chúng ta quan tâm nghiên cứu sẽ được thay thế bởi :”hình ảnh” của chúng: các mô hình của đối tượng và ta sử dụng mô hình làm công cụ phân tích và suy luận. Phương pháp này có tên gọi là phương pháp mô hình. Nội dung chính của phương pháp mô hình là: Xây dựng, xác định mô hình của đối tượng. Quá trình này gọi là mô hình hoá đối tượng. PT IT PT IT Bài giảng toán kinh tế Chương 1: Mô hình toán kinh tế 5 - Dùng mô hình làm công cụ suy luận phục vụ yêu cầu nghiên cứu. Quá trình này gọi là phân tích mô hình. Phương pháp mô hình khắc phục được hạn chế của các phương pháp trên, đồng thời với việc phân tích mô hình, phương pháp tạo khả năng phát huy tốt hiệu quả của tư duy logic, kết hợp nhuần nhuyễn giữa các phương pháp phân tích truyền thống với hiện đại, giữa phân tích định tính với phân tích định lượng. Để có thể sử dụng có hiệu quả phương pháp mô hình hoá trong nghiên cứu kinh tế vấn đề cốt lõi là xác lập được mô hình của đối tượng nghiên cứu. Để hiểu rõ vấn đề này chúng ta cần đề cập đến một số khái niệm cơ bản có liên quan. 1.2.2 Khái niệm mô hình kinh tế và mô hình toán kinh tế ● Mô hình kinh tế: Có nhiều quan niệm về mô hình của đối tượng, từ hình thức đơn giản, trực quan đến hình thức khái quát, có sử dụng các khái niệm toán học trừu tượng. Với yêu cầu bước đầu làm quen với phương pháp mô hình, chung ta sẽ đề cập tới quan điểm khá đơn giản về mô hình. Theo quan điểm này thì: mô hình của một đối tượng là sự phản ánh hiện thực khách quan của đối tượng; sự hình dung, tưởng tượng đối tượng đó bằng ý nghĩ của người nghiên cứu và việc trình bày, thể hiện, diễn đạt ý nghĩ đó bằng lời văn, chữ viết, sơ đồ, hình vẽ,hoặc một ngôn ngữ chuyên ngành. Như vậy mỗi mô hình bao gồm nội dung của mô hình và hình thức thể hiện nội dung. Mô hình của các đối tượng trong lĩnh vực hoạt động kinh tế gọi là mô hình kinh tế. ● Mô hình toán kinh tế. Mô hình toán kinh tế là mô hình kinh tế được trình bày bằng ngôn ngữ toán học. Việc sử dụng ngôn ngữ toán học tạo khả năng áp dụng các phương pháp suy luận, phân tích toán học và kế thừa các thành tựu trong lĩnh vực này cũng như trong các lĩnh vực khoa học có liên quan. Đối với các vấn đề phức tạp có nhiều mối liên hệ đan xen thậm chí tiềm ẩn mà chúng ta cần nghiên cứu, phân tích chẳng những về mặt định tính mà cả về mặt định lượng thì phương pháp suy nghĩ thông thường, phân tích giản đơn không đủ hiệu lực để giải quyết. Chúng ta cần đến phương pháp suy luận toán học. Đây chính là điểm mạnh của các mô hình toán kinh tế. Chúng ta có thể minh hoạ bằng thí dụ sau: Thí dụ 1.1. Giả sử chúng ta muốn nghiên cứu, phân tích quá trình hình thành giá cả của loại hàng A trên thị trường với giả định là các yếu tố khác như điều kiện sản xuất hàng hoá A, thu nhập, sở thích, thị hiếu của người tiêu dùng, đã cho trước và không đổi. Đối tượng liên quan đến vấn đề nghiên cứu là thị trường hàng hoá A và sự vận hành của nó trên thị trường. Chúng ta cần mô hình hoá đối tượng này. a. Mô hình bằng lời: Xét thị trường hàng hoá A, nơi đó người bán, người mua gặp nhau và xuất hiện mức giá ban đầu. Với mức giá đó lượng hàng hoá người bán muốn bán gọi là mức cung và lượng hàng hoá người mua muốn mua gọi là mức cầu. Nếu cung lớn hơn cầu, do người bán muốn bán được nhiều hàng hơn nên phải giảm giá vì vậy hình thành mức giá mới thấp hơn. Nếu cầu lớn hơn cung thì người mua sẵn sang trả giá cao hơn để mua được hàng do vậy một mức giá cao hơn được hình thành. Với mức giá mới, xuất hiện mức cung, cầu mới. Quá trình tiếp diễn đến khi cung bằng cầu ở một mức giá gọi là giá cân bằng. b. Mô hình bằng hình vẽ: (Mô hình mạng nhện) Từ mô hình bằng lời trên ta sẽ thể hiện bằng hình vẽ: Vẽ đường cung S và đường cầu D trên cùng hệ trục toạ độ trong đó trục hoành biểu thị các mức giá, trục tung biểu thị mức cung, mức cầu hàng hoá A ứng với các mức giá. Quá trình hình thành giá cân bằng được thể hiện qua sơ đồ minh hoạ dưới đây PT IT PT IT Bài giảng toán kinh tế Chương 1: Mô hình toán kinh tế 6 Hình 1.1 Giải thích sơ đồ: Nếu ở thời điểm bắt đầu xem xét thị trường, giá hàng là p1 và giả sử S1 = S(p1) > D1 = D(p1) khi đó dưới tác động của quy luật cung – cầu, giá p1 sẽ phải hạ xuống mức p2. Ở mức giá p2 do S2 = S(p2) < D2 = D(p2) nên giá sẽ tăng lên mức p3. Ở mức giá p3 do S3 = S(p3) > D3 = D(p3) nên giá sẽ giảm xuống mức p4. Quá trình cứ tiếp diễn cho đến khi p = p , tại mức giá này cung cầu cân bằng. c. Mô hình toán kinh tế (Mô hình cân bằng một thị trường). Gọi S, D là đường cung, đường cầu tương ứng. Như vậy ứng với từng mức giá p ta có S = S(p), do người bán sẵn sàng bán với mức giá cao hơn nên S là hàm tăng theo p, tức là S’(p) > 0. D = D(p), do người mua sẽ mua ít hơn nếu giá cao hơn nên D là hàm giảm theo p, tức là D’(p) < 0. Tình huống cân bằng thị trường (mức cung bằng mức cầu) sẽ có nếu S = D. Viết gọn lại ta sẽ có mô hình cân bằng thị trường hàng hoá A, Ký hiệu là MHIA dưới đây: S = S(p); S’(p) = dS/Dp > 0. D = D(p); D’(p) = dD/dp < 0. S = D Với mô hình diễn đạt bằng lời và bằng hình vẽ ta không thể biết chắc rằng liệu quá trình hình thành giá trên thị trường có kết thúc hay không, tức là liệu có cân bằng thị trường hay không. Đối với mô hình toán kinh tế về cân bằng thị trường, ta sẽ có câu trả lời thông qua việc giải phương trình S = D và phân tích đặc điểm của nghiệm. Khi muốn đề cập tới tác động của giá hàng hoá thay thế (pj), thu nhập (M), thuế (T), tới quá trình hình thành giá, ta có thể mở rộng mô hình bằng cách đưa các yếu tố tham gia vào các mối liên hệ với các yếu tố sẵn có trong mô hình phù hợp với các quy luật trong lý thuyết kinh tế, chẳng hạn: S = S(p, T); D = D(p, pj, M, T) Khi này mô hình, Ký hiệu là MHIB sẽ có dạng: S = S(p, T); p S   > 0 D = D(p, pj, M, T); p D   < 0 S = D 1.2.3 Cấu trúc mô hình toán kinh tế. D S p D, S p P2 P1 P3 P4 PT IT PT IT Bài giảng toán kinh tế Chương 1: Mô hình toán kinh tế 7 Cùng là sản phẩm của quá trình mô hình hoá nhưng mô hình toán kinh tế có những điểm khác biệt so với các loại mô hình khác. Quan sát mô hình MHIA trong thí dụ 1.1 chúng ta có thể thấy rõ điều này. Mô hình chứa một số yếu tố mang tính định lượng (S, D, p, S’, D’) và các hệ thức toán học giữa chúng (các phương trình và bất phương trình). Đây là đặc trưng cơ bản, là hình thức kết cấu của mô hình toán kinh tế, do đó ta có thể dung đặc trưng này để hình dung một cách cụ thể hơn về mô hình toán kinh tế so với khái niệm đã giới thiệu ở mục trước. Ta sẽ quan niệm mô hình toán kinh tế là một tập các biến số và các hệ thức toán học liên hệ giữa chúng nhằm diễn tả đối tượng liên quan tới sự kiện, hiện tượng kinh tế. Chúng ta sẽ phân tích chi tiết cấu trúc này của mô hình để định rõ vai trò của từng bộ phận cấu thành nhằm trợ giúp cho quá trình mô hình hoá. ● Các biến số của mô hình. Để mô tả đối tượng và phân tích định lượng các hiện tượng và vấn đề kinh tế liên quan tới đối tượng, ta cần xem xét và lựa chọn một số yếu tố cơ bản đặc trưng cho đối tượng và lượng hoá chúng. Các yếu tố này gọi là các đại lượng, các biến số (kinh tế) của mô hình. Chúng có thể thay đổi giá trị trong phạm vi nhất định. Nhờ được lượng hoá nên ta có thể quan sát, đo lường và thực hiện tính toán giữa các biến số này. Tuỳ thuộc vào bản chất của các biến, mục đích nghiên cứu, phân tích cũng như khả năng về nguồn dữ liệu liên quan, các biến số kinh tế trong một mô hình được phân loại thành: - Biến nội sinh (biến được giải thích): đó là các biến về bản chất chúng phản ánh, thể hiện trực tiếp sự kiện, hiện tượng kinh tế và giá trị của chúng phụ thuộc giá trị của các biến khác có trong mô hình. Nếu biết giá trị của các biến khác trong mô hình, ta có thể xác định giá trị cụ thể bằng số của các biến nội sinh bằng cách giải các hệ thức. Trong mô hình MHIA, chúng ta thấy các biến S, D, p, S’, D; đều trực tiếp phản ánh trạng thái của thị trường và chúng phụ thuộc lẫn nhau do đó chúng đều là các biến nội sinh. - Biến ngoại sinh (biến giải thích) Đó là các biến độc lập với các biến khác trong mô hình, giá trị của chúng được xem là tồn tại bên ngoài mô hình. Trong mô hình MHIB, các biến M, T có giá trị không phụ thuộc vào các biến khác do đó chúng được gọi là biến ngoại sinh. Xét theo đặc điểm cấu trúc toán học, một mô hình có tất cả các biến đều là nội sinh gọi là mô hình đóng, thí dụ, mô hình MHIA; mô hình có biến nội sinh và ngoại sinh gọi là mô hình mở, thí dụ mô hình MHIB là mô hình mở. - Tham số (thông số): Đó là các biến số mà trong phạm vi nghiên cứu đối tượng chúng thể hiện các đặc trưng tương đối ổn định, ít biến động hoặc có thể là giả thiết là như vậy của đối tượng. Các tham số của mô hình phản ánh xu hướng, mức độ ảnh hưởng của các biến tới biến nội sinh. Thí dụ, nếu trong mô hình MHIB ta có S = αpβTγ, khi này các biến α, β, γ là các tham số của mô hình vì giá trị của chúng quyết định mức độ tác động của biến ngoại sinh T tới biến nội sinh S, D, S’, D’. Lưu ý rằng cùng một biến số, trong các mô hình khác nhau có thể đóng vai trò khác nhau, thậm chí trong cùng một mô hình nó cũng có thể có vai trò khác nhau do mục đích sử dụng mô hình khác nhau. ● Mối liên hệ giữa các biến số - Các phương trình của mô hình. Các quan hệ kinh tế nảy sinh trong quá trình hoạt động kinh tế giữa các chủ thể kinh tế (tác nhân kinh tế), giữa chủ thể với Nhà nước, giữa các khu vực, các bộ phận của nền kinh tế và giữa nền kinh tế của các quốc gia, tạo ra quan hệ giữa các biến số liên quan. Các mối quan hệ này là sự phản ánh, thể hiện tác động của các quy luật trong hoạt động kinh tế. Chúng ta có thể dùng các PT IT PT IT Bài giảng toán kinh tế Chương 1: Mô hình toán kinh tế 8 biểu thức, các hệ thức toán học một cách thích hợp từ đơn giản đến phức tạp để thể hiện mối quan hệ giữa các biến trong mô hình. Hệ thức thường được sử dụng phổ biến là phương trình hoặc bất phương trình. - Phương trình của mô hình có thể tồn tại dưới dạng hàm số, phương trình đại số, phương trình vi phân hoặc sai phân. Phương trình định nghĩa (đồng nhất thức): Thể hiện quan hệ định nghĩa giữa các biến số hoặc giữa hai biểu thức ở hai vế của phương trình. Thí dụ: Lợi nhuận (Π) được định nghĩa là hiệu số giữa tổng doanh thu (TR) và tổng chi phí (TC) và được tính trtong một khoảng thời gian nhất định; ta có thể viết: Π = TR – TC, phương trình này là một đồng nhất thức. Một thí dụ khác, xuất khẩu ròng của một quốc gia (NX) là khoản chênh lệch giữa xuất khẩu (EX) và nhập khẩu (IM) của quốc gia đó trong một thời kỳ nhất định. Thông thường xuất, nhập khẩu phụ thuộc vào thu nhập (Y), mức giá cả (p), tỷ giá hối đoái (ER),do đó theo định nghĩa của xuất khẩu ròng, ta có thể viết: NX = EX(Y, p, ER) – IM(Y, p, ER). Trong mô hình MHIA, các phương trình S’(p) = dS/dp, D’(p) = dD/dp cũng là các phương trình định nghĩa. Phương trình hành vi: Mô tả quan hệ giữa các biến do tác động của các quy luật hoặc giả định. Từ phương trình hành vi ta có thể biết sự biến động của biến nội sinh. – “hành vi” của biến này – khi các biến khác thay đổi giá trị. Sự biến động này có thể ám chỉ sự phản ứng trong hành vi của con người (thí dụ: trong hành vi tiêu dùng, nếu thu nhập tăng lên thì người tiêu dùng sẽ chi tiêu nhiều hơn), nhưng cũng có thể chỉ là thể hiện quy luật về mối quan hệ phụ thuộc lẫn nhau giữa các biến số. Trong mô hình MHIA, các phương trình S = S(p), D = d(p) là các phương trình hành vi vì chúng thể hiện sự phản ứng của người sản xuất và người tiêu dùng trước sự thay đổi của giá cả. Phương trình điều kiện: mô tả quan hệ giữa các biến số trong các tình huống có điều kiện, ràng buộc cụ thể mà mô hình đề cập. Trong mô hình MHIA, phương trình S = D là phương trình điều kiện cân bằng thị trường. - Bất phương trình thường là mô tả quan hệ giữa các biến số có liên quan với nhau và trong điều kiện cụ thể. Trong mô hình bài toán lập kế hoạch thì điều kiện ràng buộc là các bất phương trình thể hiện việc sử dụng các yếu tố đầu vào của quá trình sản xuất không vượt quá khả năng của doanh nghiệp. 1.2.4 Phân loại mô hình toán kinh tế a) Phân loại mô hình theo đặc điểm cấu trúc và công cụ toán học sử dụng - Mô hình tối ưu: phản ánh sự lựa chọn cách thức hoạt động nhằm tối ưu hoá một hoặc một số chỉ tiêu định trước. Cấu trúc cơ bản của mô hình là bài toán tối ưu có thể bao gồm bài toán toán quy hoạch, bài toán điều khiển tối ưu. Khi phân tích mô hình tối ưu, công cụ chính được sử dụng là các phương pháp tối ưu trong toán học. - Mô hình cân bằng: Trong mô hình liên quan đến đối tượng, nếu quan hệ giữa các biến số được thiết lập, giá trị của các biến nội sinh được xác định và chúng không thay đổi nếu giá trị của biến ngoại sinh, tham số cho trước là cố định thì đối tượng được gọi là ở trạng thái cân bằng. Trong nhóm mô hình này bao gồm các mô hình cân bằng thị trường, mô hình cân đối. Công cụ thường sử dụng để phân tích mô hình là các phương pháp giải hệ phương trình, tìm điểm bất động. Lưu ý rằng có nhiều chuyên gia toán kinh tế với quan niệm tổng quát về trạng thái cân bằng coi nhóm mô hình tối ưu thuộc lớp mô hình cân bằng. Tuy nhiên theo đặc điểm cấu trúc toán học, chúng ta sẽ tách riêng hai nhóm này. - Mô hình tất định, mô hình ngẫu nhiên: Mô hình với các biến là tất định (phi ngẫu nhiên) gọi là mô hình tất định, nếu mô hình có chứa biến ngẫu nhiên thì gọi là mô hình ngẫu nhiên. PT IT PT IT Bài giảng toán kinh tế Chương 1: Mô hình toán kinh tế 9 - Mô hình toán kinh tế và mô hình kinh tế lượng: Với quan niệm trình bày ở trên về mô hình toán kinh tế, về mặt hình thức, ta có thể xem các mô hình kinh tế lượng cũng là các mô hình toán kinh tế và thuộc lớp mô hình ngẫu nhiên. Tuy nhiên, trong thực tế người ta thường phân biệt chúng vì lý do kỹ thuật phân tích và ứng dụng. Đối với các mô hình toán kinh tế, các tham số của mô hình hoặc là cho trước hoặc được giả định rằng đã biết và khi phân tích ta sử dụng các phương pháp toán học thuần tuý; trong khi đó đối với mô hình kinh tế lượng thì các tham số chính là các ẩn số, giá trị của chúng được xác định nhờ các phương pháp suy đoán thống kê căn cứ vào giá trị quá khứ của các biến khác trong mô hình. - Mô hình tĩnh (theo thời gian), mô hình động: mô hình có các biến mô tả hiện tượng kinh tế tồn tại ở một thời điểm hay một khoảng thời gian đã xác định (thời gian cố định) gọi là mô hình tĩnh. Mô hình mô tả hiện tượng kinh tế trong đó các biến phụ thuộc vào thời gian gọi là mô hình động. b) Phân loại mô hình theo quy mô yếu tố, theo thời hạn: Theo quy mô của các yếu tố ta có các mô hình: - Mô hình vĩ mô: mô tả các hiện tượng kinh tế liên quan đến một nền kinh tế, một khu vực kinh tế gồm một số quốc gia,. - Mô hình vi mô: Mô tả một chủ thể kinh tế, hoặc những hiện tượng kinh tế với các yếu tố ảnh hưởng trong phạm vi hẹp và ở mức độ chi tiết, cụ thể. Theo thời hạn mà mô hình đề cập ta có: Mô hình ngắn hạn (tác nghiệp), mô hình dài hạn (chiến lược). 1.2.5 Nội dung của phương pháp mô hình trong nghiên cứu và phân tích kinh tế. a) Nội dung cơ bản của phương pháp mô hình; Để áp dụng phương pháp mô hình, trong đó sử dụng mô hình toán kinh tế làm công cụ nghiên cứu, phân tích các vấn đề, các hiện tượng kinh tế, ta tiến hành các bước sau: ● Đặt vấn đề Cần diễn đạt rõ vấn đề, hiện tượng nào trong hoạt động kinh tế mà chúng ta quan tâm, mục đích là gì? Các nguồn lực có thể huy động để tham gia nghiên cứu (nhân lực, tài chính, thông tin, thời gian,) ● Mô hình hoá đối tượng Sau khi xác định được mục đích, yêu cầu cần nghiên cứu, ta tiến hành quá trình mô hình hoá đối tượng liên quan đến vấn đề. Về cơ bản, quá trình này bao gồm: - Xác định các yếu tố, sự kiện cần xem xét cùng các mối liên hệ trực tiếp giữa chúng mà ta có thể cảm nhận bằng trực quan hoặc căn cứ vào cơ sở lý luận đã lựa chọn. - Lượng hoá các yếu tố này, coi chúng là các biến của mô hình. Trong thực tế có nhiều yếu tố vốn dĩ mang bản chất định lượng vì vậy vấn đề chỉ là xác định đơn vị đo lường thích hợp; tuy nhiên có những yếu tố định tính mà nhiều khi ta cần sử dụng các phương pháp trong thống kê, kinh tế lượng để lượng hoá chúng. - Xét vai trò của các biến số và thiết lập các hệ thức toán học – chủ yếu là các phương trình và bất phương trình – mô tả quan hệ giữa các biến. Đây là phần quan trọng và khó khăn nhất của quá trình mô hình hoá. Để có thể làm tốt công việc này ta cần dựa vào cơ sở lý luận đủ mạnh và đáng tin cậy cả về phương diện kinh tế lẫn toán học. Kết thúc công việc này ta sẽ có được mô hình ban đầu. ● Phân tích mô hình PT IT PT IT Bài giảng toán kinh tế Chương 1: Mô hình toán kinh tế 10 Sử dụng phương pháp phân tích mô hình (được trình bày chi tiết ở phần sau) để phân tích. Kết quả phân tích có thể dùng để hiệu chỉnh mô hình (thay đổi vai trò của biến, thêm, bớt biến, thay đổi định dạng phương trình hoặc bất phương trình,..) cho phù hợp với thực tiễn. ● Giải thích kết quả Dựa vào kết quả phân tích mô hình ta sẽ đưa ra giải đáp cho vấn đề cần nghiên cứu. Nếu ta thay đổi vấn đề, hoặc mục đích nghiên cứu nhưng đối tượng liên quan không thay đổi thì vẫn có thể sử dụng mô hình sẵn có. b) Thí dụ: Khi điều chỉnh một sắc thuế đánh vào việc sản xuất và tiêu thụ một loại hàng hoá A (giả sử: tăng thuế suất), Nhà nước quan tâm tới phản ứng của thị trường đối với việc điều chỉnh này – thể hiện bởi sự thay đổi giá cả cũng như lượng hàng hoá tiêu thụ- và muốn dự kiến trước được phản ứng này, đặc biệt là về mặt định lượng. Từ đó có căn cứ tính toán mức điều chỉnh thích hợp tránh tình trạng bất ổn của thị trường. Đặt vấn đề: để đáp ứng yêu cầu trên, chúng ta cần phân tích tác động trực tiếp (ngắn hạn) của việc tăng thuế suất đối với sản xuất và tiêu thụ loại hàng A trên thị trường. Mô hình hoá: Đối tượng liên quan đến vấn đề cần phân tích là thị trường hàng hoá A cùng sự hoạt động của nó trong trường hợp có xuất hiện yếu tố thuế, Chúng ta mô hình hoá đối tượng này. Theo lý thuyết kinh tế vi mô, ta biết rằng có mối liên hệ khăng khít giữa việc sản xuất (mức cung), tiêu thụ (mức cầu) và giá cả hàng hoá trên thị trường và nó bị chi phối bởi quy luật cung – cầu, hơn nữa, thuế ảnh hưởng tới giá cả và do đó tác động tới mức cung và mức cầu. Mặt khác, thực tiến diễn biến của thị trường cũng cho thấy là các thị trường trong quá trình hoạt động có xu thế hướng về trạng thái cân bằng. Các yếu tố (biến số) ta cần xem xét là mức cung (S), mức cầu (D), giá cả (p) và thuế (T). Bằng cách lập luận tương tự như trong thí dụ 1.1, ta có mô hình: S = S(p, T); S’= p S   > 0 D = D(p, pj, M, T); D ’ = p D   < 0 S = D Trong đó: S, D, S’, D’, p là các biến nội sinh, T là biến ngoại sinh. Để định dạng cụ thể cho các hàm trong mô hình ta có thể sử dụng các phương pháp trong kinh tế lượng. Phân tích: Giải phương trình cân bằng, giả sử được nghiệm là p . Rõ ràng p sẽ phụ thuộc vào T nên ta có thể viết p = p (T). Thay các biểu thức: dp /dT, dQ /dT, chúng phản ánh tác động của thuế T tới giá và lượng cân bằng. Giải thích kết quả: Để phân tích tác động của thuế tới giá cả và lượng hàng hoá lưu thông trên thị trường, về mặt định tính ta chỉ cần xét dấu của các biểu thức dp /dT, dQ /dT. Nếu muốn có đánh giá về lượng ta cần có thông tin, dữ liệu cụ thể về các biến để có thể định dạng chi tiết và ước lượng (dạng số) mô hình. 1.2.6 Phương pháp phân tích mô hình – Phân tích so sánh tĩnh. Sau khi đã xây dựng và hiệu chỉnh mô hình phù hợp với hiện tượng và quá trình kinh tế, ta có thể sử dụng mô hình vào các mục đích khác nhau. Trước tiên ta cần thực hiện công việc gọi là giải mô hình. Một cách tổng quát, giải mô hình là việc sử dụng các phương pháp toán học đã biết để giải PT IT PT IT Bài giảng toán kinh tế Chương 1: Mô hình toán kinh tế 11 các hệ thức của mô hình – có thể là giải phương trình (đại số hoặc vi, sai phân), giải bài toán quy hoạch, nhằm xác định quan hệ trực tiếp giữa biến nội sinh và biến ngoại sinh cùng tham số, tức là ta phải biểu diễn dưới dạng các hệ thức khác giữa từng biến nội sinh theo biến ngoại sinh, tham số và có thể theo biến nội sinh khác. Cách biểu diễn này gọi là nghiệm của mô hình. Nghiệm có thể là chính xác hoặc xấp xỉ, dưới dạng lời giải bằng số nếu tất cả các biến ngoại sinh và tham số có giá trị bằng số, nhưng cũng có thể dưới dạng biểu thức, các hàm số (hiện hoặc ẩn) nếu biến ngoại sinh, tham số có giá trị quy ước trừu tượng. Rõ ràng là nghiệm của mô hình sẽ phụ thuộc vào các biến ngoại sinh và tham số. Điều chúng ta quan tâm phân tích là khi biến ngoại sinh thay đổi giá trị sẽ tác động như thế nào tới nghiệm. Phân tích này gọi là phân tích so sánh tĩnh. Trước hết, cần nhắc lại một số khái niệm cơ bản trong toán học và kinh tế học ● Ý nghĩa của đạo hàm trong kinh tế: - Đạo hàm và giá trị cận biên trong kinh tế. Xét mô hình hàm số: y = f(x), trong đó y và x là các biến số kinh tế. Người ta quan tâm đến xu hướng biến thiên của biến phụ thuộc y tại điểm x0 khi biến độc lập x thay đổi một lượng rất nhỏ. Chẳng hạn, khi xét mô hình hàm sản xuất Q = f(L), người ta thường quan tâm đến số lượng sản phẩm hiện vật tăng thêm khi sử dụng thêm một đơn vị lao động. Theo định nghĩa đạo hàm ' 0 00 0 0 f(x + x) - f(x )Δy f (x ) = lim = lim Δx xx x    Khi ∆x có giá trị tuyệt đối đủ nhỏ, ta có: '0 0 0 ' 0 0 0 f(x + x) - f(x )Δy = f (x ) Δx x y = f(x + x) - f(x ) f (x ). x         Khi ∆x = 1 ta có ∆y ≈ f’(x0). Như vậy, đạo hàm f ’(x0) biểu diễn xấp xỉ lượng thay đổi giá trị của biến số y khi biến số x tăng thêm một đơn vị. Các nhà kinh tế gọi f’(x0) là giá trị y – cận biên của x tại điểm x0. Đối với mỗi hàm kinh tế, giá trị cận biên có tên gọi cụ thể của nó. - Đạo hàm cấp hai và quy luật lợi ích cận biên giảm dần Xét mô hình y = f(x), trong đó y là biến số biễu diễn lợi ích kinh tế (chẳng hạn như thu nhập, lợi nhuận, số lượng sản phẩm,...) và x là biến số mô tả yêu tố đem lại lợi ích y. Quy luật lợi ích cận biên giảm dần nói rằng khi x càng lớn thì giá trị y – cận biên càng nhỏ, tức là My = f’(x) là hàm số đơn điệu giảm. Dưới góc độ toán học, điều kiện cần để My giảm dần theo x là: (My)’ = f’’(x) ≤ 0 ● Hệ số co dãn của cung và cầu theo giá Một vấn đề được quan tâm trong kinh tế là phản ứng của cung và cầu đối với sự biến động giá trên thị trường. Với giả thiết các yếu tố khác không thay đổi, sử phụ thuộc của lượng cầu Qd vào giá p được biểu diễn bằng hàm cầu: Qd = D(p) Trong mô hình hàm cầu biến số p được đo bằng đơn vị tiền tệ, còn biến số Q được đo bằng đơn vị hiện vật. Nếu gọi ∆Qd là mức thay đổi lượng cầu khi giá thay đổi một đơn vị thì ý nghĩa của con số đó còn phụ thuộc vào đơn vị đo. Hơn nữa, đối với các hàng hóa khác nhau thì sự thay đổi giá thêm một đơn vị mang ý nghĩa khác nhau. Để đánh giá độ nhạy của cầu hàng hóa đối với sự biến động giá cả, các nhà kinh tế sử dụng khái niệm hệ số co dãn. PT IT PT IT Bài giảng toán kinh tế Chương 1: Mô hình toán kinh tế 12 Hệ số co dãn của cầu theo giá (tính ở mỗi mức giá) là số đo mức thay đổi phần trăm của lượng cầu khi giá tăng 1%. Tại mức giá p, nếu giá thay đổi một lượng ∆p thì lượng cầu thay đổi tương ứng một lượng ∆Qd. Mức phần trăm thay đổi của lượng cầu tính bình quân cho 1% thay đổi giá là: dQ d d dp d ΔQ /Q ΔQ p ΔD(p) p ε = = = Δp/p Δp Q Δp D(p)   Chuyển qua giới hạn, khi ∆p→0 ta được công thức tính hệ số co dãn của cầu theo giá tại điểm p là: dQ 'dp d dQ p dD(p) p p ε = = = D (p) dp Q dp D(p) D(p)   Tương tự, hệ số co dãn của cung theo giá là số đo mức thay đổi phần trăm của lượng cung khi giá tăng 1%. Nếu biết hàm cung Qs = S(p) thì hệ số co dãn của cung theo giá tại điểm p được tính theo công thức: sQ 'sp s dQ p dS(p) p p ε = = = S (p) dp Q dp S(p) S(p)   ● Quan hệ giữa hàm bình quân và hàm cận biên Trong kinh tế người ta dùng hàm chi phí biểu diễn tổng chi phí ở mỗi mức sản lượng Q: TC = TC(Q) Khi phân tích sản xuất, cùng với hàm chi phí, người ta sử dụng hàm chi phí bình quân và hàm chi phí cận biên. Ở mỗi mức sản lượng Q, chi phí bình quân là lượng chi phí tính bình quân trên một đơn vị sản phẩm. TC(Q) AC = Q Chi phí cận biên tại mỗi mức sản lượng Q là số đo xấp xỉ lượng chi phí gia tăng khi sản xuất thêm một đơn vị sản lượng. Hàm chi phí cận biên MC là đạo hàm bậc nhất của tổng chi phí (TC’) MC = TC’(Q) Ta có: ' ' ' ' 2 TC (TC) - TC (TC) Q - TC MC - ACQ AC (Q) = = = Q Q Q Q       Do Q > 0 nên dấu của AC’(Q) phụ thuộc dấu của MC – AC. Từ đây suy ra: - Nếu MC > AC thì AC’(Q) > 0, tức là khi chi phí cận biên lớn hơn chi phí bình quân thì chi phí bình quân tăng. - Nếu MC < AC thì AC’(Q) < 0, tức là khi chi phí cận biên nhỏ hơn chi phí bình quân thì chi phí bình quân giảm. - MC = AC khi và chỉ khi AC’(Q) = 0, tức là chi phí bình quân chỉ có thể đạt được cực tiểu tại điểm mà chi phí cận biên bằng chi phí bình quân. Tương tự, doanh thu bình quân TR(Q) AR(Q) = Q và doanh thu cận biên MR(Q) = TR’(Q) liên hệ với nhau như sau: - Nếu MR > AR thì AR’(Q) > 0, tức lân khi doanh thu cận biên lớn hơn doanh thu bình quân thì doanh thu bình quân tăng. PT IT PT IT Bài giảng toán kinh tế Chương 1: Mô hình toán kinh tế 13 - Nếu MR < AR thì AR’(Q) < 0, tức là khi doanh thu cận biên nhỏ hơn doanh thu bình quân thì doanh thu bình quân giảm. - MR = AR khi và chỉ khi AR’(Q) = 0, tức là doanh thu bình quân chỉ có thể đạt cực đại tại điểm mà doanh thu cận biên bằng doanh thu bình quân. Áp dụng các kiến thức trên ta sẽ xét chi tiết hơn phương pháp phân tích so sánh tĩnh a) Đo lường sự thay đổi của biến nội sinh theo biến ngoại sinh. Phân tích so sánh tĩnh đòi hỏi phải đo lường sự phản ứng, biến động (tức thời) cả về xu hướng, độ lớn của biến nội sinh khi một biến ngoại sinh trong mô hình có sự thay đổi nhỏ, còn các biến khác không đổi hoặc khi các biến ngoại sinh cùng thay đổi. Có thể dùng đạo hàm và vi phân để đo lường sự thay đổi này. Giả sử nghiệm của mô hình có biến nội sinh Y phụ thuộc vào các biến ngoại sinh X1, X2,,Xn như sau Y = F(X1, X2,,Xn), trong đó F có thể có các tham số α, β, Ký hiệu X = (X1, X2,,Xn), khi đó có thể viết Y = F(X, α, β,). ● Đo lường sự thay đổi tuyệt đối: - Xét hàm Y = F(X1, X2,,Xn), tại điểm X = X 0, gọi sự thay đổi của Y là ΔYi khi chỉ có Xi thay đổi một lượng nhỏ ΔXi, tức là: ΔYi = F(X1, X2, Xi + ΔXi,.,Xn) - F(X1, X2, Xi,.,Xn) ΔYi gọi là số gia riêng của Y theo Xi tại X 0. Ta có lượng thay đổi trung bình của Y theo Xi tại X 0: i i Y ρ = X   Trong trường hợp F khả vi theo Xi ta có tốc độ thay đổi tức thời tại X = X 0 đang xét là: 0 i i F(X ) ρ(X ) = X   Nếu ΔXi khá nhỏ thì ρ(Xi) = ρ, vì vậy nếu ΔXi = 1 thì có thể coi: ρ(Xi) = ΔYi ρ(Xi) gọi là giá trị cận biên của x tại x0 Thí dụ 1.2: Giả sử hàm sản xuất của doanh nghiệp là: Với L =100 đơn vị lao động (chẳng hạn 100 giờ lao động /tuần), mức sản lượng tương ứng là Q = 50 sản phẩm. Sản phẩm cận biên của lao động tại L =100 là: 'L 5 MP = Q = = 0,25 2 L Điều này có nghĩa là khi tăng mức sử dụng lao động hàng tuần lên một đơn vị (từ 100 lên 101) thì sản lượng hàng tuần sẽ tăng thêm khoảng 0,25 đơn vị hiện vật. Thí dụ 1.3: Chi phí C(Q) phụ thuộc sản lượng Q và được mô hình hoá như sau: C(Q) = Q3 – 61,5Q2 + 1528,5Q + 2000 Sự thay đổi của C khi Q tăng (giảm) một đơn vị (chi phí cận biên), ký hiệu là MC, được xác định bằng công thức: C’(Q) = MC(Q) = 3Q2 - 122,5Q + 1528,5 - Trong trường hợp tất cả các biến ngoại sinh đều thay đổi với các lượng khá nhỏ, ký hiệu là ΔX1, ΔX2,., ΔXn, thì để tính sự thay đổi của biến nội sinh Y – ký hiệu là ΔY – ta dùng công thức xấp xỉ: PT IT PT IT Bài giảng toán kinh tế Chương 1: Mô hình toán kinh tế 14 1 2 n 1 2 n F F F Y = X + X +.......+ X X X X           - Nếu ΔX1, ΔX2,., ΔXn là các vi phân của biến ngoại sinh thì ta có thể sử dụng công thức vi phân toàn phần: 1 2 n 1 2 n F F F dY = dX + dX +.......+ dX X X X       - Nếu bản thân Xi lại là biến nội sinh phụ thuộc vào một hoặc nhiều biến khác thì để đo lường sự thay đổi của biến Y theo sự thay đổi của Xi ta sử dụng công thức tính đạo hàm của hàm hợp. - Trong trường hợp quan hệ giữa biến nội sinh và biến ngoại sinh không thể hiện dưới dạng tường minh mà dưới dạng hàm ẩn, thì để tính sự thay đổi tuyệt đối ta áp dụng công thức tính đạo hàm của hàm ẩn. Nếu biến nội sinh Y có liên hệ với các biến ngoại sinh Xi dưới dạng: F(Y, X1, X2,., Xn) = 0 Khi đó để tính đạo hàm của Y theo Xi ta dùng công thức: i i Y F F - : (i = 1,n) X X Y        (1.4) Thí dụ 1.4. Giả sử Y và X1, X2 có liên hệ với nhau theo biểu thức: Y2 = 2 21 2X + X Rõ ràng giữa Y và X1, X2 có mối liên hệ hàm số nhưng dưới dạng hàm ẩn. Ta cần tìm i Y , i = 1, 2 X   . Ta có thể viết: Y2 – ( 2 21 2X + X ) = 0 Áp dụng công thức trên ta có: i i XY = - (i = 1, 2) X Y   +/ Đo lường thay đổi tương đối: Để đo tỷ lệ thay đổi tương đối (tức thời) của biến nội sinh với sự thay đổi tương đối của một biến ngoại sinh, người ta dùng hệ số co dãn (hệ số co giãn riêng). Hệ số co dãn (độ co giãn) của biến phụ thuộc Y theo biến Xi tại X = X 0, ký hiệu i Y 0 Xε (X )- được định nghĩa bởi công thức: i 00 Y 0 i X 0 i XF(X ) ε (X ) = X F(X )    (1.5) Hệ số này cho biết tại X = X0, khi biến Xi thay đổi 1% còn các biến khác không đổi thì Y thay đổi bao nhiêu %. Nếu hệ số co dãn i Y 0 Xε (X ) > 0 thì Xi và Y thay đổi cùng hướng, ngược lại, i Y 0 Xε (X ) < 0 thì Xi và Y thay đổi ngược hướng. Nếu muốn đo lường sự thay đổi tương đối của Y khi tất cả các biến ngoại sinh đều thay đổi (tương đối) theo cùng một tỷ lệ ta dùng hệ số co dãn chung (toàn phần), tính theo công thức: i n Y 0 Y 0 X i=1 ε (X ) = ε (X ) (1.6) PT IT PT IT Bài giảng toán kinh tế Chương 1: Mô hình toán kinh tế 15 Trong đó: i Y 0 Xε (X ) là hệ số co dãn riêng của Y theo Xi tính tại điểm X 0, εY(X0) cho ta biết tại X = X0 tỷ lệ phần trăm thay đổi của Y khi tất cả Xi cùng thay đổi 1%. Xu hướng thay đổi của Y phụ thuộc vào dấu và độ lớn của các hệ số co dãn riêng. Nói chung hệ số co dãn của Y (riêng hoặc toàn phần) phụ thuộc vào điểm chúng ta tính, tức là phụ thuộc vào các biến ngoại sinh. Tuy nhiên, nếu quan hệ giữa Y và các biến ngoại sinh có dạng: 1 2 nα α α 0 1 2 nY = α X X .......X với 0 1 nα ,α .......α là các tham số, thì có thể chứng minh được rằng: i Y X iε (X) = α (i = 1,2) (1.7) Và do đó: n Y i i=1 ε (X) = α (1.8) Thí dụ 1.5: Với Q là mức sản lượng, K là vốn và L là số lượng lao động được sử dụng, ta có mô hình quen thuộc (mô hình hàm sản xuất)., giả sử có dạng: Q = aKάLβ với α, β > 0. Ta có Q Q K Lε = α, ε = β và Qε = α + β. Nếu Y, Xi > 0, thì hệ số co dãn i Y Xε có thể tính theo công thức: i Y X i (LnY) ε (LnX )    (1.9) Trong đó LnY, LnXi là lôgarit cơ số e của Y và Xi. Nếu gọi i F X   là hàm cận biên – ký hiệu là MFi và gọi i Y X là hàm trung bình – ký hiệu AFi của Y theo Xi thì ta có: i Y i X i MF ε AF  (1.10) Thí dụ 1.6: Nếu hàm cầu là: 1400 – p2 thì hệ số co dãn tại điểm p là: 2 ' 2 Q ' p 2 2 p (1400-p ) p -2p ε = D (p) = = D(p) (1400-p ) 1400-p Nếu p = 20 ta có ε = -0,8. Điều này có nghĩa là, tại mức giá p = 20, nếu giá tăng 1% thì cầu sẽ giảm khoảng 0,8%. b) Tính hệ số tăng trưởng (nhịp tăng trưởng) Trong trường hợp mô hình có biến ngoại sinh là biến thời gian, thì sự biến động của biến nội sinh theo thời gian được đo bằng hệ số tăng trưởng. Hệ số tăng trưởng của một biến đo tỷ lệ biến động của biến đó theo thời gian. Giả sử Y = F(X1, X2, ., Xn, t) với t là biến thời gian. Hệ số tăng trưởng của Y – ký hiệu là rY – được định nghĩa bằng công thức: Y Y tr Y   (1.11) Thông thường rY được tính theo tỷ lệ %. PT IT PT IT Bài giảng toán kinh tế Chương 1: Mô hình toán kinh tế 16 Thí dụ 1.7: Với công thức tính lãi kép liên tục, ta có lượng tiền thu được tại thời điểm t là Vt, tính theo công thức: Vt = V0e rt; trong đó V0 là vốn gốc, r là lãi suất, t là thời gian. Hệ số tăng trưởng của Vt là: t Y t V tr = r V   Nếu thời gian t không quá dài, hoặc lãi suất r tính theo từng chu kỳ thì công thức trên có dạng: Vt = V0(1 + r) t Do đó hệ số tăng trưởng của V là Ln(1 + r) = r Đầu tư một khoản tiền 100 triệu đồng với lãi suất 10%/năm. Sau 8 năm thu được cả vốn lẫn lãi là 214,358881 triệu đồng (tính theo lãi kép). Hỏi lãi suất đầu tư (tỷ lệ sinh lời của đầu tư) là bao nhiêu? Giải: Áp dụng công thức: n 8n 0 V 214.358.881 r = -1 = - 1 = 10% V 100.000.000 Tổng quát, nếu biến nội sinh phụ thuộc thời gian một cách gián tiếp thông qua sự phụ thuộc vào thời gian của các biến khác, tức là hàm số có dạng: Y = F(X1(t), X2(t),., Xn(t)) thì hệ số tăng trưởng của Y có thể tính dựa vào hệ số tăng trưởng của các biến Xi theo công thức: i i n Y Y X X i=1 r ε r  (1.12) Trong đó i Y Xε là hệ số co giãn của Y theo Xi và iXr là hệ số tăng trưởng của Xi. c) Hệ số thay thế (bổ sung, chuyển đổi). Giả sử Y = F(X1, X2, ., Xn), tại X = X 0 giá trị tương ứng của Y là Y = F(X0) = Y0. Vấn đề đặt ra là nếu ta cho hai biến ngoại sinh thay đổi và cố định các biến còn lại sao cho Y không đổi, tức Y = Y0, thì sự thay đổi của hai biến này phải theo tỷ lệ nào? Tuỳ thuộc vào ý nghĩa thực tiễn của hai biến, tỷ lệ này có thể gọi là tỷ lệ thay thế (thay thế giữa vốn và lao động), tỷ lệ bổ sung (bổ sung giữa hai mặt hàng), tỷ lệ chuyển đổi (chuyển đổi giữa tiêu dùng hiện tại và tiêu dùng tương lai). Ta có thể tính hệ số này như sau: Theo công thức vi phân toàn phần, ta có: 1 2 n 1 2 n F F F dY = dX + dX +.....+ dX X X X       Giả sử cho hai biến Xi và Xj thay đổi, do Y và Xk (k ≠ i, j) không đổi, nên: ji i j j j F XdXF F 0 = dX + dX = FX X dX X i i        (1.13) Nếu dXi/dXj < 0 thì ta nói rằng Xi có thể thay thế (chuyển đổi) được cho Xj (tại X = X 0) với tỷ lệ i j dX dX , tỷ lệ này cho ta biết khi giảm (tăng) mức sử dụng Xj một đơn vị thì phải tăng (giảm) mức sử dụng Xi bao nhiêu đơn vị để giữ nguyên mức của Y và được gọi là hệ số thay thế (cận biên) của Xi cho Xj. PT IT PT IT Bài giảng toán kinh tế Chương 1: Mô hình toán kinh tế 17 Nếu dXi/dXj > 0 thì ta nói rằng Xi, Xj bổ sung cho nhau (tại X = X 0) với tỷ lệ i j dX dX , tỷ lệ này cho ta biết khi tăng (giảm) mức sử dụng Xj một đơn vị thì phải tăng (giảm) mức sử dụng Xi bao nhiêu đơn vị để giữ nguyên mức của Y và được gọi là hệ số bổ sung (cận biên) của Xi cho Xj. Nếu dXi/dXj = 0 thì ta nói rằng Xi, Xj không thể thay thế (hoặc bổ sung) cho nhau (tại X = X 0). 1.2.7 Áp dụng phân tích đối với một số mô hình kinh tế phổ biến 1.2.7.1. Mô hình tối ưu Các mô hình tối ưu thường được sử dụng trong phân tích kinh tế, ở đây chúng ta sẽ đề cập đến các mô hình tối ưu khi nghiên cứu hoạt động chi tiết của cơ chế thị trường (kinh tế vi mô, vĩ mô). Thông qua các mô hình tối ưu ta có thể phân tích cách ứng xử, hành vi của các tác nhân kinh tế khi họ theo đuổi mục tiêu của mình. Trong phạm vi chương này ta làm quen với một số mô hình về hành vi sản xuất và tiêu dùng. a) Mô hình hành vi sản xuất. Sản xuất được hiểu là quá trình biến đổi các yếu tố đầu vào thành đầu ra (sản phẩm, dịch vụ) bằng một công nghệ hay quy trình nào đó. Tác nhân thực hiện quá trình sản xuất gọi là doanh nghiệp. Trong kinh tế thị trường, doanh nghiệp tham gia hoạt động sản xuất, kinh doanh vì mục tiêu lợi nhuận, hơn nữa là lợi nhuận cực đại (đặc biệt khi ta xét trong dài hạn). Để đạt mục tiêu này, doanh nghiệp phải lựa chọn các yếu tố đầu vào cùng mức độ sử dụng, mức sản lượng cung ứng ra thị trường và giá bán sản phẩm căn cứ vào thực lực của doanh nghiệp (trình độ công nghệ, trình độ quản lý, khả năng nguồn tự có,) và các điều kiện liên quan tới thị trường đầu vào và thị trường đầu ra. Toàn bộ quá trình lựa chọn này là hành vi của doanh nghiệp. Như vậy, hành vi của doanh nghiệp có liên quan tới: Thực trạng về công nghệ hiện có của doanh nghiệp (bao gồm cả trình độ quản lý, điều hành). Các điều kiện trên thị trường yếu tố sản xuất, trong đó doanh nghiệp với tư cách là người mua. Các điều kiện trên thị trường sản phẩm, dịch vụ, trong đó doanh nghiệp với tư cách là người bán. Để phân tích hành vi của doanh nghiệp ta đưa ra một số mô hình sau: ● Mô hình hàm sản xuất Để mô tả trình độ công nghệ của doanh nghiệp ta sử dụng mô hình hàm sản xuất. Đây là mô hình đơn giản vì chỉ có một biến nội sinh và một phương trình. - Mô hình hoá công nghệ: Giả sử với trình độ công nghệ hiện có doanh nghiệp có thể sử dụng n loại yếu tố để tạo ra sản phẩm hoặc dịch vụ và nếu các yếu tố được sử dụng ở mức X1, X2,., Xn, doanh nghiệp tạo ra được Q đơn vị đầu ra (hiện vật hoặc giá trị). Như vậy có một mối quan hệ giữa mức sử dụng các yếu tố và mức sản lượng và quan hệ này đặc trưng cho tình trạng công nghệ của doanh nghiệp. Ta thể hiện quan hệ này bằng hàm số: Q = F(X1, X1, Xn) hoặc viết gọn hơn Q = F(X) với X = (X1, X1, Xn) và gọi là hàm sản xuất của doanh nghiệp. Mô hình này có biến nội sinh là mức sản lượng Q, các biến ngoại sinh là mức sử dụng các yếu tố đầu vào X1, X1, Xn và có thể chứa các tham số. Như vậy, hàm sản xuất mô tả quan hệ giữa kết quả sản xuất (đầu ra) có hiệu quả nhất (về mặt kỹ thuật) phụ thuộc vào các yếu tố sản xuất (đầu vào). Chúng ta có thể sử dụng mô hình hàm sản xuất gộp để mô tả tình trạng công nghệ của một ngành, một vùng, thậm chí nền sản xuất của một quốc gia. Với hàm sản xuất gộp, các yếu tố thường được PT IT PT IT Bài giảng toán kinh tế Chương 1: Mô hình toán kinh tế 18 nhóm gộp thành các yếu tố chính là vốn, lao động, tài nguyên, ngoài ra có thể đề cập tới tiến bộ kỹ thuật. Các hàm sản xuất phổ biến: Dạng tuyến tính: Q = a1X1 + a2X2 + .. + anXn Đặc điểm quan trọng nhất của hàm dạng tuyến tính là hệ số thay thế giữa các biến không đổi. Hệ số thay thế của Xi chi Xj là: c(i, j) = - aj/ai. Hàm sản xuất dạng Cobb – Douglas với vốn và lao động: Q = aKαLβ với a, α, β > 0 là các tham số. Trong đó Q là sản lượng; K là vốn; L là lao động. Đường mức của hàm sản xuất có phương trình: f(K, L) = Q0 (Q0 = const > 0) Trong kinh tế học thuật ngữ “đường mức” của hàm sản xuât có tên gọi là đường đồng lượng hay đường đẳng lượng. Đường đồng lượng là tập hợp các tổ hợp yếu tố sản xuất (Vốn, lao động) cho cùng một mức sản lượng Q0 cố định. - Phân tích mô hình; tác động của yếu tố sản xuất tới sản lượng. Với công cụ là hàm sản xuất và một số hàm kinh tế dẫn xuất từ hàm này ta có thể phân tích chi tiết hơn tình trạng công nghệ của doanh nghiệp trong việc sử dụng có hiệu quả các yếu tố. +/ Về mặt ngắn hạn, với công nghệ hiện có, doanh nghiệp chỉ có khả năng thay đổi một số yếu tố có tính lưu động. Ta có thể đo lường hiệu quả của việc sử dụng các yếu tố đó bằng các thước đo sau: Năng suất biên của yếu tố i (sản phẩm hiện vật cận biên): i i F MP = X   MPi cho biết khi doanh nghiệp cố định mức sử dụng các yếu tố khác và tăng (giảm) mức sử dụng yếu tố i thì mức sản lượng sẽ tăng (giảm) bao nhiêu đơn vị. Với ý nghĩa như trên, MPi thường được giả thiết là dương. - Năng suất trung bình của yếu tố i: i i F(X) AP = X - Độ co giãn của Q theo yếu tố i: i Q i X i MP ε = AP - Hệ số thay thế giữa yếi tố i và yếu tố j: ji j i MPdX = dX MP Trong tình huống doanh nghiệp chỉ có khả năng thay đổi được yếu tố i còn các yếu tố khác không thay đổi được (cố định) thì việc sử dụng yếu tố i có lợi nhất sẽ là ở mức mà năng suất trung bình của yếu tố i đạt cực đại. Tình huống này được gọi là tình huống tối ưu về mặt kỹ thuật. Xem xét tình huống này chúng ta có mô hình: i F(X) Max X  Có thể chứng minh điều kiện cần (với nhiều dạng hàm cũng là điều kiện đủ) đối với nghiệm ( *iX ): * iX phải là nghiệm của phương trình: PT IT PT IT Bài giảng toán kinh tế Chương 1: Mô hình toán kinh tế 19 i i F(X) F X X    (1.14) Do vế trái của phương trình là APi, còn vế phải là MPi nên khi doanh nghiệp sử dụng yếu tố i ở mức mà năng suất biên của yếu tố bằng năng suất trung bình thì sẽ đạt tối ưu về mặt kỹ thuật. +/ Về mặt dài hạn, doanh nghiệp có khả năng thay đổi tất cả các yếu tố và tình huống được quan tâm là khi tất cả các yếu tố đều thay đổi theo cùng một tỷ lệ (tuyệt đối, tương đối) thì tác động này ảnh hưởng như thế nào tới sản lượng. Khi này chúng ta đề cập tới vấn đề tăng quy mô và hiệu quả (Return to Scale). Cho hàm sản xuất: Q = F(X1, X2, ., Xn) với λX =( λX1, λX2,, λXn), ta nói quy mô sản xuất thay đổi với hệ số λ (λ > 1). Nếu: F(λX) > λ.F(X) thì công nghệ sản xuất (ứng với hàm sản xuất) gọi là tăng quy mô có hiệu quả (hiệu quả tăng theo quy mô). F(λX) < λ.F(X) thì công nghệ sản xuất (ứng với hàm sản xuất) gọi là tăng quy mô không có hiệu quả (hiệu quả giảm theo quy mô). F(λX) = λ.F(X) thì công nghệ sản xuất (ứng với hàm sản xuất) gọi là tăng quy mô không thay đổi hiệu quả (hiệu quả không đổi theo quy mô). Để đo hiệu quả theo quy mô (tương đối) ta dùng độ co giãn toàn phần của Q theo các yếu tố: Q i n Q X i=1 ε = ε Thí dụ 1.8: Cho hàm sản xuất Cobb – Douglas với hai yếu tố vốn (K) và lao động (L): Q = aKαLβ Đây là hàm sản xuất có hệ số co giãn của sản lượng Q theo các biến không đổi, Q Q K Lε = α; ε = β và khi tăng quy mô sản xuất λ lần thì kết quả sản xuất tăng λα + β lần. Như vậy, đối với hàm này hiệu quả tăng (giảm, không đổi) theo quy mô khi và chỉ khi α + β >(<,=) 1. Ta xét năng suất biên của các yếu tố: α-1 β K α β-1 L Q MP = = aαK L K Q MP = = aβK L L     Tại điểm (K0, L0) giá trị MPK biểu diễn xấp xỉ lượng sản phẩm hiện vật gia tăng khi sử dụng them một đơn vị vốn (tư bản) và giữ nguyên mức sử dụng lao động. MPL biểu diễn xấp xỉ lượng sản phẩm gia tăng khi sử dụng thêm một đơn vị lao động và giữ nguyên mức sử dụng vốn. Tỷ lệ thay thế của lao động cho vốn là: K L MP α L = MP β K  (1.17) Mô hình tối ưu về mặt kinh tế của quá trình sản xuất ● Đặt vấn đề: Sử dụng các mô hình mô tả công nghệ sản xuất của doanh nghiệp để phân tích ta mới chỉ đạt được tối ưu về mặt kỹ thuật, chưa tính tới các điều kiện bên ngoài, thị trường đầu vào. Đối với doanh nghiệp, các điều kiện liên quan đến thị trường đầu vào được thể hiện thông qua giá của các yếu tố sản xuất. Đây là nguồn thông tin mà doanh nghiệp không thể bỏ qua khi lựa chọn mức sử dụng các yếu tố. Hơn nữa, với nhiều hàm sản xuất (công nghệ) cho phép các doanh nghiệp trong chừng mực nhất định có thể sử dụng linh hoạt các yếu tố. Điều này tạo khả năng cho doanh (1.15) (1.16) TIT PT IT Bài giảng toán kinh tế Chương 1: Mô hình toán kinh tế 20 nghiệp có thể lựa chọn nhiều tổ hợp sử dụng yếu tố theo mục đích của họ. Doanh nghiệp có thể gặp hai tình huống. Một là, với mức sản lượng dự kiến sản xuất doanh nghiệp phải tiêu tốn một khoản chi phí để thực hiện, đương nhiên là doanh nghiệp mong muốn lựa chọn tổ hợp sử dụng các yếu tố sao cho tổng chi phí là nhỏ nhất – cực tiểu hoá chi phí. Hai là, với số kinh phí đầu tư ấn định trước, doanh nghiệp muốn lựa chọn tổ hợp sử dụng các yếu tố sao cho mức sản lượng là cao nhất – tối đa hoá sản lượng. Các tình huống trên gọi là tình huống tối ưu về kinh tế vì nếu giá bán sản phẩm, dịch vụ của doanh nghiệp không đổi, doanh nghiệp tiêu thụ được hết sản lượng thì cả hai tình huống trên đều đem lại lợi nhuận tối đa cho doanh nghiệp. ● Mô hình hoá: Giả sử hàm sản xuất của doanh nghiệp là: Q = F(X1, X2,., Xn) và giá của các yếu tố là w1, w2,,, wn. - Tình huống cực tiểu hoá chi phí: Gọi Q là mức sản lượng doanh nghiệp dự kiến sản xuất. Doanh nghiệp sử dụng các yếu tố ở mức X1, X2,., Xn để sản xuất Q, như vậy với hàm sản xuất trên sẽ phải có điều kiện F(X1, X2,., Xn) = Q, điều kiện này gọi là ràng buộc về sản lượng. Đồng thời doanh nghiệp phải chi một khoản là: n i i i=1 w X . Như vậy, ứng với tình huống này ta có mô hình MHIC: Z = n i i i=1 w X  Min với điều kiện F(X1, X2,., Xn) = Q Trong đó: biến nội sinh là Z, X1, X2, ., Xn, biến ngoại sinh là Q, w1, , wn. - Tình huống tối đa hoá sản lượng: Gọi K là số kinh phí doanh nghiệp dự kiến dùng để mua các yếu tố đầu vào với mức X1, X2,., Xn trong kỳ sản xuất. Với giá các yếu tố đã cho sẽ có n i i i=1 w X = K, điều kiện này gọi là ràng buộc về chi phí. Mức sản lượng tướng ứng sẽ là: Q = F(X1, X2,., Xn) Ứng với tình huống này ta có mô hình MHID: Q = F(X1, X2,., Xn)  Max với điều kiện n i i i=1 w X = K Trong đó biến nội sinh là Q, X1, X2,, Xn, biến ngoại sinh là K, w1, w2, , wn. Trong cả hai tình huống, các mô hình tương ứng đều là các bài toán tìm cực trị có điều kiện. ● Phân tích mô hình: Ta sẽ thực hiện việc phân tích mô hình MHIC, đối với mô hình MHID cách làm và kết quả tương tự. - Giải mô hình: Lập hàm Lagrange của bài toán: L(X1, X2, ., Xn, λ ) = n i i i=1 w X + λ (Q – F(X1, X2,., Xn)) Xét hệ phương trình: i L = 0 (i = 1,n) (*) X L = 0 (**) λ      (1.18) Ký hiệu nghiệm tối ưu là: i *X ( i= 1,n ), khi đó điều kiện cần của tối ưu là i *X phải thoả mãn hệ phương trình trên. Trong thực tế với nhiều dạng hàm F, điều kiện cần cũng là điều kiện đủ. PT IT PT IT Bài giảng toán kinh tế Chương 1: Mô hình toán kinh tế 21 Ta có: i i i L F = w - λ = 0 (i = 1,n) X X     Suy ra ji i j ww = = λ F F X X     với mọi cặp i,j (i≠ j). Từ đây ta có: i i j j F w X = Fw X     với mọi (i≠ j) (1.19) Phương trình (**) chính là điều kiện ràng buộc về sản lượng. Vế trái của (1.19) là tỷ giá của các yếu tố i, j; vế phải chính là hệ số thay thế giữa hai yếu tố này. Vậy ta có thể nói, điều kiện cần của việc sử dụng tối ưu các yếu tố là ở mức mà tại đó tỷ lệ thay thế giữa các yếu tố bằng tỷ giá của chúng. Để xác định nghiệm của mô hình ta cần giải hệ phương trình (1.18) với ràng buộc về sản lượng. Ký hiệu trị tối ưu là TC và giá trị của nhân tử Lagrange là *λ . Rõ ràng TC phụ thuộc vào sản lượng Q, giá các yếu tố và các tham số khác trong hàm sản xuất, nên ta có thể viết TC = TC(Q, w1, w2,, wn) và gọi là hàm tổng chi phí của doanh nghiệp ứng với mức sản lượng Q và mức giá w1, w2,, wn. Nhiều khi chúng ta cố định mức giá w1, w2,, wn và chỉ xét TC như là hàm của Q. Đối với mô hình MHID, sau khi phân tích cũng sẽ thu được kết quả như biểu thức (1.19). - Phân tích so sánh tĩnh: Phân tích tác động của sản lượng, giá tới tổng chi phí. Từ hàm TC(Q, w1, w2,, wn) có thể dẫn xuất các hàm chi phí trung bình AC, hàm chi phí biên MC: TC AC = Q TC MC = Q   Từ các hàm này có thể tính hệ số co giãn của tổng chi phí, chi phí trung bình, chi phí biên theo sản lượng. Người ta đã chứng minh được rằng vớsi TC(Q, w1, w2, , wn) được định từ mô hình MHIC thì: MC(Q) = *λ (1.20) *i i TC = X (i = 1,n) w   (1.21) Từ (1.19) ta thấy nếu tất cả giá yếu tố đều biến động theo cùng một tỷ lệ, thì hệ (1.19) không đổi do đó i *X sẽ không đổi. Thí dụ 1.9: Hàm sản xuất của doanh nghiệp có dạng: Q = 25K0,5L0,5 Trong đó Q – sản lượng, K – vốn và L – lao động. Cho giá vốn pK = 12, giá lao động pL = 3. -Tính mức sử dụng K, L để sản xuất sản lượng Q = Q0 = 1250 với tổng chi phí nhỏ nhất? - Tính hệ số co giãn của tổng chi phí theo sản lượng tại Q0? - Nếu giá vốn và lao động đều tăng 10% và giữ nguyên mức sản lượng rthì mức sử dụng vốn, lao động tối ưu sẽ thay đổi như thế nào? - Phân tích tác động của giá vốn, giá lao động tới tổng chi phí? P IT PT IT Bài giảng toán kinh tế Chương 1: Mô hình toán kinh tế 22 Giải: Theo mô hình MHIC ta có bài toán: Z = 12K + 3L  Min Với điều kiện ràng buộc: 25K0,5L0,5 = 1250 - Nghiệm tối ưu: K*, L* là nghiệm của hệ phương trình: K K L L 0,5 0,5 MP p = MP p 25K L = 1250      Sử dụng (1.18) với α = 0,5, β = 0,5 ta có: (MPK/MPL) = (0,5/0,5)(L/K) = pK/pL = 4, suy ra L = 4K Thay L = 4K vào ràng buộc sản lượng ta được 50K = 1250. Kết quả là K* = 25, L* = 100. - Ta có thể tính được mức chi phí thấp nhất TC(Q0) = 600, do đó AC(Q0) = 600/1250 = 0,48. Theo (1.20), MC(Q0) = *λ = K * * * 0,5 * 0,5 L p 3 6 = = MP (K L ) 12,512,5 (K ) (L )   Hệ số co giãn của tổng chi phí theo sản lượng tại Q0 được tính theo công thức (1.10) sẽ là: TC 0 Q 0 MC(Q ) 6 ε = = 1 AC(Q ) 12,5 0,48   - Vì giá các yếu tố đều tăng cùng một tỷ lệ nên K*, L* không đổi. - Theo (1.21), ta có: * * K L TC TC = K = 25 > 0, = L = 100 > 0 p p     nên khi giá vốn, giá lao động tăng thì chi phí sẽ tăng. Mô hình tối đa hoá lợi nhuận của doanh nghiệp: Mô hình xác định mức cung ● Đặt vấn đề: Mục tiêu của doanh nghiệp là lợi nhuận tối đa. Để đạt mục tiêu này, Doanh nghiệp phải xử lý mối quan hệ giữa doanh nghiệp – thị trường yếu tố đầu vào và doanh nghiệp – thị trường sản phẩm, dịch vụ đầu ra. Doanh nghiệp phải biết kết hợp giữa tối ưu về mặt kỹ thuật, tối ưu về mặt kinh tế với các điều kiện trong thị trường đầu ra. Các điều kiện này bao gồm: Vị thế của doanh nghiệp trên thị trường (thị phần của doanh nghiệp). Sự hình thành giá bán sản phẩm, dịch vụ của doanh nghiệp. Doanh nghiệp sẽ tính toán mức cung sản phẩm, dịch vụ cho thị trường và giá bán như thế nào để tối đa hoá lợi nhuận? Tuỳ thuộc vào vị thế của doanh nghiệp trên thị trường đầu ra và sẽ có cách tính khác nhau. Ta sẽ xét hai loại hình doanh nghiệp: cạnh tranh hoàn hảo và độc quyền. ● Mô hình hoá: Ký hiệu TR(Q) là doanh thu khi doanh nghiệp cung ứng và tiêu thụ trên thị trường mức sản lượng Q. Ta có các định nghĩa doanh thu biên (MR) và doanh thu trung bình (AR) sau đây: dTR MR(Q) = dQ TR AR(Q) = Q Gọi TC(Q) là chi phí tương ứng với Q (có tính tối ưu về mặt kinh tế), lợi nhuận sẽ là: Π(Q) = TR(Q) – TC(Q) Để xác định mức sản lượng làm tối đa hoá lợi nhuận (mức cung) của doanh nghiệp ta có mô hình: PT IT PT IT Bài giảng toán kinh tế Chương 1: Mô hình toán kinh tế 23 Π(Q)  Max (1.22) Mô hình có biến nội sinh là Q, Π; biến ngoại sinh là các biến ngoại sinh (khác Q) có mặt trong các hàm TR và TC. ● Phân tích mô hình: +/ Giải mô hình Vì Π(Q) = TR(Q) – TC(Q). Bài toán đặt ra là: Chọn mức sản lượng Q0 để thu lợi nhuận tối đa. Điều kiện cần để Π đạt cực đại tại điểm Q0 là: Π’ = TR’(Q0) – TC ’(Q0) = 0 ↔ TR ’(Q0) = TC ’(Q0) ↔ MR = MC Điều kiện cần của tối ưu là: dTR TC = dQ dQ (1.23) Như vậy, điều kiện cần để mức sản lượng làm tối đa hoá lợi nhuận là tại mức này doanh thu biên phải bằng chi phí biên. Điều kiện đủ của tối ưu là nếu sản lượng tiếp tục tăng thì doanh thu biên phải nhỏ hơn chi phí biên (lợi ích cận biên giảm dần). Hay đạo hàm cấp hai của hàm lợi nhuận phải âm: Π’’ = TR’’ – TC’’ < 0 ↔ TR’’ < TC’’ (1.24) - Trường hợp doanh nghiệp cạnh tranh hoàn hảo: Doanh nghiệp là người chấp nhận giá nên giá bán sản phẩm, dịch vụ (p) là biến ngoại sinh và p không đổi theo mức cung của doanh nghiệp. Doanh nghiệp căn cứ vào hàm sản xuất, hàm chi phí và giá p để xác định mức cung tối đa hoá lợi nhuận. Ta có TR(Q) = pQ nên mô hình (1.22) chỉ có một biến nội sinh là Q. Do MR = p, vì vậy (1.23) sẽ là: p = MC(Qp) (1.25) Tức là, đối với doanh nghiệp cạnh tranh hoàn hảo, họ sẽ chọn sản lượng đem cung ứng ra thị trường ở mức mà chi phí biên bằng giá bán sản phẩm, dịch vụ. Phương trinh (1.25) thể hiện quan hệ giữa mức cung của doanh nghiệp và giá bán trên thị trường nhưng dưới dạng hàm ngược. - Trường hợp doanh nghiệp độc quyền: Do không có sản phẩm cạnh tranh thay thế nên doanh nghiệp có toàn quyền tự quy định giá bán và mức cung đề tối đa hoá lợi nhuận và mức cầu của thị trường bằng mức cung của doanh nghiệp. Như vậy, giá bán sản phẩm, dịch vụ của doanh nghiệp phụ thuộc vào mức cung của doanh nghiệp, tức là p = p(Q); trong trường hợp này mô hình (1.22) có hai biến nội sinh p và Q. Thông thường p là là hàm nghịch biến của Q nên tồn tại hàm ngược của Q = Q(p). Thực chất, cả hai hàm p = (Q) và Q = Q(p) đều thể hiện cùng một mối quan hệ, đó là quan hệ giữa giá và mức cầu của thị trường. Nếu biểu diễn quan hệ này bằng hàm Q = Q(p) thì hàm này gọi là hàm cầu xuôi, ý nghĩa của nó là: nếu doanh nghiệp độc quyền định giá là p thì mức cầu của thị trường (cũng là mức cung của doanh nghiệp) sẽ là Q(p). Nếu biểu diễn quan hệ này bằng hàm: p = p(Q) thì hàm cầu này gọi là hàm cầu ngược, ý nghĩa của nó: nếu doanh nghiệp độc quyền cung ứng cho thị trường mức Q thì phải định giá là p mới cân bằng mức cầu của thị trường. Khi xét doanh nghiệp độc quyền, hàm cầu của thị trường thường được cho dưới dạng hàm cầu ngược. Với hàm cầu ngược, TR = p(Q)Q nên MR = p(Q) + dp Q dQ do đó (1.23) trở thành: p(Q) + dp Q dQ = MC(Q) (1.26) Để giải mô hình – xác định mức cung làm tối đa hoá lợi nhuận, ta cần giải phương trình (1.23) hoặc các biến thể của nó (1.25) và (1.26) và có thể cần kiểm tra điều kiện đủ của nghiệm. PT IT PT IT Bài giảng toán kinh tế Chương 1: Mô hình toán kinh tế 24 - Phân tích so sánh tĩnh: Ký hiệu Q*, Π* là mức sản lượng tối đa hoá lợi nhuận và mức lợi nhuận tối đa. Rõ ràng Q*, Π* phụ thuộc các biến ngoại sinh có trong mô hình (1.23) và được gọi là hàm cung, hàm lợi nhuận của doanh nghiệp. Để phân tích tác động của biến ngoại sinh tới Q* và Π* ta có thể sử dụng công thức tính đạo hàm của hàm ẩn vì thế coi (1.23) như phương trình hàm ẩn. Người ta đã chứng minh được rằng: +/ Đối với doanh nghiệp cạnh tranh hoàn hảo ta có: * *π = Q p   (1.27) Thí dụ 1.10: Một doanh nghiệp có hàm tổng doanh thu TR = 58Q – 0,5Q2 và hàm tổng chi phí TC = 1 3 Q3 – 8,5Q2 + 97Q + FC,trong đó Q là sản lượng cà FC là chi phí cố định. Với FC = 4, hãy xác định mức sản lượng tối đa hoá lợi nhuận? Hãy phân tích tác động của chi phí cố định FC tới mức sản lượng tối đa hoá lợi nhuận và mức lợi nhuận tối đa? Giải: - Ta có MR = 58 – Q, MC = Q2 – 17Q + 97, theo (1.23) ta có: 58 – Q = Q2 – 17Q + 97 (i) Giải phương trình bậc 2 đối với Q ta được hai nghiệm là 3 và 13. Thử vào điều kiện đủ của tối ưu ta được Q* = 13. Điều kiện đủ tại Q* = 13 là: TR’’ = -1 và TC’’ = 2Q0 – 17 = 9 → TR ’’< TC’’được thỏa mãn - Chi phí cố định FC không có mặt trong (i) nên Q* không phụ thuộc vào FC. Do *π = TR(Q*) - 1 3 Q3 – 8,5Q2 - 97Q - FC nên *dπ = -1 < 0 dFC do đó FC tác động ngược chiều tới mức lợi nhuận tối đa. Thí dụ 1.11: Một doanh nghiệp cạnh tranh hoàn hảo có hàm chi phí biên MC = 2Q2 – 12Q + 25, chi phí cố định FC và giá bán sản phẩm là p. - Xác định hàm tổng chi phí TC với FC = 20. Với p = 39 hãy xác định mức sản lượng và mức lợi nhuận tối ưu? - Nếu giá p tăng 10% thì mức sản lượng, lợi nhuận tối ưu sẽ biến động như thế nào? Giải: - Ta có: TC = 3 2 2 MCdQ + FC = Q - 6Q + 25Q + 20 3 Theo (1.25) ta có p = 2Q2 – 12Q + 25 (ii) Giải phương trình trên với p = 39, loại bỏ nghiệm âm, kiểm tra điều kiện cần của tối ưu được: Q* = 7 và *π = 143,3 .Kiểm tra điều kiện đủ, ta có: TR’’ = p’ = 4Q* - 12 = 16 và TC’’ = 4Q* - 12 = 16 → TR’’ ≤ TC’’ được thỏa mãn. - Trước hết cần tính hệ số co giãn của Q* và *π theo giá p. Để tính *dQ dp ta có thể áp dụng công thức tính đạo hàm của hàm ẩn vì Q* là nghiệm của (ii). Ta có thể viết: p – 2Q*2 + 12Q* - 25 = 0 Gọi biểu thức vế trái là F(p,Q*), suy ra: * * * dQ F/ p 1 1 = = - = dp F/ Q -4Q + 12 4Q - 12     PT IT PT IT Bài giảng toán kinh tế Chương 1: Mô hình toán kinh tế 25 Như vậy: * * Q p * * * dQ p p ε = = dp Q (4Q - 12)Q  Thay p = 39, Q* = 7 ta tính được *Q pε = 0,348. Theo (1.26) ta có: * *π = Q = 7 p   Suy ra * * π p * dπ p 7 39 ε = = 1,9 dp π 143,3    Như vậy nếu giá p tăng 1% thì mức sản lượng tối ưu tăng 0,348% và lợi nhuận tăng 1,9%, do đó khi p tăng 10% thì mức sản lượng tối ưu tăng 3,48% và lợi nhuận tối ưu tăng 19%. Thí dụ 1.12: Một doanh nghiệp cạnh tranh hoàn hảo có hàm tổng chi phí TC= Q3 – Q2 + 1 với Q ≥ 1. - Với giá thị trường là p, hãy viết phương trình xác định hàm cung của doanh nghiệp? - Phân tích tác động của giá p tới mức cung tối đa hoá lợi nhuận và tới mức lợi nhuận tối đa của doanh nghiệp? Giải: - Theo (1.26) ta có phương trình xác định hàm cung: P = 3Q2 – 2Q - Ta phải tính *dQ dp và *dπ dp . Áp dụng cách tính đạo hàm hàm ẩn đói với phương trình trong câu trên, ta có: * * dQ 1 = dp 6Q - 2 . Với Q* ≥ 1, hiển nhiên *dQ dp > 0. Mặt khác ta có *dπ dp = Q* > 0. Vậy khi giá p tăng thì mức cung và lợi nhuận của doanh nghiệp đều tăng. Thí dụ 1.13: Một doanh nghiệp độc quyền có hàm cầu ngược: p = 490 – 2Q và hàm tổng chi phí: TC = 0,5Q2AD0,5 trong đó Q là sản lượng và AD là chi phí quảng cáo. - Với AD = 9, hãy xác định mức sản lượng và giá bán tối ưu? - Phân tích tác động của chi phí quảng cáo AD tới mức sản lượng và giá bán tối ưu? Giải: - Ta có MC = Q.AD0,5, với AD = 9, theo (1.25) suy ra: 490 – 2Q + (-2Q) = Q.AD0,5 = 3Q (iii) Giải phương trình trên và kiểm tra điều kiện đủ của tối ưu ta được Q* = 70, thay vào hàm cầu ta có p* = 350. - Để phân tích tác động của AD tới Q* ta cần tính *dQ dAD . Áp dụng cách tính đạo hàm của hàm ẩn đối với (iii), kết quả là: * * -0,5 0,5 dQ -0,5Q AD = dAD 4 + AD . Do AD > 0, Q* > 0 nên *dQ dAD < 0. Vì p* = 490 – 2Q*, theo công thức tính đạo hàm hàm hợp ta có: PT IT PT IT Bài giảng toán kinh tế Chương 1: Mô hình toán kinh tế 26 * * * * dp dp dQ = dAD dQ dAD  . Do *dQ dAD < 0 và * * dp = -2 dQ . (vì p* = 490 = 2Q*), nên *dp > 0 dAD . Như vậy nếu chi phí quảng cáo tăng lên thì doanh nghiệp sẽ bán được ít hang hơn nhưng với giá cao hơn. Với AD = 9, Q* = 70 thay vào các biểu thức *dQ dAD và *dp dAD ta tính được khi tăng một đơn vị chi phí quảng cáo, Q* sẽ giảm và p* sẽ tăng bao nhiêu đơn vị. Khi đã có mức biến động tuyệt đối ta có thể xét đến biến động tương đối. Thí dụ 1.14: Trong thí dụ này ta sẽ kết hợp điều kiện tối ưu về kinh tế và tối đa hoá lợi nhuận của doanh nghiệp. Giả sử doanh nghiệp có hàm sản xuất Q = F(K, L) trong đó K là vốn, L là lao động; giá vốn là pK, giá lao động là pL; giá bán sản phẩm của doanh nghiệp là p. Hãy xác định mức sử dụng vốn và lao động để doanh nghiệp đạt lợi nhuận cao nhất? Giải: π = pQ – (pKK + pLL) = pF(K, L) – (pKK + pLL)  Max Đây là bài toán cực trị hai biến, không ràng buộc. Xác định điều kiện cần của tối ưu (với nhiều hàm sản xuất, điều kiện này cũng là điều kiện đủ): Trường hợp doanh nghiệp cạnh tranh hoàn hảo: pMPK = pK; pMPL = pL (*) Trường hợp doanh nghiệp độc quyền: π = p(Q)Q - (pKK + pLL) = p(F(K, L))F(K, L) - (pKK + pLL)  Max p(F(K, L))MPK = pK; p(F(K, L))MPL = pL (**) Giải hệ phương trình này ta được K*, L*; thay vào hàm sản xuất sẽ tìm được Q* và do đó tính được π *. Phân tích so sánh tĩnh: Người ta chứng minh được rằng: Đối với cả hai loại doanh nghiệp ta luôn có: * * K π = - K p   và * * L π = - L p   (1.28) Đối với doanh nghiệp cạnh tranh hoàn hảo ta có: * *π = Q p   (1.29) Thí dụ 1.15 : Một doanh nghiệp cạnh tranh hoàn hảo có hàm sản xuất: Q = K0,5 + L0,5 với pK = 6, pL = 4 và p = 2. - Xác định mức sử dụng vốn và lao động tối ưu? - Phân tích tác động của giá vốn, giá lao động tới mức lợi nhuận tối đa? Giải: Ta có MPK = 0,5K -0,5; MPL = 0,5L -0,5. Theo (*) suy ra: K-0,5 = 6; L-0,5 = 4 do đó K* = 1/36; L* = 1/16. Theo (1.27): * * K π = - K p   = -1/36 < 0 * * L π = - L p   = -1/16 < 0 Nên khi giá vốn và giá lao động tăng lợi nhuận của doanh nghiệp sẽ giảm. +/ Trường hợp doanh nghiệp cạnh tranh hòa hảo sản xuất nhiều loại sản phẩm: PT IT PT IT Bài giảng toán kinh tế Chương 1: Mô hình toán kinh tế 27 Giả sử doanh nghiệp sản xuất 2 loại sản phẩm có hàm chi phí kết hợp: TC = TC(Q1, Q2) Trong đó Q1 là số lượng sản phẩm thứ nhất, và Q2 là số lượng sản phẩm thứ hai. Do tính chất cạnh tranh, doanh nghiệp phải chấp nhận giá thị trường của các sản phẩm đó. Với p1, p2 là giá thị trường của hai loại sản phẩm. Hàm tổng lợi nhuận có dạng: п = p1Q1 + p2Q2 – TC(Q1,Q2) Bài toán trong trường hợp này là chọn một cơ cấu sản xuất (Q1, Q2) để hàm tổng lợi nhuận đạt giá trị lớn nhất. Thí du 1.16: Giả sử hàm tổng chi phí kết hợp của doanh nghiệp cạnh tranh hoàn hảo là: 2 21 2 1 2TC = 6Q + 3Q + 4Q Q Và giá sản phẩm là p1 = 60, p2 = 34. Hàm tổng lợi nhuận là: п = 60Q1 + 34Q2 2 2 1 2 1 2- 6Q - 3Q - 4Q Q Điều kiện cần để đạt lợi nhuận tối đa là: 1 2 1 1 2 2 π = 60 - 12Q - 4Q 0 Q π = 34 - 4Q - 6Q = 0 Q      * 1 * 2 Q = 4 Q = 3     Ta kiểm tra điều kiện đủ: 2 2 2 11 22 122 2 1 2 1 2 π π π π = = -12; π = = -6; π = = -4 Q Q Q Q        Điều kiện đủ 211 22 12 11 22π π - π 0; π 0; π 0   được thỏa mãn với mọi Q1, Q2, do đó lợi nhuận sẽ lớn nhất nếu doanh nghiệp sản xuất 4 đơn vị sản phẩm thứ nhất và 3 đơn vị sản phẩm thứ hai. +/ Trường hợp doanh nghiệp độc quyền sản xuất nhiều loại sản phẩm: Xét trường hợp doanh nghiệp độc quyền sản xuất hai loại sản phẩm với hàm chi phí kết hợp: TC = TC(Q1, Q2) Doanh nghiệp độc quyền định giá sản phẩm của mình căn cứ vào chi phí sản xuất và cầu của thị trường. Giả sử cầu đối với các sản phẩm là: Q1 = D1(p1)  p1 = -1 1 1D (Q ) (Đối với sản phẩm thứ nhất) Q2 = D2(p2)  p2 = -1 2 2D (Q ) (Đối với sản phẩm thứ hai) Hàm lợi nhuận có dạng: п = p1Q1 + p2Q2 – TC(Q1,Q2) Căn cứ vào cầu thị trường ta có thể biểu diễn tổng lợi nhuận theo Q1 và Q2: п = -11 1D (Q ) .Q1 + -1 2 2D (Q ) .Q2 – TC(Q1,Q2) Theo phương pháp giải bài toán cực trị của hàm hai biến ta xác định được nghiệm Q1, Q2 để lợi nhuận đạt cực đại, từ đó suy ra giá tối ưu. Thí dụ 1.17: Giả sử doanh nghiệp độc quyền sản xuất hai loại sản phẩm với hàm chi phí kết hợp: TC = 2 21 1 2 2Q + 5Q Q + Q Giả sử hàm cầu của các loại hàng hóa đó là: p1 = 56 – 4Q1 (Đối với sản phẩm thứ nhất) p2 = 48 – 2Q2 (Đối với sản phẩm thứ hai) PT IT PT IT Bài giảng toán kinh tế Chương 1: Mô hình toán kinh tế 28 Hàm lợi nhuận là: п = p1Q1 + p2Q2 – 2 2 1 1 2 2Q - 5Q Q - Q = (56 – 4Q1)Q1 + (48 – 2Q2)Q2 - 2 2 1 1 2 2Q - 5Q Q - Q = 56Q1 + 48Q2 - 1 2 2 2 1 25Q - 3Q - 5Q Q Giải bài toán cực trị ta xác định được mức sản lượng cho lợi nhuận tối đa: * *1 2 96 40 Q = ; Q = 35 7 Giá bán để đạt lợi nhuận tối đa là: * * * *1 1 2 2 1576 256 p = 56 - 4Q = 45; p = 48 - 2Q = 36,7 35 7   Tổng cộng mức cung của tất cả các doanh nghiệp hoạt động trên thị trường ta được mức cung của thị trường, Ký hiệu là S. Vì mức cung của mỗi doanh nghiệp phụ thuộc vào giá p và các yếu tố khác liên quan tới thị trường yếu tố sản xuất, công nghệ nên S cũng sẽ phụ thuộc vào các nhân tố này, tức là S = S(p, a, b, c,), trong đó a, b, c,..là các tham số đặc trưng cho các yếu tố khác có thể ảnh hưởng đến S. Thí dụ 1.18: Giả sử doanh nghiệp cạnh tranh độc quyền có hàm chi phí kết hợp: TC = 2000 + 10Q (Q = Q1 + Q2) Cầu của thị trường 1: Q1 = 21 – 0,1p1 Cầu của thị trường 2: Q2 = 50 – 0,4p2 Vấn đề đặt ra là lựa chọn Q1, Q2 để doanh nghiệp đạt lợi nhuận tối đa trong hai trường hợp: - Có phân biệt giá giữa hai thị trường Không phân biệt giá giữa hai thị trường. Giải: Đảo ngược hàm cầu ta có: p1 = 210 – 10Q1 p2 = 125 – 2,5Q2 Tổng doanh thu của cả hai thị trường là: TR = p1Q1 + p2Q2 = (210 – 10Q1)Q1 + (125 – 2,5Q2)Q2 Tổng lợi nhuận của doanh nghiệp là: π = TR – TC = (210 – 10Q1)Q1 + (125 – 2,5Q2)Q2 - 2000 - 10(Q1 + Q2) = 200Q1 + 115Q2 - 10 2 1Q - 2,5 2 2Q - 2000 - Trường hợp có phân biệt giá giữa hai thị trường: Các biến chọn Q1, Q2 độc lập với nhau, tức không có điều kiện ràng buộc. Điều kiện cần để π đạt cực đại là: ' '1 1 2 1 1 2 π π π = = 200 - 20Q = 0; π = = 115 - 5Q = 0 Q Q     Giải ra ta xác định được 1Q = 10; 2Q = 23. Dễ dàng ta thấy rằng điều kiện đủ của cực đại được thỏa mãn với mọi Q1, Q2. Khi đó giá bán trên mỗi thị trường là: p1 = 210 – 10 1Q = 110 p2 = 125 – 2,5 2Q = 67,5 Tổng lợi nhuận thu được là: π = 322,5 PT IT PT IT Bài giảng toán kinh tế Chương 1: Mô hình toán kinh tế 29 -Trường hợp không được phép phân biệt giá thì ta cần giải bài toán cực đại hóa hàm tổng lợi nhuận với điều kiện ràng buộc: p1 = p2  210 – Q1 = 125 – 2,5Q2  10Q1 – 2,5Q2 = 85 Áp dụng hàm Lagrange ta có: f(Q1,Q2, λ) 200Q1 + 115Q2 - 10 2 1Q - 2,5 2 2Q - 2000 + λ(85 -10Q1 + 2,5Q2) 11 1 22 2 λ 1 2 Q = 13,4L 200 - 2Q - 10λ = 0 L 115 - 5Q - 2,5λ = 0 Q = 19,6 L = 85 -10Q + 2,5Q = 0 λ = -6,8           Điều kiện đủ của cực đại trong trường hợp này cũng được thỏa mãn. Khi đó giá bán là: 1 2p = p = 76 và lợi nhuận thu được là: π = 178. Thí dụ 1.19: Giả sử doanh thu cận biên ở mỗi mức sản lượng Q được xác định dưới dạng hàm số: MR = 60 – - 2Q - 2Q2 Xác định hàm tổng doanh thu và hàm cầu đối với sản phẩm? Giải: Hàm tổng doanh thu TR là nguyên hàm của hàm doanh thu cận biên: 2 2 3 0 2 TR = (60 2Q - 2Q )dQ = 60Q - Q - Q + R 3  Hiển nhiên là khi Q = 0 thì R0 = 0 Vậy TR = 60Q – Q2 - 2 3 Q3 Gọi p = p(Q) là hàm cầu ngược, ta có: TR = p(Q)Q Suy ra: p(Q) = 2 TR 2 = 60 - Q - Q Q 3 b) Mô hình hành vi tiêu dùng: Tác nhân hoạt động trong lĩnh vực tiêu thụ hàng hoá gọi là người tiêu dùng. Trong trường hợp hàng hoá được tiêu thụ là sản phẩm cuối cùng thì người tiêu dùng được gọi là hộ gia đình. Trong phạm vi môn học, chúng ta sẽ đề cập tới hành vi của hộ gia đình. Hành vi của các hộ gia đình trên thị trường hàng hoá là cách thức họ mua sắm, tiêu thụ các loại hàng hoá, từ đó hình thành mức cầu các loại hàng hoá của hộ gia đình. Hộ gia đình quyết định chọn loại hàng nào, mua với khối lượng bao nhiêu phụ thuộc vào: Sở thích, thị hiếu, thu nhập dùng cho chi tiêu mua hàng hoá, giá cả của hàng hoá, mục đích tiêu dùng. Để phân tích hành vi của hộ gia đình ta sẽ sử dụng một số mô hình đề cập tới các yếu tố trên. ● Mô hình hàm thoả dụng: - Mô hình hoá sở thích, thị hiếu của hộ gia đình: Hộ gia đình mua và tiêu thụ hàng hoá nhằm thoả mãn đòi hỏi về tâm, sinh lý, thể chất và tinh thần. Những đòi hỏi này và một số yếu tố khác như dân tộc, nơi cư trú, tôn giáo, truyền thống, thói quen, giới tính, tuổi tác, chi phối sự hình thành sở thích, thị hiếu. Giả sử hộ gia đình có thể mua và tiêu thụ m loại hàng hoá. Ký hiệu Xi là khối lượng hàng hoá thứ i họ dự kiến mua, khi đó véc tơ: X = (X1, X2,., Xm) gọi là một giỏ hàng (gói hàng). Mục đích của hộ gia đình là đáp ứng các đòi hỏi trên ở mức cao nhất có thể được. Để thực hiện mức độ đáp ứng, mức độ thoả mãn các nhu PT IT PT IT Bài giảng toán kinh tế Chương 1: Mô hình toán kinh tế 30 cầu khi tiêu thụ giỏ hàng X, chúng ta sử dụng hàm thoả dụng (hàm hữu dụng, hàm tiện ích, hàm lợi ích) ký hiệu là U. Như vậy: U(X) = U(X1, X2,., Xm, a, b, c,) Dạng hàm U và các tham số a, b, c,.biểu thị sở thích thị hiếu. - Phân tích mô hình: Từ hàm U(X) ta có thể tính: Độ thoả dụng biên của hàng hoá i: i i U MU = X   các hàm MUi thường được giả thiết là dương. Hệ số thay thế giữa loại hàng i bằng hàng j: MUj/MUi. ● Mô hình tối đa hoá thoả dụng – Mô hình xác định mức cầu các loại hàng hoá của hộ gia đình: - Đặt vấn đề: Với giá cả các loại hàng hoá và ngân sách tiêu dùng cho trước, hộ gia đình cần quyết định chọn mua loại hàng hoá nào? Khối lượng bao nhiêu sao cho số chi tiêu không vượt quá ngân sách tiêu dùng nhưng phải đáp ứng tối đa sở thích, thị hiếu. - Mô hình hoá: Ký hiệu M là ngân sách tiêu dùng của hộ gia đình, p1, p2,, pm là giá các loại hàng và U(X) là hàm thoả dụng của hộ gia đình. Khi hộ gia đình dự kiến mua giỏ hàng X = (X1, X2,., Xm) thì sẽ đạt mức thoả dụng là U(X) và cần chi tiêu một khoản m i i i=1 p X . Từ các yêu cầu ở trên ta có mô hình: Z = U(X)  Max Với điều kiện: m i i i=1 p X = M Điều kiện trên gọi là ràng buộc về ngân sách tiêu dùng. Mô hình có Z, X1, X2,., Xm, là các biến nội sinh, M, p1, p2,, pm là các biến ngoại sinh. - Phân tích mô hình: Bằng cách phân tích tương tự như đối với mô hình MHIC, ta có kết quả: điều kiện cần của tối ưu (đối với nhiều dạng hàm U cũng là điều kiện đủ) là nghiệm của mô hình phải thoả mãn ràng buộc ngân sách và hệ phương trình: i i j j U p X = i j Up X       (1.30) Như vậy, với ngân sách tiêu dùng và mặt bằng giá p1, p2,, pm cho trước, hộ gia đình muốn tối đa hoá độ thoả dụng thì cần mua và tiêu thụ các loại hàng ở mức hệ số thay thế giữa các loại hàng phải bằng tỷ giá. Để xác định mức cầu các hàng hoá ta cần giải hệ phương trình gồm hệ (1.30) và ràng buộc về ngân sách tiêu dùng. Trị tối ưu và nghiệm của mô hình sẽ phụ thuộc vào giá p1, p2,, pm, thu nhập M và U. Nếu U cố định , khi đó các thàng phần *iX của nghiệm sẽ xác định mức cầu (hàm cầu) loại hàng i của hộ gia đình. Ta có thể viết: *iX = * iX (p1, p2,, pm, M) ; i = 1, 2,, m với M khi này là tổng ngân sách tiêu dùng của tất cả các hộ gia đình. Các hàm cầu trên (phụ thuộc vào giá, thu nhập) gọi là hàm cầu Marshall, chúng thể hiện mức cầu hàng hoá trên thị trường mà chúng ta có thể quan sát và đo lường được. Thí dụ 1.20: Lập các hàm cầu Marshall của người tiêu dùng có hàm lợi ích: PT IT PT IT Bài giảng toán kinh tế Chương 1: Mô hình toán kinh tế 31 U = x0,4y0,9 Với điều kiện ràng buộc: pxx + pyy = M (Ràng buộc về ngân sách tiêu dùng) Giải: Hàm lợi ích dạng này thỏa mãn điều kiện: ' ' ' '2 ' '2 'x y xy x yy y xx2U U U - U U - U U > 0 Các hàm cầu Marshall được dẫn xuất từ hệ phương trình: '' yx x y UU = p p Với 0,9 0,4 ' 0,6 0,9 ' 0,4 0,1 x 0,6 0,1 2y 0,9x U = 0,4x y = ; U = 0,9x y 5x 10y y    Ta có: '' 0,9 0,4 yx 0,6 0,1 x y x y UU 2y 9x = = p p 5p x 10p y  Từ đó suy ra: x y 9p y = x 4p . Thay y theo x vào phương trình thứ hai, ta có: xx y y x y 9p 4M 9M p x + p x = M x = ; y = 4p 13p 13p  Hàm cầu đối với hàng hóa thứ nhất là: * x 4M x = 13p Hàm cầu đối với hàng hóa thứ hai là: * y 9M y = 13p Tổng cộng mức cầu hàng hoá của các hộ gia đình ta được mức cầu (hàm cầu) của thị trường, ký hiệu là D, D = D(p1, p2,, pm, M) với M khi này là tổng ngân sách tiêu dùng của tất cả các hộ gia đình. Thí dụ 1.21: Hàm thoả dụng của hộ gia đình khi tiêu dùng hàng hoá A có dạng: U = 40 0,25 0,5A BX X trong đó XA, XB là mức tiêu dùng hàng A, B. Giá hàng được cho như sau: pA = 4, pB = 10. - Có ý kiến cho rằng hàng hoá A luôn có thể thay thế hàng hoá B và tỷ lệ thay thế là 1:1. Hãy nhận xét ý kiến này? - Xác định mức cầu hàng hoá A, B của hộ gia đình nếu thu nhập M = 600. Giải: Tính hệ số thay thế giữa hai hàng hoá MUA/MUB. Ta có: MUA = -0,75 0,5 A B10X X và 0,25 -0,5 A B20X X Như vậy, MUA/MUB = XB /2XA > 0 do đó hai hàng hoá này luôn thay thế được cho nhau. Cũng theo kết quả này, để thay thế một đơn vị hàng A cần XB/2XA đơn vị hàng B, tỷ số XB/2XA không nhất thiết bằng 1, do đó ý kiến cho rằng tỷ lệ thay thế là 1:1 là không chính xác. - Ta có hệ phương trình xác định mức tiêu dùng tối ưu: MUA/MUB = pA/pB 600 = 40 0,25 0,5A BX X Từ câu trên ta đã biết MUA/MUB = XB/2XA nên hệ phương trình trở thành: XB/2XA = 2/5 600 = 40 0,25 0,5A BX X PT IT PT IT Bài giảng toán kinh tế Chương 1: Mô hình toán kinh tế 32 Giải hệ trên ta được: * * A BX = 50; X = 40 2.Mô hình cân bằng thị trường: a) Mô hình cân bằng một thị trường – Mô hình cân bằng riêng: - Đặt vấn đề: Những vấn đề liên quan tới hoạt động của thị trường hàng hoá thu hút sự quan tâm chẳng những của doanh nghiệp, người tiêu dùng mà còn của nhà nước. Điều này càng trở nên quan trọng khi hoạt động của thị trường cần “ bàn tay hữu hình” điều tiết. Vấn đề thường đặt ra là: trong quá trình hoạt động của thị trường, giá và lượng hàng hoá lưu thông được xác định như thế nào, những yếu tố nào có thể ảnh hưởng tới quá trình này và tác động của chúng ở mức độ nào. Giải đáp được vấn đề này, đối với doanh nghiệp và người tiêu dùng có sự điều chỉnh thích hợp trong hành vi khi theo đuổi mục tiêu của mình; đối với nhà nước sẽ có căn cứ và cách thức điều tiết thị trường theo định hướng mong muốn. Ta có thể mô hình hoá thị trường cùng sự hoạt động của nó bằng mô hình sau: - Mô hình hoá: Mô tả cung – cầu: mô hình hàm cung, hàm cầu của thị trường: Thị trường bao gồm các tác nhân tham gia vào lực lượng cung, lực lượng cầu hình thành cung, cầu liên hệ với nhau bởi giá cả trong quá trình trao đổi mua bán. Trong các mô hình phân tích hành vi sản xuất, tiêu dùng ta đã mô tả sự hình thành cung, cầu của các tác nhân và của toàn bộ lực lượng cung, cầu. Ta có thể sử dụng hàm cung, cầu (tổng hợp) để mô tả lực lượng cung, cầu trên thị trường. Hàm cung của thị trường: Giả sử hàm cung S = S(p, a, b,) trong đó p là giá hàng , a, b,.là các biến ngoại sinh. Hàm cầu của thị trường: Nhu cầu của người tiêu dùng về một mặt hàng phụ thuộc giá cả và thu nhập là mô hình sử dụng phổ biến. Hàm cầu của thị trường về một mặt hàng: D = D(p, pi, M, α, β,) Trong đó M là thu nhập, p là giá hàng hoá đang xét, pi là giá các hàng hoá khác có liên quan, α, β,là các biến ngoại sinh khác. Theo quy luật cung – cầu, giả thiết thường được nêu ra là DS > 0, < 0 p p     . Các giả thiết khác liên quan tới các biến ngoại sinh sẽ tuỳ thuộc vào nội dung kinh tế của chúng. Với giả thiết này các hàm S, D có tồn tại hàm ngược. Trong nhiều trường hợp hàm cung, cầu cho dưới dạng hàm ngược. PS = p(S, a, b, .) và gọi là giá cung (mức giá người sản xuất yêu cầu để cung khối lượng S). PD = p(D, pi, M, α, β,) gọi là giá cầu (mức giá người tiêu dùng trả để mua khối lượng D). - Phân tích so sánh tĩnh: Sử dụng các đạo hàm riêng của D ta có thể xem xét ảnh hưởng (tuyệt đối, tương đối) của giá, của thu nhập đến mức cầu của thị trường. - Phân tích quan hệ mức cầu – thu nhập: Nếu tất cả các giá đều cố định, thì mức cầu chỉ phụ thuộc vào thu nhập (thu nhập danh nghĩa và thu nhập thực tế khi này không có sự khác biệt vì tất cả đều là giá cố định), tức là: D = D(M). Đồ thị của hàm này gọi là đường cong Engel. Xu thế của các đường Engel thể hiện quan hệ giữa mức cầu và thu nhập. Nếu dD/dM > 0 thì hàng hoá đang xét gọi là hàng hoá bình thường (hàng thông thường, hàng cấp cao), nếu dD/dM < 0 gọi là hàng cấp thấp. Đối với hàng bình thường, khi thu nhập tăng, các hàng hoá khác nhau tăng với nhịp độ khác nhau. Có loại hàng tằng ngày càng chậm, thậm chí đến một ngưỡng nào đó sẽ bão hoà, tức là PT IT PT IT Bài giảng toán kinh tế Chương 1: Mô hình toán kinh tế 33 d2D/dM2 < 0. Những loại hàng này gọi là hàng thiết yếu. Với các mặt hàng thiết yếu nhu cầu bão hoà khi thu nhập quá cao. Nếu d2D/dM2 > 0 thì gọi là hàng xa xỉ. Với những mặt hàng xa xỉ nhu cầu tăng gần như không giới hạn khi thu nhập tăng. Đường Engel ứng với hàng thiết yếu và hàng xa xỉ: Hình 1.2a Hình 1.2b - Phân tích quan hệ mức cầu – giá cả: Với thu nhập danh nghĩa bằng tiền cố định, khi giá hàng biến động (giả sử tăng lên) sẽ ảnh hưởng chẳng những đến mức cầu mà cả thu nhập thực tế. do đó ta có sơ đồ kênh liên hệ: Hình 1.3 Khi này hàm cầu có dạng: D = D[(p, pi, M(p, pi)] - Phân tích ảnh hưởng của giá: Để phân tích ảnh hưởng của sự biến động giá p đến mức cầu D (các giá khác không đổi) ta tính dD/dp. Theo công thức tính đạo hàm hàm hợp ta có: dD D D M = + dp p M p       Như vậy, ảnh hưởng của việc giá hàng p tăng lên vừa trực tiếp vừa gián tiếp. Ảnh hưởng trực tiếp là cho người tiêu dùng phải tìm hàng hoá khác thay thế do đó làm giảm mức cầu, đó là ảnh hưởng (hiệu ứng) thay thế và thể hiện bởi ( D < 0 p   ). Ảnh hưởng gián tiếp làm giảm thu nhập thực tế của người tiêu dùng, đó là ảnh hưởng (hiệu ứng) thu nhập và thể hiện bằng số hạng thứ hai bên vế phải (với M < 0 p   ). Ảnh hưởng tổng cộng còn tùy thuộc vào dấu và độ lớn của D M   Nếu hàng hoá đang xét là hàng hoá bình thường ( D M   > 0), thì sự tăng giá p sẽ làm giảm mức cầu D vì khi này dD/dp < 0. D M D M Hàng thiết yếu Hàng xa xỉ Giá Mức cầu Thu nhập thực tế PT IT PT IT Bài giảng toán kinh tế Chương 1: Mô hình toán kinh tế 34 Nếu p tăng mà D tăng thì hàng hoá này là hàng cấp thấp ( D M   < 0). Từ đây chúng ta có thể thấy hàng hoá Giffen - hàng hoá mà khi giá tăng mức cầu tăng – là hàng cấp thấp. - Phân tích ảnh hưởng chéo của giá: Để đo lường ảnh hưởng của sự biến động giá hàng hoá i tới mức cầu hàng hoá đang xét, ta tính: i i i dD D D M = + dp p M p       Nếu dD/dpi > 0 thì hàng hoá đang xét và hàng i gọi là hai mặt hàng thay thế, nếu dD/dpi < 0 thì gọi là hai mặt hàng bổ sung. ● Mô hình cân bằng thị trường riêng: - Đặt vấn đề: Khi nghiên cứu mô hình hàm cung, hàm cầu hàng hoá của thị trường ta thấy yếu tố giá hàng hoá có liên quan tới cả hai hàm này và giá được xem là biến ngoại sinh. Nếu chúng ta quan tâm tới sự hình thành giá cả trên thị trường thì coi giá là biến nội sinh. Với tư cách là biến nội sinh, giá cả trước hết phụ thuộc vào cấu trúc của thị trường (cạnh tranh hoàn hảo, cạnh tranh không hoàn hảo, độc quyền) và sự điều tiết của nhà nước. Trong phạm vi môn học này, chúng ta đề cập tới sự hình thành giá cả liên quan tới quan hệ cung – cầu trên thị trường cạnh tranh hoàn hảo. Các yếu tố khác có thể ảnh hưởng tới sự hình thành giá cả được xem là các biến ngoại sinh. Mô hình được sử dụng để phân tích là mô hình cân bằng thị trường. Đây là lớp mô hình sử dụng trong nhiều lĩnh vực kinh tế xã hội khác nhau (giá cả, sản xuất – tiêu dùng, lao động – việc làm). - Mô hình hoá: Hàm cung: S = S(p, a, b,); S p   > 0 Hàm cầu: D = D(p, α, β,); D p   < 0 Điều kiện cân bằng thị trường: S = D với p là giá hàng hoá, a, b, α, β,là các biến ngoại sịnh. - Phân tích mô hình: Tìm nghiệm của mô hình: Giải phương trình cân bằng trên ta xác định được giá cân bằng p và do đó xác định được lượng cân bằng Q. Rõ ràng p lẫn Q đều phụ thuộc vào biến ngoại sinh có trong S và D. Phân tích tác động của các biến ngoại sinh tới giá và lượng cân bằng: Nếu ta có các biểu thức tường minh xác định chúng thì để nghiên cứu ảnh hưởng của các biến ngoại sinh, ta chỉ cần lấy đạo hàm riêng theo biến ngoại sinh từ phương trình cân bằng và theo công thức tính đạo hàm của hàm ẩn. Thí dụ; ta xét ảnh hưởng của biến ngoại sinh a tới giá cân bằng. phương trình cân bằng có thể viết dưới dạng: S – D = 0, đây là phương trình xác định hàm ẩn p theo a, b, α, β,Theo công thức tính đạo hàm của hàm ẩn ta có: S p a = D Sa p p         (1.31) Các đạo hàm riêng ở vế phải được tính tại p = p . Trong trường hợp quan hệ cung cầu hiện diện trên thị trường không cân bằng thì cơ chế giá sẽ hoạt động và đưa quan hệ về trạng thái cân bằng. Ta có thể minh hoạ tình huống này bằng sơ đồ mạng nhện. Thí dụ 1.22: Giả sử hàm cung, hàm cầu có dạng: PT IT PT IT Bài giảng toán kinh tế Chương 1: Mô hình toán kinh tế 35 S = -a + bp; a, b >0 D = α – βp; α, β > 0 Có thể giải thích ý nghĩa của các hệ số a, b, α, β như sau: Cho S = 0 (không có cung trên thị trường), suy ra p = a/b. Như vậy có thể coi a/b là mức giá giới hạn tối thiểu mà người sản xuất chấp nhận. Cho D = 0 (không có cầu), suy ra p = α/β, có thể coi α/β là mức giá giới hạn tối đa người tiêu dùng chấp nhận. Điều kiện cân bằng thị trường S = D tức là –a + bp = α – βp, giải phương trình này ta được mức giá cân bằng: α + a p = β + b và lượng cân bằng αb - βa Q = β + b . Phân tích tác động của a tới p , ta có p 1 = > 0 a β + b   do giả thiết b, β > 0. Chú ý rằng ta có thể tính p a   từ phương trình cân bằng và sẽ được kết quả tương tự. Thí dụ 1.23: Mức cầu loại hàng (D) phụ thuộc vào giá của hàng hoá đó (p) và thu nhập người tiêu dùng (M) có dạng sau; D = 1,5M0,3p-0,2 Mức cung loại hàng trên (S) có dạng: S = 1,4p0,3. Xác định hệ số co giãn của cầu theo giá, theo thu nhập? Xem xét tác động của thu nhập tới mức giá cân bằng? Giải: Hàm cầu có dạng Cobb – Douglas nên ta có: D D p Mε = - 0,2, ε = 0,3 . Ta có phương trình cân bằng: S = D, tức là 1,4p0,3 = 1,5M0,3p-0,2. Để phân tích tác động của thu nhập tới giá cân bằng ta cần tính p M   . Ta có thể tính biểu thức này từ phương trình cân bằng với việc áp dụng tính đạo hàm hàm ẩn. Ta có: 1,4p0,3 - 1,5M0,3p-0,2 = 0 Vì vậy -0,7 -0,2 -0,7 0,3 -1,2 p (1,5×0,3)M p = M (1,4×0,3)p +(1,5×0,2)M p   và tính được tại mức giá cân bằng. Do M, p > 0 nên p M   > 0, tức là khi thu nhập tăng (giảm) sẽ làm giá cân bằng tăng (giảm). Chú ý: nếu các hàm cung, cầu trong mô hình cân bằng thị trường được cho bằng các hàm ngược, thì mô hình sẽ có dạng: pS = p(S, a, b,.) pD = p(D, α, β,) pS = pD Cách thức phân tích mô hình hoàn toàn tương tự như trên. ● Mô hình cân bằng vĩ mô – Mô hình cân bằng thị trường hàng hoá – dịch vụ: - Đặt vấn đề: Phân tích kinh tế vĩ mô là phân tích mối liên hệ giữa các biến số kinh tế tổng hợp (biến gộp) đặc trưng cho hoạt động của toàn bộ nền kinh tế. Trong nền kinh tế thị trường, hoạt động của nền kinh tế diễn biến trong ba thị trường gộp: thị trường hàng hoá – dịch vụ, thị trường P IT PT IT Bài giảng toán kinh tế Chương 1: Mô hình toán kinh tế 36 tiền tệ và thị trường lao động. Cả ba thị trường này đều có liên hệ với nhau. Trong mỗi thị trường đều xuất hiện mức tổng cung, mức tổng cầu loại hàng hoá tương ứng. Đối với nền kinh tế mở, tham gia vào mức tổng cung, tổng cầu còn có các chủ thể bên ngoài quốc gia. Nghiên cứu và phân tích các nhân tố tác động đến tổng cung, tổng cầu do đó đến tình huống cân bằng của cả ba thị trường là việc quan trọng trong phân tích và hoạch định chính sách kinh tế của Chính phủ. Trong khuôn khổ môn học, chúng ta chỉ đề cập tới tình huống ngắn hạn do vậy công nghệ sản xuất và thị hiếu tiêu dùng có thể giả thiết là không đổi và đồng thời chỉ xét thị trường hàng hoá – dịch vụ với các phương trình dạng tuyến tính. - Mô hình hoá: Các chỉ tiêu kinh tế vĩ mô sử dụng trong mô hình là các chỉ tiêu thực (tính theo giá cố định). Mô tả cung: Vì ta chỉ xét thị trường hàng hoá – dịch vụ nên tổng cung của nền kinh tế (mức sản lượng, kết qủa sản xuất) được coi là ngoại sinh và ký hiệu là Q. Tổng cung có thể được đo bằng tổng sản phẩm quốc nội (GDP) hoặc tổng thu nhập quốc gia (GNI). Mô tả cầu: Tổng cầu của nền kinh tế bao gồm các bộ phận cấu thành: C: Nhu cầu tiêu dùng của dân cư. I: Nhu cầu cho đầu tư của dân cư. G: Nhu cầu tiêu dùng của chính phủ - Chi tiêu chính phủ. EX: Nhu cầu cho xuất khẩu. Ta có các phương trình hành vi sau đây mô tả quan hệ giữa các biến: Tiêu dùng của dân cư được giả thiết là có một bộ phận không phụ thuộc vào thu nhập - phần tiêu dùng tự định C0 và phần phụ thuộc vào thu nhập khả dụng, như vậy ta có: C = C0 + β(Y - T) Trong đó Y: thu nhập quốc dân, T: thuế và giả thiết là C0 > 0, 0 < β < 1. Ta có thể xem β là khuynh hướng tiêu dùng biên (MPC). Đầu tư I trong trường hợp đơn giản thường được giả thiết là gồm một phần không phụ thuộc vào lãi suất – I0 và một phần phụ thuộc tuyến tính theo lãi suất r, ta có: I = I0 – αr với α > 0 Nếu nhập khẩu là IM, tổng cầu trong nước sẽ là: C + I + G + EX – IM. Thuế T được giả thiết gồm khoản thuế thu nhập (δY) và các loại thuế khác (γ), như vậy: T = γ + δY với γ > 0, 0 < δ < 1. Chúng ta có thể coi δ là thuế suất của thuế thu nhập (thuế suất gộp). Điều kiện cân bằng thị trường hàng hoá – dịch vụ: Do tổng cung trong nước được thanh toán bằng thu nhập để đáp ứng tổng cầu trong nư