Bài giảng Toán cao cấp - Giải tích 1 - 864005 - Đạo hàm, Vi phân - Trần Thanh Bình

Bài giảng Toán cao cấp_ Giải tích 1_ 864005_Đạo hàm, Vi phân Trần Thanh Bình tranthanhbinhsgu@gmail.com Đại học Sài gòn Tháng 9- 2016 Khoa Toán-Ứng dụng (Institute) Bài giảng thứ ba 09/06 1 / 20 Bài giảng bao gồm 1 CÁC ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍNH CHẤT 1 Đạo hàm 2 Các phương pháp tính đạo hàm 3 Đạo hàm các hàm sơ cấp cơ bản 4 Vi phân 5 Đạo hàm của hàm ẩn 2 CÁC ĐỊNH LÝ CƠ BẢN 3 QUY TẮC L/HOSPITAL 4 BÀI TẬP Khoa Toán-Ứng dụng (Institute) Bài giảng thứ ba 09/06 2 / 20 Bài giảng bao gồm 1 CÁC ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍNH CHẤT 1 Đạo hàm 2 Các phương pháp tính đạo hàm 3 Đạo hàm các hàm sơ cấp cơ bản 4 Vi phân 5 Đạo hàm của hàm ẩn 2 CÁC ĐỊNH LÝ CƠ BẢN 3 QUY TẮC L/HOSPITAL 4 BÀI TẬP Khoa Toán-Ứng dụng (Institute) Bài giảng thứ ba 09/06 2 / 20 Bài giảng bao gồm 1 CÁC ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍNH CHẤT 1 Đạo hàm 2 Các phương pháp tính đạo hàm 3 Đạo hàm các hàm sơ cấp cơ bản 4 Vi phân 5 Đạo hàm của hàm ẩn 2 CÁC ĐỊNH LÝ CƠ BẢN 3 QUY TẮC L/HOSPITAL 4 BÀI TẬP Khoa Toán-Ứng dụng (Institute) Bài giảng thứ ba 09/06 2 / 20 Bài giảng bao gồm 1 CÁC ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍNH CHẤT 1 Đạo hàm 2 Các phương pháp tính đạo hàm 3 Đạo hàm các hàm sơ cấp cơ bản 4 Vi phân 5 Đạo hàm của hàm ẩn 2 CÁC ĐỊNH LÝ CƠ BẢN 3 QUY TẮC L/HOSPITAL 4 BÀI TẬP Khoa Toán-Ứng dụng (Institute) Bài giảng thứ ba 09/06 2 / 20 Bài giảng bao gồm 1 CÁC ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍNH CHẤT 1 Đạo hàm 2 Các phương pháp tính đạo hàm 3 Đạo hàm các hàm sơ cấp cơ bản 4 Vi phân 5 Đạo hàm của hàm ẩn 2 CÁC ĐỊNH LÝ CƠ BẢN 3 QUY TẮC L/HOSPITAL 4 BÀI TẬP Khoa Toán-Ứng dụng (Institute) Bài giảng thứ ba 09/06 2 / 20 Bài giảng bao gồm 1 CÁC ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍNH CHẤT 1 Đạo hàm 2 Các phương pháp tính đạo hàm 3 Đạo hàm các hàm sơ cấp cơ bản 4 Vi phân 5 Đạo hàm của hàm ẩn 2 CÁC ĐỊNH LÝ CƠ BẢN 3 QUY TẮC L/HOSPITAL 4 BÀI TẬP Khoa Toán-Ứng dụng (Institute) Bài giảng thứ ba 09/06 2 / 20 Bài giảng bao gồm 1 CÁC ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍNH CHẤT 1 Đạo hàm 2 Các phương pháp tính đạo hàm 3 Đạo hàm các hàm sơ cấp cơ bản 4 Vi phân 5 Đạo hàm của hàm ẩn 2 CÁC ĐỊNH LÝ CƠ BẢN 3 QUY TẮC L/HOSPITAL 4 BÀI TẬP Khoa Toán-Ứng dụng (Institute) Bài giảng thứ ba 09/06 2 / 20 Bài giảng bao gồm 1 CÁC ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍNH CHẤT 1 Đạo hàm 2 Các phương pháp tính đạo hàm 3 Đạo hàm các hàm sơ cấp cơ bản 4 Vi phân 5 Đạo hàm của hàm ẩn 2 CÁC ĐỊNH LÝ CƠ BẢN 3 QUY TẮC L/HOSPITAL 4 BÀI TẬP Khoa Toán-Ứng dụng (Institute) Bài giảng thứ ba 09/06 2 / 20 Bài giảng bao gồm 1 CÁC ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍNH CHẤT 1 Đạo hàm 2 Các phương pháp tính đạo hàm 3 Đạo hàm các hàm sơ cấp cơ bản 4 Vi phân 5 Đạo hàm của hàm ẩn 2 CÁC ĐỊNH LÝ CƠ BẢN 3 QUY TẮC L/HOSPITAL 4 BÀI TẬP Khoa Toán-Ứng dụng (Institute) Bài giảng thứ ba 09/06 2 / 20 Bài 1. CÁC ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍNH CHẤT Khoa Toán-Ứng dụng (Institute) Bài giảng thứ ba 09/06 3 / 20 1. ĐẠO HÀM 1 Đạo hàm Định nghĩa 1. Cho hàm f (x) xác định trên (a, b) và x0 2 (a, b) . 1) Ta định nghĩa đạo hàm của f tại x0 bởi f / (x0) = lim x!x0 f (x) f (x0) x x0 = limh!0 f (x0 + h) f (x0) h nếu vế phải tồn tại. 2) Nếu f / (x0) hữu hạn, ta nói f khả vi tại x0. 3) Nếu f khả vi tại x0, ta đặt α (x) = ( f (x)f (x0) xx0 , x 6= x0 0 , x = x0 Ta có f (x) f (x0) = h f / (x0) + α (x) i (x x0) , lim x!x0 α (x) = 0 (1) Khoa Toán-Ứng dụng (Institute) Bài giảng thứ ba 09/06 4 / 20 1. ĐẠO HÀM Mệnh đề 1. Nếu f khả vi tại x0 thì f liên tục tại x0 f liên tục tại x0 ; f khả vi tại x0 Định nghĩa 2. Các giới hạn một phía lim x!x0 f (x) f (x0) x x0 nếu tồn tại, được ký hiệu f /+ (x0) ; f / (x0)_ đạo hàm phải (trái). Mệnh đề 2 Đạo hàm f / (x0) tồn tại và bằng l khi và chỉ khi các đạo hàm một phía f /+ (x0) , f / (x0) tồn tại và bằng l . Khoa Toán-Ứng dụng (Institute) Bài giảng thứ ba 09/06 5 / 20 1. ĐẠO HÀM Mệnh đề 1. Nếu f khả vi tại x0 thì f liên tục tại x0 f liên tục tại x0 ; f khả vi tại x0 Định nghĩa 2. Các giới hạn một phía lim x!x0 f (x) f (x0) x x0 nếu tồn tại, được ký hiệu f /+ (x0) ; f / (x0)_ đạo hàm phải (trái). Mệnh đề 2 Đạo hàm f / (x0) tồn tại và bằng l khi và chỉ khi các đạo hàm một phía f /+ (x0) , f / (x0) tồn tại và bằng l . Khoa Toán-Ứng dụng (Institute) Bài giảng thứ ba 09/06 5 / 20 1. ĐẠO HÀM Mệnh đề 1. Nếu f khả vi tại x0 thì f liên tục tại x0 f liên tục tại x0 ; f khả vi tại x0 Định nghĩa 2. Các giới hạn một phía lim x!x0 f (x) f (x0) x x0 nếu tồn tại, được ký hiệu f /+ (x0) ; f / (x0)_ đạo hàm phải (trái). Mệnh đề 2 Đạo hàm f / (x0) tồn tại và bằng l khi và chỉ khi các đạo hàm một phía f /+ (x0) , f / (x0) tồn tại và bằng l . Khoa Toán-Ứng dụng (Institute) Bài giảng thứ ba 09/06 5 / 20 1. ĐẠO HÀM Mệnh đề 1. Nếu f khả vi tại x0 thì f liên tục tại x0 f liên tục tại x0 ; f khả vi tại x0 Định nghĩa 2. Các giới hạn một phía lim x!x0 f (x) f (x0) x x0 nếu tồn tại, được ký hiệu f /+ (x0) ; f / (x0)_ đạo hàm phải (trái). Mệnh đề 2 Đạo hàm f / (x0) tồn tại và bằng l khi và chỉ khi các đạo hàm một phía f /+ (x0) , f / (x0) tồn tại và bằng l . Khoa Toán-Ứng dụng (Institute) Bài giảng thứ ba 09/06 5 / 20 1. ĐẠO HÀM Mệnh đề 1. Nếu f khả vi tại x0 thì f liên tục tại x0 f liên tục tại x0 ; f khả vi tại x0 Định nghĩa 2. Các giới hạn một phía lim x!x0 f (x) f (x0) x x0 nếu tồn tại, được ký hiệu f /+ (x0) ; f / (x0)_ đạo hàm phải (trái). Mệnh đề 2 Đạo hàm f / (x0) tồn tại và bằng l khi và chỉ khi các đạo hàm một phía f /+ (x0) , f / (x0) tồn tại và bằng l . Khoa Toán-Ứng dụng (Institute) Bài giảng thứ ba 09/06 5 / 20 1. ĐẠO HÀM Ví dụ 1. Cho f (x) = jx j . lim x!0+ f (x) f (0) x = lim x!0+ x x = 1; lim x!0 f (x) f (0) x = lim x!0 x x = 1 Vậy f /+ (0) = 1; f / (0) = 1. Hàm f không có đạo hàm tại x0. Ví dụ 2. Cho f (x) = 3 p x2; f /+ (0) = +∞; f / (0) = ∞ f (x) = 3 p x , f / (0) = +∞ Khoa Toán-Ứng dụng (Institute) Bài giảng thứ ba 09/06 6 / 20 1. ĐẠO HÀM Ví dụ 1. Cho f (x) = jx j . lim x!0+ f (x) f (0) x = lim x!0+ x x = 1; lim x!0 f (x) f (0) x = lim x!0 x x = 1 Vậy f /+ (0) = 1; f / (0) = 1. Hàm f không có đạo hàm tại x0. Ví dụ 2. Cho f (x) = 3 p x2; f /+ (0) = +∞; f / (0) = ∞ f (x) = 3 p x , f / (0) = +∞ Khoa Toán-Ứng dụng (Institute) Bài giảng thứ ba 09/06 6 / 20 1. ĐẠO HÀM Ví dụ 1. Cho f (x) = jx j . lim x!0+ f (x) f (0) x = lim x!0+ x x = 1; lim x!0 f (x) f (0) x = lim x!0 x x = 1 Vậy f /+ (0) = 1; f / (0) = 1. Hàm f không có đạo hàm tại x0. Ví dụ 2. Cho f (x) = 3 p x2; f /+ (0) = +∞; f / (0) = ∞ f (x) = 3 p x , f / (0) = +∞ Khoa Toán-Ứng dụng (Institute) Bài giảng thứ ba 09/06 6 / 20 1. ĐẠO HÀM Ý nghĩa hình học của đạo hàm. Nếu f khả vi tại x0 thì đường cong (C ) : y = f (x) tại M0 (x0, f (x0)) có tiếp tuyến cho bởi: y f (x0) = f / (x0) (x x0) Nếu f / (x0) = ∞; f / (x0) = ∞ thì đồ thị (C ) tại M0 có tiếp tuyến (hoặc tiếp tuyến một phía) là đường x = x0. Khoa Toán-Ứng dụng (Institute) Bài giảng thứ ba 09/06 7 / 20 2. CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH ĐẠO HÀM 1 Đạo hàm 2 Các phương pháp tính đạo hàm 1 Quy tắc tính đạo hàm. Nếu các hàm f , g khả vi tại x0 thì các hàm f + g , cf , fg , fg  nếu g (x) 6= 0  cũng khả vi tại x0 và (f + g)/ (x0) = f / (x0) + g / (x0) ; (fg)/ (x0) = f / (x0) g (x0) + f (x0) g / (x0) ; f g / (x0) = f / (x0) g (x0) f (x0) g/ (x0) g2 (x0) Khoa Toán-Ứng dụng (Institute) Bài giảng thứ ba 09/06 8 / 20 2. CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH ĐẠO HÀM 1 Đạo hàm 2 Các phương pháp tính đạo hàm 1 Quy tắc tính đạo hàm. Nếu các hàm f , g khả vi tại x0 thì các hàm f + g , cf , fg , fg  nếu g (x) 6= 0  cũng khả vi tại x0 và (f + g)/ (x0) = f / (x0) + g / (x0) ; (fg)/ (x0) = f / (x0) g (x0) + f (x0) g / (x0) ; f g / (x0) = f / (x0) g (x0) f (x0) g/ (x0) g2 (x0) Khoa Toán-Ứng dụng (Institute) Bài giảng thứ ba 09/06 8 / 20 2. CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH ĐẠO HÀM 1 Đạo hàm 2 Các phương pháp tính đạo hàm 1 Quy tắc tính đạo hàm. Nếu các hàm f , g khả vi tại x0 thì các hàm f + g , cf , fg , fg  nếu g (x) 6= 0  cũng khả vi tại x0 và (f + g)/ (x0) = f / (x0) + g / (x0) ; (fg)/ (x0) = f / (x0) g (x0) + f (x0) g / (x0) ; f g / (x0) = f / (x0) g (x0) f (x0) g/ (x0) g2 (x0) Khoa Toán-Ứng dụng (Institute) Bài giảng thứ ba 09/06 8 / 20 2. CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH ĐẠO HÀM 1 Đạo hàm 2 Các phương pháp tính đạo hàm 1 Áp dụng quy tắc tính đạo hàm 2 Đạo hàm của hàm hợp Giả sử hàm hợp y = f (u (x)) ; (y = f (u) ; u = u (x)) thỏa mãn các điều kiện: 1 Hàm u (x) có đạo hàm đối với x 2 Hàm y = f (u) có đạo hàm đối với biến u. Khi đó hàm y = f (u (x)) có đạo hàm theo x và ta có: (f (u (x0))) / = f / (u (x)) .u/ (x)(vắn tắt: y/x = y / u .u / x ) Khoa Toán-Ứng dụng (Institute) Bài giảng thứ ba 09/06 9 / 20 2. CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH ĐẠO HÀM 1 Đạo hàm 2 Các phương pháp tính đạo hàm 1 Áp dụng quy tắc tính đạo hàm 2 Đạo hàm của hàm hợp Giả sử hàm hợp y = f (u (x)) ; (y = f (u) ; u = u (x)) thỏa mãn các điều kiện: 1 Hàm u (x) có đạo hàm đối với x 2 Hàm y = f (u) có đạo hàm đối với biến u. Khi đó hàm y = f (u (x)) có đạo hàm theo x và ta có: (f (u (x0))) / = f / (u (x)) .u/ (x)(vắn tắt: y/x = y / u .u / x ) Khoa Toán-Ứng dụng (Institute) Bài giảng thứ ba 09/06 9 / 20 2. CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH ĐẠO HÀM 1 Đạo hàm 2 Các phương pháp tính đạo hàm 1 Áp dụng quy tắc tính đạo hàm 2 Đạo hàm của hàm hợp Giả sử hàm hợp y = f (u (x)) ; (y = f (u) ; u = u (x)) thỏa mãn các điều kiện: 1 Hàm u (x) có đạo hàm đối với x 2 Hàm y = f (u) có đạo hàm đối với biến u. Khi đó hàm y = f (u (x)) có đạo hàm theo x và ta có: (f (u (x0))) / = f / (u (x)) .u/ (x)(vắn tắt: y/x = y / u .u / x ) Khoa Toán-Ứng dụng (Institute) Bài giảng thứ ba 09/06 9 / 20 2. CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH ĐẠO HÀM 1 Đạo hàm 2 Các phương pháp tính đạo hàm 1 Áp dụng quy tắc tính đạo hàm 2 Đạo hàm của hàm hợp Giả sử hàm hợp y = f (u (x)) ; (y = f (u) ; u = u (x)) thỏa mãn các điều kiện: 1 Hàm u (x) có đạo hàm đối với x 2 Hàm y = f (u) có đạo hàm đối với biến u. Khi đó hàm y = f (u (x)) có đạo hàm theo x và ta có: (f (u (x0))) / = f / (u (x)) .u/ (x)(vắn tắt: y/x = y / u .u / x ) Khoa Toán-Ứng dụng (Institute) Bài giảng thứ ba 09/06 9 / 20 2. CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH ĐẠO HÀM 1 Đạo hàm 2 Các phương pháp tính đạo hàm 1 Áp dụng quy tắc tính đạo hàm 2 Đạo hàm của hàm hợp Giả sử hàm hợp y = f (u (x)) ; (y = f (u) ; u = u (x)) thỏa mãn các điều kiện: 1 Hàm u (x) có đạo hàm đối với x 2 Hàm y = f (u) có đạo hàm đối với biến u. Khi đó hàm y = f (u (x)) có đạo hàm theo x và ta có: (f (u (x0))) / = f / (u (x)) .u/ (x)(vắn tắt: y/x = y / u .u / x ) Khoa Toán-Ứng dụng (Institute) Bài giảng thứ ba 09/06 9 / 20 2. CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH ĐẠO HÀM 1 Đạo hàm 2 Các phương pháp tính đạo hàm 1 Áp dụng quy tắc tính đạo hàm 2 Đạo hàm của hàm hợp Giả sử hàm hợp y = f (u (x)) ; (y = f (u) ; u = u (x)) thỏa mãn các điều kiện: 1 Hàm u (x) có đạo hàm đối với x 2 Hàm y = f (u) có đạo hàm đối với biến u. Khi đó hàm y = f (u (x)) có đạo hàm theo x và ta có: (f (u (x0))) / = f / (u (x)) .u/ (x)(vắn tắt: y/x = y / u .u / x ) Khoa Toán-Ứng dụng (Institute) Bài giảng thứ ba 09/06 9 / 20 2. CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH ĐẠO HÀM 1 Đạo hàm 2 Các phương pháp tính đạo hàm 1 Áp dụng quy tắc tính đạo hàm 2 Đạo hàm của hàm hợp Giả sử hàm hợp y = f (u (x)) ; (y = f (u) ; u = u (x)) thỏa mãn các điều kiện: 1 Hàm u (x) có đạo hàm đối với x 2 Hàm y = f (u) có đạo hàm đối với biến u. Khi đó hàm y = f (u (x)) có đạo hàm theo x và ta có: (f (u (x0))) / = f / (u (x)) .u/ (x)(vắn tắt: y/x = y / u .u / x ) Khoa Toán-Ứng dụng (Institute) Bài giảng thứ ba 09/06 9 / 20 2. CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH ĐẠO HÀM 1 Đạo hàm 2 Các phương pháp tính đạo hàm 1 Áp dụng quy tắc tính đạo hàm 2 Đạo hàm của hàm hợp Giả sử hàm hợp y = f (u (x)) ; (y = f (u) ; u = u (x)) thỏa mãn các điều kiện: 1 Hàm u (x) có đạo hàm đối với x 2 Hàm y = f (u) có đạo hàm đối với biến u. Khi đó hàm y = f (u (x)) có đạo hàm theo x và ta có: (f (u (x0))) / = f / (u (x)) .u/ (x)(vắn tắt: y/x = y / u .u / x ) Khoa Toán-Ứng dụng (Institute) Bài giảng thứ ba 09/06 9 / 20 2. CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH ĐẠO HÀM 1 Đạo hàm 2 Các phương pháp tính đạo hàm 1 Áp dụng quy tắc tính đạo hàm 2 Áp dụng đạo hàm của hàm hợp 3 Đạo hàm của hàm ngược: Giả sử Hàm f (x) : (a, b)! (c , d) là hàm ngược của hàm g (y) ; Hàm g (y) khả vi trên (c , d) và g/ (y) 6= 0, 8y 2 (c , d) Khi đó hàm f khả vi trên (a, b) và f / (x) = 1 g/ (y) x , y liên hệ bởi y = f (x) . Khoa Toán-Ứng dụng (Institute) Bài giảng thứ ba 09/06 10 / 20 2. CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH ĐẠO HÀM 1 Đạo hàm 2 Các phương pháp tính đạo hàm 1 Áp dụng quy tắc tính đạo hàm 2 Áp dụng đạo hàm của hàm hợp 3 Đạo hàm của hàm ngược: Giả sử Hàm f (x) : (a, b)! (c , d) là hàm ngược của hàm g (y) ; Hàm g (y) khả vi trên (c , d) và g/ (y) 6= 0, 8y 2 (c , d) Khi đó hàm f khả vi trên (a, b) và f / (x) = 1 g/ (y) x , y liên hệ bởi y = f (x) . Khoa Toán-Ứng dụng (Institute) Bài giảng thứ ba 09/06 10 / 20 2. CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH ĐẠO HÀM 1 Đạo hàm 2 Các phương pháp tính đạo hàm 1 Áp dụng quy tắc tính đạo hàm 2 Áp dụng đạo hàm của hàm hợp 3 Đạo hàm của hàm ngược: Giả sử Hàm f (x) : (a, b)! (c , d) là hàm ngược của hàm g (y) ; Hàm g (y) khả vi trên (c , d) và g/ (y) 6= 0, 8y 2 (c , d) Khi đó hàm f khả vi trên (a, b) và f / (x) = 1 g/ (y) x , y liên hệ bởi y = f (x) . Khoa Toán-Ứng dụng (Institute) Bài giảng thứ ba 09/06 10 / 20 2. CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH ĐẠO HÀM 1 Đạo hàm 2 Các phương pháp tính đạo hàm 1 Áp dụng quy tắc tính đạo hàm 2 Áp dụng đạo hàm của hàm hợp 3 Đạo hàm của hàm ngược: Giả sử Hàm f (x) : (a, b)! (c , d) là hàm ngược của hàm g (y) ; Hàm g (y) khả vi trên (c , d) và g/ (y) 6= 0, 8y 2 (c , d) Khi đó hàm f khả vi trên (a, b) và f / (x) = 1 g/ (y) x , y liên hệ bởi y = f (x) . Khoa Toán-Ứng dụng (Institute) Bài giảng thứ ba 09/06 10 / 20 2. CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH ĐẠO HÀM 1 Đạo hàm 2 Các phương pháp tính đạo hàm 1 Áp dụng quy tắc tính đạo hàm 2 Áp dụng đạo hàm của hàm hợp 3 Đạo hàm của hàm ngược: Giả sử Hàm f (x) : (a, b)! (c , d) là hàm ngược của hàm g (y) ; Hàm g (y) khả vi trên (c , d) và g/ (y) 6= 0, 8y 2 (c , d) Khi đó hàm f khả vi trên (a, b) và f / (x) = 1 g/ (y) x , y liên hệ bởi y = f (x) . Khoa Toán-Ứng dụng (Institute) Bài giảng thứ ba 09/06 10 / 20 2. CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH ĐẠO HÀM 1 Đạo hàm 2 Các phương pháp tính đạo hàm 1 Áp dụng quy tắc tính đạo hàm 2 Áp dụng đạo hàm của hàm hợp 3 Đạo hàm của hàm ngược: Giả sử Hàm f (x) : (a, b)! (c , d) là hàm ngược của hàm g (y) ; Hàm g (y) khả vi trên (c , d) và g/ (y) 6= 0, 8y 2 (c , d) Khi đó hàm f khả vi trên (a, b) và f / (x) = 1 g/ (y) x , y liên hệ bởi y = f (x) . Khoa Toán-Ứng dụng (Institute) Bài giảng thứ ba 09/06 10 / 20 2. CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH ĐẠO HÀM 1 Đạo hàm 2 Các phương pháp tính đạo hàm 1 Áp dụng quy tắc tính đạo hàm 2 Áp dụng đạo hàm của hàm hợp 3 Đạo hàm của hàm ngược: Giả sử Hàm f (x) : (a, b)! (c , d) là hàm ngược của hàm g (y) ; Hàm g (y) khả vi trên (c , d) và g/ (y) 6= 0, 8y 2 (c , d) Khi đó hàm f khả vi trên (a, b) và f / (x) = 1 g/ (y) x , y liên hệ bởi y = f (x) . Khoa Toán-Ứng dụng (Institute) Bài giảng thứ ba 09/06 10 / 20 2. CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH ĐẠO HÀM 1 Đạo hàm 2 Các phương pháp tính đạo hàm 1 Áp dụng quy tắc tính đạo hàm 2 Áp dụng đạo hàm của hàm hợp 3 Đạo hàm của hàm ngược: Giả sử Hàm f (x) : (a, b)! (c , d) là hàm ngược của hàm g (y) ; Hàm g (y) khả vi trên (c , d) và g/ (y) 6= 0, 8y 2 (c , d) Khi đó hàm f khả vi trên (a, b) và f / (x) = 1 g/ (y) x , y liên hệ bởi y = f (x) . Khoa Toán-Ứng dụng (Institute) Bài giảng thứ ba 09/06 10 / 20 2. CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH ĐẠO HÀM 1 Đạo hàm 2 Các phương pháp tính đạo hàm 1 Áp dụng quy tắc tính đạo hàm 2 Áp dụng đạo hàm của hàm hợp 3 Áp dụng đạo hàm của hàm ngược: 4 Đạo hàm của hàm y = u (x)v (x) trong đó u (x) > 0 khả vi, v (x) khả vi. Ta có ln y = v (x) ln u (x)) (ln y)/ = (v ln u)/ ) 1 y y/ = v/ ln u + v . 1 u .u/ ) y/ = y  v/ ln u + v . u/ u  Khoa Toán-Ứng dụng (Institute) Bài giảng thứ ba 09/06 11 / 20 2. CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH ĐẠO HÀM 1 Đạo hàm 2 Các phương pháp tính đạo hàm 1 Áp dụng quy tắc tính đạo hàm 2 Áp dụng đạo hàm của hàm hợp 3 Áp dụng đạo hàm của hàm ngược: 4 Đạo hàm của hàm y = u (x)v (x) trong đó u (x) > 0 khả vi, v (x) khả vi. Ta có ln y = v (x) ln u (x)) (ln y)/ = (v ln u)/ ) 1 y y/ = v/ ln u + v . 1 u .u/ ) y/ = y  v/ ln u + v . u/ u  Khoa Toán-Ứng dụng (Institute) Bài giảng thứ ba 09/06 11 / 20 2. CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH ĐẠO HÀM 1 Đạo hàm 2 Các phương pháp tính đạo hàm 1 Áp dụng quy tắc tính đạo hàm 2 Áp dụng đạo hàm của hàm hợp 3 Áp dụng đạo hàm của hàm ngược: 4 Đạo hàm của hàm y = u (x)v (x) trong đó u (x) > 0 khả vi, v (x) khả vi. Ta có ln y = v (x) ln u (x)) (ln y)/ = (v ln u)/ ) 1 y y/ = v/ ln u + v . 1 u .u/ ) y/ = y  v/ ln u + v . u/ u  Khoa Toán-Ứng dụng (Institute) Bài giảng thứ ba 09/06 11 / 20 2. CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH ĐẠO HÀM 1 Đạo hàm 2 Các phương pháp tính đạo hàm 1 Áp dụng quy tắc tính đạo hàm 2 Áp dụng đạo hàm của hàm hợp 3 Áp dụng đạo hàm của hàm ngược: 4 Đạo hàm của hàm y = u (x)v (x) trong đó u (x) > 0 khả vi, v (x) khả vi. Ta có ln y = v (x) ln u (x)) (ln y)/ = (v ln u)/ ) 1 y y/ = v/ ln u + v . 1 u .u/ ) y/ = y  v/ ln u + v . u/ u  Khoa Toán-Ứng dụng (Institute) Bài giảng thứ ba 09/06 11 / 20 2. CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH ĐẠO HÀM 1 Đạo hàm 2 Các phương pháp tính đạo hàm 1 Áp dụng quy tắc tính đạo hàm 2 Áp dụng đạo hàm của hàm hợp 3 Áp dụng đạo hàm của hàm ngược: 4 Đạo hàm của hàm y = u (x)v (x) trong đó u (x) > 0 khả vi, v (x) khả vi. Ta có ln y = v (x) ln u (x)) (ln y)/ = (v ln u)/ ) 1 y y/ = v/ ln u + v . 1 u .u/ ) y/ = y  v/ ln u + v . u/ u  Khoa Toán-Ứng dụng (Institute) Bài giảng thứ ba 09/06 11 / 20 2. CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH ĐẠO HÀM 1 Đạo hàm 2 Các phương pháp tính đạo hàm 1 Áp dụng quy tắc tính đạo hàm 2 Áp dụng đạo hàm của hàm hợp 3 Áp dụng đạo hàm của hàm ngược: 4 Đạo hàm của hàm y = u (x)v (x) trong đó u (x) > 0 khả vi, v (x) khả vi. Ta có ln y = v (x) ln u (x)) (ln y)/ = (v ln u)/ ) 1 y y/ = v/ ln u + v . 1 u .u/ ) y/ = y  v/ ln u + v . u/ u  Khoa Toán-Ứng dụng (Institute) Bài giảng thứ ba 09/06 11 / 20 2. CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH ĐẠO HÀM 5. Nếu trên khoảng mở, f (x) là hàm sơ cấp thì f (x) tính theo các quy tắc 1),2),3). Tại các điểm đặc biệt ta dùng giới hạn để tính đạo hàm. Ví dụ. Cho f (x) =  x2 sin 1x , x 6= 0 0 , x = 0 Tính f / (x) Trên mỗi khoảng mở (∞; 0) và (0;+∞) . Ta có hàm sơ cấp f (x) = x2 sin 1 x ) f / (x) = 2x sin 1 x + x2 cos 1 x . 1 x2  Tại x = 0 : lim x!0 f (x)f (0) x0 = limx!0 x2 sin 1x0 x0 = limx!0x sin 1 x = 0. Vậy f / (0) = 0. Khoa Toán-Ứng dụng (Institute) Bài giảng thứ ba 09/06 12 / 20 3. ĐẠO HÀM CÁC HÀM SỐ SƠ CẤP CƠ BẢN 1 (xα)/ = αxα1, x > 0 2 (ax )/ = ax ln a 3 (loga x) / = 1x ln a 4. Các hàm lượng giác ngược (arcsin x)/ = 1p 1x2 , (arccos x)/ = 1p 1x2 ; x 2 (1; 1) (arctan x)/ = 1 1+x2 ; (arccot x)/ = 1 1+x2 Khoa Toán-Ứng dụng (Institute) Bài giảng thứ ba 09/06 13 / 20 3. ĐẠO HÀM CÁC HÀM SỐ SƠ CẤP CƠ BẢN 1 (xα)/ = αxα1, x > 0 2 (ax )/ = ax ln a 3 (loga x) / = 1x ln a 4. Các hàm lượng giác ngược (arcsin x)/ = 1p 1x2 , (arccos x)/ = 1p 1x2 ; x 2 (1; 1) (arctan x)/ = 1 1+x2 ; (arccot x)/ = 1 1+x2 Khoa Toán-Ứng dụng (Institute) Bài giảng thứ ba 09/06 13 / 20 3. ĐẠO HÀM CÁC HÀM SỐ SƠ CẤP CƠ BẢN 1 (xα)/ = αxα1, x > 0 2 (ax )/ = ax ln a 3 (loga x) / = 1x ln a 4. Các hàm lượng giác ngược (arcsin x)/ = 1p 1x2 , (arccos x)/ = 1p 1x2 ; x 2 (1; 1) (arctan x)/ = 1 1+x2 ; (arccot x)/ = 1 1+x2 Khoa Toán-Ứng dụng (Institute) Bài giảng thứ ba 09/06 13 / 20 3. ĐẠO HÀM CÁC HÀM SỐ SƠ CẤP CƠ BẢN 1 (xα)/ = αxα1, x > 0 2 (ax )/ = ax ln a 3 (loga x) / = 1x ln a 4. Các hàm lượng giác ngược (arcsin x)/ = 1p 1x2 , (arccos x)/ = 1p 1x2 ; x 2 (1; 1) (arctan x)/ = 1 1+x2 ; (arccot x)/ = 1 1+x2 Khoa Toán-Ứng dụng (Institute) Bài giảng thứ ba 09/06 13 / 20 3. ĐẠO HÀM CÁC HÀM SỐ SƠ CẤP CƠ BẢN 1 (xα)/ = αxα1, x > 0 2 (ax )/ = ax ln a 3 (loga x) / = 1x ln a 4. Các hàm lượng giác ngược (arcsin x)/ = 1p 1x2 , (arccos x)/ = 1p 1x2 ; x 2 (1; 1) (arctan x)/ = 1 1+x2 ; (arccot x)/ = 1 1+x2 Khoa Toán-Ứng dụng (Institute) Bài giảng thứ ba 09/06 13 / 20 3. ĐẠO HÀM CÁC HÀM SỐ SƠ CẤP CƠ BẢN 1 (xα)/ = αxα1, x > 0 2 (ax )/ = ax ln a 3 (loga x) / = 1x ln a 4. Các hàm lượng giác ngược (arcsin x)/ = 1p 1x2 , (arccos x)/ = 1p 1x2 ; x 2 (1; 1) (arctan x)/ = 1 1+x2 ; (arccot x)/ = 1 1+x2 Khoa Toán-Ứng dụng (Institute) Bài giảng thứ ba 09/06 13 / 20 3. ĐẠO HÀM CÁC HÀM SỐ SƠ CẤP CƠ BẢN 1 (xα)/ = αxα1, x > 0 2 (ax )/ = ax ln a 3 (loga x) / = 1x ln a 4. Các hàm lượng giác ngược (arcsin x)/ = 1p 1x2 , (arccos x)/ = 1p 1x2 ; x 2 (1; 1) (arctan x)/ = 1 1+x2 ; (arccot x)/ = 1 1+x2 Khoa Toán-Ứng dụng (Institute) Bài giảng thứ ba 09/06 13 / 20 3. ĐẠO HÀM CÁC HÀM SỐ SƠ CẤP CƠ BẢN 1 (xα)/ = αxα1, x > 0 2 (ax )/ = ax ln a 3 (loga x) / = 1x ln a 4. Các hàm lượng giác ngược (arcsin x)/ = 1p 1x2 , (arccos x)/ = 1p 1x2 ; x 2 (1; 1) (arctan x)/ = 1 1+x2 ; (arccot x)/ = 1 1+x2 Khoa Toán-Ứng dụng (Institute) Bài giảng thứ ba 09/06 13 / 20 4. Vi phân Định nghĩa Cho hàm f khả vi tại x0. Khi đó đại lượng f / (x0)∆x gọi là vi phân của f tại x0 ứng với số gia ∆x , ký hiệu là df (x0) . Nếu f (x) = x , ta có dx = 1.∆x = ∆x . Vậy cũng có thể viết df (x) = f / (x) dx Đạo hàm f / (x) cũng còn ký hiệu: f / (x) = df (x)dx . Các quy tắc tính vi phân d (u + v) = du + dv ; d (uv) = vdu + udv ; d u v
= vduudv v2 Ứng dụng vi phần để tính gần đúng. Trong (1) ta có α (x) (x x0) là VCB cấp cao hơn f / (x0) (x x0) (khi x ! x0) Do đó khi ∆x = x x0, nhỏ, ta có thể coi f (x0 + ∆x) f (x0)  f / (x0)∆x hay ∆f (x0)  df (x0) (2) Khoa Toán-Ứng dụng (Institute) Bài giảng thứ ba 09/06 14 / 20 Ví dụ: Tính gần đúng a = sin 460 = sin pi 4 + pi 180
Áp dụng công thức (2) cho ta f (x) = sin x , x0 = pi 4 ,∆x = pi 180 . Ta có f pi 4 + pi 180  f pi 4   f / pi 4 
pi 180 ) a  p 2 2 + p 2 2
pi 180  0, 7071 (1+ 0, 017)  0, 7194 Khoa Toán-Ứng dụng (Institute) Bài giảng thứ ba 09/06 15 / 20 Dạng bất biến của vi phân cấp 1 Cho y = y (x) và x = x (t) ; khi đó y là hàm của biến t : y = y (x (t)). Vi phân của y theo x : dy = y/x dx . Vi phân của y theo t: dy = y/t dt = y / x x / t dt = y / x dx . Như vậy, công thức dy = y/x dx đúng khi x là biến độc lập hay biến phụ thuộc. Khoa Toán-Ứng dụng (Institute) Bài giảng thứ ba 09/06 16 / 20 5. ĐẠO HÀM CỦA HÀM ẨN Khái niệm: Ta nói hàm y = f (x) , x 2 (a, b) là hàm ẩn, xác định từ phương trình F (x , y) = 0 (3) nếu F (x , f (x)) = 0 8x 2 (a, b) Ví dụ: Phương trình x2 a2 + y2 b2 = 1 (4) xác định hai hàm ẩn y1 = f1 (x) = b a p a2 x2; y2 = f2 (x) = b a p a2 x2 Đạo hàm của hàm ẩn Để tính đạo hàm của hàm ẩn cho bởi 3, ta lấy đạo hàm phương trình 3, coi y là hàm của x . Khoa Toán-Ứng dụng (Institute) Bài giảng thứ ba 09/06 17 / 20 Ví dụ: Lấy đạo hàm (4) ta có: 2x a2 + 2y .y/ b2 = 0 (5) suy ra y/ = b 2 a2
x y tại những x mà y 6= 0. Nói riêng: y/1 = b2 a2
x y1 (x) = b a
xp a2 x2 Khoa Toán-Ứng dụng (Institute) Bài giảng thứ ba 09/06 18 / 20 Ví dụ: Tiếp tuyến của đường x2 a2 + y2 b2 = 1 tại (x0, y0) là xx0 a2 + yy0 b2 = 1 Gọi y (x)_hàm ẩn xác định bởi (4) Phương trình tiếp tuyến: y y0 = y/ (x0) (x x0) Thay y/ (x0) = b2a2
x0y0 , ta có y y0 = b 2 a2
x0 y0 (x x0)) xx0 a2 + yy0 b2 = x20 a2 + y20 b2 = 1 Khoa Toán-Ứng dụng (Institute) Bài giảng thứ ba 09/06 19 / 20 Nói thêm về bài giảng Bài giảng giới thiệu các định nghĩa và tính chất của Đạo hàm và Vi phân. Khoa Toán-Ứng dụng (Institute) Bài giảng thứ ba 09/06 20 / 20