Bài giảng Toán cao cấp - Chương 3: Không gian Vecto

CHƯƠNG 3KHÔNG GIAN VECTOR§6: Nội dung chương 3KHÔNG GIAN VECTORKHÔNG GIAN VECTOR CONSỰ ĐỘC LẬP VÀ PHỤ THUỘC TUYẾN TÍNHHẠNG CỦA MỘT HỆ VECTORCƠ SỞ, SỐ CHIỀU CỦA KGVTTỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN VECTOR§6: Không gian vector§6: Không gian vector§6: Không gian vector§6: Không gian vector§6: Không gian vector§6: Không gian vector§6: Không gian vector§6: Không gian vector§6: Không gian vector§6: Không gian vector§6: Không gian vector§6: Không gian vector§6: Không gian vector§6: Không gian vector§6: Không gian vector§6: Không gian vector§6: Không gian vector§6: Không gian vector§6: Không gian vector§6: Không gian vector§6: Không gian vector§6: Không gian vector§6: Không gian vectorNgoài ra, ta còn có các tính chất sau:+) Trong V có luật giản ước:+) , ta có:+)+) §6: Không gian vector con§6: Không gian vector conTập và chính là các không gian vector con của V. §6: Không gian vector con§6: Không gian vector con§6: Không gian vector con§6: Không gian vector con§6: Không gian vector con§6: Không gian vector con= 0 §6: Không gian vector con= 0 §6: Không gian vector conBài Tập: Kiểm tra các tập sau đây có là không gian vector con của các không gian vector tương ứng không?§6: Không gian vector con§6: Không gian vector con§6: Sự độc lập và phụ thuộc tuyến tính§6: Sự độc lập và phụ thuộc tuyến tính§6: Sự độc lập và phụ thuộc tuyến tínhVí dụ: ChoTa có: 2 (1,-2) + (3,1) = (5,-3)hay Vậy là tổ hợp tuyến tính của hệ hay biểu thị tuyến tính được qua hệ §6: Sự độc lập và phụ thuộc tuyến tính§6: Sự độc lập và phụ thuộc tuyến tínhNhận xét:§6: Sự độc lập và phụ thuộc tuyến tính§6: Sự độc lập và phụ thuộc tuyến tính§6: Sự độc lập và phụ thuộc tuyến tính§6: Sự độc lập và phụ thuộc tuyến tính§6: Sự độc lập và phụ thuộc tuyến tính§6: Sự độc lập và phụ thuộc tuyến tính§6: Sự độc lập và phụ thuộc tuyến tính§6: Sự độc lập và phụ thuộc tuyến tính§6: Sự độc lập và phụ thuộc tuyến tính§6: Sự độc lập và phụ thuộc tuyến tính§6: Sự độc lập và phụ thuộc tuyến tính§6: Sự độc lập và phụ thuộc tuyến tính§6: Sự độc lập và phụ thuộc tuyến tính§6: Sự độc lập và phụ thuộc tuyến tính§6: Sự độc lập và phụ thuộc tuyến tính§6: Sự độc lập và phụ thuộc tuyến tính§6: Sự độc lập và phụ thuộc tuyến tính§6: Sự độc lập và phụ thuộc tuyến tính§6: Sự độc lập và phụ thuộc tuyến tính§6: Sự độc lập và phụ thuộc tuyến tính§6: Sự độc lập và phụ thuộc tuyến tính§6: Sự độc lập và phụ thuộc tuyến tính Hệ chỉ có nghiệm tầm thường:Ví dụ: Xét sự độc lập và phụ thuộc tuyến tính của hệ vector sau§6: Sự độc lập và phụ thuộc tuyến tínhXét đẳng thức:§6: Sự độc lập và phụ thuộc tuyến tính§6: Sự độc lập và phụ thuộc tuyến tính Hệ chỉ có nghiệm tầm thường. Vậy hệ vectơ đã cho độc lập tuyến tính.§6: Sự độc lập và phụ thuộc tuyến tính Nhận xét: §6: Hạng của một hệ vectơ §6: Hạng của một hệ vectơ §6: Hạng của một hệ vectơQuy ước: §6: Hạng của một hệ vectơTính chất: Cho hệ vectơ S= trong +) Nếu r(S) = r thì mọi vectơ của S đều biểu thị tuyến tính qua hệ con bất kì (của S) có r vectơ đltt.+) Nếu thì r(S) = r(S’), trong đó+) Nếu mọi vectơ của hệ đều biểu thị tuyến tính qua các vectơ của hệ thì §6: Hạng của một hệ vectơGiải: (Cách 1 – dùng định nghĩa) không tỉ lệ nên độc lập tt. §6: Hạng của một hệ vectơ, hệ vô nghiệm.§6: Hạng của một hệ vectơ§6: Hạng của một hệ vectơ§6: Hạng của một hệ vectơTính hạng của một hệ vectơ theo hạng của ma trậnTrong cho hệ vectơ : Từ hệ vectơ này ta lập ma trận:§6: Hạng của một hệ vectơTính hạng của một hệ vectơ theo hạng của ma trậnTừ hệ vectơ này ta lập ma trận:Định lý:Hạng của ma trận A bằng hạng của hệ vectơ dòng, bằng hạng của hệ vectơ cột của A.§6: Hạng của một hệ vectơTính hạng của một hệ vectơ theo hạng của ma trậnHệ quả: Trong cho hệ vectơ . Ta có các khẳng định sau:1) - đltt2) - pttt3) -đltt 4) - pttt §6: Hạng của một hệ vectơTính hạng của một hệ vectơ theo hạng của ma trậnChú ý: Từ định lý suy ra hạng của mọi hệ vectơ trong đềunhỏ hơn hay bằng n. Do đó, từ hệ quả 1, ta có: Mọi hệtrong có nhiều hơn n vectơ đều phụ thuộc thuyến tính. §6: Hạng của một hệ vectơGiải: (Cách 2)§6: Hạng của một hệ vectơVí dụ: a) Vậy hệ đltt. §6: Hạng của một hệ vectơVí dụ: b) Vậy hệ pttt. §6: Cơ sở và số chiều§6: Cơ sở và số chiều§6: Cơ sở và số chiều§6: Cơ sở và số chiều§6: Cơ sở và số chiều§6: Cơ sở và số chiều§6: Cơ sở và số chiều§6: Cơ sở và số chiều§6: Cơ sở và số chiềuCơ sở này được gọi là cơ sở chính tắc của không gian vector .§6: Cơ sở và số chiều§6: Cơ sở và số chiều§6: Cơ sở và số chiều§6: Cơ sở và số chiềuCơ sở này được gọi là cơ sở chính tắc của không gian vector .§6: Cơ sở và số chiều§6: Cơ sở và số chiều§6: Cơ sở và số chiều§6: Cơ sở và số chiều§6: Cơ sở và số chiềuĐịnh lý:§6: Cơ sở và số chiềuCách tìm cơ sở của KG con sinh bởi một hệ vector:Ví dụ: Trong choTìm cơ sởGiải: và cơ sở gồm 2 vector (1,3,0,3), (0,-7,-1,-7). .§6: Cơ sở và số chiềuCách tìm cơ sở của KG con sinh bởi một hệ vector:Ví dụ: Trong choTìm cơ sởGiải: và cơ sở gồm 3 vector . §6: Cơ sở và số chiềuQuy ước:§6: Cơ sở và số chiều§6: Cơ sở và số chiềuĐịnh lý: Cho V là không gian vector n chiều.Khi đó:Hệ sinh có n vector là cơ sở.Hệ có n vector và độc lập tuyến tính là cơ sở.Định lý:§6: Cơ sở và số chiềuVí dụ: Chứng minh rằng hệ vector với là cơ sở của §6: Cơ sở và số chiềuĐịnh lý:§6: Tọa độ trong KGVT1. Tọa độ của một vector đối với một cơ sở§6: Tọa độ trong KGVT§6: Tọa độ trong KGVTTa có:Vậy: §6: Tọa độ trong KGVTTa có:Vậy: §6: Tọa độ trong KGVTTa có:§6: Tọa độ trong KGVTVậy: §6: Tọa độ trong KGVT2.Đổi cơ sở, đổi tọa độ.Giả sử trong KGVT n chiều V cho hai cơ sởvà có các tọa độa) Ma trận chuyển cơ sởĐịnh nghĩa: Ma trận P thỏa mãn hệ thức:gọi là ma trận chuyển cơ sở từ cơ sở A sang cơ sở B.Khi đó công thức (*) được gọi là công thức biến đổi tọa độ của vector x giữa 2 cơ sở A và B.§6: Tọa độ trong KGVT2.Đổi cơ sở, đổi tọa độ.a) Ma trận chuyển cơ sởTìm ma trận P chuyển cơ sở từ A sang B:Biểu diễn tuyến tính mỗi vector của B đối với AKhi đó§6: Tọa độ trong KGVT2.Đổi cơ sở, đổi tọa độ.a) Ma trận chuyển cơ sởKhi đó§6: Tọa độ trong KGVT2.Đổi cơ sở, đổi tọa độ.b) Tính chất của ma trận chuyển cơ sởĐịnh lý: Giả sử P là ma trận chuyển từ cơ sở A sang cơ sở B. Khi đó 1) P khả nghịch2) là ma trận chuyển từ cơ sở B sang cơ sở A §6: Tọa độ trong KGVT2.Đổi cơ sở, đổi tọa độ.Ví dụTrong cho 2 cở sở: E cơ sở chính tắc vàa) Tìm ma trận chuyển từ E sang Bb) Timg ma trận chuyển từ B sang E c) Cho . Tìm §6: Tọa độ trong KGVT2.Đổi cơ sở, đổi tọa độ.Ví dụ. a) Ta cób) Do đó ma trận chuyển từ B sang E : §6: Cơ sở và số chiềuCMR: hệ vector là cơ sở của , tìm tọa độ của vector x đối với cơ sở F.Trong KGVT cho các vector Bài tập:§6: Cơ sở và số chiềuTìm m để hệ vector là cơ sở củaTrong KGVT cho các vector Bài tập:§6: Cơ sở và số chiềuTìm m để x là tổ hợp tuyến tính của hệ vectorTrong KGVT cho các vector Bài tập: