Bài giảng Toán cao cấp 3

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT HƯNG YÊN BỘ MÔN TOÁN- KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN BÀI GIẢNG MÔN: TOÁN CAO CẤP 3 Mùa Thu, 08-2014 Mục lục 1 Hàm số nhiều biến số 1 1.1 Khái niệm về hàm nhiều biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.1 Định nghĩa hàm hai biến (ba biến) . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.2 Giới hạn của hàm nhiều biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.3 Tính liên tục của hàm nhiều biến số . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 Đạo hàm và vi phân của hàm nhiều biến số . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2.1 Đạo hàm riêng và cách tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2.2 Vi phân của hàm hai biến số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.3 Đạo hàm của hàm số hợp và hàm số ẩn . . . . . . . . . . . . . 9 1.2.4 Đạo hàm và vi phân cấp cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.2.5 Đạo hàm theo hướng. Gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.3 Cực thị hàm nhiều biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.3.1 Cực trị không có điều kiện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.3.2 Cực trị có điều kiện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.3.3 Cực trị của hàm nhiều biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.3.4 Cực trị không có điều kiện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.3.5 Cực trị có điều kiện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2 Tích phân bội 25 2.1 Tích phân kép . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.1.1 Bài toán dẫn đến tích phân kép . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.1.2 Định nghĩa tích phân bội 2: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.1.3 Các tính chất của tích phân bội 2 . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.1.4 Cách tính tích phân kép trong hệ trục toạ độ Đề các . . . . . 30 2.1.5 Đổi biến trong tích phân bội hai trong hệ tọa độ cực . . . . . 34 i 2.2 Ứng dụng của tích phân bội hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.2.1 Tính thể tích vật thể . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.2.2 Tính diện tích hình phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.2.3 Ứng dụng cơ học của tích phân kép . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.3 Tích phân bội ba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.3.1 Bài toán dẫn đến khái niệm tích phân bội ba . . . . . . . . . 43 2.3.2 Định nghĩa tích phân bội ba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 2.3.3 Cách tính tích phân bội ba trong hệ tọa độ đề các . . . . . . 45 2.3.4 Cách tính tích phân bội ba trong hệ tọa độ trụ . . . . . . . . 50 2.3.5 Cách tính tích phân bội ba trong hệ tọa độ cầu . . . . . . . . 53 2.3.6 Một vài ứng dụng của tích phân bội ba . . . . . . . . . . . . . 55 3 Tích phân đường và mặt 62 3.1 Tích phân đường loại một . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 3.1.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 3.1.2 Cách tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 3.1.3 Ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 3.1.4 Nhắc lại kiến thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 3.2 Tích phân đường loại hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 3.2.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 3.2.2 Cách tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 3.2.3 Công thức Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 3.2.4 Điều kiện để tích phân đường loại hai không phụ thuộc vào đường cong lấy tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 3.3 Tích phân mặt loại một . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 3.3.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 3.3.2 Cách tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 3.3.3 Ứng dụng của tích phân mặt loại một . . . . . . . . . . . . . . 83 3.4 Tích phân mặt loại hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 3.4.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 3.4.2 Cách tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 3.4.3 Công thức Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 3.4.4 Công thức Ostrograsky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 ii 3.4.5 Trường thế . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 4 Phương trình vi phân 85 4.1 Đại cương về phương trình vi phân cấp 1 . . . . . . . . . . . . . . . . 86 4.1.1 Dạng tổng quát, khái niệm về nghiệm tổng quát và nghiệm riêng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 4.1.2 Định lý về sự tồn tại và duy nhất nghiệm. Bài toán Cauchy . 87 4.2 Một số phương trình vi phân cấp 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 4.2.1 Phương trình dạng khuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 4.2.2 Phương trình với biến số phân ly . . . . . . . . . . . . . . . . 91 4.2.3 Phương trình thuần nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 4.2.4 Phương trình tuyến tính cấp 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 4.2.5 Phương trình Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 4.2.6 Phương trình vi phân toàn phần . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 4.2.7 Phương trình Clairaut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 4.2.8 Phương trình Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 4.3 Phương trình vi phân cấp 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 4.3.1 Các khái niệm về phương trình vi phân cấp 2 . . . . . . . . . 100 4.3.2 Bài toán Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 4.3.3 Phương trình dạng khuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 4.3.4 Phương trình tuyến tính thuần nhất . . . . . . . . . . . . . . 104 4.3.5 Phương trình tuyến tính không thuần nhất. Phương pháp biến thiên hằng số Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 4.3.6 Phương trình tuyến tính cấp hệ số không đổi . . . . . . . . . . 108 iii Chương 1 Hàm số nhiều biến số 1.1 Khái niệm về hàm nhiều biến 1.1.1 Định nghĩa hàm hai biến (ba biến) Định nghĩa 1.1. Xét trong không gian R2,D là một tập hợp trong R2. Khi đó, ánh xạ f : D −→ R u = (x, y) 7−→ v = f(x, y) được gọi là một hàm số hai biến số xác định trên D. D được gọi là miền xác định của hàm f ;x, y được gọi là các biến số độc lập. Ví dụ 1. f : D −→ R u = (x, y) 7−→ v = f(x, y) = x2 + xy − y3 − x+ 5. Để cho đơn giản, ta thường nói cho hàm hai biến f(x, y) = x2 + xy − y3 − x+ 5. Ví dụ 2. f(x, y) = xy x2 + y2 . Từ đó ta có thể định nghĩa hàm nhiều biến như sau: Xét trong không gian Euclid n chiều Rn. Một phần tử là một bộ n số thực, D là một tập hợp trong Rn. Khi đó ánh xạ f : D −→ R u = (x1, x2, . . . , xn) 7−→ v = f(x1, x2, . . . , xn) 1 Chương 1. Hàm số nhiều biến số được gọi là một hàm số có n biến số xác định trên D; D được gọi là miền xác định của hàm f ; x1, x2, . . . , xn được gọi là các biến số độc lập. Ví dụ 3. f : V −→ R u = (x, y, z) 7−→ v = f(x, y, z) = x3 + x2yz − 3y2 + 5y + 2x2 − 3 là 1 hàm ba biến số. b) Tập hợp trong Rn. Giả sử M(x1, x2, . . . , xn) và N(y1, y2, . . . , yn) là hai điểm của Rn . Người ta định nghĩa khoảng cách giữa hai điểm M và N ; kí hiệu là d(M,N), và được cho bởi công thức sau đây: d(M,N) = √ (x1 − y1)2 + (x2 − y2)2 + . . .+ (xn − yn)2 (1.1) Đặc biệt: Với n = 2,M(x1, x2) và N(y1, y2) d(M,N) = √ (x1 − y1)2 + (x2 − y2)2 (1.2) Với n = 3,M(x1, x2, x3) và N(y1, y2, y3) d(M,N) = √ (x1 − y1)2 + (x2 − y2)2 + (x3 − y3)2 (1.3) Ta thấy rằng Rn là một không gian véc tơ trên trường số thực với tích vô hướng đã định nghĩa trong chương không gian véc tơ nên ta có các tính chất sau: a) d(M,N) ≥ 0 với mọi M,N. b) d(M,N) = 0⇔M ≡ N c) d(M,N) ≤ d(M,Q) + d(Q,N) với M,N,Q là ba điểm bất kì nằm trong không gian. + M0 là một điểm thuộc Rn. Ta gọi ( > 0)- lân cận của điểm M0 là tập hợp tất cả những điểm Mcủa Rn sao cho d(M,N) ≤  . Người ta gọi lân cận của điểm M0 là một tập hợp nào đó chứa  - lân cận của điểm M0 . Ví dụ 4. D0 = {(x, y) ∈ R2|x2 + y2 < 1} - là một lân cận của điểm O(0, 0), với  = 1. +Tập E là một tập hợp trong Rn . Điểm M ∈ E được gọi là điểm trong của tập E nếu tồn tại một - lân cận nào đó của điểm M nằm hoàn toàn trong E. Tập E được gọi là tập mở nếu mọi điểm của nó đều là điểm trong. 2 Chương 1. Hàm số nhiều biến số Ví dụ 5. M0( 1 2 , 1 3 ) là điểm trong của tập D0 , D0 là tập mở. +Điểm N ∈ Rn được gọi là điểm biên của tập E nếu mọi - lân cận của N vừa chứa điểm thuộc E vừa chứa điểm không thuộc E. Tập hợp tất cả những điểm biên của tập E được gọi là biên của tập E. Ví dụ 6. L0 = {(x, y) ∈ R2|x2 + y2 = 1} -là biên của tập D0. + Tập E được gọi là tập đóng nếu nó chứa mọi điểm biên của nó. Ví dụ 7. D1 = {(x, y) ∈ R2|x2 + y2 ≤ 1} -là tập đóng. + Tập hợp D được gọi là bị chặn nếu tồn tại một quả cầu nào đó chứa nó. + Tập D được gọi là liên thông nếu có thể nối hai điểm bất kì trong D bởi một đường liên tục nằm hoàn toàn trong D. + Tập hợp liên thông được gọi là đơn liên nếu nó được giới hạn bởi một mặt kín, là đa liên nếu bị giới hạn bởi nhiều mặt kín rời nhau từng đôi một. + Trong không gian R2 ( trong mặt phẳng Oxy) tập liên thông được gọi là đơn liên nếu nó được giới hạn bởi một đường cong kín, là đa liên nếu nó được giới hạn bởi nhiều đường cong kín rời nhau từng đôi một. (phần này vẽ được hình minh họa thì tốt hơn). Trong khuôn khổ của của cuốn bài giảng này chúng ta chỉ xét các hàm hai biến hoặc ba biến. Trường hợp số biến lớn hơn ba được xem xét tương tự. 1.1.2 Giới hạn của hàm nhiều biến + Dãy điểm Mn(xn, yn) dần tới điểm M0(x0, y0) trong R2 và viết Mn → M0 khi n→∞ nếu lim n→∞ d(M,M0) = 0 hay nếu lim n→∞ xn = x0, lim n→∞ yn = y0 Định nghĩa 1.2. Giả sử hàm số z = f(M) = f(x, y) xác định trong một lân cận D của điểm M0, có thể trừ tại M0. Ta nói rằng hàm số f(M) có giới hạn A (hữu hạn) khi điểm M dần tới điểm M0 nếu ∀ > 0 bé tuỳ ý cho trước, ∃δ > 0 sao cho d(M0,M) < δ thì |f(x, y)− A| <  và kí hiệu là lim M→M0 f(x, y) = A hay lim (x,y)→(x0,y0) f(x, y) = A hay lim x→x0 y→y0 f(x, y) = A. (1.4) 3 Chương 1. Hàm số nhiều biến số + Khái niệm giới hạn vô hạn cũng được định nghĩa tương tự như đối với hàm số một biến số. Chẳng hạn 1 x2 + y2 → +∞ khi (x, y)→ (x0, y0) + Các định lý về giới hạn của tổng, tích, thương, nguyên lý kẹp giữa của giới hạn hàm số một biến số cũng đúng cho hàm nhiều biến số. Ví dụ 8. Tìm lim (x,y)→(0,0) xy√ x2 + y2 . Thật vậy, ta thấy rằng hàm số f(x, y) xác định trên R2 \ {(0, 0)} , hơn nữa |x|√ x2 + y2 ≤ 1,∀(x, y) 6= (0, 0); nên |f(x, y)| = ∣∣∣∣∣ xy√x2 + y2 ∣∣∣∣∣ = |x|√x2 + y2 |y| ≤ |y| . Mặt khác, lim (x,y)→(0,0) |y| = 0. Do đó, theo nguyên lý kẹp giữa ta có: lim (x,y)→(0,0) xy√ x2 + y2 = 0. Chú ý. Trong giới hạn của hàm số có một biến số thì khi x→ x0 thì x có thể dần từ hai phía, còn trong giới hạn của hàm hai biến thì khi điểm M(x, y)→M0(x0, y0) có thể dần về theo mọi hướng trong R2. Và cũng tương tự như hàm một biến, để giới hạn hàm nhiều biến tồn tại thì khi điểm M →M0 theo mọi hướng hàm số đều phải nhận được cùng một kết quả. Đây cũng là tính duy nhất của giới hạn hàm nhiều biến. Ví dụ 9. Tìm lim (x,y)→(0,0) xy x2 + y2 . Thật vậy, ta thấy rằng hàm số f(x, y) xác định trên R2 \ {(0, 0)} , nếu cho (x, y)→ (0, 0) theo phương của đường thẳng y = kx, ta có f(x, kx) = k 1 + k2 . Do đó lim (x,y)→(0,0) xy x2 + y2 = k 1 + k2 . Vậy khi (x, y) → (0, 0) thì giới hạn trên dần về các giá trị khác nhau tùy theo giá trị của k, mà giới hạn có tính duy nhất nên không tồn tại giới hạn trên khi (x, y)→ (0, 0) . 4 Chương 1. Hàm số nhiều biến số 1.1.3 Tính liên tục của hàm nhiều biến số Định nghĩa 1.3. Hàm số z = f(M) = f(x, y) xác định trong miền D,M0(x0, y0) ∈ D. Ta nói rằng hàm số f(M) liên tục tại M0 nếu tồn tại giới hạn: lim M→M0 f(M) = f(M0) hay lim (x,y)→(x0,y0) f(x, y) = f(x0, y0) (1.5) Nếu miền D đóng, M0 là một điểm biên của D thì lim M→M0 f(M) được hiểu là giới hạn của f(M) khi M dần đến M0 ở bên trong của D. + Hàm số z = f(x, y) liên tục tại mọi điểm trong D thì được gọi là hàm liên tục trên D. + Hàm số f(M) được gọi là liên tục đều trên miền D nếu ∀ > 0 cho trước, ∃δ > 0 sao cho với mọi cặp điểmM ′,M ′′ thuộc Dmà d(M ′,M ′′) < δ thì |f(M ′)−f(M ′′)| <  . + Hàm số nhiều biến số liên tục cũng có những tính chất như hàm số một biến số liên tục. Chẳng hạn, nếu hàm số nhiều biến số liên tục trong một miền đóng, bị chặn thì nó bị chặn trong miền ấy, nó đạt giá trị lớn nhất và giá trị bé nhất trong miền ấy, nó liên tục đều trong miền ấy. Ví dụ 10. Xét tính liên tục của hàm sau tại điểm (0, 0): f(x) =  xy√ x2 + y2 (x, y) 6= (0, 0) 0 (x, y) = (0, 0) Thật vậy, theo ví dụ (8) ta có lim (x,y)→(0,0) xy√ x2 + y2 = 0 = f(0, 0). Vậy, hàm số f(x, y) liên tục tại điểm (0, 0). 1.2 Đạo hàm và vi phân của hàm nhiều biến số 1.2.1 Đạo hàm riêng và cách tính Cho hàm số z = f(x, y). Nếu cho biến số y một giá trị không đổi y = y0 thì khi đó hàm f(x, y0) trở thành hàm số của một biến số độc lập x. Giả sử hàm một biến này 5 Chương 1. Hàm số nhiều biến số có đạo hàm tại x0, tức là tồn tại lim ∆x→0 ( f(x0 + ∆x, y0)− f(x0, y0) ∆x ) gọi là đạo hàm riêng cấp một của hàm hai biến z = f(x, y) đối với biến x tại điểm M0(x0, y0) và ký hiệu là ∂f(x,y) ∂x ; z′x hay f ′x(x, y). Hiệu ∆xz = f(x0 + δx, y0) − f(x0, y0) được gọi là số gia riêng của hàm số f(x, y) theo biến x tại điểm M0(x0, y0) f ′x(x0, y0) = lim ∆x→0 ∆xz ∆x tương tự, ta có đạo hàm riêng theo biến y tại M0(x0, y0) và ký hiệu là f ′y(x0, y0) = lim ∆y→0 ∆yz ∆y ở đây ∆yz = f(x0, y0 + ∆y)− f(x0, y0) được gọi là số gia riêng của hàm số f(x, y) theo biến y tại điểm M0(x0, y0). Vì (x0, y0) là một điểm tùy ý nên z ′ x(x, y), x ′ y(x, y) là một hàm số. Nhận xét 1. Khi tính đạo hàm riêng của hàm số z theo biến x ta coi hàm z = f(x, y) như là một hàm số chỉ phụ thuộc vào đối số x và tiến hành đạo hàm như đối với hàm số một biến số. Ví dụ 1. Tính đạo hàm riêng của hàm hai biến số: 1) z = sin(x2 + y2) x′x = 2xcos(x2 + y2) z′y = 2ycos(x2 + y2) | 2) z = x2siny z′x = 2xsiny z′y = x2cosy Nhận xét 2. tương tự ta cũng có đạo hàm riêng cho hàm số có n (n > 3) biến số. 6 Chương 1. Hàm số nhiều biến số 1.2.2 Vi phân của hàm hai biến số Ta xét ví dụ sau đây: Cho hình chữ nhật có chiều dài các cạnh là x, y khi đó diện tích của hình chữ nhật là S = x.y. Bây giờ nếu cho x và y các số gia ∆x, ∆y thì diện tích được tăng thêm là ∆S = (x+ ∆).(y + ∆y)− x.y = xy + x∆y + y∆x+ ∆x.∆y − xy = x∆y + y∆x+ ∆x.∆y từ đẳng thức trên ta thấy rằng số gia ∆S của diện tích ( tức là số gia của hàm số S = a.y) có thể biểu diễn dưới dạng tổng của hai số hạng, một số hạng là x∆y+y∆x tỷ lệ với ∆x, ∆y vì ∆x, ∆y là những số đã biết (bậc nhất đối với với ∆x, ∆y) và một số hạng ∆x, ∆y là một vô cùng bé bậc cao hơn ∆x, ∆y khi ∆x, ∆y tiến đến không. Vì vậy với ∆x, ∆y bé thì ta có thể xem: ∆S = x∆y = y∆x, khi đó ta có công thức khá chính xác để tính gần đúng ∆S. Định nghĩa 1.4. hàm z = f(x, y) được gọi là khả vi tại điểm M0(x0, y0) nếu số gia toàn phần. Bây giờ ta tìm vi phân toàn phần của hàm số: z = x Ta có f ′x = 1, f ′ y = 0 vậy ta có dz = 1.∆x+ 0.∆y = ∆x Tương tự vi phân toàn phần của hàm số z = y là: dz = dy = 0.∆x + 1.∆y = ∆y Vây đối với cá biến độc lập thì số gia và vi phân toàn phần trùng nhau, vì vậy vi phân toàn phần của hàm số z = f(x, y) có thể viết dz = f ′x(x, y)dx+ f ′ y(x, y)dy. Một hàm số z = f(x, y) có vi phân tại một điểm (x, y) thì nó khả vi tại điểm đó. Chú ý: Qua phần ví dụ mở đầu, ta thấy rằng một hàm số hai biến số chỉ só đạo hàm riêng tại một điểm thì chưa chắc đã khả vi tại điểm ấy mà chỉ khi các đạo hảm riêng đó liên tục, hàm số mới khả vi. Ngược lại, nếu hàm số hai biến số khả vi tại một điểm thì có các đạo hàm riêng tại diểm đó vì vậy đối với các hàm số hai biến số khái niệm hàm số khả vi và hàm số có đạo hàm riêng là không tương đương. Đó cũng là điểm khác nhau căn bản của hai hàm hai biến và hàm một biến. Ví dụ 2. cho z = x.y. Tính ∆z, dz tại điểm (2, 3) biết ∆x = 0, 1; ∆y = 0, 2. 7 Chương 1. Hàm số nhiều biến số Ta có: ∆z = (2 + 0, 1)(3 + 0.3)− 2.3 = 0, 72 dz = 3.0, 1 + 2.0, 2 = 0, 7 vậy ta thấy sai khác của ∆z và dz là 0,02 * Ứng dụng của vi phân toàn phần vào tính gần đúng. Viết lại công thức ∆z = f ′x(x, y).∆x+ f ′ x(x, y).∆y + γ1∆x+ γ2∆y = dz + γ1∆x+ γ2∆y (1.6) khi ∆x và ∆y khá bé, thì số hạng γ1∆x+ γ2∆y không đáng kể so với f ′x(x, y).∆x+ f ′ y(x, y).∆y = dz nên có thể bỏ qua, khi đó ta có: ∆z = f ′x(x, y).∆x+ f ′ x(x, y).∆y ≈ dz (1.7) Công thức (1.3) cho thấy rằng khi ∆x và ∆y khá bé thì số gia toàn phần có thể xem xấp xỉ bằng vi phân toàn phần của hàm số. Đó là công thức tính gần đúng số gia của hàm số bằng vi phân. Người ta cũng dùng vi phân toàn phần để tính gần đúng giá trị hàm số tại một điểm. Bài toán đặt ra là: Biết giá trị của hàm số z = f(x, y) tại ddiemr x0, y0 và các giá trị đạo hàm riêng tại điểm ấy, cần tìm giá trị của hàm số tại lân cận của điểm (x0 + ∆x, y0 + ∆y), (∆x,∆y có thể âm hoặc dương). Vì thông thường tính chính xác giá trị hàm số tại các điểm (x0 + ∆x, y0 + ∆y) khá phức tạp hoặc có thể không thực hiện đúng hẳn được, do đó người ta phải tính gần đúng bằng công thức (1.3) như sau: ∆z ≈ f ′x(x0, y0).∆x+ f ′y(x0, y0).∆y ⇔ f(x0 + ∆x, y0 + ∆y)− f(x0, y0) = f ′x(x0, y0)∆x+ f ′y(x0, y0)∆y ⇒ f(x0 + ∆x, y0 + ∆y) = f(x0, y0) + f ′x(x0, y0).∆x+ f ′y(x0, y0).∆y Ví dụ 3. Tính gần đúng (1, 04)2, 02 Xét hàm số z = xy khi đó ta có : z′x = yxy−1; z′y = xylnx Bây giờ ta xét (x0 + ∆x) y0+∆y = (1, 04)2, 02 = (1 + 0, 04)(20, 02) 8 Chương 1. Hàm số nhiều biến số x0 = 0; y0 = 2; ∆x = 0, 04; ∆y = 0, 02 khi đó ta có: (x0 + ∆x) y0+∆y = (1, 04)2,02 = (1 + 0, 04)(2 + 0, 02) ≈ ≈ 12 + 2.0, 04 + 12.0, 02.ln1 = 1, 08 1.2.3 Đạo hàm của hàm số hợp và hàm số ẩn 1.2.3.1 Đạo hàm của hàm số hợp. Định nghĩa 1.5. Cho hàm số z = f(u, v) mà u, v là các hàm số của hàm hai biến độc lập x, y : u = u(x, y); v = v(x, y) thì ta nói rằng z là hàm số hợp (kép) của hai biếm số x, y qua hai biến số trung gian u và v. Kí hiệu là: z = f [u(x, y), v(x, y)] Định nghĩa 1.6. Cho D là một tập hợp trong R2 xét ánh xạ ϕ : D → R2, f : ϕ(D)→ R. Ánh xạ tích f ◦ ϕ : D → R xác định bởi f ◦ ϕ : D (x,y) f→ 7→ ϕ(D) (u(x,y),v(x,y)) ϕ→ 7→ Rf(u(x,y),v(x,y)) Ví dụ 4. z = eusinv mà u = x+ y; v = xy thì ta có z = ex+ysin(xy) Vấn đề đặt ra ở đây là ta cần tính đạo hàm riêng của hàm số z theo hai biến độc lập x và y tức là cần tính z′x và z′y của hàm số z = f [u(x, y), v(x, y)]. Giả sử các hàm số z, u, v đều có các đạo hàm riêng liên tục đối với các biến của chúng tức là tồn tại các đạo hàm riêng z′u, z′v, u′x, u′y. Bây giờ giữ y không đổi và cho x một số gia là ∆x thì u có số gia tương ứng là ∆xu, v có số gia tương ứng là ∆xv, khi đó hàm số z = f [u(x, y), v(x, y)] là một hàm của ột biến x nên z có số gia ∆xz và ∆yz được xác định như sau, từ công thức ∆xz = z ′ u∆xu+ z ′ v∆xv + γ1∆xu+ γ2∆xv, với γ1,γ2 là các vô cùng bế khi ∆x→ 0 Lập tỷ số ∆xz ∆x = ∆u ∆xu ∆x + z′v ∆xv∆x + γ1 ∆xu ∆x + γ2 ∆xv ∆x Khi ∆x → 0 và các hàm số u, v có đạo hàm nên ∆xu ∆x → u′x;∆xv∆x → v′x;γ1 ∆xu∆x → γ1u ′ x → 0; γ2 ∆xv∆x → γ2v′x → 0 ⇒ Lim ∆x→0 ∆xz ∆x = z′u Lim ∆x→0 ∆xu ∆x + z′v Lim ∆x→0 ∆xv ∆x + Lim ∆x→0 γ1 ∆xu ∆x + Lim ∆x→0 γ2 ∆xv ∆x 9 Chương 1. Hàm số nhiều biến số ⇒ z′x = z′u.u′x + z′v.v′x. Hoàn toàn tương tự cũng có z′y = z ′ u.u ′ y + z ′ v.v ′ y Vậy ta có công thức  z′x = z′u.u′x + z′v.v′xz′y = z′u.u′y + z′v.v′y hay  ∂z∂x = ∂z∂u .∂u∂x + ∂z∂v . ∂v∂x∂z ∂y = ∂z ∂u .∂u ∂y + ∂z ∂v .∂v ∂y (1.8) Công thức (1.2.1) có thể được viết dưới dạng ∂z∂x∂z ∂y  = ( ∂z∂u ∂z∂v)  ∂u∂x ∂u∂y ∂v ∂x ∂v ∂y  trong đó ma trận  ∂u∂x ∂u∂y ∂v ∂x ∂v ∂y  được gọi là ma trận Jacobi của ánh xạ ϕ hay ma trận Jacobi của u, v đối với x, y còn định thức của ma trận ấy được gọi là đinh thức Jacobi và được kí hiệu là:D(u,v) Dc9x.y . Ví dụ 5. Tính đạo hàm hàm số hợp : z = eusinv mà u = x+ y, v = x.y thì ta có s = e(x+ y)sinxy. Áp dụng công thức (1.2.1) ta có:  z′x = z′u.u′x + z′v.v′xz′y = z′u.u′y + z′v.v′y ⇔  z′x = eu sin v × 1 + eu cos v × yz′y = eu sin v × 1 + eu cos v × x ⇔  z′x = ex+y sinx.y + y.e(x+y) cosx.yz′y = ex+y sinx.y + xex+y cosx.y 1.2.3.2 Đạo hàm hàm sô ẩn a) Hàm ẩn một biến số: Xét phương trình F (x, y) = 0 (1.9) Nếu ta cho x một giá trị xác đinh x0, từ phương trình F (xo, y) = 0 có thể tìm được một hay nhiều giá trị y0 sao cho F (x0, y0) = 0 thì khi đó ta nói rằng biểu thức chứa một hay nhiều hàm số ẩn y theo biên x. Chẳng hạn từ phương trình x 2 a2 + y 2 b2 = 1 ta được y = ± b a √ a2 − x2 Phương trình ấy xác định hai hàm số ẩn trong đoạn [−a, a]. Trong trường hợp này ta tìm được biểu thức tường minh, trường hợp này không phải lúc nào cũng thực 10 Chương 1. Hàm số nhiều biến số hiện được, chẳng hạn từ hệ thức xy = yx(x > 0.y > 0) không thể tính được tường minh y theo x. Vấn đề dặt ra ở đây hãy tính đạo hàm của hàm số ẩn y theo biến x, tức là tính y ′ x. Vì y là một hàm của biến x nên ta có thể viết F (x, y) = F (x, y(x)) = 0 đạo hàm hai vế theo x ta được F ′ x +F ′ y . y ′ x = 0 ⇒ y′ x = −F ′ x F ′ y (Với giả thiết rằng F ′ y 6= 0) vậy ta có công thức để tính đạo hàm của hàm số ẩn là: y′x = − F ′x F ′y Ví dụ 6. tính đạo hàm của hàm ẩn xác định từ phương trình : x2 a2 + y2 b2 = 1 Đặt F (x, y) = x 2 y2 + y 2 b2 − 1 = 0 khi đó ta có: F ′ x = 2x a2 ;F ′ y = 2y b2 vậy ta có y ′ x = −2xa2 : 2yb2 = −2xa2 . b 2 2y = − b2x a2y 1.2.3.3 Hàm ẩn của hàm hai biến số Nếu ứng với mỗi cặp (x, y) mà ta luôn tìm được một hay nhiều giá trị z sao cho x, y, z thoả mãn phương trình F (x, y, z) = 0 thì ta nói rằng phương trình (1.2.4) xác định một hay nhiều hàm số ẩn của hai biến số x, y. Ví dụ 7. Phương trình x2+y2+z2 = R2 xác định hai hàm số ẩn z theo hai biến x, y là z = ± √ R2 − x2 − y2 11 Chương 1. Hàm số nhiều biến số Bây giờ ta đi xét cách tính đạo hàm riêng z′x, z ′ y của z theo hai biến x, y Ta thấy rằng z là hàm số của hai biến số x, y nên ta có viết lại phương trình: F (x, y, z) = 0 ⇔ F (x, y, z(x, y)) = 0 khi đó để tính z′x thì ta xem y không đổi khi đó ta trở lại đậo hàm của hàm số ẩn một biến số x và hàm phải tìm là z khi đó ta có z′x = − F ′x F ′z tương tự ta cũng có: z′y = − F ′y F ′z Ví dụ 8. cho hàm số ẩn hai biến số xác định bởi phương trình: ez + x2y + z + 5 = 0 ta có : F (x, y, z) = ez + x2y + z + 5 = 0 ⇒ F ′x = 2xy F ′y = x 2 F ′z = e z + 1 vậy: z′x = −F ′xF ′z = − 2xy ez+1 z′y = − F ′y F ′z = − x 2 ez + 1 1.2.4 Đạo hàm và vi phân cấp cao 1.2.4.1 Đạo hàm cấp cao Cho hàm số z = f(x, y). Từ giờ trở đi ta gọi các đạo hàm ∂z ∂x , ∂z ∂y là các đậo hàm riêng cấp một của z, nói chung các đạo hàm riêng ây cũng lại là một hàm của hai biến số x, y nếu các hàm số đó có đạo hàm riêng thì người ta gọi các đạo hàm riêng đó là đậo hàm riêng cấp 2 của z. Như vậy, từ các đo hàm riêng cấp 1 ta có các đạo hàm riêng cấp 2 sau: • ∂ ∂x ( ∂z ∂x ) kí hiệu là ∂ 2z ∂x2 , z ′′ xx lần thứ nhất lấy đạo hàm riêng theo x sau đó lại lấy đạo hàm riêng theo x một lần nữa. • ∂ ∂y ( ∂z ∂x ) kí hiệu là ∂ 2z ∂x∂x , z ′′ x y lần thứ nhất lấy đạo hàm riêng theo x sau đó lại lấy đạo hàm riêng theo y một lần nữa. 12 Chương 1. Hàm số nhiều biến số • ∂ ∂y ( ∂z ∂y ) kí hiệu là ∂ 2z ∂x2 , z ′′ y y lần thứ nhất lấy đạo hàm riêng theo y sau đó lại lấy đạo hàm riêng theo y một lần nữa. • ∂ ∂x ( ∂z ∂x ) kí hiệu là ∂ 2z ∂y∂x , z ′′ y x lần thứ nhất lấy đạo hàm riêng theo y sau đó lại lấy đạo hàm riêng theo x một lần nữa. Ví dụ 9. Tính đạo hàm riêng cấp hai của hàm số: z = x2y + y2 Ta có các đạo hàm riêng cấp một: z′x = 2xy; z ′ y = x 2 + 2y Các đạo hàm riêng cấp hai z′′xx = 2y z ′′ xy = 2x z′′yy = 2 z ′′ yx = 2x Tương tự như trên đạo hàm riêng của các đậo hàm riêng cấp hai gọi là các đạo hàm riêng cấp ba, đạo hàm riêng của các đậo hàm riêng cấp ba gọi là các đạo hàm riêng cáp bốn. . . Trường hợp hàm nhiều hơn hai biến trở lenn ccũng được định nghĩa tương tự như trên. Định lí Schwart ( Sơ - vác -sơ). Nếu trong một lân cạn nào đó của điểm M(x0, y0) hàm số z = f(x, y) có các đạo hàm riêng f ′′ xy, f ′′ yx và các đạo hàm riêng đó liên tục tại điểm M(x0, y0) thì f ′′ xy = f ′′ yx Ví dụ 10. cho hàm số z = x2y+ y2. Ta đã tính ở trên thì ta có z′′xy = 2x; z ′′ yx = 2x vậy z′′xy = z ′′ yx. Xột hàm số z = f(x, y). Vi phân toàn phần của nó là nếu tồn tại cũng là một hàm số của hai biến số x và y, vi phân toàn phần của dz nếu tồn tại thỡ được gọi là vi phân toàn phần cấp 2 và được ký hiệu là d2z . Vậy d2z = d(dz) = d(f ′xdx+ f ′ ydx) 13 Chương 1. Hàm số nhiều biến số Cứ tiếp tụ như vậy ta có các vi phân toàn phân cấp ba, cấp bốn ,. . . . d3z = d(d2z) · · · dnz = d(dn−1z) Bây giờ, từ biểu thức d2z = d(dz) = d(f ′xdx+ f ′ ydx) = (f ′ xdx+ f ′ ydx) ′ xdx+ (f ′ xdx+ f ′ ydx) ′ ydy = f ′′ x2dx 2 + (f ′′ xy + f ′′ yx)dxdy + f ′′ y2dy 2 Giả sử rằng hàm f(x, y) là liên tục khi đó ta có d2z = f ′′ x2dx 2 + 2f ′′ xydxdy + f ′′ y2dy 2. 1.2.5 Đạo hàm theo hướng. Gradient 1. Cho hàm u(x, y, z) là một hàm số xác định trong miền D ∈ R3 . Qua điểm M0(x0, y0, z0) ∈ D ta vẽ một đường thẳng định hướng mà véc tơ đơn vị là → l ; M là một điểm trên đường thẳng ấy, ta có → M0M = ρ → l trong đó ρ là độ dài của véc tơ → M0M . Nếu khi ρ→ 0 ( tức là M dần tới M0 theo hướng → l ), tỷ số ∆uρ = u(M)−u(M0) ρ dần tới một giới hạn hữu hạn thì giới hạn ấy được gọi là đạo hàm của hàm số u theo hướng véc tơ → l tại điểmM0 và được ký hiệu là ∂u ∂ → l (M0). Trong trường hợp nếu véc tơ → l trùng với véc tơ đơn vị → i của trục Ox thì ∂u ∂ → l (M0) = Lim ρ→0 u(x0+ρ,y0,z0)−u(x0,y0,z0) ρ = ∂u(x0) ∂x . Như vậy ta thấy rằng đạo hàm riêng ∂u ∂x của hàm u theo biến x là đạo hàm của hàm u theo hướng của trục Ox, Cũng vậy ∂u ∂y ;∂u ∂z là các đạo hàm của u theo hường của các trục Oy,Oz. Đạo hàm của hàm số u = u(x, y, z) theo hướng → l biểu thị tốc độ biến thiên của hàm u theo hướng → l . Định lý 1.1. Nếu hàm số u = u(x, y, z) khả vi tại điểm M0(x0, y0, z0) thì tại điểm ấy nó có đạo hàm theo hướng → l và ta có: ∂u(M0) ∂ → l = ∂u(M0) ∂x cosα + ∂u(M0) ∂y cos β + ∂u(M0) ∂z cos γ Trong đó cosα, cos β, cos γ là ba thành phần của → l . 14 Chương 1. Hàm số nhiều biến số Chú ý 1. Hàm số u(x, y, z) là hàm số có các đạo hàm riêng tại M0(x0, y0, z0), người ta gọi Gradient của u tạiM0(x0, y0, z0) là véc tơ có các thành phần : ∂u(M0) ∂x ; ∂u(M0) ∂y ; ∂u(M0) ∂z và kí hiệu nó là: → grad u(M0) . Nếu → i , → j , → k là các véc tơ đơn vị của các trục Ox,Oy,Oz, thì ta có → grad u(M0) = ∂u(M0) ∂x → i + ∂u(M0) ∂y → j +∂u(M0) ∂z → k . Định lý 1.2. Nếu hàm số u(x, y, z) khả vi tại mọi điểm M0(x0, y0, z0) thì tại đó ta có: ∂u ∂ → l = ch→ l → grad u Ví dụ 11. Cho hàm u = x3+y3+z3+3xyz. Tính → grad u và ∂u ∂ → l tại điểmM0(1, 2−1) biết → l là véc tơ đơn vị của → M0M1 với M1(2, 01). Giải: ta có u′x = 3x 2 + 3yz; u′y = 3y 2 + 3xz; u′z = 3z 2 + 3xy Vậy ta có: → grad u = ∂u ∂x → i +∂u∂y → j +∂u ∂z → k = (3x2 + 3yz) → i + (3y2 + 3xz) → j + (3z2 + 3xy) → k → grad u(M0) = 3(− → i +3 → j +3 → k ) Ta có ρ = √ (2− 1)2 + (0− 2)2 + (1 + 1)2 = √9 = 3 hơn nữa ta có ∆x = 1 = ρ cosα; ∆y = −2 = ρ cos β; ∆z = 2 = ρ cos γ Suy ra cosα = 1 3 ; cos β = −2 3 ; cos γ = 2 3 Vậy ∂u ∂l (M0) = ∂u(M0) ∂x cosα+ ∂u(M0) ∂y cos β + ∂u(M0) ∂z cos γ = (−3)1 3 + 9 (−2 3 ) + 9 ( 2 3 ) = −1. 1.3 Cực thị hàm nhiều biến 1.3.1 Cực trị không có điều kiện 1.3.1.1 Các định nghĩa Định nghĩa 1.7. Hàm số z = f(x, y) gọi là đạt cực đại tại điểm M(x0, y0) nếu tại 15 Chương 1. Hàm số nhiều biến số mọi điểm M(x, y) nằm trong lân cận của điểm M0(x0, y0) thì ta luôn có f(x0, y0) < f(x, y). Định nghĩa 1.8. Hàm số z = f(x, y) gọi là đạt cực tiểu tại điểmM(x0, y0) nếu tại mọi điểmM(x, y) nằm trong lân cận của điểmM(x0, y0) thì ta luôn có f(x0, y0) > f(x, y) Giá trị cực đại, cực tiểu gọi chung là cực trị của hàm số. Điểm M mà tại đó hàm số đạt cực trị gọi là điểm cực tri của hàm số. Ví dụ 12. Hàm số z = 1 2 − sin(x2 + y2) đạt cực đại tại điểm O(0, 0). Thật vậy ta có f(0, 0) = 1 2 − sin(0 + 0) = 1 2 . Với mọi điểm M(x, y) nằm trong lân cậ của điểm O(0, 0) ta đều có sin(x2 + y2) > 0 do đó f(x, y) = 1 2 − sin(x2 + y2) > 1 2 tức là gián đoạn tại O(0, 0) lớn hơn mọi giá trị của hàm số trong lân cận của điểm O(0, 0). 1.3.1.2 Điều kiện ắt có để hàm số có cực trị. Định lý 1.3. Nếu hàm số z = f(x, y) khả vi và đạt cực trị tại điểm M(x0, y0) thì tại đó cácđạo hàm riêng ∂f ∂x ; ∂f ∂y đều triệt tiêu. Chú ý 2. : định lí trên chỉ là điều kiện ắt có nhưng chưa phải là điều kiện đủ, nghĩa là chỉ nói tại các điểm cực trị thì các đạo hàm riêng cấp một triệt tiêu, ngược lại tại những điểm mà tại đó các đạo hàm riêng cấp một triệt tiêu thì chưa chắc đã có cực trị. ( Điều này sẽ được nhắc trong các ví dụ ) Do đó khi tìm cực trị của một hàm số thì ta đi tìm những điểm mà tại đó hàm số có các đạo hàm riêng cấp một triệt tiêu. Những điểm mà tại đó hàm số có các đạo hàm riêng cấp một triệt tiêu được gọi là các điểm dừng. 1.3.1.3 Điều kiện cần và đủ để hàm số đạt cực trị Để tiện trong việc khai triển định lí ta đặt f ′x(M) = p; f ′ y(M) = q; f ′′ xx(M) = A; f ′′ xy(M) = B; f ′′ y y(M) = C Định lý 1.4. Cho hàm số z = f(x, y) có các đạo hàm riêng đến cấp hai liên tục trong một lân cận nào đó của điểm M(x0, y0). Giả sử rằng tại M(x0, y0) ta có f ′x(x0, y0) = p = f ′ y(x0, y0) = q = 0. Khi đó tại M(x0, y0) ta có: 1. Nếu B2 − AC < 0thì hàm số z = f(x, y) đạt cực trị, đó là điểm cực đại nếu A 0. 2. Nếu B2 − AC > 0 thì hám số z = f(x, y) 16 Chương 1. Hàm số nhiều biến số không đạt cực trị tại M0(x0, y0). 3. Nếu B 2−AC = 0 thì hàm số z = f(x, y) có thể đạt cực trị cũng có thể không đạt cực trị (trường hợp nghi ngờ). Ví dụ 13. Tìm cực trị của hàm hai biến: z = x3 + y3 − 9xy Giải. Ta có:  p = z′x = 3x2 − 9y = 0q = z′y = 3y2 − 9x = 0 ⇔  3x2 − 9y = 03y2 − 9x = 0 ⇔  3x2 − 9y = 03y2 = 9x ⇔  3x2 − 9y = 0x = y2 3 ⇔  y4 3 − 9y = 0 3y2 − 9x = 0  y(y3 − 33) = 03y2 − 9x = 0 ⇒   x = 3y = 3 x = 0y = 0 ta lại có A = z′′xx = 6x;B = z ′′ xy = −9;C = z′′yy = 6y Vậy ta có hai ddiemr dừng đó là M1(0, 0) và M2(3, 3) Tại M1(0, 0) ta có B 2 − AC = (−9)2 − 0 = 81 > 0, vậy hàm số không có cực trị. Tại M2(3, 3) ta có B 2−AC = (−9)2− 18.18 = −243 < 0, vậy hàm số đạt cực trị và đó là điểm cực tiểu vì A = 6.3 = 18, ta có zmin = 3 3 + 33 − 9.3.3 = −27. 1.3.2 Cực trị có điều kiện 1. Định nghĩa. Người ta gọi cực trị của hàm số z = f(x, y) trong đó x và y là các biến bị rang buộc bởi hệ thức g(x, y) = 0 là cực trị có điều kiện. 2. Định lí (Điều kiện ắt có của cực trị có điều kiện) Giả sử điểm M0(x0, y0) là điểm cực trị có điều kiện của hàm số f(x, y) với điều kiện g(x, y) = 0. và giả sử: • Ở lân cận của điểm M0(x0, y0) các hàm số f(x, y) và g(x, y) có các đọa hàm riêng cấp một liên tục. • Các đạo hàm riêng g′x, g′y không đồng thời bằng không tại điểm M0(x0, y0). Khi đó tại M0 ta có: 17 Chương 1. Hàm số nhiều biến số ∣∣∣∣∣∣ f ′ x f ′ y g′x g ′ y ∣∣∣∣∣∣ = 0 Ví dụ 14. Tìm cực trị của hàm số z = x2 + y2 với điều kiện ax+ by + c = 0 Giải: Ta có ∣∣∣∣∣∣ f ′ x f ′ y g′x g ′ y ∣∣∣∣∣∣ = 0⇔ ∣∣∣∣∣∣ 2x 2ya b ∣∣∣∣∣∣ = 0⇔ xa = yb Hơn nữa ta lại có ax+ by + c = 0 nên giải hệ phương trình xa = y b ax+ by + c = 0 ⇒  x = − aca2+b2y = − bc a2+b2 1.3.3 Cực trị của hàm nhiều biến 1.3.4 Cực trị không có điều kiện Định nghĩa 1.9. Cho hàm số z = f(x, y) xác định trong miền D, là một điểm trong của D. Ta nói rằng f(x, y) đạt cực trị tại M0 nếu với mọi điểm M(x, y) nằm trong lân cận của điểm M0 nhưng khác M0, hiệu số f(M)− f(M0) có dấu không đổi. Nếu f(M)− f(M0) > 0,M0 là cực tiểu. Nếu f(M)− f(M0) < 0,M0 là cực đại. Giá trị cực đại, cực tiểu gọi chung là cực trị của hàm số. Điểm M0 mà tại đó hàm số đạt cực trị gọi là điểm cực trị của hàm số. Ví dụ 11. Hàm số z = f(x, y) = 1 2 − sin(x2 + y2) đạt cực đại tại điểm O(0, 0). Thật vậy, ta có f(0, 0) = 1 2 − sin(0 + 0) = 1 2 . Với mọi điểmM(x, y) nằm trong lân cận của điểm O(0, 0) ta đều có sin(x2 +y2) > 0. Do đó f(x, y) = 1 2 − sin(x2 + y2) < 1 2 , tức là giá trị của hàm số tại điểm O(0, 0) lớn hơn mọi giá trị của hàm số trong lân cận của điểm O(0, 0). Điều kiện cần để hàm số có cực trị Định lý 1.5. Nếu hàm số z = f(x, y) khả vi và đạt cực trị tại điểm M0(x0, y0) thì tại đó các đạo hàm riêng ∂f ∂x , ∂f ∂y bằng không. Chứng minh: Vì f đạt cực trị tại M0 nên nếu giữ y = y0 thì hàm số một biến số x 7−→ f(x, y0) đạt cực trị tại x = x0, vì đạo hàm riêng f ′x(x0, y0) tồn tại, nó phải bằng không theo định lý Fermat. Tương tự vậy f ′ y(x0, y0) = 0. 18 Chương 1. Hàm số nhiều biến số Chú ý: Định lí trên chỉ là điều kiện cần nhưng chưa phải điều kiện đủ, nghĩa là chỉ nói tại các điểm cực trị thì các đạo hàm riêng cấp một bằng không, ngược lại những điểm mà tại đó các đạo hàm riêng cấp một bằng không thì chưa chắc đã có cực trị (điều này sẽ được nhắc trong phần ví dụ). Do đó khi đi tìm cực trị của một hàm số thì ta đi tìm những điểm mà tại đó hàm số có các đạo hàm riêng cấp một triệt tiêu. Những điểm đó được gọi là các điểm dừng . Điều kiện cần và đủ dể hàm số đạt cực trị: Để cho tiện trong việc phát biểu định lý ta đặt: f ′ x(M) = p; f ′ y(M) = q; f ′′ x2(M) = A; f ′′ xy(M) = B; f ′′ y2(M) = C Định lý 1.6. Cho hàm số z = f(x, y) có các đạo hàm riêng đến cấp hai liên tục trong một lân cận nào đó của điểm M0(x0, y0). Giả sử rằng tại M0 ta có p = q = 0. Khi đó tại M0 : 1) Nếu B2 −AC < 0 thì hàm số z = f(x, y) đạt cực trị tại M0. Đó là điểm cực đại nếu A 0. 2) Nếu B2 − AC > 0 thì hàm số z = f(x, y) không đạt cực trị tại M0. 3) Nếu B2−AC = 0 thì hàm số z = f(x, y) có thể đạt cực trị cũng có thể không đạt cực trị (trường hợp nghi ngờ). Chứng minh: Giả sử điểm M(x0 + h, y0 + k) ở lân cận điểm M0. Đặt ∆ = f(M)− f(M0). Khai triển công thức taylor đến số hạng cấp hai ta có: ∆ = df(x0, y0) + 1 2! d2f(x0, y0) +R(h, k) Vì tại M0 : p = f ′ x(x0, y0) = f ′ y(x0, y0) = 0, nên df(x0, y0) = 0, và d2f(x0, y0) = f ′ x(x0, y0)d 2x+f ′ y(x0, y0)d 2y+f ′′ x2(x0, y0)dx 2+2f ′′ xy(x0, y0)dxdy+f ′′ y2(x0, y0)dy 2 = f ′′ x2dx 2 + 2f ′′ xydxdy + f ′′ y2dy 2 = Ah2 + 2Bhk + Ck2 Suy ra, ∆ = 1 2 (Ah2 + 2Bhk + Ck2) +R(h, k) trong đó, R(h, k) là một VCB bậc ba đối với ρ = √ (h2 + k2). Do đó, khi h, k khá nhỏ thì ∆ cùng dấu với g(h, k) = Ah2 + 2Bhk + Ck2. Nếu k 6= 0, g(h, k) = k2[A(h k )2 + 2B h k + C]. Đặt t = h k , ta được g(h, k) = k2[At2 + 2Bt+ C] = k2[R(t)] 19 Chương 1. Hàm số nhiều biến số * Nếu B2 − AC < 0, thì R(t) luôn cùng dấu với A, do đó, ∆ cùng dấu với A: + Nếu A < 0 thì ∆ < 0, M0 là cực đại. + Nếu A > 0 thì ∆ > 0, M0 là cực tiểu. * Nếu B2 − AC > 0, thì R(t) đổi dấu khi A biến thiên, do đó, ∆ đổi dấu. Vậy f không đạt cực trị tại M0. * Nếu B2−AC = 0, thì tam thức R(t) có một nghiệm kép t0, dấu của ∆ là dấu của VCB bậc ba R(h, k). Điều này ta không làm ở đây. Ví dụ 12. Tìm cực trị của hàm hai biến: z = x3 + y3 − 9xy Giải: Ta có:p = z ′ x = 3x 2 − 9y = 0 q = z ′ y = 3y 2 − 9x = 0 ⇔ 3x 2 − 9y = 0 3y2 = 9x ⇔  3x2 − 9y = 0 x = y2 3 ⇔ x = 0y = 0 hoặc x = 3y = 3 . Vậy ta có 2 điểm dừng là M1(0, 0),M2(3, 3). Mặt khác, ta lại có A = z ′′ x2 = 6x,B = z ′′ xy = −9, C = z′′y2 = 6y. Tại M1(0, 0): B 2 − AC = (−9)2 − 0 = 81 > 0, vậy M1 không là cực trị của hàm số. TạiM1(3, 3): B 2−AC = (−9)2−18×18 = −243 < 0, vậyM1 là cực trị của hàm số và đó là điểm cực tiểu vì A = 63 = 18 > 0. Khi đó ta có zmin = 3 3+33−9×3×3 = −27. 1.3.5 Cực trị có điều kiện Định nghĩa 1.10. Người ta gọi cực trị của hàm số z = f(x, y) (1.10) trong đó x và y là các biến bị ràng buộc bởi hệ thức g(x, y) = 0 (1.11) là cực trị có điều kiện. 20 Chương 1. Hàm số nhiều biến số Định lý 1.7. (Điều kiện cần của cực trị có điều kiện). Giả sử điểm M0(x0, y0) là điểm cực trị có điều kiện của hàm số f(x, y) với điều kiện g(x, y) = 0, và : 1) Ở lân cận của điểm M0(x0, y0) các hàm số f(x, y), g(x, y) có các đạo hàm riêng cấp một liên tục. 2) Các đạo hàm riêng g ′ x, g ′ y không đồng thời bằng không tại điểm M0(x0, y0). Khi đó, tại M0 ta có: ∣∣∣∣∣∣f ′ x f ′ y g ′ x g ′ y ∣∣∣∣∣∣ = 0. (1.12) Chứng minh: Hiển nhiên ta có g(x0, y0) = 0. Từ giả thiết 2) có thể xem g ′ y(x0, y0) 6= 0. Theo định lý về hàm ẩn, từ hệ thức (1.11) xác định một hàm ẩn y = y(x) khả vi ở lân cận x0. Thế y = y(x) vào (1.10) ta được hàm một biến: x 7→ f(x, y(x)) đạt cực trị tại x = x0. Do đó, f ′ x(x0, y0) = f ′ y(x0, y0) = 0 Hay f ′ x(x0, y0)dx+ f ′ y(x0, y0)dy = 0 (1.13) Mặt khác, lấy vi phân hai vế của (1.11) ta được: g ′ x(x0, y0)dx+ g ′ y(x0, y0)dy = 0 (1.14) Xem hệ (1.13), (1.14) là hệ hai phương trình tuyến tính thuần nhất đối với dx, dy, hệ ấy có nghiệm không tầm thường. Vậy định thức của nó bằng không:∣∣∣∣∣∣f ′ x f ′ y g ′ x g ′ y ∣∣∣∣∣∣ = 0 Đây là hệ thức (1.12)cần chứng minh. Hệ thức (1.12) cùng với điều kiện (1.11) cho phép ta xác định M0(x0, y0). Ví dụ 13. Tìm cực trị của hàm số z = x2 + y2 với điều kiện x+ 2y + 3 = 0. Giải: Ta có ∣∣∣∣∣∣f ′ x f ′ y g ′ x g ′ y ∣∣∣∣∣∣ = 0⇔ ∣∣∣∣∣∣2x 2y1 2 ∣∣∣∣∣∣ = 0⇔ y = 2x 21 Chương 1. Hàm số nhiều biến số Hơn nữa ta lại có x+ 2y + 3 = 0 nên giải hệ phương trìnhy = 2xx+ 2y + 3 = 0 ⇔  x = −3 5 y = −6 5 ⇒ hàm số có một điểm dừng là M0(−3 5 ,−6 5 ). Ta kiểm tra xem điểm này có là cực đại hay cực tiểu của hàm số không? Thật vậy, về mặt hình học z = x2 +y2 là bình phương khoảng cách từ gốc O đến điểm M(x, y). Do đó bài toán đặt ra là phải tìm cực trị của bình phương khoảng cách từ gốc O đến một điểm trên đường thẳng x+ 2y+ 3 = 0. Bài toán này có một cực tiểu, không có cực đại. Do đó, cực tiểu chỉ có thể đạt được tại điểm tới hạn và cực tiểu ấy bằng 9 5 . c, Phương pháp nhân tử Lagrange: Hệ thức (1.12) là điều kiện cần và đủ để cho hệ phương trình:f ′ x(x0, y0) + λg ′ x(x0, y0) = 0 f ′ y(x0, y0) + λg ′ y(x0, y0) = 0 xem là hệ phương trình tuyến tính thuần nhất đối với 1 và λ có nghiệm không tầm thường. Do đó, nếu các điều kiện của định lý trên thỏa mãn thì tồn tại một số λ sao cho tại điểm M0 ta có:f ′ x(x0, y0) + λg ′ x(x0, y0) = 0 f ′ y(x0, y0) + λg ′ y(x0, y0) = 0 Hệ phương trình này cùng với điều kiện g(x, y) = 0 cho phép ta tìm λ, x0, y0. Số λ gọi là nhân tử Lagrange. Phương pháp này gọi là phương pháp nhân tử Lagrange. Tóm lại, phương pháp nhân tử Lagrange là phương pháp giải hệ: f ′ x(x0, y0) + λg ′ x(x0, y0) = 0 f ′ y(x0, y0) + λg ′ y(x0, y0) = 0 g(x, y) = 0 (1.15) 22 Chương 1. Hàm số nhiều biến số để tìm điểm dừng M0(x0, y0). Ví dụ 14. Giải bài toán trên bằng phương pháp nhân tử Lagrange. Thật vậy, để tìm tọa độ điểm dừng ta xét hệ: 2x+ λ = 0 2y + 2λ = 0 x+ 2y + 3 = 0 ⇔  x = −3 5 y = −6 5 λ = 6 5 . Như vậy, hàm số có một điểm dừng là M0(−3 5 ,−6 5 ). Kết quả này trùng với kết quả ở ví dụ (13) , còn việc kiểm tra xem điểm dừng này là cực đại hay cực tiểu của hàm số tương tự như ví dụ (13) . 1.3.3. Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm nhiều biến trong một miền đóng và bị chặn. Ta biết rằng mọi hàm số nhiều biến số liên tục trong một miền đóng và bị chặn luôn đạt giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong miền ấy, như vậy nếu hàm số đạt giá trị lớn nhất tại một điểm nào đó là điểm trong của miền D thì điểm đó chắc chắn phải là điểm cực đại hoặc điểm cực tiểu của hàm số, hay còn gọi là điểm cực trị. Như vậy việc tìm giá trị lớn nhất của hàm nhiều biến trong một miền đóng và bị chặn ta chỉ cần tính giá trị của hàm số tại các điểm tới hạn và đem so sánh với giá trị của hàm trên biên của D. Ví dụ 15. Tính giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số z = 8x2 + 3y2 + 1− (2x2 + y2 + 1)2 Trong miền tròn đóng D xác định bởi x2 + y2 ≤ 1. Ta thấy rằng z là một hàm số liên tục trên D nên nó đạt giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên D, ta có p = 16x− 8x(2x 2 + y2 + 1) = 0 p = 6y − 4y(2x2 + y2 + 1) = 0 có 5 điểm tới hạn là gốc O và: A1(0, 1√ 2 );A2(0,− 1√ 2 );A3( 1√ 2 , 0);A4( 1√ 2 , 0) 23 Chương 1. Hàm số nhiều biến số Ta thấy rằng cả 5 điểm tới hạn này đều nằm trong miền D. Tính các giá trị tại các điểm này ta được. z(0) = 0; z(A1) = z(A2) = 1 4 ; z(A3) = z(A4) = 1 Bây giờ xét giá trị của z trên biên của miền D. Trên biên ấy ta có x2 + y2 = 1 hay y2 = 1− x2 . Thay giá trị này vào z ta có: z = x2(1− x2) Vì (x, y) ∈ D nên ta có −1 ≤ x ≤ 1 thấy rằng z = 0 khi x = 0, x = 1 và x = −1. Hàm số dạt giá trị lớn nhất khi x2 = (1 − x2) ⇒ x = ± 1√ 2 , giá trị lớn nhất này bằng 1 4 so sánh với các giá trị tại các điểm tới hạn ta có: Giá trị lớn nhất của hàm số là 1 tại các điểm A3, A4 và giá trị nhỏ nhất là 0 tại O. 24 Chương 2 Tích phân bội 2.1 Tích phân kép 2.1.1 Bài toán dẫn đến tích phân kép Ta xét vật thể hình trụ giới hạn bởi mặt phẳng Oxy, một mặt trụ có đường sinh song song với trục Oz và một mặt cong z = f(x, y) , trong đó hàm f(x, y) ≥ 0 và liên tục. Hãy tính thể tích của vật thể hình trụ đó. Hình 2.1: Gọi D là miền phẳng hữu hạn đóng nằm trong mặt phẳng Oxy giới hạn bởi giao tuyến của mặt trụ với mặt phẳng Oxy, D được gọi là đáy của vật thể hình trụ. Chia miền D một cách tùy ý thành n mảnh nhỏ không dẫm lên nhau. Ta gọi tên và cả diện tích của các mảnh đó là ∆S1,∆S2, ...,∆Sn. Lấy mỗi mảnh nhỏ làm đáy dựng vật thể hình trụ mà mặt xung quanh có đường sinh song song với trục Oz và phía 25 Chương 2. Tích phân bội trên giới hạn bởi mặt cong z = f(x, y). Như vậy vật thể hình trụ đã được chia thành n vật thể hình trụ nhỏ. Trong mỗi mảnh nhỏ ∆Si(i = 1, 2, ..., n) ta lấy một điểm tùy ý Mi(xi, yi) khi đó chiều cao của hình trụ nhỏ thứ i là f(xi, yi) Tích f(xi, yi)∆Si bằng thể tích hình trụ có đáy là ∆Si và chiều cao là f(xi, yi). Nếu mảnh ∆Si có đường kính khá nhỏ có thể coi thể tích ∆Vi của vật thể hình trụ nhỏ thứ i xấp xỉ bằng ∆Vi ≈ f(xi, yi)∆Si. Và nếu mọi mảnh ∆Si đều có đường kính khá nhỏ thì có thể coi thể tích V của vật thể hình trụ xấp xỉ bằng V ≈ n∑ i=1 f(xi, yi)∆Si Phép tính gần đúng này càng chính xác nếu n càng lớn và các ∆Si có đường kính càng nhỏ. Do đó thể tích V của vật thể hình trụ đang xét được định nghĩa bằng giới hạn, nếu có của tổng trên khi n→∞ sao cho đường kính lớn nhất trong các đường kính di của các mảnh ∆Si dần tới không, giới hạn ấy không phụ thuộc vào cách chia miền D thành các mảnh nhỏ, cũng như cách chọn điểm Mi trong ∆Si V = lim maxdi→0 n∑ i=1 f(xi, yi)∆Si (Đường kính của một miền bị chặn là khoảng cách lớn nhất giữa các điểm trên biên của miền đấy). 2.1.2 Định nghĩa tích phân bội 2: Cho hàm số f(x, y) xác đinh trong một miền đóng, bị chặn D. Chia D một cách tùy ý thành n mảnh nhỏ. Gọi tên và cả diện tích của các mảnh đó là ∆S1,∆S2, ...,∆Sn. Trong mỗi mảnh ∆Si lấy một điểm tùy ý Mi(xi, yi). Tổng In = n∑ i=1 f(xi, yi)∆Si được gọi là tổng tích phân của hàm số f(x, y) trong miền D . Nếu khi cho n→∞ sao cho maxdi → 0 mà In dần tới một giới hạn xác định I, không phụ thuộc vào cách chia miền D và cách lấy điểm Mi trong mỗi mảnh ∆Si, thì giới hạn ấy được gọi là tích phân kép của hàm số f(x, y) trong miền D và được kí hiệu là: ∫∫ D f(x, y)ds tức I = ∫∫ D f(x, y)ds = lim maxdi→0 n∑ i=1 f(xi, yi)∆Si (2.1) trong đó, 26 Chương 2. Tích phân bội -D được gọi là miền lấy tích phân, - f được gọi là hàm dưới dấu tích phân, - ds được gọi là yếu tố diện tích, - x, y là biến dưới dấu tích phân. Nếu tích phân (2.1) tồn tại ta nói rằng hàm số f(x, y) khả tích trong miền D. Người ta chứng minh được rằng nếu hàm số f(x, y) liên tục trong miền đóng, bị chặn D thì nó khả tích trong miền ấy. Nhận xét: +Nếu f(x, y) liên tục, không âm với ∀(x, y) ∈ D thì V = ∫∫ D f(x, y)ds là thể tích vật thể hình trụ nêu trên. + Nếu f(x, y) = 1 với ∀(x, y) ∈ D thì S = ∫∫ D ds là diện tích của miền D. + Vì tích phân kép không phụ thuộc vào cách chia miền D thành các mảnh nhỏ, nên ta có thể chia D bởi hai họ đường thẳng song song với hai trục tọa độ, do đó ds = dx.dy Hình 2.2: Suy ra I = ∫∫ D f(x, y)ds = ∫∫ D f(x, y)dxdy. Ví dụ 16. Tính thể tích của vật thể hình trụ giới hạn bởi mặt z = f(x, y) = 16− x2 − 2y2 trên miền D = {(x, y)|0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 2}. Giải : Ta chia miền D thành 4 hình vuông nhỏ như hình vẽ dưới đây Khi đó diện tích của mỗi hình vuông nhỏ ∆Si = 1 với i = 1, 2, 3, 4 bằng cách chọn các điểm Mi(xi, yi) đã chỉ ra trên hình ta có thể tích của vật thể hình trụ đã cho xấp xỉ bằng 27 Chương 2. Tích phân bội Hình 2.3: Hình 2.4: V ≈ 4∑ i=1 f(xi, yi)∆Si = f(1, 1)∆S1 + f(1, 2)∆S2 + f(2, 1)∆S3 + f(2, 2)∆S4 V ≈ 13.1 + 7.1 + 10.1 + 4.1 = 34 Chúng ta sẽ nhận được xấp xỉ chính xác hơn cho thể tích V của vật thể hình trụ nói trên, nếu chúng ta tăng số phép chia n trong miên D thành các hình chữ nhật nhỏ. Ví dụ hình chỉ ra dưới đây với các phép chia n tương ứng là 16, 64 và 256 thì thể tích xấp xỉ tương ứng của chúng sẽ là 41,5(n = 16); 44,875(n = 64); và 46,46875(n = 256). Hình 2.5: 2.1.3 Các tính chất của tích phân bội 2 Ta giả thiết rằng các tích phân nói tới đều tồn tại 1) ∫∫ D (f(x, y) + g(x, y))dxdy = ∫∫ D f(x, y)dxdy + ∫∫ D g(x, y)dxdy. 2) ∫∫ D K.f(x, y)dxdy = K. ∫∫ D f(x, y)dxdy với ( K là hằng số). 28 Chương 2. Tích phân bội 3) Nếu miền D có thể chia thành hai miền D1, D2 không dẫm lên nhau thì∫∫ D f(x, y)dxdy = ∫∫ D1 f(x, y)dxdy + ∫∫ D2 f(x, y)dxdy Hình 2.6: 4) Nếu f(x, y) ≤ g(x, y) với ∀(x, y) ∈ D thì∫∫ D f(x, y)dxdy ≤ ∫∫ D g(x, y)dxdy 5) Nếu m ≤ f(x, y) ≤M với ∀(x, y) ∈ D, m,M là các hằng số tùy ý, thì mS ≤ ∫∫ D f(x, y)dxdy ≤MS 6) Nếu f(x, y) liên tục trong miền đóng , bị chặn D thì trong D có ít nhất một điểm (x′, y′) sao cho :∫∫ D f(x, y)dxdy = f(x′, y′).S; S là diện tích của miền D (định lý giá trị trung bình). Ví dụ 17. Sử dụng định lý giá trị trung bình , uớc lượng giá trị của tích phân I = ∫∫ D (x− 3y2)ds, ở đây D = {(x, y)|0 ≤ x ≤ 2, 1 ≤ y ≤ 2} Giải : Chia D thành 4 miền như hình vẽ. Hình 2.7: Ta ước lượng f(x, y) = (x− 3y2) tại trung tâm của 4 hình chữ nhật trong hình. Bởi vậy x′1 = 1 2 ;x′2 = 3 2 ; y′1 = 5 4 ; y′2 = 7 4 Diện tích của 4 hình chữ nhật con là ∆S1 = ∆S2 = ∆S3 = ∆S4 = 1 2 Do đó I = ∫∫ D (x− 3y2)ds ≈ f(x′1, y′1)∆S1 + f(x′1, y′2)∆S4 + f(x′2, y′1)∆S2 + f(x′2, y′2)∆S3 29 Chương 2. Tích phân bội I ≈ f(1 2 , 5 4 ) 1 2 + f( 1 2 , 7 4 ) 1 2 + f( 3 2 , 5 4 ) 1 2 + f( 3 2 , 7 4 ) 1 2 I ≈ −11, 875 . Dưới đây ta có số cách chia D thành các hình chữ nhật con và giá trị xấp xỉ tương ứng Số hình chữ nhật con và giá trị xấp xỉ định lý giá trị trung bình Số hình chữ nhật là 1 và giá trị xấp xỉ tương ứng là -11,5 Số hình chữ nhật là 4 và giá trị xấp xỉ tương ứng là -11,875 Số hình chữ nhật là 16 và giá trị xấp xỉ tương ứng là -11,9687 Số hình chữ nhật là 64 và giá trị xấp xỉ tương ứng là -11,9922 Số hình chữ nhật là 256 và giá trị xấp xỉ tương ứng là -11,9980 Số hình chữ nhật là 1024 và giá trị xấp xỉ tương ứng là -11,9995. 2.1.4 Cách tính tích phân kép trong hệ trục toạ độ Đề các Trường hợp 1: Miền lấy tích phân là hình chữ nhật có các cạnh song song với các trục tọa độ D = {(x, y)|a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d}. Nếu f(x, y) liên tục trên hình chữ nhật D thì∫∫ D f(x, y)dxdy = b∫ a ( d∫ c f(x, y)dy ) dx = d∫ c ( b∫ a f(x, y)dx ) dy Chứng minh: Ta giả thiết thêm rằng f(x, y) ≥ 0 tại mọi điểm (x, y) ∈ D. Khi đó I chính là thể tích V của vật thể hình trụ mà mặt xung quanh là mặt trụ có đường sinh song song với Oz và đáy là miền D và phía trên giới hạn bởi mặt cong z = f(x, y). Hình 2.8: Gọi S(x) là diện tích thiết diện thẳng góc với Ox tại x ∈ [a, b] của vật thể hình trụ đã cho, thì khi đó 30 Chương 2. Tích phân bội V = b∫ a S(x)dx . Mặt khác S(x) chính là diện tích hình thang cong có đáy là đoạn [c, d] mà cạnh cong của nó có phương trình z = f(x, y) trong đó x là hằng số, do đó S(x) = d∫ c f(x, y)dy Suy ra V = b∫ a S(x) = b∫ a  d∫ c f(x, y)dy  dx Người ta chứng minh được rằng công thức trên vẫn đúng khi hàm f(x, y) liên tục và âm với mọi (x, y) ∈ D. Suy ra I = ∫∫ D f(x, y)dxdy = b∫ a  d∫ c f(x, y)dy  dx . Tương tự ta có thể chứng minh được I = ∫∫ D f(x, y)dxdy = d∫ c ( b∫ a f(x, y)dx ) dy. Ví dụ 18. Tính tích phân sau I = ∫∫ D dxdy (x+ y)2 trong đó D là miền giới hạn bởi các đường x = 1;x = 2; y = 1; y = 2 Giải : I = ∫∫ D dxdy (x+ y)2 = 2∫ 1 ( 2∫ 1 dy (x+ y)2 ) dx I = 2∫ 1 ( 1 x+ 1 − 1 x+ 2 ) ∣∣∣∣2 1 dx = [ ln x+ 1 x+ 2 ] ∣∣∣∣2 1 = ln 9 8 Chú ý: Nếu f(x, y) = f1(x)f2(y) thì∫∫ D f(x, y)dxdy = b∫ a ( d∫ c f1(x)f2(y)dy ) dx = b∫ a f1(x)dx d∫ c f2(y)dy. Ví dụ 19. Tính tích phân sau I = ∫∫ D xy2dxdy trong đó D = {(x, y)|0 ≤ x ≤ 1;−2 ≤ y ≤ 3}. 31 Chương 2. Tích phân bội Giải : Vì f(x, y) = xy2 nên ta có: I = 1∫ 0 xdx. 3∫ −2 y2dy = x2 2 ∣∣∣∣1 0 y3 3 ∣∣∣∣3 −2 = 35 6 . Trường hợp 2: Miền lấy tích phân là miền bất kì bị chặn a) Giả sử miền D là được giới hạn bởi D = {(x, y)|a ≤ x ≤ b; y1(x) ≤ y ≤ y2(x)} , với y1(x), y2(x) là hai hàm số liên tục trên [a,b]. Nếu f(x, y) là hàm số liên tục trên D thì ta có I = ∫∫ D f(x, y)dxdy = b∫ a ( y2(x)∫ y1(x) f(x, y)dy ) dx. b) Giả sử miền D là được giới hạn bởi D = {(x, y)|c ≤ y ≤ d;x1(y) ≤ x ≤ x2(y)}, với x1(y), x2(y) là hai hàm số liên tục trên [c,d]. Nếu f(x, y) là hàm số liên tục trên D thì ta có I = ∫∫ D f(x, y)dxdy = d∫ c ( x2(y)∫ x1(y) f(x, y)dx ) dy. Ví dụ 20. Tính I = ∫∫ D (x + 2y)dxdy ở đây D là miền bị chặn bởi các parabol y = 2x2 và y = 1 + x2. Giải: Các parabol cắt nhau khi 2x2 = 1 + x2, nghĩa là , x2 = 1, hay x = 1 hoặc x = −1. Khi đó ta thấy miền D là được cho bởi D = {(x, y)| − 1 ≤ x ≤ 1; 2x2 ≤ y ≤ 1 + x2} . Do đường nằm dưới là đường y = 2x2 và đường nằm trên là đường y = 1 + x2 Hình 2.9: Vậy I = ∫∫ D (x+ 2y)dxdy = 1∫ −1 ( 1+x2∫ 2x2 (x+ 2y)dy ) dx I = 1∫ −1 [xy + y2] ∣∣∣∣y=1+x2 y=x2 dx I = 1∫ −1 [x(1 + x2) + (1 + x2)2 − x(2x2)− (2x2)2] dx 32 Chương 2. Tích phân bội I = 1∫ −1 (−3x4 − x3 + 2x2 + x+ 1) dx I = [ −3x 5 5 − x 4 4 + 2 x3 3 + x2 2 + x ] ∣∣∣∣1 −1 = 32 15 . Ví dụ 21. Tính tích phân sau I = ∫∫ D (x2 + y2)dxdy trong đó D là miền bị chặn giới hạn bởi đường thẳng y = 2x và parabol y = x2. Giải: Ta có thể hiểu và nhìn miền D theo hai cách tương ứng với hai hình chỉ ra dưới đây Cách 1 : Hình 2.10: Từ hình vẽ ta có thể thấy miềnD được giới hạn bởiD = {(x, y)|0 ≤ x ≤ 2;x2 ≤ y ≤ 2x}. Do đó, I = ∫∫ D (x2 + y2)dxdy = 2∫ 0 ( 2x∫ x2 (x2 + y2)dy ) dx I = 2∫ 0 [ x2y + y3 3 ] ∣∣∣∣y=2x y=x2 dx = 2∫ 0 ( −x 6 3 − x4 + 14x 3 3 ) dx I = [ −x 7 21 − x 5 5 + 7x4 6 ] ∣∣∣∣2 0 = 216 35 . Cách 2 : Từ hình vẽ ta cũng có thể nhìn miền D dưới dạng Hình 2.11: D = { (x, y)|0 ≤ y ≤ 4; 1 2 y ≤ x ≤ √y } . Do đó , ta cũng có thể tính 33 Chương 2. Tích phân bội I = ∫∫ D (x2 + y2)dxdy = 4∫ 0 √y∫ 1 2 y (x2 + y2)dx  dy I = 4∫ 0 [ x3 3 + y2x ] ∣∣∣∣x= √ y x= y 2 dy = 4∫ 0 ( y3/2 3 + y5/2 − y 3 24 − y 3 2 ) dy I = [ 2 15 y5/2 + 2 7 y7/2 − 13 96 y4 ] ∣∣∣∣4 0 = 216 35 . 2.1.5 Đổi biến trong tích phân bội hai trong hệ tọa độ cực a) Công thức đổi biến trong tích phân kép: Xét tích phân kép sau I = ∫∫ D f(x, y)dxdy, trong đó f(x, y) liên tục trên D. Thực hiện phép đổi biến số sau:x = x(u, v)y = y(u, v) (*) Giả sử rằng: 1) x = x(u, v), y = y(u, v) là các hàm số liên tục và có các đạo hàm riêng liên tục trong miền đóng D′ của mặt phẳng O′uv; 2) Các công thức trong (*) xác định một song ánh từ miền D′ lên miền D của mặt phẳng Oxy; 3) Định thức Jacobi J = D(x, y) D(u, v) = ∣∣∣∣∣∣x ′ u x ′ v y ′ u y ′ v ∣∣∣∣∣∣ 6= 0 trong miền D′. Khi đó ta có công thức (1) I = ∫∫ D f(x, y)dxdy = ∫∫ D′ f (x(u, v), y(u, v)) |J | dudv . Ví dụ 22. Tính tích phân sau I = ∫∫ D (x+ y)dxdy, trong đó D là miền giới hạn bởi các đường y = −x, y = −x+ 3, y = 2x− 1, y = 2x+ 1. Giải : Từ giả thiết miền D ta có x+ y = 0, x+ y = 3,−2x+ y = −1,−2x+ y = 1 dẫn đến ta thực hiện phép đổi biến số sauu = x+ yv = −2x+ y suy ra |J | = 1 3 khi đó áp dụng công thức đổi biến số ta có I = ∫∫ D (x+ y)dxdy = ∫∫ D′ u 1 3 dudv trong đó D′ là miền giới hạn bởi các đường u = 0, u = 3, v = −1, v = 1. Vậy, I = 1 3 3∫ 0 udu. 1∫ −1 dv = 1 3 . u2 2 ∣∣∣∣3 0 .v ∣∣∣∣1 −1 = 3 34 Chương 2. Tích phân bội b) Tính tích phân kép trong hệ tọa độ cực: Công thức liên hệ giữa tọa độ đề các (x, y) và tọa độ cực (r, ϕ) của cùng một điểm làx = rcosϕy = rsinϕ Nếu r > 0, 0 ≤ ϕ < 2pi thì các công thức ấy xác định một song ánh giữa các tọa độ đề các và tọa độ cực. Riêng điểm gốc tọa độ có r = 0 và ϕ tùy ý. Xem các công thức trên như một phép đổi biến số, ta có J = D(x, y) D(r, ϕ) = ∣∣∣∣∣∣cosϕ −rsinϕsinϕ rcosϕ ∣∣∣∣∣∣ = r 6= 0 trừ tại gốc O. Do đó công thức (1) suy ra I = ∫∫ D f(x, y)dxdy = ∫∫ D′ f(rcosϕ, rsinϕ)rdrdϕ (Người ta chứng minh được rằng công thức trên vẫn đúng trong trường hợp miền D chứa gốc O). Nếu miền D′ được xác định bởi D′ = {(r, ϕ)|α ≤ ϕ ≤ β, r1(ϕ) ≤ r ≤ r2(ϕ)} thì I = ∫∫ D f(x, y)dxdy = β∫ α ( r2(ϕ)∫ r1(ϕ) f(rcosϕ, rsinϕ)rdr ) dϕ. Ví dụ 23. Tính tích phân sau I = ∫∫ D (3x+ 4y2)dxdy ở đây D là miền giới hạn bởi các miền x2 + y2 ≥ 1 và x2 + y2 ≤ 4.và y ≥ 0 Giải: Miền D là được xác định bởi D = {(x, y)|y ≥ 0, 1 ≤ x2 + y2 ≤ 4} Hình 2.12: Dùng phương pháp tọa độ cực ta cóx = rcosϕy = rsinϕ suy ra định thức Jacobi J = r 35 Chương 2. Tích phân bội Xét điều kiện y ≥ 0 suy ra rsinϕ ≥ 0 dẫn đến 0 ≤ ϕ ≤ pi Xét điều kiện 1 ≤ x2 + y2 ≤ 4 dẫn đến 1 ≤ r ≤ 2 Do đó, ta có I = ∫∫ D (3x+ 4y2)dxdy = pi∫ 0 ( 2∫ 1 (3rcosϕ+ 4r2sin2ϕ)rdr ) dϕ I = pi∫ 0 ( 2∫ 1 (3r2cosϕ+ 4r3sin2ϕ)dr ) dϕ I = pi∫ 0 [r3cosϕ+ r4sin2ϕ] r=2 r=1 dϕ = pi∫ 0 (7cosϕ+ 15sin2ϕ) dϕ I = pi∫ 0 [ 7cosϕ+ 15 2 (1− 2cosϕ) ] dϕ = [ 7sinϕ+ 15ϕ 2 − 15 4 sin2ϕ ]pi 0 = 15pi 2 . Ví dụ 24. Tính I = ∫∫ D y2√ x2 + y2 dxdy trong đóD là miền giới hạn bởi x2+y2−4x ≤ 0 và y ≥ 0. Giải: Miền D được xác định bởi D = {(x, y)|x2 + y2 − 4x ≤ 0, y ≥ 0} Dùng phương pháp tọa độ cực ta cóx = rcosϕy = rsinϕ suy ra định thức Jacobi J = r Xét điều kiện x2 + y2 − 4x ≤ 0 dẫn đến r2 − 4rcosϕ ≤ 0 suy ra 0 ≤ r ≤ 4cosϕ và ta cũng suy ra cosϕ ≥ 0 Xét điều kiện y ≥ 0 dẫn đến rsinϕ ≥ 0 suy ra sinϕ ≥ 0. Kết hợp hai điều kiện cosϕ ≥ 0 và sinϕ ≥ 0 suy ra 0 ≤ ϕ ≤ pi 2 . Vậy ta có, I = ∫∫ D y2√ x2 + y2 dxdy = pi/2∫ 0 ( 4cosϕ∫ 0 r2sin2ϕ r rdr ) dϕ I = pi/2∫ 0 [ r3 3 sin2ϕ ]4cosϕ 0 dϕ = pi/2∫ 0 64 3 cos3ϕsin2ϕdϕ I = pi/2∫ 0 64 3 (1− sin2ϕ)sin2ϕd(sinϕ) = pi/2∫ 0 64 3 (sin2ϕ− sin4ϕ)d(sinϕ)5 I = [ 64 3 ( sin3ϕ 3 − sin 5ϕ 5 )]pi/2 0 = 128 45 . 2.2 Ứng dụng của tích phân bội hai 2.2.1 Tính thể tích vật thể Vật thể hình trụ V được giới hạn phía trên bởi mặt cong có phương trình z = f(x, y), trong đó f(x, y) là một hàm liên tục; phía dưới giới hạn bởi mặt phẳng tọa độ z = 0, còn mặt xung quanh là mặt trụ có đường sinh song song với trục Oz, D là hình 36 Chương 2. Tích phân bội chiếu của V xuống mặt phẳng Oxy. Khi đó thể tích V của vật thể hình trụ được tính bởi công thức: V = ∫∫ D f(x, y)dxdy Ví dụ 25. Tính thể tích vật thể giới hạn bởi các mặt x+ 2y + z = 2, x = 2y, x = 0 và z = 0. (hình 2.13) Hình 2.13: Giải: Ta thấy vật thể trên giới hạn bởi mặt trên là mặt x+ 2y+ z = 2 mặt dưới là mặt z = 0 mặt xung quanh là mặt x = 2y và mặt x = 0. Hình chiếu của vật thể V là mặt phẳng Oxy là miền D (xem hình 2.14 ) Hình 2.14: Áp dụng công thức tính thể tích trong tích phân bội hai ta có: V = ∫∫ D (2− x− 2y)dxdy = 1∫ 0 dx 1−x/2∫ x/2 (2− x− 2y)dy V = 1∫ 0 [2− x− 2y] ∣∣∣∣y=1−x/2 y=x/2 dx V = 1∫ 0 [ 2− x− x ( 1− x 2 ) − ( 1− x 2 )2 − x− x 2 2 + x2 4 ] dx 37 Chương 2. Tích phân bội V = 1∫ 0 (x2 − 2x+ 1)dx = [ x3 3 − x2 − x ]∣∣∣∣1 0 = 1 3 . 2.2.2 Tính diện tích hình phẳng Diện tích đo được của miền D trong mặt phẳng Oxy được tính bằng công thức S = ∫∫ D dxdy Ví dụ 26. Tính diện tích diện tích của hình tròn x2 + y2 = R2 Giải: Hình 2.15: Áp dụng công thức tính diện tích ta có S = ∫∫ D dxdy trong đó D là miền hình tròn x2 + y2 = R2. Chuyển sang hệ trục tọa độ cực ta được:x = r cosϕy = r sinϕ suy ra J = r S = 2pi∫ 0 dϕ R∫ 0 rdr = piR2. 2.2.3 Ứng dụng cơ học của tích phân kép . Tính khối lượng của một bản phẳng không đồng chất Cho một bản phẳng chiếm một miền D nằm trong mặt phẳng Oxy. Có khối lượng riêng tại mọi điểm thay đổi là hàm xác định liên tục trên D, khi đó khối lượng của bản phẳng đã cho được tính bởi công thức. m = ∫∫ D ρ(x, y)dxdy 38 Chương 2. Tích phân bội Ví dụ 27. Tính khối lượng của bản phẳng chiếm một miền D giới hạn bởi các đường x = 0, x = 1, y = 0, y = 2. Biết rằng khối lượng riêng tại mọi điểm cho bởi phương trình ρ(x, y) = x2y. Hình 2.16: Giải: Miền D là miền hình chữ nhật D = [0, 1]× [0, 2] (xem hình 2.16) Áp dụng công thức tính khối lượng trong tích phân bội hai ta có: m = ∫∫ D x2ydxdy = 1∫ 0 dx 2∫ 0 x2ydy = 1∫ 0 x2.y 2 2 ∣∣∣∣2 0 dx m = 1∫ 0 x2.4 2 dx = 2.x 3 3 ∣∣∣∣1 0 = 2 3 . Tính mô men quán tính Theo định nghĩa của mômen quán tính của một chất điểm có khối lượng m đặt tại điểm P (x, y) đối với trục Ox, đối với trục Oy và đối với gốc tọa độ theo thứ tự là: Ix = my 2 Iy = mx 2 Io = m(x 2 + y2) Bây giờ xét một bản phẳng chiếm một miền D trong mặt phẳng Oxy và có khối lượng riêng là ρ(x, y) , với ρ(x, y) là một hàm số liên tục trên D, Khi đó ta có công thức tính mô men quán tính của bản phẳng đối với trục Ox , đối với trục Oy và đối với gốc tọa độ theo thứ tự là: Ix = ∫∫ D y2ρ(x, y)dxdy Iy = ∫∫ D x2ρ(x, y) 39 Chương 2. Tích phân bội Io = ∫∫ D (x2 + y2)ρ(x, y)dxdy Ví dụ 28. Tính mômen quán tính của đĩa elip{ (x, y) : x2 a2 + y2 b2 ≤ 1 } đối với trục Ox biết rằng ρ(x, y) = 1 với mọi (x, y) ∈ D. Giải: Mô men quán tính của đĩa elip đối với trục Ox là: Ix = ∫∫ D y2dxdy. Chuyển sang hệ tọa độ cực suy rộngx = a.r. cosϕy = b.r. sinϕ ta được Ix = 2pi∫ 0 dϕ 1∫ 0 b2r2 sin2 ϕ.abrdr Ix = ab 3 2pi∫ 0 sin2 ϕ 1∫ 0 r3dr = piab3 4 . 2.3 Tích phân bội ba Trước khi nghiên cứu về tích phân bộ ba, chúng tôi giới thiệu với bạn đọc câu chuyên sau đây. Câu chuyện về Acsimet và câu chuyện về chiếc vương miện(287 trước Công ) Một ngày tháng tư năm 231 trước Công Nguyên,quốc vương Hieron triệu tập cuộc họi họp bất ngờ các quần thần: - Hôm nay trẫm mời các khanh tới đây không phải là để thương thuyết bàn kế an trị quốc dân,cũng không phải để nghiên cứu đối sách với sự bành trướng của La Mã,mà mong các khanh giải quyết một vấn đề khó khăn làm trẫm rất đau đầu! Quốc vương chỉ vào chiếc vương miện tảo ra ánh vàng lấp lánh trên tay người hầu đứng bên mình,nói tiếp; - Chiếc vương miện này mấy ngày trước đây là do trẫm giao 15 lạng vàng ròng cho thợ đúc thành. Tuy trọng lượng vẫn vậy nhưng trẫm hoài nghi tên thợ đó có 40 Chương 2. Tích phân bội thể lấy bớt một phần vàng,thế vào đó một kim loại nào đó. Cho nên, trẫm hi vọng các khanh có thể nghĩ ra cách gì hay kiểm tra xem thực hư ra sao, song nhất thiết không được làm hư hại cái vương miện này! Lời quốc vương đã dứt. Các đại thần lo lắng nhìn nhau,chẳng ai cất nổi lên lời,họ đều cho rằng chẳng sao có thể làm nổi một việc như thế! - Thưa bệ hạ theo ý thần trong thiên hạ chỉ có một người có thể giải quyết điều khó khăn làm bệ hạ băn khoăn! - Ai vậy? - Quốc vương sốt ruột hỏi. - Đó là Acsimet! Quốc vương chợt nhớ ra: "Ở Syracut,mọi người nói là chẳng vấn đề khó nào mà Acsimet không giải đáp nổi sao? Giờ đây ngoài việc mời Acsimet tìm ra bí mật chiếc vương miện,hẳn trong nước chẳng tìm ra người thứ hai.”. Thế là quốc vương ra lệnh cho người hầu: - Truyền chỉ, triệu ngay Acsimet vào cung! Acsimet vào triều.Nghe xong yêu cầu của quốc vương,biết rằng đây là một vấn đề rất khó giải quyết, Acsimet nói: - Xin bệ hạ cho thần một ít ngày suy nghĩ, thử nghiệm. Quốc vương Hieron đương nhiên là chấp nhận, bởi ông tin Acsimet . Acsimet nhận chiếc vương miện đem theo về nhà. Chiếc vương niệm đẹp tuyệt vời đó đâu ngờ lại khiến ông đau đầu suy nghĩ đêm ngày. Thời gian cứ ngày qua ngày trôi đi, Acsimet vẫn không tìm ra cách gì hữu hiệu. Ông gầy sọp đi, hai mắt hõm sâu, đôi lông mày luôn nhíu lại, quên đêm, quên ngày, ngồi trước bàn cát vẽ vẽ, xóa xóa, khiến người vợ của ông vô cùng lo lắng. Đã 2 tháng trôi qua Acsimet vẫn chưa tìm ra kết quả nào! Một hôm vào sáng sớm, quốc vương Hieron giáng chỉ truyền Acsimet vào cung. Người vợ nhìn thấy chồng đầu tóc rối bời, tớp túa mồ hôi.bèn khuyên chồng vào tắm ở bồn tắm. Acsimet vừa đi vào bồn tắm vừa nghĩ ngợi.khi cởi bỏ quần áo,dìm mình trong bồn chứa đầy nước sạch,ý nghĩ ông vẫn tập trung ở việc “bí mật chiếc vương miện là ở chỗ nào? Làm sao tìm ra nó?”. Bỗng ông chú ý tới có một phần nước của bồn tắm trào ra khi ông dìm mình trong bồn tắm. Đột nhiên một ý nghĩ lóe lên trong đầu ông khiến ông hét tướng lên: - Ơ rê ca! Ơ rê ca (Tìm thấy rồi! Tìm thấy rồi) 41 Chương 2. Tích phân bội Hình 2.17: Và rồi ông nhảy ra khỏi bồn tắm, chạy vọt ra đường,mừng rỡ khôn tả. Mãi khi thấy người đi đường cứ chỉ chỉ trỏ trỏ, ông mới tỉnh ra là trên người mình chẳng có gì, vội quay về nhà. Một giờ sau, Acsimet ăn mặc chỉnh tề, đầu óc phấn chấn vào bái kiến quốc vương. -Thưa bệ hạ thần đã tìm ra cách rất đơn giản để tìm ra bí mật của chiếc vương miện! -Mau nói, mau nói!-Quốc vương Hieron vui sướng giục. Khi đó Acsimet mới gọi người đưa tới 3 vật: một tảng sắt, một tảng vàng ròng, và chiếc vương miện. Cả 3 vật có trọng lượng bằng nhau. Ông lần lượt cho nhúng ngập chúng vào một chiếc bình được đổ đầy nước, và đo lượng nước trào ra. Kết quản là lượng nước trào ra khi nhúng ngập chiếc vương miện nhiều hơn khi nhúng ngập tảng vàng, ít hơn tảng sắt 42 Chương 2. Tích phân bội Acsimet giải thích: - Đáp án chính là đây! Chiếc vương miện không phải bằng toàn vàng ròng, cũng không phải bằng sắt! Khi thợ kim hoàn làm chiếc vương miện này chắc chắn đã trộn không ít bạc vào trong vàng! Lý lẽ đanh thép của Acsimet khiến tên thợ kim hoàn hết đường chối cãi, phải thú nhận là đã thay một lượng bạc vào để đúc chiếc vương miện. Qua câu chuyện trên chúng thấy rằng việc tìm khối lượng của một vật thể bất kỳ là một vấn đề rất quan trọng và được rất nhiều người quan tâm. Câu chuyện trên Acsimet đã giải quyết được hai vấn đề, thứ nhất là tìm được thể tích của một vật thể bất kỳ, thứ hai là tính được khối lượng của một vật thể đồng chất bất kỳ. Tuy nhiên Acsimet chỉ mới giải quyết được bài toán tính khối lượng của vật thể đồng chất và thể tích của vật thể bất kỳ của vật thể với kích thước đủ bé. Thế nhưng toán học không chỉ dừng lại ở đó mà trong khoa học kỹ thuật chúng ta còn cần nhiều hơn thế. Chẳng hạn tính khối lượng của cây cầu, tòa nhà cao tầng và lớn hơn nữa là khối lượng của trái đất (5, 9737.1024kg), khối lượng của một hành tinh . . . 2.3.1 Bài toán dẫn đến khái niệm tích phân bội ba Cho một vật thể V không đồng chất trong không gian Oxyz. Có khối lượng riêng thay đổi tại mọi điểm theo một hàm số ρ(x, y, z) xác định trên liên tục trong V . Hãy tính khối lượng của vật thể V nói trên. Như ta đã biết nếu một vật thể đồng chất có khối lượng riêng tại mọi điểm không đổi là ρ và thể tích của vật thể là V thì khối lượng của vật thể đó được tính bởi công thức m = ρV . Chúng ta sẽ tìm cách đưa bài toán tính khối lượng vật thể không đồng chất nói trên về bài toán đơn giản trên. Bây giờ để tính khối lượng của vật thể không đồng chất ta chia vật thể V thành n miền nhỏ. Gọi tên và cả thể tích của n miền nhỏ đó là ∆V1,∆V2, ...,∆Vn , gọi di là đường kính của mảnh ∆Vi (i = 1, ..., n) . Trong mỗi miền ∆Vi (i = 1, ..., n) ta chọn một điểm bất kì Mi(xi, yi, zi) . Khi n → ∞ sao cho Maxdi i=1,...,n → 0 thì ta có thể xem khối lượng riêng tại mọi điểm trên miền ∆Vi là không đổi khi đó khối lương mi của miền ∆Vi có thể xem xấp xỉ bằng ρ(xi, yi, zi)∆Vi (i = 1, ..., n). Vì vậy khối lượng M của vật thể cần tìm được tính xấp xỉ theo công thức sau đây. M = n∑ i=1 mi ≈ n∑ i=1 ρ(xi, yi, zi)∆Vi. 43 Chương 2. Tích phân bội 2.3.2 Định nghĩa tích phân bội ba Cho hàm số f(x, y, z) xác định trong một miền V đóng và giới nội của không gian Oxyz , ta chia miền V thành n miền nhỏ. Gọi tên và cả thể tích của n miền nhỏ đó là ∆V1,∆V2, ...,∆Vn , gọi di là đường kính của mảnh ∆Vi (i = 1, ..., n) . Trong mỗi mảnh ∆Vi (i = 1, ..., n) ta chọn một điểm bất kì Mi(xi, yi, zi) và thành lập tổng n∑ i=1 f(xi, yi, zi)∆Vi. Khi n→∞ sao cho Maxdi i=1,...,n → 0 mà tổng trên tiến đến một giới hạn hữu hạn mà giới hạn này không phụ thuộc vào cách chúng ta chia miền V thành n miền nhỏ và cách chọn điểm Mi(xi, yi, zi) trong miền ∆Vi (i = 1, ..., n) thì giới hạn đó được gọi là tích phân bội ba của hàm số f(x, y, z) trên miền V và được kí hiệu là: I = ∫∫∫ V f(x, y, z)dV = lim maxdi→0 n∑ i=1 f(xi, yi, zi)∆Vi Nếu tích phân I = ∫∫∫ V f(x, y, z)dV tồn tại thì ta nói rằng hàm f(x, y, z) khả tích trên miền V . Ta thừa nhận rằng nếu hàm số f(x, y, z) liên tục trong miền bị chặn, đóng V thì nó khả tích trong miền V ấy. Nhận xét: -Nếu f(x, y, z) là khối lượng riêng của vật thể V thì tích phân bội ba trên cho ta khối lượng của vật thể V mà chúng ta cần tìm. -Nếu f(x, y, z) ≡ 1 thì I = ∫∫∫ V dV cho ta thể tích của miền V . - Vì tích phân bội ba không phụ thuộc vào cách chia miền V thành n miền nhỏ nên ta có thể chia V bởi các họ mặt phẳng song song với ba mặt phẳng tọa độ, do đó ta có dV = dxdydz khi đó ta có thể viết I = ∫∫∫ V f(x, y, z)dV = ∫∫∫ V f(x, y, z)dxdydz Hình 2.18: 44 Chương 2. Tích phân bội 2.3.3 Cách tính tích phân bội ba trong hệ tọa độ đề các Trường hợp 1: Miền V là miền được xác định sau đây V = {(x, y, z)|(x, y) ∈ D, z1(x, y) ≤ z ≤ z2(x, y)}. Hình 2.19: Hình 2.20: Tức là miền V được giới hạn bởi các mặt z1(x, y) ≤ z2(x, y) , trong đó z = z1(x, y), z = z2(x, y) là những hàm số liên tục trong miền D là hình chiếu của V lên mặt phẳng Oxy Khi đó tích phân bội ba được tính theo công thức sau đây: I = ∫∫∫ V f(x, y, z)dV = ∫∫ D dxdy z2(x,y)∫ z1(x,y) f(x, y, z)dz (2.3.1) Nếu miền D được giới hạn bởi D = {(x, y)|a ≤ x ≤ b, y1(x) ≤ y ≤ y2(x)} trong đó y = y1(x), y = y2(x) là các hàm số liên tục trên đoạn [a, b] thì ta được I = ∫∫∫ V f(x, y, z)dV = b∫ a dx y2(x)∫ y1(x) dy z2(x,y)∫ z1(x,y) f(x, y, z)dz (2.3.2) Ví dụ 29. Tính tích phân I = ∫∫∫ V zdxdydz. Trong đó V là tứ diện giới hạn bởi các mặt x = 0, y = 0, z = 0 và x+ y + z = 1. Giải : Theo giả thiết ta có hình vẽ sau đây: Hình 2.21: 45 Chương 2. Tích phân bội Hình chiếu của miền V lên mặt phẳng Oxy là miền D được biểu diễn bởi hình sau Hình 2.22: Tức ta có V = {(x, y, z)|(x, y) ∈ D, 0 ≤ z ≤ 1− x− y} trong đó, D = {(x, y)|0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1− x} Do đó, theo công thức (2.3.2) ta có I = ∫∫∫ V zdxdydz = 1∫ 0 dx 1−x∫ 0 dy 1−x−y∫ 0 zdz I = 1∫ 0 1−x∫ 0 [ z2 2 ] ∣∣∣∣z=1−x−y z=0 dydx = 1 2 1∫ 0 1−x∫ 0 (1− x− y)2 dydx I = 1 2 1∫ 0 [ −(1− x− y) 3 3 ] ∣∣∣∣y=1−x y=0 dx I = 1 6 1∫ 0 (1− x)3 dx = 1 6 [ −(1− x) 4 4 ] ∣∣∣∣1 0 = 1 24 . Ví dụ 30. Tích tích phân sau I = ∫∫∫ V ρdxdydz trong đó miền V là miền V = {(x, y, z)| − 1 ≤ y ≤ 1, y2 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ z ≤ x} Giải: Ta có miền V là miền được biểu diễn trong hình (2.23) Gọi hình chiếu của V xuống mặt phẳng Oxy là miền D cho bởi Hình 2.23: Hình 2.24: D = {(x, y)| − 1 ≤ y ≤ 1, y2 ≤ x ≤ 1} ( hình 2.24) 46 Chương 2. Tích phân bội Áp dụng công thức (2.3.2) ta có I = ∫∫∫ V ρdxdydz = 1∫ −1 1∫ y2 x∫ 0 ρdzdxdy I = ρ 1∫ −1 1∫ y2 xdxdy = ρ 1∫ −1 [ x2 2 ] ∣∣∣∣x=1 x=y2 dy I = ρ 2 1∫ −1 (1− y4) dy = ρ 2 [ y − y 5 5 ] ∣∣∣∣1 −1 = 4ρ 5 . Trường hợp 2: Miền V là miền được xác định sau đây V = {(x, y, z)|(y, z) ∈ D, x1(y, z) ≤ x ≤ x2(y, z)}. Tức là miền V được giới hạn bởi các mặt x1(y, z) ≤ x2(y, z) , trong đó x = x1(y, z), x = x2(y, z) là những hàm số liên tục trong miền D là hình chiếu của V lên mặt phẳng Oyz Hình 2.25: Khi đó tích phân bội ba được tính theo công thức sau đây: I = ∫∫∫ V f(x, y, z)dV = ∫∫ D dydz x2(y,z)∫ x1(y,z) f(x, y, z)dx (2.3.3) Trường hợp 3: Miền V là miền được xác định sau đây Hình 2.26: V = {(x, y, z)|(x, z) ∈ D, y1(x, z) ≤ y ≤ y2(x, z)}. Tức là miền V được giới hạn bởi các mặt y1(x, z) ≤ y2(x, z) , trong đó y = y1(x, z), y = y2(x, z) là những hàm số liên tục trong miền D là hình chiếu của V lên 47 Chương 2. Tích phân bội mặt phẳng Oxz Khi đó tích phân bội ba được tính theo công thức sau đây: I = ∫∫∫ V f(x, y, z)dV = ∫∫ D dxdz y2(x,z)∫ y1(x,z) f(x, y, z)dy (2.3.4) Ví dụ 31. Tính tích phân I = ∫∫∫ V √ x2 + y2dxdydz trong đó V là miền giới hạn bởi y = x2 + z2 và mặt phẳng y = 4. Giải. Miền V là miền được biểu diễn trong hình dưới đây Hình 2.27: Hình chiếu của miền V lên mặt phẳng Oxz là miền D được biểu diễn dưới đây Hình 2.28: Như vậy ta có V = {(x, y, z)|(x, z) ∈ D, x2 + z2 ≤ y ≤ 4} vàD = {(x, z)|0 ≤ x2 + z2 ≤ 4} Khi đó, theo công thức (2.3.4) ta có I = ∫∫∫ V √ x2 + z2dxdydz = ∫∫ D [ 4∫ x2+z2 √ x2 + z2dy ] dxdz I = ∫∫ D (4− x2 − z2)√x2 + z2dxdz Dùng phương pháp tọa độ cực ta có: Đặt x = rcosϕy = rsinϕ suy ra J = r Xét điều kiện 0 ≤ x2 + z2 ≤ 4 suy ra 0 ≤ r ≤ 2, 0 ≤ ϕ ≤ 2pi Vậy ta có, 48 Chương 2. Tích phân bội I = ∫∫ D (4− x2 − z2)√x2 + z2dxdz I = 2pi∫ 0 2∫ 0 (4− r2)r.r.drdϕ = 2pi∫ 0 dϕ 2∫ 0 (4r2 − r4)dr = 2pi [ 4r3 3 − r 5 5 ] ∣∣∣∣2 0 = 128pi 5 . Đổi biến trong tích phân bội ba. Ta xét tích phân bội ba sau: I = ∫∫∫ V f(x, y, z)dxdydz Ta thực hiện phép đổi biến số sau đây: x = x(u, v, w) y = y(u, v, w) z = z(u, v, w) (2.3.3) Giải sử rằng: a) x = x(u, v, w), y = y(u, v, w), z = z(u, v, w) là những hàm số liên tục cùng với các đạo hàm riêng của chúng trong một miền đóng V ′ của không gian Ouvw; b) Công thức (2.3.3) xác định một song ánh từ miền V ′ lên miền V của không gian Oxyz. c) Định thức Jacobi J = D(x, y, z) D(u, v, w) = ∣∣∣∣∣∣∣∣∣ x′u x ′ v x ′ w y′u y ′ v y ′ w z′u z ′ v z ′ w ∣∣∣∣∣∣∣∣∣ 6= 0 trong V ′ Khi đó ta có công thức: I = ∫∫∫ V f(x, y, z) = ∫∫∫ V ′ f [x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w)] |J | dudvdw. Ví dụ 32. Tính tích phân sau đây I = ∫∫∫ V dxdydz trong đó V là miền được cho bởi V = {(x, y, z)|1 ≤ x ≤, z ≤ y2 ≤ 3z, y ≤ z2 ≤ 4y}. Giải: Ta thấy rằng nếu miền V là một miền phức tạp nên ta cần đơn giản hóa nó bằng phương pháp dổi biến để đưa miền V về miền đơn giản hơn, ở đây ta thấy nếu chia cả hai vế của bất đẳng thức z ≤ y2 ≤ 3z cho z ta được 1 ≤ y2/z ≤ 3 và chia cả hai vế của bất đẳng thức y ≤ z2 ≤ 4y cho y ta được 1 ≤ z2/y ≤ 4(y 6= 0, z 6= 0) . Vì vậy ta nghĩ đến phương pháp đổi biến như sau: Đặt  u = x v = y2 2 w = z2 y suy ra  x = u y = 3 √ u2w z = 3 √ w2v 49 Chương 2. Tích phân bội Bằng phương pháp đặt như trên thì ta thấy rằng miền V biến thành miền V ′ như sau V ′ = {(u, v, w)|1 ≤ u ≤ 3, 1 ≤ v ≤ 3, 1 ≤ w ≤ 4} Ta có định thức Jacobi |J | = ∣∣∣∣∣∣∣∣∣ x′u x ′ v x ′ w y′u y ′ v y ′ w z′u z ′ v z ′ w ∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = 1 3 I = ∫∫∫ V dxdydz = ∫∫∫ V ′ 1 3 dudvdw = 1 3 3∫ 1 du 3∫ 1 dv 4∫ 1 dw = 1 3 u|31v|31w|41 = 4. 2.3.4 Cách tính tích phân bội ba trong hệ tọa độ trụ Tọa độ trụ của một điểm M(x, y, z) trong không gian Oxyz là bộ ba số (r, ϕ, z) trong đó (r, ϕ) là tọa độ cực của điểm M ′(x, y), là hình chiếu của điểm M(x, y, z) lên mặt phẳng Oxy. Khi đó với mọi điểm của không gian ta có: r ≥ 0, 0 ≤ ϕ ≤ 2pi,−∞ < z < +∞ Giữa các tọa độ đề các (x, y, z) và tọa độ trụ của điểm M có mối liên hệ bởi công thức đổi biến sau: x = rcosϕ y = rsinϕ z = z suy ra định thức Jacobi J = ∣∣∣∣∣∣∣∣∣ cosϕ −rsinϕ 0 sinϕ rcosϕ 0 0 0 1 ∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = r Khi đó tích phân bội ba được tính bởi công thức sau: I = ∫∫∫ V f(x, y, z)dxdydz = ∫∫∫ V ′ f [rcosϕ, rsinϕ, z] rdzdrdϕ (2.3.4) Hình 2.29: 50 Chương 2. Tích phân bội Ví dụ 33. Tính tích phân sau I = ∫∫∫ V √ x2 + y2zdxdydz , trong đó V là miền hình trụ giới hạn bởi các mặt x2 + y2 = 2y và z = 0, z = a > 0. Giải: Ta có miền V = {(x, y, z)|x2 + y2 ≤ 2y, 0 ≤ z ≤ a}, dưới đây là hình biểu diễn miền V Hình 2.30: Dùng công thức đổi biến trong tọa độ trụ ta có x = rcosϕ y = rsinϕ z = z suy ra J = r Khi đó theo giả thết của miền V ta có 0 ≤ z ≤ a , và điều kiện x2 + y2 ≤ 2y suy ra (rcosϕ)2 + (rsinϕ)2 ≤ 2sinϕ suy ra 0 ≤ r ≤ 2sinϕ(*) từ (*) ta suy ra 0 ≤ ϕ ≤ pi. Khi đó theo công thức (2.3.4) ta có I = ∫∫∫ V √ x2 + y2z = pi∫ 0 2sinϕ∫ 0 a∫ 0 r.z.rdzdrdϕ I = pi∫ 0 2sinϕ∫ 0 [ z2 2 ] ∣∣∣∣a 0 r2drdϕ = a2 2 pi∫ 0 2sinϕ∫ 0 r2drdϕ I = a2 2 pi∫ 0 [ r3 3 ] ∣∣∣∣2sinϕ 0 dϕ = a2 2 pi∫ 0 8sin3ϕ 3 dϕ I = 4a2 3 pi∫ 0 (1− cos2ϕ)sinϕdϕ = −4a 2 3 pi∫ 0 (1− cos2ϕ)d(cosϕ) I = −4a 2 3 [ cosϕ− cos 3ϕ 3 ] ∣∣∣∣pi 0 = 16a2 9 . Ví dụ 34. Tính tích phân bội ba sau I = ∫∫∫ V (x2 + y2) dxdydz trong đó V là miền được xác định bởi V = { (x, y, z)| − 2 ≤ x ≤ 2,−√4− x2 ≤ y ≤ √4− x2,√x2 + y2 ≤ z ≤ 2}. Giải: Ta có hình biểu diễn miền V như sau 51 Chương 2. Tích phân bội Hình 2.31: Ta thấy rằng đĩa x2 + y2 ≤ 4 là hình chiếu của mặt nón z = √x2 + y2 lên mặt phẳng Oxy. Chuyển sang hệ tọa độ trụ ta  x = rcosϕ y = rsinϕ z = z suy ra J = r có miền V biến thành miền V ′ sau V ′ = {(r, ϕ, z)|0 ≤ ϕ ≤ 2pi, 0 ≤ r ≤ 2, r ≤ z ≤ 2} Vì vậy áp dụng công thức (2.3.5) ta có I = ∫∫∫ V (x2 + y2)dxdydz = ∫∫∫ V ′ r2.rdrdϕdz I = 2pi∫ 0 2∫ 0 2∫ r r3dzdrdϕ = 2pi∫ 0 2∫ 0 r3(2− r)drdϕ I = 2pi∫ 0 dϕ 2∫ 0 (2r3 − r4)dr = 2pi. [ r4 2 − r 5 5 ] ∣∣∣∣2 0 = 16pi 5 . Ví dụ 35. Tính tích phân sau: I = ∫∫∫ V (x2 + y2)dxdydz Trong đó V là miền được giới hạn bởi các mặt x2 + y2 = 2z ;và z = 2. Giải: Ta có hình biểu diễn của miền V như sau Hình 2.32: 52 Chương 2. Tích phân bội Đổi sang tọa độ trụ ta có  x = rcosϕ y = rsinϕ z = z suy ra J = r Ta có x2 + y2 = r2. Để xác định cận biến thiên của r và ϕ ta chú ý rằng mặt parabolloide x2 + y2 = 2z cắt mặt phẳng z = 2 theo đường tròn x2 + y2 = 4, từ đó ta có 0 ≤ r ≤ 2 và 0 ≤ ϕ ≤ 2pi. Mặt khác trên paraboloide : r2cos2ϕ+ r2sin2ϕ = 2z hay r2 = 2z suy ra z = r2/2 , từ đó ta có r2/2 ≤ z ≤ 2. Vậy: I = ∫∫∫ V (x2 + y2)dxdydz = 2pi∫ 0 dϕ 2∫ 0 dr 2∫ r2/2 r3dz I = 2pi 2∫ 0 r3 ( 2− r 2 2 ) dr = 2pi [ r4 2 − r 6 12 ] ∣∣∣∣2 0 = 16pi 3 . 2.3.5 Cách tính tích phân bội ba trong hệ tọa độ cầu Tọa độ cầu của một điểm M(x, y, z) trong không gian Oxyz là bộ ba số (r, ϕ, θ) , trong đó r = −−→ OM , ϕ là góc giữa trục Ox với véc tơ −−→ OM ′ , θ là góc giữa trục Oz với véc tơ −−→ OM . Hình 2.33: Với mọi điểm M(x, y, z) ta có 0 ≤ r < +∞, 0 ≤ ϕ ≤ 2pi, 0 ≤ θ ≤ pi Giữa các tọa độ đề các và tọa độ cầu của điểm M , có mối liên hệ x = rsinθcosϕ y = rsinθsinϕ z = rcosθ Khi đó ta có định thức Jacobi 53 Chương 2. Tích phân bội J = ∣∣∣∣∣∣∣∣∣ rsinθcosϕ rcosθcosϕ −rsinθsinϕ sinθsinϕ rcosθsinϕ rsinθcosϕ cosθ −rsinθ 0 ∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = −r 2sinθ áp dụng công thức đổi biến ta có I = ∫∫∫ V f(x, y, z)dxdydz = ∫∫∫ V ′ f [rsinθcosϕ, rsinθsinϕ, rcosθ] r2sinθ. Ví dụ 36. Tính I = ∫∫∫ V dxdydz√ x2 + y2 + z2 , Trong đó V là miền giới hạn bởi các mặt x2 + y2 + z2 ≥ 1 và x2 + y2 + z2 ≤ 4 . Giải: Ta có hình biểu diễn của miền V như sau Hình 2.34: Dùng phương pháp tọa độ cầu ta có x = rsinθcosϕ y = rsinθsinϕ z = rcosθ suy ra J = −r2sinθ Từ điều kiện 1 ≤ x2 + y2 + z2 ≤ 4 ta có 0 ≤ ϕ ≤ 2pi, 0 ≤ θ ≤ pi, 0 ≤ r ≤ 2 Vậy I = ∫∫∫ V dxdydz√ x2 + y2 + z2 = ∫∫∫ V ′ rsinθdrdθdϕ I = 2pi∫ 0 dϕ θ∫ 0 sinθdθ 1∫ 0 rdr = ϕ ∣∣∣∣2pi 0 (−cosθ) ∣∣∣∣pi 0 r2 2 ∣∣∣∣1 0 = 6pi. Ví dụ 37. Tính tích phân I = ∫∫∫ V √ x2 + y2 + z2dxdydz trong đó V là hình cầu x2 + y2 + z2 = z. Giải: Ta có x2 + y2 + z2 − z = x2 + y2 + ( z − 1 2 )2 − 1 4 Như vậy V = { x2 + y2 + ( z − 1 2 )2 ≤ 1 4 } Tức là V là hình cầu tâm tại điểm (0, 0, 1/2) bán kính R = 1/2 (hình 2.35 ) 54 Chương 2. Tích phân bội Hình 2.35: Chuyển sang tọa độ cầu : x = rsinθcosϕ y = rsinθsinϕ z = rcosθ suy ra J = −r2sinθ Từ điều kiện x2 + y2 + z2 ≤ z suy ra 0 ≤ ϕ ≤ 2pi, 0 ≤ θ ≤ pi/2 Để xác định cận biến thiên của r , ta chú ý x2 + y2 + z2 ≤ z suy ra r2 ≤ rcosθ dẫn đến 0 ≤ r ≤ cosθ Vậy I = ∫∫∫ V √ x2 + y2 + z2dxdydz = 2pi∫ 0 dϕ pi/2∫ 0 dθ cosθ∫ 0 r.r2sinθdr I = 2pi pi/2∫ 0 sinθ [ r4 4 ] ∣∣∣∣r=cosθ r=0 dθ = I = pi 2 pi/2∫ 0 cos4θsinθdθ I = −pi 2 pi/2∫ 0 cos4θd(cosθ) = −pi 2 [ cos5θ 5 ] ∣∣∣∣pi/2 0 = pi 10 . 2.3.6 Một vài ứng dụng của tích phân bội ba • Tính thể tích vật thể. Thể tích của vật thể giới hạn bởi một miền đóng và giới nội V nằm trong không gian Oxyz được tính bởi theo công thức ∫∫∫ V dxdydz Ví dụ 38. Tính thể tích của Elipxoit x2 a2 + y2 b2 + z2 c2 = 1. Giải: Áp dụng công thức tính thể tích vật thể: 55 Chương 2. Tích phân bội Hình 2.36: V = ∫∫∫ V dxdydz Chuyển sang hệ tọa độ cầu suy rộng x = arsinθcosϕ y = brsinθsinϕ z = crcosθ suy ra J = −abcr2sinθ ta được V = abc 2pi∫ 0 dϕ pi∫ 0 dθ 1∫ 0 r2sinθdr = 2pi 3 abc pi∫ 0 sinθdθ = 4pi 3 abc (đvtt). • Tính khối lượng của vật thể Khối lượng vật thể V không đồng chất nằm trong không gian Oxyz , có khối lượng riêng thay đổi tại mọi điểm theo một hàm số ρ(x, y, z) xác định trên liên tục trong V được tính bởi công thức sau đây m = ∫∫∫ V ρ(x, y, z)dxdydz. Ví dụ 39. Tính khối lượng của hình lập phương V = {0 ≤ x ≤ a, 0 ≤ y ≤ a, 0 ≤ z ≤ a} biết khối lượng riêng của hình lập phương thay đổi tại mọi điểm cho bởi phương trình ρ(x, y, z) = x+ y + z. Giải: Khối lượng của hình lập phương là: m = ∫∫∫ V (x+ y + z)dxdydz = a∫ 0 dx a∫ 0 dy a∫ 0 (x+ y + z)dz = 3 2a4 . (đvkl) • Trọng tâm vật thể. Cho một vật thể V trong không gian Oxyz. Nếu khối lượng riêng tại điểm M(x, y, z) là ρ(x, y, z) thì khối lượng của vật thể được cho bởi công thức 56 Chương 2. Tích phân bội Hình 2.37: m = ∫∫∫ V ρ(x, y, z)dxdydz. Khi đó tọa độ trọng tâm G của vật thể được cho bởi công thức xG = 1 m ∫∫∫ V xρ(x, y, z)dxdydz. yG = 1 m ∫∫∫ V yρ(x, y, z)dxdydz. zG = 1 m ∫∫∫ V zρ(x, y, z)dxdydz. Nếu vật thể là đồng chất thì ρ là không đổi, do đó xG = 1 V ∫∫∫ V xdxdydz. yG = 1 V ∫∫∫ V ydxdydz. zG = 1 V ∫∫∫ V zdxdydz. Ví dụ 40. Tìm tọa độ trọng tâm của vật thể đồng chất trong góc phần tám thứ nhất giới hạn bởi các mặt sau: x2 a2 + y2 b2 + z2 c2 = 1, x = 0, y = 0, z = 0. Giải: Hình 2.38: 57 Chương 2. Tích phân bội Thể tích của vật thể V = 1 8 . 4pi 3 abc = pi 6 abc (xem ví dụ 2.3.10). Vì vậy trọng tâm G của vật thể V có các tọa độ xG = 1 V ∫∫∫ V xdxdydz. yG = 1 V ∫∫∫ V ydxdydz. zG = 1 V ∫∫∫ V zdxdydz. Chuyển sang tọa độ cầu mở rộng x = arsinθcosϕ y = brsinθsinϕ z = crcosθ suy ra J = −abcr2sinθ ta được xG = 1 V ∫∫∫ V xdxdydz = 6a piabc pi/2∫ 0 dθ pi/2∫ 0 dϕ 1∫ 0 arsinθcosϕ.abcr2sinθdr xG = 6a pi pi/2∫ 0 sin2θdθ pi/2∫ 0 cosϕdϕ 1∫ 0 r3dr = 3a 8 Hoàn toàn tương tự ta có yG = 3b 8 , zG = 3c 8 •Tính Mômen quán tính của một vật thể. Nếu V là một vật thể đo được và khối lượng riêng tại điểm M(x, y, z) cho bởi ρ(x, y, z) là một hàm liên tục và bị chặn trên V thì mô men quán tính của vât thể V đối với mặt phẳng Oxy , trục Ox và gốc O, theo thứ tự là : Ixy = ∫∫∫ V z2ρ(x, y, z)dxdydz. Ix = ∫∫∫ V (x2 + y2)ρ(x, y, z)dxdydz. I0 = ∫∫∫ V (x2 + y2 + z2)ρ(x, y, z)dxdydz. Ví dụ 41. Tính mômen quán tính đối với các mặt phẳng tọa độ của vật thể đồng chất giới hạn bởi x2 a2 + y2 b2 + z2 c2 = 1 Biết rằng hàm khối lượng riêng của vật thể ρ(x, y, z) = 1 tại mọi điểm của vật thể. 58 Chương 2. Tích phân bội Hình 2.39: Giải: Áp dụng công thức mô men quán tính với mặt phẳng tọa độ Oxy Ixy = ∫∫∫ V z2ρ(x, y, z)dxdydz. với chú ý rằng vật thể V là mặt phẳng đối xứng qua mặt phẳng Oxy và hàm dưới dấu tích phân f(x, y, z) = z2 là một hàm chẵn với biến z. Ixy = 2 ∫∫∫ V ′ z2dxdydz. trong đó V ′ là 1/2 mặt Elipxoit x2 a2 + y2 b2 + z2 c2 = 1 ứng với z ≥ 0 (hình vẽ ) Hình 2.40: Chuyển sang tọa độ cầu mở rộng x = arsinθcosϕ y = brsinθsinϕ z = crcosθ suy ra J = −abcr2sinθ ta được Ixy = 2 2pi∫ 0 dϕ pi/2∫ 0 dθ 1∫ 0 c2r2cos2θ.abcr2sinθdr 59 Chương 2. Tích phân bội Ixy = −4pi 5 abc3 pi/2∫ 0 cos2θd(cosθ) = −4pi 5 abc3 [ cos3θ 3 ] ∣∣∣∣pi/2 0 = 4pi 15 abc3. Hoàn toàn tương tự ta có mô men quán tính của vật thể đối với các mặt phẳng Oyz và Oxz là: Iyz = 4pi 15 a3bc, Izx = 4pi 15 ab3c. BÀI TẬP Bài tập 1. Tính các tích phân sau a) Tính I = 3∫ 1 1∫ 0 (1 + 4xy)dxdy b) Tính I = pi/2∫ 0 pi/2∫ 0 sin(x+ y)dxdy Bài tập 2. Tính các tích phân sau a ) I = ∫∫ D xy2 x2 + y dxdy trong đó D = {(x, y)|0 ≤ x ≤ 1,−3 ≤ y ≤ 3} b ) I = ∫∫ D xyeydxdy trong đó D = {(x, y)|0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 1} Bài tập 3. Tính các tích phân sau a ) I = ∫∫ D x3y2dxdy trong đó D = {(x, y)|0 ≤ x ≤ 2,−x ≤ y ≤ x} b) I = ∫∫ D 2y x2 + 1 dxdy trong đó D = {(x, y)|0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ √x} Bài tập 4. Tính các tích phân sau a ) I = ∫∫ D (1 + 2x + y)dxdy trong đó D là miền giới hạn bởi các đường y = −x, x = √y, y = 1 b ) I = ∫∫ D (1+x+y)dxdy trong đó D là miền giới hạn bởi các đường y = −x, x = √ y, y = 2 c ) I = ∫∫ D (x2 +y2)dxdy trong đó D là miền giới hạn bởi các đường y = x2 2 , y = x d ) I = ∫∫ D (4+x+y)dxdy trong đó D là miền giới hạn bởi các đường y = 0, x = 0 và y = −x+ 5 e ) I = ∫∫ D (2x − y + 1)dxdy trong đó D là miền giới hạn bởi các đường y2 = x, x = 0 và y = 1 f ) I = ∫∫ D x(2y − x)dxdy trong đó D là miền giới hạn bởi các đường y = x2 và x = y2 60 Chương 2. Tích phân bội g ) I = ∫∫ D dxdy (x+ y)3 trong đó D là miền giới hạn bởi các đường x ≥ 1, y ≥ 1 và x+ y ≤ 3 h ) I = ∫∫ D (x+y)dxdy trong đó D là miền giới hạn bởi các đường y2 = 2x, x+y = 4 và x+ y = 12 Bài tập 5. Tính các tích phân sau a ) I = ∫∫ D (x2 +y2)dxdy trong đó D là miền giới hạn bởi đường tròn x2 +y2 = 2x b) I = ∫∫ D y2√ x2 + y2 dxdy trong đó D là miền giới hạn bởi các đường x2 +y2 ≤ 4x và y ≥ 0 c ) I = ∫∫ D ex 2+y2dxdy trong đó D là miền giới hạn bởi các đường tròn x2 +y2 = 1 và x2 + y2 = 4 , x ≥ 0, y ≥ 0 Bài tập 6. Tính tích phân bội ba sau đây a ) I = ∫∫∫ V (x + y + z)dxdydz trong đó V là miền giới hạn bởi các mặt x = 0, y = o, z = 0, x+ y + z = 1 b ) I = ∫∫∫ V (2x + 3y − z)dxdydz trong đó V là miền giới hạn bởi các mặt x = 0, y = o, z = 0, z = 2, x+ y = 3 Bài tập 7. Dùng phương pháp tọa dộ trụ tính các tích phân bội ba sau a ) I = ∫∫∫ V z √ x2 + y2dxdydz trong đó V là miền giới hạn bởi các mặt x2 +y2 = 2x, z = 0, z = 2 b ) I = ∫∫∫ V (x2 +y2 + z2)dxdydz trong đó V là miền hình nón tròn xoay giới hạn bởi các mặt z2 = x2 + y2, z = 4 Bài tập 8. Dùng phương pháp tọa độ cầu tính tích phân bội ba sau đây I = ∫∫∫ V (x2 + y2)dxdydz trong đó V được giới hạn bởi x2 + y2 + z2 ≤ 4, z ≥ 0 61 Chương 3 Tích phân đường và mặt 3.1 Tích phân đường loại một 3.1.1 Định nghĩa • Bài toán dẫn đến tích phân đường loại một Xét đường cong vật chất L = _ AB có khối lượng riêng ρL là một hàm phụ thuộc vào x và y: ρ(x, y). Tính khối lượng của đường cong L, tức là tính khối lượng cung _ AB. Nếu L là đường cong đồng chất thì khối lượng của đường cong L bằng: mL = ρL.l trong đó l là dài đường cong L. Nhưng theo giả thiết bài toán L là đường cong không đồng chất. Khi đó ta sẽ chia đường cong L thành các đoạn nhỏ sao cho khối lượng riêng của L trên mỗi đoạn đã chia được xem như là không đổi. Khi đó, khối lượng của đường cong L bằng xấp xỉ tổng khối lượng của các đoạn nhỏ đã chia. Chia cung _ AB thành n cung nhỏ bởi các điểm chia A = A0, A1, A2, · · · , An = B Lấy Mi(xi, yi) là một điểm tùy ý trên cung _ Ai−1Ai. Gọi độ dài cung _ Ai−1Ai là ∆si. Khi đó, khối lượng cung _ Ai−1Ai được tính xấp xỉ theo công thức: m _ Ai−1Ai ≈ ρ(xi, yi).∆si 62 Chương 3. Tích phân đường và mặt Và khối lượng cung _ AB bằng: m_ AB ≈ n∑ i=1 ρ(xi, yi).∆si • Định nghĩa Định nghĩa 3.1. Cho hàm số f(M) = f(x, y) xác định trên một đường cong L = _ AB trong mặt phẳng Oxy. Chia cung _ AB thành n cung nhỏ bởi các điểm chia: A = A0, A1, A2, · · · , An = B Hình 3.1: Gọi độ dài cung _ Ai−1Ai là ∆si. Trên cung _ Ai−1Ai lấy một điểm tùy ýMi(xi, yi). Nếu khi n→∞ sao cho max ∆si → 0, tổng n∑ i=1 f(Mi)∆si dần tới một giới hạn xác định, không phụ thuộc vào cách chia cung _ AB và cách chọn điểm Mi trên cung _ Ai−1Ai, thì giới hạn đó được gọi là tích phân đường loại một của hàm số f(x, y) dọc theo cung _ AB và được ký hiệu là:∫ L f(x, y)ds = ∫ _ AB f(x, y)ds trong đó, f(x, y) là hàm số lấy tích phân, ds là vi phân cung _ AB. Nếu tích phân ấy tồn tại thì ta nói rằng hàm số f(x, y) là khả tích trên đường cong L = _ AB. 63 Chương 3. Tích phân đường và mặt Nếu L = _ AB là một đường cong trong không gian Oxyz và f(x, y, z) là một hàm xác định trên đó, cũng bằng phép phân hoạch cung _ AB và thiết lập tổng tích phân và cho qua giới hạn khi phép phân hoạch nhỏ dần vô hạn, người ta định nghĩa hoàn toàn tương tự tích phân đường:∫ L f(x, y, z)ds = ∫ _ AB f(x, y, z)ds = lim max ∆si→0 n∑ i=1 f(Mi)∆si Khi đường cong L = _ AB là một đường cong kín thì ta kí hiệu tích phân đường loại một của hàm f(x, y) trên L là:∮ L f(x, y)ds Định lý 3.1. Giả sử L = _ AB là đường cong trơn, f = f(M) là hàm số xác định và liên tục trên L. Khi đó tồn tại tích phân đường loại một của hàm f trên L:∫ L fds Chứng minh. Ta chứng minh trong trường hợp hàm f = f(x, y), tức là hàm f xác định trong mặt phẳng Oxy, đối với các trường hợp khác được chứng minh tương tự. Giả sử Ai(x, y) là điểm bất kỳ trên cung _ AB, ta ký hiệu s là độ dài cung _ AAi. Khi đó cung _ AB được tham số hóa bởi hệ phương trình: x = x(s), y = y(s), 0 ≤ s ≤ l Trong đó l là độ dài cung _ AB (tham số s được gọi là tham số tự nhiên của đường cong L). Vì cung _ AB là đường cong trơn nên các hàm số x(s), y(s) có đạo hàm liên tục trên đoạn [0, l]. Theo giả thiết f(x, y) liên tục trên _ AB nên hàm g(s) = f(x(s), y(s)) liên tục trên đoạn [0, l]. Chia cung _ AB thành n cung nhỏ bởi các điểm chiaA = A0, A1, A2, · · · , An = B, trong đó độ dài của cung _ AAi là si(i = 0, 1, · · · , n), như vậy s0 = 0, sn = l và ∆si = si − si−1(i = 1, 2, · · · , n). Trên mỗi cung _ AiAi−1 lấy tùy ý điểm Mi mà độ dài cung _ AMi được ký hiệu là si. 64 Chương 3. Tích phân đường và mặt Lập tổng tích phân: n∑ i=1 f(Mi)∆si = n∑ i=1 f(x(si), y(si))∆si Chú ý rằng tổng ở vế phải là tổng tích phân của hàm liên tục g(s) = f(x(s), y(s)) trêm đoạn [0, l] ứng với phân hoạch: 0 = s0 ≤ s1 ≤ · · · ≤ si−1 ≤ si ≤ · · · ≤ sn = l Do đó khi max ∆si → 0 thì giới hạn của tổng tích phân bên vế phải tồn tại và ta có: lim max ∆si→0 n∑ i=1 f(x(si), y(si))∆si = l∫ 0 f(x(s), y(s))ds Vì vậy cũng tồn tại giới hạn bên vế trái: lim max ∆si→0 n∑ i=1 f(Mi)∆si = ∫ _ AB f(x, y)ds và hai giới hạn này bằng nhau ∫ _ AB f(x, y)ds = l∫ 0 f(x(s), y(s))ds • Tính chất Tích phân đường loại một có các tính chất cơ bản sau đây: i) Cho đường cong L = _ AB trơn và hàm f khả tích trên L thì∫ _ AB fds = ∫ _ BA fds Hay ta nói rằng, tích phân đường loại một không phụ thuộc vào chiều lấy tích phân trên cung _ AB ii) Ngoài ra, tích phân đường loại một có các tính chất khác tương tự như tích phân xác định. 65 Chương 3. Tích phân đường và mặt 3.1.2 Cách tính Giả sử đường cong L = _ AB trơn và hàm số f(x, y) liên tục trên L. i) Nếu L được cho bởi phương trình y = y(x), a ≤ x ≤ b thì: ∫ _ AB f(x, y)ds = b∫ a f(x, y(x)) √ 1 + y′2(x)dx Thật vậy, gọi (xi, yi) là tọa độ của điểm chia Ai, i = 1, 2, · · · , n ∆xi = xi − xi−1,∆yi = yi − yi−1 Khi ∆xi khá nhỏ, ∆si xấp xỉ bằng chiều dài đoạn thẳng Ai−1Ai. ∆si ≈ √ ∆x2i + ∆y 2 i = √ 1 + (∆yi ∆xi )2 ∆xi Theo công thức số gia giới nội: ∆yi ∆xi = y(xi)− y(xi−1) xi − xi−1 = y ′ i(ξi) trong đó xi−1 ≤ ξi ≤ xi. Do đó: ∆si ≈ √ 1 + y′2i (ξi)∆xi Gọi Mi là điểm (ξi, y(ξi)) nằm trên cung _ Ai−1Ai, ta có: n∑ i=1 f(Mi)∆si = n∑ i=1 f(ξi, y(ξi)) √ 1 + y′2(ξi)∆xi Vế phải là tổng tích phân của hàm số: x 7→ f(x, y(x))√1 + y′2(x) trải trên đoạn [a, b], do đó: lim max ∆si→0 n∑ i=1 f(Mi)∆si = lim max ∆xi→0 n∑ i=1 f(ξi, y(ξi)) √ 1 + y′2(ξi)∆xi hay ∫ _ AB f(x, y)ds = b∫ a f(x, y(x)) √ 1 + y′2(x)dx ii) Nếu L được cho bởi phương trình x = x(y), c ≤ y ≤ d 66 Chương 3. Tích phân đường và mặt Tương tự ở trên ta có:∫ _ AB f(x, y)ds = d∫ c f(x(y), y) √ x′2(y) + 1dy Ví dụ 42. Tính tích phân:∫ L (x2 − 2y)ds trong đó L là chu tuyến của tam giácABC vớiA(1, 1), B(3, 1), C(1, 5). Ta có:∫ L (x2 − 2y)ds = ∫ AB (x2 − 2y)ds+ ∫ BC (x2 − 2y)ds+ ∫ CA (x2 − 2y)ds = I1 + I2 + I3 Phương trình AB: y = 1, 1 ≤ x ≤ 3 I1 = ∫ AB (x2 − 2)ds = 3∫ 1 (x2 − 2)dx = (x33 − 2x)∣∣31 = 143 Phương trình BC: y = −2x+ 7, 1 ≤ x ≤ 3 I2 = √ 5 ∫ BC (x2−2(−2x+7))dx = √5 3∫ 1 (x2+4x−14)dx = √5(x33 + 2x2 − 14x)∣∣3 1 = −10 3 √ 5 Phương trình CA: x = 1, 1 ≤ y ≤ 5 I3 = ∫ CA (1− 2y)dy = 5∫ 1 (1− 2y)dy = (y − y2)∣∣5 1 = −20 Vậy∫ L (x2 − 2y)ds = 14 3 − 20− 10 3 √ 5 = −46 3 − 10 3 √ 5 iii) Nếu đường cong L = _ AB được cho bởi phương trình tham số x = x(t), y = y(t), t1 ≤ t ≤ t2 thì ta có: y′(x) = y′(t) x′(t) 67 Chương 3. Tích phân đường và mặt Do đó từ phần trên ta suy ra:∫ _ AB f(x, y)ds = t2∫ t1 f(x(t), y(t)) √ x′2(t) + y′2(t)dt Ví dụ 43. Tính I = ∫ L √ x2 + y2ds, L là đường tròn x2 +y2 = 2x. Phương trình của đường tròn có thể viết là: (x− 1)2 + y2 = 1, vì vậy phương trình tham số của nó là: x = 1 + cos t, y = sin t,−pi ≤ t ≤ pi Do đó: x′2 + y′2 = 1, x2 + y2 = 2(1 + cos t) = 4 cos2 t 2 ,√ x2 + y2 = 2 ∣∣ cos t 2 ∣∣ = 2 cos t 2 , vì −pi 2 ≤ t 2 ≤ pi 2 I = 2 pi∫ −pi cos t 2 dt = 4 pi∫ 0 cos t 2 dt = 8 sin t 2 ∣∣pi 0 = 8 iv) Trường hợp đường lấy tích phân là một đường trong không gian Tích phân đường loại một của hàm số f(x, y, z) dọc theo một cung _ AB trong không gian cũng được định nghĩa tương tự như trên. Nếu cung _ AB có phương trình tham số là: x = x(t), y = y(t), z = z(t), t1 ≤ t ≤ t2 thì: ds = √ x′2(t) + y′2(t) + z′2(t)dt và ta có công thức:∫ _ AB f(x, y, z)ds = t2∫ t1 f(x(t), y(t), z(t)) √ x′2(t) + y′2(t) + z′2(t)dt 68 Chương 3. Tích phân đường và mặt Ví dụ 44. Tính tích phân đường loại một: I = ∫ L (x2 + y2 + z2)ds trong đó L là đường xoắn ốc có phương trình tham số x = a cos t, y = a sin t, z = bt, 0 ≤ t ≤ 2pi, a, b > 0 Ta có: x2 + y2 + z2 = a2(cos2 t+ sin2 t) + b2t2 = a2 + b2t2 ds = √ x′2(t) + y′2(t) + z′2(t)dt = √ a2 + b2dt Do đó: I = √ a2 + b2 2pi∫ 0 (a2 + b2t2)dt = 2pi √ a2 + b2(a2 + 4 3 pi2b2) 3.1.3 Ứng dụng i) Tính khối lượng dây cung: Nếu đường cong vật chất L = _ AB có khối lượng riêng tại điểmM(x, y) là ρ(M) thì theo phần 1.1.1 khối lượng của L sẽ được tính bằng: mL = ∫ _ AB ρ(x, y)ds ii) Tính chiều dài dây cung: Chiều dài của đường cong L = _ AB được tính bằng công thức:∫ _ AB ds iii) Tìm tọa độ trọng tâm của cung _ AB: Nếu khối lượng riêng của cung _ AB tại M(x, y) là ρ(M) thì các tọa độ trọng tâm G của cung _ AB được cho bởi công thức: xG = 1 m ∫ _ AB xρ(M)ds 69 Chương 3. Tích phân đường và mặt yG = 1 m ∫ _ AB yρ(M)ds trong đó, m là khối lượng của dây cung _ AB 3.1.4 Nhắc lại kiến thức Định nghĩa 3.2. Cho đoạn [a, b] ⊂ R. γ : [a, b] → Rn là một ánh xạ liên tục, ký hiệu L = γ([a, b]) ⊂ Rn. Khi đó ta nói L là một đường cong trong không gian Rn Điểm A = γ(a) được gọi là điểm đầu, điểm B = γ(b) được gọi là điểm cuối của đường cong L = _ AB Nếu γ là đơn ánh thì đường cong L được gọi là đường cong đơn. Nếu γ(a) = γ(b) thì đường cong L được gọi là đường cong kín (hay đường cong đóng). Định nghĩa 3.3. Đường cong L được gọi là đường cong trơn nếu γ có đạo hàm γ′ liên tục trên [a, b] và γ′(t) 6= 0 với mọi t ∈ [a, b]. Nếu đoạn [a, b] có thể chia thành một số hữu hạn đoạn con [a, b] = k⋃ i=1 [ai, bi] sao cho ánh xạ γ hạn chế trên mỗi đoạn con [ai, bi]: γi = γ |[ai,bi]: [ai, bi]→ Rn Li = γi([ai, bi]) là một đường cong trơn thì L được gọi là đường con trơn từng khúc. Giả sử γ = (γ1, · · · , γn) : [a, b] → Rn, L = γ([a, b]) là một đường cong. Khi đó, ta cũng nói γ(t) = (γ1(t), · · · , γn(t)) là một biểu diễn tham số của L, còn các phương trình x1 = γ1(t), · · · , xn = γn(t), t ∈ [a, b] được gọi là các phương trình tham số xác định đường cong, t là tham số. 3.2 Tích phân đường loại hai 3.2.1 Định nghĩa a) Bài toán tính công: Một chất điểm M di chuyển theo một cung phẳng L từ A đến B dưới tác dụng của lực −→ F = −→ F (M) biến thiên liên tục dọc theo cung AB. Hãy tính công A của lực đó. 70 Chương 3. Tích phân đường và mặt Giả sử vectơ −→ F có các thành phần {P (M), Q(M)}. Chia _ AB thành n cung nhỏ bởi các điểm chia A = A0, A1, ..., An = B Gọi ∆xi,∆yi là các thành phần của vectơ −−−−→ Ai−1Ai. Nếu _ Ai−1Ai đủ nhỏ ta coi lực −→ F không đổi trên _ Ai−1Ai và bằng −→ F (Mi) = −−−→xi, yi, Mi(xi, yi) ∈ _ Ai−1Ai còn _ Ai−1Ai coi là thẳng và bằng dây cung Ai−1Ai. Vì thế có thể lấy xấp xỉ công của lực −→ F trên _ Ai−1Ai khi di chuyển chất điểm M ∆Ai ≈ −→F .−−−−→Ai−1Ai = P (xi, yi)∆xi +Q(xi, yi)∆yi Công A của lực −→ F trên toàn bộ _ AB là A ≈ n∑ i=1 {P (xi, yi)∆xi +Q(xi, yi)∆yi} (3.1) Nếu chuyển qua giới hạn sao cho max i ∆xi → 0,max i ∆yi → 0 ta sẽ được giá trị đúng của công. b) Định nghĩa tích phân đường loại hai: Định nghĩa 3.4. Cho hai hàm số P (x, y), Q(x, y) xác định trên _ AB. Chia cung AB thành n cung nhỏ không dẫm lên nhau bởi các điểm chia A = A0, A1, ..., An = B Gọi hình chiếu của −−−−→ Ai−1Ai lên các trục tọa độ là ∆xi,∆yi. Mi(xi, yi) là một điểm tùy ý thuộc _ Ai−1Ai. Nếu cho n→∞ sao cho max i ∆xi → 0,max i ∆yi → 0 mà tổng n∑ i=1 {P (xi, yi)∆xi +Q(xi, yi)∆yi} dần tới một giới hạn hữu hạn I không phụ thuộc vào cách chia _ AB và cách chọn điểm Mi trên _ Ai−1Ai thì I được gọi là tích phân đường loại hai của các hàm P (x, y), Q(x, y) dọc theo _ AB và được ký hiệu∫ _ AB P (x, y)dx+Q(x, y)dy (3.2) 71 Chương 3. Tích phân đường và mặt Người ta chứng minh được rằng nếu _ AB trơn và các hàm P (x, y), Q(x, y) liên tục trên _ AB thì tích phân (3.2) tồn tại. * Chú ý: 1) Tích phân đường loại hai phụ thuộc vào chiều lấy tích phân từ A đến B hay từ B đến A do hình chiếu của −−−−→ Ai−1Ai xuống các trục tọa độ sẽ đổi dấu nếu ta đổi chiều vectơ, do đó∫ _ AB P (x, y)dx+Q(x, y)dy = − ∫ _ BA P (x, y)dx+Q(x, y)dy. 2) Nếu lấy tích phân theo đường cong kín L ta quy ước chọn chiều dương là chiều sao cho một người đi trên L dọc theo chiều ấy thì miền giới hạn bởi L gần mình nhất ở vế bên trái và ta ký hiệu∮ L P (x, y)dx+Q(x, y)dy. 3) Tích phân đường loại hai có các tích chất tương tự tích phân xác định. 3.2.2 Cách tính Giả sử _ AB trơn và các hàm P (x, y), Q(x, y) liên tục trên _ AB. a) Cung AB cho bởi phương trình y = y(x), a là hoành độ của A, b là hoành độ của B thì:∫ _ AB P (x, y)dx+Q(x, y)dy = b∫ a [P (x, y(x)) +Q(x, y(x))y′(x)]dx hoặc ngược lại x = x(y), c là tung độ của A, d là tung độ của B thì:∫ _ AB P (x, y)dx+Q(x, y)dy = d∫ c [P (x(y), y).x′(y) +Q(x(y), y)]dy 72 Chương 3. Tích phân đường và mặt b) Cung _ AB cho bởi phương trình tham số: x = x(t) y = y(t) với các mút A,B tương ứng với các giá trị tA, tB của tham số. Khi đó:∫ _ AB P (x, y)dx+Q(x, y)dy = tB∫ tA [P (x(t), y(t)).x′(t)+Q(x(t), y(t)).y′(t)]dt Ví dụ 45. Tính I = ∫ L (x− y)dx+ (x+ y)dy L là đường nối điểm (0, 0) với điểm (1, 1), nếu L là: 1) đường y = x; 2) đường y = x2; 3) đường y = √ x. Giải: Hình 3.2: 1) Đường L có phương trình y = x nên dy = dx, do đó I = 1∫ 0 2xdx = x2 ∣∣∣1 0 = 1. 73 Chương 3. Tích phân đường và mặt 2) Đường L có phương trình y = x2 nên dy = 2xdx, do đó I = 1∫ 0 (x+ x2 + 2x3)dx = (x2 2 + x3 3 + x4 2 )∣∣∣1 0 = 4 3 3) Đường L có phương trình y = √ x, ta có x = y2, do đó dx = 2ydy, vậy I = 1∫ 0 (2y3 − y2 + y)dy = (y4 2 − y 3 3 + y2 2 )∣∣∣1 0 = 2 3 . Nhận xét 1. Từ ví dụ 45 ta thấy tích phân đường loại hai không những phụ thuộc vào cận lấy tích phân mà còn phụ thuộc vào hình dạng đường cong lấy tích phân. Ví dụ 46. Tính I = ∮ L ydx−xdy, với L là đường tròn tâm O bán kính bằng 1, tích phân lấy theo chiều dương. Giải: Hình 3.3: Phương trình tham số của L là x = cost, y = sint, 0 ≤ t ≤ 2pi. Khi đó I = 2pi∫ 0 [sint.(−sint)− cost.cost]dt = − 2pi∫ 0 dt = 2pi. 74 Chương 3. Tích phân đường và mặt 3.2.3 Công thức Green Công thức Green là công thức liên hệ giữa tích phân hai lớp và tích phân đường loại 2. Định lý 3.2. Giả sử D là một miền liên thông, bị chặn, có biên L gồm một hay nhiều đường cong kín trơn từng khúc, rời nhau từng đôi một. Nếu các hàm P (x, y) và Q(x, y) và các đạo hàm riêng cấp một của chúng liên tục trong miền D thì ta có∫∫ D (∂Q ∂x − ∂P ∂y ) dxdy = ∮ L P (x, y)dx+Q(x, y)dy (3.3) Công thức (3.3) được gọi là công thức Green. Hình 3.4: Chứng minh. Trước hết ta giả sử D là một miền đơn giản, cụ thể là một hình chữ nhật cong (Hình 3.4). Giới hạn phía dưới bởi cung _ AB: y = y1(x), a ≤ x ≤ b; phía trên bởi cung _ A′B′: y = y2(x), a ≤ x ≤ b và hai bên bởi các đường thẳng x = a, x = b. Khi đó ta có∫∫ D ∂P (x, y) ∂y dxdy = b∫ a y2(x)∫ y1(x) dy = b∫ a [P (x, y2(x)− P (x, y1(x))]dx = ∫ _ A′B′ P (x, y)dx− ∫ _ AB P (x, y)dx = − ∫ _ B′A′ P (x, y)dx− ∫ _ AB P (x, y)dx Chú ý rằng tích phân dọc theo A′A và B′B bằng 0 vì A′A và B′B song song với trục Oy, nên∫∫ D ∂P (x, y) ∂y dxdy = − ∫ _ AB P (x, y)dx− ∫ _ BB′ P (x, y)dx− ∫ _ B′A′ P (x, y)dx− ∫ _ A′A P (x, y)dx = − ∮ L P (x, y)dx 75 Chương 3. Tích phân đường và mặt Tương tự ta có ∫∫ D ∂Q(x, y) ∂x dxdy = ∮ L Q(x, y)dy Từ hai kết quả này ta suy ra công thức Green. Nếu D là miền đơn liên tổng quát hơn trong đó có những đường song song với trục Oy cắt biên của miền D quá hai điểm thì ta phải chia D thành những miền nhỏ hơn sao cho mỗi miền nhỏ là một hình chữ nhật cong. Sau đó áp dụng kết quả ở trên với từng miền con rồi tính tổng suy ra công thức Green. Bây giờ ta xét trường hợp miền D là miền đa liên có biên L = γ0 ∪ γ1 ∪ γ2 ∪ ... ∪ γn với γ0 là biên ngoài, còn các γi, i = 1, n là các biên trong. Ta cắt miền đa liên D theo cách cứ mỗi biên trong γi thì lại cắt một đường nối γi với γ0 để tạo thành một cặp đoạn biên mới và sao cho khi miền đa liên D sau khi cắt trở thành miền đơn liên D∗ có thêm các cặp đoạn biên mới vừa kể trên. Khi đó tích phân ban đầu bằng tổng các tích phân trên từng miền với các biên tương ứng, chú ý rằng tích phân đường trên mỗi cặp biên mới bao giờ cũng xảy ra từng cặp lấy theo hai chiều ngược nhau khiến cho tổng của chúng bằng 0. Từ đó ta suy ra điều phải chứng minh. Ví dụ dưới đây minh họa cho việc sử dụng công thức Green. Ví dụ 47. Tính I = ∮