Bài giảng Toán 5: Xác suất & Thống kê

1 | P a g e NGUYỄN VĂN ĐẮC BÀI GIẢNG TOÁN 5 XÁC SUẤT & THỐNG KÊ 2 | P a g e Giới thiệu môn học Lý thuyết xác suất ra vào nửa cuối thế kỷ thứ 17 ở nước Pháp, nó là bộ phận của toán học nghiên cứu các quy luật của hiện tượng ngẫu nhiên. Hơn 300 năm tồn tại và phát triển, đến nay lý thuyết này đã có nội dung vô cùng phong phú, được áp dụng trong nhiều ngành khoa học cũng như trong cuộc sống đời thường. Thống kê toán học(TKTH) là khoa học về các phương pháp toán học để xử lí các kết quả thực nghiệm hoặc các dữ liệu thống kê nhằm rút ra các kết luận khoa học và thực tiễn. Để có được những phán đoán chính xác, TKTH phải dựa vào lí thuyết xác suất. Mục đích của môn học Xác suất & thống kê trong chương trình đào tạo của các trường kỹ thuật là trang bị cho kỹ sư tương lai những khái niệm và kết quả cơ bản của lý thuyết xác suất & thống kê toán học, để giúp người học tiếp thu các môn học có liên quan và cách thức thu thập xử lý số liệu trong quá trình công tác sau này. Nội dung gồm 8 chương Chương I Biến cố và xác suất của biến cố Chương II Biến ngẫu nhiên và phân phối xác suất Chương III Kỳ vọng toán Chương IV Một số phân phối xác suất thường gặp Chương V Mẫu ngẫu nhiên và phân phối của một số thống kê cơ bản Chương VI Ước lượng tham số Chương VII Kiểm định giả thiết Chương VIII Hồi quy và tương quan tuyến tính 3 | P a g e Tài liệu tham khảo chính [1] Ronald E. Walpole, Raymond H.Myers và Sharon L.Myers, Xác suất và thống kê dành cho kỹ sư và nhà khoa học(Bản dịch lần 1 của Bộ môn ĐS-XS&TK ĐHTL). [2] Morris H. DeGroot, Mark J. Schervish, Probability and Statistics(Third edition). [3] Đặng Hùng Thắng, Mở đầu về lí thuyết xác suất và các ứng dụng,Nhà XBGD,1997. [4] Trần Mạnh Tuấn, Xác suất & Thống kê lý thuyết và thực hành tính toán, Nhà xuất bản ĐHQGHN, 2004. 4 | P a g e NGUYỄN VĂN ĐẮC BÀI GIẢNG TOÁN 5 TUẦN 1 5 | P a g e BIẾN CỐ VÀ XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ 1.1 Phép thử và không gian mẫu Ta đã biết trong toán học có những khái niệm cơ bản không được định nghĩa, chẳng hạn như điểm, đường thẳng, mặt phẳng, tập hợp. Phép thử ngẫu nhiên là một khái niệm kiểu như vậy, các hành động mà các kết quả của nó không thể dự đoán trước đều được gọi chung là phép thử ngẫu nhiên, gọi tắt là phép thử (do ta không quan tâm đến những hành động có thể dự đoán trước được kết quả). Tuy không đoán được kết quả của phép thử nhưng ta có thể liệt kê được các kết quả của nó. Định nghĩa 1.1 Tập hợp gồm tất cả các kết quả của phép thử được gọi là không gian mẫu(sample space) và ký hiệu bởi S hoặc  . Mỗi phần tử trong không gian mẫu được gọi là một kết quả của phép thử hoặc là một điểm mẫu. Do định nghĩa như vậy nên khi trình bày không gian mẫu ta dùng cách trình bày của tập hợp. Ví dụ 1.1 Tung một đồng xu. Không gian mẫu là  ={S, N}, S biểu thị cho kết quả mặt sấp xuất hiện, N biểu thị cho kết quả mặt ngửa xuất hiện. Ví dụ 1.2 Lấy ngẫu nhiên hai số x, y trong [0, 2]. Không gian mẫu là S = { (x, y) | 0 ≤ x ≤ 2 và 0 ≤ y ≤ 2}. Ví dụ 1.3 Tung một con xúc xắc. Nếu ta quan tâm đến số chấm xuất hiện thì không gian mẫu là S1 = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Nếu ta quan tâm đến số chẵn chấm hay số lẻ chấm xuất hiện thì không gian mẫu là S2 = {C, L}. Qua Ví dụ 1.3 ta thấy rằng có thể có nhiều không gian mẫu để mô tả kết quả của một phép thử, tuy nhiên nếu ta biết mỗi kết quả trong S1 xuất hiện thì suy ra được kết quả nào trong S2 xuất hiện, ngược lại thì không được. Người ta thường dùng không gian mẫu “giàu thông tin” nhất để mô tả các kết quả của phép thử. Trong các Ví dụ trên, ta dễ dàng xác định được không gian mẫu. Đôi khi ta gặp tình huống khó khăn hơn. Khi đó có thể dùng sơ đồ cây để xác định không gian mẫu, Ví dụ sau sẽ minh họa cho cách này. Ví dụ 1.4 Tung một đồng xu, nếu mặt ngửa xuất hiện ta tung đồng xu đó lần thứ hai còn mặt sấp xuất hiện ta tung một con xúc xắc. Hãy xác định không gian mẫu? 6 | P a g e Sơ đồ cây cho kết quả của phép thử là Tung lần 1 Tung lần 2 Điểm mẫu N NN N S NS 1 S 1 2 S 2 S 3 S 3 4 S 4 5 S 5 6 S 6 Như vậy không gian mẫu là S = {NN, NS, S 1, S 2, S 3, S 4, S 5, S 6}. 1.2 Biến cố và các phép toán biến cố Với mỗi phép thử cụ thể, ta có thể quan tâm đến một sự kiện nào đó gồm một hoặc một số kết quả. Chẳng hạn, trong một trò chơi may rủi như sau: Gieo hai đồng xu, nếu hai mặt ngửa xuất hiện thì người chơi được 5000 đồng ngược lại thì người chơi mất 1000 đồng. Lúc này, không gian mẫu là  ={SS, NN, SN, NS}. Sự kiện mà ta quan tâm gồm “hai mặt ngửa xuất hiện” = {NN} và “không có hai mặt ngửa xuất hiện” ={NN, SN, NS}. Mỗi sự kiện trên đã được đồng nhất với một tập con của không gian mẫu, người ta gọi là các biến cố. Tổng quát, ta có định nghĩa sau Định nghĩa 1.2 Mỗi tập con của không gian mẫu được gọi là một biến cố. Dùng các chữ cái in hoa như A, B, C, A1, A2,… để ký hiệu cho biến cố. Đặc biệt, sự kiện không bao giờ xảy ra khi thực hiện phép thử thì được đồng nhất với tập rỗng nên ký hiệu bởi  và gọi là biến cố không, còn sự kiện chắc chắn sẽ xảy ra khi thực hiện phép thử thì được ký hiệu bởi S và gọi là biến cố chắc chắn. Mỗi điểm mẫu cũng là một biến cố, gọi là biến cố sơ cấp. Trong lý thuyết tập hợp ta đã biết các khái niệm tập con, hai tập hợp bằng nhau, phần bù và các phép toán hợp hai tập, giao hai tập. Tương ứng , ta có các khái niệm và phép toán biến cố trong lý thuyết xác suất như sau Định nghĩa 1.3 Cho A và B là hai biến cố của một phép thử với không gian mẫu là S. + A B thì ta nói biến cố A kéo theo biến cố B. + A = B thì ta nói A tương đương với B. + Phần bù của A trong S được gọi là biến cố đối của A, ký hiệu là A’. 7 | P a g e + Hợp của A và B, ký hiệu A B hoặc bởi A+B, là biến cố gồm các điểm mẫu hoặc thuộc A hoặc thuộc B. Tương tự, ta có thể định nghĩa hợp của nhiều biến cố. + Giao của A và B, ký hiệu A B hoặc bởi AB, là biến cố gồm các điểm mẫu thuộc cả A và B. Đặc biệt, khi A B = , ta gọi A và B là hai biến cố xung khắc. Tương tự, ta có thể định nghĩa giao của nhiều biến cố. Ví dụ 1.5 Gieo một đồng xu hai lần. Không gian mẫu là  = {SS, SN, NS, NN}. Đặt A = {SS, SN, NS}, B = {NN}, C = {SN, NS, NN}. a) Biến cố nào kéo theo biến cố nào? Biến cố nào tương đương với biến cố “có ít nhất một lần xuất hiện mặt ngửa”? b) Tìm biến cố đối của B? c) Hãy phát biểu bằng lời biến cố giao của A và B. Hai biến cố A và B có xung khắc? d) Xác định biến cố A B. Giải a) Vì B C nên B kéo theo C. b) Do  \B = A nên biến cố B’ = A. c) A B ={SN, NS} = “một lần xấp và một lần ngửa xuất hiện”. Vì A B ≠  nên A và B không xung khắc. d) A B =  . Nhận xét + Biến cố A kéo theo biến cố B tức là A xảy ra thì B xảy ra. + A = B tức là A xảy ra khi và chỉ khi B xảy ra. + A’ là biến cố đối của A khi mà thực hiện phép thử thì chắc chắn là A hoặc A’ xảy ra nhưng không thể xảy ra đồng thời. + A B là biến cố xảy ra khi và chỉ khi A hoặc B xảy ra. + A B là biến cố xảy ra khi và chỉ khi cả A và B đều xảy ra. Ví dụ 1.6 Ba xạ thủ A, B, C bắn mỗi người một viên đạn vào một mục tiêu. Gọi A, B, C lần lượt là các biến cố “ xạ thủ A bắn trúng”, “xạ thủ B bắn trúng”, “xạ thủ C bắn trúng”. i) Hãy mô tả bằng lời các biến cố sau ABC, A’B’C’, A BC. ii) Xét các biến cố sau D = “ Có ít nhất hai xạ thủ bắn trúng” E = “Có nhiều nhất một xạ thủ bắn trúng” F = “Chỉ có một xạ thủ bắn trúng” G = “chỉ có xạ thủ C bắn trúng”. Hãy biểu diễn các biến cố này theo các biến cố A, B, C. 8 | P a g e Giải i) ABC là biến cố “cả ba xạ thủ đều bắn trúng”. A’B’C’ là biến cố “cả ba xạ thủ đều bắn trượt”. A BC là biến cố “có ít nhất một xạ thủ bắn trúng” ii) D = AB BC CA. E = A’B’ B’C’C’A’ F = AB’C’ A’BC’ A’B’C G=A’B’C. Từ các định nghĩa trên ta được các phép biến cố có những tích chất (tương ứng với tính chất của các phép toán tập hợp) như sau: a) Giao hoán A  B = B A; AB=BA. b) Kết hợp A  B C = (A  B) C = A  (B C ) ABC = (AB)C = A(BC). c) Phân phối A(B C) = AB AC A (BC) = (A B)(AC). d) Công thức De Morgan (A B)’ = A’ B’ (A B)’=A’ B’. Ngoài ra (A’)’ = A A A’=S AA’ = . I.3 Định nghĩa xác suất của một biến cố Theo những tài liệu lịch sử thì có lẽ sự thèm khát khôn nguôi của con người đối với các trò cờ bạc đã dẫn đến sự ra đời và phát triển của lý thuyết xác suất. Nhằm làm tăng các chiến thắng, các con bạc đã nhờ các nhà toán học cung cấp chiến lược tốt nhất cho các trò chơi may rủi khác nhau. Một số nhà toán học đã cung cấp các chiến lược là Pascal, Leibniz, Fermat, và James Bernuolli, những nhà toán học này được coi là những người khai sinh ra lý thuyết xác suất. Sự phát triển của lý thuyết xác suất ở thời kỳ đầu cùng với những suy diễn thống kê, các dự đoán và sự khái quát hoá của nó đã vượt ra khỏi những trò chơi may rủi để bao hàm nhiều lĩnh vực khác có liên quan đến những sự xuất hiện ngẫu nhiên như chính trị, kinh doanh, dự báo thời tiết, và nghiên cứu khoa học. Như vậy, để đưa ra những dự đoán và suy diễn thống kê có cơ sở ta cần phải có hiểu biết cơ bản về lý thuyết xác suất. Trong đời sống hàng ngày, ta có thể gặp những khẳng định như: “Tôi có 90% cơ hội thi qua môn xác suất và thông kê” hoặc “Cơ hội chiến thắng chia đều cho hai đội” hoặc “Đội tuyển bóng đá Việt Nam có rất ít cơ hội giành chiến thắng trước đội tuyển Brazil”…Trong mỗi trường hợp, ta đều thấy đề cập đến một biến cố mà ta không chắc chắn có xảy ra hay không, nhưng bằng những thông tin từ quá khứ hoặc những hiểu biết về phép thử mà ta có mức độ tin tưởng nào đó vào khả năng đúng đắn của các khẳng định. Có những biến cố thường xuyên xảy ra, cũng có những biến cố ít xảy ra,…Như vậy, vấn đề đặt ra là phải đo lường mức độ xảy ra của các biến cố. Con số để đo lường mức độ xảy ra của một biến cố được gọi là xác suất của nó. 9 | P a g e Dựa vào đặc điểm của không gian mẫu mà người ta đưa ra định nghĩa xác suất của biến cố cho phù hợp.  Không gian mẫu gồm đếm được các điểm mẫu Giả sử không gian mẫu của một phép thử là S = {s1, s2, s3,…}. Từ đặc điểm của phép thử, ta gán cho mỗi điểm mẫu si số thực pi với điều kiện pi [0; 1] và tổng các pi bằng 1, gọi pi là xác suất của si. Tổng xác suất của các điểm mẫu trong A được gọi là xác suất của A (the probability of A), ký hiệu P(A). Định nghĩa Cho phép thử với không gian mẫu S mà mỗi điểm mẫu đã được gán xác suất và A là một biến cố của phép thử. Ta gọi tổng xác suất của các điểm mẫu trong A là xác suất của A. Như vậy 0 ≤ P(A) ≤ 1 P(S) = 1 và P() = 0. Ví dụ 1.7 Một con xúc xắc được đổ chì sao cho khả năng xuất hiện mặt chẵn chấm gấp đôi khả năng xuất hiện mặt lẻ chấm. Gieo con xúc xắc đó một lần. Đặt A = “số chấm xuất hiện nhỏ hơn 4” B = “số chấm xuất hiện là chẵn” C = “số chấm xuất hiện chia hết cho 3”. a) Tính xác suất của biến cố A? b) Tính P(A+B), P(AC)? Giải Không gian mẫu là S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6}. Ta gán cho mỗi mặt lẻ chấm một xác suất là p, theo giả thiết thì mỗi mặt chẵn chấm phải được gán cho xác suất là 2p và ta phải có: 3p + 3(2p) = 1 hay p = 1/9. a) Do A = {1, 2, 3} nên P(A) = 1 2 1 4 9 9 9 9    . b) Do B = {2, 4, 6} nên A + B = {1, 2, 3, 4, 6}, từ đó P(A + B) = 1 2 1 2 2 8 9 9 9 9 9 9      . Vì C = {3, 6} nên AC ={3}, từ đó P(AC) = 1/9. Ví dụ 1.8 Gieo một đồng xu cân đối hai lần. Tính xác suất để ít nhất một lần mặt ngửa xuất hiện? Giải Không gian mẫu của phép thử là  = {SS, SN, NS, NN}. Do đồng xu là cân đối nên mỗi điểm mẫu trong không gian có khả năng xuất hiện là như nhau, ta gán cho mỗi điểm mẫu một xác suất là p và phải thoả mãn 4p = 1 hay p = 1/4. Khi đó, A = “ít nhất một lần mặt ngửa xuất hiện” = {SN, NS, NN} và P(A) = 1 1 1 3 4 4 4 4    . 10 | P a g e Ta thường gặp trường hợp không gian biến cố sơ cấp có hữu hạn phần tử và đặc điểm của phép thử yêu cầu ta phải gán cho mỗi điểm mẫu một xác suất bằng nhau. Từ định nghĩa trên suy ra Nếu một phép thử có N biến cố sơ cấp đồng khả năng và có đúng n biến cố sơ cấp trong biến cố A, thì P(A) = n N Như vậy, để tính được biến cố A, trong trường hợp trên ta chỉ việc: + Đếm số biến cố sơ cấp của phép thử. + Đếm số biến cố sơ cấp nằm trong A, mỗi biến cố sơ cấp(b.c.s.c) nằm trong A còn được gọi là b.c.s.c thuận lợi cho A. Ví dụ 1.9 Một đống kẹo trộn lẫn 6 chiếc bạc hà, 4 chiếc kẹo bơ, và 3 chiếc chocolate. Nếu một người chọn ngẫu nhiên một trong những chiếc kẹo này, hãy tìm xác suất để được (a) một chiếc bạc hà; b)một chiếc kẹo bơ hoặc một chocolate. Giải Đặt M, T và C biểu thị các biến cố chọn được,tương ứng, một chiếc bạc hà, kẹo bơ, hoặc chocolate. Tổng số kẹo bằng 13 và đều đồng khả năng được chọn. (a) Do 6 trong 13 chiếc là bạc hà, suy ra P(M) = 13 6 . (b) Do 7 trong 13 chiếc kẹo là bơ hoặc chocolate, suy ra P(TC) = 13 7 .  Việc đếm số lượng điểm mẫu đôi khi ta phải dùng “mẹo” , đó là dùng quy tắc cộng, quy tắc nhân, hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp ta đã được học trong chương trình phổ thông. Xin xem thêm phần nhắc lại và bổ xung về phép đếm ở cuối Mục này. Ví dụ 1.10 Rút ngẫu nhiên 5 cây bài từ bộ bài 52 quân, hãy tìm xác suất để được 2 cây Át và 3 cây J. Giải Số cách lấy 2 cây từ 4 cây Át là       2 4 = !2!2 !4 = 6 và số cách lấy 3 cây từ 4 cây J là       3 4 = !1!3 !4 = 4. Theo quy tắc nhân, có n = (6)(4) = 24 kết quả có 2 Át và 3 J. Tổng số trường hợp rút được 5 cây bài, mà tất cả đều đồng khả năng, là N =       5 52 = !47!5 !52 = 2598960. Do đó, xác suất của biến cố C = “rút được 2 Át và 3 J” P(C) = 2598960 24 = 0.910-5.  Lưu ý về ký hiệu:       3 4 trùng với ký hiệu 34C . 11 | P a g e  Nếu không gian mẫu gồm vô hạn không đếm được các phần tử, các phần tử đồng khả năng xuất hiện và có thể biểu diễn hình học không gian mẫu bởi miền S còn biến cố A được biểu diễn bởi miền D nằm trong S, thì tỉ số giữa số đo miền hình học D và S được gọi là xác suất của A. P(A) = sd miê`n sd miê`n D S Ở đây, sd miền hình học hiểu là độ dài hoặc diện tích hoặc thể tích, tuỳ thuộc việc S được biểu diễn bởi đoạn thằng, miền trên mặt phẳng hay hình khối trong không gian.  Nếu không gian mẫu không thuộc hai loại trên, thì ta thực hiện phép thử n lần và gọi k là số lần biến cố A xuất hiện. Tỉ số k/n được gọi là tần suất của A. Số phép thử tăng dần mà tần suất của A dần đến số cố định p0 thì ta gọi p0 là xác suất của A. Đây là phương thức xác định xác suất được sử dụng rộng rãi và dùng nhiều trong khoa học kĩ thuật, y học, xã hội học… Một số thí nghiệm nổi tiếng về gieo một đồng xu nhiều lần Người làm thí nghiệm Số lần gieo Số lần xuất hiện mặt sấp Tần suất Buffon 4040 2048 0.5080 Pearson 12 000 6010 0.5016 Pearson 24 000 12012 0.5005 Còn để xác định xác suất thắng trong một ván tennis, chúng ta phải dựa vào các trận đấu trước đó cũng như khả năng của đối thủ và một yếu tố nào đó là niềm tin của chính mình. Tương tự, để tìm xác suất để một vận động viên về nhất trong cuộc đua marathon, chúng ta phải dựa vào các thành tích trước đây của những vận động viên cùng tranh tài, thành tích đã đạt được trong luyện tập,…Sử dụng trực giác, niềm tin của con người và các thông tin gián tiếp khác để gán xác suất cho các biến cố là định nghĩa chủ quan của xác suất. Trong phần còn lại của chương này chủ yếu ta đề cập đến không gian mẫu gồm hữu hạn phần tử. Nhắc lại và bổ xung về phép đếm Nguyên lý cơ bản của phép đếm dựa vào quy tắc nhân, được phát biểu như sau: Nếu một hành động có thể thực hiện theo n1 cách, và nếu đối với mỗi cách này hành động thứ hai có thể thực hiện theo n2 cách, thì hai hành động này có thể thực hiện đồng thời theo n1n2 cách. Ví dụ Có bao nhiêu điểm mẫu trong không gian mẫu khi một cặp xúc xắc được gieo đồng thời? Giải Con xúc xắc thứ nhất có thể rơi bất kỳ theo một trong n1 = 6 cách. Đối với mỗi cách này con xúc xắc thứ hai cũng có thể rơi theo n2 = 6 cách. Do đó cặp xúc xắc có thể rơi theo n1n2 = (6)(6) = 36 cách.  12 | P a g e Quy tắc nhân ở trên có thể mở rộng đến một số bất kỳ các hành động. Quy tắc nhân tổng quát có k hành động được khẳng định như sau: Nếu một hành động có thể thực hiện theo n1 cách, và nếu đối với mỗi cách này một hành động thứ hai có thể thực hiện theo n2 cách, và cứ với một cặp hành động một và hành động hai hành động ba có thể thực hiện theo n3 cách, vân vân, thì dãy k hành động có thể thực hiện theo n1n2 ... nk cách. Ví dụ Có bao nhiêu cách lựa chọn bữa ăn gồm có xúp, sandwich, món tráng miệng, và một đồ uống từ 4 món xúp, 3 kiểu sandwich, 5 món tráng miệng, và 4 đồ uống? Giải Do n1 = 4, n2 = 3, n3 = 5 và n4 = 4, có n1n2n3n4 = 4  3  5  4 = 240 cách khác nhau để chọn bữa ăn.  Ví dụ Có bao nhiêu số chẵn có ba chữ số có thể tạo thành từ các chữ số 1, 2, 5, 6 và 9 nếu mỗi chữ số có thể được sử dụng duy nhất một lần? Giải Do số phải là chẵn, ta chỉ có n1 = 2 cách chọn cho hàng đơn vị. Đối với mỗi cách chọn này ta có n2 = 4 cách chọn cho hàng trăm và cuối cùng là n3 = 3 cách chọn cho hàng chục. Do đó, ta có thể tạo ra tổng cộng là n1n2n3 = (2)(4)(3) = 24 số chẵn có ba chữ số.  Ta thường quan tâm đến không gian mẫu mà các phần tử là tất cả những cách sắp thứ tự hoặc sắp xếp có thể của một nhóm đối tượng. Chẳng hạn, có thể ta muốn biết có bao nhiêu sắp xếp khác nhau cho 6 người ngồi quanh một cái bàn, hoặc có thể ta muốn tìm có bao nhiêu cách rút khác nhau về thứ tự để lấy ra 2 trong 20 vé số. Những sắp xếp khác nhau được gọi là các hoán vị. Định nghĩa Một hoán vị là một sắp xếp của toàn bộ hoặc một bộ phận của một tập phần tử. Xét ba chữ cái a, b, và c. Những hoán vị có thể là abc, acb, bac, bca, cab và cba. Như vậy, ta thấy rằng có 6 sắp xếp khác nhau. Sử dụng Định lý 2.2 ta có thể trả lời là 6 mà không cần liệt kê ra các cách sắp thứ tự khác nhau. Có n1 = 3 cách chọn cho vị trí thứ nhất, tiếp theo có n2 = 2 cách chọn cho vị trí thứ hai, rốt cuộc có đúng n3 = 1 cách chọn cho vị trí cuối cùng, cho tổng cộng gồm n1n2n3 = (3)(2)(1) = 6 hoán vị. Nói chung, n đối tượng phân biệt có thể sắp xếp theo n(n - 1)(n - 2)  (3)(2)(1) cách. Ta ký hiệu tích này là n!, mà được đọc là "n giai thừa." Ba đối tượng có thể sắp xếp theo 3! = (3)(2)(1) = 6 cách. Theo định nghĩa, 1! = 1 và 0! = 1. Số những hoán vị của n phần tử phân biệt là n! 13 | P a g e Số các hoán vị của bốn chữ cái a, b, c, và d sẽ bằng 24. Bây giờ chúng ta xét số hoán vị có thể khi lấy liên tiếp hai trong 4 chữ cái. Đấy là ab, ac, ad, ba, ca, da, bc, cb, bd, db, cd, dc. Lại dùng Định lý 2.1, ta có hai vị trí để chọn, với n1 = 4 cách chọn cho vị trí một rồi n2 = 3 cách chọn cho vị trí hai nên tổng cộng có n1n2 = (4)(3) = 12 hoán vị. Nói chung, n đối tượng phân biệt được lấy r lần liên tiếp có thể sắp xếp theo n(n - 1)(n - 2)  (n - r + 1) cách. Ta ký hiệu tích này là nPr = )!( ! rn n  hoặc rnA . Vậy là ta có Số những hoán vị của n phần tử phân biệt được lấy r lần liên tiếp là nPr = )!( ! rn n  . Ví dụ Hai vé số được rút từ 20 vé dành cho giải nhất và nhì. Hãy tìm số điểm mẫu trong không gian S. Giải Tổng số điểm mẫu là 20P2 = !18 !20 = (20)(19) = 380.  Ví dụ Một đề tài nhánh của Hội Hóa học Mỹ có bao nhiêu cách bố trí 3 báo cáo viên cho 3 cuộc họp khác nhau nếu họ đều có thể thu xếp được bất kỳ một trong 5 ngày? Giải Tổng số cách bố trí bằng 5P3 = !2 !5 = (5)(4)(3) = 60.  Những hoán vị xuất hiện khi sắp xếp các phần tử theo một vòng tròn được gọi là những hoán vị vòng quanh. Hai hoán vị vòng quanh không được coi là khác nhau trừ khi các phần tử tương ứng trong hai cách sắp xếp là đứng trước hoặc đứng sau một phần tử khác khi chúng ta chuyển động theo chiều kim đồng hồ. Ví dụ như khi 4 người chơi bài, họ không có một hoán vị mới nếu tất cả dịch chuyển đi một vị trí theo chiều kim đồng hồ. Bằng cách cố định một người tại một vị trí cố định và sắp xếp ba người kia theo 3! cách, ta tìm được 6 sắp xếp khác nhau đối với trò chơi. Ta có Số những hoán vị của n phần tử phân biệt được sắp xếp theo một vòng tròn là (n-1)!. Cho đến bây giờ ta đã xét hoán vị của những phần tử phân biệt. Nghĩa là, tất cả các phần tử là khác nhau hoàn toàn hoặc có thể phân biệt được. Rõ ràng, nếu những chữ cái b và c đều bằng x, thì 6 hoán vị của những chữ cái a, b, c trở thành axx, axx, xax, xax, xxa, và xxa, mà chỉ có 3 hoán vị là phân biệt. Do đó với 3 chữ cái, 2 là giống nhau, ta có 3!/2! = 3 hoán vị khác nhau. Với 4 chữ cái khác nhau a, b, c, và 14 | P a g e d ta có 24! hoán vị phân biệt. Nếu ta cho a = b = x và c = d = y, ta chỉ có liệt kê sau đây: xxyy, xyxy, yxxy, yyxx, xyyx, và yxyx. Như vậy ta có 4!/(2!2!) = 6 hoán vị phân biệt. Số những hoán vị phân biệt của n phần tử mà trong đó n1 phần tử thuộc một kiểu, n2 phần tử thuộc kiểu thứ hai, ... , nk phần tử thuộc kiểu thứ k là !!! ! 21 knnn n  . Ví dụ Có bao nhiêu cách sắp khác nhau để tạo thành một xâu đèn của cây thông Noel có 3 bóng đèn đỏ, 4 bóng đèn vàng, và 2 bóng đèn xanh với 9 ổ cắm? Giải Tổng số sắp xếp phân biệt là !2!4!3 !9 = 1260.  Ta thường quan tâm đến số cách phân hoạch một tập gồm n phần tử thành r tập con được gọi là các ngăn. Một phân hoạch được hoàn thành khi giao của mọi cặp trong r tập con là tập rỗng  và hợp của tất cả những tập con là tập ban đầu. Thứ tự của các phần tử bên trong một ngăn là không quan trọng. Xét tập {a, e, i, o, u}. Tất cả những phân hoạch có hai ngăn mà ngăn đầu chứa 4 phần tử và ngăn thứ hai chứa 1 phần tử là {(a, e, i, o), (u)}, {(a, i, o, u), (e)},{(e, i, o, u), (a)},{(a, e, o, u), (i)}, {(a, e, i, u), (o)}. Ta thấy rằng có 5 con đường như vậy để phân hoạch một tập gồm 5 phần tử thành hai tập con hay ngăn chứa 4 phần tử trong ngăn đầu và 1 phần tử trong ngăn thứ hai. Số những phân hoạch đối với ví dụ minh họa này được ký hiệu bởi       1,4 5 = !1!4 !5 = 5, Một cách tổng quát Số cách phân hoạch một tập gồm n phần tử thành r ngăn mà có n1 phần tử trong ngăn thứ nhất, n2 phần tử trong ngăn thứ hai,..., là       rnnn n ,...,, 21 = !!! ! 21 knnn n  , trong đó n1 + n2 +  + nr = n. Ví dụ Có bao nhiêu cách phân cho 7 nhà khoa học vào 1 buồng ba và hai buồng đôi của một khách sạn? Giải Tổng số phân hoạch có thể có là       2,2,3 7 = !2!2!3 !7 = 210.  15 | P a g e Trong nhiều bài toán ta quan tâm đến số cách chọn r phần tử từ n phần tử mà không quan tâm đến thứ tự. Những phép chọn này được gọi là các tổ hợp. Một tổ hợp thực chất là một phân hoạch có hai ngăn, một ngăn chứa r đối tượng được chọn còn ngăn kia chứa (n - r) đối tượng còn lại. Số những tổ hợp như vậy, được ký hiệu bởi        rnr n , hay thường được ký hiệu vắn tắt là       r n hoặc rnC , do số phần tử trong ngăn thứ hai là n - r. Số các tổ hợp của n phần tử phân biệt được tạo ra khi lấy r phần tử cùng một lúc là       r n = )!(! ! rnr n  . Ví dụ Hãy tìm số ủy ban gồm 2 nhà hóa học và 1 nhà vật lí mà có thể tạo được từ 4 nhà hóa học và 3 nhà vật lý. Giải Số cách chọn 2 trong 4 nhà hóa học là       2 4 = !2!2 !4 = 6. Số cách chọn 1 trong 3 nhà vật lí là       1 3 = !2!1 !3 = 3. Sử dụng quy tắc nhân của Định lý 1.1 với n1 = 6 và n2 = 3, ta có thể tạo được n1n2 = (6)(3) = 18 ủy ban với 2 nhà hóa học và 1 nhà vật lí.  I.4 Quy tắc cộng xác suất Với hai biến cố A, B của cùng một phép thử, ta có biến cố A + B. Vấn đề đặt ra là P(A + B) có thể biểu diễn qua P(A) và P(B) hay không? Nếu giải quyết được vấn đề này, thì việc tính xác suất của một biến cố có thể được giải quyết bằng cách biểu thị biến cố đó thành tổng của các biến cố với xác suất dễ tính toán hơn. Mục này tập trung vào trình bày những kết quả có liên quan đến vấn đề này. Trước tiên, hãy quan sát Biểu đồ Veen sau Biểu đồ trên mô tả hai biến cố xung khắc, xác suất của A + B bằng tổng xác suất của các điểm mẫu trong A và các điểm mẫu trong B do hai biến cố không có điểm mẫu chung nên P(A + B) = P(A) +P(B). 16 | P a g e Biểu đồ sau đây mô tả hai biến cố không xung khắc Trong trường hợp này, nếu tính tổng xác suất tại các điểm mẫu nằm trong A , tổng các điểm mẫu trong B rồi cộng lại thì các điểm mẫu nằm trong AB sẽ được tính hai lần nên P(A+B) = P(A) + P(B) – P(AB). Tóm lại ta được Quy tắc cộng Nếu A và B là hai biến cố bất kỳ của cùng một phép thử, thì P(A+B) = P(A) + P(B) – P(AB). Hệ quả  Nếu A, B, C là ba biến cố bất kỳ của cùng một phép thử, thì P(A + B + C) = P(A) + P(B) + P(C) – P(AB) - P(BC) - P(CA) + P(ABC). Tương tự, bằng quy nạp ta đưa ra công thức cho xác suất của tổng n biến cố, với n là số tự nhiên lớn hơn 3.  P(A) + P(A’) = 1.  Nếu A1, A2, …, An là các biến cố đôi một xung khắc thì P(A1 + A2 +  + An ) = P(A1 ) + P( A2 ) +  + P( An ).  Nếu A1, A2, …, An là các biến cố đôi một xung khắc và tổng bằng S(thường gọi là một phân hoạch của S), thì P(A1 ) +P( A2 ) +  + P( An ) = 1. Trên đây là những công thức quan trọng của xác suất tổng các biến cố. Ta thấy, chỉ khi các biến cố xung khắc thì xác suất của tổng các biến cố bằng tổng các xác suất còn nói chung thì chỉ có thể biểu diễn qua tổng các xác suất và xác suất tích các biến cố. Đặc biệt, việc tính xác suất của một biến cố có thể chuyển qua tính xác suất của biến cố đối. Ví dụ 1.11 Một lớp học có 100 sinh viên, trong đó có 54 sinh viên học toán, 69 sinh viên học lịch sử và 35 sinh viên học cả lịch sử và toán. Chọn ngẫu nhiên một sinh viên. Tính xác suất để: a) Sinh viên đó học cả toán và lịch sử. b) Sinh viên đó không học môn toán và không học lịch sử. Giải 17 | P a g e Phép thử này có không gian mẫu gồm 100 b.c.s.c đồng khả năng. a) Đặt A = “sinh viên được chọn, học cả toán và lịch sử”. Khi đó số biến cố sơ cấp kéo theo A là 35. Nên P(A) = 35 7 100 20  . b) Đặt B = “sinh viên được chọn không học môn toán và không học môn lịch sử”. E = “sinh viên được chọn, học toán” F = “sinh viên được chọn, học lịch sử” Ta có B’ = “sinh viên được chọn, học ít nhất một môn” = E + F; EF = A. Nên P(B) = 1 – P(B’ ) = 1 – (P(E) + P(F) – P(EF)) = 1 - ( 54 69 35 100 100 100   ) = 88 121 100 100   = 3 25 . Trong một vùng dân cư tỉ lệ người mắc bệnh tim là 9%, mắc huyết áp là 12% và cả hai bệnh là 7%. Chọn ngẫu nhiên một người trong vùng đó. Tính xác suất để người đó không mắc cả hai bệnh nói trên? Ví dụ 1.12 Cho A, B, C là các biến cố sao cho P(A) = 0.5 P(B) = 0.7 P(C) = 0.6 P(AB) = 0.3 P(BC) = 0.4 P(CA) = 0.2 và P(ABC) = 0.1. a) Tính xác suất để cả ba biến cố đều không xảy ra; b) Tính xác suất để có đúng hai biến cố trong ba biến cố xảy ra; c) Tính xác suất để có đúng một trong ba biến cố xảy ra. Giải a) Đặt K = “Cả ba biến cố đều không xảy ra”. Ta có K = A’B’C’ = (A + B + C)’ nên P(K) = 1 – P(A + B + C). P(A + B + C) = 0.5 + 0.7 + 0.6 - 0.3 -0.4 - 0.2 + 0.1 = 1. Suy ra P(K) = 0. b) Đặt L = “Đúng hai biến cố trong ba biến cố xảy ra”. Ta có L = ABC’ + AB’C + A’BC , mặt khác ABC’, AB’C , A’BC là các biến cố đôi một xung khắc. Nên P(L) = P( ABC’) + P(AB’C) + P( A’BC) . Do ABC + ABC’ = AB suy ra P(ABC’) = 0.3 – 0.1 = 0.2. Tương tự P(AB’C) = 0.1 P( A’BC) =0.3. Như vậy P(L) = 0.6. c) Đặt M = “Chỉ có đúng một trong ba biến cố xảy ra”. Ta có K, M, L, ABC là một phân hoạch của S. Nên P(M) = 1 – (0 + 0.6 + 0.1) = 0.3. Những ý chính trong bài giảng tuần 1  Khái niệm phép thử, không gian mẫu và biến cố. Mối quan hệ giữa các biến cố và phép toán biến cố.  Định nghĩa xác suất của một biến cố.  Quy tắc cộng xác suất P(A+B) = P(A) + P(B) – P(AB). 18 | P a g e Bài tập tuần 1và đáp số * Bài tập: 2.1 Không gian mẫu, 2.2 Biến cố 1.1 (1.t25) 1.2 (4.t26) 1.3 (6.t26) 1.4 (17.t28) * Bài tập: 2.3 Đếm các điểm mẫu 1.5 (5.t35) (ĐS: 20) 1.6 (6.t35) (ĐS: (a) 21, (b) 15 1.7 (9.t35) (ĐS: 210) * Bài tập: 2.4 Xác suất của một biến cố 1.8 (3.t43) (ĐS: 0,85) 1.9 (11.t44) (ĐS: 65/663) 1.10 (9.t44) (ĐS:10/117) 1.11 (10.t44) (ĐS: (a) 5/36 (b) 10/36) 1.12 (12.t44) (ĐS: (a) 1/3 (b) 5/42). * Bài tập: 2.5 Quy tắc cộng 1.13 (5.t43) (ĐS: (a) 0,3 (b) 0,2) 1.14 (6.t43) (ĐS: (a) 0,75 (b) 0,25). 1.15 (8.t43) (ĐS: (a) 0,22 (b) 0,8) 1.16 (15.t44) (ĐS: (a) 0,35 (b)0,65 (c) 0,12.