Bài giảng Toán 2 - Chương 1: Số phức - Trường Đại học Bách khoa Hà Nội

Toán 2 Chương 1: SỐ PHỨC Slide 1 TOÁN 2 Đại học Quốc gia TP.HCM TRƢỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA Khoa: Khoa Học Ứng Dụng Bộ môn: Toán Ứng Dụng CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Toán 2 Chương 1: SỐ PHỨC Slide 2 CHƢƠNG 1: SỐ PHỨC CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Toán 2 Chương 1: SỐ PHỨC Slide 3 i : được gọi là đơn vị ảo với b : được gọi là phần ảo của số phức z , ký hiệu là Ở đây : a : được gọi là phần thực của số phức z , ký hiệu là 1. DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC: 1. Dạng đại số của số phức: a/ Định nghĩa: Dạng đại số của số phức là: i baz zRe zIm 1 2 i CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Toán 2 Chương 1: SỐ PHỨC Slide 4 Ở đây : Trục Ox : được gọi là trục thực Trục Oy : được gọi là trục ảo Khoảng cách từ gốc toạ độ O tới z được gọi là môđun của số phức z và ký hiệu là hoặc 1. DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC: Tập hợp số phức ta ký hiệu là C hay còn gọi là mặt phẳng phức. z zmod x y a b O z Mỗi số phức được biểu diễn bởi một điểm trên mặt phẳng phức. CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Toán 2 Chương 1: SỐ PHỨC Slide 5 được gọi là số phức liên hợp của z 1. DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC: 222 111 i baz i baz 21 zz i baz 212121 bbi aazz 221121 i ba i bazz x x 12212121 ba bai bb aa 21 21 bb aa b/ Các phép toán: Cho hai số phức CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Toán 2 Chương 1: SỐ PHỨC Slide 6 Ở đây : Ta nhân tương tự như trong trường hợp số phức với chú ý Dễ nhận thấy thì và 1. DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC: 1 2 i i baz 22 . bazz biabia bia biaz 1 1 2222 ba b i ba a CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Toán 2 Chương 1: SỐ PHỨC Slide 7 ( ĐK: ) 1. DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC: 0 2 z 2 2 2 2 2112 2 2 2 2 2121 ba ba ba i ba bb aa 2211 2211 22 11 2 1 i ba i ba i ba i ba i ba i ba z z CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Toán 2 Chương 1: SỐ PHỨC Slide 8 1. DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC: Từ định nghĩa của các phép toán, ta dễ dàng chứng minh các công thức sau: z a i ba i bazz Re22 z i i b i ba i bazz Im22 2121 zz zz 2121 zz zz 2121 zz . zz . 2 1 2 1 z z z z CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Toán 2 Chương 1: SỐ PHỨC Slide 9 1. DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC: i i z 1 31 Nhân tử và mẫu cho số phức liên hợp ta đượci1 i i ii ii z 1 2 24 1 1 1 31 VD1: Biểu diễn số phức sau dưới dạng đại số CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Toán 2 Chương 1: SỐ PHỨC Slide 10 là 1 nghiệm của phương trình nên ta phân tích được Giải: a/ Dễ dàng tính được VD2: Cho a/ Tính b/ Giải phương trình 1. DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC: if iiizzf 2z 2z 2 23 0zf 0if iz 022z 2 zizzf b/ CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Toán 2 Chương 1: SỐ PHỨC Slide 11 Kết luận : Phương trình có 3 nghiệm là , Nhận xét : Phương trình có 2 nghiệm là ở đây 1. DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC: 2 1 ' i 022 2 zz i1 0zf iz iz 1 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Toán 2 Chương 1: SỐ PHỨC Slide 12 2. Dạng lƣợng giác của số phức: a/ Định nghĩa: Cho số phức , và là góc hợp giữa hướng dương của trục thực với bán kính vectơ của điểm . Gọi là khoảng cách từ gốc toạ độ O tới Khi đó ta có : 2. DẠNG LƢỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC: i baz 0z r z z sincos i r i baz x y a b O z r CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Toán 2 Chương 1: SỐ PHỨC Slide 13 Chú ý : chọn sao cho và cùng dấu Ta có : Ở đây : chính là mođun của số phức được gọi là acgumen của số phức , ký hiệu Biểu thức được gọi là dạng lượng giác của số phức 2. DẠNG LƢỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC: z sin cos irz 22 ba zr z arg z z b sin a b tg a b arctg CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Toán 2 Chương 1: SỐ PHỨC Slide 14 2. DẠNG LƢỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC: iz 1 211 22 r z 1 1 1 tg VD : Số phức 4 hoặc 4 5 Ta chọn 4 5 Vậy 4 5 sin 4 5 cos 21 iiz Ta có: CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Toán 2 Chương 1: SỐ PHỨC Slide 15 2. DẠNG LƢỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC: 2222 1111 sin cos sin cos irz irz Z , k πk rr zz 2 21 21 21 21212121 sincos i rrz z .x 2121 2 1 2 1 sincos i r r z z 0 2 z b/ Các phép toán: Cho hai số phức , CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Toán 2 Chương 1: SỐ PHỨC Slide 16 Từ các phép toán này ta có thể chứng minh được các công thức sau: 2. DẠNG LƢỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC: k ikr ir kk sincossincos Zk sincos ie i Công thức (1) được gọi là công thức Moivre ( 1 ) ( 2 ) Công thức (2) được gọi là công thức Euler CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Toán 2 Chương 1: SỐ PHỨC Slide 17 Vậy số phức Biểu thức được gọi là dạng mũ của số phức z 2. DẠNG LƢỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC: i r ei r z sincos i r ez 8 1 i 4 sin 4 cos21 π i π i 448 22sin2cos21 πi πi VD : Tính Ta có : CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Toán 2 Chương 1: SỐ PHỨC Slide 18 3. Khai căn của số phức: Ta giải phương trình với 3. KHAI CĂN CỦA SỐ PHỨC: n z Cα Cz sincos i rα θi θρ z sincos sincossincos i r n θi n θ ρz nn πkn θ rρ n 2 Z , k n πk θ rρ n 2 Giả sử Ta đặt Khi đó ta có CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Toán 2 Chương 1: SỐ PHỨC Slide 19 Vậy phương trình có đúng n nghiệm cho bởi công thức (*) với và chúng được gọi là các căn bậc n của số phức ở đây là ta có đủ nghiệm của phương trình. Vậy nghiệm của phương trình là 3. KHAI CĂN CỦA SỐ PHỨC: n z 110 , ... , n,k n πk i n πk rz n k 2 sin 2 cos n z 110 , ... , n, k ( ) CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Toán 2 Chương 1: SỐ PHỨC Slide 20 Vậy là VD: Tìm 3. KHAI CĂN CỦA SỐ PHỨC: 3 1 0sin0cos1 i 3 2 sin 3 2 cos0sin0cos1 3 πk i πk i 210 , , k i π i π ε i π i π ε i ε 2 3 2 1 3 4 sin 3 4 cos 2 3 2 1 3 2 sin 3 2 cos 10sin0cos 2 1 0 Ta có : vậy 3 1 với CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Toán 2 Chương 1: SỐ PHỨC Slide 21 VD: Phương trình bậc 5 có đúng 5 nghiệm là (nghiệm bội 3) và 4. Định lý cơ bản của đại số: a/ Định lý: Phương trình bậc n, 4. ĐỊNH LÝ CƠ BẢN CỦA ĐẠI SỐ: Zn 00 01 1 1 n n n n n a ax a ... x a xa 1x ix 011 23 x.x có đúng n nghiệm kể cả nghiệm thực, nghiệm phức và nghiệm bội của nó. CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Toán 2 Chương 1: SỐ PHỨC Slide 22 b/ Định lý 2: Cho phương trình bậc n với hệ số thực Nếu là nghiệm của phương trình thì cũng là nghiệm của phương trình này. 4. ĐỊNH LÝ CƠ BẢN CỦA ĐẠI SỐ: αx 0 210 n i a , n , . . . , , i , a 0 01 1 1 ax a ... x a xaxf n n n n ở đây x CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Toán 2 Chương 1: SỐ PHỨC Slide 23 cũng là nghiệm của phương trình là nghiệm của phương trình vậy VD : Giải phương trình Biết phương trình này có 1 nghiệm là Ta có : Nhận xét : 4. ĐỊNH LÝ CƠ BẢN CỦA ĐẠI SỐ: 01014114 234 zzzz iz 1 1 iz 1 2 iz 1 1 22 11 2 21 zz iz izzz zz CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Toán 2 Chương 1: SỐ PHỨC Slide 24 52z 22z1014114 22234 zzzzzz 052z 2 z 2 4451' i i21 01014114 234 zzzz i z i z 21 1 3 1 vậy phương trình này có 2 nghiệm là Ta đi giải phương trình Chia đa thức ta được Kết luận : có 4 nghiệm là 4. ĐỊNH LÝ CƠ BẢN CỦA ĐẠI SỐ: Phương trình CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Toán 2 Chương 1: SỐ PHỨC Slide 25 PHẦN BÀI TẬP CHƢƠNG 1: SỐ PHỨC CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Toán 2 Chương 1: SỐ PHỨC Slide 26 BÀI 1: Viết số phức sau dưới dạng đại số BÀI 2: Viết số phức sau dưới dạng lượng giác b/ c/ a/ b/ a/ BÀI TẬP CHƢƠNG 1: SỐ PHỨC i i z 34 2 5 1 1 i i z 1z iz 22 i z 3 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Toán 2 Chương 1: SỐ PHỨC Slide 27 BÀI 4: Giải phương trình ( kết quả biểu diễn dưới dạng đại số) BÀI 3: Tính căn bậc 2 của số phức sau : a/ b/ c/ là 1 nghiệm của phương trình nàybiết 06431 2 i zi zi 0451857244 234 z z z z BÀI TẬP CHƢƠNG 1: SỐ PHỨC 2 168 i i z zz 2 63 i z CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Toán 2 Chương 1: SỐ PHỨC Slide 28 Cho số phức BÀI 5: BÀI 6: Tìm dạng lượng giác của số phức . Tính Cho số phức BÀI TẬP CHƢƠNG 1: SỐ PHỨC i i z 23 32 1998 z 3 π i ez 1z CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Toán 2 Chương 1: SỐ PHỨC Slide 29 PHẦN HƢỚNG DẪN VÀ KẾT QUẢ BÀI TẬP CHƢƠNG 1: SỐ PHỨC CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Toán 2 Chương 1: SỐ PHỨC Slide 30 HD: Trong dấu ngoặc nhân tử và mẫu với số phức liên hợp HD: Nhân tử và mẫu cho số phức liên hợp i 1 BÀI 1: a/ b/ ĐÁP ÁN BÀI TẬP CHƢƠNG 1: SỐ PHỨC i i i z 25 2 25 11 34 2 i i i i z 5 5 1 1 i 34 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Toán 2 Chương 1: SỐ PHỨC Slide 31 BÀI 2: HD: a/ Ta có . Chọn b/ HD: ĐÁP ÁN BÀI TẬP CHƢƠNG 1: SỐ PHỨC 01 , ba πi π z . sincos11 4 3 sin 4 3 cos2222 π i π iz 01 , tg r 22 , ba 122 , tgr 4 3 Ta có . Chọn CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Toán 2 Chương 1: SỐ PHỨC Slide 32 ĐÁP ÁN BÀI TẬP CHƢƠNG 1: SỐ PHỨC 6 7 sin 6 7 cos23 π i π i z 13 , ba 3 1 2 , tgr 6 7 c/ HD: Ta có Chọn CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Toán 2 Chương 1: SỐ PHỨC Slide 33 a/ ĐÁP ÁN BÀI TẬP CHƢƠNG 1: SỐ PHỨC 33 3 28 2 168 i i i i z 3 2 sin 2 cos2 π i π z 3 2 168 i i iε iε iε 3 2 3 2 1 0 có 3 giá trị là BÀI 3: HD: CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Toán 2 Chương 1: SỐ PHỨC Slide 34 HD: BÀI 4: Phương trình này có 4 nghiệm là ĐÁP ÁN BÀI TẬP CHƢƠNG 1: SỐ PHỨC i z , zz 2 3 2 1 10 i baz ... 2abb baa zz 22 2 Đặt a/ zz 2 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Toán 2 Chương 1: SỐ PHỨC Slide 35 ĐÁP ÁN BÀI TẬP CHƢƠNG 1: SỐ PHỨC 06431 2 i zi zi iz iz 32 1 ... i iΔ 2 71448 b/ Phương trình này có 2 nghiệm là HD: CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Toán 2 Chương 1: SỐ PHỨC Slide 36 ĐÁP ÁN BÀI TẬP CHƢƠNG 1: SỐ PHỨC 0451857244 234 z z z z 2 3 6 3 z iz 1566363 2 z z i z i z 34156451857244 22234 z zzzzzz Phương trình này có 4 nghiệm là c/ HD: CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Toán 2 Chương 1: SỐ PHỨC Slide 37 ĐÁP ÁN BÀI TẬP CHƢƠNG 1: SỐ PHỨC i i i i i 13 2332 23 32 1 23 32 1998 1998 i i z 1 2 499 419981998 i iiz . BÀI 5: HD: CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Toán 2 Chương 1: SỐ PHỨC Slide 38 ĐÁP ÁN BÀI TẬP CHƢƠNG 1: SỐ PHỨC i π i π ez π i 2 3 2 1 3 sin 3 cos3 6 sin 6 cos31 π i π z 3 π i ez 6 sin 6 cos3 2 1 2 3 3 2 3 2 3 1 π i π i i z BÀI 6: HD: Vậy CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt