Bài giảng Tính gần đúng đạo hàm và tích phân xác định

Chương 5 TÍNH GẦN ĐÚNG ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH I. Tính gần đúng các giá trị đạo hàm. 1. Áp dụng đa thức nội suy. Hàm f(x) được cho dưới dạng bảng; Biểu thức giải tích của hàm quá phức tạp; Thay f(x) bằng đa thức nội suy Pn(x). Coi P’n(x)là giá trị gần đúng của f’(x). ( 1 ) a/ Đa thức xấp xỉ trực tiếp: b. Đa thức nội suy Niutơn. Với công thức nội suy tiến: Với công thức nội suy lùi, có kết quả tương tự: Chú ý: Tính đạo hàm theo đa thức nội suy thường chứa sai số lớn. (xem hình vẽ). Nếu sai số của hàm là r(x) = f(x) – Pn(x) ε(x) = f’(x) – P’n(x) = r’(x). 2. Áp dụng định nghĩa của đạo hàm. Các bước tính: + Cho trước giá trị ban đầu h, tỷ lệ rút nhỏ r, độ chính xác cần có (số con số đáng tin sau dấu phẩy). + Tính ΔD(h). Ví dụ. Tính đạo hàm của hàm số f(x) = sinx tại x = 0. - Đã biết: - Tính theo ph/pháp gần đúng: + Chọn tuỳ ý h ban đầu, ví dụ h = 1; tỷ lệ rút gọn r = 4. + Độ chính xác tới 4 con số sau dấu phẩy. + Tính + Tính ΔD(h) và E(h). Kết quả tính toán cho trong bảng sau: Nhận xét Có thể dùng để đánh giá xấp xỉ sai lệch ở bước tính htrước. Ở ví dụ này, q/trình tính dừng lại ở bước h = 1/256; khi đó ΔD(h) = 0,000038 < 0,5.10-4. II. Tính gần đúng các tích phân xác định. - Xét tích phân xác định: - Thực tế: + thường khó khăn khi tìm nguyên hàm + Hàm f(x) được cho dưới dạng bảng số. 1. Đa thức xấp xỉ trực tiếp: 2. Đa thức Niutơn thứ nhất: (với dx = hdt) - Chia [a, b] thành n đoạn con bằng nhau bởi các nút xi: xi = a + ih ; a/ Công thức hình thang. - Thay f(x) bằng đa thức nội suy Pn(x). Tích phân thứ 1: - Ý nghĩa hình học của công thức: Thay diện tích hình thang cong bằng diện tích của hình thang thường. - Tích phân thứ i+1: - Đã chứng minh được sai số của công thức là b/ Công thức Simsơn 1/3. - Chia [a, b] thành 2n đoạn con bởi các nút xi. - Cho hàm f(x): 0 2 - Sai số: