Bài giảng Tín hiệu và hệ thống - Bài 9: Tín hiệu và hệ thống gián đoạn theo thời gian - Đỗ Tú Anh

Tín Hiệu và Hệ Thống Bài 9: Tín hiệu và hệ thống gián đoạn theo thời gian Đỗ Tú Anh tuanhdo-ac@mail.hut.edu.vn Bộ môn Điều khiển tự động, Khoa Điện CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Chương 7: Tín hiệu và hệ thống gián đoạn 7.1 Tín hiệu gián đoạn theo thời gian 7.1.1 Giới thiệu chung 7.1.2 Một số tín hiệu gián đoạn có ích 7.1.3 Một số phép toán cơ bản với tín hiệu 7.1.4 Ví dụ về hệ thống gián đoạn 7.2 Hệ thống gián đoạn 2EE3000-Tín hiệu và hệ thống CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Giới thiệu chung – Trích mẫu ƒ Các tín hiệu gián đoạn theo thời gian: f(kT), y(kT), hay f[k], y[k], trong đó f[k]=f(kT) và k là số nguyên ƒ Ví dụ: f(t) = e-t, nếu được trích mẫu sau mỗi khoảng thời gian T = 0.1 giây 3EE3000-Tín hiệu và hệ thống CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Giới thiệu chung – Trích mẫu C/D tới G tới D/C 4EE3000-Tín hiệu và hệ thống CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Chương 7: Tín hiệu và hệ thống gián đoạn 7.1 Tín hiệu gián đoạn theo thời gian 7.1.1 Giới thiệu chung 7.1.2 Một số tín hiệu gián đoạn có ích 7.1.3 Một số phép toán cơ bản với tín hiệu 7.1.4 Ví dụ về hệ thống gián đoạn 7.2 Hệ thống gián đoạn 5EE3000-Tín hiệu và hệ thống CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Dãy xung đơn vị/ Dãy nhảy đơn vị ƒ Dãy xung đơn vị ƒ Dãy nhảy đơn vị với với 6EE3000-Tín hiệu và hệ thống CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Dãy hàm mũ thực ƒ Một tín hiệu mũ liên tục eλt có thể được biểu diễn bằng dạng thay thế sau hay ƒ Ví dụ e-0.3t = (0.7408)t vì e-0.3t = 0.7408 Ngược lại, 4t = e1.386t vì ln 4 = 1.386, có nghĩa là e1.386 = 4 Khi nghiên cứu tín hiệu và hệ thống liên tục ta thích dạng eλt hơn dạng γt ƒ Tín hiệu mũ gián đoạn cũng có thể được biểu diễn theo hai cách hay ƒ Ví dụ vì ƒ Dạng γk tỏ ra thuận tiện hơn so với dạng eλk 7EE3000-Tín hiệu và hệ thống CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Dãy hàm mũ thực Co giãn tăng/giảm > 1 Âm một phần 8 EE3000-Tín hiệu và hệ thống CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Dãy sin ƒ C cos (Ωk + θ), trong đó -C là biên độ - Ω là tần số (radians/mẫu), và - θ là pha (radians) ƒ ƒ tần số góc của cos (Ωk + θ) là | Ω |. ƒ Ví dụ 9EE3000-Tín hiệu và hệ thống CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Dãy sin ƒ Có hai tính chất không mong muốn của dãy sin làm phân biệt nó với tín hiệu sin liên tục 1. Tín hiệu sin liên tục luôn tuần hoàn bất kể giá trị tần số ω của nó là gì. Nhưng một dãy sin cos Ωk là tuần hoàn chỉ với những giá trị Ω thỏa mãn Ω/2π là số hữu tỷ 2. Tín hiệu sin liên tục cos ωt có một dạng sóng duy nhất với mỗi giá trị của ω. Ngược lại một dãy sin cos Ωk không có một dạng sóng duy nhất với mỗi Ω. Thực tế, các dãy sin với các tần số hơn kém nhau một số nguyên lần 2π là giống nhau Do đó dãy sin 10EE3000-Tín hiệu và hệ thống CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Dãy sin 1. Tín hiệu sin liên tục luôn tuần hoàn bất kể giá trị tần số ω của nó là gì. Nhưng một dãy sin cos Ωk là tuần hoàn chỉ với những giá trị Ω thỏa mãn Ω/2π là số hữu tỷ ƒ Giá trị nhỏ nhất của N0 được thỏa mãn đgl chu kỳ của f[k] mỗi chu kỳ chứa 6 mẫu Chu kỳ bắt đầu tại k = 0 có mẫu (giá trị) cuối cùng đặt tại k = N0 – 1 = 5 (không phải tại k = N0 = 6) Một tín hiệu tuần hoàn phải bắt đầu tại k = -∞ (tín hiệu vô hạn) 11EE3000-Tín hiệu và hệ thống CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Dãy sin ƒ Nếu một dãy cos Ωk là tuần hoàn với chu kỳ N0 thì ƒ Điều này chỉ có được nếu ΩN0 là một số nguyên lần của 2π tức là m nguyên (7.1) ƒ Do cả m và N0 đều là số nguyên. Biểu thức (7.1) chỉ ra rằng dãy sin cos Ωk là tuần hoàn chỉ khi [Ω/2π] là một số hữu tỷ. ƒ ƒ Chọn giá trị nhỏ nhất của m làm cho m(2π /Ω) là số nguyên ƒ Ví dụ: Nếu Ω = 4π/17, thì giá trị nhỏ nhất của m làm cho m(2π /Ω) = m(17/2) là số nguyên là 2. Do đó 12EE3000-Tín hiệu và hệ thống CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Dãy sin - Sự tuần hoàn 2 8π Ω = 2 8.5π Ω = 2 2.5π πΩ = 13EE3000-Tín hiệu và hệ thống CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Dãy sin – Sự không duy nhất 2. Một dãy sin cos Ωk không có một dạng sóng duy nhất với mỗi Ω. m nguyên Ví dụ: Hai tín hiệu sin khác nhau có cùng một dãy sin 14EE3000-Tín hiệu và hệ thống CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Dãy biến thiên theo hàm mũ ƒ Biên độ thay đổi ƒ Ví dụ 1γ < Biên độ giảm dần 1γ > Biên độ tăng dần 15 EE3000-Tín hiệu và hệ thống CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Chương 7: Tín hiệu và hệ thống gián đoạn 7.1 Tín hiệu gián đoạn theo thời gian 7.1.1 Giới thiệu chung 7.1.2 Một số tín hiệu gián đoạn có ích 7.1.3 Một số phép toán cơ bản với tín hiệu 7.1.4 Ví dụ về hệ thống gián đoạn 7.2 Hệ thống gián đoạn 16EE3000-Tín hiệu và hệ thống CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Dịch thời gian/ Đảo thời gian ƒ Dịch thời gian: f[k-m] biểu diễn f[k] bị dịch (thời gian) bởi m Nếu m dương, dịch sang phải (trễ) Nếu m âm, dịch sang trái (vượt) với với hay ƒ Đảo thời gian: thay k bởi -k với tức là 17EE3000-Tín hiệu và hệ thống CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Co giãn thời gian ƒ Nén thời gian: Downsampling Phép toán này làm mất một phần dữ liệu. Trong trường hợp thời gian liên tục, nên thời gian chỉ đơn giản là làm tăng tốc tín hiệu mà không làm mất dữ liệu ƒ Giãn thời gian: ƒ Nội suy: Upsampling Khi giãn thời gian, các thời điểm lẫy mẫu bị bỏ qua sẽ được khôi phục từ các giá trị mẫu khác không sử dụng công thức nội suy 18EE3000-Tín hiệu và hệ thống CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Co giãn thời gian ƒ Nội suy: ƒ Nén thời gian: ƒ Giãn thời gian: 19EE3000-Tín hiệu và hệ thống CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Chương 7: Tín hiệu và hệ thống gián đoạn 7.1 Tín hiệu gián đoạn theo thời gian 7.1.1 Giới thiệu chung 7.1.2 Một số tín hiệu gián đoạn có ích 7.1.3 Một số phép toán cơ bản với tín hiệu 7.1.4 Ví dụ về hệ thống gián đoạn 7.2 Hệ thống gián đoạn 20EE3000-Tín hiệu và hệ thống CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Ví dụ: Tiền gửi ngân hàng ƒ Trường hợp này, bản chất của các tín hiệu là gián đoạn theo thời gian f[k] = tiền gửi ở thời điểm thứ k y[k] = số dư tài khoản ở thời điểm thứ k được tính ngay sau khi nhận được khoản tiền gửi f[k] r = lãi suất kỳ hạn T ƒ Số dư y[k] là tổng của (i) số dư trước đó y[k-1], (ii) lãi suất trên y[k-1] trong kỳ hạn T, và (iii) tiền gửi f[k] ƒ Tiền gửi f[k] là đầu vào (kích thích) và số dư y[k] là đầu ra (đáp ứng) ƒ Để hiện thực hóa hệ thống, ta viết lại thành 21EE3000-Tín hiệu và hệ thống CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Ví dụ: Tiền gửi ngân hàng 22EE3000-Tín hiệu và hệ thống CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Chương 7: Tín hiệu và hệ thống gián đoạn 23EE3000-Tín hiệu và hệ thống 7.1 Tín hiệu gián đoạn theo thời gian 7.2 Hệ thống gián đoạn 7.2.1 Phương trình sai phân 7.2.2 Đáp ứng của hệ với điều kiện đầu: Đáp ứng đầu vào không 7.2.3 Đáp ứng xung đơn vị 7.1.4 Đáp ứng của hệ với đầu vào bất kỳ: Đáp ứg trạng thái không 7.2.4 Các tính chất hệ gián đoạn CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Phương trình sai phân ƒ Có ba cách biểu diễn ƒ Tổng quát cho phương trình sai phân cấp n 1) Sử dụng toán tử dịch tiến Hệ số của y[k+n] bằng 1 để chuẩn hóa phương trình 2) Thay k bởi k + n (Sử dụng toán tử dịch lùi) 24EE3000-Tín hiệu và hệ thống CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Phương trình sai phân 3) Sử dụng các điều kiện đầu ƒ y[n], đầu ra tại mẫu thứ k, được tính toán từ 2n + 1 thông tin - n giá trị quá khứ của đầu ra: y[k-1], y[k-2], , y[k-2], - n giá trị quá khứ của đầu vào: f[k-1], f[k-2], , f[k-n], và - giá trị hiện tại của đầu vào f[k] ƒ Nếu tín hiệu vào là nhân quả, thì f[-1] = f[-2] = = f[-n] = 0, và chúng ta chỉ cần n điều kiện đầu y[-1], y[-2], , y[-n] 25EE3000-Tín hiệu và hệ thống CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt PT sai phân – Điều kiện đầu ƒ Sử dụng các điều kiện đầu ƒ Hệ thống đệ quy (Recursive systems): cho phép chúng ta tính toán đầu ra y[0], y[1], y[2], y[3], bằng cách lặp hoặc truy hồi ƒ Ví dụ, để tìm y[0], ta đặt k = 0. - Vế trái là y[0], và vế phải chứa các thành phần y[-1], y[-2], , y[-n] và các giá trị đầu vào f[0], f[-1], f[-2], , f[-n]. - Nếu biết các điều kiện đầu này, ta có thể dùng phép lặp để tìm đáp ứng y[0], y[1], y[2], y[3], v.v ƒ Hệ thống không đệ quy: là một trường hợp đặc biệt của hệ thống đệ quy với 26EE3000-Tín hiệu và hệ thống CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt PT sai phân – Điều kiện đầu EE3000-Tín hiệu và hệ thống ƒ Giải bằng phương pháp lặp 1) Điều kiện đầu y[-1] = 16 và 2) Đầu vào nhân quả f[k] = k2 (bđ tại k = 0) ƒ Phương trình này có thể biểu diễn là ƒ Nếu đặt k = 0 ƒ Đặt k = 1 và sử dụng giá trị y[0] = 8 và f[1] = (1)2 =1, ta có ƒ Đặt k = 2 và sử dụng giá trị y[1] = 5 và f[2] = (2)2, ta có 27 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Chương 7: Tín hiệu và hệ thống gián đoạn 28EE3000-Tín hiệu và hệ thống 7.1 Tín hiệu gián đoạn theo thời gian 7.2 Hệ thống gián đoạn 7.2.1 Phương trình sai phân 7.2.2 Đáp ứng của hệ với điều kiện đầu: Đáp ứng đầu vào không 7.2.3 Đáp ứng xung đơn vị 7.1.4 Đáp ứng của hệ với đầu vào bất kỳ: Đáp ứg trạng thái không 7.2.4 Các tính chất hệ gián đoạn CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Đáp ứng đầu vào không ƒ Phương trình đặc tính 1 1 1 0 0 n n na a aγ γ γ−−+ + + + =" 1 2( )( ) ( ) 0nγ γ γ γ γ γ− − − = [ ]0 1 1 2 2k k kn ny k c c cγ γ γ= + + +" ƒ Nghiệm phân biệt [ ] 2 10 1 2 3 1 1 1( )r k k kr r r n ny k c c k c k c k c cγ γ γ− + += + + + + + + +" "ƒ Nghiệm bội r je βγ γ= je βγ γ∗ −=ƒ Nghiệm phức (Dạng cực) và [ ] ( )0 1 2 kky k c cγ γ ∗= + 1 ( 2) jc c e θ= 2 ( 2) jc c e θ−=và [ ] ( ) ( )0 2( 2) [ ]k j k k j ky k c e c eβ θ β θγ γ+ − += + [ ]0 cos( )ky k c kγ β θ= + [ ]0 1 2k j k jy k c e c eβ βγ γ −= + 29EE3000-Tín hiệu và hệ thống CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Đáp ứng đầu vào không: Ví dụ ƒ Phương trình sai phân 1) Điều kiện đầu y[-1] = 0 và y[-2] = 25/4, và đầu vào f[k] = 4 - ku[k] Trong ví dụ này ta chỉ xác định thành phần đáp ứng đầu vào không y0[k] ƒ Phương trình hệ thống biểu diễn dạng toán tử là ƒ Đa thức đặc tính là ƒ Phương trình đặc tính là vàƒ Các nghiệm đặc tính là ƒ Đáp ứng đầu vào không là ƒ Để xác định các hằng số c1 và c2, ta đặt k = -1 và -2, sau đó thay y0[-1] = 0 và y0[-2] = 25/4 để nhận được 30ƒ Do đó CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Đáp ứng đầu vào không: Ví dụ ƒ Trường hợp 2: Nghiệm bội. Ví dụ, cho hệ thống được mô tả bởi phương trình ƒ Xác định y0[k], đáp ứng đầu vào không với các điều kiện đầu là y0[-1] = -1/3 và y0[-2] = -2/9 ƒ Đa thức đặc tính là ƒ Các nghiệm bội đặc tính là ƒ Đáp ứng đầu vào không là ƒ Các chế độ đặc tính là và ƒ Xác định các hằng số c1 và c2 từ các điều kiện đầu ƒ Và c1 = 4 và c2 = 3 để có 31EE3000-Tín hiệu và hệ thống CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Đáp ứng đầu vào không: Ví dụ ƒ Trường hợp 3: Nghiệm phức. Với các điều kiện đầu là y0[-1] = 2 và y0[-2] = 1 ƒ Đa thức đặc tính là ƒ Các nghiệm đặc tính là hay ƒ Do đó và và đáp ứng đầu vào không là ƒ Để xác định các hằng số c và θ, ta đặt k = -1 và -2, sau đó thay y0[-1] = 2 và y0[-2] = 1 để nhận được 32EE3000-Tín hiệu và hệ thống CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Đáp ứng đầu vào không: Ví dụ hay ƒ Hai phương trình đồng thời với hai biến là c cosθ và c sinθ ƒ Nghiệm của các phương trình này là và ƒ Chia c sinθ cho c cosθ nhận được ƒ Thay θ = -0.17 radian vào c cosθ = 2.308 nhận được c = 2.34 và 33EE3000-Tín hiệu và hệ thống CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Chương 7: Tín hiệu và hệ thống gián đoạn 34EE3000-Tín hiệu và hệ thống 7.1 Tín hiệu gián đoạn theo thời gian 7.2 Hệ thống gián đoạn 7.2.1 Phương trình sai phân 7.2.2 Đáp ứng của hệ với điều kiện đầu: Đáp ứng đầu vào không 7.2.3 Đáp ứng xung đơn vị 7.1.4 Đáp ứng của hệ với đầu vào bất kỳ: Đáp ứg trạng thái không 7.2.4 Các tính chất hệ gián đoạn CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Xung Kronecker & Đáp ứng xung đơn vị ƒ Gọi δ[n] là xung gián đoạn theo thời gian, còn gọi là xung Kronecker ƒ Đáp ứng xung h[n]: đáp ứng của hệ LTI rời rạc với xung gián đoạn theo thời gian ƒ Một cách dễ hiểu, nó tương ứng với việc đưa vào hệ thống một tác động tức thời tại n = 0 và xem điều gì sẽ xảy ra 35EE3000-Tín hiệu và hệ thống CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Các xung đơn vị/Dịch thời gian ƒ Ý tưởng: sử dụng tập (vô hạn) các xung đơn vị để biểu diễn tín hiệu gian đoạn ƒ Xét một tín hiệu gián đoạn x[n] bất kỳ. Nó có thể được viết thành tổ hợp tuyến tính của các xung đơn vị Giá trị thực Xung bị dịch ƒ Do đó tín hiệu có thể được biểu diễn thành ƒ Tổng quát, một tín hiệu gián đoạn bất kỳ có thể mô tả bởi EE3000-Tín hiệu và hệ thống 36 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Ví dụ 1: Các xung đơn vị ƒ Tín hiệu gián đoạn x[n] ƒ Được phân tích thành tổng của các thành phần sau 37EE3000-Tín hiệu và hệ thống CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Ví dụ 2: Các loại đáp ứng xung đơn vị Đáp ứng xung hữu hạn, ổn định, nhân quả ƒ Nhìn vào đáp ứng xung, ta có thể xác định được một số tính chất của hệ thống Đáp ứng xung vô hạn, ổn định, nhân quả Đáp ứng xung vô hạn, không ổn định, nhân quả 38EE3000-Tín hiệu và hệ thống CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Chương 7: Tín hiệu và hệ thống rời rạc 7.1 Tín hiệu gián đoạn theo thời gian 7.2 Hệ thống gián đoạn 7.2.1 Phương trình sai phân 7.2.2 Đáp ứng của hệ với điều kiện đầu: Đáp ứng đầu vào không 7.2.3 Đáp ứng xung đơn vị 7.1.4 Đáp ứng của hệ với đầu vào bất kỳ: Đáp ứg trạng thái không 7.2.4 Các tính chất hệ gián đoạn 39EE3000-Tín hiệu và hệ thống CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Đáp ứng hệ LTI rời rạcc ƒ Đáp ứng xung ƒ Đầu vào bất kỳ ƒ Đáp ứng với đầu vào bất kỳ = tích chập 40EE3000-Tín hiệu và hệ thống CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Tích chập ƒ Tích chập gián đoạn theo thời gian ƒ Tích chập liên tục theo thời gian ƒ Với mỗi giá trị của n, ta tính toán một tổng mới ƒ Với mỗi giá trị của n, ta tính toán một tích phân mới Hệ LTI được biểu diễn bởi đáp ứng xung Hệ LTI được biểu diễn bởi đáp ứng xung 41EE3000-Tín hiệu và hệ thống CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt