Bài giảng Tín hiệu và hệ thống - Bài 7: Phép biến đổi Laplace và Miền hội tụ Biến đổi Laplace ngược, Các tính chất - Đỗ Tú Anh

Tín Hiệu và Hệ Thống Đỗ Tú Anh tuanhdo-ac@mail.hut.edu.vn Bộ môn Điều khiển tự động, Khoa Điện Bài 7: Phép biến đổi Laplace và Miền hội tụ Biến đổi Laplace ngược, Các tính chất CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 2Chương 6: Phép biến đổi Laplace 6.1 Dẫn xuất phép biến đổi Laplace 6.2 Phép biến đổi Laplace ngược 6.3 Các tính chất của phép biến đổi Laplace 6.4 Hàm truyền đạt EE3000-Tín hiệu và hệ thống CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 3 EE3000-Tín hiệu và hệ thống Tổ chức CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 4EE3000-Tín hiệu và hệ thống Chương 6: Phép biến đổi Laplace 6.1 Dẫn xuất phép biến đổi Laplace 6.1.1 Phép biến đổi Laplace 6.1.2 Một số ví dụ biến đổi Laplace và miền hội tụ 6.1.3 Các tính chất của miền hội tụ 6.2 Phép biến đổi Laplace ngược 6.3 Các tính chất của phép biến đổi Laplace 6.4 Hàm truyền đạt CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 5EE3000-Tín hiệu và hệ thống Pierre Simon de Laplace (1749-1827) CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 6EE3000-Tín hiệu và hệ thống Tại sao cần phép biến đổi Laplace? ƒ Ta có ƒ Khi phân tích trong miền thời gian, ta phân tích tín hiệu x(t) thành các xung và cộng các đáp ứng của hệ thống với các xung đó. ƒ Khi phân tích trong miền tần số, ta phân tích tín hiệu x(t) thành các thành phần mũ phức có dạng est trong đó s là tần số phức s jσ ω= + CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 7EE3000-Tín hiệu và hệ thống ƒ Biiến đổi Laplace của một tín hiệu x(t) được định nghĩa là Định nghĩa phép biến đổi Laplace ƒ Giải thích bằng phép biến đổi Fourier ƒ Phép biến đổi Laplace có thể được coi là phép biến đổi Fourier của tín hiệu x(t) sau khi nhân với hàm mũ thực te σ− CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 8EE3000-Tín hiệu và hệ thống Chương 6: Phép biến đổi Laplace 6.1 Dẫn xuất phép biến đổi Laplace 6.1.1 Phép biến đổi Laplace 6.1.2 Một số ví dụ biến đổi Laplace và miền hội tụ 6.1.3 Các tính chất của miền hội tụ 6.2 Phép biến đổi Laplace ngược 6.3 Các tính chất của phép biến đổi Laplace 6.4 Hàm truyền đạt CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 9Biến đổi Laplace: Ví dụ 1 ƒ Ảnh Fourier của tín hiệu mũ thực nhân quả chỉ tồn tại khi a > 0 ƒ Tuy nhiên, từ định nghĩa biến đổi Laplace, ta có ƒ Do đó với bất kỳ giá trị nào của a, biến đổi Laplace tồn tại với mọi giá trị σ > -a EE3000-Tín hiệu và hệ thống CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 10EE3000-Tín hiệu và hệ thống ƒ Do s = σ+jω, ta viết lại thành ƒ Nếu a > 0, X(s) tồn tại với σ = Re{s} = 0, khi đó trở thành X(jω). Ngược lại, biến đổi Laplace X(s) không bao gồm biến đổi Fourier X(jω). ƒ Miền hội tụ: Miền các giá trị của s để biến đổi Laplace hội tụ Biến đổi Laplace bao gồm biến đổi Fourier Biến đổi Laplace: Ví dụ 1 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 11 EE3000-Tín hiệu và hệ thống ƒ Xét tín hiệu mũ thực phản nhân quả Ảnh Laplace của nó là ƒ Miền hội tụ Biến đổi Laplace bao gồm biến đổi Fourier Biến đổi Laplace: Ví dụ 2 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 12EE3000-Tín hiệu và hệ thống Sơ đồ điểm không/điểm cực ƒ Ảnh Laplace thường có dạng phân thức của s, tức là ( )( ) , ( ) B sX s A s = với s thuộc miền hội tụ (MHT) trong đó B(s) và A(s) tương ứng là các đa thức bậc M và N của biến s ƒ M nghiệm của tử thức B(s) đgl các điểm không của ảnh Laplace N nghiệm của mẫu thức A(s) đgl các điểm cực của ảnh Laplace. ƒ Chú ý: các điểm cực của B(s)/A(s) nằm ngoài MHT, còn các điểm không có thể nằm trong hoặc nằm ngoài MHT. ƒ Mô tả một cách cô đọng đặc tính của ảnh Laplace trong mặt phẳng s bao gồm cả việc chỉ ra vị trí các điểm không và điểm cực, ngoài MHT. CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 13EE3000-Tín hiệu và hệ thống ƒ Xét tín hiệu x(t) là tổng của hai tín hiệu mũ nhân quả có ảnh Laplace là ƒ Biểu diễn X(s) thành dạng phân thức Điểm không Điểm cực Biến đổi Laplace: Ví dụ 3 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 14EE3000-Tín hiệu và hệ thống Chương 6: Phép biến đổi Laplace 6.1 Dẫn xuất phép biến đổi Laplace 6.1.1 Phép biến đổi Laplace 6.1.2 Một số ví dụ biến đổi Laplace và miền hội tụ 6.1.3 Các tính chất của miền hội tụ 6.2 Phép biến đổi Laplace ngược 6.3 Các tính chất của phép biến đổi Laplace 6.4 Hàm truyền đạt CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 15EE3000-Tín hiệu và hệ thống Các tính chất của miền hội tụ ƒ Với tín hiệu một phía phải 1( ) 0, .x t t t= > { ƒ Với tín hiệu một phía trái 2( ) 0, .x t t t= < } maxRe ,s σ> trong đó σmax là phần thực lớn nhất của các điểm cực MHT: { } minRe ,s σ< trong đó σmin là phần thực nhỏ nhất của các điểm cực MHT: 0 t 1t ( )x t ( )x t 0 t 2t CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 16 EE3000-Tín hiệu và hệ thống ( )x t 0 t ƒ Với tín hiệu khoảng hữu hạn (tín hiệu vừa là một phía phải, vừa là một phía trái 1 2( ) 0, .x t t t t t= MHT: toàn bộ mặt phẳng s ƒ Với tín hiệu hai phía (không phải là các tín hiệu trên) { }1 2Re ,sσ σ< < trong đó σ1 và σ2 là các phần thực của (ít nhất) hai điểm cực MHT: Các tính chất của miền hội tụ ( )x t 0 t1t 2t CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 2( )x t sdfssdfdsfs  1( )x t sdfssdf  17EE3000-Tín hiệu và hệ thống ƒ Xét tín hiệu hai phía ( ) ( ) ( )at atx t e u t e u t−= − − ( )x t 0 ( 0)a > t ( )x t 0 ( 0)a < t ƒ Do đó 1 1( ) , Re ,X s a a s a s a = + − < <+ − 2 2 2 Re ,s a a s a = − < <− ƒ Từ các ví dụ trên ta có { }1 1( ) , ReX s s as a= > −+ { }2 1( ) , ReX s s a s a = <−và σ jω a− a× × Miền hội tụ: Ví dụ CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 18EE3000-Tín hiệu và hệ thống Chương 6: Phép biến đổi Laplace 6.1 Dẫn xuất phép biến đổi Laplace 6.1.1 Phép biến đổi Laplace 6.1.2 Một số ví dụ biến đổi Laplace và miền hội tụ 6.1.3 Các tính chất của miền hội tụ 6.2 Phép biến đổi Laplace ngược 6.3 Các tính chất của phép biến đổi Laplace 6.4 Hàm truyền đạt CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 19 EE3000-Tín hiệu và hệ thống ƒ Để tìm lại tín hiệu x(t) từ ảnh Laplace của nó, ta sử dụng biến đổi Fourier ngược. ƒ Do ( ) ( ) ,t j t Biến đổi Laplace ngược X j x t e e dtσ ωσ ω ∞ − − −∞ ⎡ ⎤+ = ⎣ ⎦∫ nên có thể viết ảnh Fourier ngược của nó là 1( ) ( ) 2 t j tx t e X j e dσ ωσ ω ωπ ∞ − −∞ = +∫ ƒ Nhân cả hai vế với eσt, ta có ( )1( ) ( ) 2 j tx t X j e dσ ωσ ω ωπ ∞ + −∞ = +∫ ƒ Thay s = σ+jω và ds=jdω, 1 ( ) ( ) 2 j st j x t X s e ds j σ σπ + ∞ − ∞ = ∫ nằm trong MHT CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 20EE3000-Tín hiệu và hệ thống Biến đổi Laplace ngược: Ví dụ ƒ Cho hàm phân thức bậc 2 được phân tích thành tổng các phân thức đơn giản ƒ Có 3 khả năng của MHT và CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 21EE3000-Tín hiệu và hệ thống Biến đổi Laplace ngược: Ví dụ ƒ Trường hợp MHT là tín hiệu x(t) phải là tín hiệu một phía phải ƒ Ta có ƒ Do đó ảnh Laplace của là CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Biến đổi Laplace ngược: Ví dụ EE3000-Tín hiệu và hệ thống 22 ƒ Trường hợp MHT là tín hiệu x(t) phải là tín hiệu hai phía ƒ Ta có ƒ Do đó ảnh Laplace của là CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Biến đổi Laplace ngược: Ví dụ EE3000-Tín hiệu và hệ thống 23 ƒ Trường hợp MHT là tín hiệu x(t) phải là tín hiệu phía trái ƒ Ta có ƒ Do đó ảnh Laplace của là CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Các cặp biến đổi Laplace 24EE3000-Tín hiệu và hệ thống CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 25EE3000-Tín hiệu và hệ thống Chương 6: Phép biến đổi Laplace 6.1 Dẫn xuất phép biến đổi Laplace 6.1.1 Phép biến đổi Laplace 6.1.2 Một số ví dụ biến đổi Laplace và miền hội tụ 6.1.3 Các tính chất của miền hội tụ 6.2 Phép biến đổi Laplace ngược 6.3 Các tính chất của phép biến đổi Laplace 6.4 Hàm truyền đạt CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 26 EE3000-Tín hiệu và hệ thống Tính tuyến tính ƒ Cho các tín hiệu x1(t) và x2(t) có các ảnh Laplace là X1(jω) và X2(jω) với các MHT tương ứng R1 và R2 ƒ Ta có 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )ax t bx t aX s bX s+ ↔ + MHT: 1 2R R R′ ⊃ ∩ ƒ Thông thường, khi không có sự triệt tiêu điểm cực/điểm không 1 2R R R′ = ∩ ƒ Khi R1 và R2 không giao nhau, R’ là tập rỗng ảnh Laplace của 1 2( ) ( )ax t bx t+ không tồn tại CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 27 EE3000-Tín hiệu và hệ thống Tính tuyến tính: Ví dụ ƒ Xét hai tín hiệu x1(t) và x2(t) sau 1( ) ( ), atx t e u t−= 2 ( ) ( ) ( ) at atx t e u t e u t−= − − 1 1( ) , Re{ }>X s s a s a = −+ 2 2( ) , Re{ }< ( )( ) sX s a s a s a s a = − <+ − ƒ Tổng của hai tín hiệu 1 2( ) ( ) ( )x t x t x t= + 1 2 1 2 3( ) ( ) ( ) , ( )( ) ( )( ) s s aX s X s X s s a s a s a s a s a −= + = + =+ + − + − Do đó 1 2 2R R R R′ = ∩ = ƒ Hiệu của hai tín hiệu 1 2( ) ( ) ( )x t x t x t= − 1 2 1 2 1( ) ( ) ( ) , ( )( ) sX s X s X s s a s a s a s a −= − = − =+ + − − Do đó, MHT R’ lớn hơn 1 2R R∩ Re{ }a s a− < < Re{ }s a< CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 28EE3000-Tín hiệu và hệ thống Tính dịch thời gian ƒ Theo định nghĩa { }0 0( ) ( ) stL x t t x t t e dt∞ −−∞− = −∫ Đặt 0t tτ = − { } 0 0 0 0 ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) s t st s t st L x t t x e d e x e d e X s τ τ τ τ τ τ ∞ − + −∞ ∞− − + −∞ − − = = = ∫ ∫ 0 0( ) ( ), stx t t e X s R R− ′− ↔ =ƒ Do đó ƒ Cho tín hiệu x(t) có ảnh Laplace X(s) với MHT là R CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 29EE3000-Tín hiệu và hệ thống Tính dịch tần số (Điều chế) ƒ Dễ dàng chứng minh được { }0 0 0( ) ( ), Res te x t X s s R R s′↔ − = + ƒ Ví dụ { }1( ) , Reate u t s a s a − ↔ > −+ { }1( ) , Re ( ) u t s a a s a a ↔ > − +− + { }1( ) , Re 0u t s s ↔ > σ jω b c R σ jω { }0Reb s+ R′ { }0Rec s+ CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Tính co giãn ƒ Ảnh Laplace của x(at) 1( ) ( ), sx at X R aR a a ′↔ = 30 σ jω b c R R ′ σ jω ab ac ƒ Đặc biệt khi a = -1, ta có ( ) ( ), x t X s R R′− ↔ − = − EE3000-Tín hiệu và hệ thống Tính đảo thời gian CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 31EE3000-Tín hiệu và hệ thống Đạo hàm và tích phân MHTsẽ không thay đổi (R’ = R) nếu không có sự triệt tiêu điểm không/điểm cực tại s = 0 ƒ Đạo hàm hai vế của biến đổi Laplace ngược theo thời gian t, ta suy ra ( ) ( ), dx t sX s R R dt ′↔ ⊃ ƒ Ví dụ: { }1( ) , Re 0u t s s ↔ > ( ) ( ) 1, du t t s dt δ= ↔ ∀ ƒ Theo tính chất đối ngẫu ( )( ) , dX stx t R R ds ′− ↔ = CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Đạo hàm và tích phân EE3000-Tín hiệu và hệ thống 32 ƒ Ảnh Laplace của tích phân của tín hiệu x(t) { }1( ) ( ), Re 0t x d X s R R s s τ τ−∞ ′↔ ⊃ ∩ >∫ ƒ Ví dụ: Đáp ứng xung Đáp ứng bước nhảy với a > 0 { }1( ) ( ) ( ) , Reath t e u t H s s a s a −= ↔ = > −+ { }1( ) ( ) , Re 0 ( ) s t S s s s s a = ↔ = >+ CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 33EE3000-Tín hiệu và hệ thống Tích chập ( )x t ( ) ( ) ( ) ( ) ( )y t x t h t x h t dτ τ τ∞−∞= ∗ = −∫( )h t Hệ LTI ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) st st st Y s y t e x h t d e dt x h t e dt d τ τ τ τ τ τ ∞ − −∞ ∞ ∞ − −∞ −∞ ∞ ∞ − −∞ −∞ = ⎡ ⎤= −⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎡ ⎤= −⎢ ⎥⎣ ⎦ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ƒ Ta có ( )se H sτ− ( )( ) sx dH s e ττ τ∞ −−∞= ∫ Do đó ( ) ( ), ( ) y h xHY s X s R R Rs= ⊃ ∩ ƒ Thông thường nếu không có sự triệt tiêu điểm không/điểm cực y h xR R R= ∩ CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Tích chập: Ví dụ 34EE3000-Tín hiệu và hệ thống ƒ Xét đáp ứng của hệ bậc 1 (có thể không ổn định) với tín hiệu vào x(t) ƒ Lấy biến đổi Laplace ƒ Do đó biến đổi Laplace của tín hiệu ra của hệ thống là ƒ và biến đổi Laplace ngược là CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 35EE3000-Tín hiệu và hệ thống Các tính chất của biến đổi Laplace Tính chất Miền thời gian Ảnh Laplace MHT Tuyến tính 1 2( ) ( )ax t bx t+ 1 2R R R′ ⊃ ∩1 2( ) ( )aX s bX s+ Dịch thời gian 0( )x t t− 0 ( )ste X s− R R′ = Điều chế 0 ( ) s te x t 0( )X s s− { }0ReR R s′ = + Co giãn trục ( ) x at 1 ( )sX a a R aR′ = Đảo trục ( ) x t− ( )X s− R R′ = − Đạo hàm ( )dx t dt ( )sX s R R′ ⊃ ( ) tx t− ( )dX sds R R′ = Tích phân ( ) t x dτ τ−∞∫ 1 ( )X ss { }Re 0R R s′ ⊃ ∩ > Tích chập 1 2( ) ( )x t x t∗ 1 2( ) ( )X s X s 1 2R R R′ ⊃ ∩ CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt