Bài giảng Tín hiệu và hệ thống - Bài 5: Phép biến đổi Fourier liên tục - Đỗ Tú Anh

1Tín Hiệu và Hệ Thống Bài 5: Phép biến đổi Fourier liên tục Đỗ Tú Anh tuanhdo-ac@mail.hut.edu.vn Bộ môn Điều khiển tự động, Khoa Điện CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 2Chương 3: Chuỗi Fourier và phép biến đổi Fourier 3.1 Giới thiệu chung 3.2 Biểu diễn tín hiệu tuần hoàn bằng chuỗi Fourier 3.3 Phép biến đổi Fourier liên tục 3.4 Phép biến đổi Fourier rời rạc EE3000-Tín hiệu và hệ thống CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 3 EE3000-Tín hiệu và hệ thống Tổ chức CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 4Chương 3: Chuỗi Fourier và phép biến đổi Fourier 3.1 Giới thiệu chung 3.2 Biểu diễn tín hiệu tuần hoàn bằng chuỗi Fourier 3.3 Phép biến đổi Fourier liên tục 3.3.1 Dẫn xuất phép biến đổi Fourier liên tục 3.3.2 Điều kiện áp dụng phép biến đổi Fourier 3.3.3 Phép biến đổi Fourier cho tín hiệu tuần hoàn 3.3.4 Các tính chất của phép biến đổi Fourier liên tục 3.4 Phép biến đổi Fourier rời rạc EE3000-Tín hiệu và hệ thống CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 5Chuỗi Fourier cho tín hiệu tuần hoàn ƒ Một tín hiệu liên tục tuần hoàn có thể được biểu diễn bằng chuỗi Fourier của nó ƒ Các hệ số chuỗi Fourier tạo thành phổ, hay mô tả miền tần số, của tín hiệu liên tục EE3000-Tín hiệu và hệ thống CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 6EE3000-Tín hiệu và hệ thống Ví dụ: Dãy xung chữ nhật Với k = 0 Với k ≠ 0 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 7Từ chuỗi Fourier đến phép biến đổi F ƒ Tín hiệu tuần hoànÅÆ Chuỗi Fourier ƒ Tín hiệu không tuần hoànÅÆ Biến đổi Fourier x(t) -T1 T1 1 0 t ƒ Xét xung chữ nhật đơn có độ rộng 2T1 x(t) là trường hợp giới hạn của dãy xung chữ nhật khi T →∞ 0kƒ Đặt ω ω= , Tkhi ω→∞ vô cùng nhỏ, phổ của tín hiệu tiến tới một hàm của biến liên tục ω EE3000-Tín hiệu và hệ thống 0ω 0kω ω ka CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 8Từ chuỗi Fourier đến phép biến đổi F ƒ Định nghĩa hàm phổ X(jω) từ quan hệ 0( ) kX jk Taω = k, ω0 tùy ý ƒ Đặt xT(t) là dãy xung chữ nhật thì chuỗi Fourier của nó được biểu diễn thành 0 0 0 0 0 1( ) ( ) 1 ( ) 2 jk T k jk k x t X jk e T X jk e ω ω ω ω ωπ ∞ =−∞ ∞ =−∞ = = ∑ ∑ ( ) ( )Tx t x t→,T →∞ƒ Khi 1( ) ( ) 2 ( ) ( ) j t j t x t X j e X j x t e dt ω ω ωπ ω ∞ −∞ ∞ − −∞ = = ∫ ∫ EE3000-Tín hiệu và hệ thống CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 9Ví dụ 1: Xung chữ nhật đơn ƒ Xét xung chữ nhật không tuần hoàn đặt tại không ƒ Biến đổi Fourier là Chú ý, các giá trị là thực 1T π x(t) -T1 T1 1 0 t ƒ Nguyên lý bất định Heisenberg Khoảng thời gian tồn tại tín hiệu tỷ lệ nghịch với băng thông EE3000-Tín hiệu và hệ thống CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 10 Định nghĩa phép biến đổi Fourier ƒ Tín hiệu x(t) và biến đổi Fourier X(jω) của nó có quan hệ với nhau thông qua phương trình tổng hợp và phương trình phân tích Biến đổi Fourier Biến đổi Fourier ngược ƒ Ký hiệu cặp biến đổi Fourier ƒ Tương tự, các điều kiện hội tụ Dirichlet cũng tồn tại đối với biến đổi Fourier, giống như ở chuỗi Fourier ( ( , ))T = −∞ ∞ EE3000-Tín hiệu và hệ thống CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 11 Chương 3: Chuỗi Fourier và phép biến đổi Fourier 3.1 Giới thiệu chung 3.2 Biểu diễn tín hiệu tuần hoàn bằng chuỗi Fourier 3.3 Phép biến đổi Fourier liên tục 3.3.1 Dẫn xuất phép biến đổi Fourier liên tục 3.3.2 Điều kiện áp dụng phép biến đổi Fourier 3.3.3 Phép biến đổi Fourier cho tín hiệu tuần hoàn 3.3.4 Các tính chất của phép biến đổi Fourier liên tục 3.4 Phép biến đổi Fourier rời rạc EE3000-Tín hiệu và hệ thống CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 12 Điều kiện hội tụ - Biến đổi F Điều kiện 1. x(t) khả tích tuyệt đối Điều kiện 2. Trong một khoảng thời gian hữu hạn, x(t) có hữu hạn các cực đại và cực tiểu Điều kiện 3. Trong một khoảng thời gian hữu hạn, x(t) có hữu hạn các điểm không liên tục, với các giá trị không liên tục là hữu hạn EE3000-Tín hiệu và hệ thống CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 13 Ví dụ 2: Hàm mũ tắt dần ƒ Xét tín hiệu (không tuần hoàn) ƒ Do đó biến đổi Fourier là EE3000-Tín hiệu và hệ thống CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 14 Ví dụ 3: Tín hiệu xung đơn vị ƒ Biến đổi Fourier của tín hiệu xung đơn vị được tính toán như sau ƒ Biến đổi Fourier của tín hiệu xung đơn vị là hằng số với mọi ω ƒ Nguyên lý bất định Heisenberg vẫn được thỏa mãn EE3000-Tín hiệu và hệ thống CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 15 Miền thời gian và miền tần số ƒ Phân tích Fourier (Chuỗi hoặc Biến đổi) là phương pháp xác định “bản chất” tần số của một tín hiệu cho trước, có nghĩa là, chuyển từ miền thời gian sang miền tần số ƒ Luôn có thể chuyển ngược lại từ miền tần số sang miền thời gian, hoặc bằng cách lấy tổng các thành phần của chuỗi Fourier hoặc bằng biến đổi Fourier ngược ƒ Cho trước tín hiệu x(t) trong miền thời gian, các hệ số chuỗi Fourier của nó (ak) hoặc biến đổi Fourier của nó (X(jω)) đgl phổ tần số ƒ Nếu ak hoặc X(jω) là số phức, phổ tần số được quan sát thông qua các đồ thị biên độ (|ak| hoặc |X(jω)|) và đồ thị pha EE3000-Tín hiệu và hệ thống CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 16 Chương 3: Chuỗi Fourier và phép biến đổi Fourier 3.1 Giới thiệu chung 3.2 Biểu diễn tín hiệu tuần hoàn bằng chuỗi Fourier 3.3 Phép biến đổi Fourier liên tục 3.3.1 Dẫn xuất phép biến đổi Fourier liên tục 3.3.2 Điều kiện áp dụng phép biến đổi Fourier 3.3.3 Phép biến đổi Fourier cho tín hiệu tuần hoàn 3.3.4 Các tính chất của phép biến đổi Fourier liên tục 3.4 Phép biến đổi Fourier rời rạc EE3000-Tín hiệu và hệ thống CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 17 PBĐ Fourier cho tín hiệu tuần hoàn ƒ Với mọi t, x(t+T) = x(t) ƒ Tín hiệu tuần hoàn được biểu diễn bằng chuỗi Fourier ƒ ak tương ứng với thành phần của x(t) có tần số bằng một số nguyên lần tần số cơ bản 1/T ƒ Tín hiệu tuần hoàn vi phạm điều kiện Dirichlet 1 để cho pbđ Fourier tồn tại ƒ Tuy nhiên, hạn chế này sẽ được giải quyết nếu có mặt các hàm xung trong pbđ Fourier EE3000-Tín hiệu và hệ thống CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 18 PBĐ Fourier cho tín hiệu tuần hoàn ƒ Xét một pbđ Fourier là một xung đơn diện tích 2π đặt tại tần số ƒ Tín hiệu x(t) tương ứng là là tín hiệu sin phức tuần hoàn với chu kỳ 2π/ω0 ƒ Tổng quát hơn, xét dãy xung ƒ Tín hiệu x(t) tương ứng là ƒ Phép biến đổi Fourier của một tín hiệu tuần hoàn là một dãy các xung đặt tại các tần số hài với độ lớn 2πak EE3000-Tín hiệu và hệ thống CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 19 Ví dụ 1: Dãy xung chữ nhật ƒ Xét tín hiệu tuần hoàn x(t) sau: ƒ Chúng ta đã biết các hệ số chuỗi Fourier của x(t) là EE3000-Tín hiệu và hệ thống CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 20 Ví dụ 1: Dãy xung chữ nhật ƒ Do đó phép biến đổi Fourier của x(t) là 0 11 0 1 0 0 1 0 sin( )4( ) ( ) 2 ( ) k k k TTX j T k T k T ωπω δ ω ω δ ω ωω ∞ =−∞≠ = − −∑ ƒ Đồ thj của X(j ω) theo ω 0 0ω 02ω02ω− 0ω− ω 14 T Tπ ( )X jω EE3000-Tín hiệu và hệ thống CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 21 Ví dụ 2: Dãy xung đều ƒ Dãy xung đều rất hữu ích trong việc phân tích các hệ thống (các bộ trích mẫu, tổng hợp tiếng nói, ): ( ) ( ) k x t t kTδ∞ =−∞ = −∑ ƒ Các hệ số chuỗi Fourier là: t0 T 2T-T-2T x(t) 1 0 2 2 1 1( ) T jk t k T a t e dt T T ωδ −−= =∫ với mọi k ƒ Do đó biến đổi Fourier của x(t) là 0 0( ) ( ) k X j kω ω δ ω ω∞ =−∞ = −∑ ( )X jω ω 0ω0ω− 02ω02ω− 0 0ω EE3000-Tín hiệu và hệ thống CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 22 Một số hàm đặc biệt ƒ Hàm cửa sổ ƒ Hàm tam giác EE3000-Tín hiệu và hệ thống CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 23 Một số hàm đặc biệt sin sinc( ) xx x = là hàm đóng vai trò quan trọng trong xử lý tín hiệu, còn đgl hàm lọc hay hàm nội suy ƒ sinc(x) là hàm chẵn của biến x ƒ sinc(x) =0 khi sin x =0 ngoại trừ tại x =0, tức là khi , 2 , 3 ,x π π π= ± ± ± ƒ Sử dụng quy tắc L’Hopital, ta có sinc(0) =1 ƒ sinc(x) là dao động theo hàm sin với chu kỳ 2π, có biên độ giảm dần theo hàm 1/x EE3000-Tín hiệu và hệ thống CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 24 Bảng biến đổi Fourier EE3000-Tín hiệu và hệ thống CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 25 Bảng biến đổi Fourier EE3000-Tín hiệu và hệ thống CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 26 Matlab ƒ Để tìm biến đổi Fourier cho tín hiệu liên tục, chúng ta gõ như sau ƒ Cũng chú ý rằng, để tìm biến đổi Fourier ngược, dùng hàm ifourier() EE3000-Tín hiệu và hệ thống CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 27 Chương 3: Chuỗi Fourier và phép biến đổi Fourier 3.1 Giới thiệu chung 3.2 Biểu diễn tín hiệu tuần hoàn bằng chuỗi Fourier 3.3 Phép biến đổi Fourier liên tục 3.3.1 Dẫn xuất phép biến đổi Fourier liên tục 3.3.2 Điều kiện áp dụng phép biến đổi Fourier 3.3.3 Phép biến đổi Fourier cho tín hiệu tuần hoàn 3.3.4 Các tính chất của phép biến đổi Fourier liên tục 3.4 Phép biến đổi Fourier rời rạc EE3000-Tín hiệu và hệ thống CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 28 Tính chất tuyến tính ƒ Nếu và thì ƒ Chứng minh từ định nghĩa của biến đổi Fourier (vì toán tử tích phân là tuyến tính) ƒ Được mở rộng cho tổ hợp của một số bất kỳ các tín hiệu EE3000-Tín hiệu và hệ thống CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 29 Tính chất dịch thời gian ƒ Nếu thì ƒ Chứng minh Thay thế t bởi t – t0 Do đó ƒ Một tín hiệu bị dịch trong miền thời gian: – Không thay đổi biên độ của ảnh Fourier – Dịch pha của ảnh Fourier đi bởi –ωt0 (dịch pha tuyến tính) EE3000-Tín hiệu và hệ thống CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 30 Tính chất dịch tần số EE3000-Tín hiệu và hệ thống CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 31 Tính chất co giãn thời gian/tần số ( ) ( ) 1( ) ( ) x t X j jx at X a a ω ω ↔ ↔ a là hằng số thực ƒ |a|>1: nén trục thời gian, giãn trục tần số |a|>1: giãn trục thời gian, nén trục tần số ƒ Mở rộng trong miền thời gian tỷ lệ nghịch với mở rộng trong miền tần số (còn gọi là băng thông) x(t) rộng hơn ↔ phổ hẹp hơn x(t) hẹp hơn ↔ phổ rộng hơn EE3000-Tín hiệu và hệ thống CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 32 Ví du: Co giãn thời gian/tần số EE3000-Tín hiệu và hệ thống CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 33 Đạo hàm và tích phân ƒ Đạo hàm hai vế của phương trình tổng hợp ƒ Do đó ƒ Quan trọng: Đạo hàm trong miền thời gian được thay thế bằng phép nhân trong miền tần số ƒ Tương tự với tích phân Giá trị trung bình hay thành phần một chiều (DC) EE3000-Tín hiệu và hệ thống CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 34 Ví dụ: Tín hiệu bước nhảy ƒ Tìm ảnh Fourier của x(t) = u(t) ƒ Đã biết và chú ý rằng ƒ Sừ dụng tích chất tích phân 1( ) ( )u t j πδ ωω↔ + ( ) ( ) t u t dδ τ τ−∞= ∫ ( ) ( ) 1t jδ ω↔ ∆ = ƒ Ngược lại chúng ta cũng có thể áp dụng tính chất đạo hàm EE3000-Tín hiệu và hệ thống CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 35 Tích chập ƒ Hoán đổi thứ tự của phép tích phân ƒ Từ tích chất dịch thời gian, thành phần trong ngoặc là ( ),je H jωτ ω− do đó ƒ Ảnh Fourier của y(t) là EE3000-Tín hiệu và hệ thống CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 36 Tích chập ƒ Ảnh Fourier của tích chập: ƒ Tích chập trong miền thời gian tương ứng với tích đại số trong miền tần số ƒ Chú ý ƒ Ứng dụng: Tính đáp ứng của hệ LTI 1. Tính ảnh Fourier của x(t) và h(t) 2. Nhân 3. Tìm phép biến đổi Fourier ngược của X(jω) với H(jω) để có Y(jω) Y(jω) EE3000-Tín hiệu và hệ thống CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 37 Ví dụ: Đáp ứng hệ LTI ƒ Xét hệ LTI với đáp ứng xung ƒ có tín hiệu vào 1. (BĐ Fourier) Chuyển những tín hiệu này sang miền tần số 3. (BĐ Fourier ngược) Do đó đáp ứng trong miền thời gian là 2. (Nhân) Đáp ứng trong miền tần số là để chuyển sang miền thời gian, biểu diễn thành tổng các phân thức đơn giản EE3000-Tín hiệu và hệ thống CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 38 Tính chất nhân ƒ Do tính đối xứng của phép biến đổi Fourier nên nếu thì điều ngược lại cúng đúng Định nghĩa tích chập theo ω Một hệ quả của tính chất đối ngẫu EE3000-Tín hiệu và hệ thống CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 39 Tính chất đối xứng ƒ Ảnh Fourier của tín hiệu phức liên hiệp x*(t) là { }( ) ( ) ( ) ( ) j t j t F x t x t e dt x t e dt X j ω ω ω ∞∗ ∗ − −∞ ∗∞ − ∗ −∞ = ⎡ ⎤= = −⎢ ⎥⎣ ⎦ ∫ ∫ ƒ Nếu x(t) là tín hiệu thực *( ) ( )X j X jω ω− = Hàm lẻ { } { } ( ) Re ( ) Im ( ) X j X j X jω ω ω= + ( ) ( ) ( ) jX j X j e θ ωω ω= ƒ Ảnh Fourier của tín hiệu thực là hàm đối xứng liên hợp theo ω Hàm chẵn Hàm chẵnHàm lẻ EE3000-Tín hiệu và hệ thống CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 40 Ví dụ: Hàm mũ tắt dần ƒ Tín hiệu (không tuần hoàn) có biến đổi Fourier là Hàm chẵn Hàm lẻ arctg 2 2 1( ) 1 j a X j a j e a ω ω ω ω ⎛ ⎞− ⎜ ⎟⎝ ⎠ = + = + EE3000-Tín hiệu và hệ thống CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 41 Quan hệ Parseval ƒ Sử dụng biến đổi Fourier để tính năng lượng của tín hiệu 2( )xE x t dt ∞ −∞= ∫ ƒ Đặt 2( ) ( ) ,g t x t= với ( ) ( ).g t G jω↔ Ta có (0)xE G= ƒ Áp dụng tính chất nhân và liên hợp 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 g t x t x t G j X j X jω ω ωπ ∗ ∗= ↔ = ∗ − ƒ Biểu diễn tích chập với ω = 0 21 1(0) ( ) ( ) | ( ) | 2 2x E G X j X j d X j dλ λ λ λ λπ π ∞ ∞∗ −∞ −∞= = =∫ ∫ 2 21 ( ) | ( ) | 2 x t dt X j dω ωπ ∞ ∞ −∞ −∞=∫ ∫ ƒ Do đó EE3000-Tín hiệu và hệ thống CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 42 Các tính chất của BĐ Fourier: Tóm tắt EE3000-Tín hiệu và hệ thống CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 43 Ứng dụng 1: Điều chế biên độ ƒ Điều chế: “Nhúng” một tín hiệu mang thông tin vào một tín hiệu khác, ví dụ: điều biên (AM), điều tần (FM) 1 1( ) ( ) ( ) 2 2 c cj t j ty t x t e x t eω ω−= + ƒ Ảnh Fourier của tín hiệu y(t) ( ) ( )cos( ) cy t x t tω= Tín hiệu điều chế Tín hiệu được điều chế Tín hiệu mang ƒ Điều biên: Biên độ của tín hiệu mang có dạng của tín hiệu cần truyền tải EE3000-Tín hiệu và hệ thống CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 44 Ứng dụng 1: Điều chế biên độ ƒ Phổ tần số của x(t) được dịch đi và có tâm đặt tại vàωc -ωc ƒ Điều biên được sử dụng để chở một tín hiệu x(t) từ vị trí này đến vị trí khác khi x(t) khôg thích hợp để truyền trên kênh có sẵn nhưng tín hiệu điều chế y(t) có thể truyền đi được. EE3000-Tín hiệu và hệ thống CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 45 Ứng dụng 1: Điều chế biên độ ƒ Giải điều chế: Tách tín hiệu mang thông tin từ tín hiệu điều chế ƒ Nhân y(t) với tín hiệu mang ƒ Ảnh Fourier của z(t) EE3000-Tín hiệu và hệ thống CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 46 Ứng dụng 2: Lấy mẫu EE3000-Tín hiệu và hệ thống ƒ Là thao tác quan trọng trong việc biến đổi một tín hiệu liên tục thành tín hiệu gián đoạn ƒ Nhân x(t) với dãy xung đều chu kỳ lấy mẫu để có ƒ Ảnh Fourier của y(t) 2 s T πω = CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 47 Ứng dụng 2: Lấy mẫu EE3000-Tín hiệu và hệ thống CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 48 Ứng dụng 2: Lấy mẫu EE3000-Tín hiệu và hệ thống CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 49 Ứng dụng 2: Lấy mẫu trùng phổ EE3000-Tín hiệu và hệ thống CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 50 Ứng dụng 2: Lấy mẫu ƒ Y(jω) chứa đựng các phiên bản của X(jω) đặt tại các tần số là số nguyên lần của tần số lấy mẫu ωs ƒ Nếu 2s bω ω> Không có hiện tượng trùng phổ Tín hiệu x(t) có thể được khôi phục từ y(t) Định lý lấy mẫu Shannon ƒ Nếu 2s bω ω≤ Phải xử lý tín hiệu x(t) để có băng thông phù hợp trước khi lấy mẫu tín hiệu EE3000-Tín hiệu và hệ thống CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt