Bài giảng Tích phân ngẫu nhiên Itô –Wiener một chiều

ậ ă áLu n v n thạc sĩ to n học Đề tài Tí h hâ Itô : c p n – Wi hiề hiềener n u c u Học viên cao học: Nguyễn Văn Cần. Người hướng dẫn khoa học: Tiến Sĩ Dương Tôn Đảm. ậ ă ồLu n v n g m 3 chương Chương 1: Tích phân ngẫu nhiên Itô – Wiener một chiều . Chương 2: Tích phân ngẫu nhiên Itô – Wiener ề ềnhi u chi u. Chương 3: Khái niệm mở rộng về tích phân ngẫu nhiên. Chương 1: Tích phân ngẫu nhiên Itô – Wiener một chiều „ Trong chương này chủ yếu ta đi nghiên cứu về tích phân ngẫu nhiên Itô – Wiener một chiều và các tính chất của chúng Đặc biệt là các . công thức vi phân ngẫu nhiên Itô, nó là công để iải á tí h hâ ẫ hiê hệ hươcụ g c c c p n ng u n n, p ng trình vi phân ngẫu nhiên trong tài chính, chứng khoán, kỹ thuật, vv… 1.1 Định nghĩa tích phân ngẫu ê ô ủ à ấnhi n It c a h m sơ c p „ Cho là hàm sơ cấp, thì ( )2 0,G L T∈ 1T ( ) ( )( )1 00 : m k k k k G dW G W t W t − + = = −∑∫ là tích phân ngẫu nhiên Itô của G trên khoảng (0 T), . 1.3 Định nghĩa tích phân ngẫu nhiên Itô của hàm bất kỳ „ Ta xét lớp các hàm ngẫu nhiên bình phương khả tích và đo được. Đối với một hàm bất kỳ trong lớp nêu trên sẽ tồn tại dãy hàm ngẫu ( )F t nhiên cơ bản hội tụ về nó, khi đó ta định nghĩa tích phân Itô bởi biểu thức: T T∫ ∫ 0 0 : lim n n GdW G dW→∞= 1.4 Định lý: Các tính chất của tích hâ ẫ hiê I ôp n ng u n n t „ Cho và ta có:,a b∈\ [ ]2, 0,G H L T∈ a) Tính chất tuyến tính: T T T( ) 0 0 0 aG bH dW a GdW b HdW+ = +∫ ∫ ∫ b) Tính chất kỳ vọng bằng không: T⎡ ⎤ 0E GdW =⎢ ⎥⎣ ⎦∫0 c) Tính chất đẳng cự: 2 2 T T E GdW E G dt ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎡ ⎤⎢ ⎥ =⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎢ ⎥∫ ∫0 0⎝ ⎠ ⎣ ⎦⎣ ⎦ d) Tính chất bảo toàn tích vô hướng: ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ . T T T E GdW HdW E GHdt=⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦∫ ∫ ∫0 0 0 1.5 Định nghĩa: Vi phân ngẫu nhiên Itô „ Cho quá trình ngẫu nhiên có vi phân Itô: tX hay viết dưới dạng tích phân: ( ) ( ), ,t tdX t dt t dWα ω β ω= + ( ) ( )t tX X s ds s dW t t Tα ω β ω= + + < <∫ ∫ t đó là hữ hà ẫ 0 0 0 0, , ,t s t t( )t ( )tβrong , n ng m ng u nhiên. ,α ω ,ω 1.6 Định lý: Công thức vi phân ngẫu nhiên Itô một chiều Cho như trên và là hàm mộttX ( ) 2, :t xϕ →\ \ lần khả vi liên tục theo t, hai lần khả vi liên tục theo x Khi đó quá trình ngẫu nhiên ( )K t Xϕ= . có vi phân Itô như sau: ,t t ( ) ( ), ,t t t tdK t X dt t X dXt ϕ ϕ∂ ∂= +∂ ∂x ( ) ( )2 21 t X t dtϕ β∂ 2 , . ,2 tx ω+ ∂ hay: ( ) ( ) ( ), , ,t t tdK t X t t Xϕ ϕα ω∂ ∂⎡= +⎢ t x∂ ∂⎣ 21 ⎤∂ ∂( ) ( ) ( ) ( )22 , . , , ,2 t t tt X t dt t t X dWx x ϕ ϕβ ω β ω+ +⎥∂ ∂⎦ Tính chất 1: Vi phân của tích hai quá trình ngẫu nhiên Điều kiện: Cho , là hai quá trình ngẫu nhiêntX tY có vi phân Itô biểu diễn dưới dạng: ( ) ( )1 1, , ;t tdX t dt t dWα ω β ω= +( ) ( )dY t dt t dWα ω β ω= + Ta có công thức: 2 2, ,t t ( ) ( ) ( )1 2, ,t t t t t td X Y X dY Y dX t t dtβ ω β ω= + + Tính chất 2: Vi phân của thương h á ì h ẫ h êai qu tr n ng u n i n Điều kiện: Cho , là hai quá trình ngẫu nhiên ó i hâ Itô biể diễ dưới d tX tY c v p n u n ạng: ( ) ( )1 1, , ;t tdX t dt t dWα ω β ω= + ó ô ứ ( ) ( )2 2, ,t tdY t dt t dWα ω β ω= + Ta c c ng th c: t t t t tX Y dX X dYd ⎛ ⎞ −=⎜ ⎟ 2 t tY Y⎝ ⎠ ( ) ( )t X t Yβ ω β ω−( ) 2 12 3, ,, t t t t dt Y β ω+ Tính chất 3: Công thức tích phân từng phần Giả sử chỉ phụ thuộc vào s và là( ) ( ),f s f sω = f hàm bị chặn trên đoạn khi đó, ta có:[ ]0,T ( ) ( ) ( )T Tf s dW f t W W df s= −∫ ∫ 0 0 .s t s Chương 2: Tích phân ngẫu nhiên Itô – Wiener nhiều chiều „ Trong chương này ta xây dựng tích phân ngẫu nhiên Itô – Wiener nhiều chiều dựa vào tính chất của hàm đối xứng trên khối .[ ]0, nT „ Chương này còn trình bày một kết quả đặc biệt đó là đ thứ H it biể diễ dưới d tí h a c erm u n ạng c phân ngẫu nhiên Itô – Wiener nhiều chiều. 2.1 Định nghĩa: Hàm đối xứng „ Hàm thực được gọi là đối xứng [ ]: 0, ng T →\ nếu với mọi hoán vị của ( ) ( )1 2 1 2, , , , , ,n ng x x x g x x xσ σ σ =" "( )1 2 σ , , ,n" 2.2 Định nghĩa: „ Cho hàm như trên, ta định nghĩa:g [ ]( ) ( )[ ]2 2 2 1 2 10, : , , ,= < ∞∫ " "n n n nL T g g x x x dx dx Ta ký hiệu là không gian các hàm tích 0,T [ ]( )2ˆ 0, nL T phân bình phương khả tích đối xứng trên khối [ ]0 nT . Đặt , { }( ) [ ]1 2 1 2, , , 0, : 0nn n nS x x x T x x x T= ∈ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤" " 2.3 Định nghĩa: Tích phân Itô lặp „ Nếu xác định trên sao cho f ( )1nS n ≥ ( ) ( )22 2 1 2 1: , , ,n n nL Sf f t t t dt dt= < ∞∫ " " thì ta định nghĩa tích phân Itô lặp như sau: nS ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 2 1 1 2: , ,n t t tT J f f t t dW t dW t dW t ⎛ ⎞= ⎜ ⎟∫ ∫ ∫ ∫" " " 0 0 0 0 n n n⎝ ⎠ 2.4 Tính chất trực giao „ Cho ta có: ( )2, mg h L S∈ ( ) ( ) 0n m khi n mE J g J h h khi ≠⎧⎪⎡ ⎤ = ⎨⎣ ⎦ ⎪ trong đó ( )2, nL Sg n m=⎩ ( ) ( ) ( )2 1 2 1 2 1, , , , , , ,n n n nL Sg h g x x x h x x x dx dx= ∫ " " " là tích vô hướng trong nS ( )2 nL S 2.5 Định nghĩa: Tích phân ngẫu ê ô ề ềnhi n It – Wiener nhi u chi u ( )„ Nếu , ta định nghĩa tích phân Itô – Wiener nhiều chiều qua khái niệm tích phân [ ]2ˆ 0, ng L T∈ Itô lặp. Trong đó ta xét lớp các hàm ngẫu hiê đối ứ khi đó t đị h hĩn n x ng, a n ng a: ( ) ( ): ! .n nI g n J g= 2.6 Khái niệm đa thức Hermite theo tham số „ Đa thức Hermite theo hai tham số được xác đị h hưn n sau:( ) ( ) 2 21 2 22, , 0,1,2,...x xt tnnn nH x t t e e n−∂= − =∂ „ Tính chất: x 21∂ ∂( ) ( )2, , 0;2n nH x t H x tt x+ =∂ ∂ ( ) ( )1, , , 1,2,...n nH x t nH x t nx − ∂ = =∂ 2.7 Đa thức Hermite theo tham số biể diễ thà h tí h hâ ẫu n n c p n ng u nhiên Itô – Wiener nhiều chiều „ Ta có , ( ) 11 1 2 , ! n n sst n t s s sH W t n dW dW dW − = ∫ ∫ ∫" " 0 0 0 1 20 ns s s t≤ ≤ ≤ ≤ ≤" „ Vậy đa thức Hermite theo tham số được biểu diễ hà h í h hâ ẫ hiê I ô Win t n t c p n ng u n n t – ener nhiều chiều của hàm đơn vị. Chương 3: Khái niệm mở rộng về tích phân ngẫu nhiên „ Trong chương này chủ yếu nghiên cứu về tích ẫphân ng u nhiên theo quá trình Levy và các tính chất của chúng, từ đây về sau ta xét làX quá trình Levy. t 3.1 Định nghĩa: Tích phân hàm bậc thang „ Cho và hàm trên đoạn0 10 t t≤ < < ∞ ( )f s [ ]0 1,t t gọi là hàm bậc thang nếu: 0 0 1 1nt s s s t= < < < =" Ta có với( ) ( ) 1, 1 j j n j s s f s a s⎡ ⎤⎣ ⎦=∑ 1 2, ,..., na a a ∈\ Khi đó ta định nghĩa tích phân: 1j −= , ( ) ( )1t nf dX X X∑∫ 1 0 1 j js j s s jt s a −= = − 3 2 Tính chất. „ Cho là hàm bị chặn xác định trên à hậ iá ị h h ồ i hữ hà ( )f s [ ]0 1,t t v n n g tr t ực sao c o t n tạ n ng m bậc thang bị chặn trên và( ), 1,f s n n= [ ]0 1,t t n ( )1t f d∫khi đó hội tụ đến đại lượng. .nf f h c c→ 0 n s t s X ngẫu nhiên theo xác suất. X 3 3 Định nghĩa: Tích phân. ngẫu nhiên theo quá trình Levy „ Biến ngẫu nhiên trong tính chất 3.2 gọi là X tích phân ngẫu nhiên của hàm bị chặn trên đ th á t ì h L à t ( )f s [ ]t t { }0X t ≥oạn eo qu r n evy v a ký hiệu: 0 1, ,t ( )1t∫ 0 X s t F f s dX= 3.5 Tính chất: Công thức tích phân từng phần „ Cho là hàm bị chặn trên đoạn , khi ( )f u [ ]0 1,t t đó ta có: 1 1t t∫ ∫( ) ( ) ( ) ( )1 0 0 0 1 0u t t s t t f u dX f t X f t X X f s ds′= − −