Bài giảng thuỷ lực môi trường

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP TP HỒ CHÍ MINH VIỆN KHOA HỌC CÔNG NGHỆ & QUẢN LÝ MÔI TRƯỜNG BÀI GIẢNG THUỶ LỰC MÔI TRƯỜNG GIẢNG VIÊN: TS. HUỲNH PHÚ TP. HỒ CHÍ MINH 2008 LỜI NÓI ĐẦU Baøi giaûng Thuyû löïc Moâi tröôøng ñöôïc bieân soaïn ñeå phuïc vuï cho vieäc hoïc taäp moân Thuyû löïc Moâi tröôøng cuûa sinh vieân Vieän Khoa hoïc Coâng ngheä vaø Quaûn lyù Moâi tröôøng – Tröôøng Ñaïi hoïc Coâng nghieäp TP Hoà Chí Minh, goùp phaàn naâng cao chaát löôïng ñaøo taïo kyõ sö caùc ngaønh trong Vieän. Taâïp baøi giaûng ñöôïc chia laøm 7 chöông (Chöông 1. Môû ñaàu; Chöông 2. Tónh hoïc cuûa chaát loûng; Chöông 3. Cơ sở ñoäng lực hoïc chaát loûng; Chöông 4. Toån thaát thuyû löïc; Chöông 5. Dòng chảy qua loã vaø voøi- doøng tia; Chöông 6. Doøng chaûy oån ñònh trong oáng coù aùp; Chöông 7. Doøng chaûy ñeàu trong keânh hở), bao goàm nhöõng kieán thöùc cô baûn veà cô hoïc löu chaát öùng duïng trong ngaønh caáp thoaùt nöôùc vaø moâi tröôøng… Maø moïi kyõ sö caàn phaûi naém ñöôïc, ñaây laø moân cô sôû ñeå naém vöõng caùc moân chuyeân saâu khaùc. Taäp baøi giaûng ñöa ra khaùi quaùt caùc vaán ñeà, söû duïng nhöõng kieán thöùc toaùn hoïc choïn loïc vaø moät soá caùch giaûi quyeát cô baûn ñeå sinh vieân coù ñieàu kieän tieáp caän nhanh nhaát vôùi moân hoïc. Khi caàn ñi saâu, ñeà nghò caùc baïn tham khaûo theâm caùc taøi lieäu veà Cô hoïc chaát loûng vaø Thuyû löïc hoïc ... Ñöôïc söï phaân coâng cuûa Vieän Khoa hoïc Coâng ngheä vaø Quaûn lyù Moâi tröôøng; Boä moân Coâng ngheä Moâi tröôøng, ñaây laø nhöõng coá gaéng böôùc ñaàu, coøn coù nhöõng haïn cheá, chaéc chaén khoâng theå theå traùnh khoûi nhöõng thieáu soùt, raát mong söï ñoùng goùp cuûa caùc ñoàng nghieäp vaø ñoâng ñaûo baïn ñoïc. MUÏC LUÏC Lôøi noùi ñaàu Trang Chöông 1. Môû ñaàu 1 1.1. Noäi dung moân hoïc 1 1.2. Sơ lược lòch söû phát triển moân thủy lực 2 1.3. Khaùi nieäm veà chaát loûng trong thuyû löïc 3 1.4. Nhöõng ñaëc tính vaät lyù chuû yeáu cuûa chaát loûng 4 1.5. Löïc taùc duïng 6 Chöông 2. Tónh hoïc của chất lỏng 8 2.1. Áp suất thủy tĩnh- Áp lực 8 2.2. Hai tính chất cơ bản của áp suất thủy tĩnh 9 2.3. Mặt đẵng áp 10 2.4. Phương trình cơ bản của thủy tĩnh học 10 2.5. Định luật bình thông nhau 12 2.6. Định luật Pascan 12 2.7. Các lọai áp suất 13 2.8. Ý nghĩa hình học và năng lượng của phương trình cơ bản trong thủy tĩnh học 16 2.9. Biểu đồ phân bố áp suất thủy tĩnh 17 2.10. Áp lực chất lỏng lên thành phẳng có hình dạng bất kỳ 19 2.11. Áp lực chất lỏng lên thành phẳng hình chữ nhật có đáy nằm ngang 21 2.12. Áp lực của chất lỏng lên thành cong 24 2.13. Định luật Acsimet 28 2.14. Sự cân bằng của vật rắn ngập hòan tòan trong chất lỏng 30 2.15. Sự cân bằng của vật rắn nổi trên mặt tự do của chất lỏng 30 Chương 3. Cơ sở động lực học chất lỏng 34 3.1. Những khái niệm chung 34 3.2. Chuyển động không ổn định và chuyển động ổn định 34 3.3. Quỹ đạo – đường dòng 35 3.4. Dòng nguyên tố - dòng chảy 36 3.5. Những yếu tố thủy lực của dòng chảy 36 3.6. Phương trình thủy lực của dòng chảy ổn định 38 3.7. Phương trình Bécnuli của dòng nguyên tố chất lỏng lý tưởng chảy ổn định 40 3.8. Phương trình Bécnuli của dòng nguyên tố chất lỏng thực chảy ổn định 42 3.9. Ý nghĩa năng lượng và thủy lực của phương trình Becnuli viết cho dòng nguyên tố chảy ổn định 42 3.10. Độ dốc thủy lực và độ dốc đo áp của dòng nguyên tố 45 3.11. Phương trìng Becnuli của tòan dòng (có kích thước hữu hạn) chất lỏng thục chảy ổn định 46 3.12. Ứng dụng của phương trình Becnuli trong việc đo lưu tốc và lưu lượng 51 3.13. Phân lọai dòng chảy 53 Chương 4. Tổn thất thủy lực 55 4.1. Các dạng tổn thất cột nước 55 4.2. Phương trình cơ bản của dòng chất lỏng chảy đều 55 4.3. Hai trạng thái chuyển động của chất lỏng 57 4.4. Công thức tổng quát Đácxi tính tổn thất cột nước hd trong dòng chảy đều- Công thức Sêdi 61 4.5. Trạng thái chảy tầng trong ống 63 4.6. Trạng thái chảy rối trong ống 66 4.7. Công thức xác định những hệ số và C để tính tổn thất cột nước dọc đường của dòng chảy đều trong các ống và kênh hở 69 4.8. Tổn thất cột nước cục bộ- những đặc điểm chung 73 4.9. Tổn thất cục bộ khi dòng dẫn đột ngột mở rộng. Công thức Boocda 76 4.10. Một số dạng tổn thất cục bộ trong ống 77 Chương 5. Dòng chảy qua lỗ và vòi- Dòng tia 80 5.1. Dòng chảy qua lỗ 80 5.2. Dòng chảy qua vòi 93 5.3. Dòng tia 98 Chương 6. Dòng chảy ổn định trong ống có áp 103 6.1. Các khái niệm cơ bản về đường ống, những công thức tính tóan cơ bản 103 6.2. Tính tóan thủy lực về ống dài 105 6.3. Tính tóan thủy lực về ống ngắn- Tính tóan thủy lực đường ống của máy bơm ly tâm 115 6.4. Hiện tượng nước va 122 Chương 7. Dòng chảy đều trong kênh hở 131 7.1. Những khái niệm cơ bản 131 7.2. Các yếu tố thủy lực của mặt cắt ướt của dòng chảy trong kênh 133 7.3. Mặt cắt có lợi nhất về thủy lực 134 7.4. Lưu tốc cho phép không xói và không lắng của kênh hở 136 7.5. Những bài tóan cơ bản về dòng chảy đều trong kêng hở hình thang 137 7.6. Tính tóan kênh có điều kiện thủy lực phức tạp 142 7.7. Tính tóan thủy lực cho dòng chảy đều không áp trong ống 146 1 CHƢƠNG 1. MỞ ĐẦU 1.1. NỘI DUNG MÔN HỌC. Thủy lực là một môn học khoa học nghiên cứu các quy luật cân bằng và chuyển động của của chất lỏng đặc biệt là nƣớc và những phƣơng pháp ứng dụng các quy luật đó vào thực tiễn. Môn Thủy lực còn đƣợc gọi là Cơ học chất lỏng ứng dụng, là môn khoa học ứng dụng. Kiến thức về thủy lực rất cần cho các cán bộ làm công tác khoa học kĩ thuật của các ngành có liên quan đến chất lỏng. Nội dung môn học có hai phần chính: thủy tĩnh và thủy động. Phần thủy tĩnh nghiên cứu các quy luật của chất lỏng ở trạng thái tĩnh (trạng thái cân bằng) nhƣ áp suất và áp lực của chất lỏng tác dụng vào mặt tiếp xúc, sự ổn định của vật rắn trong chất lỏng… Phần thủy động nghiên cứu các quy luật của chất lỏng ở trạng thái chuyển động và vận dụng các quy luật đó để nghiên cứu về dòng chất lỏng chảy trong ống, kênh, sông, dòng chảy qua các công trình, dòng thấm… Vì vậy, thủy lực còn là một môn học cơ sở cho các môn kỹ thuật chuyên ngành nhƣ cấp thoát nƣớc, giao thông, thủy lợi cầu cảng, xây dựng… Hệ đo lƣờng dùng trong thủy lực là: hệ kĩ thuật MkGS (m, kG, s) và hệ đo lƣờng quốc tế SI (m, kg, s). Quan hệ giữa các đơn vị: + Lực: đo bằng Niutơn (đƣợc kí hiệu là N) và cũng đƣợc đo bằng kilôgam lực (kí hiệu kG). 1N = 1kg . 1 m/s 2 = 1mkgs -2 ; 1kG = 9,81N; 1N = 0,102kG. + Áp suất: đo bằng Pascal (Pa): kG/cm2; N/m2; atmotphe (atm); chiều cao cột chất chất lỏng chẳn hạn: mmHg; m cột nƣớc… 1Pa = 1N/m 2 ; 1atm = 1 kG/cm 2 = 98.100 N/m 2… 2 1.2. SƠ LƢỢC LỊCH SỬ PHÁT TRIỂN MÔN THỦY LỰC. Loài ngƣời sống và sản xuất, có liên quan mật thiết tới nƣớc. Từ lâu con ngƣời đã biết khơi giếng, đào mƣơng, đắp đê, xây đập để giải quyết những nhu cầu về nƣớc phục vụ đời sống và nông nghiệp … Trong quá trình đấu tranh với thiên nhiên về chống thủy tai, phát triển thủy lợi, con ngƣời có những nhận thức ngày càng sâu sắc về quy luật vật động của nƣớc. Công trình khoa học thủy lực đầu tiên của Áccimét (năm 250 trƣớc công nguyên) có thể coi là luận văn “về vật nổi”. Đến thế kỉ thứ XV công trình của nhà bác học ngƣời Ý là Leôna đơ Vanhxi ( (1952-1519) luận về “sự vận động của nƣớc và sự đo lƣờng nƣớc” phát biểu về sức cản thủy lực. Kế tiếp đó khoa học kĩ thuật ngày càng phát triển, môn thủy lực trở thành một môn khoa học độc lập, với nhiều công trình nghiên cứu nhƣ của Galilê (1564-1642), Torixeli (1608-1647), Patascan (1623-1662), v.v… Sang thế kỉ thứ XVIII, XIX thủy lực đả trở thành một môn khoa học hiện đại, nhờ những định luật cơ bản của vật lí, đặc biệt của cơ học lý thuyết làm nền tảng; nhất là từ khi xuất hiện “phƣơng trình Becnuly” (1700- 1782) suy ra trên cơ sở vận dụng định luật vật lí về biến đổi động năng và “phƣơng trình vi phân chuyển động của chất lỏng lý tƣởng” Ơte tìm ra trên giả thiết cơ bản là coi chất lỏng nhƣ một môi trƣờng liên tục và vận dụng những hàm số liên tục. Những cống hiến lớn trong thời kỳ này về phƣơng diện lý luận cho môn thủy lực còn có những công trình của Navie, Lagơrănggiơ, Sanhvơrăng, Stốc, Hemhôn, Gơrômêca… Song nhiều vấn để thủy lực của thế kỉ XVIII, XIX vẫn chƣa thể giải quyết đƣợc, nếu chỉ dƣa vào việc nghiên cứu của thế kỉ XVIII, XIX vẫn chƣa thể giải quyết, nếu chỉ dựa vào những nghiên cứu thực nghiệm; trong đó những công trình lớn là của Sêdi, Bóocđa, Văngturi, Bôđôn, Bêlăngiê, Haghen, Đácxi, Vetsbát, v.v… Cuối thể kỉ XIX, đầu thế kỉ XX, thời đại tiến bộ vƣợt bậc của khoa học kĩ thuật, để giải quyết nhiều vấn đề phức tạp trong sản xuất, ở mọi lĩnh vực khoa học kĩ thuật đều có sự kết hợp chặt chẽ giữa phƣơng pháp nghiên cứu lí luận và thực tiễn. Trong khoa học thủy lực cũng thể hiện rõ ràng xu hƣớng đó; nhƣ công trình nghiên cứu về chuyển động tầng và chuyển động rối của Râynôn, lí thuyết cánh của Giucốpski, lí thuyết rối của Pơrantơ, Cácman; Conmôgôrốp, Pavơlốpski, v.v… Ở Việt Nam, nhân dân ta từ lâu đã biết xây dựng nhiều công trình thủy lợi chống lũ lụt, để tƣới tiêu, giao thông đƣờng thủy và cũng biết dùng sức để đƣa nƣớc lên cao tƣới ruộng, giã gạo, v.v… Từ ngày đất nƣớc ta hoàn toàn giải phóng, công tác thủy lợi cũng đƣợc phát triển mạnh mẽ. Đến này đã xây dựng đƣợc một mạng lƣới thủy nông gồm hàng ngàn công trình loại vừa và lớn, hàng vạn công trình loại nhỏ thu hẹp diện tích úng lụt, tƣới tiêu cho các diện tích giao trồng. Một số công trình hồ chứa nƣớc lớn đã đƣợc thiết kế, thi công và đƣa vào sử dụng phục vụ cho việc chống lũ, phát điện, giao thông đƣờng thủy, tƣới tiêu… Nhiều công trình thủy điện lớn nhƣ Thác Bà, Sông Đà … và hàng loạt các 3 công trình vừa và nhỏ đã đƣợc đƣa vào khai thác. Về mặt khoa học thủy lực, môn thủy lực đã đƣợc giảng dạy thành môn cơ sở kĩ thuật trrong các trƣờng kĩ thuật ở nƣớc ta. Một số phòng thử nghiệm thủy lực nghiên cứu giải quyết các vấn đề thủy lực trong khải sát, thiết kế, thi công đã đƣợc thành lập; chúng ta đã và đang nhanh chóng tiếp thu những thành tựu khoa học kĩ thuật hiện đại của thế giới, vận dụng sáng tạo và điều kiện cụ thể của Việt Nam. 1.3. KHÁI NIỆM VỀ CHẤT LỎNG TRONG THỦY LỰC. Chất lỏng và chất khí khác chất rắn ở chỗ mối liên hệ cơ học giữa các phân tử trong chất lỏng, và chất khí rất yếu, nên chất lỏng và chất khí có tính di động dễ chảy hoặc nói một cách khác là nó có tính chảy. Tính chảy thể hiện ở chỗ các phân tử trong chất lỏng và chất khí có chuyển động tƣơng đối đối với nhau khi các chất lỏng và chất khí chuyển động; tính chảy còn thể hiện ở chỗ chúng không có hình dạng riêng, mà lấy hình dạng của bình chứa chất lỏng, chất khí đứng tĩnh; vì thế chất lỏng và chất khí còn gọi là chất chảy. Chất lỏng khác chất khí ở chỗ khoảng cách giữa các phân tử trong chất lỏng sơ với chất khí rất nhỏ nên sinh ra sức dính phân tử rất lớn; tác dụng của sức dính phân tử này làm cho chất lỏng giữ đƣợc thể tích hầu nhƣ không thay đổi dẫu có bị thay đổi về áp lực, nhiệt độ. Nói cách khác chất lỏng chống lại đƣợc sức nén, không co lại trong khi chất khí dễ dàng co lại khi bị nén. Vì thế, ngƣời ta cung thƣờng gọi chất lỏng là chất chảy không nén đƣợc và chất khí là chất chảy nén đƣợc. Tính chất không nén đƣợc của chất lỏng đồng thời cũng là tính không dãn ra của nó; nếu chất lỏng bị kéo thì khối liên tục của chất lỏng bị phá hoại, trái lại chất khí có thể dãn ra chiếm hết đƣợc thể tích của bình chứa nó. Tại mặt tiếp xúc giữa chất lỏng và chất khí, hoặc với chất rắn, hay một chất lỏng khác do lực hút, đẩy giữa các phân tử sinh ra sức căng mặt ngoài; nhờ có sức căng mặt ngoài nên một thể tích nhỏ của chất lỏng đặt ở môi trƣờng trọng lực sẽ có dạng từ hạt. Vì vậy, chất lỏng còn đƣợc gọi là chất chảy dạng hạt; tính chất này không có ở chất khí. Trong thủy lực, chất lỏng đƣợc coi nhƣ môi trƣờng liên tục. Với giả thiết này trong môn thủy lực không nghiên cứu những vận động phân tử trong nội bộ chất lỏng mà chỉ nghiên cứu những vận động cơ học của chất lỏng dƣới tác dụng của ngoại lực. Ngoài ra, nhờ giả thiết này, có thể coi sự phân bố vâ vât chất và những đặc trƣng vật lý của chất lỏng là liên tục, do đó dùng đƣợc những hàm số liên tục trong toán học để nghiên cứu. Vì vậy trong môn thủy lực các nghiên cứu và tính toán đƣợc dựa trên giả thiết cơ bản là có tính liên tục, tính chảy, tính không nén đƣợc. 4 1.4. NHỮNG ĐẶC TÍNH VẬT LÍ CHỦ YẾU LÀ CHẤT LỎNG. 1. Chất lỏng cũng nhƣ mọi vật thể là có khối lƣợng. Đặc tính đó đƣợc biểu thị bằng khối lƣợng đơn vị (còn gọi là khối lƣợng riêng, hoặc “mật độ”). Đối với chất lỏng đồng nhất, khối lƣợng đơn vị bằng tỉ số khối lƣợng M đối với thể tích W. )/( 3mkg W M (1-1) Đối với nƣớc, khối lƣợng đơn vị lấy bằng khối lƣợng của đơn vị thể tích nƣớc cất nhiệt độ +4oC, = 1000kg/m3. 2. Hệ quả của đặc tính thứ nhất là đặc tính thứ hai. Đặc tính thứ hai – chất lỏng có trọng lƣợng – đƣợc biểu thị bằng trọng lƣợng đơn vị (còn gọi là trọng lƣợng riêng hoặc trọng lƣợng thể tích). Đối với chất lỏng đồng chất trọng lƣợng đơn vị bằng tích số của khối lƣợng đơn vị với gia tốc rơi tự do g (g = 9,81m/m 2 ). )/( . . 3mN W gM g (1-2) Mà: M.g = G (trong đó G – trọng lƣợng) Vậy: W G (1-2) Đối với nƣớc ở nhiệt độ +4oC thì = 9.810N/m3 Đối với thủy ngân: = 134.000N/m3 = 13.600 kg/m3. 3. Tính thay đổi thể tích khi thay đổi áp suất và nhiệt độ. Bằng thực nghiệm ta thấy chất lỏng hầu nhƣ không thay đổi để tích tích khi có sự thay đổi áp suất và nhiệt độ. - Trong trƣờng hợp thay đổi áp suất, ta dùng hệ số co thể tích w để biểu thị độ giảm tƣơng đối của thể tích chất lỏng dw ứng với độ tăng áp suất dp lên một đơn vị áp suất; hệ số w biểu thị bằng công thức. )/(. 1 2 Nm dp dW W w (1-3) Thí nghiệm cho thấy trong phạm vi áp suất từ 1 đến 500 átmôphe và nhiệt độ 0 đến 20oC thì hệ số co thể tích của nƣớc w = 0,00005 cm 2 /kG 0. Số đảo của hệ số co thể tích gọi là môđun đàn hồi K. 5 )/( 1 2mN dW dp WK W (1-4) - Trong trƣờng hợp thay đổi nhiệt độ; ta dùng hệ số dãn nở vì nhiệt độ t để biểu thị sử biến đổi tƣơng đối của thể tích chất lỏng W ứng với sự tăng nhiệt độ lên 1oC, hệ số t biểu thị bằng công thức: dt dW W t . 1 (1-5) Thí nghiệm chứng tỏ trong điều kiện áp suất không khí thì ứng với t = 4 10oC ta có t = 0,000015. Nhƣ vậy chất lỏng có thể coi nhƣ không co dãn thể tích dƣới tác dụng của nhiệt độ. 4. Chất lỏng có sức căng mặt ngoài. Chất lỏng có khả năng chịu đựơc ứng suất kéo không lớn lắm tác dụng lên mặt tự do, phân chia chất lỏng với chất khí hoặc mặt tiếp xúc chất lỏng với chất rắn. Sự xuất hiện sức căng mặt ngoài đƣợc giải thích là để cân bằng với sức hút phân tử của chất lỏng tại vùng lân cận mặt tự do, vì ở vùng này sức hút giữa các phân tử chất lỏng không cân bằng nhau nhƣ ở vùng xa mặt tự do. Do đó có khuynh hƣớng giảm nhỏ diện tích mặt tự do và làm cho mặt tự do có một độ cong nhất định. Do sức căng mặt ngoài mà giọt nƣớc có dạng hình cầu. Chúng ta dùng một ống có đƣờng kính khá nhỏ cắm vào chậu nƣớc, có hiện tƣợng mực nƣớc trong ống dân cao mặt nƣớc tự do ngoài chậu nƣớc; nếu chất lỏng này là thủy ngân thì lại có hiện tƣợng mặt tự do trong ống hạ thấp hơn mặt thủy ngân ngoài chậu. Đó là hiện tƣợng mao dẫn, do tác dụng của sức căng mặt ngoài gây nên; mặt tự do của chất lỏng trong trƣờng hợp đầu là mặt lõm, trong trƣờng hợp sau là mặt tối. Sức căng mặt ngoài đặc trƣng bởi hệ số , biểu thị sức kéo dính trên một đơn vị dài của “đƣờng tiếp xúc”. Hệ số phụ thuộc loại chất lỏng và nhiệt độ. Trong trƣờng hợp nƣớc tiếp xúc với không khí ở 20oC ta thấy = 0,076N/m, khi nhiệt độ tăng lên, giảm đi. Đối với thủy ngân cũng trong điều kiện trên, thì = 0,540N/m, tức là lớn hơn gần 7,5 lần so với nƣớc. Trong đa số hiện tƣợng thủy lực ta không cần xét đến ảnh hƣởng của sức căng mặt ngoài, vì trị số rất nhỏ so với những lực khác. Thƣờng phải tính sức căng mặt ngoài trong trƣờng hợp có hiện tƣợng mao dẫn, ví dụ trong trƣờng hợp dòng thấm dƣới đất. 5. Chất lỏng có tính nhớt. Tính nhớt trong thủy lực rất quan trọng, vì nó là nguyên nhân sinh ra tổn thất năng lƣợng khi chất lỏng chuyển động. Khi các lớp chất lỏng chuyển động, giữa chúng có sự chuyển động tƣơng đối và nảy sinh ra tác dụng lôi đi, kéo lại, hoặc nói cách khác, giữa chúng nảy sinh ra chất ma 6 sát tạo nên sự chuyển biến một bộ phận cơ năng của chất lỏng thành nhiệt năng và mất đi. Sức ma sát này gọi là ma sát trong (nội ma sát). Tính nảy sinh ra ma sát trong hoặc nói một cách khác tính chất nảy sinh ra ứng suất tiếp giữa các lớp chất lỏng chuyển động gọi là tính nhớt của chất lỏng. Tính nhớt là biểu sức dính phân tử của chất lỏng; khi nhiệt độ tăng cao, mỗi phân tử dao động mạnh hơn xung quanh vị trí trung bình của phân tử ; do đó sức dính phân tử kéo đi và độ nhớt của chất lỏng giảm xuống. Mỗi chất lỏng đều có tính nhớt. Tính nhớt của chất lỏng đƣợc đặt trƣng bởi hệ số . v (1-6) Trong đó: - hằng số tỉ lệ phụ thuộc loại chất lỏng gọi là hệ số nhớt động lực. - khối lƣợng đơn vị. v - hệ số nhớt động. Đơn vị đo hệ số nhớt động v trong hệ số đo lƣờng hợp pháp là m2/s; đơn vị cm2/s đƣợc gọi là Stốc. Năm 1886, I. Niutơn đã nêu giả thiết và quy luật ma sát trong của chất lỏng và sau đó đƣợc rất nhiều thí nghiệm xác nhận là đúng. Sức ma sát giữa các lớp chất lỏng chuyển động thì tỉ lệ với diện tích tiếp xúc của các lớp ấy, không phụ thuộc áp lực mà phụ thuộc vào vận tốc và loại chất lỏng. Những chất lỏng tuận theo định luật ma sát trong của Niutơn gọi là chất lỏng thực hoặc chất lỏng Niutơn. Môn thủy lực nghiên cứu chất lỏng Niutơn. Nững chất lỏng nhƣ bêtông chảy, vữa xây dựng, vữa sét đƣợc sử dụng khi khoan giếng, vữa koloit v.v… cũng chảy nhƣng không tuân theo định luật Niutơn gọi là chất lỏng không Niutơn (phi Niutơn). 6. Chất lỏng lý tƣởng (còn gọi là chất lỏng không nhớt). Trong khi nghiên cứu đối với một số vấn đề có thể dủng khái niệm chất lỏng lý tƣởng thay thế khái niệm chất lỏng thực. Chất lỏng lý tƣởng là chất lỏng tƣởng tƣợng, nó không có tính nhớt, tức là hoàn toàn không có ma sát trong khi chuyển động. Khi nghiên cứu chất lỏng ở trạng thái tĩnh thì không cần phải phân biệt chất lỏng thực với chất lỏng lí tƣởng. Trái lại, khi nghiên cứu chất lỏng chuyển động thì từ chất lỏng lí tƣởng sang chất lỏng thực phải tính thêm vào ảnh hƣởng của sức ma sát trong, tức là ảnh hƣởng của tính nhớt. 1.5. LỰC TÁC DỤNG. Tất cả những lực tác dụng vào chất lỏng có thể chia làm hai loại: lực thể tích và lực mặt. - Lực thể tích (còn gọi là lực khối lƣợng) là lực tác dụng lên tất cả các phần tử trong khối chất lỏng đang xét. Trong điều kiện phân bố đều của lực thể tích, thì lực này tỉ lệ với thể tích của vật thể lỏng; trọng lƣợng, lực quán tính… là những lực thể tích. 7 Lực thể tích tại những điểm khác nhau trong không gian đầy chất lỏng nói chung có thể khác nhau. - Lực mặt là lực tác dụng lên mặt giới hạn khối chất lỏng đang xét hoặc lên mặt đất trong khối chất lỏng. Trong điều kiện phân phối đều các lực mặt thì lực này tỉ lệ với diện tích; áp lực không khí lên mặt tự do của chất lỏng là một lực mặt, lực sa mát cũng là một lực mặt ở những điểm khác nhau có thể khác nhau. - Mặt khác, tất cả những lực tác dụng vào chất lỏng còn có thể chia thành lực trong và lực ngoài. - Lực trong (nội lực), là những lực tác dụng lẫn nhau giữa các phân tử của một thể tích chất lỏng nhất định. Ví dụ: lựa ma sát trong, áp lực trong nội bộ thể tích chất lỏng đều là những lực trong. - Lực ngoài (ngoại lực): là những lực tác dụng lẫn nhau giữa khối chất lỏng cho trƣớc và những vật thể tiếp xúc hoặc không tiếp xúc với khối chất lỏng đó. Ví dụ, áp lực tác dụng lên mặt ngoài của khối chất lỏng cho trƣớc, trọng lƣợng, lực quán tính, v.v… là những lực ngoài. 8 CHƢƠNG 2. TĨNH HỌC CỦA CHẤT LỎNG Thủy tĩnh học nghiên cứu những vấn đề về chất lỏng ở trạng thái cân bằng tức là trạng thái không có chuyển động tƣơng đối giữa các phần tử chất lỏng. Vì không có chuyển động tƣơng đối nên không có tác dụng của tính nhớt, do đó những kết luận về thủy tĩnh đều đúng cho chất lỏng lí tƣởng cũng nhƣ cho chất lỏng thực. Yếu tố thủy lực cơ bản của trạng thái cân bằng của chất lỏng là áp suất thủy tĩnh. 2.1. ÁP SUẤT THỦY TĨNH – ÁP LỰC. Ta lấy một khối chất lỏng W ở trạng thái cân bằng (hình 2.1). Nếu ta cắt khối đó bằng một mặt phẳng tùy ý ABCD và vứt bỏ phần trên, muốn phần dƣới khối đó ở trạng thái cân bằng nhƣ cũ, ta phải thay thế tác dụng của phần trên lên phần dƣới bằng một hệ lực tƣơng đƣơng. Trên mặt phẳng ABCD; ta lấy một diện tích bất kỳ có chứa điểm O; gọi P là lực của phần trên tác dụng lên , tỉ số tbP P gọi là áp suất thủy tĩnh trung bình. Nếu diện tích tiến tới số 0, thì tỉ số P tiến tới phần giới hạn P ; gọi là áp suất thủy tĩnh tại một điểm, hoặc nói gọn là áp suất thủy tĩnh. P P 0 lim (2-1) Áp suất thủy tĩnh P nói trên là ứng suất tác dụng lên một phân tố diện tích lấy trong nội bộ môi trƣờng chất lỏng ta đang xét vì vậy nó là một lực trong; là ứng suất nén. Trong thủy lực, lực P tác dụng lên diện tích gọi là áp lực thủy tĩnh lên diện tích ấy. Chú ý rằng trong thực tế ngƣời ta cũng thƣờng gọi trị số P của P là áp suất thủy tĩnh và trị số P của P là áp lực thủy tĩnh; và cũng thƣờng quen gọi cả hai đại lƣợng này đều là áp lực thủy tĩnh. Áp lực có đơn vị là: N/m2; Pa; kG/cm2; átmôtphe (atm). 1 at = 98.100N/m 2 = 9,81.104 N/m 2 = 1kG/cm 2 . Áp lực có đơn vị là (N), (kG). 9 Trong thủy lực áp suất còn thƣờng đƣợc đo bằng chiều cao cột nƣớc (ta sẽ nghiên cứu ở các phần dƣới của chƣơng). 2.2. HAI TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA ÁP SUẤT THỦY TĨNH. Tính chất 1: Áp suất thủy tĩnh tác dụng thẳng góc với diện tích chịu lực và hƣớng vào diện tích ấy. Áp suất thủy tĩnh tại điểm O lấy trên mặt phân chia ABCD có thể chia làm hai thành phần; Pn hƣớng theo pháp tuyến tại điểm O của mặt ABCD và hƣớng theo tiếp tuyến (hình 2.2), thành phần có tác dụng làm mặt ABCD di chuyển, tức là làm chất lỏng đang xét lại ở trạng thái tĩnh, vậy phải có = 0. Thành phần Pn không thể hƣớng ra ngoài đƣợc vì chất lỏng không chống lại đƣợc sức kéo mà chỉ chịu đƣợc sức nén. Vậy áp suất P tại điểm O chỉ có thành phần pháp tuyến hƣớng vào trong. Tính chất 2: Trị số áp suất thủy tĩnh tại một điểm bất kì không phụ thuộc hƣớng đặt của diện tích chịu lực tại điểm ấy. Muốn chứng minh tính chất đó, ta lấy một khối chất lỏng hình lăng trụ tam giác vô cùng nhỏ chứa điểm A (hình 2.3). Quy chiếu về hệ trục tọa độ xOy, ta đặt khối lăng trụ này sao cho có một mặt phẳng đứng song song với Oy, một mặt nghiêng, hợp với trục Ox một góc . Để chứng minh áp suất tại điểm A không phụ thuộc vào hƣớng của diện tích chịu lực, ta sẽ chứng minh rằng trên mặt MN, NQ, QM vô cùng gần điểm A đều bằng nhau. Khối chất lỏng hình trụ đang cân bằng trong bình chứa (hình 2.3) ta tƣởng tƣợng bỏ tất cả chất lỏng xung quanh khối chất lỏng A và thay tác dụng của chất lỏng xung quanh khối chất lỏng A bằng những áp lực tƣơng ứng để khối chất lỏng A vẫn cân bằng. Vậy khối chất lỏng A cân bằng dƣới tác dụng của những lực sau: - Trọng lƣợng bản thân theo phƣơng Oy; - Áp lực Px vào mặt bên trái theo phƣơng Ox; - Áp lực Py vào mặt bên dƣới theo phƣơng Oy; - Áp lực Pn vào mặt nghiêng, theo phƣơng thẳng góc với mặt nghiêng MQ. 10 Vì khối chất lỏng này vô cùng nhỏ nên có thể bỏ qua trọng lƣợng bản thân của nó, ta viết phƣơng trình cân bằng: 0)90cos(nx PPX (2-2) 0cosny PPY (2-3) Từ phƣơng trình (2-2) và (2-3) ta có: )90cos(nx PP (2-4) cosny PP (2-5) Chia hai vế của (2-4) cho x. )90cos( )90cos( x n x n x x PPP Theo toán học thì: n x )90cos( Vậy: 00 n n x x PP x và n đều là những diện tích chịu lực vô cùng nhỏ, tới giới hạn ta có: Px = Pn. Cũng có chứng minh tƣơng tự cho (2-5) ta có Py = Pn. Vậy: Px = Py = Pn (2-6) Theo phần chứng minh trên ta có kết luận: áp suất của một địểm bất kì trong chất lỏng cân bằng theo một phƣơng đều bằng nhau. Do đó, khi nói áp suất thủy tĩnh ở một điểm ta không cần xác định theo phƣơng nào. 2.3. MẶT ĐẲNG ÁP. Mặt đẳng áp là mặt có áp suất thủy tĩnh tại mọi điểm đều bằng nhau, p = hằng số. Mặt đẳng áp có hai chính chất: Tính chất 1: Hai mặt đẳng áp khác nhau không thể cắt nhau. Vì nếu chúng cắt nhau thì tại cùng một giao điểm, áp suất thủy tĩnh lại có những trị số khác nhau, điều đó trái với tính chất 2 của áp suất thủy tĩnh (xem mục 2.2). Tính chất 2: Lực thể tích tác dụng lên mặt đẳng áp thẳng góc với mặt đẳng áp. Do đó, công của lực thể tích làm ra khi di động trên mặt đẳng áp thì bằng không. 2.4. PHƢƠNG TRÌNH CƠ BẢN CỦA THỦY TĨNH HỌC. Trong khối chất lỏng tĩnh cân bằng, ta xét một khối hình trụ thẳng đứng, đáy có tiết diện (hình 2.4), mặt dƣới cách mặt thoáng h1 chịu áp suất p1; trên mặt cách mặt thoáng h2 chịu áp suất p2. 11 Tách riêng khối chất lỏng ra để xét thì cân bằng dƣới tác dụng của những lực sau: - Áp lực từ mặt trên p2 thẳng đứng từ trên xuống dƣới. - Áp lực từ mặt dƣới p1 thẳng đứng lên. - Áp lực ở mặt xung quanh nằm ngang và triệt tiêu. - Trọng lƣợng khối chất lỏng hình trụ: )(. 21 hhG Chiếu hệ lực lên phƣơng thẳng đứng ta viết điều kiện cân bằng: 0)( 2121 hhpp (2-7) Hoặc )( 2121 hhpp (2-8) Hiệu số áp suất giữa hai điểm trong khối chất lỏng tĩnh thì bằng trọng lƣợng cột chất lỏng hình trụ, có đáy bằng đơn vị diện tích, chiều cao bằng hệ số độ sâu giữa hai điểm ấy. Nếu mặt trên của hình trụ trùng với mặt thoáng, h2 = 0, ta có p2 = p0 (áp suất tại mặt thoáng), phƣơng trình (2-8) đƣợc viết lại là: p1 = p0 + h1 (2-9) hoặc tổng quát: p = p0 + h (2-10) Phƣơng trình (2-10) gọi là phƣơng trình cơ bản của thủy tĩnh học, còn gọi là nguyên lý cơ bản thuỷ tĩnh học; đƣợc phát biểu “áp suất tuyệt đối tại một điểm bất kì trong chất lỏng tĩnh bằng áp suất trên mặt chất lỏng, cộng với trọng lƣợng cột chất lỏng hình trụ, đáy bằng đơn vị diện tích, chiều cao bằng độ sâu từ mặt chất lỏng đến điểm ấy”. (từ 2-10) ta thấy khi h = const thì p = const, nghĩa là những điểm có cùng độ sâu thì có áp suất bằng nhau. Với chất lỏng chỉ chịu tác dụng của trọng lực thì các mặt đẳng áp là những mặt phẳng nằm ngang. Ví dụ: Tìm áp suất tại một điểm ở đáy bể đựng nƣớc sâu 4m, trọng lƣợng riêng của nƣớc = 9.810N.m3 ( = 1000kG/m3); áp suất tại mặt thoáng của bể bằng áp suất khí quyển p0 = pa = 98.100N/m 2 (p0 = 10.000kG/m 2 ). Giải: Áp dụng công thức (2-10) ta có: 4810.9100.980 hpp )/000.14(/340.137 22 mkGpmNp 12 2.5. ĐỊNH LUẬT BÌNH THÔNG NHAU. “Nếu hai bình thông nhau chứa đựng chất lỏng khác nhau và có áp suất trên mặt thoáng bằng nhau, thì độ cao của chất lỏng ở mỗi bình tính từ mặt phân chia hai chất lỏng đến mặt thoáng sẽ tỉ lệ nghịch với trọng lƣợng đơn vị của chất lỏng”. Tức là: 1 2 2 1 h h (2-11) Trong đó, h1, h2 là những độ cao nói trên ứng với những chất lỏng có trọng lƣợng đơn vị 1, 2. Thật vậy, áp suất p1, p2 trên cùng mặt phẳng chia A-B ở bình 1, bình 2 (hình 2.5) nhƣ trên đã nói thì bằng nhau: p1 = p2. Theo (2-10): 2202 1101 hpp hpp Vậy: 2211 hh Do đó: 1 2 2 1 h h Nếu chất lỏng chứa ở bình thông nhau là củng một loại, tức là 1 = 2, thì mặt tự do của chất lỏng ở hai bình cùng ở trên một độ cao, có h1 = h2. 2.6. ĐỊNH LUẬT PASCAN. Gọi p0 là áp suất tại mặt ngoài của một thể tích chất lỏng cho trƣớc đứng cân bằng (hình 2.6a); áp suất tại điểm A ở độ sâu h trong chất lỏng đó tính theo (2- 10). hpp 0 Nếu ta tăng áp suất ở mặt ngoài lên một trị số p, thí dụ bằng cách đổ thêm một lƣợng chất lỏng (2-6b) và vẫn giữ cả khối chất lỏng đứng cân bằng, thì áp suất mới tại điểm A theo (2-10) bằng: hppp )( 01 Vậy áp suất tại A sẽ tăng lên một lƣợng bằng: ppp1 Do đó, ta có thể nói: “Độ biến thiên của áp suất thủy tĩnh trên mặt giới hạn một thể tích chất lỏng cho trƣớc; đƣợc truyền đi nguyên vẹn đến tất cả các điểm của thể tích 13 chất lỏng đó”. Kết luận này là định luật Pascan và cần chú ý là trong định luật này điều kiện chất lỏng đứng cân bằng phải đƣợc bảo đảm, không bị phá hoại trong khi có sự biến thiên p. Độ biến thiên p có thể dƣơng hoặc âm. Nhiều máy móc đã đƣợc chế tạo theo định luật Pascan; nhƣ máy nén thủy lực, máy kích, máy tích năng, các bộ phận truyền động v.v… Sau đây là một ví dụ về nguyên tắc làm việc của máy ép thủy lực. Máy gồm hai xylanh có diện tích khác nhau, thông với nhau, chứa cùng một chất lỏng và có píttông di chuyển (hình 2.7). Pittông nhỏ gắn với một đòn bẩy, thì lực tác dụng lên píttông nhỏ sẽ đƣợc tăng lên thành P1; áp suất tại xylanh nhỏ bằng 1 1 1 1 ; p p là diện tích tiết diện của xylanh nhỏ. Theo định luật Pascan thì độ tăng áp suất sẽ truyền nguyên vẹn trong môi trƣờng chất lỏng đứng cân bằng, vì vậy áp suất tại xylanh lớn cũng tăng lên p1 (ở đây bỏ qua không xét đến sự chênh lệch về vị trí giữa hai xylanh) vậy tổng áp lực P2 tác dụng lên mặt píttông lớn là: 1 1 2212 . P pP 2 – diên tích mặt píttông lớn. Nếu coi P1, 2 không đổi thì muốn tăng P2 phải tăng 2. Thí dụ: P1 = 98,1N (hoặc 10kG), d1 =2cm. d2 = 20cm. Ta tính đƣợc NP 810.9 2 20 1,98 2 2 (hoặc 1000kG) Thực tế giữa xilanh và píttông có ma sát nên: 1 2 12 PP - hiệu suất của máy ép thủy lực. 2.7. CÁC LOẠI ÁP SUẤT. Gồm áp suất tuyệt đối, áp suất dƣ, áp suất chân không. 1. Áp suất tuyệt đối ptđ (hoặc áp suất toàn phần) xác định bởi công thức (2-10): tđphpp 0 (2-12) 2. Áp suất dƣ (hoặc áp suất tƣơng đối) 14 Nếu từ áp suất tuyện đối ptđ ta bớt đi áp suất khí quyển pa thì hiệu suất đó gọi là áp suất dƣ hoặc áp suất tƣơng đối, tức là: pdƣ = ptđ - pa (2-13) Nếu áp suất tại mặt thoáng là áp suất khí quyển pa thì: pdƣ = h (2-14) Nhƣ vậy áp suất tuyệt đối biểu thị cho áp suất nén thực tế tại điểm đang xét, còn áp suất dƣ là phần áp suất còn dƣ nếu trong trị số của áp suất tuyệt đối ta bớt đi trị số áp suất không khí. Áp suất tuyệt đối bao giờ cũng là một trị số dƣơng, còn áp suất dƣ có thể là dƣơng hay âm. pdƣ > 0 khi ptđ > pa pdƣ < 0 khi ptđ < pa 3. Áp suất chân không Trong trƣờng hợp áp suất dƣ là âm thì hiệu số của áp suất không khí và áp suất tuyệt đối gọi là áp suất chân không pck hoặc nói tắt là chân không. pck = pa – ptđ (2-15) Áp suất chân không là trị số áp suất còn thiếu để làm cho áp suất tuyệt đối bằng áp suất khí quyển. So sánh (2-15) với (2-13) thì thấy áp suất chân không là trị số âm của áp suất dƣ, tức là: pck = - pdƣ Áp suất tại một điểm có thể đo bằng chiều cao cột chất lỏng (nƣớc, thủy ngân, rƣợu…) kể từ điểm đang xét đến mặt thoáng của cột chất lỏng đó. Vậy có thể biểu thị các áp suất nhƣ sau: ptđ = ghtd pdƣ = ghdƣ (2-17) pck = ghck Ta gọi độ cao htđ, hdƣ, hck là những độ cao dẫn suất của áp suất ptđ, pdƣ, pck. Trong điều kiện bình thƣờng, áp suất khí quyển tại mặt thoáng lấy bằng áp suất của cột thủy ngân cao 760mm. Trong kĩ thuật ngƣời ta quy ƣớc pa = 98.100N/m 2 (hoặc pa=1kG/cm 2 ) và gọi là átmốtphe kĩ thuật. Một átmốtphe kĩ thuật tƣơng đƣơng với cột nƣớc cao: m p h a 10 9810 98100 Trị số chân không cực đại (khi ptđ = 0) lấy bằng một átmốtphe kĩ thuật hoặc cột nƣớc cao 10m. 4. Cách đo các loại áp suất. 15 Hình 2.8 là một thí dụ về cách đo áp suất tại một điểm bằng chiều cao cột chất lỏng. Muốn đo áp suất tuyệt đối tại điểm A, thì nối bình chứa thông với ống kín 1; chỗ nối đặt ở dƣới mặt thoáng của chất lỏng trong bình, có thể đặt ngang, đặt trên hoặc đặt dƣới điểm A (theo hìh 2.8 thì chỗ nối đặt ngang A). Trong ống kín phải rút hết không khí để áp suất tại mặt tự do của chất lỏng trong ống bằng không. Khi đó, khoảng cách thẳng đứng htđ từ mặt nƣớc tự do trong ống đến đƣờng nằm ngang đi qua A biểu thị áp suất tuyệt đối tại điểm A. Trị số áp suất đó là: Nếu ống đo không bịt kín mà để hở (ống 2 hình 2.8) thì khoảng cách thẳng đứng hdƣ, kể từ mặt tự do trong ống hở đến đƣờng nằm ngang đi qua A biểu thị áp suất dƣ tại điểm A; trị số áp suất đó là: pdƣ = hdƣ Nếu mực nƣớc tự do trong ống đo hở này lại thấp hơn A, thì khoảng cách hdƣ nói trên là một trị số âm và theo (2-16) khoảng cách đó là độ cao chân không tại điểm A : hck (hình 2.9). Ống đo áp suất làm nhƣ trên gọi là ống đo áp. Chú ý rằng trong trƣờng hợp chân không ống đo áp phải uốn hình chữ U nhƣ ở hình 2.9 thì mới đo đƣợc dễ dàng. Thí dụ 2: Tìm áp suất tuyệt đối ptđ và áp suất dƣ pdƣ tại đáy nồi hơi, sâu 1,2m, áp suất tại mặt thoáng là p0 = 196.200N/m 2 (p0 = 21.200kG/m 2), trƣớc đó = 9.810N/m3 ( = 1.000kG/m 3 ). Giải: Áp suất tuyệt đối tính theo (2-10): ptđ = p0 + h 16 ptđ = 196.200 + 9.810 1,2 = 207.972N/m 2 (ptđ = 22.400kG/m 2 ) Hoặc tính theo chiều cao cột nƣớc: m p h tđtđ 2,21 810.9 972.207 cột nƣớc. Áp suất dƣ tại đáy: pdƣ = ptđ – pa pdƣ = 207.972 – 98.100 = 109.872N/m 2 m p h dudu 2,11 810.9 872.109 cột nƣớc Thí dụ 3: Tại mặt cắt trƣớc khi vào máy bơm, áp suất chân không là pck=68.670N/m 2 (pck = 7.000kG/m 2). Xác định áp suất tuyệt đối tại mặt cắt đó: Giải: Theo (2-15): ptđ = pa – pck Lấy pa = 98.100N/m 2 (pa = 10.000kG/m 2 ), ta có: Ptđ = 98.100 – 68.670 = 29.430N/m 2 (ptđ = 3.000kG/m 2 ) 2.8. Ý NGHĨA HÌNH HỌC VÀ NĂNG LƢỢNG CỦA PHƢƠNG TRÌNH CƠ BẢN TRONG THỦY TĨNH HỌC. Phƣơng trình cơ bản của thủy tĩnh học còn viết dƣới dạng: const p z 1. Ý nghĩa hình học. Trong hình 2.8, ta thấy tổng độ cao hình học z của điểm đang xét đối với mặt phẳng chuẩn nằm ngang và độ cao dẫn suất (hay độ cao đo áp p ) tại điểm đó là một hằng số đối với bất cứ một điểm nào đó trong chất lỏng. Nếu p là áp suất tuyệt đối thì tđp = htđ và z + htđ = H. Nếu p là áp suất dƣ thì dup = hdƣ và z + hdƣ = H’. Theo hình 2.8, H là khoảng cách từ mặt chuẩn đến mặt nƣớc tự do trong ống đo áp suất tuyệt đối và H’ là khoảng cách từ mặt chuẩn đến mặt nƣớc tự do trong ống đo áp suất dƣ. H gọi là cột nƣớc thủy tĩnh tuyệt đối, H’ gọi là cột nƣớc thủy tĩnh dƣ. 17 Vậy phƣơng trình cơ bản của thủy tĩnh học nói rằng: Trong một môi trƣờng chất lỏng đứng cân bằng cột nƣớc thủy tĩnh đối với bất kì một điểm nào là một hằng số. 2. Ý nghĩa năng lƣợng. Xung quanh điểm A của một môi trƣờng chất lỏng đứng cân bằng, ta lấy một khối chất lỏng có trọng lƣợng G. Khối lƣợng đặt ở độ cao z đối với mặt chuẩn nằm ngang thì có một vị năng G.z do vị trí của khối đó với mặt chuẩn tạo nên. Nếu ta gắn vào bình chứa một ống đo áp, tại mặt phẳng nằm ngang đi qua A, thì ta sẽ thấy đo áp lực chất lỏng tác dụng tác dụng tại điểm A, nên trong ống đo áp chất lỏng đƣợc dâng lên một độ cao bằng P h độ cao này bằng tđ tđ P h , nếu là ống đo áp tuyệt đối bằng du du P h nếu là ống đo áp dƣ. Nhƣ vậy ở điểm A, khối chất lỏng đang xét mang một áp năng bằng G.h và mang một thế năng bằng tổng số vị năng và áp năng: G.z + G.h. Đối với một đơn vị trọng lƣợng thế năng đó bằng: z + h hoặc P z và gọi là tỉ thế năng, hoặc thế năng đơn vị; z - gọi là tỉ vị năng hoặc vị năng đơn vị; P - gọi là tỉ áp năng hoặc áp năng đơn vị. Tỉ thế năng bằng tổng số vị năng và tỉ áp năng. Vập phƣơng trình cơ bản của thủy tĩnh học nói rằng tỉ thế năng của chất lỏng đứng cân bằng là một hằng số đối với bất kì vị trí nào trong chất lỏng; tỉ thế năng chính bằng cột nƣớc thủy tĩnh. 2.9. BIỂU ĐỒ PHÂN BỐ ÁP SUẤT THỦY TĨNH ĐỒ ÁP LỰC. Phƣơng trình cơ bản của thủy tĩnh (2-10) chứng tỏ rằng đối với một chất lỏng nhất định, trong điều kiện áp suất tại mặt tự do p0 cho trƣớc, áp suất p là một hàm số bậc nhất của độ sâu h. Nhƣ vậy trong hệ tọa độ p, h phƣơng trình (2-10) đƣợc biểu diễn bằng một đƣờng thẳng. Để giản đơn việc trình bày ta giả thiết p0 = pa khi đó pdƣ = h. Giả thử ta có hệ tọa độ có trục h thẳng đứng hƣớng xuống dƣới và trục p nằm ngang trùng với mặt tự do (hình 2.10a). Sự biểu diễn bằng đồ thị hàm số (2-10) trong hệ tọa độ nói trên gọi là giản đồ phân bố nói trên gọi là giản đồ phân bố áp suất thủy tĩnh theo đƣờng thẳng đứng, tức là theo những điểm trên đƣờng thẳng đứng đó. Trƣớc tiên ta nói đến đƣờng biểu diễn áp suất dƣ pdƣ = h theo đƣờng thẳng đứng; đƣờng biểu diễn này là một đƣờng thẳng, do đó chỉ cần xác định hai điểm là vẽ đƣợc. Với h = 0 nghĩa là ở mặt tự do, ta có pdƣ = 0, với h = h1, pdƣ = h1. Đặt hai trị số pdƣ nói trên theo một tỉ lệ xích định trƣớc vào hình 2.10a, ta đƣợc hai điểm O và A’, nối 18 OA’ ta đƣợc giản đồ phân bố áp suất dƣy dƣới dạng một tam giác vuông OAA’ có đáy bằng pdƣ = h1 có chiều cao bằng h1. Với những chất lỏng có trọng lƣợng riêng khác nhau, độ dốc đƣờng OA (tg ) sẽ khác nhau. Dùng giản đồ phân bổ áp suất dƣ, ta có thể xác định áp suất dƣ p tại một độ sâu h bất kì. Muốn có giản đồ phân bố áp suất tuyệt đối, ta chỉ cần tịnh tiến đƣờng OA’ theo phƣơng thẳng góc với Oh đi một đoạn p0 và có đƣợc đƣờng O’’A’’. Giản đồ phân bố áp suất tuyệt đối là hình thang vuông góc OO’’A’’A. Chú ý rằng p có thứ nguyên là độ dài, ta có thể thay trục nằm ngang p bằng trục p ; Khi đó cả hai trục tọa độ đều dùng đơn vị độ dài, áp suất lúc đó có thể biểu thị bằng độ dài cột nƣớc (hình 2.10b); ta cũng thƣờng vẽ giản đồ phân bố với tọa độ nhƣ vậy để tính áp lực. Đồ phân bố với tọa độ nhƣ thế gọi là giản đồ áp lực hoặc (đồ áp lực). Lúc đó giản đồ phân bố áp lực dƣ biểu diễn bởi hàm số dup và giản đồ phân bố áp lực tuyệt đối biểu diễn bằng hàm số h pp 0 . Rõ ràng lúc đó đƣờng thẳng biểu diễn có tọa độ dốc bằng 45o vì tg = 1. Nếu ta xét sự phân bố áp suất thủy tĩnh trên đƣờng thẳng đứng không bắt đầu từ mặt tự do, mà bắt đầu từ độ sâu h’ (điểm B) (hình 2.10) thì giản đồ phân bố sẽ là hình thang vuông góc BB’AA’ (áp suất dƣ) hoặc BB’’B’’A (áp suất tuyệt đối). Chú ý rằng do tính chất áp suất tại một điểm phải thẳng góc với mặt chịu áp lực tại điểm đó, nên giản đồ phân bố áp suất trên đƣờng thẳng bao giờ cũng là một tam giác vuông hoặc hình thang vuông. Sau khi xét giản đồ phân bố áp suất trên những đƣờng thẳng đứng, ta có thể vẽ giản đồ phân bố áp suất trên đƣờng thẳng nghiêng hoặc đƣờng thẳng gãy. Giản đồ phân bố trong trƣờng hợp này cũng là tam giác vuông hoặc hình thang vuông. Hình 2.11 là một ví dụ về vẽ giản đồ phấn 19 bố áp suất trên đƣờng thẳng gãy OAB; tam giác vuông OAA’ và hình thang vuông AA’B’B là những giản đồ phân bố áp suất dƣ tƣơng ứng với đoạn thẳng OA và AB, chú ý rằng A’A = A’1A = h1 (h1 là độ sâu của A) Muốn vẽ giản đồ phân bố áp suất tuyệt đối ta chỉ cần tịnh tiến những cạnh OA’A’1B’ thep phƣơng thẳng góc OA và AB đi một đoạn 0p và có đƣợc những hình thang OO’’A’’A và A’’1B’’B, trong đó: 1 0'' 1'' h p AAAA và 2 0'' h p BB (h2 là độ sâu của B) Còn vẽ giản đồ phân bố áp suất trên đƣờng cong ta hải biểu diễn bằng đồ thị trị số áp suất tại từng thời điểm theo phƣơng trình cơ bản (2-10) rồi nối lại. 2.10. ÁP LỰC CHẤT LỎNG LÊN THÀNH PHẲNG CÓ HÌNH DẠNG BẤT KỲ. Trong trƣờng hợp thành rằng là mặt phẳng, thì những áp suất tác dụng lên thành rắn đều song song với nhau, do đó chúng có một áp lực tổng hợp P duy nhất. Ta nghiên cứu trị số và điểm đặt của P. 1. Trị số của áp lực. Cần xác định áp lực P của chất lỏng tác dụng lên một diện tích phẳng có hình dạng bất kì đặt nghiêng đối với mặt thoáng một góc (hình 2.12). Áp lực tác dụng lên một vi phân diện tích d , mà trọng tâm của nó đặt ở độ sâu h tính bằng: dhppddP )( 0 Áp lực P tác dụng lên toàn bộ diện tích bằng: dhpdpP )(. 0 Trên thành phẳng lấy hệ trục tọa độ oyz nhƣ hình 2.12, ta có: h = zsin Vậy: dzzpdzdpdzpP .sin.sin..)sin( 000 (2-18) Tích phân oySdz. chính bằng mômen tĩnh của diện tích đối với trục oy. Gọi zc là tung độ của trọng tâm C, theo cơ học lý thuyết, có thể viết: Soy = zc Gọi hc là độ sâu của C thì: 20 hc = zcsin Do đó: sin sinc oy h S Biểu thức (2-18) viết thành: P = p0 + hc (2-19) Chú ý rằng biểu thức (p0 + hc) là áp suất tuyệt đối tại trọng tâm C của diện tích phẳng. Nhƣ vậy: Áp lực thủy tĩnh của chất lỏng tác dụng lên diện tích phẳng ngập trong chất lỏng bằng tích số của áp lực tuyệt đối tại trọng tâm diện tích phẳng đó nhân với diện tích ấy. Nếu p0 = pa thì áp lực dƣ tác dụng lên diện tích phẳng trên bằng: P = hc (2-20) Trong thực tiễn kĩ thuật, nhiều khi mặt phẳng cần xét chịu áp lực thủy tĩnh về một phía, còn phía kia của mặt phẳng lại chịu áp lực của không khí: trong trƣờng hợp đóp mặt phẳng chịu tác dụng của áp lực dƣ mà thôi, vì áp lực không khí truyền từ mặt phẳng đã cân bằng với áp lực không khí tác dụng vào phía khô của mặt phẳng. Vì vậy, trong những trƣờng hợp tƣơng tự, chỉ cần tính áp lực dƣ theo (2-20). Nếu diện tích đáy và độ sâu của đáy giữ không đổi thì áp lực chất lỏng lên đáy bình: P = h không phụ thuộc hình dạng bình (hình 2.13). 2. Vị trí của tâm áp lực: Điểm đặt của áp lực gọi là tâm áp lực. Tùy theo áp lực là áp lực tuyệt đối hay áp lực dƣ; phƣơng pháp xác định vị trí tâm áp lực trong hai trƣờng hợp đều giống nhau. Ở đây, chỉ nêu lên phƣơng pháp xác định vị trí tâm áp lực dƣ. Ta gọi D(z, y) là tâm áp lực dƣ (hình 2.12); cần xác định các tọa độ zD va yD của điểm D. + Xác định xD: Mômen của áp lực P đối với trục oy bằng: DcD shzPM . (2-21) Tổng số mômen đối với trục oy của áp lực lên các diện tích vi phân bằng: dzhzdpM .... 21 IydzM sin.sin. 2 (2-22) Trong đó: dzIy 2 là mômen quán tính của diện tích đối với trục oy. Cân bằng (2-21) và (2-22) ta có: cc D z Iy h Iy z . sin. . (2-23) Nhƣ ta đã biết trong cơ học, có thể biểu thị mômen quán tính của diện tích đối với trục oy (Iy) bằng mômen quán tính của diện tích ấy đối với trục y’y’ song song với oy và đi qua trọng tâm C của diện tích (I0) nhƣ sau: 2 0 czIIy Thay trị số Iy vào (2-23) ta có: c cD z I zz . 0 (2-24) Nhƣ vậy vị trí của tâm áp lực bao giờ cũng đặt sâu hơn vị trí của trọng tâm. (Công thức tính I0 xem phụ lục 2.1). + Xác định yD: Tƣơng tự nhƣ lúc xác định zD. Ta viết mômen cho trục oz: ydpPyM D . Thay P theo (2-20) và chú ý rằng hc = xcsin và p = zsin , ta có: ydzyyz Dc .sinsin Do đó: c D z dyz y . .. (2-25) Trong thực tiễn hay gặp trƣờng hợp diện tích có hình dáng đối xứng đối với trục song song với oz khi đó điểm D nằm trên trục đối xứng, ta chỉ cần xác định zD, không cần xác định yD. 2.11. ÁP LỰC CHẤT LỎNG LÊN THÀNH PHẲNG HÌNH CHỮ NHẬT CÓ ĐÁY NẰM NGANG. Trong thực tiễn kĩ thuật, ta thƣờng gặp trƣờng hợp: áp lực nƣớc lên cửa cống hình chữ nhật. Việc xác định trị số và điểm đặt của áp lực hoàn toàn có thể áp dụng 22 những công thức nêu ở mục 2.10. Tuy nhiên, trong trƣờng hợp này, ta có thể xác định áp lực đơn giản hơn. Ta xét trƣờng hợp tổng quát, khi thành phẳng hình chữ nhật đặt nghiêng với mặt phẳng ngang một góc , có đáy rộng b, chiều cao h; đáy trên đặt ở độ sâu h1, đáy dƣới đặt ở độ sâu h2 (hình 2.14), áp suất tại mặt tự do bằng áp suất không khí p0 = pa. Vì có thể suy ra dễ dàng áp lực tuyệt đối khi biết áp lực dƣ, nên ta chỉ cần xét việc xác định áp lực dƣ. Trị số tổng áp lực dƣ trong trƣờng hợp đang nghiên cứu có thể xác định theo công thức (2-20): P = hc Ở đây: = b.h; 2 21 hhhc Vậy: bh hh P 2 21 (2-26) Trị số h hh 2 21 ở vế phải của phƣơng trình (2-26) bằng diện tích của giản đồ phân bố áp lực dƣ AA’BB’ (hình 1.14): h hh 2 21 Vậy: P = b (2-27) Ta có thể nói rằng: Áp lực dƣ P tác dụng lên mặt phẳng hình chữ nhật bằng tích số của diện tích giản đồ áp lực với bề dài đáy và nhân với trọng lƣợng riêng của chất lỏng. Thƣờng để đơn giản việc tính, trƣớc hết ta tính áp lực đối với một đơn vị bề dài đáy, sau đó mới nhân với cả bề dài đáy b. Đƣờng tác dụng của lực P tất nhiên đi qua trọng tâm thể tích tạo bởi giản đồ áp lực và hình chữ nhật chịu lực. Trên hình 2.14 lực P đi qua trọng tâm của giản đồ áp lực, vì hình chiếu trọng tâm của thể tích nói trên lên giản đồ áp lực thì trùng với hình chiếu của tâm đồ áp lực. Nếu cạnh trên của hình chữ nhật đặt tại mặt tự do (hình 2.15a) thì h1 = 0, giản đồ áp lực là tam giác vuông có cạnh không bằng nhau và có diện tích bằng: bhhbP hh 2 2 . 2 . 2 1 23 Trong trƣờng hợp này, lực P đi qua trọng tâm của giản đồ áp lực (hình 2.15a) tại độ sâu h 3 2 . Nếu hình chữ nhật lại đặt thẳng đứng, thì giản đồ áp lực trên là tam giác vuông cân (hình 2.15b), do đó: 2 2 1 h Và: 2. 2 hbbP (2-28) Áp lực P đi qua trọng tâm của giản đồ áp lực ở độ sâu h 3 2 Thí dụ 4: Tính áp lực nƣớc lên cánh cống hĩnh chữ nhật có h = 3m, b = 2m độ sâu mực nƣớc thƣợng lƣu H = 6m (hình 2.16). Giải: Ta chỉ cần tính áp lực dƣ P, áp dụng (2-20): P = .hc Trong đó: m h Hhc 5,4 2 3 6 2 2623 m = 9.810N/m 2 P = 9.810 4,5 6 = 264,870N (P = 27000kG). Tâm áp lực tính theo (2-24) bằng: c cD h I hz 0 24 Trong đó: 12 3.2 12 . 33 0 hb I mz D 66,4 5,4.2.3 12 3.2 5,4 3 Dùng phƣơng pháp đồ giải ta thấy giản đồ áp lực lên cửa cống là hình thang có diện tích S1 (hình 2.16). Áp lực dƣ P tính theo: Nb hHhH bSP 870.2642 2 3]6)36[(9810 2 ].)[( 1 Đƣờng tác dụng của lực P đi qua trọng tâm của giản đồ áp lực hình thang. Trọng tâm hình thang ở cách đáy lớn một đoạn bằng 3' 2 a BB BB , trong đó B, B’, a là đáy lớn, đáy nhỏ và chiều cao hình thang. Vậy trọng tâm hình thang ở trƣờng hợp đang xét cách mặt nƣớc tự do là: m h hhH hHH HxD 66,4 3 3 36 3,26 6 3 )(2 2.12. ÁP LỰC CỦA CHẤT LỎNG LÊN THÀNH CONG. Nói chung nếu thành công có hình dạng bất kỳ, thì những áp lực nguyên tố không hợp lại đƣợc thành một áp lực tổng hợp duy nhất. Trong một số trƣờng hợp riêng, nhƣ mặt cong là mặt cầu, mặt trục tròn xoay có đƣờng sinh đặt nằm ngang hoặc thẳng đứng, giữa áp lực nguyên tố đều đồng quy hoặc đều song song, do đó có đƣợc một áp lực tổng hợp hay duy nhất. Ở đây ta chỉ nghiên cứu một trƣờng hợp riêng thƣờng gặp trong thực tiễn công trình (các cánh cửa van, cửa cống…); đó chính là trƣờng hợp áp lực của chất lỏng tác dụng lên thành cong hình trụ tròn có đƣờng sinh đặt nằm ngang. Ta có một mặt trụ ABA’B’ đƣờng sinh nằm ngang có độ dài l; để đơn giản việc tính toán ta đặt hệ tọa độ sao cho một trục nằm 25 ngang; thí dụ trục oy, song song với đƣờng sinh, mặt tọa độ nằm ngang thì trùng với mặt tự do (hình 2.17); ta nghiên cứu áp lực chất lỏng P tác dụng lên mặt trụ đó; áp suất trên mặt tự do bằng áp suất không khí p0 = pa. Ta sẽ xác định thành phần Px và Pz của P (cò Py = 0) rồi tìm ra P theo: 22 zx PPP Chúng ta chỉ nghiên cứu áp lực dƣ, vì phƣơng pháp xác định áp lực tuyệt đối cũng nhƣ vậy. Giải thiết mặt trụ chịu áp lực chất lỏng từ phía trên, phía dƣới của mặt trụ là khô. Trên mặt trụ đó, ta lấy một diện tích nguyên tố d , đặt ở độ sâu h (hình 2.18); áp lực nguyên tố tác dụng lên diện tích đó bằng: dP = hd Lực này phân thành hai thành phần, thành phần nằm ngang dPx và thành phần thẳng đứng dPz (thành phần dPy = 0). zz xx hdzdPhdzdPdPdP hdxdPhdxdPdPdP ),cos(),cos( ),cos(),cos( Trong đó: d x = d cos(dP, x) là hình chiếu của diện tích d lên mặt tọa độ thẳng góc với trục ox; d = d cos(dP, z) là hình chiếu của diện tích d lên mặt tọa độ nằm ngang tức là lên mặt tự do. + Thành phần nằm ngang Px của áp lực P xác định bởi xxx dhdPP . Áp dụng công thức áp lực lên mặt phẳng(2-20) thì ta có thể viết: Px = hc x (2-29) Trong đó: x là hình chiếu của diện tích ABA’B’ lên mặt zoy; hc là độ sâu trọng tâm. Thành phần Px này còn có thể tính ra dễ dàng bằng giản đồ áp lực theo công thức (2-27): Px = xl (2-30) x – diện tích giản đồ áp lực. Đƣờng tác dụng của Px đặt ở độ sâu bằng độ sâu của trọng tâm diện tích x. + Thành phần thẳng đứng Pz của áp lực P xác định bởi: 26 z zzz dhdPP . . (2-31) Ta nhận xét rằng tích phân z zdh . . bằng thể tích W của hình lăng trụ thẳng đứng L, giới hạn bởi mặt trụ AB. Thể tích W có thể tính bằng: W = yl (2-32) y – diện tích của hình ABba. Vậy thành phần Pz chính là trọng lƣợng G của hình lăng trụ L nói trên. Pz = .W = G (2-33) Đƣờg tác dụng của thành phần Pz đi qua trọng tâm của hình lăng trụ L. Hình lăng trụ L gọi là vật áp lực. Vậy thành phần thẳng đứng Pz bằng trọng lƣợng của vật áp lực. Theo hình 2.18 thì thành phần Pz phải hƣớng xuống dƣới, có thế thì tổng áp lực P mới hƣớng vào mặt trụ ABA’B’ (phía trên của mặt trụ là phía chịu áp lực, phía dƣới khô không chịu áp lực). Giả sử ta đặt hệ tọa độ hơi khác đi một chút, tức là trụ oy không song song với đƣờng sinh thì mặt trụ ABA’B’ còn trục oz vẫn nhƣ cũ và mặt oxy vẫn nằm ngang khi đó thành phần Py 0 và cách tìm Py cũng giống nhƣ cách tìm Pz. Những công thức cho ta tìm ba thành phần Px Py Pz của áp lực P lên thành cong là: Px = hc x Py = hc y (2-34) Pz = W Trong đó: hc – độ sâu của trọng tâm của mặt trụ và đồng thời cũng là độ sâu của trọng tâm những hình chiếu x, y. Khi đó: 222 zyx PPPP (2-35) Trong trƣờng hợp mặt cong là mặt cầu thì cũng có thể tính ra ba thành phần áp lực theo (2-34) và áp lực tổng hợp theo (2-35). Ta nghiên cứu thêm về vật áp lực và phƣơng của Pz: Vật áp lực là thể tích giới hạn bởi thành cong mà ta xét, bốn mặt bên thẳng đứng, tì lên các mép của thành cong và kéo dài đến khi cắt mặt tự do hoặc phần kéo dài của mặt tự do của chất lỏng. Trọng lượng của vật áp lực biểu thị thành phần thẳng đứng Pz của áp lực P. 27 Trong trƣờng hợp mặt cong là một trụ có đƣờng sinh nằm ngang, vật áp lực thƣờng biểu thị bởi mặt cắt thẳng đứng của thể tích nói trên và là diện tích giới hạn bởi đƣờng cong chịu lực, hai đƣờng thẳng đứng đi qua hai đầu của đƣờng cong và gặp mặt tự do (thí dụ mặt cắt ABab trên hình 2.18). Sau đây là ba trƣờng hợp vật áp lực: a) Vật áp lực có chất lỏng ngay trên mặt cong, chất lỏng chiếm toàn thể vật áp lực (hình 2.19a) hoặc chỉ chiếm một phần của vật áp lực (hình 2.19b), trong cả hai trƣờng hợp này Pz đều có hƣớng xuống dƣới. Ta quy ƣớc vật áp lực mang dấu dƣơng (+). b) Vật áp lực không có chất lỏng ngay trên mặt cong (hình 2.19c, d): có thể chất lỏng hoàn toàn không có trong vật áp lực (hình 2.19c) hoặc có thể chỉ chiếm một phần vật áp lực (hình 2.19d); trong cả hai trƣờng hợp này Pz đều có hƣớng lên trên. Ta quy ƣớc vật áp lực mang dấu âm (-). c) Mặt cong có hình dạng hơi phức tạp, làm cho áp lực có hình dạng phức tạp; thí dụ mặt cong ABCD (hình 2.20). Theo định nghĩa về vật áp lực nói trên, thì diện tích của mặt cắt thẳng đứng của vật áp lực gồm hai bộ phận: 1 và 2; 1 là diện tích của hình BDE và 2 là diện tích của hình ACEb. Để xác định hƣớng của các thành phần Pz1 ứng với 1 và Pz2 ứng với 2 ta có thể phân toàn bộ đƣờng cong phức tạp thành nhiều đoạn đơn giản nói trên. Thí dụ đoạn cong BDE phân thành hai đoạn BD và DE, vật áp lực ứng với BD là hình BDdb và theo quy ƣớc trên mang dấu (+); còn vật áp lực ứng với DE là hình DEdb mang dấu (-), tổng đại số của hai diện tích BDdb và Debd cho ta diện tích BDE mang dấu (+). Ta cũng chia đƣờng cong ECA thành hai đoạn EC và CA và cũng tìm ra vật áp lực tƣơng ứng, sau cùng cộng đại số những diện tích của vật áp lực thì tìm đƣợc diện tích ACEb mang dấu (-). Nguyên tắc dùng vật áp lực nói trên để tìm phƣơng hƣớng cho thành phần Pz chỉ áp dụng cho những trƣờng hợp mà áp suất dƣ tác dụng vào mặt cong lớn hơn không (pdƣ>0), tức là không có vấn đề áp suất chân không ((pdƣ < 0). Cú ý rằng nếu thành chịu 28 lực là thành phẳng thì những khái niệm nói trên về vật áp lực cũng vẫn đứng và mặt phẳng đƣợc coi nhƣ là giới hạn của mặt cong có bán kính cong lớn vô tận. Thí dụ 5: Tìm tổng áp lực tác dụng lên một cửa cống cong AB, dài l = 3m, có diện tích ABO bằng ¼ diện tích mặt bên của hình trụ tròn mà bán kính r = 1m (hình 2.21). Độ sâu của h = 1m. Giải: Ta tính đƣợc thành phần Px và Pz của tổng áp lực P. Giản đố áp lực biểu diễn thành phần nằm ngang của tổng áp lực là tam giác vuông cân ACD có diện tích 2 2 1 hACD . Vậy theo (2-30) ta có: )1500(715.14 2 319810 .. 2 1 22 kGNlhlP ACDx Thành phần thẳng đứng của tổng áp lực biểu diễn bởi vật áp lực ABO có diện tích 4 2r ACD do đó có thể tích bằng thể tích 4 2lr lW ABO . Vậy theo (2-33), ta có: )2360(23103 4 3114,39810 .. 4 2 2 2 kGNlh lr WPx Vì ngang trên mặt cong không có nƣớc nên Pz hƣớng lên trên. Tổng áp lực tính theo: )800.2(470.27103.23715.14 2222 kGNPPP zx Đƣờng tác dụng của tổng áp lực P đi qua tâm O, lập với đƣờng nằm ngang một góc mà: 56,1 x z P P tg tức là = 57o20 phút. 2.13. ĐỊNH LUẬT ÁCSIMÉT. Ta xét áp lực thủy tĩnh tác dụng vào một vật rắn có thể tích W ngập hoàn toàn trong chất lỏng (hình 2.22). Muốn vật ta xét thành phần thẳng đứng P’z và thành phần nằm ngang P’x của áp lực P. Muốn xác định thành phần áp lực của P’z của P ta vẽ mặt trụ thẳng đứng mà các đƣờng sinh của mặt trụ đều là những tiếp tuyến đối với mặt ngoài của vật rắn; đƣờng 29 cong đi qua các điểm tiếp xúc giữa mặt trụ và mặt ngoài của vật chia vật rắn thành hai phần không kín; phần trên cde và phần dƣới cfe. Lực P’z1 tác dụng lên phần trên bằng trọng lƣợng của vật áp lực abcde và hƣớng thẳng đứng; theo quy ƣớc về dấu của vật áp lực thì P’z1 mang dấu (+). P’z1 = + Vabcde Lực P’z2 tác dụng lên phần dƣới bằng trọng lƣợng của vật áp lực abcfe và hƣớng thẳng đứng lên trên; P’z2 mang dấu (-). P’z2 = - Vabcfe Tổng hợp lực thẳng đứng P’z tác dụng lên toàn bộ mặt kín cdef bằng: P’z = P’z1 + P’z2 = (Vabcde – Vabcfe) = - Vcdef = - W Và bao giờ nó cũng hƣớng lên trên thì bao giờ cũng có: | P’z2 | > | P’z1 | Muốn xác định thành phần nằm ngang P’z của P ta vẽ mặt trụ nằm ngang mà các đƣờng sinh đều tiếp xúc với mặt ngoài của vật rắn; đƣờng cong đi qua tất cả các điểm tiếp xúc giữa mặt trụ và mặt ngoài của vật chia mặt ngoài của vật rắn thành hai phần không kín: phần trái kcm và phần phải kem. Ta thấy những hình chiếu thẳng đứng k’c’m’ và k’e’m’ của những mặt kcm, kem bằng nhau và trọng tâm của những hình chiếu đó ở độ sâu bằng nhau nên tổng hợp hai phần tổng áp lực nằm ngang ở bên trái và bên phải bằng không: P’z = 0; nhƣ vậy chỉ còn lại P = Pz. Vậy: Một vật rắn ngập hoàn toàn trong chất lỏng chịu tác dụng của một áp lực hướng lên trên, có trị số bằng trọng lượng khối chất lỏng bị vật rắn choán chỗ. Đó là định luật Ácsimét, áp lực đó gọi là lực Ácsimét hoặc lực đẩy (còn gọi là lực nâng). Phƣơng của lực Ácsimét đi qua trọng tâm D của khối chất lỏng bị vật rắn choán chỗ, điểm D đƣợc gọi là tâm đẩy. Chú ý rằng tâm đẩy D không phải là điểm đặt của lực Ácsimét. Định luật Ácsimét cũng dùng cho vật nổi, tức là cho vật không bị chìm hoàn toàn trong chất lỏng vả nổi trên mặt tự do của chất lỏng. Lúc đó, áp lực thủy tĩnh tác dụng lên phần bị ngập trong nƣớc bằng trọng lƣợng khối chất lỏng bị phần ngập của vật rắn choán chỗ. 30 2.14. SỰ CÂN BẰNG CỬA VẬT RẮN NGẬP HOÀN TOÀN TRONG CHẤT LỎNG. Trên cơ sở định luật Ácsimét, ta nghiên cứu sự cân bằng của một vật rắn nói chung không đồng chất ngập hoàn toàn trong chất lỏng, vật rắn chịu tác dụng của hai lực thẳng đứng: trọng lƣợng G đặt tại trọng tâm C của vật rắn, hƣớng xuống dƣới và lực đẩy Ácsimét Pz đặt tại tâm đẩy D, tức là tại trọng tâm vật đó khi coi vật là đồng chất, hƣớng lên trên. Muốn vật đó đứng cân bằng tức là vật không chìm xuống, không nổi lên, không tự quay thì hai lực Pz và G phải bằng nhau và đặt trên cùng một đƣờng thẳng đứng. Vị trí của hai điểm C và D ảnh hƣớng đến tính chất cân bằng của vật rắn. 1. Trƣờng hợp C ở thấp hơn D (hình 2.23a) thì sự cân bằng là ổn định, vì nếu đẩy vật dịch khỏi vị trí cân bằng thì dƣới tác dụng của ngẫu lực lập bởi Pz và G vật lại trở về vị trí nhƣ cũ. 2. Trƣờng hợp C ở cao hơn D (hình 2.23b) thì sự cân bằng không ổn định, vì nếu đẩy vật dịch khỏi vị trí cân bằng thì ngẫu lực lập bởi Pz và G cho vật lộn ngƣợc đi xa vị trí cũ và chiếm vị trí cân bằng ổn định. 3. Trƣờng hợp C và D trùng nhau (hình 2.23c), nghĩa là trong trƣờng hợp vật đồng chất thì ở trạng thái cân bằng phiếm định, nghĩa là vật đứng cân bằng với bất cứ vị trí ban đầu nào. Vật rắn không ở trạng thái cân bằng nếu Pz G, nếu Pz G thì vật nổi lên. 2.15. SỰ CÂN BẰNG CỦA VẬT RẮN NỔI TRÊN MẶT TỰ DO CỦA CHẤT LỎNG. Điều kiện cân bằng của vật rắn nổi trên mặt tự do của chất lỏng không giống hẵn với điều kiện cân bằng của vật rắn ngập hoàn toàn trong chất lỏng. Ta xét một vật nổi trên mặt nƣớc, thí dụ nhƣ một tấm gỗ, một con tàu,… khi vật đã ở trạng thái nổi thì tất nhiên điều kiện Pz = G đã đƣợc thoả mãn. Rõ ràng là nếu trong tâm C của vật nổi (có thể đồng chất hay không đồng chất) ở thấp hơn tâm đẩy D thì sự cân bằng của vật nổi là ổn định. Tuy nhiên, nếu trọng tâm C ở cao hơn tâm đẩy, vật chƣa phải hoàn toàn không còn có thể ở trạng thái cân bằng ổn định. Ta nghiên cứu điều kiện cân bằng ổn định của vật nổi khi C ở cao hơn D. Trƣớc hết cần định nghĩa một số yếu tố (hình 2.24). 31 - Mớn nước là giao tuyến của vật nổi với mặt nƣớc. - Mặt nổi là mặt phẳng có chu vi là đƣờng mớn nƣớc. - Trục nổi là đƣờng thẳng góc với mặt nổi qua tâm vật nổi. Các định nghĩa trên đây ứng với lúc vật nổi ở trạng thái cân bằng. Khi vật bị nghiêng đi thì tâm đẩy D cũng thay đổi vị trí đến D’ (hình 2.25). Giao điểm của trục nổi với phƣơng của lực đẩy mới gọi là tâm định khuynh M. Khi góc nghiêng của trục nổi và đƣờng thẳng đứng nhỏ hơn 15o ( < 15o) thì có thể coi nhƣ tâm đẩy D di chuyển trên một cung tròn tâm M bán kính là khoảng cách từ M đến D. Đoạn MD gọi là bán kính định khuynh và kí hiệu là . Khoảng cách từ M đến D gọi là độ cao định khuynh, kí hiệu hM = MC. Khoảng cách từ C đến D kí hiệu là e. Ta có: hM = - e. Trị số này có thể dƣơng, âm hoặc bằng không. Ta xét các trƣờng hợp có thể xảy ra sau khi vật nổi bị nghiêng (hình 2.26). - Khi M cao hơn C (hM > 0) (hình 2.26a): ngẫu lực do G và P tạo nên có xu hƣớng làm vật nổi trở lại trạng thái cân bằng ban đầu, ta có vật nổi ổn định. - Khi M thấp hơn C (hM < 0) (hình 2.26b): ngẫu lực có xu hƣớng lầm vật càng nghiêng đi, ta có vật nổi không ổn định. - Khi M trùng với C (hM = 0), trƣờng hợp này không tạo nên ngẫu lực hợp lực luôn triệt tiêu, ở mọi vị trí vật đều cân bằng, do đó sau khi bị nghiêng, vật nổi vẫn ở trạng thái nghiêng mà không trở lại vị trí cân bằng ban đầu, ta có vật nổi ở trạng thái cân bằng phiếm định. Nhƣ vậy sự cân bằng ổn định của vật nổi đƣợc xác định không phải bởi vị trí tƣơng ứng giữa C và D mà giữa C và M; điều kiện để vật nổi đƣợc ổn định là hM > 32 0. Muốn xác định hM trƣớc hết ta cần tính ra bán kính định khuynh . Sau đây là các suy diễn công tính . Giả sử ta quay vật nổi đi một góc nhỏ (hình 2.25), lúc đó một thể tích W1 thoát khoải mặt chất lỏng và một thể tích W2 chìm vào chất lỏng. Vì thể tích W chìm trong chất lỏng của vật nổi vẫn giữ không đổi nên W1 = W2. Giả sử lực đẩy Ácsimét P2 = W bị buộc chặt vào điểm D trong khi vật bị quay đi một góc ; khi đó phải bổ sung vào hai lực P1, P2 bằng nhau: lực P1 = W1 là trọng lƣợng khối W1 và lực P2 = W2 là lực đẩy của chất lỏng vào khối W2 (hình 2.25a). Trên thực tế ba lực trên không có, mà chỉ tồn tại lực đẩy P’z =Pz đặt tại tâm đẩy mới D’. Rõ ràng là lực P’z tƣơng đƣơng với ba lực Pz, P1 và P2. Nếu ta đặt D’ lực P’’z = P’z nhƣng ngƣợc chiều với P’z thì hai lực P’’z và P’z cân bằng nhau. Nhƣ vậy hệ thống bốn lực P’z, Pz, P1 và P2 là một hệ thống cân bằng vì tổng số những hình chiếu của bốn lực đó trên trục bất kì bằng không và tổng số mômen những lực đó đối với một trục bất kì cũng bằng không. Mômen của lực Pz và P’z bằng: M(Pz, P’’z) = Pza = Pz sin = W sin Mômen của P1 đối với trục quay (hình 2.25b) bằng: 1 11 .)( P dPxPM Ta tính dP1 (hình 2.25b): dP1 = .d .x.tg Do đó: 1. 2 1. 1 ......)( tgxxtgxdPM Vì khá nhỏ, nên ta coi tg , do đó L 1. 2 1 ...)( dxPM Cũng nhƣ vậy mômen của P2 đối với trục quay bằng: 2. 2 2 ...)( dxPM Vậy tổng hợp những mômen của P1và P2 bằng: dxPPM ...),( 221 Trong đó tích phân phải lấy đối với toàn bộ diện tích của mặt nổi. Từ sự cân bằng của những mômen của bốn lực nói trên: M(Pz, P’’z) = M(P1, P2) 33 Ta viết đƣợc: dxW ..sin 2 Do đó (coi sin ): WW dx 1 2 (2-37) Trong đó: dxI 1 - mômen quán tính của vật nổi với trục quay. W – nhƣ trên đã nói là thể tích chất lỏng bị choán chỗ. Biết vị trí C, D của vật nổi cho trƣớc, tức là đã biết trị số CD = , ta tính ra đƣợc hM = - e, trong đó tính theo (2-37). Trong kĩ thuật đóng tàu, thuyền thƣờng lấy hM = 0,3m 1,5m tùy theo hình dạng, kích thƣớc và công cụ của tàu. Thí dụ: Một khúc gỗ đặc, dài L = 60cm, rộng b = 20cm, cao h = 30cm. Trọng lƣơng riêng của gỗ 0,008N/cm3. Hỏi khi thả vào nƣớc theo mặt 60 20cm thì nó ngập bao nhiêu và có cân bằng bền không (hình 2.27), lấy nƣớc 0,01N/cm 3 . Giải: Trọng lƣợng khúc gỗ: G = V = 0,008 60 20 30 = 288N. Giả sử khi cân bằng khúc gỗ ngập sâu h1, thì lực đẩy Ácsimét bằng: Pz = nƣớc V = 0,01 20h1 = 12h1 Mà Pz = G. Do đó: 288 = 12h1 h1 = cm24 12 288 e = DC = cm3 2 24 2 30 DM = = cm39,1 242060 12 2060 3 DC > DM nghĩa là tâm định khuynh M ở thấp hơn C. Khúc gỗ đặt nhƣ vậy không ổn định. Nếu hơi nghiêng đi là nó lật ngang ra và nằm ổn định trên mặt 60 30cm (hình 2.27). 34 CHƢƠNG 3. CƠ SỞ ĐỘNG LỰC HỌC CHẤT LỎNG 3.1. NHỮNG KHÁI NIỆM CHUNG. Động lực học chất lỏng nghiên cứu những quy luật chung về chuyển động của chất lỏng. Nhƣ đã biết, khi chất lỏng thực (nhớt) chuyển động, xuất hiện sức ma sát trong nên những kết luận về động lực học của chất lỏng lý tƣởng và chất lỏng thực (nhớt) là khác nhau. Động lực chất lỏng nghiên cứu chuyển động của chất lỏng mà không xét đến những lực tác dụng. Vì vậy, phƣơng trình động học là chung cho chất lỏng lí tƣởng và chất lỏng thực. Ta coi môi trƣờng chất lỏng chuyển động là môi trƣờng liên tục, bao gồm vô số phân tử chất lỏng vô cùng nhỏ chuyển động, mỗi phần tử nhỏ đó đƣợc đặc trƣng bởi những đại lƣợng cơ bản của sự chuyển động gọi là những yếu tố của chuyển động, đó là: a) Áp suất thủy động (p). Trong chuyển động của chất lỏng lí tƣởng, áp suất thủy động hƣớng về mặt chịu lực tác dụng và hƣớng theo pháp tuyến của mặt đó, vì thành phần tiếp tuyến không có, do đó áp suất thủy động của chất lỏng lí tƣởng có những tính chất nhƣ áp suất thủy tĩnh. Trong chuyển động của chất lỏng thực, áp suất thủy động hƣớng vào mặt chịu tác dụng nhƣng không hƣớng theo pháp tuyến, vì nó là tổng hợp của thành phần ứng suất pháp tuyến pn và thành phần ứng suất tiếp tuyến , do tính nhớt gây ra. b) Vận tốc (u).Của phần tử chất lỏng gọi là lƣu tốc điểm (coi phần chất lỏng chiếm vị trí vô cùng nhỏ nhƣ một điểm). c) Gia tốc (a) của phần tử chất lỏng. Những yếu tố của chuyển động có thể biến đổi liên tục theo vị trí của phần tử và theo thời gian, nên chúng là hàm số liên tục của tọa độ không gian x, y, z và thời gian t. p = p(x, y, z, t); u = u (x, y, z, t); a = a(x, y, z, t) 3.2. CHUYỂN ĐỘNG KHÔNG ỔN ĐỊNH VÀ CHUYỂN ĐỘNG ỔN ĐỊNH. Trong khi nghiên cứu sự chuyển động của chất lỏng, chúng ta sẽ đƣa dần ra nhiều cách phân loại nhằm đi sâu vào từng mặt chuyển động. Ở đây chúng ta phân ra làm 2 loại chuyển động không ổn định và ổn định. Chuyển động không ổn định là chuyển động mà các yếu tố chuyển động phụ thuộc vào thời gian, tức là: u = u(x, y, z, t); p = p(x, y, z, t); v.v… 35 hoặc ....;0;0 vv dt dp dt du Thí dụ khi mực nƣớc ở trong bể chứa thay đổi thì các yếu tố chuyển động ở một điểm bất kì trong môi trƣờng chảy đều thay đổi theo thời gian (thí dụ nếu nƣớc H giảm dần, lƣu tốc ở điểm A trên luồng nƣớc sẽ giảm dần) (hình 3.1). Chuyển động ổn định là chuyển mà các yếu tố chuyển động không biến đổi theo thời gian, tức là: u = u(x, y, z); p = p(x, y, z); v.v… hoặc: ....;0;0 vv dt dp dt du Thí dụ: Khi mực nƣớc trong bể chứa không biến đổi (hình 3.2) thì các yếu tố chuyển động ở mọi điểm trong môi trƣờng chảy đều không đổi theo thời gian, lƣu tốc ở điểm A trên luồng nƣớc cũng không đổi. Chủ yếu chúng ta nghiên cứu chuyển động ổn định của chất lỏng. 3.3. QUỸ ĐẠO – ĐƢỜNG DÕNG. Quỹ đạo là đường đi của một phần tử chất lỏng không gian. Đường dòng là đường cong đi qua các phần tử chất lỏng có véctơ lưu tốc là những tiếp tuyến của đường ấy. Có thể vẽ đƣờng trong môi trƣờng chất lỏng nhƣ sau: Tại thời điểm t, phần tử chất lỏng M có tốc độ u biểu thị bằng véctơ u , cũng ở thời điểm đó, phần tử chất lỏng M1 ở sát cạnh phần tử M và nằm trên véctơ u có tốc độ u 1 và phần tử chất lỏng M1 ở sát cạnh phần tử M1 nằm trên véctơ u 1 có tốc độ u 2; cứ tiếp tục cách làm nhƣ trên ta có đƣợc những điểm M3, M1,… với những véctơ lƣu tốc u 3, u 4,… Đƣờng cong C đi qua các điểm M, M1, M2, M3, M4,… Lấy những tốc độ u 1, u 2, u 3, u 4,… làm tiếp tuyến, đó chính là một đƣờng dòng ở thời điểm t (hình 3.3). Do vận tốc có thể thay đổi đối với thời gian, nên khái niệm đƣờng dòng có liên quan chặt chẽ đến thời gian, ứng với những thời điểm khác nhau, có những đƣờng dòng khác nhau. Do định nghĩa về đƣờng dòng ta thấy hai đƣờng dòng không thể giao nhau hoặc tiếp xúc nhau. 36 Trong chuyển động ổn định, vì các yếu tố chuyển động không thay đổi theo thời gian, nên đƣờng dòng đồng thời lại là quỹ đạo của những phần tử chất lỏng ấy. 3.4. DÕNG NGUYÊN TỐ - DÕNG CHẢY. Trong thời gian chứa đầy chất lỏng chuyển động, ta lấy một đƣờng cong kín, giới hạn một diện tích vô cùng nhỏ d , tất cả các đƣờng dòng đi qua các điểm trên đƣờng cong kín đó tạo thành mặt có dạng mặt ống (hình 3.4a) gọi là ống dòng. Khối lƣợng chất lỏng chuyển động trong không gian, giới hạn bởi ống dòng gọi là dòng nguyên tố. Có thể hình dung dòng nguyên tố là tập hợp những đƣờng dòng đi qua tất cả những điểm của diện tích d nói trên. Do tính chất không giao nhau của những đƣờng dòng, chất lỏng không thể xuyên qua ống dòng mà đi ra hoặc đi vào dòng nguyên tố. Trong không gian chứa đầy chất lỏng chuyển động, ta lấy một đƣờng cong kín giới hạn bởi một diện tích hữu hạn bao gồm vô số diện tích d vô cùng nhỏ, và bằng cách nói trên để tạo nên vô số dòng nguyên tố; tập hợp những dòng nguyên tố đó là dòng chảy (hình 3.4b). Môi trƣờng chất lỏng chuyển động có thể coi là môi trƣờng liên tục bao gồm vô số dòng nguyên tố, tức là môi trƣờng đó có coi là một dòng chảy. Trong các chƣơng trình sau sẽ nghiên cứu sự chuyển động của chất lỏng dƣới dạng chảy; cho nên cần phải xác định trƣớc các yếu tố thủy lực của dòng chảy. 3.5. NHỮNG YẾU TỐ THỦY LỰC CỦA DÕNG CHẢY. 1. Mặt cắt ƣớt (mặt ƣớt). Là mặt cắt thẳng góc với tất cả các đƣờng dòng. Mặt cắt ƣớt có thể là mặt phẳng (thí dụ m-m; n- n) (hình 3.5) khi các đƣờng cong là những đƣờng thẳng song song, và có thể là cong (thí dụ c-c; d-d) khi các đƣờng dòng không song song. Diện tích mặt cắt ƣớt của dòng chảy kí hiệu là ; khi diện tích mặt cắt ƣớt vô cùng nhỏ d , ta có dòng nguyên tố. 2. Chu vi ƣớt. Trong thực tế, chất lỏng thƣờng chuyển động trong những biên giới rắn. Khi đó, chu vi mặt cắt ƣớt có bộ phận là thành rắn, có bộ phận không, hoặc có thể toàn bộ thành rắn. 37 Chu vi ƣớt là chiều dài của phần tiếp xúc giữa chất lỏng và thành rắn trên mặt cắt ƣớt, chu vi ƣớt kí hiệu (đọc là “khi”). Theo hình 3-6a: = AB + BC + CD Theo hình 3-6b: = .d 3. Bán kính thủy lực. Là tỉ số giữa diện tích mặt cắt ƣớt và chu vi ƣớt , kí hiệu R: R (3-1) 4. Lƣu lƣợng. Là thể tích chất lỏng đi qua mặt cắt ƣớt nào đó trong một đơn vị thời gian. Kí hiệu Q. Đơn ví là m3/s, 1/s. Giả thiết ta có một diện tích phẳng d , tốc độ u của chất lỏng đi qua diện tích lập với pháp tuyến của diện tích một góc . Thể tích chất lỏng dW đi qua trong thời gian dt, rõ ràng bằng thể tích hình trụ đáy d , dài u.dt tức là tính số giữa đáy d với chiều cao u.dt.cos (hình 3.7). dW = dQ.dt = u.dt. cos .d Gọi un là hình chiếu của u lên pháp tuyến, ta có un = u. cos . Vậy: dQ = un.d Nếu diện tích phẳng d lại là mặt cắt ƣớt của một dòng nguyên tố thì rõ ràng lƣu tốc điểm trên mặt cắt ƣớt thẳng góc với mặt đó (theo định nghĩa của mặt cắt ƣớt). Vậy lƣu lƣợng nguyên tố dQ của dòng nguyên tố bằng: dQ = u.d (3-2) Lƣu lƣợng của toàn dòng chảy là tổng số các lƣu lƣợng nguyên tố của mặt cắt ƣớt trên toàn dòng: Q = uddQ (3-3) 5. Lƣu tốc trung bình của dòng chảy tại một mặt cắt là tỉ số lƣu lƣợng Q đối với diện tích của mặt cắt đó. Kí hiệu bằng v; đơn vị m/s; cm/s: 38 Q v (3-4) Theo định nghĩa này ta có thể thay thế dòng chảy thực tế có sự phân bố các véctơ lƣu tốc điểm u không đều trên mặt cắt ƣớt bằng dòng chảy tƣởng tƣợng có các véctơ lƣu tốc song song và bằng nhau trên mặt cắt ƣớt và bằng v, sao cho lƣu lƣợng đi qua hai dòng chảy đó đều bằng nhau; căn cứ vào điều giải thích này ta thấy rõ việc thay thế đó chỉ làm đƣợc khi mặt cắt ƣớt là mặt phẳng; đó chính là điều kiện liên quan tới khái niệm lƣu tốc trung bình trên mặt cắt ƣớt v, hoặc nói cách khác, điều kiện các đƣờng dòng phải là song song. Trong trƣờng hợp dòng chảy phẳng, sự thay thế nói trên có nghĩa là có thể thay thế đƣờng cong phân bố lƣu tốc điểm u bằng đƣờng thẳng phân bố lƣu tốc trung bình v sao cho diện tích giản đồ phân bố lƣu tốc thực = ud bằng diện tích hình chữ nhật ’ = v. (hình 3.8). Từ (3-3) và (3-4), ta viết đƣợc: ud v (3-5) Nhƣ vậy, lƣu lƣợng bằng thể tích hình trụ có đáy là mặt cắt ƣớt, chiều cao bằng lƣu tốc trung bình mặt cắt ƣớt (hình 3.8). Lƣu tốc trung bình của mặt cắt ƣớt v rất hay dùng trong khi nghiên cứu nhiều vấn đề thủy lực; vì vậy khái niệm này rất quan trọng. Các yếu tố thủy lực trình bày ở trên đều nói cho một mặt cắt; chúng thay đổi từ mặt cắt này sang mặt cắt khác, tức là thay đổi teo chiều dài dòng chảy. Nhƣ vậy chúng là hàm số của chiều chuyển động s. Do đó bài toán nghiên cứu theo mẫu dòng nguyên tố trở thành bài toán một chiều. 3.6. PHƢƠNG TRÌNH LIÊN TỤC CỦA DÕNG CHẢY ỔN ĐỊNH. Chất lỏng chuyển động một cách liên tục, nghĩa là trong môi trƣờng chất lỏng chuyển động không hình thành những vùng không gian trống không, không chứa chất lỏng. Tính chất liên tục đó có thể biểu thị bởi biểu thực toán học là phƣơng trình liên tục. Trƣớc tiên ta xác lập phƣơng trình liên tục của dòng nguyên tố chay ổn định. Trên một dòng nguyên tố ta lấy hai mặt cắt A và B có diện tích tƣơng xứng là d 1 và d 2 (hình 3.9) với lƣu tốc điểm tƣơng ứng là u1; u2. Sau thời gian dt thể tích chất lỏng ở trên dòng nguyên tố giới hạn bởi hai mặt cắt A và B có vị trí mới là thể tích của dòng giới hạn bởi các mặt A’ và B’. 39 Trong chuyển động ổn định, hình dạng của dòng nguyên tố không thay đổi theo thời gian, đồng thời chất lỏng không xuyên qua ống dòng mà đi ra hoặc đi vào dòng nguyên tố, ta có thể nói rằng muốn trong dòng nguyên tố không có chỗ trống đối với chất lỏng không nén đƣợc, thì thể tích chất lỏng trong đoạn nguyên tố giới hạn bởi hai mặt cắt A và B phải là một trị số không đổi tức là: thể tích khối [A, B] = thể tích khối [A’B’], vì thể tích khối [A’B’] là chung nên ta có: thể tích khối [A’A’] = thể tích khối [B’B’]. Thể tích khối [A’A’] = u1d 1dt; Thể tích khối [B’B’] = u2 2dt. Vậy: u1d 1dt = u2d 2dt Do đó: u1d 1 = u2d 2 (3-6) Phƣơng trình (3-6) là phƣơng trình liên tục của dòng nguyên tố. Theo (3-2) biểu thức (3-6) viết thành: dQ1 = dQ2 hoặc dQ = const (3-7) Chú ý trong phƣơng trình (3-6) không có yếu tố lực nên nó dùng cho cả chất lỏng lí tƣởng lẫn chất lỏng thực. Từ phƣơng trình liên tục (3-6) của dòng nguyên tố ổn định, ta suy ra phƣơng trình liên tục từ dòng chảy ổn định. Ta tích phân phƣơng trình (3-6) cho toàn mặt cắt : 21 2211 dudu (3-8) Theo (3-5) có thể dựa vào lƣu tốc trung bình mặt cắt ƣớt v1 và v2 tƣơng ứng với mặt cắt ƣớt 1 và 2. Nhƣ vậy phƣơng trình (3-8) viết thành v1 1 = v2 2 (3-9) Đó là phƣơng trình liên tục của dòng chảy ổn định của chất lỏng không nén đƣợc, nó dùng cho cả chất lỏng lí tƣởng lẫn chất lỏng thực. Từ công thức (3-4) có thể biến đổi (3-8) viết thành: Q1 = Q2 hoặc Q = const (3-9’) Nhƣ vậy, trong dòng chảy ổn định, lƣu lƣợng qua các mặt cắt đều bằng nhau. Chú ý rằng từ (3-9) có thể viết: 2 1 2 1 v v (3-10) Tức là dòng chảy ổn định, lƣu tốc trung bình tỉ lệ nghịch với diện tích mặt cắt ƣớt. 40 Thí dụ 1: Với lƣu lƣợng 30 l/s nƣớc chảy đầy qua một ống tròn có đƣờng kính d1=20cm, rồi sang một ống tròn khác d2 = 10cm. Tìm tốc độ trung bình v của dòng chảy trong mỗi ống. Lƣu lƣợng Q = 30 l/s = 0,030 m3/s. Lƣu tốc trong ống thứ nhất: sm d qQ v /95,04 2,014,3 03,0 4 . 2211 1 Lƣu tốc trong thứ 2: sm d qQ v /8,34 2,014,3 03,0 4 . 2221 1 3.7. PHƢƠNG TRÌNH BÉCNULI CỦA DÕNG NGUYÊN TỐ CHẤT LỎNG LÍ TƢỞNG, CHẢY ỔN ĐỊNH. Để suy ra phƣơng trình Becnuli, ta áp dụng định luật động năng; “Sự biến thiên động năng của một khối lƣợng nhất định khi nó di động trên một quãng đƣờng, thì bằng công của các lực tác dụng lên khối lƣợng đó, cũngh trên quãng đƣờng đó”. Trong dòng chảy ổn định của chất lỏng lí tƣởng, ta lấy một dòng nguyên tố và xét một đoạn dòng nguyên tố giới hạn bởi những mặt cắt 1-1 và 2-2 (hình 3.10) có diện tích tƣơng ứng d 1 và d 2. Ta lấy một mặt phẳng nằm ngang ox làm mặt phẳng chuẩn; mặt cắt 1-1 có trọng tâm ở độ cao z1 đối với mặt chuẩn, áp suất thủy động lên mặt cắt đó là p1, lƣu tốc là u1, mặt cắt 2-2 có những trị số tƣơng ứng là z2, u2, và p2. Vì những mặt cắt 1-1 và 2-2 vô cùng nhỏ nên có thể giả thiết là những trị số u1, p1, và u2, p2 không đổi đối với bất kì điểm nào trên những mặt cắt tƣơng ứng. Sau một thời gian vô cùng nhỏ t các phân tử chất lỏng của mặt cắt ƣớt 1-1 đã di động sau một quãng đến vị trí 1’-1’, độ dài s1 của quãng đƣờng đó bằng: S1 = u1 t. Cũng trong thời gian t, các phần tử chất lỏng của mặt cắt 2-2 di động một quãng đến vị trí mới 2’-2’, độ dài S2 của quãng đƣờng đó bằng: S2 = u2 t. Lƣu lƣợng đi qua mặt ƣớt 1-1 và 2-2 bằng: dQ1 = u1d 1 = u2d 2 41 Không gian giữa 1-1 và 2’-2’ có thể chia làm 3 khu; a, b, c (hình 3.10). Trong thời gian t sự biến thiên động năng (đn) của đoạn dòng nguyên tố đang xét bằng hiệu suất động năng của khu c và khu a, vì động năng của khu b không đổi: 2 . 2 .. 2 ...)( 2 1 2 2 2 1 2 2 uutdQ g u tdQ u tdQđn Ta tính đến công của các lực ngoài tác dụng lên khối lƣợng của đoạn dòng nguyên tố đang xét. Các lực ngoài gồm trọng lực và áp lực thủy động. Công sinh ra bởi trọng lực C (trl) của đoạn dòng nguyên tố đang xét bằng công của trọng lực khối chất lỏng khu a di chuyển một độ cao bằng z1 – z2 để đi tới khu c, tức là: C(trl) = .d 1 s1 (z1 - z2) = .dQ. t (z1 - z2) Áp lực thủy động tác dụng lên đoạn nguyên tố đang xét gồm lực: P1 = p1d 1 hƣớng thẳng góc vào mặt cắt 1-1; P2 = p2d 2 hƣớng thẳng góc vào mặt cắt 2-2; Các động lực bên hƣớng thẳng góc với phƣơng chuyển động nên không sinh ra công. Công tính ra bởi áp lực P1 và P2 bằng: C(áp) = P1 s1 – P2 s2 = p1d 1 s1 – p2d 2 s2 C(áp) = p1d 1u1 t – p2d 2u2 t = dQ(p1 – p2) t Theo định luật động năng ta viết đƣợc: (đn) = C(trl) + C(áp) Tức là: tppdQzztdQ uu tdQ g )()(.. 2 . 2121 2 1 2 2 Chia hai vế cho tdQ.. , tức là viết phƣơng trình đông năng cho một đơn vị trọng lƣợng chất lỏng, ta có: 21 21 2 1 2 2 22 PP zz g u g u Từ đó: (3-11) Vì các mặt 1-1 và 2-2 của dòng nguyên tố là tùy ý chọn, nên phƣơng trình (3-11) có thể viết dƣới dạng: const g uP z 2 2 (3-12) 42 Phƣơng trình (3-11) và (3-12) gọi là phƣơng trình Becnuli cỷa dòng nguyên tố chất lỏng lí tƣởng, chuyển động ổn định. Phƣơng trình này là một phƣơng trình cơ bản của thủy lực, rất quan trọng. 3.8. PHƢƠNG TRÌNH BÉCNULI CỦA DÕNG NGUYÊN TỐ CHẤT LỎNG THỰC CHẢY ỔN ĐỊNH. Chất lỏng thực có tính nhớt và khi nó chuyển động thì sinh ra sức ma sát trong làm cản trở chuyển động. Muốn khắc phục sức cản đó chất lỏng phải tiêu hao một phần cơ năng biến thành nhiệt năng mất đi không lấy đƣợc. Vì vậy đối với chất lỏng thực const g up z 2 2 11 1 , mà giảm dọc theo chiều chảy. Nếu chất lỏng chuyển động từ mặt cắt 1-1 đến 2-2 thì: g up z g up z 22 2 22 2 2 11 1 Kí hiệu h’w là phần năng lƣợng bị tiêu hao trọng lƣợng chất lỏng chuyển động từ mặt cắt 1-1 đến 2-2, phƣơng trình Bécnuli của dòng nguyên tố chất lỏng thực viết cho mặt cắt 1-1 và 2-2 sẽ là: ' 2 22 2 2 11 1 22 wh g up z g up z (3-13) Số hạng h’w gọi là tổn thất năng lƣợng đơn vị của dòng nguyên tố, hay còn gọi là tổn thất cột nƣớc của dòng nguyên tố. Nếu ta gọi H = z const g up 2 2 11 , thì bất kì một mặt cắt 2-2 nào sau mặt cắt 1-1, ta đều có: constHh g up z w ' 2 2 (3-13’) Phƣơng trình (3-13’) cũng là một dạng của phƣơng trình Bécnuli của dòng nguyên tố chất lỏng thực. 3.9. Ý NGHĨA NĂNG LƢỢNG VÀ THỦY LỰC CỦA PHƢƠNG TRÌNH BÉCNULI VIẾT CHO DÕNG NGUYÊN TỐ CHẢY ỔN ĐỊNH. 1. Ý nghĩa năng lƣợng của ba số hạng trong phƣơng trình Bécnuli. Trong phƣơng trình Bécnuli các số hạng đều là viết đối với đơn vị trọng lƣợng chất lỏng; ý nghĩa năng lƣợng của 2 số hạng đầu z và p đã giải thích ở phần thủy tĩnh học; z là năng đơn vị; p là áp năng đơn vị. Tổng số )( p z đại lƣợng thế năng đơn vị. 43 Còn số hạng thứ ba g u 2 2 từ quá trình suy diễn phƣơng trình Bécnuli bằng định luật động năng, ta thấy rằng g u 2 2 chính là động năng của một đơn vị trọng lƣợng chất lỏng gọi tắt là động năng đơn vị. Tổng số của ba số hạng g up Z 2 2 trong phƣơng trình Bécnuli biểu thị tổng cơ năng của một đơn vị trọng lƣợng, tức là tổng số của thế năng đơn vị là động năng đơn vị. Tổng cơ năng đối với một chất chuẩn chọn trƣớc của một đơn vị trọng lƣợng chất lỏng của dòng nguyên tố, gọi là cơ năng đơn vị của dòng nguyên tố. Do đó phƣơng trình Bécnuli của dòng nguyên tố chất lỏng lý tƣởng nói rằng trên tất cả các mặt cắt ƣớt của dòng nguyên tố chất lỏng lý tƣởng, cơ năng đơn vị của chất lỏng là một hằng số. Còn đối với dòng nguyên tố chất lỏng thực thì phƣơng trình Bécnuli (3-13) nói rằng cơ năng đơn vị của dòng nguyên tố giảm đi dọc theo phƣơng chảy. Nhƣ vậy ý nghĩa của phƣơng trình Bécnuli về phƣơng diện vật lý là một cách biểu đạt định luật bảo toàn năng lƣợng trong thiên nhiên do Lômôxốp đề ra. 2. Ý nghĩa thủy lực của ba số hạng trong phƣơng trình Bécnuli. Trong phƣơng trình Bécnuli, số hạng thứ nhất là z là độ cao của trọng tâm mặt cắt ƣớt nguyên tố đối với một mặt chuẩn có thứ nguyên là độ dài; số hạng này còn gọi là độ cao hình học hoặc cột nƣớc vị trí. Số hạng thứ hai p , nhƣ ta đã biết ở thủy tĩnh học, cũng có thứ nguyên là độ dài, nếu ta có thể cùng bớt đi trọng lƣợng ap ở hai vế của phƣơng trình Bécnuli thì phƣơng trình vẫn đúng; nhƣ vậy trong phƣơng trình Bécnuli đã đã có thể dùng độ cao áp suất tuyệt đối hoặc độ cao áp suất dƣ. Vậy số hạng thứ hai p đại biểu cho độ cao áp suất của mặt cắt ƣớt nguyên tố, thƣờng gọi là cột nƣớc áp suất. Số hạng thứ ba g u 2 2 của phƣơng trình cũng có thứ nguyên là độ dài; nó đại biểu cho độ cao mà ta đã thấy trong vật lý: đó là độ cao đạt đƣợc khi ta ném một vật theo đƣờng thẳng đứng từ dƣới lên trên với tốc độ ban đầu là u, không có trở lực gì của ngoại 44 giới đối với sự chuyển động của vật g u h 2 2 , số hạng g u h 2 2 gọi là cột nƣớc lƣu tốc. Vậy phƣơng trình Bécnuli viết cho dòng nguyên tố chất lỏng lý tƣởng (3-11) có thể biểu đạt nhƣ sau: Đối với mỗi đơn vị trọng lƣợng chất lỏng, trên một dòng nguyên tố đã biết, tổng số ba cột nƣớc: cột nƣớc vị trí, cột nƣớc áp lực và cột nƣớc lƣu tốc là một hằng số. Vì các số hạng của phƣơng trình Bécnuli đều có đơn vị là độ cao, nên có thể dùng hình vẽ để phản ánh sự biến thiên của các cột nƣớc dọc theo dòng chảy, vẽ theo tỉ lệ xích định trƣớc. Giả thử có một dòng nguyên tố chất lỏng lý tƣởng (hình 3.11) trên đó lấy hai mặt cắt ƣớt 1-1 và 2- 2, trọng tâm của hai mặt cắt là A và B ở độ cao z1 và z2 đối với mặt chuẩn 0-0. tại điểm A của mặt cắt ƣớt 1-1 ta vẽ đoạn AA1 thẳng đứng, đại biểu cho cột áp suất 1P ; tại điểm A1, ta thêm vào một đoạn thẳng đứng A1A2 đại biểu cho cột nƣớc lƣu tốc g u 2 2 1 . Ta cũng làm tƣơng tự nhƣ vậy cho điểm B ở mặt cắt 2-2. Vì tổng số g up z 2 2 tại bất kỳ mặt cắt ƣớt nguyên tố nào trên cùng một dòng nguyên tố là một hằng số, nên những đỉnh A2, B2,… của tổng số những đoạn thẳng đều cùng ở trên một đƣờng thẳng nằm ngang cách mặt chuẩn một đoạn không đổi H. Đƣờng thẳng đó gọi là đƣờng tổng cột nƣớc, biểu diễn sự biến thiên của tỉ năng dòng chảy nên còn gọi là đƣờng năng. Độ cao H kể từ mặt chuẩn gọi là cột nƣớc động lực của dòng chảy, hoặc là tổng cột nƣớc. Đƣờng đi qua các đỉnh đoạn p z của các mặt cắt trên một dòng nguyên tố gọi là các đƣờng cột nƣớc đo áp hoặc là đƣờng thế năng. Chú ý rằng cột nƣớc áp suất, nhƣ đã định nghĩa, biểu thị bởi p thực chất là áp năng; còn cột nƣớc đo áp biểu thị bởi )( p z thực chất là thế năng. Hình dạng của đƣờng cột nƣớc đo áp quyết định bởi hình 45 dạng của dòng nguyên tố. Tại nơi mà dòng mở rộng ra, lƣu tốc giảm, nên đƣờng cột nƣớc đo áp hƣớng lên trên. Tại nơi mà dòng thu hẹp lại, lƣu tốc tăng lên thì đƣờng cột nƣớc đo áp lại thấp xuống, do đó đƣờng cột nƣớc đo áp có thể nằm ngang, lên cao hoặc xuống thấp, tức là có thể đƣờng thẳng, đƣờng cong tùy theo hình dạng của dòng nguyên tố. Ở những bài toán về dòng chảy, trong đó cột nƣớc vị trí z không đổi dọc theo dòng nguyên tố, căn cứ vào phƣơng trình Bécnuli (3-11) và (3-12) ta thấy: g up g up 22 2 2221 Từ đó suy ra đƣợc rằng: ở nơi nào lƣu tốc nhỏ thì áp suất thủy động lớn, ở nơi nào lƣu tốc lớn thì áp suất thủy động nhỏ. Đối với phƣơng trình Bécnuli viết cho dòng nguyên tố chất lỏng thực (3-13), vì tính năng của dòng nguyên tố giảm đi theo chiều chảy nên đƣờng tổng cột nƣớc không thể nằm ngang đƣợc, mà chỉ có thể thấp dần mà thôi; nó có thể là một đƣờng thẳng hoặc cong vì trị số h’w có thể tăng đều hoặc không đều dọc theo chiều chảy. 3.10. ĐỘ DỐC THỦY LỰC VÀ ĐỘ DỐC ĐO ÁP CỦA DÕNG NGUYÊN TỐ. 1. Độ dốc thủy lực. Độ dốc thủy lực là tỉ số hạ thấp của đƣờng tổng cột nƣớc (tức là đƣờng năng) đối với độ dài của đoạn dòng nguyên tố, trên đó thực hiện độ hạ thấp, thƣờng dùng kí hiệu J, đại biểu độ dốc thủy lực của dòng nguyên tố. Trong trƣờng hợp tổng quát, khi đƣờng cột nƣớc là đƣờng cong (hình 3.12) thì các độ dốc ở các mặt cắt ƣớt không bằng nhau. Khi đó thƣờng dùng đạo hàm để biểu thị độ dốc thủy lực ở từng mặt cắt: ld dh ld r up zd ld dH J w .. 2 . ' ' 2 (3-14) Trong đó: H – tổng cộng cột nƣớc; l – độ dài của đoạn dòng nguyên tố. 46 Độ dốc thủy lực phải là trị số dƣơng, nên đằng trƣớc đạo hàm phải đặt dấu âm, vì dọc theo chiều chảy số gia (dH) bao giờ cũng âm. Khi đƣờng tổng cột nƣớc là một đƣờng thẳng (hình 3.13) thì độ dốc thủy lực là: i h J w ' ' (3-15) 2. Độ dốc đo áp. Độ dốc đường đo áp (tức độ dốc đường thế năng) là tỉ số độ thấp xuống hoặc lên cao của đường đo áp đối với độ dài của dòng nguyên tố trên đó thực hiện sự hạ thấp hoặc dâng cao đó. Độ dốc đƣờng đo áp của dòng nguyên tố kí hiệu bằng J’p: ld p zd J p . ' (3-16) Dấu biểu thị độ gia của cột nƣớc đo áp dọc theo dòng chảy, có thể là dƣơng hoặc âm. Trong trƣờng hợp đặc biệt, khi diện tích của mặt cắt ƣớc d = const, tức là lƣu tốc u và cột nƣớc lƣu tốc g u 2 2 không đổi dọc theo dòng chảy tức là dòng chảy thẳng, thì độ dốc thủy lực và độ dốc đƣờng cột nƣớc đo áp bằng nhau J’ = J’w. 3.11. PHƢƠNG TRÌNH BÉCNULI CỦA TOÀN DÕNG (Có kích thƣớc hữu hạn) CHẤT LỎNG THỰC, CHẢY ỔN ĐỊNH. Nhƣ đã nói ở trên, môi trƣờng chất lỏng liên tục chất lỏng chuyển động có kích thƣớc hữu hạn có thể coi là tổng hợp vô số dòng nguyên tố. Để giải quyết các vấn đề thực tế, cần phải mở rộng phƣơng trình Bécnuli của dòng nguyên tố chất lỏng thực chảy ổn định ra cho toàn dòng có kích thƣớc hữu hạn. Trên cùng một mặt cắt của dòng chảy, lƣu tốc và áp suất thủy động p thƣờng phân bố khác nhau ở các dòng nguyên tố khác nhau, quy luật phân bố thƣờng cũng không biết; vì vậy phƣơng trình Bécnuli cho toàn dòng chảy cũng chỉ tiến hành đƣợc trong những điều kiện nhất định của dòng chảy. Điều kiện đó là dòng chảy phải đổi dần, chứ không đổi đột ngột. Dòng chảy đổi dần là dòng chảy ổn định, có các đƣờng dòng gần là đƣờng thẳng song song, nghĩa là: 47 1 Góc giữa các đƣờng dòng rất nhỏ. 2. Bán kính cong r của đƣờng dòng khá lớn (hình 3.14). Dòng chảy nhƣ vậy có đầy đủ điều kiện cho phép ta không tính đến lực quán tính (sinh ra bởi độ cong của đƣờng dòng) tƣơng đối nhỏ. Mặt cắt ƣớt của dòng chảy đổi dần đƣợc coi là mặt phẳng. Cùng một dòng chảy có thể có những mặt cắt ƣớt ở đó sự chuyển động là đổi dần; đồng thời có những mặt cắt ƣớt ở đó sự chuyển động là đổi đột ngột (hình 3.15). Tại những mặt cắt ƣớt mà dòng chảy là đổi dần, tức là ở đó, lực quán tính không đáng kể mà chỉ có tác dụng của trọng lực là lực khối lƣợng độc nhất, thì áp lực thủy động không có thành phần tiếp tuyến (vì mặt cắt ƣớt đƣợc coi là phẳng và thẳng góc với đƣờng dòng), tức là sự phân bố áp lực thủy động hoàn toàn giống nhƣ sự phân bố áp lực thủy tinh. Nhƣ vậy, theo công thức cơ bản của thủy tinh, ta có: const P z với z và p ứng với từng vị trí trên mặt cắt ƣớt (hình 3.16). Trên hình 3.16, những mặt ƣớt 1-1 và 2-2 là những mặt, tại đó dòng chảy đổi dần; đối với những điểm trên cùng mặt cắt ƣớt 1-1, cột nƣớc đo áp đều bằng nhau. 1 1 P z P z P z P z cc b b a a Đối với những điểm trên mặt cắt ƣớt 2-2, cột nƣớc đo áp đều bằng nhau: 2 2 ' ' ' ' ' ' Pz P z P z P z cc b b a a Cột nƣớc đo áp ở những mặt cắt khác nhau có trị số khác nhau: 2 2 1 1 P z P z Dựa vào hai khái niệm: Khái niệm về dòng chảy đổi dần và khái niệm về lƣu tốc trung bình mặt cắt ƣớt v (xem mục 3.5); ta có thể đi từ phƣơng trình Becnuli của dòng nguyên tố suy diễn phƣơng trình Becnuli của toàn dòng. 48 Giả thiết toàn dòng chảy thực là dòng chảy ổn định, nó gồm vô số dòng nguyên tố (hình 3.17). Trên toàn dòng chảy tại hai mặt cắt 1-1 và 2-2 có diện tích 1 và 2, ta lấy l dòng nguyên tố tùy ý; theo (3-13), có thể viết phƣơng trình Becnuli của dòng nguyên tố chất lỏng thực. Gọi lƣu lƣợng dòng nguyên tố là dQ trọng lƣợng tƣơng ứng là dQ. Muốn viết biểu thức năng lƣợng của toàn dòng thì phải nhân các số hạng của phƣơng trình Becnuli (3-13) với dQ, sau đó tích phân đối với toàn mặt cắt 1 và 2: 1 1 2 2 2 .. 2 .. 2 . ' 2 2 2 2 11 1 dQhdQ g u dQ P zdQ g u dQ P z w Nhƣ vậy ta phải giải quyết 3 dạng tích phân sau đây: dQ g u dQ P z 2 ;. 2 và dQhw . ' Tích phân thứ nhất P z dQ biều thị tổng thể năng của chất lỏng tại mặt cắt ƣớt. Để tích phân đƣợc, ta phải giả thử kà có dòng chảy đổi dần tại mặt cắt ƣớt mà ta muốn tích phân; vì nhƣ trên đã nói, khi dòng chảy là đổi dần tại mặt cắt đang xét, thì trị số P z trên mặt cắt ƣớt đó là một hằng số, do đó ta có: Q P zdQ P zdQ P z .. (3-18) Tích phân thứ hai dQ g u . 2 2 biểu thị tổng động năng của chất lỏng tại mặt cắt ƣớt. Ở đây dùng đến khái niệm lƣu tốc trung bình v để tính tích phân này. Lƣu tốc điểm u của mỗi phần tử chất lỏng trên mặt cắt ƣớt so với lƣu tốc trung bình khác nhau một trị số u. Vậy: u = v u; do: dQ = u.d Nên: duv g d g u dQ g u 3 32 )( 22 . 2 duuvuvv g 3223 )()(33 2 Vì 3)( u là một đại lƣợng vô cùng nhỏ bậc cao bên cạnh những đại lƣợng vô cùng nhỏ bậc thấp hơn nên có thể bỏ đi không tính, còn số hạng du. thì ta sẽ chứng minh nó bằng không. 49 Thực vậy căn cứ vào: duQduvdduvudQ )()()( Rõ ràng ta thấy: 0)( du Nhƣ thế ta có: duv g v dv g duvv g dQ g u 2323 2 )(3 22 ])(3[ 22 2 2 323 )(3 1 2 .)(3 2 v du v g duvv g (3-19) Đặt 2 2)(3 1 v du (3-20) Ta có: g v Qv g dQ g u 2 . 22 2 3 2 (3-21) Hoặc từ (3-21): 3 3 2 2 33 v du Qv dQu (3-22) Biểu thức (3-12) là tích phân động năng trong đó ta dùng lƣu tốc trung bình v và đƣa vào hệ số là tỷ số của động năng thực của dòng chảy đối với động năng tính bằng lƣu tốc trung bình. Nhƣ vậy nguyên do có hệ số là sự phân bố lƣu tốc không đều trên mặt cắt ƣớt. Sự không đều đó càng lớn thì trị số càng lớn. Từ (3-20), ta thấy đƣợc rằng hệ số bao giờ cũng lớn hơn 1. Khi nƣớc chảy trong ống hoặc kênh, máng, thƣờng bằng 1.05 1,10. Hệ số thƣờng gọi là hệ số sửa chữa động năng, hoặc là hệ số cột nước lưu tốc (còn gọi là hệ số Côriôlít) Tích phân thứ ba dQhw .. ' biểu thị tổng số tổn thất năng lƣợng của các dòng nguyên tố trong toàn dòng chảy từ mặt cắt 1-1 đến mặt cắt 2-2. Gọi hw là tổn thất năng lƣợng trung bình của một đơn vị trọng lƣợng hoặc nói gọi là tổn thất cột nước trong đoạn dòng đó, ta có: ww QhdQh ... ' (3-23) Căn cứ vào kết quả của ba tích phân trên, ta viết đƣợc biểu thức (3-17) dƣới dạng sau: 50 wQh g v Q P zQ g v Q P zQ . 2 .. 2 .. 2 22 2 2 111 1 (3-24) Viết phƣơng trình (3-24) cho một đơn vị trọng lƣợng, tức là chia các số hạng cho .Q ta đƣợc: wh g vP z g vP z 22 2 222 2 2 111 1 (3-25) Đó là phƣơng trình Becnuli của toàn dòng chảy ổn định của chất lỏng thực, nó là một trong những phƣơng trình cơ bản và quan trọng nhất của thủy lực học. Muốn vận dụng đúng đắn phƣơng trình này cần phải nắm vững những điềm sau đây: 1. Phƣơng trình Becnuli của toàn dòng chỉ dùng cho dòng chảy nào thỏa mãn 5 điều kiện sau đây: Dòng chảy ổn định; lực khối lƣợng chỉ là trọng lực; chất lỏng không nén đƣợc; lƣu lƣợng không có sự thêm bớt dọc theo dòng chảy tức là có trị số không đổi, đồng thời tại mặt cắt mà ta chọn, dòng chảy phải là đổi dần, còn dòng chảy giữa 2 mặt cắt đó không nhất thiết phải là chảy đổi dần. 2. Vị trí số g vP z 2 . 2 là giống nhau cho mọi điểm trên cùng một mặt cắt nên khi viết phƣơng trình Becnuli có thể tùy ý chọn điểm nào trên mặt cắt cũng đƣợc. Nhƣ vậy không yêu cầu hai điểm dùng để viết phƣơng trình Becnuli ở hai mặt cắt phải cùng ở trên. 3. Áp suất p1 và p2 là động áp suất tại điểm chọn ở hai mặt cắt. Trị số đó thƣờng có ý nghĩa là áp suất tuyệt đối, nhƣng nếu ta bớt đi trị số pa (áp suất không khí) ở hai vế của phƣơng trình Becnuli, thì ta còn động áp suất p’1 và p ’ 2 có thể mang cột nƣớc áp suất dƣ ' 1p và ' 2p thay cho cột nƣớc áp suất tuyệt đối 1p và 2p 4. Nói thực chặt chẽ thì 1 2 nhƣng trong thực tế tính toán thƣờng chúng bằng nhau 1 2. Chú ý rằng trong phƣơng trình Becnuli, sáu số hạng đầu thuộc về hai mặt cắt ƣớt đang xét, còn số hạng thứ bảy hw thì về đoạn dòng giới hạn bởi mặt cắt ƣớt nói trên. Độ dốc thủy lực của toàn dòng chảy, tức là độ dốc đƣờng thế năng, biểu thị bằng Jp, có ý nghĩa hoàn toàn giống nhƣ ý nghĩa của độ dốc thủy lực và dốc đo áp của dòng nguyên tố chất lỏng thực (hình 3.17). Độ dốc thủy lực J viết nhƣ sau: dl dH dl g vP zd J 2 2 (3-26) Khi đƣờng tổng cột nƣớc là đƣờng thẳng thì: 51 l g vP z g vP z l h J w 22 2 222 2 2 111 1 (3-27) Độ dốc đo áp Jp viết nhƣ sau: P z dl d J p (3-28) Khi đƣờng cột nƣớc đo áp là đƣờng thẳng thì: l P z P z J p 2 2 1 1 (3-29) 3.12. ỨNG DỤNG CỦA PHƢƠNG TRÌNH BECNULI TRONG VIỆC ĐO LƢU TỐC VÀ LƢU LƢỢNG Ứng dụng phƣơng trình Becnuli ta có thể giải quyết rất nhiều vấn đề thực tế (sẽ nghiên cứu trong các chƣơng sau). Ở đây chỉ trình bày nguyên tắc vận dụng phƣơng trình Becnuli để làm các dụng cụ do lƣu tốc và lƣu lƣợng. 1. Ống Pitô là một dụng cụ đo lƣu tốc điểm, gồm ống nhỏ đƣờng kính chừng vài milimét: một ống thẳng A (ống đo áp) một ống B đầu uốn cong 90o; hai miệng ống đặt sát nhau (hình 3.18a). Khi muốn đo lƣu tốc ở điểm nào, ta đặt các miệng ống vào điểm đó, sao cho hƣớng dòng chảy song song với miệng ống A và thẳng góc với miệng ống B. Chất lòng sẽ dâng lên trong hai ống, sau khi mực nƣớc tƣơng đối ổn định, ta đọc trị số độ chênh h giữa hai mực nƣớc, tính lƣu tốc điểm theo công thức ghu 2 . Ta chứng minh công thức này: Nếu ta viết phƣơng trình Becnuli cho mặt cắt 1-1 (qua ống A) và mặt cắt 2-2 (qua miệng ống B) với mặt chuẩn đi qua điểm đó, ta có: 2 2 11 2 P g uP z1 = z2 = 0; u2 = 0 bỏ qua hw vì mặt cắt 1-1 và 2-2 rất gần nhau. Do đó: 52 gh pp gu 22 121 (3-30) Để tính đến độ nhớt chất lỏng và sự phá hoại cấu tạo dòng chảy khi đặt ống Pitô, cần thêm vào công thức trên hệ số sửa chữa - xác định bằng thí nghiệm. Khi đo lƣu tốc u đƣợc xác định: ghu 2 (3-31) 2. Ống Venturi là một dụng cụ do lƣu lƣợng gồm 2 đoạn ống ngắn có đƣờng kính khác nhau, ở mỗi đoạn có lắp ống đo áp (hình 3.18b) Muốn đo lƣu lƣợng dòng chảy trong ống, ta lắp ống Venturi vào giữa đƣờng ống (hình 3.18b); sau khi dòng chảy ổn định, ta đo độ chênh mục nƣớc h giữa hai ống đo áp của ống Venturi, ta có lƣu lƣợng Q tính theo công thức: hKQ (3-32) với: 1 2 4 4 2 d D gD K (3-33) D, d là đƣờng kính tại hai mặt cắt lớn và nhỏ của ống Venturi. Muốn chứng minh công thức trên ta viết phƣơng trình Becnuli cho mặt cắt 1-1 và 2-2. Mặt chuẩn trùng với trục ống. Nếu bỏ qua hw, ta có: g vp g vp 22 2 222 2 111 Với 1 = 2 = 1; sau khi biến đổi ta có: h pp g vv 21 2 1 2 2 2 (3-34) Theo phƣơng trình liên tục: v1 1 = v2 2, ta viết đƣợc: 2 1 1 12 2 d D vvv Theo phƣơng trình (3-34), ta có: g d D v h 2 1 4 2 1 hay là: 1 2 41 d D gh v Ta tính đƣợc Q theo: 53 hKh d D gD vQ 1 2 4 4 2 11 Trong đó: K rõ ràng có trị số nhƣ ở (3-33) Thực ra giữa đoạn 1-1 và 2-2 có tổn thất hw, nên tính Q theo (3-32) ta có trị số lớn hơn lƣu lƣợng thực. Để điều chỉnh sự sai lệch đó, sau khi sản xuất, ngƣời ta đo lƣu lƣợng thực chảy qua ống (bằng các phƣơng pháp chính xác khác) rồi so với lƣu lƣợng tính theo công thức (3-32), do đó xác định đƣợc hệ số sửa chữa 1Q Qdo Trong đó: Qđ – lƣu lƣợng thực đo; Q1 – lƣu lƣợng tính theo công thức (3-32) Công thức tinh Q sẽ là hKQ Chú ý luôn nhỏ hơn 1. 3.13. PHÂN LOẠI DÕNG CHẢY Dòng chảy có thể phân loại theo nhiều cách. Căn cứ vào các yếu tố chuyển động có biến đổi theo thời gian hay không, nhƣ đã biết, ta chia làm chuyển động ổn định và không ổn định. Sau đây ta chỉ phân loại dòng chảy ổn định. 1. Dòng chảy không đều và dòng chảy đều Dòng chảy không đều là dòng chảy có các đƣờng dòng không phải những đƣờng thẳng song song. Nhƣ vậy những dòng nguên tố của dòng chảy không đều cũng không phải là đƣờng thẳng song song. Chú ý rằng dọc theo dòng chảy không đều; mặt cắt ƣớt, lƣu tốc điểm tƣơng ứng (tức là lƣu tốc điểm của các phần tử chất lỏng ở trên một đƣờng dòng) đều thay đổi. Thí dụ: Dòng chảy trong ống hình nón cụt, trong ống tròn tại nơi uốn cong, trong máng có bề rộng đáy thay đổi, v.v… Dòng chảy đều là dòng chảy có các đƣờng dòng là những đƣờng thẳng song song. Nhƣ vậy những dòng nguyên tố của dòng chảy đều là những đƣờng thẳng song song. Chú ý rằng dọc theo dòng chảy đều: hình dạng, diện tích mặt cắt, sự phân bố lƣu tốc điểm tƣơng ứng nhƣ nhau, không đổi dọc theo dòng chảy. Thí dụ: Dòng chảy đầy ống trong những ống thẳng v.v… 2. Dòng chảy có áp, không áp, dòng tia. Dòng chảy có áp là dòng chảy mà chu vi của các mặt cắt ƣớt hoàn toàn là những thành rắn cố định. Đặc điểm của dòng chảy có áp là tại tất cả các điểm của mặt cắt ƣớt, áp suất thủy động nói chung không bằng áp suất không khí. Thí dụ dòng chảy đầy trong ống dẫn nƣớc là dòng chảy có áp. Dòng chảy không áp là chảy mà chu vi của các mặt cắt ƣớt có bộ phận là thành rắn cố định, có bộ phận là mặt tự do tiếp xúc với không khí, chú ý rằng mặt tự do là một 54 mặt đẳng áp, vì áp suất trên mặt tự do đều bằng nhau. Dòng chảy trong sông, trong kênh là dòng chảy không áp. Nếu toàn bộ chu vi của mặt cắt ƣớt không tiếp xúc với thành rắn mà đều tiếp xúc với không khí hoặc với chất lỏng thì dòng chảy gọi là dòng tia. 3. Dòng chảy đổi dần và dòng chảy đổi đột ngột. Dòng chảy đổi dần: nhƣ đã định nghĩa trong khi suy diễn phƣơng trình Becnuli cho toàn dòng (3-11) là dòng chảy có các đƣờng dòng gần là những đƣờng thẳng song song. Ta biết rằng đặc điểm của mặt cắt có dòng chảy đổi dần là trên mặt cắt lực quán tính coi nhƣ không có, do đó sự phân bố áp suất coi nhƣ theo quy luật thủy tĩnh. Dòng chảy đột ngột: là dòng chảy mà các đƣờng dòng không thể coi đƣợc nhƣ những đƣờng thẳng song song. Đặc điểm của những mặt cắt có dòng chảy đổi đột ngột là trên các mặt cắt đó có tác dụng của lực quán tính đáng kể, do đó sự phân bố áp suất không tuân theo quy luật thủy tĩnh . Một dòng chảy có thể đồng thời mang nhiều tính chất nói trong sự phân loại trên. Thí dụ dòng chảy có thể là ổn định, không áp, đổi dần. Việc nghiên cứu vừa trình bày ở trên dựa vào mẫu dòng chảy bao gồm vô số dòng nguyên tố giúp ta đạt đƣợc những công thức đặt mối quan hệ giữa các yếu tố thủy lực của những mặt cắt ƣớt, rất tiện cho việc tính toán thực tế. 55 CHƢƠNG 4. TỔN THẤT THỦY LỰC 4.1 CÁC DẠNG TỔN THẤT CỘT NƢỚC Trong phƣơng trình Becnuli viết cho toàn dòng chảy thật (3-25), số hạng hw là năng lƣợng của một đơn vị trọng lƣợng chất lỏng bị tổn thất để khắc phục sức cản của dòng chảy trong đọan dòng đang xét. Ta còn gọi hw là tổn thất cột nƣớc. Để tiện việc nghiên cứu, ta chỉ chia tổn thất cột nƣớc làm 2 dạng: - Tổn thất dọc đường (hđ) sinh ra trên toàn bộ bề dài dòng chảy, thí dụ: tổn thất trong ống thẳng dẫn nƣớc. - Tổn thất cục bộ (hc) sinh ra tại những nơi cá biệt, ở đó dòng chảy bị biến dạng đột ngột; thí dụ: tổn thất tại nơi ống uốn cong, ống mở rộng, nơi có đặt khóa nƣớc v.v… Nguyên nhân của tổn thất cột nƣớc dù là dƣới dạng nào, cũng do ma sát giữa các phân tử chất lỏng (ma sát trong sinh ra). Công tạo nên bởi lực ma sát này biến thành nhiệt năng mất đi không thể lấy lại cho dòng chảy. Với giả thiết là các dạng tổn thất trên xảy ra độc lập với nhau, thì tổn thất năng lƣợng hw của dòng chảy có thể viết nhƣ sau: Hw = hđ + hc hđ - tổng cộng các tổn thất dọc đƣờng của dòng chảy; hc – tổng cộng các tổn thất cục bộ của dòng chảy. 4.2. PHƢƠNG TRÌNH CƠ BẢN CỦA DÕNG CHẤT LỎNG CHẢY ĐỀU Trong dòng chảy đều có áp hoặc không áp (dòng chảy đầy ống hoặc ở kênh hở), ta lấy một đọan dòng dài l giới hạn bởi những mặt cắt ƣớt 1-1 và 2-2 (hình 4.1a, b), có hƣớng chảy lập với phƣơng thẳng đứng một góc bằng . Gọi là diện tích mặt cắt, trong dòng chảy đều = const dọc theo dòng chảy. Độ cao của những trọng tâm của các mặt cắt 1-1 và 2-2 đối với mặt chuẩn nằm ngang 0-0 là z1 và z2, áp suất thủy động tại những tâm ấy là p1 và p2. Trong dòng chảy đều áp suất thủy động trên mặt cắt ƣớt phân bố theo quy luật thủy tinh. Trong ống (tức là dòng chảy có áp) thì áp suất tại trọng tâm có thể biểu t