Bài giảng Thiết kế máy thu

Tách sĩng đa truy nhập dùng mạng Hopfield Thiết kế máy thu GVHD: TS. Phạm Hồng Liên Trang 77 THIẾT KẾ MÁY THU 1. Máy thu tuyến tính 1.1. Máy thu khử tương quan 1.1.1. Máy thu khử tương quan trong kênh đồng bộ Vector ngõ ra của K bộ lọc thích hợp: Y = RAb + n (3.1) vớI n là vector ngẫu nhiên Gaussian vớI trung bình bằng khơng và ma trận tương quan R2σ . Máy thu cổ điển dùng bộ lọc thích hợp vẫn cĩ thể cĩ sai số ngay khi khơng cĩ nhiễu ( 0σ = ): kkk b))sgn((bˆ ≠= RAb Giả sử rằng ma trận tương quan chéo R là cĩ ma trận nghịch đảo, nếu nhân R-1 với ngõ ra bộ lọc thích hợp thì: R-1y = R-1RAb = Ab (3.2) nếu 0σ = . Dữ liệu truyền được khơi phục như sau: ))sgn((bˆ kk RAb= (3.3) ))Absgn(( k= (3.4) = bk (3.5) Nếu tồn tại nhiễu, ngõ ra của bộ lọc thích hợp với R-1 được kết quả như sau: R-1y = Ab + R-1n (3.6) Lưu ý thành phần thứ k của (3.6) độc lập với mọi {bj}, j≠ k. Chỉ duy nhất một nguồn nhiễu là nhiễu nền. Đĩ là lý do tại sao máy thu (3.3) gọi là máy thu khử tương quan. Hai chức năng mong muốn của máy thu đa truy nhập là: - Khơng yêu cầu về biên độ nhận được. - Quá trình giải điều chế cho mỗi user cĩ thể thực hiện hồn tồn độc lập. Ta dùng +kjR thay cho (R -1)kj và lưu ý rằng ngõ ra thứ k của phép biến đổi tuyến tính R-1 là: (R-1y)k ∑ = += K 1j jkjyR ∑ = + ><= K 1j jkj s,yR ∑ = + >=< K 1j jjksR,y >=< ks~,y (3.7) Tách sĩng đa truy nhập dùng mạng Hopfield Thiết kế máy thu GVHD: TS. Phạm Hồng Liên Trang 78 với: ∑ = += K 1j jjkk sR)t(s~ (3.8) Hình 3.1: Máy thu khử tương quan cho kênh truyền đồng bộ Từ đĩ: [ ]∫∑ ==>=< = −+ T 0 K 1j kkkjjkkk 1dt)t(s)t(sRs,s ~ RR 1 (3.9) nên 1s~k ≥ theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz. Hình 3.2: Bộ lọc thích hợp đã hiệu chỉnh cho khử tương quan MF user 1 MF user 2 MF user 3 MF user K R-1 Sync1 Sync2 Sync3 SyncK y(t) ][1ˆ ib ][ˆ2 ib ][ˆ3 ib ][ˆ ibK Bộ lọc kết hợp 1~s Bộ lọc kết hợp 2~s Bộ lọc kết hợp 3~s Bộ lọc kết hợp Ks~ Sync1 Sync2 Sync3 SyncK y(t) ][1ˆ ib ][ˆ2 ib ][ˆ3 ib ][ˆ ibK Tách sĩng đa truy nhập dùng mạng Hopfield Thiết kế máy thu GVHD: TS. Phạm Hồng Liên Trang 79 Theo (3.7), máy thu khử tương quan đối với user k xem như một bộ lọc thích hợp đã hiệu chỉnh. Đối với bất kỳ vector K1 K(a ,..., a ) R∈ [ ] 0adt)t(sR)t(sadt)t(s~)t(sa ki iki T 0 K 1j jjk ki ii T 0 K ki ii ==        =    ∑∫ ∑∑∫ ∑ ≠ − = + ≠≠ RR 1 (3.10) Xét trường hợp hai user:    − − −=  = − − 1p p1 p1 1 1p p1 R 2 1 1 (3.11) Hình 3.3: Máy thu khử tương quan cho hai user đồng bộ Ta thấy rằng trong kênh truyền hai user, máy thu khử tương quan cho user 1 tương tự bộ lọc thích hợp đơn kênh cổ điển ngoại trừ thay s1 bằng s1 - 2sρ : )yysgn(bˆ 211 ρ−= Vùng quyết định của máy thu khử tương quan hai user như hình 3.4 đối với trường hợp A1 = A2. Biến đổi tuyến tính khử tương quan như sau: ∑ = −= K 1j jj1 T 1 )t(s)()t(s ~ F (3.12) với R = FTF nên F là ma trận tam giác dưới. Ta cĩ: k1k1TTk1T K 1j jkj1 T k1 )()R()(s,s FFFFFF ===ρ>=< −− = −∑ (3.13) ∫T 0 ∫T 0 s1(t) s2(t) ∫T 0 y(t) + _ _ + ][1ˆ ib ][ˆ2 ib y1 y1 ρ Tách sĩng đa truy nhập dùng mạng Hopfield Thiết kế máy thu GVHD: TS. Phạm Hồng Liên Trang 80 chỉ khác 0 khi k = 1. Bộ lọc thích hợp thứ k: ∑ = −= K 1j jKj T K )t(s)()t(s ~ F (3.14) là biến đổi tuyến tính khử tương quan cho sk. Hình 3.4: Vùng quyết định của máy thu khử tương quan cho hai user Tương tự với (3.13): k j kjs ,s= F dương khi j = k và bằng 0 khi j > k. Trường hợp máy thu khơng biết biên độ nhận được và khơng biết phân phối của chúng, ước lượng gần cực đại của biên độ và các bit truyền là argument khi đạt được: { } ∫ ∑     − == ≥−∈ T 0 2K 1k kkk K,..1k 0A1,1b dt)t(sbA)t(yminmin k K (3.15) Nếu biên độ là hằng số theo thời gian, thì phương pháp này là gần tối ưu chỉ trong trường hợp đồng bộ. Nếu lấy ck = Akbk thì quá trình thực hiện (3.15) tương đương với quá trình cực đại: Rccyc TT Rc K − ∈ 2max khi: c* = R-1y do: 2cTy – cTRc = yTR-1y - (c – c*)TR(c-c*) 2 ~y 1 ~ys1 d1 s2 + + - + - - + - Tách sĩng đa truy nhập dùng mạng Hopfield Thiết kế máy thu GVHD: TS. Phạm Hồng Liên Trang 81 Argument khi đạt cực tiểu trong (3.15) là: ))ysgn(()csgn(bˆ k 1* kk −== R và *kk cAˆ = Tổng quát hơn, ta cĩ thể dùng mơ hình rời rạc L chiều: r = SAb +σm (3.16 ) với S là ma trận LxK của vector tín hiệu nhận dạng và ma trận hiệp phương sai của m là ma trận đơn vị LxL ))(xsgn(bˆ kk r= với x(r) là ước lượng của Ab định nghĩa là K vector là nghiệm của bài tốn: rSx − ∈ kRx min (3.17) Định đề 3.1: Nghiệm của (3.17) là x(r) = S+r với S+ là ma trận nghịch đảo Moore-Penrose của S (nghĩa là S+SS+ = S+ và SS+S = S). 1.1.2. Máy thu khử tương quan trong kênh truyền bất đồng bộ Mơ hình vector rời rạc thời gian của ngõ ra bộ lọc thích hợp đối với kênh bất đồng bộ tương tự như trường hợp đồng bộ. Ta phải tìm một biến đổi tuyến tính để khơi phục các bit ngõ vào nếu 0σ = . Thực hiện nghịch đảo hàm truyền: S-1(z)=[RT[1]z+R[0]+R[1]z-1]-1 Hình 3.5: Máy thu khử tương quan bất đồng bộ MF user 1 MF user 2 MF user 3 MF user K S-1(z) Sync1 Sync2 Sync3 SyncK y(t) ][1ˆ ib ][ˆ2 ib ][ˆ3 ib ][ˆ ibK Tách sĩng đa truy nhập dùng mạng Hopfield Thiết kế máy thu GVHD: TS. Phạm Hồng Liên Trang 82 Xét trường hợp hai user: 11 1 12 21 12 21 1 12 21 2 2 1 12 21 12 21 12 21 12 21 1 z S (z) z 1 1 z1 1 z z z 1 −− − − −  ρ + ρ=  ρ +ρ   −ρ −ρ=  −ρ −ρ −ρ ρ −ρ ρ −ρ −ρ  (3.18) 1.1.3. Máy thu khử tương quan xấp xỉ Giả sử tương quan chéo chuẩn hĩa giữa các dạng sĩng nhận dạng là rất nhỏ, R là ma trận đường chéo và các tín hiệu khử tương quan cĩ thể được xấp xỉ bằng việc bỏ qua những hệ số gồm những phép nhân của những tương quan chéo chuẩn hĩa sau: ∑ ≠ ρ−≈ kj jkjkk )t(s)t(s)t(s ~ (3.19) Trong trường hợp bất đồng bộ, máy thu khử tương quan cho user thứ k cĩ thể đuợc xấp xỉ bởi bộ lọc thích hợp: ∑∑ ≠≠ +τ−ρ−τ−ρ− kj ijkj kj ijjkk )Tt(s)t(s)t(s (3.20) 1.1.4. Hiệu suất trong trường hợp đồng bộ Xét máy thu khử tương quan đối với những dạng sĩng nhận dạng độc lập tuyến tính. Để phân tích tỉ số nhiễu của máy thu khử tương quan, ta phân tích tất cả những máy thu đa truy nhập. Ngõ ra bộ lọc thích hợp ks~ cĩ 2 thành phần: tín hiệu của user k Akbk và thành phần nhiễu Gaussian cĩ trị trung bình bằng 0: [ ] [ ] 121121T1T11 RRRRRnnRE)nR)(nR(E −−−−−−− σ=σ== (3.21) Tỉ số lỗi bit của user k là:    −σ=      σ =σ −+ k 1 k T k k kk kd k aRa1 AQ R AQ)(P (3.22) Vế phải của (3.22) cĩ ak là cột thứ k của R và Rk là ma trận (k-1)x(k-1) xác định từ R bằng cách bỏ hàng và cột thứ k. Nếu user k trực giao với những user khác thì bộ khử tương quan trùng khớp với bộ lọc thích hợp đơn kênh và R+kk = 1. Argument của hàm Q trong (3.22) là: [ ] kTk1kTkkTk kk SS)SS(SIs R 1 − + −= (3.23) Ma trận tương quan chéo khơng chuẩn hĩa là: ARAH = Tách sĩng đa truy nhập dùng mạng Hopfield Thiết kế máy thu GVHD: TS. Phạm Hồng Liên Trang 83 Từ (3.22):     σ =σ + kk d k H 1Q)(P (3.24) với R = FTF và F211R+11 = 1 thì tỉ số lỗi bit của user 1 là:    σ=σ 111d 1 FAQ)(P (3.25) Hiệu suất: k kk 1 R+ η = Trong trường hợp 2 user thì R+kk = (1-ρ2)-1, và     σ ρ−=σ 2 1d k 1A Q)(P (3.26) Từ phương trình (3.26) với xác suất lỗi của máy thu dùng mạch lọc thích hợp đơn kênh:    σ ρ++   σ ρ−=σ 2121e1 AAQ2 1AAQ 2 1)(P (3.27) 1.1.5. Hiệu suất trong trường hợp bất đồng bộ Để phân tích lỗi bit của máy thu, ta cần biết giá trị phương sai của nhiễu hợp thành. {n[i]} là chuổi vector nhiễu, ngõ ra của mạch lọc phối hợp cĩ chuỗi ma trận tự tương quan với biến đổi z: )z(Sz]]li[n]i[n[E 2 l lT σ=+∑∞ −∞= Ma trận tự tương quan là: TD [ l] E [ n [i ]n [i l]]= +  Ta cĩ: T112T1112 l l )]z(S[)]z(S)[z(S)z(Sz]l[D −−−−− ∞ −∞= σ=σ=∑ (3.28) [ ] ( )∫∫ π π− −ω−ω π π− ω− ω++π σ=ωπ σ= d]e]1[R]0[Re]1[R[ 2 d)e(S 2 ]0[D T1jjT 2Tj1 2 Tách sĩng đa truy nhập dùng mạng Hopfield Thiết kế máy thu GVHD: TS. Phạm Hồng Liên Trang 84 Phần tử đường chéo thứ k của D[0] : ( ) 2 2defT j jk kk kk d k var n [i] D [0] [R [1]e R[0] R[1]e ] d 2 π ω − ω + −π σ σ= = + + ω =π η∫ (3.29) Từ (3.29), tỉ số lỗi bit của máy thu khử tương quan bất đồng bộ là:         σ η=σ d kkd k A Q)(P (3.30) Hiệu suất đa truy nhập khử tương quan là: 1 kk jjTd k d]e]1[R]0[Re]1[R[2 1 −π π− +ω−ω         ω++π=η ∫ (3.31) 1.2. Máy thu LMMSE (Linear Minimum Mean Square Error) Các máy thu đa truy nhập tuyến tính thực hiện theo mơ hình phân quyền, chỉ những user cần thiết mới giải điều chế. Trong phần này, chúng ta kiểm tra mức độ cải thiện chất lượng cĩ thể đạt được từ các thơng tin kết hợp về tỷ số tín hiệu trên nhiễu thu được trong biến đổi tuyến tính. Do các bộ lọc thích hợp đơn kênh tốt hơn so với bộ khử tương quan đối với tỷ số S/N đủ thấp nên vấn đề cải thiện chất lượng cĩ thể tin cậy. Cĩ hai phương pháp khác nhau. Phương pháp đầu tiên dùng phép biến đổi tuyến tính để hiệu suất đa truy nhập tiến đến giá trị cực đại đối với mỗi biên độ thu được. Phương pháp thứ hai cho kết quả tốt hơn là chọn phép biến đổi tuyến tính làm giảm thiểu lỗi bình phương trung bình giữa ngõ ra và dữ liệu. 1.2.1. Máy thu đa truy nhập tuyến tính tối ưu Gọi phép biến đổi tuyến tính của user k là vk và: ( )Tk kbˆ sgn= v y (3.32) với y là vector ở ngõ ra của bộ lọc thích hợp (2.127). Do đĩ: K T T T k j j k j k j 1 A b = = +∑v y v r v n (3.33) với rj là cột thứ j của ma trận tương quan chéo chuẩn hĩa R. Xác suất lỗi đạt được bởi vk cĩ thể được diễn tả như sau: k T T k k k j k j j k jv k T k k A A b P E Q ≠   +  =   σ   ∑v r v r v Rv (3.34) Tách sĩng đa truy nhập dùng mạng Hopfield Thiết kế máy thu GVHD: TS. Phạm Hồng Liên Trang 85 với giá trị mong muốn tương ứng với bj nếu j ≠ k. Hiệu suất xấp xỉ của user thứ k được cho bởi bình phương của giá trị argument nhỏ nhất của hàm Q chuẩn hĩa bởi 2 k 2 A σ ( ) j2 T Tk k k k k jT j kk k k A1 max 0, A≠  η = −  ∑v v r v rv Rv (3.35) Xét trường hợp 2 user. Khi khơng cĩ suy hao nếu v1 = [1 x]T thì: ( ) 2 21 1 1 Amax 0, f x, , A    η = ρ      v (3.36) với: 2 2 1 2 1 A1 x x A Af x, , A 1 2 x x + ρ− +ρ ρ =  + ρ +  (3.37) Argument làm cho phương trình (3.37) đạt cực đại là: 2 2 * 11 A Asgn AAx khác − ρ < ρ= −ρ (3.38) Chú ý rằng khi năng lượng tương đối của nhiễu đủ lớn 2 1A A ρ≥ thì máy thu khử tương quan cĩ hiệu suất cực đại. Nĩi cách khác tín hiệu thu được tương quan với: ( ) ( ) ( )21 2 1 As t sgn s t A − ρ (3.39) hay tương đương với: ( ) ( )2 1 2 1 A s t s t A ρ −ρ (3.40) Thay thế (3.38) vào (3.36), ta được hiệu suất gần cực đại cĩ thể được xác định bởi phép biến đổi tuyến tính ( ) 2 2 2 1 2 12* 1` 11 1 d 2 1 A A1 2 A A A A 1 η = + − ρ < ρη = η = −ρ v (3.41) Do sự tồn tại của hàm trị tuyệt đối trong phương trình (3.35) nên nghiệm đối với máy thu tuyến tính tối ưu trong trường hợp cĩ K user lấy từ nghiệm của máy thu phi tuyến. Điều kiện đủ để máy thu tuyến tính đạt hiệu suất tối ưu cho user k khi dùng giải thuật Lupas - Verdú: ijk ij 1..K i k kj A max A = ≠ ρ> ρ∑ (3.42) Tách sĩng đa truy nhập dùng mạng Hopfield Thiết kế máy thu GVHD: TS. Phạm Hồng Liên Trang 86 và cũng như điều kiện đủ để máy thu khử tương quan tốt nhất là: jkj k kk RA A R + +≥ đối với tất cả j ≠ k (3.43) 1.2.2. Máy thu MMSE Phương pháp tổng quát trong lý thuyết ước lượng là ước lượng biến ngẫu nhiên W dựa vào việc quan sát Z để chọn hàm )Z(Wˆ sao cho lỗi bình phương trung bình (MSE) nhỏ nhất: ( )( )2ˆE W W Z −   (3.44) Nghiệm của bộ ước lượng: ( ) [ ]Wˆ Z E W | Z= (3.45) Như vậy, ta cĩ thể thay đổi bài tốn tách sĩng đa truy nhập tuyến tính thành bài tốn ước lượng tuyến tính bằng cách giảm thiểu MSE giữa bit bk của user k với ngõ ra của phép biến đổi tuyến tính thứ k Tkv y dù phương pháp này khơng làm giảm thiểu BER: ( )Tk kP b sgn ≠ v y (3.46) Máy thu LMMSE cho user k chọn tín hiệu ck với chu kỳ T để: ( ) k 2 k kc min E b c , y −  (3.47) và ngõ ra là: ( )k kbˆ sgn c , y= (3.48) Phép biến đổi LMMSE làm tăng tối đa tỷ số tín hiệu trên giao thoa (SIR - signal-to- interference ratio) ở ngõ ra: ( ) ( ) ( )k k 2 k k k k 2 2c c k k k k k k E c , A b s1 1 max min E b c , y E c , y A b s   = +   − −    (3.49) Ta diễn tả phép biến đổi tuyến tính như sau: s 0k k kc c c= + với skc xác định bởi các dạng tín hiệu s1,…, sK và 0kc trực giao với skc , do đĩ: ( ) ( )2 22 s 2 0k k k k kE b c , y E b c , y c  − = − +σ     (3.50) Tách sĩng đa truy nhập dùng mạng Hopfield Thiết kế máy thu GVHD: TS. Phạm Hồng Liên Trang 87 Như vậy, ngõ ra máy thu LMMSE là tổ hợp của các ngõ ra của mạch lọc thích hợpvà cĩ thể thay đổi bài tốn trong (3.47) thành bài tốn tối ưu với kích thước hữu hạn, đĩ là chọn K vector mk để tối thiểu giá trị: ( )2Tk kE b −  m y (3.51) Chúng ta cĩ K bài tốn tối ưu khơng ràng buộc cĩ thể giải quyết bằng cách chọn ma trận M cĩ kích thước KxK với cột thứ k là vector mk để: KxK 2 M R min E ∈  − b My (3.52) với y = RAb + n (3.53) và kỳ vọng là các bit thơng tin b, vector nhiễu n cĩ giá trị trung bình bằng 0 và ma trận hiệp phương sai bằng 2σ R . Ma trận hiệp phương sai của vector lỗi: { } ( )( )T T T T T T T cov E E E E E  − = − −         = − − +        b My b My b My bb by M M yb M yy M (3.54) Theo (3.53): TE   = bb I (3.55) T TE E   = =   by bb AR AR (3.56) T TE E   = =   yb RAbb RA (3.57) T T T 2 2 E E E      = +      = +σ yy RAbb AR nn RA R R (3.58) Thay vào phương trình (3.54): { } ( ) ( )( )( ) 2 2 12 2 2 cov T T T σ σ σ−− − = + + − −  = + + − + −  b My I M RA R R M ARM MRA I ARA M M RA R R M M (3.59) với: det 11 2 2 −− − = + σ M A R A (3.60) Phương trình (3.59) cĩ thể được kiểm tra bằng: ( )2 2+σ =M RA R R AR (3.61) và: ( )( )T 2−− + σ =I ARM I ARA I (3.62) Tách sĩng đa truy nhập dùng mạng Hopfield Thiết kế máy thu GVHD: TS. Phạm Hồng Liên Trang 88 Hình 3.6: Máy thu LMMSE cho kênh truyền đồng bộ Ma trận RA2R + σ2R xác định khơng âm nên số hạng thứ hai ở vế phải của phương trình (3.59) cũng khơng âm. Ta kết hợp với (3.60) để xác định giá trị MMSE: { }{ } KxK KxK 2 M R M R min E min trace cov ∈ ∈  − = − b My b My (3.63) Theo (3.60), ngõ ra của máy thu LMMSE là: ( ) ( ) 12 2 k kk 12 2 k 1bˆ sgn A sgn −− −−   = + σ      = + σ    R A y R A y (3.64) Do đĩ máy thu LMMSE thay thế phép biến đổi R-1 của máy thu khử tương quan bằng 12 2 −− + σ R A với 2 2 2 2 2 2 1 k diag ,..., A A −  σ σσ =    A . Như vậy, máy thu MMSE phụ thuộc vào biên độ thu được theo tỉ số tín hiệu trên nhiễu Ak/σ. Để tìm được nghiệm (3.60), ta khơng cần giả định rằng các bit truyền cĩ giá trị nhị phân mà chỉ yêu cầu: - Các bit được truyền đi khơng tương quan giữa các user - E[bk2] = 1 Một dạng khác của bài tốn MMSE là thay (3.52) bằng: KxK 2 M R min E ∈  − Ab My (3.65) y1 y2 yK Ngõ ra bộ lọc thích hợp 12 2σ −− + R A 1bˆ Kbˆ Tách sĩng đa truy nhập dùng mạng Hopfield Thiết kế máy thu GVHD: TS. Phạm Hồng Liên Trang 89 Điều này tương đương với việc thay Akbk cho bk ở ngõ ra của phép biến đổi tuyến tính. Giả sử Ak đã biết, nghiệm của phương trình tối ưu (3.65) là: 1* 2 2 −− = + σ M R A (3.66) Trong trường hợp hai user: 2 1 22 21 22 2 2 2 2 2 1 2 2 1 1 A 1 1 A A 1 A − −−  σ+ −ρ    σ σ   + σ = + + −ρ      σ    −ρ +    R A (3.67) Như đã biết máy thu dùng bộ lọc thích hợp đơn kênh tối ưu với nhiễu trắng trong khi máy thu khử tương quan loại bỏ nhiễu giữa các user (MAI) mà khơng quan tâm đến nhiễu nền. Máy thu LMMSE cĩ thể xem như giải pháp kết hợp giữa MAI và nhiễu nền. Cả hai loại máy thu cổ điển và máy thu khử tương quan là những trường hợp giới hạn của máy thu MMSE tuyến tính. Nếu cho A1 là cố định và A2,... AK → 0 thì hàng đầu tiên của 12 2 −− + σ R A : 2 1 2 2 1 A ,0, ,0 A   + σ  … tương ứng với mạch lọc thích hợp cho user 1. Khi σ tăng thì 12 2 −− + σ R A trở thành ma trận đường chéo và máy thu MMSE trở thành máy thu cổ điển khi σ → ∞. Nếu tất cả các biên độ cố định và σ → 0 thì: 12 2 1−− − + σ → R A R (3.68) Do đĩ khi tỷ số tín hiệu trên nhiễu tiến đến vơ hạn thì máy thu LMMSE trở thành máy thu khử tương quan. Điều này cho thấy rằng máy thu LMMSE cĩ hiệu suất hội tụ về hiệu suất của máy thu khử tương quan. Ta cĩ thể dùng một dạng khác của máy thu LMMSE từ mơ hình rời rạc thời gian.Giả sử user 1 là user mong muốn, vector v làm cho giá trị: ( )2T1E b −  v r (3.69) nhỏ nhất phải cĩ gradient bằng 0, nghĩa là: T1E b 0 − = r rr v (3.70) Để tính vế trái của (3.70) cần chú ý rằng: [ ]1 1 1E b A=r s và: K T 2 2 T k k k k 1 E A =   = σ +  ∑rr I s s (3.71) Tách sĩng đa truy nhập dùng mạng Hopfield Thiết kế máy thu GVHD: TS. Phạm Hồng Liên Trang 90 Nghiệm của (3.70): [ ]1* T 1 1K 2 2 T 1 k k k 1 k 1 E r E b A A − − =  =    = σ +  ∑ v r r I s s s (3.72) Giá trị MMSE cĩ được từ phép biến đổi tuyến tính là: ( ) [ ]( ) ( ) [ ] ( ) 12 TT * T 1 1 1 2 T T 1 1 1 1K 2 T 2 2 T 1 1 k k k 1 k 1 E b 1 E b E E b 1 A E 1 A A − − =    − = −     = −  = − σ +  ∑ r v r rr r s rr s s I s s s (3.73) Ma trận hiệp phương sai của nhiễu: Kdef 2 2 T k k k k 2 A = ∑ = σ +∑I s s (3.74) Sử dụng 1−∑ chúng ta cĩ thể biểu diễn dạng khác của biến đổi MMSE trong (3.72) và giá trị MMSE trong (3.73): * 11 12 T 1 1 1 1 A 1 A − −= ∑+ ∑v ss s (3.75) và: ( )2T *1 2 T 1 1 1 1 1E b 1 A −  − =   + ∑r v s s (3.76) Hơn nữa v* là giá trị cực đại của tỷ số tín hiệu trên nhiễu ở ngõ ra đối với bất kỳ phép biến đổi tuyến tính nào nên: ( ) ( )( ) ( ) 2T * 1 1 1 1 2T T * 1 1 1 2T * 1 2 T 1 1 1 1 E A b SIR E A b 1 1 E b A −    =  −   = − −   = ∑ s v r s v r v s s (3.77) Trong trường hợp bất đồng bộ máy thu LMMSE là một bộ lọc tuyến tính, bất biến theo thời gian với K ngõ vào, K ngõ ra và cĩ hàm truyền: [ ] [ ] [ ] 1T 2 2 11 z 0 1 z −− − + + σ + R R A R (3.78) Tách sĩng đa truy nhập dùng mạng Hopfield Thiết kế máy thu GVHD: TS. Phạm Hồng Liên Trang 91 Phương trình (3.78) là dạng giới hạn của nghịch đảo của ma trận tương quan chéo tương đương với chiều dài khung hữu hạn: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 2 2 T 2 2 T 2 2 T 2 2 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 − − − −  + σ + σ   + σ  + σ  … … # # # # # … … R A R R R A R R R A R R R A (3.79) Ngược lại với máy thu khử tương quan phép nghịch đảo trong (3.79) luơn tồn tại do nĩ là tổng của ma trận xác định khơng âm với ma trận đường chéo xác định dương σ2A-2. 1.2.3. Thực hiện máy thu đa truy nhập LMMSE Do máy thu MMSE trở thành máy thu khử tương quan khi σ → 0 nên hiệu suất của nĩ giống như của máy thu khử tương quan: k kk 1 R+ η = : đồng bộ và: [ ] [ ] [ ] 1 T j j k kk 1 1 e 0 1 e d 2 −π +ω − ω −π   η = + + ω  π ∫ R R R : bất đồng bộ (3.80) Trong trường hợp đồng bộ, thành phần đầu tiên của ngõ ra hàm truyền LMMSE cĩ dạng: ( ) ( ) K1* 2 2 1 1 k k 11 k 2 B b b n −− =   = + σ = + β +σ    ∑ M y R A y (3.81) với ( ) ( )( ) k k 1 * k k 1k * * 1 11 B B B A n 0, β = = ℵ ∼ M R M RM Xác suất lỗi: ( ) ( )( ){ }K 12 K * K m 1 K 1 11 1 k k* * k 2b ...b 1,1 11 AP 2 Q 1 b − − =∈ −    σ = + β  σ     ∑ ∑M R M RM (3.82) Để đánh giá phương trình (3.82), việc tính tốn tương đối lớn, nhất là đối với các hệ số thất thốt βk. Tuy nhiên xác suất lỗi m1P cĩ thể đạt độ chính xác cao hơn bằng cách thay thế nhiễu đa truy nhập bằng biến ngẫu nhiên Gaussian với phương sai ( )1Q SIR và SIR1 được cho trong (3.77). Tách sĩng đa truy nhập dùng mạng Hopfield Thiết kế máy thu GVHD: TS. Phạm Hồng Liên Trang 92 Ta cĩ: ( ) 2 E Q X Q 1  µµ + λ =     + λ  (3.83) với X ở dạng chuẩn đơn vị và: ( ) ( ) * 1 11 * * 11 Aµ = σ M R M RM K 2 2 2 k k 2= λ = µ β∑ Khi σ → 0 thì máy thu MMSE tương đương như máy thu khử tương quan nên hệ số thất thốt bị triệt tiêu. Khi σ → ∞ phân bố nhiễu nền ở ngõ ra của các phép biến đổi tuyến tính chiếm ưu thế so với nhiễu đa truy nhập. Đối với σ khác 0 và hữu hạn thì tỉ số tín hiệu trên giao thoa đạt cực đại và cĩ thể bỏ qua hệ số thất thốt trừ khi nhiễu nền tương đối lớn. Lấy trung bình giá trị MMSE tương ứng với dạng tín hiệu: ( ) k 12 2 k k 2c kk 12 2 12K j 2 j 1 AE min E b c , y E 1 A E trace K 1 A E K − − − =     − = +      σ      = +  σ      = λ +  σ   ∑ I R I R I R ( )2 k2 1 E A1        =   + λ σ R (3.84) Nếu tỷ số giữa số user và độ lợi trải là hằng số: ( ) K Klim 0, N→∞ = β∈ +∞ thì: ( ) ( )2 2K 0 k2 2 2 2 2 2 1 1lim E f x dx A A1 1 x 1 A 1 , 4 A ∞ β→∞    =  + λ + σ σ   σ= − ℑ β β σ  ∫ R (3.85) với: ( ) ( ) ( ) 2def 2 2x, z x 1 z 1 x 1 z 1 ℑ = + + − − +   (3.86) Tách sĩng đa truy nhập dùng mạng Hopfield Thiết kế máy thu GVHD: TS. Phạm Hồng Liên Trang 93 Với tỷ số S/N riêng và số user khơng giới hạn thì trị trung bình của MSE là: ( )→∞   σ σ+ β <  −β    σ σ  − = + β         σ β + β    k 2 2 2 2 2 2 k k 2K c 2 -1 2 1 0 nếu 1 1 A A lim E min E b c ,y 0 nếu =1 A A 1- 0 nếu >1 A (3.87) MMSE với chuỗi nhị phân ngẫu nhiên sẽ hội tụ về vế phải của (3.85): ( ) k 2 2 2 k k 2 2K c 1 Alim E min E b c , y 1 , 4 A→∞  σ  − = − ℑ β     β σ  (3.88) 1.2.4. Máy thu đa truy nhập LMMSE thích nghi Cấu trúc của máy thu đa truy nhập tuyến tính (chẳng hạn như máy thu khử tương quan và máy thu MMSE) cĩ thể được thực hiện theo mơ hình phân quyền với một số mạch lọc thích hợp được bổ sung. Các mạch lọc thích hợp này tùy thuộc vào tín hiệu tương quan chéo (và phụ thuộc vào tỷ số S/N thu được trong trường hợp máy thu MMSE) và tính tốn đáp ứng xung. Mặc dù cĩ những phương pháp tăng tốc độ tính tốn nhưng phương pháp được quan tâm nhất là phương pháp kiểm tra (examine way). Phương pháp này đặc biệt quan trọng để loại bỏ những yêu cầu tính tốn đáp ứng xung của máy thu tuyến tính trong những kênh truyền bất đồng bộ, là kênh truyền cĩ tương quan chéo biến thiên theo thời gian, và các kênh truyền cĩ cơng suất thu được biến thiên theo thời gian. Vấn đề của máy thu đa truy nhập tuyến tính là khơng những loại bỏ yêu cầu tính tốn trực tiếp đáp ứng xung mà cịn loại bỏ yêu cầu về tương quan chéo. Trong thực tế cần truyền chuỗi training (được xem như là chuỗi dữ liệu mà máy thu đã biết trước) trước khi truyền dữ liệu thực. Máy thu sử dụng “luật” thích nghi để điều chỉnh các phép biến đổi tuyến tính của nĩ trong khi truyền chuỗi training. Nếu tương quan chéo và biên độ biến thiên trên tồn miền thời gian thì chuỗi training cĩ thể được truyền đi theo chu kỳ để điều chỉnh lại máy thu. Giả sử rằng ta cần tìm các thơng số θ* để cực tiểu hàm: ( ) ( )E g X,Ψ θ = θ   (3.89) với X là biến ngẫu nhiên. Nếu hàm Ψ là lồi thì việc bắt đầu ở bất kỳ điều kiện ban đầu nào θ0 đều cũng cĩ thể hội tụ đến giá trị tối thiểu của Ψ theo hướng dốc xuống (nghĩa là hướng ngược với gradient ∇Ψ) ( )j 1 j j+θ = θ −µ∇Ψ θ (3.90) Nếu kích thước bước nhỏ tùy ý thì cuối cùng θj sẽ gần với θ* mong muốn. Lưu ý rằng (3.90) khơng thể thực hiện được nếu khơng biết phân bố của X. Thay vì vậy chúng ta giả sử rằng giải thuật tối ưu cho phép xác định chuỗi độc lập {X1, X2 …} là các biến ngẫu nhiên cĩ cùng phân bố với X. Từ chuỗi này chúng ta ước lượng phân bố Tách sĩng đa truy nhập dùng mạng Hopfield Thiết kế máy thu GVHD: TS. Phạm Hồng Liên Trang 94 của X và tính xấp xỉ ∇Ψ. Tuy nhiên ta cĩ thể dùng phương pháp trực tiếp hơn. Ở mỗi bước của giải thuật chúng ta cĩ thể thay thế ẩn số: ( ) ( )j jE g X,∇Ψ θ = ∇ θ (3.91) bằng ( )j 1 jg X ,+∇ θ : ( )j 1 j j 1 jg X ,+ +θ = θ −µ∇ θ (3.92) Theo luật số lớn, kích thước bước là rất nhỏ thì độ lệch khỏi giá trị trung bình cĩ khuynh hướng triệt tiêu và quỹ đạo của giải thuật sẽ bám theo rất gần các đường dốc xuống của Ψ. Giải thuật này được xem như là giảm gradient dừng hay cịn gọi là xấp xỉ dừng. Trong thực tế nếu µ quá nhỏ thì quá trình hội tụ về lân cận của nghiệm θ* rất chậm. Giá trị của µ lớn hơn làm tăng tốc hội tụ nhưng làm cho trạng thái ổn định dao động xung quanh θ*. Ta kết hợp các tiêu chuẩn chung đã được đề cập để đạt được máy thu LMMSE thích nghi. Như phần trên, máy thu LMMSE cho user l thực hiện tương quan tín hiệu thu được với tín hiệu cl để cực tiểu giá trị: ( )2l lE b c , y −  (3.93) Giải thuật thích nghi là: [ ] [ ] [ ] [ ]( ) [ ]l l l lc j c j 1 c j 1 , y j b [ j y j= − −µ − − (3.94) Tuy các tín hiệu (cl[j], y[j]) trong (3.94) là tín hiệu liên tục theo thời gian trong khoảng T nhưng quá trình thực hiện luật thích nghi sẽ được thực hiện như các vector cĩ chiều hữu hạn. Nếu dạng tín hiệu của tất cả user đã biết thì kích thước của vector thích nghi khơng cần lớn hơn K. Bất cứ dạng tín hiệu thu được nào đã biết đều được dùng cho mục đích thực hiện giải thuật thích nghi. Chẳng hạn như trong kênh truyền CDMA đồng bộ dùng trải phổ trực tiếp với dạng sĩng chip giống nhau thì giải thuật trong (3.94) sẽ hoạt động với vector cĩ kích thước bằng với số chip trên bit. Để xấp xỉ các tín hiệu chip cĩ băng thơng giới hạn thì lấy mẫu với tốc độ Nyquist đủ để thống kê cho các kênh đồng bộ và bất đồng bộ. Trong các trường hợp này thì chuỗi các vector thu được tuân theo mơ hình: [ ] [ ] [ ]n n n= +σr SAb m (3.95) Giải thuật thích nghi với kích thước hữu hạn là: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]( ) [ ]Tl l l ln n 1 n 1 n b n n= − −µ − −v v v r r (3.96) Sai số giữa bộ lọc thích nghi và nghiệm mong muốn là: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] * * T T * l l l l l T * l E n E n 1 E n n n 1 E E E n 1        − = − − −µ − +µ            = −µ − −     v v v v r r v rr v I rr v v (3.97) Tách sĩng đa truy nhập dùng mạng Hopfield Thiết kế máy thu GVHD: TS. Phạm Hồng Liên Trang 95 1.2.5. Tách sĩng đa truy nhập MMSE mù ™ Biểu diễn kinh điển các máy thu đa truy nhập tuyến tính Một máy thu đa truy nhập tuyến tính cho user l đặc trưng bởi tín hiệu cl: ( )l lbˆ sgn y,c= (3.98) Biểu diễn kinh điển đối với cl như sau: l l lc s x= + (3.99) sao cho: l ls , x 0= (3.100) Tập các tín hiệu cl thỏa mãn: 2l l ls , c s 1= = (3.101) Mỗi biến đổi tuyến tính đối với bài tốn tách sĩng đa truy nhập đặc trưng bởi tín hiệu xl trực giao tương ứng. Cho trước phép biến đổi tuyến tính dl thì thành phần trực giao với sl được xác định bởi: l l l l l 1x d s s ,d = − (3.102) Ngõ ra của biến đổi tuyến tính: ( )Kl l l l k k lk k l l k 2 y,s x A b A b s , x n = + = + ρ + + σ∑  (3.103) với phương sai ln là 2l1 x+ . Năng lượng của thành phần trực giao với sl trong phép biến đổi tuyến tính tùy ý được gọi là năng lượng thặng dư (surplus energy). Như vậy đối với phép biến đổi tuyến tính cĩ dạng sl + xl thì năng lượng “thặng dư” (surplus energy) là 2x . Phép biến đổi tuyến tính với năng lượng thặng dư bằng 0 chính là mạch lọc thích hợp đơn kênh. Theo (3.103), hiệu suất đa truy nhập tiệm cận và tỷ số tín hiệu trên giao thoa là: K 2 k lk k l k 2 l l 2 l Amax 0,1 s , x A 1 x =  − ρ +  η = + ∑ (3.104) và: ( ) ( ) ( ) 2 l l l l l l 2K k k k l l k 2 2 l K 222 2 l k lk k l k 2 E A b s ,s x SIR E n A b s ,s x A 1 x A s , x = =  + =    σ + +     = σ + + ρ + ∑ ∑ (3.105) Tách sĩng đa truy nhập dùng mạng Hopfield Thiết kế máy thu GVHD: TS. Phạm Hồng Liên Trang 96 Thêm vào đại lượng trực giao với sl là xld thỏa: dk l lks , x = −ρ (3.106) như kết quả của tính chất khử tương quan. Thay (3.106) vào (3.104), năng lượng thặng dư của bộ khử tương quan thỏa: 2 1 1 d l l d lx η η= = + (3.107) Do đĩ ηld càng gần đến 0 thì năng lượng thặng dư cần thiết càng lớn. Phương sai của ngõ ra của phép biến đổi tuyến tính (MOE - Mean Output Energy): ( ) ( )2l l lMOE x E y,s x = +  (3.108) Như vậy, xl làm cho MMSE nhỏ nhất thì cũng làm cho MOE nhỏ nhất. Máy thu tuyến tính cĩ phương sai ngõ ra nhỏ nhất là máy thu đa truy nhập LMMSE: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 l l l l l l l l l l 2 l l E A b y,s x A MOE x 2A s ,s x MOE x A  − + = + − +  = − (3.109) ™ Giải thuật giảm gradient Để áp dụng giải thuật giảm gradient cho (3.109), mỗi lần lặp xl[i] phải trực giao với sl. Gradient tự do: ( ) ( )2l l lMOE x E y,s x = +  (3.110) cùng hướng với tín hiệu: l lMOE 2 y,s x y∇ = + (3.111) Thành phần trong (3.111) trực giao với sl là thành phần vơ hướng của y trực giao với sl: l ly y,s s− . Do đĩ phép chiếu gradient là: l l l l2 y,s x y y,s s+  −   (3.112) Giải thuật thích nghi cập nhật các quá trình cĩ tốc độ bằng tốc độ dữ liệu. Tín hiệu y(t) được chia trong những khoảng thời gian T: [ ] [ ] [ ]y i 1 , y i , y i 1− +… … và thành phần trực giao ở lần lặp thứ i, xl[i] tùy thuộc vào: [ ] [ ]y i 1 , y i−… Chú ý rằng đáp ứng mạch lọc thích hợp đối với sl và sl + xl[i-1] là: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] MF l l l Z i y i ,s Z i y i ,s x i 1 = = + − (3.113) Theo (3.112) luật thích nghi gradient ngẫu nhiên là: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]( )l l MF lx i x i 1 Z i y i Z i s= − −µ − (3.114) Tách sĩng đa truy nhập dùng mạng Hopfield Thiết kế máy thu GVHD: TS. Phạm Hồng Liên Trang 97 với điều kiện ban đầu [ ]lx i 0= Trong thực tế luật (3.114) với sai số làm trịn được chỉnh chính xác cĩ thể cĩ ảnh hưởng tích lũy trong quá trình cập nhật.Ta cĩ thể hiệu chỉnh bằng cách thỉnh thoảng thay thế giá trị cập nhật xl[i] bằng phép chiếu trực giao của nĩ: [ ] [ ]l l l lx i x i ,s s− (3.115) ™ Mất phối hợp tín hiệu Máy thu đa truy nhập “mù” bỏ việc sử dụng chuỗi training. Điều này dẫn đến máy thu đa truy nhập mù cĩ thể chống lại trường hợp mất phối hợp (mismatch) đối với tín hiệu mong muốn. Mismatch xảy ra khi máy thu giả định rằng dạng tín hiệu mong muốn là tín hiệu năng lượng chuẩn lsˆ trong khi tín hiệu thu được thực là sl. Khi kênh truyền tạo ra méo thì lsˆ sẽ khác với sl Xét tình huống tốt đầu tiên khi khơng cĩ nhiễu giữa các user. Giả sử rằng: def l l lˆ ˆs ,s 0ρ = ≥ thì mạch lọc phối hợp đối với lsˆ cĩ xác suất lỗi: ( )c l ll ˆAQ ρ ρ σ =  σ  Cĩ thể thấy rằng bộ tương quan với l lsˆ x+ trong đĩ xl là trực giao với lsˆ và được chọn giá trị tối thiểu của phương sai ở ngõ ra sẽ đạt được xác suất lỗi sau: ( ) ( ) 0 l l 1 4 2 2 1 1 l 4 2 ˆAP Q A Aˆ1 1 2   ρ σ =  σ   + −ρ +  σ σ   (3.116) Điều này cho thấy rằng nếu khơng cĩ sự hiện diện của MAI thì mạch lọc thích hợp đối với lsˆ sẽ đạt được xác suất lỗi thấp hơn so với phương sai của tín hiệu ngõ ra tối thiểu của máy thu tuyến tính khơng quan tâm đến tỷ số S/N. Hơn nữa mức nhiễu nền đủ thấp thì argument của hàm Q trong (3.116) nhỏ tùy ý. Do đĩ trừ khi biết chính xác tín hiệu của user thu thì nghiệm phương sai ở ngõ ra đạt tối thiểu là khơng cần thiết nếu như tỷ số S/N cao. Khi lsˆ ≠ sl, cĩ tín hiệu trực giao với lsˆ chẳng hạn như tín hiệu l lsˆ x+ trực giao với tín hiệu sl . Đối với nhiễu nền thấp thì nghiệm phương sai tối thiểu ở ngõ ra tập trung loại bỏ sl mà khơng cần quan tâm đến năng lượng thặng dư. Năng lượng thặng dư cần thiết để loại bỏ tín hiệu mà khơng cĩ sự hiện diện của nhiễu nền và giao thoa: 2 2 2 s l l s l 2 l ˆx s tan ˆ ˆ1 χ = = θ ρ= −ρ (3.117) Tách sĩng đa truy nhập dùng mạng Hopfield Thiết kế máy thu GVHD: TS. Phạm Hồng Liên Trang 98 với l l l sˆ ˆs ,s sinρ = = θ Từ đĩ, dù sự mất phối hợp là nhỏ nhưng cũng phải cần năng lượng thặng dư lớn để loại bỏ tín hiệu mong muốn. Nếu khơng cĩ mất phối hợp tín hiệu mong muốn thì nhiễu giữa các user cĩ thể được điều chỉnh với năng lượng thặng dư bằng với (3.107): 2l l l 1x 1χ = = −η (3.118) Để tránh việc loại bỏ tín hiệu mong muốn khi tồn tại của nhiễu, ta phải cĩ: lmax s 2 l ˆ ˆ1 ρχ < χ = −ρ trong khi đĩ cĩ thể loại bỏ MAI, ta cần: max l l 1 1χ > χ = −η Do đĩ để đạt đồng thời hai mục đích trên thì độ mất phối hợp tín hiệu mong muốn phải đủ nhỏ thỏa: 2l lˆ 1ρ > −η 2. Máy thu phi tuyến 2.1. Máy thu đa truy nhập tối ưu 2.1.1. Máy thu tối ưu cho kênh truyền đồng bộ Giả sử rằng máy thu biết được tín hiệu nhận dạng, định thời cho mỗi user, biên độ nhận được của tất cả các user và mức nhiễu: 1n1 K 2 111 bAbAy σ+ρ+= λλ =λ λ∑ (3.118) 2.1.1.1. Kênh đồng bộ 2 user Xét kênh đồng bộ 2 user: ),t(n)t(sbA)t(sbA)t(y 222111 σ++= t∈[0,T] Xác suất lỗi cực tiểu cho user 1 dựa vào việc lựa chọn giá trị của { }1 1,1b ∈ − sao cho xác suất: }{[ ]Tt0),t(ybP 1 ≤≤ (3.119) cực đại hay lựa chọn cặp (b1, b2) để xác suất: }{[ ]Tt0),t(y)b,b(P 21 ≤≤ (3.120) Tách sĩng đa truy nhập dùng mạng Hopfield Thiết kế máy thu GVHD: TS. Phạm Hồng Liên Trang 99 cực đại. Từ đĩ: }{[ ] }{[ ] }{[ ]Tt0),t(y)1b(P Tt0),t(y)1b(PTt0),t(ybP 1 11 ≤≤−+ ≤≤+=≤≤ (3.121) Giả sử: ,sAsAx 22111 += ,sAsAx 22112 −= ,sAsAx 22113 +−= ,sAsAx 22114 −−= Luật quyết định tối ưu là phải lựa chọn cặp (b1,b2) sao cho giá trị: }{[ ])b,b(Tt0),t(yf 21≤≤ [ ]    ∫ −−σ−= T 0 2 2221112 dt)t(sbA)t(sbA)t(y2 1 e (3.122) cực đại. Do dữ liệu cĩ xác suất bằng nhau và độc lập, quyết định tối ưu là các quyết định maximum-likelihhod: chọn 1 2ˆ ˆ(b ,b ) sao cho 1 1 1 2 2 2ˆ ˆA b s (t) A b s (t)+ cĩ giá trị bình phương trung bình gần với tín hiệu nhận được nhất. Hàm (3.122) cĩ thể được mơ tả như sau: }{[ ])b,b(Tt0),t(yf 21≤≤    ∫σ−      σ +−   Ωσ= T 0 2 22 2 2 2 1 2122 dt)t(y2 1 2 AA )b,b(1 eee (3.123) với: ρ−+=Ω 2121222111212 AAbbyAbyAb)b,b( (3.124) Ngõ ra của lọc thích hợp: ∫= T0 kk dt)t(s)t(yy ` Hình 3.7: Quyết định tối ưu cho user 1 ∫T 0 ∫T 0 ∫T 0 s1(t) s2(t) y1 y2 ρ A1 A2 + + - - + - ½ + + Tách sĩng đa truy nhập dùng mạng Hopfield Thiết kế máy thu GVHD: TS. Phạm Hồng Liên Trang 100 Để cực đại hĩa vế phải của (3.123), ta khơng quan tâm đến các hệ số khơng phụ thuộc vào (b1,b2). Quyết định tối ưu chính là quá trình cực đại hàm 2Ω . Nếu 1 1 2 2 1 2min { , }A y A y A A ρ≥ thì: )ysgn(bˆ 11 = )ysgn(bˆ 22 = Cách khác: )yA)sgn(yAsgn(bˆ 22111 ρ−= )yA)sgn(yAsgn(bˆ 11222 ρ−= Một cách khác để diễn tả các quyết định như hình vẽ: )AAyA 2 1AAyA 2 1yAsgn(bˆ 21222122111 ρ+−ρ−+= (3.125) )AAyA 2 1AA1yA 2 1yAsgn(bˆ 2111211222 ρ+−ρ−+= (3.126) Như vậy, các quyết định tối ưu phụ thuộc vào các giá trị A1, A2 và ρ chứ khơng phụ thuộc vào σ. Hình 3.8: Tối thiểu BER cho user 1 Giá trị 1bˆ tối ưu là { }1b 1, 1∈ − + làm cho: [ ]    ∫ −−σ− T 0 2 221112 dt)t(sA)t(sbA)t(y2 1 e [ ]    ∫ +−σ−+ T 0 2 221112 dt)t(sA)t(sbA)t(y2 1 e cực đại. Hay: ∫T 0 ∫T 0 ∫T 0 s1(t) s2(t) y1 y2 ρ A1 A2 + + - - + - ½ + + Tách sĩng đa truy nhập dùng mạng Hopfield Thiết kế máy thu GVHD: TS. Phạm Hồng Liên Trang 101 0 1 2 3 4 y1 + γ y2 + γ y4 + γ γ γ γ γ -ρ13 -ρ12 -ρ24 -ρ14 -ρ34 -ρ23 [ ][ ]    σ−= σ ρ− σ ρ+ 2 2122 2 2122 AAyA AAyA 1 2 11 cosh cosh log A2 ysgnbˆ (3.127) Kết quả tương tự cho 2ˆb bằng cách thay đổi (y1,A1) và (y2,A2) trong (3.127). Bộ phi tuyến trong hình vẽ là hàm: ))/xlog(cosh()x(f 22 σσ=σ 2.1.1.2. Kênh truyền đa truy nhập Kênh CDMA đồng bộ cho K user: ∑ = σ+= K 1k kkk )t(n)t(sbA)t(y , t∈[0,T] (3.128) Ta cần tìm vector b TKbb ],...,[ 1= sao cho giá trị:     ∫    ∑−σ− = T 0 2K 1k kkk2 dt)t(sAb)t(y2 1 e cực đại hay cực đại giá trị: ∫ ∑∫ ∑     −    =Ω == T 0 2K 1k kkk T 0 K 1k kkk dt)t(sbAdt)t(y)t(sbA2)b( = 2bT Ay – bT Hb (3.129) trong đĩ: y TKyy ],...,[ 1= (3.130) A }A,...,A{diag K1= là ma trận đường chéo biên độ thu (3.131) H = ARA là ma trận chéo tương quan khơng chuẩn hĩa (3.132) Hình 3.9: Đồ thị biểu diễn một đường cắt Tách sĩng đa truy nhập dùng mạng Hopfield Thiết kế máy thu GVHD: TS. Phạm Hồng Liên Trang 102 Ta xây dựng đồ thị với các nút {0,1,...,K,K+1} và các biên cĩ trọng số như sau: cij = { } { }{ }   +== ∈= ∈+=γ ∈ρ− 1Kjvà0i K,...1jvà0i 0 yA K,...1ivà1Kj K,...,1)j,i(AA ii 2 ijji (3.133) với γ là hệ số vơ hướng tùy ý. Một đường cắt tách đồ thị thành 2 phần: { } { }{ } { }{ }1KJ0I1K,K,...,1,0 +=+ ∪∪∪ (3.134) Dung lượng của một đường cắt định nghĩa như sau: { }{ } ∑ ∑ ∈ +∈ = 0Ii 1KJj ijc)J,I(C ∪ ∪ (3.135) Ta cĩ: ( )∑∑∑ ∈∈ ∈ γ++ρ−=Ω+ Jj jj Ii Jj ijji yA4AA4)b()J,I(C4 ∑∑∑ ∈∈∈ −+γ+ Jj jj Ii ii Ii yA2yA24 ∑∑∑∑ ∈ ∈∈ ∈ ρ−ρ− Ji Jj ijji Ii Ij ijji AAAA ∑∑ ∈ ∈ ρ+ Ii Jj ijjiAA2 ∑ ∑∑ = = = ρ−+γ= K 1i K 1i K 1j ijjiii AAyA2K4 (3.136) Vì vậy, cực đại hĩa hàm Ω(b) tương đương với việc tìm một đường cắt với dung lượng cực tiểu: nếu { } { }I* {0} J * {K 1}∪ ∪ ∪ + là một đường cắt với dung lượng cực tiểu, thì quyết định là:   − += 1 1 bˆk * * Jk Ik ∈ ∈ (3.137) Thường chọn:     −=γ jjj yAmin,0max 2.1.2. Máy thu tối ưu cho kênh truyền bất đồng bộ Giống như trong trường hợp đồng bộ, dùng các quyết định tối ưu thành phần hay tối ưu kết hợp để đạt được tỷ số bit lỗi tối ưu. Các quyết định tối ưu kết hợp nhận được bằng máy thu gần cực đại sẽ lựa chọn hầu hết các chuỗi giống nhau của các bit truyền quan sát. Ví dụ, một bộ thu chỉ quan tâm đến việc giải điều chế một user sẽ lựa chọn hầu hết các chuỗi cho user đĩ hơn là tạo ra các quyết định tối ưu thành phần. Với K user, M frame, kênh khơng đồng bộ giống như kênh đồng bộ K(2M+1) user. Ta định nghĩa vector b như sau: bk+iK = bk [i] , k = 1, …,K; i = - M…, M (3.138) Tách sĩng đa truy nhập dùng mạng Hopfield Thiết kế máy thu GVHD: TS. Phạm Hồng Liên Trang 103 với )iTt(s)t(v kkiKk τ−−=+ (3.139) và K(2M+1) vector ngõ ra bộ lọc thích hợp, y, với các thành phần: ∫∞∞−= dt)t(y)t(vy jj (3.140) Giống như trong kênh đồng bộ, thực hiện tính tốn b sao cho cực đại: ]b]}T2MT,MT[t),t(y[{f +−∈    ∫ −σ− + −= T2MT MT 2 t2 dt))b(S)t(y(2 1 e (3.141) trong đĩ ∑∑ −== τ−−= M Mi kkkk K 1k t )iTt(s]i[bA)b(S (3.142) Cho AM là ma trận chéo K(2M+1)xK(2M+1) với các phần tử đường chéo k+iK bằng Ak, R là ma trận K(2M+1)xK(2M+1) với các hệ số: ∫∞∞−= dt)t(v)t(vr ljij (3.143) Ma trận R cĩ thể viết lại như một hàm của ma trận chéo tương quan:           = ]0[R]1[R...000 .................. 00...]0[R]1[R0 00...]1[R]0[R]1[R 00...0]1[R]0[R R T T Ta định nghĩa: H = AMRAM (3.144) Cực đại biểu thức (3.141) tương đương với quá trình chọn b sao cho cực đại: ∫ ∫−=Ω dt)b(Sdt)t(y)b(S2)b( 2tt = 2bTAMy – bT Hb (3.145) Để đơn giản, xét trường hợp 2 user với A1 = A2 =1 H = R                 ρ ρρ ρ ρ ρ ρρ ρρ ρ = 1000 10 01 00 0100 10 001 001 21 2112 12 21 12 1221 2112 12 … % % % % … … (3.146) Tách sĩng đa truy nhập dùng mạng Hopfield Thiết kế máy thu GVHD: TS. Phạm Hồng Liên Trang 104 Khi đĩ: ∑+ −= −λ=Ω 2M2 M21j j1jj )b,b()b( (3.147) với b-2M = 0 và + − + − ρ −λ =  − ρ − j j 12 j j 1 j j 1 j j j 21 j j 1 2b y 2 b b 1, nếu j chẵn (b ,b ) 2b y 2 b b 1, nếu j lẻ Trong trường hợp tổng quát cho K user: Ω(b) = 2bTAMy – bTHb (3.148) với bTAMy = ∑+ −= KMK MK1j jj)j(k ybA (3.149) Để phân tích dạng bậc hai bTHb trong (3.148), ta cĩ thể sử dụng ma trận H với các phần tử của nĩ tuần hồn theo đường chéo như (3.146). Dùng các kết quả (3.143), 1 K...τ ≤ ≤ τ và tín hiệu nhận dạng giới hạn trong khoảng [0,T], ta thấy H cĩ các tính chất như sau: (1) h 2 )j(kj,i A= (2) n,kiKn,ikk hh =++ (3) 0h l,j = Klj <− (4) i,jj,i hh = (5) )j(K),nj(K)j(K)nj(Kj,nj AAh −−− ρ= 1K,...,1n −= Sử dụng các tính chất này và lấy 0b j = if MK1j − :     ρ+=     +=     +== ∑∑ ∑ ∑ ∑ ∑∑ ∑ − = −−− + −= + −= − = −− + −= − +−= + −= + −= 1K 1n )j(K),nj(K)nj(Knjj)j(K KMK MK1j j)j(k KMK MK1j 1K 1n j,njnjj 2 )j(Kj KMK MK1j 1j 1Kjl j,llj 2 )j(Kj KMK MK1j KMK MK1l l,jlj T Ab2bAbA hb2bAb hb2bAbhbbHbb (3.150) Ta thấy: [ ]∑+ −− λ=Ω KMK MK1j jjj b,x)b( (3.151) với:     ρ−−=λ ∑− = −− 1K 1n )j(k),nj(K)nj(K)j(kj)j(Kj A)n(x2uAy2uA)u,x( (3.152) Tách sĩng đa truy nhập dùng mạng Hopfield Thiết kế máy thu GVHD: TS. Phạm Hồng Liên Trang 105 và xj là trạng thái của một thanh ghi dịch với K-1 thanh ghi: [ ][ ][ ]jj jjj 1j1j T 1j b,xf b),1K(x),...,2(x )1K(x),...,1(xx = −= −= +++ (3.153) Do u { 1,1}∈ − nên cĩ thể đơn giản hàm (b)Ω bằng cách loại bỏ các thành phần độc lập với ngõ ra bộ lọc thích hợp hay của b:     ρ−=λ ∑− = −− 1K 1n )j(K),nj(K)nj(Kj)j(Kj ~ A)n(xyuA)u,x( (3.154) Nếu bài tốn là cực tiểu xác suất lỗi cho mỗi user, ta dùng thuật tốn quyết định tối ưu dựa trên chương trình động lan truyền ngược. Thuật tốn này thực hiện tính tốn Lj(-1) và Lj(1) cho mỗi j=1-MK,...,MK+K với: ∑ = σΩ= bb b 2/)b( j j 2 e)b(L (3.155) ∏+ −= σλσΩ = KMK MK1j 2/)b,x(2/)b( 2jjj2 ee (3.156) So sánh các máy thu tối ưu đối với máy thu cổ điển đơn kênh trong chương 2, ngồi việc tăng các phép tốn phức, máy thu đa truy nhập gần cực đại yêu cầu việc biết rõ biên độ nhận được và tương quan chéo. Thơng số trễ hơn cĩ thể được tạo bởi bộ thu bằng cách tương quan chéo mơ hình cơ bản hĩa của dạng tín hiệu nhận dạng lưu trữ tại máy thu với trễ và pha được cho bởi hệ thống đồng bộ hĩa. 2.1.3. Tối thiểu xác suất lỗi trong kênh truyền đồng bộ 2.1.3.1. Kênh truyền hai user Xác suất lỗi của máy thu cổ điển: 1 2 1 21 A A A A1 1P ( ) Q Q 2 2 − ρ + ρ   σ ≤ +   σ σ    (3.157) Từ (3.124), máy thu cho ra cặp giá trị 21 2ˆ ˆ(d ,d ) { 1,1}∈ − cực đại: ρ−+=Ω 2121222111212 AAddyAdyAd)d,d( (3.158) với: 122111 nbAbAy +ρ+= (3.159) 211222 nbAbAy +ρ+= (3.160) (b1,b2) là các bit truyền, n1, n2 là Gaussian kết hợp với trung bình bằng 0, phương sai 2σ và tương quan 2σ ρ . Từ đĩ, xác suất lỗi: Tách sĩng đa truy nhập dùng mạng Hopfield Thiết kế máy thu GVHD: TS. Phạm Hồng Liên Trang 106     σ ρ+++    σ ρ−++   σ≤σ 21 2 2 2 121 2 2 2 11m 1 AA2AA Q 2 1AA2AAQ 2 1AQ)(P (3.161) Thành phần cuối cùng trong (3.161) bỏ qua nếu 0ρ ≥ (nếu 0ρ < thì bỏ qua thành phần thứ hai). Do đĩ:         σ σ−++   σ≤σ≤σ 21 2 2 2 11m 11 AA2AA Q 2 1AQ)(P)(P (3.162) 2.1.3.2. Kênh truyền đồng bộ K user Sai khác chuẩn giữa cặp vector truyền bất kỳ, phân biệt được xét đến như là một vector lỗi. Tập các vector lỗi ảnh hưởng đến K user là: { }{ }0,1,0,1E kK'k ≠ε−∈ε= Tập vector lỗi (khác 0) biểu diễn như sau: ∪K 1k kEE = = Xét bit b truyền và bit kbˆ giải điều chế với vector lỗi tương ứng T T T ]00101[ ]11111[bˆ ]11111[b −+=ε +++−−= ++−−+= Các thành phần vector lỗi bằng 0 nếu khơng tồn tại lỗi tại thành phần đĩ và sẽ bằng với thành phần vector truyền trong trường hợp ngược lại. Tập các vector lỗi tương thích với Kb { 1,1}∈ − cĩ dạng: { } { }{ }Kii 1,1b2,E0orb,E)b(A −∈−ε∈ε==ε∈ε= (3.163) Vector lỗi tương thích ảnh hưởng đến K user là: kk E)b(A)b(A ∩= Số các thành phần khác 0 (gọi là trọng số) của một vector lỗi và năng lượng của tín hiệu đa user (về lý thuyết) được điều chế bởi ε xác định như sau: ∑ = ε=εω K 1k k)( Tách sĩng đa truy nhập dùng mạng Hopfield Thiết kế máy thu GVHD: TS. Phạm Hồng Liên Trang 107 và εε=         ε=ε ∫ ∑ = H dt)t(sA)(S T T 0 2K 1k kkk 2 (3.164) trong đĩ: H = ARA Một vector lỗi Eε∈ gọi là cĩ thể phân tích thành ' Eε ∈ và '' Eε ∈ nếu 1. ' ''ε = ε + ε 2. nếu K 0ε = thì ' ''K Kε + ε =0 3. S( ').S( '') 0ε ε ≥ Nếu ε cĩ thể phân tích thành 'ε và ''ε thì: "' dec ε+ε=ε Gọi FK là tập con chứa các vector khơng phân tích được trong EK. Lưu ý rằng "T' T 0 K 1k K 1j jkjk " j ' k Hdt)t(s)t(sAA)"e(S),'e(S εε=εε= ∫∑∑ = = (3.165) Định đề 3.2: ))(SQ2)(P kF )( k ∑ ∈ε εω−     σ ε≤σ (3.166) Do K KF Fε∈ ⇔ −ε∈ và ( ) ( ), S( ) S( )ω ε = ω −ε ε = −ε , ta cĩ thể loại bỏ trong (3.166) tất cả các vector cĩ (k) 1ε = − bằng cách thay thế ( )ω ε bằng ( )ω ε -1. Trong trường hợp hai user, định đề 3.2 chỉ ra xác suất lỗi của đa thức bậc 2K trong nhĩm xác suất lỗi của kiểm tra nhị phân. Nếu 1 kˆ ˆ ˆb b ,..., b =   là vector ngõ ra của máy thu và b là vector truyền thực, ta cĩ biên trên của xác suất lỗi là: [ ]∑ ∑ ∈ε ∈ε Ω>ε−Ω∈ε≤    Ω=ε−Ω∈ε≤σ k k E E dk )b()2b();b(AP )d(max)2b();b(AP)(P (3.167) Tất cả các bit truyền cĩ xác suất bằng nhau và bằng: [ ] ( )[ ] )( K 1k kkk 20bP)b(AP εω− = ==εε−=∈ε ∏ (3.168) Do tính chất đối xứng, (b 2 ) (b)Ω − ε ≥ Ω là độc lập với vector truyền b. Từ T T( ) 2Ω = −b b Ay b Hb : Tách sĩng đa truy nhập dùng mạng Hopfield Thiết kế máy thu GVHD: TS. Phạm Hồng Liên Trang 108 T T T T T T T T T T ( 2 ) ( ) 2( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) 2 4 4 2 2 4 4 Ω − −Ω = − − − − − + = − − + + = − − − b b b Ay b H b b Ay b Hb Ay H b Hε Hb An Hε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε (3.169) Do TAnε là biến ngẫu nhiên Gaussian với trung bình bằng 0 và phương sai: 2T T 2 T 2E S( )  = σ = σ Ann Aε Hεε ε ε Từ (3.169): [ ]     σ ε=Ω≥ε−Ω )(SQ)b()2b(P (3.170) { }A(b)ε∈ phụ thuộc vào b mà khơng phụ thuộc vào n và (b 2 ) (b)Ω − ε ≥ Ω phụ thuộc vào n mà khơng phụ thuộc vào b, nên chúng độc lập nhau. Theo đĩ vế phải của (3.167) là: ∑ ∈ε εω−     σ ε≤σ kE )( k )(S Q2)(P (3.171) 2.1.4. Tối thiểu xác suất lỗi trong kênh truyền bất đồng bộ Mỗi bit trong frame của user k: ]}m[b],...,0[b],...,M[b{ kkk − (3.172) sẽ cĩ một xác suất lỗi khác nhau. Biểu diễn xác suất lỗi cực tiểu của bit 0 trong (3.172): ]]0[b]0[b[P)(P kk ^ M k ≠=σ (3.173) Một kênh với M-frame sẽ cĩ cùng xác suất lỗi như một kênh với (M+1) frame và thơng tin biên hồn tất của jb [ (M 1)], j 1,..., K± + = . Vì vậy, MkP ( )σ tăng đều theo M. Ta cĩ thể quan sát kênh truyền bất đồng bộ với K user và chiều dài frame bằng 2M+1 giống kênh đồng bộ gồm cĩ (2M+1)K user, user quan tâm là user truyền bk[0]. Điều này cho phép tìm biên trên và dưới trên MkP ( )σ bằng cách sử dụng kết quả của phần tính cực tiểu xác suất lỗi cho kênh truyền đồng bộ. Vector lỗi ε cĩ chiều (2M+1)K; Fk là tập các vector khơng phân tích được như 2k k,min[0];dε là năng lượng cực tiểu của tất cả các vector trong Fk. Biên trên: ∑ ∈ε εω−     σ ε≤σ kF )( k )(S Q2)(P (3.174) 2.2. Máy thu dùng mạng neural Trong thời gian gần đây người ta chế tạo ra nhiều loại bộ thu phi tuyến mới sử dụng mạng neural nhân tạo (NN) ứng dụng mạng neural để giải điều chế những tín hiệu trải phổ. Mạng neural sử dụng nút xử lý đơn giản (thường gọi là neuron), chúng Tách sĩng đa truy nhập dùng mạng Hopfield Thiết kế máy thu GVHD: TS. Phạm Hồng Liên Trang 109 được kết nối song song bên trong (thơng qua các trọng số). Qua cấu trúc song song này, NN được huấn luyện nhờ đưa vào cơng thức biên quyết định. Một số kỹ thuật dùng mạng neural như sau: - Aazhang ứng dụng kỹ thuật lan truyền ngược dùng thuật giải giảm gradient thực hiện trải phổ tín hiệu. - Vanarasi và Aazhang đưa ra dạng máy thu đa tầng để triệt nhiễu song song liên tiếp nhau. - Mạng Hopfield được sử dụng cho bài tốn tối ưu trong máy thu đa truy nhập tối ưu. - Mitra và Poor ứng dụng mạng RBF để thực hiện tách sĩng đa truy nhập tối ưu thích nghi. Hoạt động cụ thể cho máy thu dùng mạng neural sẽ khảo sát ở chương sau.