Bài giảng Sức bền vật liệu 1 - Chương 7: Dầm chịu uốn phẳng

CHƯƠNG 7: Dầm chịu uốn phẳng – 1Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD Trần Minh Tú – Đại học Xây dựng Email: tpnt2002@yahoo.comTháng 01/2015 CHƯƠNG 7: Dầm chịu uốn phẳng – 2Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD NỘI DUNG CHƯƠNG 7 – DẦM CHỊU UỐN PHẲNG 7.1. Khái niệm – Nội lực 7.2. Dầm chịu uốn thuần tuý 7.3. Dầm chịu uốn ngang phẳng 7.4. Chuyển vị của dầm chịu uốn: độ võng, góc xoay 7.5. Phương pháp tích phân trực tiếp 7.6. Phương pháp thông số ban đầu 7.7. Bài toán siêu tĩnh 7.8.* Ảnh hưởng của lực cắt tới độ võng trong dầm chịu uốn CHƯƠNG 7: Dầm chịu uốn phẳng – 3Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD 7.1. Khái niệm – Nội lực Dầm chịu uốn phẳng là cấu kiện mà dưới tác dụng của ngoại lực, trục dầm thay đổi độ cong. Ví dụ: Dầm (thép, bê tông) trong khung nhà; dầm cầu là các cấu kiện chịu uốn điển hình CHƯƠNG 7: Dầm chịu uốn phẳng – 4Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD 7.1. Khái niệm – Nội lực Ví dụ về dầm chịu uốn: CHƯƠNG 7: Dầm chịu uốn phẳng – 5Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD 7.1. Khái niệm – Nội lực  Giới hạn nghiên cứu: Dầm với mặt cắt ngang có ít nhất một trục đối xứng (chữ nhật, chữ I, chữ T, tròn); mặt phẳng tải trọng trùng với mặt phẳng đối xứng của dầm → Uốn phẳng  Mặt phẳng tải trọng: Mặt phẳng chứa tải trọng và trục dầm  Mặt phẳng quán tính chính trung tâm: Mặt phẳng chứa trục dầm và một trục quán tính chính trung tâm của mặt cắt ngang Uốn xiên CHƯƠNG 7: Dầm chịu uốn phẳng – 6Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD 7.1. Khái niệm – Nội lực Mái bằng – các thanh dầm gỗ chịu uốn phẳng CHƯƠNG 7: Dầm chịu uốn phẳng – 7Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD 7.1. Khái niệm – Nội lực Giàn mái gỗ truyền thống – các thanh xà gồ chịu uốn xiên CHƯƠNG 7: Dầm chịu uốn phẳng – 8Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD 7.1. Khái niệm – Nội lực Ví dụ: Dầm ABCD chịu uốn như hình vẽ. Ta thấy:  Đoạn dầm BC: Mx ≠ 0; Qy = 0 → Chịu uốn thuần tuý  Đoạn dầm AB và CD: Mx ≠ 0; Qy ≠ 0 → Chịu uốn ngang phẳng CHƯƠNG 7: Dầm chịu uốn phẳng – 9Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD 7.1. Khái niệm – Nội lực Phân loại uốn phẳng:  Uốn thuần tuý phẳng: Mx ≠ 0; Qy = 0  Uốn ngang phẳng: Mx ≠ 0; Qy ≠ 0 CHƯƠNG 7: Dầm chịu uốn phẳng – 10Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD 7.2. Dầm chịu uốn thuần tuý Thí nghiệm: Uốn dầm như hình vẽ. Trước khi uốn, kẻ trên bề mặt dầm: - Hệ những đường thẳng song song với trục dầm - Hệ những đường thẳng vuông góc với trục dầm → Tạo thành một lưới ô vuông Quan sát biến dạng: - Các đường thẳng song song với trục dầm → các đường cong song song với trục, khoảng cách giữa chúng không đổi - Các đường thẳng vuông góc với trục dầm vẫn thẳng và vuông góc với trục dầm CHƯƠNG 7: Dầm chịu uốn phẳng – 11Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD 7.2. Dầm chịu uốn thuần tuý Quan sát biến dạng (tiếp): - Các thớ dọc phía dưới bị kéo giãn ra, các thớ dọc phía trên bị nén co lại → Tồn tại những thớ vật liệu không chịu kéo cũng không chịu nén – thớ trung hoà → Tập hợp của các thớ trung hòa – mặt trung hòa → Trục trung hoà: giao tuyến của mặt trung hoà với mặt cắt ngang CHƯƠNG 7: Dầm chịu uốn phẳng – 12Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD 7.2. Dầm chịu uốn thuần tuý CHƯƠNG 7: Dầm chịu uốn phẳng – 13Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD 7.2. Dầm chịu uốn thuần túy Các giả thiết về biến dạng: Giả thiết 1: Giả thiết về mặt cắt ngang phẳng (Bernoulli) Mặt cắt ngang trước biến dạng là phẳng và vuông góc với trục thanh, sau biến dạng vẫn phẳng và vuông góc với trục thanh. Giả thiết 2: Giả thiết về các thớ dọc Các lớp vật liệu dọc trục không có tác dụng tương hỗ với nhau (không chèn ép, xô đẩy lẫn nhau). Chú ý: Ứng xử của vật liệu tuân theo Định luật Hooke (ứng suất tỷ lệ thuận với biến dạng) Jacob Bernoulli (1654-1705) Robert Hooke (1635 -1703) CHƯƠNG 7: Dầm chịu uốn phẳng – 14Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD  Ta tìm công thức tính ứng suất pháp tại điểm cách trục trung hòa một khoảng y.  Từ công thức Định luật Hooke: 7.2. Dầm chịu uốn thuần túy Công thức tính ứng suất pháp E – Mô-đun đàn hồi kéo-nén của vật liệu (đã biết) εz – Biến dạng dài của thớ dọc tại tung độ y → εz = ? → Pt biến dạng?  Pt biến dạng (pt động học) thể hiện quan hệ giữa εz với:  Khoảng cách y từ điểm đang xét đến trục trung hòa  Bán kính cong của thớ trung hòa ρ CHƯƠNG 7: Dầm chịu uốn phẳng – 15Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD 7.2. Dầm chịu uốn thuần tuý Biến dạng dài của một thớ dọc Xét một thớ dọc cách trục trung hoà một khoảng y: → Biến dạng dài εz tỷ lệ bậc nhất với khoảng cách đến trục trung hoà CHƯƠNG 7: Dầm chịu uốn phẳng – 16Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD 7.2. Dầm chịu uốn thuần tuý Tĩnh học: Định luật Hooke: Động học: Do tải trọng thẳng đứng, nằm trong mặt phẳng zOy → Nz = 0 ; My = 0 ; Mx ≠ 0 sinh ra ứng suất pháp σz Công thức tính ứng suất pháp • Giả thiết 1 → τ = 0 • Giả thiết 2 → σx = σy = 0 → Trên mặt cắt ngang chỉ có một thành phần ứng suất pháp σz CHƯƠNG 7: Dầm chịu uốn phẳng – 17Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD 7.2. Dầm chịu uốn thuần tuý Công thức tính ứng suất pháp Tĩnh học: Định luật Hooke: Động học: Trục trung hoà x cũng là trục quán tính chính trung tâm của mặt cắt ngang dầm. CHƯƠNG 7: Dầm chịu uốn phẳng – 18Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD 7.2. Dầm chịu uốn thuần tuý Công thức tính ứng suất pháp Tĩnh học: Định luật Hooke: Động học: (Độ cong của dầm) EIx – Độ cứng uốn của dầm CHƯƠNG 7: Dầm chịu uốn phẳng – 19Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD 7.2. Dầm chịu uốn thuần tuý  Lấy dấu “+” nếu điểm đang xét thuộc vùng chịu kéo  Lấy dấu “–” nếu điểm đang xét thuộc vùng chịu nén Để thuận lợi cho việc tính toán, người ta thường áp dụng công thức kỹ thuật: Ứng suất pháp σz phân bố bậc nhất theo khoảng cách y đến trục trung hoà và đạt cực trị tại các mép biên của dầm. Trục trung hoà – Phân bố ứng suất pháp trên mặt cắt ngang CHƯƠNG 7: Dầm chịu uốn phẳng – 20Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD 7.2. Dầm chịu uốn thuần tuý Mặt cắt ngang có 2 trục đối xứng Xét mặt cắt ngang hình chữ nhật: – Mômen chống uốn của mặt cắt ngang CHƯƠNG 7: Dầm chịu uốn phẳng – 21Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD 7.2. Dầm chịu uốn thuần tuý Mặt cắt ngang có 2 trục đối xứng Mặt cắt ngang hình chữ nhật: Mặt cắt ngang hình tròn đặc: Mặt cắt ngang hình vành khuyên: Mômen chống uốn của một số mặt cắt ngang có 2 trục đối xứng thường gặp: CHƯƠNG 7: Dầm chịu uốn phẳng – 22Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD 7.2. Dầm chịu uốn thuần tuý – Các mômen chống uốn của mặt cắt ngang Mặt cắt ngang có 1 trục đối xứng CHƯƠNG 7: Dầm chịu uốn phẳng – 23Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD Mặt cắt ngang là thép hình Tra bảng các giá trị kích thước; Ix; Wx 7.2. Dầm chịu uốn thuần tuý CHƯƠNG 7: Dầm chịu uốn phẳng – 24Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD 7.2. Dầm chịu uốn thuần tuý Điều kiện bền Đối với vật liệu dẻo: Đối với vật liệu giòn: CHƯƠNG 7: Dầm chịu uốn phẳng – 25Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD 7.3. Dầm chịu uốn ngang phẳng Thí nghiệm: Uốn dầm như hình vẽ. Trước khi uốn, kẻ trên bề mặt dầm: - Hệ những đường thẳng song song với trục dầm - Hệ những đường thẳng vuông góc với trục dầm → Tạo thành một lưới ô vuông Quan sát biến dạng: - Sau biến dạng, ô vuông trở thành ô bình hành → có biến dạng góc - Mặt cắt ngang không còn phẳng → giả thiết về mặt cắt ngang phẳng của Bernoulli không còn chính xác CHƯƠNG 7: Dầm chịu uốn phẳng – 26Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD 7.3. Dầm chịu uốn ngang phẳng CHƯƠNG 7: Dầm chịu uốn phẳng – 27Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD 7.3. Dầm chịu uốn ngang phẳng Ứng suất trên mặt cắt ngang Trên mặt cắt ngang có hai thành phần ứng lực:  Mômen uốn Mx → Ứng suất pháp σz  Lực cắt Qy → Ứng suất tiếp τzy Công thức tính ứng suất pháp Mx – Mômen uốn nội lực trên mặt cắt ngang Ix – Mômen quán tính của mặt cắt ngang đối với trục quán tính chính trung tâm Ox y – Tung độ của điểm tính ứng suất Ghi chú: Mx > 0 khi làm căng các thớ dưới của dầm; Mx < 0 khi làm căng các thớ trên của dầm CHƯƠNG 7: Dầm chịu uốn phẳng – 28Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD 7.3. Dầm chịu uốn ngang phẳng Công thức tính ứng suất tiếp Với mặt cắt ngang hình chữ nhật hẹp (b<<h), ứng suất tiếp tuân theo giả thiết Zhuravskii: • Có phương song song với lực cắt Qy, cùng chiều lực cắt Qy • Phân bố đều trên bề rộng mặt cắt ngang Dmitrii Ivanovich Zhuravskii (1821 -1891) CHƯƠNG 7: Dầm chịu uốn phẳng – 29Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD 7.3. Dầm chịu uốn ngang phẳng Công thức tính ứng suất tiếp Xét cân bằng của một phân tố vô cùng bé được tách ra từ đoạn dầm dài dz: CHƯƠNG 7: Dầm chịu uốn phẳng – 30Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD 7.3. Dầm chịu uốn ngang phẳng Công thức tính ứng suất tiếp Qy – Lực cắt trên mặt cắt ngang tại điểm đang xét Ac – Phần diện tích bị cắt Sxc – Mômen tĩnh của diện tích Ac đối với trục Ox Ix – Mômen quán tính của mặt cắt ngang đối với trục quán tính chính trung tâm Ox bc – Chiều rộng của mặt cắt ngang tại điểm tính ứng suất – Công thức Zhuravskii CHƯƠNG 7: Dầm chịu uốn phẳng – 31Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD 7.3. Dầm chịu uốn ngang phẳng Phân bố ứng suất tiếp trên mặt cắt ngang Mặt cắt ngang hình chữ nhật: CHƯƠNG 7: Dầm chịu uốn phẳng – 32Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD 7.3. Dầm chịu uốn ngang phẳng Phân bố ứng suất tiếp trên mặt cắt ngang Trong bảng thép định hình đã cho sẵn các kích thước h; b; d; s và các giá trị Ix; Sx (của ½ tiết diện so với trục Ox) Mặt cắt ngang hình chữ I: Phần bụng: Phần cánh: CHƯƠNG 7: Dầm chịu uốn phẳng – 33Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD 7.3. Dầm chịu uốn ngang phẳng Điều kiện bền Xét dầm tiết diện chữ nhật chịu uốn ngang phẳng. Ta có phân bố ứng suất trên tiết diện dầm: A, B – Trạng thái ứng suất đơn O – Trạng thái ứng suất trượt thuần tuý C, D – Trạng thái ứng suất phẳng đặc biệt CHƯƠNG 7: Dầm chịu uốn phẳng – 34Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD 7.3. Dầm chịu uốn ngang phẳng Điều kiện bền Tương tự, với dầm có tiết diện chữ I chịu uốn ngang phẳng, phân bố ứng suất trên tiết diện dầm như sau: A, B – Trạng thái ứng suất đơn O – Trạng thái ứng suất trượt thuần tuý C, D – Trạng thái ứng suất phẳng đặc biệt CHƯƠNG 7: Dầm chịu uốn phẳng – 35Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD 7.3. Dầm chịu uốn ngang phẳng  Điều kiện bền ứng suất pháp (cho những điểm ở trạng thái ứng suất đơn): Với vật liệu dẻo: Kiểm tra tại mặt cắt ngang có giá trị tuyệt đối của mômen uốn lớn nhất Với vật liệu giòn: Nếu mặt cắt ngang dầm có 2 trục đối xứng, kiểm tra tại mặt cắt ngang có giá trị tuyệt đối của mômen uốn lớn nhất Nếu mặt cắt ngang dầm chỉ có 1 trục đối xứng (ví dụ: mặt cắt chữ T), cần kiểm tra tại 2 mặt cắt ngang có mômen dương và mômen âm lớn nhất CHƯƠNG 7: Dầm chịu uốn phẳng – 36Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD 7.3. Dầm chịu uốn ngang phẳng  Điều kiện bền ứng suất tiếp (cho những điểm ở trạng thái ứng suất trượt thuần tuý): Kiểm tra tại mặt cắt ngang có giá trị tuyệt đối của lực cắt lớn nhất Với vật liệu dẻo: Với vật liệu giòn: Dùng thuyết bền Mohr : Dùng thực nghiệm tìm τo : Dùng thuyết bền 3 : Dùng thuyết bền 4 CHƯƠNG 7: Dầm chịu uốn phẳng – 37Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD 7.3. Dầm chịu uốn ngang phẳng  Điều kiện bền hỗn hợp (cho những điểm ở trạng thái ứng suất phẳng đặc biệt): Kiểm tra tại mặt cắt ngang có giá trị tuyệt đối mômen uốn và lực cắt cùng tương đối lớn Điểm cần kiểm tra: điểm tiếp giáp giữa bụng và cánh của tiết diện (ví dụ: điểm K trên tiết diện chữ I) Với vật liệu dẻo: Với vật liệu giòn: Dùng thuyết bền Mohr : Dùng thuyết bền 3 : Dùng thuyết bền 4 CHƯƠNG 7: Dầm chịu uốn phẳng – 38Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD 7.3. Dầm chịu uốn ngang phẳng Ví dụ 7.1: Cho dầm bằng gang mặt cắt ngang hình chữ T chịu tải trọng như hình vẽ. 1. Vẽ biểu đồ lực cắt và mômen uốn. 2. Kiểm tra bền cho dầm theo điều kiện bền ứng suất pháp, biết [σ]k=4kN/cm2; [σ]n=12kN/cm2. GIẢI: 1. Vẽ biểu đồ lực cắt và mômen uốn Xác định phản lực liên kết: CHƯƠNG 7: Dầm chịu uốn phẳng – 39Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD 7.3. Dầm chịu uốn ngang phẳng 1. Vẽ biểu đồ lực cắt và mômen uốn Sử dụng phương pháp mặt cắt: Đoạn AB: Đoạn BC: Đoạn CD: CHƯƠNG 7: Dầm chịu uốn phẳng – 40Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD 7.3. Dầm chịu uốn ngang phẳng 1. Vẽ biểu đồ lực cắt và mômen uốn Ta có biểu đồ lực cắt và mômen uốn như hình vẽ 2. Kiểm tra bền cho dầm Mặt cắt chữ T có 1 trục đối xứng → Cần kiểm tra tại B (mặt cắt có mô-men âm lớn nhất) và tại C (mặt cắt có mô-men dương lớn nhất) CHƯƠNG 7: Dầm chịu uốn phẳng – 41Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD 7.3. Dầm chịu uốn ngang phẳng 2. Kiểm tra bền cho dầm • Trọng tâm của mặt cắt ngang: Oy là trục đối xứng CHƯƠNG 7: Dầm chịu uốn phẳng – 42Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD 7.3. Dầm chịu uốn ngang phẳng 2. Kiểm tra bền cho dầm • Mômen quán tính chính trung tâm: CHƯƠNG 7: Dầm chịu uốn phẳng – 43Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD 7.3. Dầm chịu uốn ngang phẳng 2. Kiểm tra bền cho dầm • Xét mặt cắt ngang tại B: Mặt cắt B CHƯƠNG 7: Dầm chịu uốn phẳng – 44Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD 7.3. Dầm chịu uốn ngang phẳng 2. Kiểm tra bền cho dầm • Xét mặt cắt ngang tại C: Mặt cắt B Mặt cắt C CHƯƠNG 7: Dầm chịu uốn phẳng – 45Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD 7.3. Dầm chịu uốn ngang phẳng 2. Kiểm tra bền cho dầm • Áp dụng điều kiện bền: Vậy, dầm thỏa mãn điều kiện bền. Mặt cắt B Mặt cắt C CHƯƠNG 7: Dầm chịu uốn phẳng – 46Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD 7.3. Dầm chịu uốn ngang phẳng Ví dụ 7.2: Cho dầm mặt cắt ngang hình chữ nhật chịu tải trọng như hình vẽ. Biết ứng suất cho phép của thép [σ]=16kN/cm2. Tìm các ứng suất pháp cực trị tại điểm K trên mặt cắt ngang ở chính giữa đoạn AB. GIẢI: Xác định phản lực liên kết: CHƯƠNG 7: Dầm chịu uốn phẳng – 47Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD 7.3. Dầm chịu uốn ngang phẳng Sử dụng phương pháp mặt cắt: Đoạn AB: Đoạn BC: Đoạn CD: Ta có biểu đồ lực cắt và mômen uốn như hình vẽ. CHƯƠNG 7: Dầm chịu uốn phẳng – 48Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD 7.3. Dầm chịu uốn ngang phẳng Xét mặt cắt ngang ở chính giữa đoạn AB: Ứng suất pháp tại điểm K: CHƯƠNG 7: Dầm chịu uốn phẳng – 49Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD 7.3. Dầm chịu uốn ngang phẳng Xét mặt cắt ngang ở chính giữa đoạn AB: Ứng suất tiếp tại điểm K: CHƯƠNG 7: Dầm chịu uốn phẳng – 50Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD 7.3. Dầm chịu uốn ngang phẳng Trạng thái ứng suất tại điểm K được xác định bởi các giá trị: Các ứng suất pháp cực trị tại điểm K: CHƯƠNG 7: Dầm chịu uốn phẳng – 51Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD 7.3. Dầm chịu uốn ngang phẳng Ví dụ 7.3: Dầm công-xôn mặt cắt ngang chữ I chịu tải trọng như hình vẽ, q=5kN/m; a=1m. Biết [σ]=16kN/cm2, hãy chọn số hiệu mặt cắt ngang cho dầm theo điều kiện bền ứng suất pháp. GIẢI: Vẽ biểu đồ lực cắt và mômen uốn: Sử dụng phương pháp mặt cắt từ phải qua trái: Đoạn CB: Đoạn BA: CHƯƠNG 7: Dầm chịu uốn phẳng – 52Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD 7.3. Dầm chịu uốn ngang phẳng Tiết diện nguy hiểm là tiết diện tại ngàm A: Áp dụng công thức điều kiện bền: Tra bảng → Chọn I-No24a có CHƯƠNG 7: Dầm chịu uốn phẳng – 53Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD 7.4. Chuyển vị của dầm chịu uốn: độ võng, góc xoay  Đường cong y(z) của trục dầm sau khi chịu uốn được gọi là đường đàn hồi.  Xét mặt cắt ngang tại điểm có hoành độ z:  K – trọng tâm của mặt cắt ngang trước biến dạng  K’ – trọng tâm của mặt cắt ngang sau biến dạng v(z) – chuyển vị đứng u(z) – chuyển vị ngang KK’ – chuyển vị của trọng tâm mặt cắt ngang Biến dạng bé → u(z) << v(z) → KK’ ≈ v(z) → v(z) = y(z) : độ võng của dầm chịu uốn CHƯƠNG 7: Dầm chịu uốn phẳng – 54Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD 7.4. Chuyển vị của dầm chịu uốn: độ võng, góc xoay  Chuyển vị thẳng đứng y(z) của trọng tâm mặt cắt ngang được gọi là độ võng của dầm chịu uốn.  Góc hợp bởi mặt cắt ngang của dầm trước và sau biến dạng φ(z) được gọi là góc xoay của dầm chịu uốn.  Biến dạng bé → φ(z) ≈ tan φ = y’(z) → Đạo hàm bậc nhất của độ võng là góc xoay. CHƯƠNG 7: Dầm chịu uốn phẳng – 55Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD 7.4. Chuyển vị của dầm chịu uốn: độ võng, góc xoay Phương trình vi phân gần đúng của đường đàn hồi Đã có công thức xác định độ cong của dầm chịu uốn: Mặt khác, theo hình học giải tích: Vậy, ta có: CHƯƠNG 7: Dầm chịu uốn phẳng – 56Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD 7.4. Chuyển vị của dầm chịu uốn: độ võng, góc xoay Phương trình vi phân gần đúng của đường đàn hồi Từ hình vẽ, ta thấy y’’ và Mx luôn ngược dấu nhau Đây là phương trình vi phân gần đúng của đường đàn hồi CHƯƠNG 7: Dầm chịu uốn phẳng – 57Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD 7.5. Phương pháp tích phân trực tiếp Từ phương trình vi phân gần đúng của đường đàn hồi: Góc xoay Độ võng Trong đó, C và D là các hằng số tích phân, được xác định nhờ vào các điều kiện biên. CHƯƠNG 7: Dầm chịu uốn phẳng – 58Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD 7.5. Phương pháp tích phân trực tiếp Các điều kiện biên về độ võng và góc xoay của (a) Dầm đơn giản; (b) Dầm công-xôn; (c) Dầm có mút thừa và (d) Điều kiện liên tục (a) (b) (c) (d) CHƯƠNG 7: Dầm chịu uốn phẳng – 59Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD 7.5. Phương pháp tích phân trực tiếp Nhược điểm của phương pháp: cồng kềnh về mặt toán học khi dầm gồm nhiều đoạn, do phải giải hệ phương trình để xác định các hằng số tích phân (2n phương trình, 2n ẩn số nếu dầm gồm n đoạn). CHƯƠNG 7: Dầm chịu uốn phẳng – 60Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD 7.5. Phương pháp tích phân trực tiếp Ví dụ 7.4: Tìm độ võng và góc xoay tại đầu tự do của dầm công-xôn có độ cứng EIx chịu tải trọng như hình vẽ. GIẢI: Ta có biểu thức của mômen uốn: CHƯƠNG 7: Dầm chịu uốn phẳng – 61Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD 7.5. Phương pháp tích phân trực tiếp Điều kiện biên: Chuyển vị và góc xoay tại đầu tự do: CHƯƠNG 7: Dầm chịu uốn phẳng – 62Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD 7.6. Phương pháp thông số ban đầu Biểu diễn phương trình đường đàn hồi đoạn thứ (i) qua phương trình đường đàn hồi của đoạn thứ (i-1): Ghi chú: chiều dương của mômen uốn, lực cắt, tải trọng phân bố như trên hình vẽ CHƯƠNG 7: Dầm chịu uốn phẳng – 63Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD 7.6. Phương pháp thông số ban đầu Khi độ cứng của dầm EI = const trên toàn bộ chiều dài, khai triển hàm Δy(z) theo chuỗi Taylor tại điểm z = a ta có: Trong đó, các thông số Δya; Δφa; ΔMa; ΔQa; Δqa; lần lượt là bước nhảy của độ võng, góc xoay, mômen uốn, lực cắt, tải trọng phân bố tại điểm có hoành độ z = a của dầm. Phương trình đường đàn hồi y1(z) của đoạn dầm đầu tiên: Trong đó, y0; φ0; M0; Q0; q0; lần lượt là giá trị độ võng, góc xoay, mômen uốn, lực cắt, tải trọng phân bố tại điểm có hoành độ z = 0 của dầm. Đây là các thông số ban đầu, được xác định nhờ các điều kiện biên. CHƯƠNG 7: Dầm chịu uốn phẳng – 64Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD 7.6. Phương pháp thông số ban đầu Ví dụ 7.5: Dùng phương pháp thông số ban đầu, xác định độ võng tại C và góc xoay tại D của dầm chịu tải trọng như hình vẽ. GIẢI: Xác định phản lực liên kết: Lập bảng thông số ban đầu: z = 0 z = a z = 2a y0 Δya = 0 Δy2a = 0 φ0 Δφa = 0 Δφ2a = 0 M0 = 0 ΔMa = 0 ΔM2a = 0 Q0 = 0 ΔQa = VB ΔQ2a = –P q0 = –q Δqa = q Δq2a = 0 q’0 = 0 Δq’a = 0 Δq’2a = 0 CHƯƠNG 7: Dầm chịu uốn phẳng – 65Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD 7.6. Phương pháp thông số ban đầu Phương trình đường đàn hồi đoạn 1 (AB): Phương trình đường đàn hồi đoạn 2 (BC): Phương trình đường đàn hồi đoạn 3 (CD): z = 0 z = a z = 2a y0 Δya = 0 Δy2a = 0 φ0 Δφa = 0 Δφ2a = 0 M0 = 0 ΔMa = 0 ΔM2a = 0 Q0 = 0 ΔQa = VB ΔQ2a = –P q0 = –q Δqa = q Δq2a = 0 q’0 = 0 Δq’a = 0 Δq’2a = 0 CHƯƠNG 7: Dầm chịu uốn phẳng – 66Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD 7.6. Phương pháp thông số ban đầu Để xác định 2 thông số ban đầu y0 và φ0, ta xét đến điều kiện liên kết của dầm: Từ đó ta tính được: z = 0 z = a z = 2a y0 Δya = 0 Δy2a = 0 φ0 Δφa = 0 Δφ2a = 0 M0 = 0 ΔMa = 0 ΔM2a = 0 Q0 = 0 ΔQa = VB ΔQ2a = –P q0 = –q Δqa = q Δq2a = 0 q’0 = 0 Δq’a = 0 Δq’2a = 0 CHƯƠNG 7: Dầm chịu uốn phẳng – 67Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD 7.7. Bài toán siêu tĩnh  Hệ siêu tĩnh là hệ mà ta không thể xác định được hết các phản lực liên kết và nội lực trong hệ nếu chỉ nhờ vào các phương trình cân bằng tĩnh học.  Số ẩn số > Số phương trình cân bằng → Cần viết thêm phương trình bổ sung → Phương trình tương thích về biến dạng CHƯƠNG 7: Dầm chịu uốn phẳng – 68Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD 7.7. Bài toán siêu tĩnh Ví dụ 7.6: Cho dầm chịu lực như hình vẽ. Xác định các phản lực gối tựa; vẽ biểu đồ lực cắt và mômen uốn cho dầm. GIẢI: Cách 1: Áp dụng phương pháp thông số ban đầu Coi phản lực tại B là ngoại lực, ta có: Lập bảng thông số ban đầu: z = 0 y0 = 0 φ0 = 0 M0 = –MA Q0 = VA q0 = –q q’0 = 0 CHƯƠNG 7: Dầm chịu uốn phẳng – 69Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD 7.7. Bài toán siêu tĩnh Phương trình đường đàn hồi của dầm: Áp dụng điều kiện biên: z = 0 y0 = 0 φ0 = 0 M0 = –MA Q0 = VA q0 = –q q’0 = 0 CHƯƠNG 7: Dầm chịu uốn phẳng – 70Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD 7.7. Bài toán siêu tĩnh Cách 2: Áp dụng nguyên lý cộng tác dụng Phân tích dầm đã cho như hình vẽ, ta có: Ta đã có kết quả: CHƯƠNG 7: Dầm chịu uốn phẳng – 71Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD 7.7. Bài toán siêu tĩnh Ta có biểu đồ lực cắt và mômen uốn như hình vẽ. CHƯƠNG 7: Dầm chịu uốn phẳng – 72Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD 7.7. Bài toán siêu tĩnh Ví dụ 7.7: Cho dầm chịu lực như hình vẽ. Xác định các phản lực gối tựa, biết: a=1m; q=10kN/m; F=2qa; M=1,5qa2; độ cứng uốn của dầm là EI=2×107kNcm2. GIẢI: Giả sử chiều phản lực tại A như hình vẽ, coi phản lực tại B là ngoại lực, ta có: Lập bảng thông số ban đầu: z = 0 z = a y0 = 0 Δya = 0 φ0 = 0 Δφa = 0 M0 = –MA ΔMa = –M Q0 = VA ΔQa = F q0 = –q Δqa = q q’0 = 0 Δq’a = 0 CHƯƠNG 7: Dầm chịu uốn phẳng – 73Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD 7.7. Bài toán siêu tĩnh Phương trình đường đàn hồi đoạn 1: Phương trình đường đàn hồi đoạn 2: z = 0 z = a y0 = 0 Δya = 0 φ0 = 0 Δφa = 0 M0 = –MA ΔMa = –M Q0 = VA ΔQa = –F q0 = –q Δqa = q q’0 = 0 Δq’a = 0 CHƯƠNG 7: Dầm chịu uốn phẳng – 74Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD 7.7. Bài toán siêu tĩnh Áp dụng điều kiện biên: Với: → VB có chiều ngược với chiều giả thiết (hướng xuống dưới) CHƯƠNG 7: Dầm chịu uốn phẳng – 75Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD 7.7. Bài toán siêu tĩnh Độ võng, góc xoay của một số dầm cơ bản Sơ đồ dầm Phương trình đường đàn hồi Độ võng Góc xoay CHƯƠNG 7: Dầm chịu uốn phẳng – 76Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD 7.7. Bài toán siêu tĩnh Độ võng, góc xoay của một số dầm cơ bản Sơ đồ dầm Phương trình đường đàn hồi Độ võng Góc xoay CHƯƠNG 7: Dầm chịu uốn phẳng – 77Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD SỨC BỀN VẬT LIỆU 1 Thank you for your attention Trần Minh Tú – Đại học Xây dựng E-mail: tpnt2002@yahoo.com