Bài giảng Sức bền vật liệu 1 - Chương 5: Đặc trưng hình học của mặt cắt ngang

CHƯƠNG 5: Đặc trưng hình học của mặt cắt ngang – 1Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD Trần Minh Tú – Đại học Xây dựng Email: tpnt2002@yahoo.comTháng 01/2015 CHƯƠNG 5: Đặc trưng hình học của mặt cắt ngang – 2Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD NỘI DUNG CHƯƠNG 5 – ĐẶC TRƯNG HÌNH HỌC CỦA MẶT CẮT NGANG 5.1. Khái niệm chung 5.2. Mômen tĩnh – Trọng tâm – Trục trung tâm 5.3. Mômen quán tính đối với một trục 5.4. Mômen quán tính độc cực 5.5. Mômen quán tính ly tâm – Hệ trục quán tính chính trung tâm 5.6. Mômen quán tính của một số mặt cắt ngang thông dụng 5.7. Công thức chuyển trục song song 5.8. Công thức xoay trục CHƯƠNG 5: Đặc trưng hình học của mặt cắt ngang – 3Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD 5.1. Khái niệm chung  Thanh chịu kéo-nén đúng tâm: khả năng chịu lực của thanh chỉ phụ thuộc vào một đặc trưng hình học là diện tích A của mặt cắt ngang.  Tuy nhiên, với nhiều kết cấu khác (chịu uốn, xoắn), khả năng chịu lực của kết cấu còn phụ thuộc vào hình dạng của mặt cắt ngang (đặc, rỗng) cũng như phương tác dụng của ngoại lực đối với mặt cắt (dầm đặt đứng hay đặt ngang như trên hình vẽ ví dụ).  Những đại lượng hình học ảnh hưởng đến khả năng chịu lực của kết cấu được gọi là các đặc trưng hình học của mặt cắt ngang. CHƯƠNG 5: Đặc trưng hình học của mặt cắt ngang – 4Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD 5.2. Mômen tĩnh – Trọng tâm – Trục trung tâm Cho hình phẳng diện tích A trong hệ trục toạ độ Oxy như hình vẽ. Xét một phân tố diện tích dA có toạ độ (x; y). Mômen tĩnh của diện tích A đối với trục Ox và Oy lần lượt là: Đơn vị: [chiều dài3] (ví dụ: m3; cm3) Giá trị của mô-men tĩnh có thể âm, dương hoặc bằng 0. Khi mômen tĩnh của diện tích A đối với một trục xo nào đó bằng 0 thì trục đó được gọi là trục trung tâm: Các trục trung tâm đồng quy tại trọng tâm của mặt cắt. CHƯƠNG 5: Đặc trưng hình học của mặt cắt ngang – 5Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD Giả sử C (xC; yC) là trọng tâm mặt cắt ngang Ox1y1 – hệ trục ban đầu x0, y0 – hệ trục đi qua trọng tâm C dA (x1; y1) trong hệ tọa độ Ox1y1 dA (x0; y0) trong hệ tọa độ Cxy Ta có: Bài toán xác định trọng tâm 5.2. Mômen tĩnh – Trọng tâm – Trục trung tâm Tương tự, ta có: CHƯƠNG 5: Đặc trưng hình học của mặt cắt ngang – 6Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD Vậy, giả sử C (xC; yC) là trọng tâm của mặt cắt ngang có diện tích A, ta có công thức tìm toạ độ của C: Nếu mặt cắt A được ghép bởi nhiều hình đơn giản: 5.2. Mômen tĩnh – Trọng tâm – Trục trung tâm CHƯƠNG 5: Đặc trưng hình học của mặt cắt ngang – 7Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD  Chú ý  Chọn hệ trục toạ độ ban đầu hợp lý: Nếu hình có trục đối xứng thì chọn trục đối xứng làm một trục của hệ trục tọa độ ban đầu, trục còn lại đi qua trọng tâm của càng nhiều hình đơn giản càng tốt.  Nếu hình bị khoét thì diện tích bị khoét mang giá trị âm. 5.2. Mômen tĩnh – Trọng tâm – Trục trung tâm CHƯƠNG 5: Đặc trưng hình học của mặt cắt ngang – 8Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD 5.3. Mômen quán tính đối với một trục Mômen quán tính của diện tích A đối với trục Ox và Oy lần lượt là: Đơn vị: [chiều dài4] (ví dụ: m4; cm4) Giá trị của mô-men quán tính luôn dương. Nếu diện tích A được ghép từ nhiều hình đơn giản: CHƯƠNG 5: Đặc trưng hình học của mặt cắt ngang – 9Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD 5.3. Mômen quán tính đối với một trục Bán kính quán tính của diện tích A đối với trục Ox và Oy lần lượt là: Đơn vị: [chiều dài] (ví dụ: m; cm) Giá trị của bán kính quán tính luôn dương. Bán kính quán tính của diện tích A đối với một trục đặc trưng cho phân bố của vật liệu đối với trục đó (với cùng một diện tích A, bán kính quán tính càng lớn thì càng có nhiều vật liệu ở xa trục và ngược lại). CHƯƠNG 5: Đặc trưng hình học của mặt cắt ngang – 10Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD 5.4. Mômen quán tính độc cực Mômen quán tính độc cực của diện tích A đối với điểm O là: Đơn vị: [chiều dài4] (ví dụ: m4; cm4) Giá trị của mô-men quán tính độc cực luôn dương. Dựa vào định lý Pythagore, ta có quan hệ giữa các mô-men quán tính: CHƯƠNG 5: Đặc trưng hình học của mặt cắt ngang – 11Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD 5.5. Mômen quán tính ly tâm – Hệ trục quán tính chính trung tâm Mômen quán tính ly tâm của diện tích A đối với hệ trục Ox và Oy là: Đơn vị: [chiều dài4] (ví dụ: m4; cm4) Giá trị của mô-men quán tính ly tâm có thể dương, âm hoặc bằng 0. • Khi mômen quán tính ly tâm của mặt cắt đối với một hệ trục nào đó bằng 0 thì hệ trục đó được gọi là hệ trục quán tính chính: • Tại bất kỳ điểm nào trên mặt phẳng của mặt cắt, ta cũng có thể xác định được 1 hệ trục quán tính chính. • Hệ trục quán tính chính có gốc tại trọng tâm C của mặt cắt được gọi là hệ trục quán tính chính trung tâm. CHƯƠNG 5: Đặc trưng hình học của mặt cắt ngang – 12Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD 5.5. Mômen quán tính ly tâm – Hệ trục quán tính chính trung tâm Nếu mặt cắt có 1 trục đối xứng thì bất cứ trục xo nào vuông góc với trục đối xứng đó cũng lập với nó 1 hệ trục quán tính chính Oxoy. Trục x đi qua trọng tâm C và vuông góc với trục đối xứng tạo thành hệ trục quán tính chính trung tâm Cxy. CHƯƠNG 5: Đặc trưng hình học của mặt cắt ngang – 13Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD 5.6. Mômen quán tính của một số mặt cắt ngang thông dụng  Hình chữ nhật: Đối với hệ trục Cxy đi qua trọng tâm C của hình chữ nhật: CHƯƠNG 5: Đặc trưng hình học của mặt cắt ngang – 14Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD 5.6. Mômen quán tính của một số mặt cắt ngang thông dụng  Hình tam giác: Đối với hệ trục Oxy có trục Ox trùng với 1 đáy của tam giác: Nếu trục x đi qua trọng tâm C của hình tam giác: CHƯƠNG 5: Đặc trưng hình học của mặt cắt ngang – 15Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD 5.6. Mômen quán tính của một số mặt cắt ngang thông dụng  Hình tròn: Đối với điểm O là tâm (đồng thời là trọng tâm) của hình tròn: Do Ix = Iy và Ip = Ix + Iy ta có: CHƯƠNG 5: Đặc trưng hình học của mặt cắt ngang – 16Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD 5.6. Mômen quán tính của một số mặt cắt ngang thông dụng  Hình vành khuyên: Các công thức trên còn có thể được viết dưới dạng: CHƯƠNG 5: Đặc trưng hình học của mặt cắt ngang – 17Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD 5.6. Mômen quán tính của một số mặt cắt ngang thông dụng  Thép định hình chữ I, chữ C; thép góc (đều cạnh, không đều cạnh); thép hộp, thép ống: Các đặc trưng hình học đã được tính sẵn và lập thành bảng, có thể được tra cứu dựa vào số hiệu của mặt cắt. CHƯƠNG 5: Đặc trưng hình học của mặt cắt ngang – 18Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD 5.6. Mômen quán tính của một số mặt cắt ngang thông dụng  Ví dụ bảng tra thép hình: CHƯƠNG 5: Đặc trưng hình học của mặt cắt ngang – 19Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD 5.6. Mômen quán tính của một số mặt cắt ngang thông dụng  Ví dụ bảng tra thép hình: CHƯƠNG 5: Đặc trưng hình học của mặt cắt ngang – 20Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD 5.7. Công thức chuyển trục song song Cho mặt cắt ngang có diện tích A trong hệ trục toạ độ oxy. Các đặc trưng hình học của mặt cắt ngang đó trong hệ trục toạ độ oxy lần lượt là Sx; Sy; Ix; Iy. Ta sẽ xác định các đặc trưng hình học này trong hệ trục toạ độ mới OXY song song với hệ trục toạ độ cũ. Ta có: (*) (a; b) là toạ độ của gốc tọa độ cũ trong hệ trục toạ độ mới. CHƯƠNG 5: Đặc trưng hình học của mặt cắt ngang – 21Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD 5.7. Công thức chuyển trục song song Biến đổi tương tự ta có: → Công thức chuyển trục song song của mômen quán tính. Nếu hệ trục ban đầu là hệ trục trung tâm của mặt cắt ngang thì ta có các công thức đơn giản: Chú ý: dấu của khoảng cách a, b giữa các trục. CHƯƠNG 5: Đặc trưng hình học của mặt cắt ngang – 22Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD Trong nhiều trường hợp, cần xác định các đặc trưng hình học mặt cắt ngang trong hệ trục toạ độ xoay một góc nào đó so với hệ trục ban đầu 5.8. Công thức xoay trục CHƯƠNG 5: Đặc trưng hình học của mặt cắt ngang – 23Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD 5.8. Công thức xoay trục Cho mặt cắt ngang có diện tích A trong hệ trục toạ độ Oxy. Các đặc trưng hình học của mặt cắt ngang đó trong hệ trục toạ độ Oxy lần lượt là Sx; Sy; Ix; Iy. Ta sẽ xác định các đặc trưng hình học này trong hệ trục toạ độ mới Ouv là hệ trục Oxy quay đi một góc α. Ta có: CHƯƠNG 5: Đặc trưng hình học của mặt cắt ngang – 24Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD 5.8. Công thức xoay trục Khai triển và sử dụng các biến đổi lượng giác: Đây là các công thức xoay trục của mômen quán tính. CHƯƠNG 5: Đặc trưng hình học của mặt cắt ngang – 25Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD 5.8. Công thức xoay trục Nhận xét: Các công thức xoay trục của mô-men quán tính hoàn toàn tương tự các công thức của trạng thái ứng suất phẳng. Vì vậy, ta có thể áp dụng toàn bộ kết quả của trạng thái ứng suất phẳng cho trạng thái mô-men quán tính của một mặt cắt ngang.  Hệ trục quán tính chính được xác định bởi góc αo:  Các mô-men quán tính chính cũng là các cực trị của mô-men quán tính của mặt cắt A:  Bất biến của trạng thái mô-men quán tính: Vòng tròn Mohr quán tính CHƯƠNG 5: Đặc trưng hình học của mặt cắt ngang – 26Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD Cho mặt cắt ngang có hình dạng và kích thước như hình vẽ. Xác định các mômen quán tính chính trung tâm của mặt cắt ngang. GIẢI: Chọn hệ trục toạ độ ban đầu Ox1y như hình vẽ. Chia mặt cắt ngang làm hai hình đơn giản (1) và (2). 1. Xác định tọa độ trọng tâm:  Oy là trục đối xứng → xC = 0  Xác định yC: Ví dụ 5.1 CHƯƠNG 5: Đặc trưng hình học của mặt cắt ngang – 27Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD Dựng hệ trục quán tính chính trung tâm Cxy. 2. Các mômen quán tính chính trung tâm: Ví dụ 5.1 CHƯƠNG 5: Đặc trưng hình học của mặt cắt ngang – 28Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD Ví dụ 5.2 Xác định hệ trục quán tính chính trung tâm và tính các mômen quán tính chính trung tâm của mặt cắt ngang như trên hình vẽ. GIẢI: •Xác định trọng tâm: Chọn hệ trục toạ độ ban đầu Oxy. Chia mặt cắt thành 2 hình (1) và (2). Ta có: CHƯƠNG 5: Đặc trưng hình học của mặt cắt ngang – 29Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD Ví dụ 5.2 •Tìm hệ trục quán tính chính trung tâm: Lập hệ trục trung tâm CXY. Hệ trục quán tính chính trung tâm sẽ là hệ trục CXY quay đi một góc αo. Góc αo được xác định bằng công thức: CHƯƠNG 5: Đặc trưng hình học của mặt cắt ngang – 30Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD Ví dụ 5.2 •Tìm hệ trục quán tính chính trung tâm: Lập hệ trục trung tâm CXY. Hệ trục quán tính chính trung tâm sẽ là hệ trục CXY quay đi một góc αo. Góc αo được xác định bằng công thức: CHƯƠNG 5: Đặc trưng hình học của mặt cắt ngang – 31Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD Ví dụ 5.2 •Tìm hệ trục quán tính chính trung tâm: Lập hệ trục trung tâm CXY. Hệ trục quán tính chính trung tâm sẽ là hệ trục CXY quay đi một góc αo. Góc αo được xác định bằng công thức: CHƯƠNG 5: Đặc trưng hình học của mặt cắt ngang – 32Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD Ví dụ 5.2 •Tìm hệ trục quán tính chính trung tâm: Lập hệ trục trung tâm CXY. Hệ trục quán tính chính trung tâm sẽ là hệ trục CXY quay đi một góc αo. Góc αo được xác định bằng công thức: Cuv là hệ trục quán tính chính trung tâm của mặt cắt. CHƯƠNG 5: Đặc trưng hình học của mặt cắt ngang – 33Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD Ví dụ 5.2 Cuv là hệ trục quán tính chính trung tâm của mặt cắt. •Các mô-men quán tính chính trung tâm: CHƯƠNG 5: Đặc trưng hình học của mặt cắt ngang – 34Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD SỨC BỀN VẬT LIỆU 1 Thank you for your attention Trần Minh Tú – Đại học Xây dựng E-mail: tpnt2002@yahoo.com