Bài giảng Phương pháp tính - Chương 5: Nội suy và xấp xỉ hàm - Nguyễn Thị Cẩm Vân

NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM BÀI GIẢNG ĐIỆN TỬ Nguyễn Thị Cẩm Vân Trường Đại học Bách Khoa TPHCM Khoa Khoa học ứng dụng, bộmôn Toán ứng dụng Email: ntcvantud@gmail.com Ngày 12 tháng 2 năm 2018Nguyễn Thị Cẩm Vân (BK TPHCM) NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM Ngày 12 tháng 2 năm 2018 1 / 73 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt NỘI DUNG 1 ĐA THỨC NỘI SUY 2 ĐA THỨC NỘI SUY LAGRANGE 3 ĐA THỨC NỘI SUY NEWTON 4 SPLINE BẬC BA 5 BÀI TOÁN XẤP XỈ HÀM THỰC NGHIỆM Nguyễn Thị Cẩm Vân (BK TPHCM) NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM Ngày 12 tháng 2 năm 2018 2 / 73 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt NỘI DUNG 1 ĐA THỨC NỘI SUY 2 ĐA THỨC NỘI SUY LAGRANGE 3 ĐA THỨC NỘI SUY NEWTON 4 SPLINE BẬC BA 5 BÀI TOÁN XẤP XỈ HÀM THỰC NGHIỆM Nguyễn Thị Cẩm Vân (BK TPHCM) NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM Ngày 12 tháng 2 năm 2018 2 / 73 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt NỘI DUNG 1 ĐA THỨC NỘI SUY 2 ĐA THỨC NỘI SUY LAGRANGE 3 ĐA THỨC NỘI SUY NEWTON 4 SPLINE BẬC BA 5 BÀI TOÁN XẤP XỈ HÀM THỰC NGHIỆM Nguyễn Thị Cẩm Vân (BK TPHCM) NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM Ngày 12 tháng 2 năm 2018 2 / 73 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt NỘI DUNG 1 ĐA THỨC NỘI SUY 2 ĐA THỨC NỘI SUY LAGRANGE 3 ĐA THỨC NỘI SUY NEWTON 4 SPLINE BẬC BA 5 BÀI TOÁN XẤP XỈ HÀM THỰC NGHIỆM Nguyễn Thị Cẩm Vân (BK TPHCM) NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM Ngày 12 tháng 2 năm 2018 2 / 73 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt NỘI DUNG 1 ĐA THỨC NỘI SUY 2 ĐA THỨC NỘI SUY LAGRANGE 3 ĐA THỨC NỘI SUY NEWTON 4 SPLINE BẬC BA 5 BÀI TOÁN XẤP XỈ HÀM THỰC NGHIỆM Nguyễn Thị Cẩm Vân (BK TPHCM) NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM Ngày 12 tháng 2 năm 2018 2 / 73 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Đa thức nội suy ĐẶT VẤN ĐỀ Trong thực hành, thường gặp những hàm số y = f (x)mà không biết biểu thức giải tích cụ thể f của chúng. Thông thường, ta chỉ biết các giá trị y0, y1, . . . , yn của hàm số tại các điểm khác nhau x0,x1, . . . ,xn trên đoạn [a,b]. Các giá trị này có thể nhận được thông qua thí nghiệm, đo đạc,...Khi sử dụng những hàm trên, nhiều khi ta cần biết các giá trị của chúng tại những điểm không trùng với xi (i = 0,1, . . . ,n). Nguyễn Thị Cẩm Vân (BK TPHCM) NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM Ngày 12 tháng 2 năm 2018 3 / 73 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Đa thức nội suy Để làm được điều đó, ta phải xây dựng một đa thức Pn(x)= anxn+an−1xn−1+ . . .+a1x+a0 thỏa mãn Pn(xi )= yi , i = 0,1,2, . . . ,n ĐỊNH NGHĨA 1.1 Pn(x) được gọi là đa thức nội suy của hàm f (x), còn các điểm xi , i = 0,1,2, . . . ,n được gọi là các nút nội suy Nguyễn Thị Cẩm Vân (BK TPHCM) NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM Ngày 12 tháng 2 năm 2018 4 / 73 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Đa thức nội suy Về mặt hình học, có nghĩa là tìm đường cong y = Pn(x)= anxn+an−1xn−1+ . . .+a1x+a0 đi qua các điểmMi (xi , yi ), i = 0,1,2, . . . ,n đã biết trước của đường cong y = f (x). Nguyễn Thị Cẩm Vân (BK TPHCM) NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM Ngày 12 tháng 2 năm 2018 5 / 73 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Đa thức nội suy ĐỊNH LÝ 1.1 Đa thức nội suy Pn(x) của hàm số f (x), nếu có, thì chỉ có duy nhất. VÍ DỤ 1.1 Xây dựng đa thức nội suy của hàm số y = f (x) được xác định bởi x 0 1 3 y 1 -1 2 Nguyễn Thị Cẩm Vân (BK TPHCM) NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM Ngày 12 tháng 2 năm 2018 6 / 73 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Đa thức nội suy ĐỊNH LÝ 1.1 Đa thức nội suy Pn(x) của hàm số f (x), nếu có, thì chỉ có duy nhất. VÍ DỤ 1.1 Xây dựng đa thức nội suy của hàm số y = f (x) được xác định bởi x 0 1 3 y 1 -1 2 Nguyễn Thị Cẩm Vân (BK TPHCM) NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM Ngày 12 tháng 2 năm 2018 6 / 73 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Đa thức nội suy Giải. Đa thức nội suy có dạng y = P (x)= a2x2+a1x+a0. Thay các điểm (xi , yi )(i = 1,2,3) vào đa thức này ta được hệ 0.a2+0.a1+a0 = 1 1.a2+1.a1+a0 = −1 9.a2+3.a1+a0 = 2 ⇔  a0 = 1 a1 = −196 a2 = 76 Vậy đa thức nội suy P (x)= 7 6 x2− 19 6 x+1 Nguyễn Thị Cẩm Vân (BK TPHCM) NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM Ngày 12 tháng 2 năm 2018 7 / 73 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Đa thức nội suy Lagrange Cho hàm số y = f (x) được xác định như sau: x x0 x1 x2 . . . xn y y0 y1 y2 . . . yn Ta sẽ xây dựng đa thức nội suy của hàm f (x) trên đoạn [x0,xn],n Ê 1. Đa thức nội suy Lagrange có dạng sau Ln(x)= n∑ k=0 pkn(x).yk , trong đó p k n(x)= (x−x0)(x−x1) . . . (x−xk−1)(x−xk+1) . . . (x−xn) (xk −x0)(xk −x1) . . . (xk −xk−1)(xk −xk+1) . . . (xk −xn) Nguyễn Thị Cẩm Vân (BK TPHCM) NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM Ngày 12 tháng 2 năm 2018 8 / 73 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Đa thức nội suy Lagrange VÍ DỤ 2.1 Xây dựng đa thức nội suy Lagrange của hàm số y = sin(pix) tại các nút nội suy x0 = 0,x1 = 16,x2 = 12 Giải. x 0 16 1 2 y = sin(pix) 0 12 1. Công thức nội suy Lagrange của hàm số y L2(x)= (x− 1 6 )(x−12 ) (0−16 )(0−12 ) .0+ x(x− 1 2 ) 1 6 ( 1 6−12 ) .12+ x(x−16 ) 1 2 .( 1 2−16 ) .1= 72x−3x2. Nguyễn Thị Cẩm Vân (BK TPHCM) NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM Ngày 12 tháng 2 năm 2018 9 / 73 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Đa thức nội suy Lagrange VÍ DỤ 2.1 Xây dựng đa thức nội suy Lagrange của hàm số y = sin(pix) tại các nút nội suy x0 = 0,x1 = 16,x2 = 12 Giải. x 0 16 1 2 y = sin(pix) 0 12 1. Công thức nội suy Lagrange của hàm số y L2(x)= (x− 1 6 )(x−12 ) (0−16 )(0−12 ) .0+ x(x− 1 2 ) 1 6 ( 1 6−12 ) .12+ x(x−16 ) 1 2 .( 1 2−16 ) .1= 72x−3x2. Nguyễn Thị Cẩm Vân (BK TPHCM) NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM Ngày 12 tháng 2 năm 2018 9 / 73 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Đa thức nội suy Lagrange Đặt ω(x)= (x−x0) . . . (x−xk−1)(x−xk)(x−xk+1) . . . (x−xn). Khi đó pkn(x)= ω(x) ω′(xk)(x−xk) Đa thức nội suy Lagrange trở thành Ln(x)=ω(x). n∑ k=0 yk ω′(xk)(x−xk) =ω(x). n∑ k=0 yk Dk , với Dk =ω′(xk)(x−xk) Nguyễn Thị Cẩm Vân (BK TPHCM) NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM Ngày 12 tháng 2 năm 2018 10 / 73 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Đa thức nội suy Lagrange x x0 x1 . . . xn x0 x−x0 x0−x1 . . . x0−xn D0 x1 x1−x0 x−x1 . . . x1−xn D1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . xn xn−x0 xn−x1 . . . x−xn Dn ω(x) Nguyễn Thị Cẩm Vân (BK TPHCM) NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM Ngày 12 tháng 2 năm 2018 11 / 73 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Đa thức nội suy Lagrange VÍ DỤ 2.2 Cho hàm số y được xác định bởi x 0 1 3 4 y 1 1 2 -1 Sử dụng đa thức Lagrange tính gần đúng giá trị của hàm số y tại x = 2. Giải. x = 2 0 1 3 4 0 2−0 0−1 0−3 0−4 D0 = (2−0)(0−1)(0−3)(0−4)=−24 1 1−0 2−1 1−3 1−4 D1 = (1−0)(2−1)(1−3)(1−4)= 6 3 3−0 3−1 2−3 3−4 D2 = (3−0)(3−1)(2−3)(3−4)= 6 4 4−0 4−1 4−3 2−4 D3 = (4−0)(4−1)(4−3)(2−4)=−24 ω(x)= (2−0)(2−1)(2−3)(2−4)= 4 Do đó y(2)≈ L3(2)=ω(x) ( y0 D0 + y1 D1 + y2 D2 + y3 D3 ) = 4 ( 1 −24 + 1 6 + 2 6 + −1−24 ) = 2. Nguyễn Thị Cẩm Vân (BK TPHCM) NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM Ngày 12 tháng 2 năm 2018 12 / 73 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Đa thức nội suy Lagrange VÍ DỤ 2.2 Cho hàm số y được xác định bởi x 0 1 3 4 y 1 1 2 -1 Sử dụng đa thức Lagrange tính gần đúng giá trị của hàm số y tại x = 2. Giải. x = 2 0 1 3 4 0 2−0 0−1 0−3 0−4 D0 = (2−0)(0−1)(0−3)(0−4)=−24 1 1−0 2−1 1−3 1−4 D1 = (1−0)(2−1)(1−3)(1−4)= 6 3 3−0 3−1 2−3 3−4 D2 = (3−0)(3−1)(2−3)(3−4)= 6 4 4−0 4−1 4−3 2−4 D3 = (4−0)(4−1)(4−3)(2−4)=−24 ω(x)= (2−0)(2−1)(2−3)(2−4)= 4 Do đó y(2)≈ L3(2)=ω(x) ( y0 D0 + y1 D1 + y2 D2 + y3 D3 ) = 4 ( 1 −24 + 1 6 + 2 6 + −1−24 ) = 2. Nguyễn Thị Cẩm Vân (BK TPHCM) NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM Ngày 12 tháng 2 năm 2018 12 / 73 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Đa thức nội suy Newton Tỉ sai phân Cho hàm số f (x) xác định như sau x x0 x1 x2 . . . xn y y0 y1 y2 . . . yn trên đoạn [a,b]= [x0,xn]. ĐỊNH NGHĨA 3.1 Trên đoạn [xk ,xk+1] ta định nghĩa đại lượng f [xk ,xk+1]= yk+1− yk xk+1−xk được gọi là tỉ sai phân cấp 1 của hàm trên đoạn [xk ,xk+1] Nguyễn Thị Cẩm Vân (BK TPHCM) NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM Ngày 12 tháng 2 năm 2018 13 / 73 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Đa thức nội suy Newton Tỉ sai phân Tương tự ta có tỉ sai phân cấp 2 của hàm trên đoạn [xk ,xk+2] là f [xk ,xk+1,xk+2]= f [xk+1,xk+2]− f [xk ,xk+1] xk+2−xk Quy nạp ta có tỉ sai phân cấp p của hàm trên đoạn [xk ,xk+p] là f [xk ,xk+1, . . . ,xk+p]= f [xk+1,xk+2, . . . ,xk+p]− f [xk ,xk+1, . . . ,xk+p−1] xk+p −xk Nguyễn Thị Cẩm Vân (BK TPHCM) NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM Ngày 12 tháng 2 năm 2018 14 / 73 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Đa thức nội suy Newton Tỉ sai phân VÍ DỤ 3.1 Lập bảng tỉ sai phân của hàm cho bởi x 1.0 1.3 1.6 1.9 y 0.76 0.62 0.45 0.28 xk f (xk) f [xk ,xk+1] f [xk ,xk+1,xk+2] 1.0 0.76 -0.47=0.62−0.761.3−1.0 1.3 0.62 -0.17=−0.57−(−0.47)1.6−1.0 -0.57=0.45−0.621.6−1.3 1.6 0.45 -0.00=−0.57−(−0.57)1.9−1.3 -0.57=0.28−0.451.9−1.6 1.9 0.28 Nguyễn Thị Cẩm Vân (BK TPHCM) NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM Ngày 12 tháng 2 năm 2018 15 / 73 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Đa thức nội suy Newton Tỉ sai phân VÍ DỤ 3.1 Lập bảng tỉ sai phân của hàm cho bởi x 1.0 1.3 1.6 1.9 y 0.76 0.62 0.45 0.28 xk f (xk) f [xk ,xk+1] f [xk ,xk+1,xk+2] 1.0 0.76 -0.47=0.62−0.761.3−1.0 1.3 0.62 -0.17=−0.57−(−0.47)1.6−1.0 -0.57=0.45−0.621.6−1.3 1.6 0.45 -0.00=−0.57−(−0.57)1.9−1.3 -0.57=0.28−0.451.9−1.6 1.9 0.28 Nguyễn Thị Cẩm Vân (BK TPHCM) NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM Ngày 12 tháng 2 năm 2018 15 / 73 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Đa thức nội suy Newton Công thức của đa thức nội suy Newton Theo định nghĩa tỉ sai phân cấp 1 của f (x) trên đoạn [x,x0] là f [x,x0]= f (x)− y0 x−x0 ⇒ f (x)= y0+ f [x,x0](x−x0). Lại áp dụng định nghĩa tỉ sai phân cấp 2 của f (x) ta có f [x,x0,x1]= f [x,x0]− f [x0,x1] x−x1⇒ f [x,x0]= f [x0,x1]+ (x−x1) f [x,x0,x1]. Thay vào công thức trên ta được f (x)= y0+ f [x0,x1](x−x0)+ f [x,x0,x1](x−x0)(x−x1). Nguyễn Thị Cẩm Vân (BK TPHCM) NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM Ngày 12 tháng 2 năm 2018 16 / 73 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Đa thức nội suy Newton Công thức của đa thức nội suy Newton Quá trình trên tiếp diễn đến bước thứ n ta được f (x)= y0+ f [x0,x1](x−x0)+ f [x0,x1,x2](x−x0)(x−x1)+ . . . + f [x0,x1, . . . ,xn](x−x0)(x−x1) . . . (x−xn−1)+ + f [x,x0,x1, . . . ,xn](x−x0)(x−x1) . . . (x−xn−1)(x−xn) Đặt N (1)n (x)= y0+ f [x0,x1](x−x0)+ f [x0,x1,x2](x−x0)(x− x1)+ . . .+ f [x0,x1, . . . ,xn](x−x0)(x−x1) . . . (x−xn−1) và Rn(x)= f [x,x0,x1, . . . ,xn](x−x0)(x−x1) . . . (x−xn−1)(x−xn) ta được f (x)=N (1)n (x)+Rn(x). Nguyễn Thị Cẩm Vân (BK TPHCM) NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM Ngày 12 tháng 2 năm 2018 17 / 73 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Đa thức nội suy Newton Công thức của đa thức nội suy Newton ĐỊNH NGHĨA 3.2 Công thứcN (1)n (x) được gọi là công thức Newton tiến xuất phát từ điểm nút x0 của hàm số f (x) và Rn(x) được gọi là sai số của đa thức nội suy Newton. Tương tự, ta có thể xây dựng công thức Newton lùi xuất phát từ điểm nút xn của hàm số f (x) như sau Nguyễn Thị Cẩm Vân (BK TPHCM) NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM Ngày 12 tháng 2 năm 2018 18 / 73 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Đa thức nội suy Newton Công thức của đa thức nội suy Newton N (2)n (x)= yn+ f [xn−1,xn](x−xn)+ f [xn−2,xn−1,xn](x−xn−1)(x−xn)+ . . .+ f [x0,x1, . . . ,xn](x−x1)(x−x2) . . . (x−xn) Do tính duy nhất của đa thức nội suy, ta có với cùng 1 bảng số thì Ln(x)=N (1)n (x)=N (2)n (x) Nguyễn Thị Cẩm Vân (BK TPHCM) NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM Ngày 12 tháng 2 năm 2018 19 / 73 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Đa thức nội suy Newton Công thức của đa thức nội suy Newton VÍ DỤ 3.2 Cho bảng giá trị của hàm số y = f (x) x 0 2 3 5 6 y 1 3 2 5 6 1 Xây dựng đa thức nội suy Newton tiến xuất phát từ nút x0 của hàm số y = f (x) 2 Dùng đa thức nội suy nhận được tính gần đúng f (1.25) Nguyễn Thị Cẩm Vân (BK TPHCM) NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM Ngày 12 tháng 2 năm 2018 20 / 73 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Đa thức nội suy Newton Công thức của đa thức nội suy Newton Giải. xk f (xk ) Tỉ sai phân I Tỉ sai phân II Tỉ sai phân III Tỉ sai phân IV 0 1 1= 3−12−0 2 3 -2/3 -1= 2−33−2 3/10 3 2 5/6 -11/120 3/2= 5−25−3 -1/4 5 5 -1/6 1= 6−56−5 6 6 Nguyễn Thị Cẩm Vân (BK TPHCM) NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM Ngày 12 tháng 2 năm 2018 21 / 73 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Đa thức nội suy Newton Công thức của đa thức nội suy Newton Như vậy công thức nội suy Newton tiến là N (1)4 (x)= 1+1.x+ ( −2 3 ) x(x−2)+ 3 10 x(x−2)(x−3) − 11 120 x(x−2)(x−3)(x−5)= =− 11 120 x4+ 73 60 x3− 601 120 x2+ 413 60 x+1. f (1.25)≈N (1)4 (1.25)≈ 3.9312 Nguyễn Thị Cẩm Vân (BK TPHCM) NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM Ngày 12 tháng 2 năm 2018 22 / 73 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Spline bậc ba Các khái niệm cơ bản Việc xây dựng một đa thức đi qua các điểm nội suy cho trước trong trường hợp n lớn là rất khó khăn. Biện pháp khắc phục là trên từng đoạn liên tiếp của các cặp điểm nút nội suy ta nối chúng bởi các đường cong đơn giản như đoạn thẳng. Tuy nhiên, khi đó tại các điểm nút hàm sẽ mất tính khả vi. Do đó, phải xây dựng đường cong bằng cách nối các đoạn cong nhỏ lại với nhau sao cho vẫn bảo toàn tính khả vi của hàm. Nguyễn Thị Cẩm Vân (BK TPHCM) NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM Ngày 12 tháng 2 năm 2018 23 / 73 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Spline bậc ba Các khái niệm cơ bản Đường cong như vậy được gọi là đường spline (đường ghép trơn). Các hàm trên các đoạn nhỏ này thường là các đa thức và bậc cao nhất của các đa thức đó gọi là bậc của spline. Nguyễn Thị Cẩm Vân (BK TPHCM) NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM Ngày 12 tháng 2 năm 2018 24 / 73 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Spline bậc ba Các khái niệm cơ bản ĐỊNH NGHĨA 4.1 Cho f (x) xác định trên đoạn [a,b] và một phép phân hoạch của nó: a = x0 < x1 < x2 = b.Đặt y0 = f (x0), y1 = f (x1), y2 = f (x2).Một spline bậc ba nội suy hàm f (x) trên [a,b] là hàm g (x) thỏa các điều kiện sau: 1 g (x) có đạo hàm đến cấp 2 liên tục trên [a,b] 2 g (x)= { g0(x) x ∈ [x0,x1] g1(x) x ∈ [x1,x2] ở đây g0(x),g1(x) là các đa thức bậc ba 3 g (x0)= f (x0)= y0,g (x1)= f (x1)= y1, g (x2)= f (x2)= y2. Nguyễn Thị Cẩm Vân (BK TPHCM) NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM Ngày 12 tháng 2 năm 2018 25 / 73 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Spline bậc ba Các khái niệm cơ bản Nguyễn Thị Cẩm Vân (BK TPHCM) NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM Ngày 12 tháng 2 năm 2018 26 / 73 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Spline bậc ba Các khái niệm cơ bản Xét đoạn [x0,x1].Đặt h0 = x1−x0. Vì g0(x) là đa thức bậc ba nên g0(x)= a0+b0(x−x0)+ c0(x−x0)2+d0(x−x0)3. Do g (x0)= g0(x0)= y0 ⇒ y0 = a0 và g (x1)= g0(x1)= y1 ⇔ a0+b0(x1−x0)+c0(x1−x0)2+d0(x1−x0)3 = y1 ⇔ a0+b0h0+ c0h20+d0h30 = y1 Từ đó, ta có b0 = y1− y0 h0 − c0h0−d0h20 Nguyễn Thị Cẩm Vân (BK TPHCM) NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM Ngày 12 tháng 2 năm 2018 27 / 73 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Spline bậc ba Các khái niệm cơ bản Xét đoạn [x0,x1].Đặt h0 = x1−x0. Vì g0(x) là đa thức bậc ba nên g0(x)= a0+b0(x−x0)+ c0(x−x0)2+d0(x−x0)3. Do g (x0)= g0(x0)= y0 ⇒ y0 = a0 và g (x1)= g0(x1)= y1 ⇔ a0+b0(x1−x0)+c0(x1−x0)2+d0(x1−x0)3 = y1 ⇔ a0+b0h0+ c0h20+d0h30 = y1 Từ đó, ta có b0 = y1− y0 h0 − c0h0−d0h20 Nguyễn Thị Cẩm Vân (BK TPHCM) NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM Ngày 12 tháng 2 năm 2018 27 / 73 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Spline bậc ba Các khái niệm cơ bản Xét đoạn [x0,x1].Đặt h0 = x1−x0. Vì g0(x) là đa thức bậc ba nên g0(x)= a0+b0(x−x0)+ c0(x−x0)2+d0(x−x0)3. Do g (x0)= g0(x0)= y0 ⇒ y0 = a0 và g (x1)= g0(x1)= y1 ⇔ a0+b0(x1−x0)+c0(x1−x0)2+d0(x1−x0)3 = y1 ⇔ a0+b0h0+ c0h20+d0h30 = y1 Từ đó, ta có b0 = y1− y0 h0 − c0h0−d0h20 Nguyễn Thị Cẩm Vân (BK TPHCM) NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM Ngày 12 tháng 2 năm 2018 27 / 73 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Spline bậc ba Các khái niệm cơ bản Xét đoạn [x0,x1].Đặt h0 = x1−x0. Vì g0(x) là đa thức bậc ba nên g0(x)= a0+b0(x−x0)+ c0(x−x0)2+d0(x−x0)3. Do g (x0)= g0(x0)= y0 ⇒ y0 = a0 và g (x1)= g0(x1)= y1 ⇔ a0+b0(x1−x0)+c0(x1−x0)2+d0(x1−x0)3 = y1 ⇔ a0+b0h0+ c0h20+d0h30 = y1 Từ đó, ta có b0 = y1− y0 h0 − c0h0−d0h20 Nguyễn Thị Cẩm Vân (BK TPHCM) NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM Ngày 12 tháng 2 năm 2018 27 / 73 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Spline bậc ba Các khái niệm cơ bản Xét đoạn [x1,x2].Đặt h1 = x2−x1. Vì g1(x) là đa thức bậc ba nên g1(x)= a1+b1(x−x1)+ c1(x−x1)2+d1(x−x1)3. Do g (x1)= g1(x1)= y1 ⇒ y1 = a1 và g (x2)= g1(x2)= y2 ⇔ a1+b1(x2−x1)+c1(x2−x1)2+d1(x2−x1)3 = y2 ⇔ a1+b1h1+ c1h21+d1h31 = y2 Từ đó, ta có b1 = y2− y1 h1 − c1h1−d1h21 Nguyễn Thị Cẩm Vân (BK TPHCM) NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM Ngày 12 tháng 2 năm 2018 28 / 73 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Spline bậc ba Các khái niệm cơ bản Xét đoạn [x1,x2].Đặt h1 = x2−x1. Vì g1(x) là đa thức bậc ba nên g1(x)= a1+b1(x−x1)+ c1(x−x1)2+d1(x−x1)3. Do g (x1)= g1(x1)= y1 ⇒ y1 = a1 và g (x2)= g1(x2)= y2 ⇔ a1+b1(x2−x1)+c1(x2−x1)2+d1(x2−x1)3 = y2 ⇔ a1+b1h1+ c1h21+d1h31 = y2 Từ đó, ta có b1 = y2− y1 h1 − c1h1−d1h21 Nguyễn Thị Cẩm Vân (BK TPHCM) NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM Ngày 12 tháng 2 năm 2018 28 / 73 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Spline bậc ba Các khái niệm cơ bản Xét đoạn [x1,x2].Đặt h1 = x2−x1. Vì g1(x) là đa thức bậc ba nên g1(x)= a1+b1(x−x1)+ c1(x−x1)2+d1(x−x1)3. Do g (x1)= g1(x1)= y1 ⇒ y1 = a1 và g (x2)= g1(x2)= y2 ⇔ a1+b1(x2−x1)+c1(x2−x1)2+d1(x2−x1)3 = y2 ⇔ a1+b1h1+ c1h21+d1h31 = y2 Từ đó, ta có b1 = y2− y1 h1 − c1h1−d1h21 Nguyễn Thị Cẩm Vân (BK TPHCM) NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM Ngày 12 tháng 2 năm 2018 28 / 73 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Spline bậc ba Các khái niệm cơ bản Xét đoạn [x1,x2].Đặt h1 = x2−x1. Vì g1(x) là đa thức bậc ba nên g1(x)= a1+b1(x−x1)+ c1(x−x1)2+d1(x−x1)3. Do g (x1)= g1(x1)= y1 ⇒ y1 = a1 và g (x2)= g1(x2)= y2 ⇔ a1+b1(x2−x1)+c1(x2−x1)2+d1(x2−x1)3 = y2 ⇔ a1+b1h1+ c1h21+d1h31 = y2 Từ đó, ta có b1 = y2− y1 h1 − c1h1−d1h21 Nguyễn Thị Cẩm Vân (BK TPHCM) NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM Ngày 12 tháng 2 năm 2018 28 / 73 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Spline bậc ba Các khái niệm cơ bản Do tính khả vi của hàm g (x) đến cấp 2 tại x1 nên g ′0(x1)= g ′1(x1) và g ′′0 (x1)= g ′′1 (x1). Từ điều kiện g ′′0 (x1)= g ′′1 (x1) ta được 2c0+6d0(x1−x0)= 2c1+6d1(x1−x1) ⇒ d0 = c1− c0 3h0 ⇒ b0 = y1− y0 h0 − c0h0−d0h20 = y1− y0 h0 − c0h0− c1− c0 3h0 .h20 = y1− y0 h0 − h0 3 (c1+2c0) Nguyễn Thị Cẩm Vân (BK TPHCM) NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM Ngày 12 tháng 2 năm 2018 29 / 73 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Spline bậc ba Các khái niệm cơ bản Do tính khả vi của hàm g (x) đến cấp 2 tại x1 nên g ′0(x1)= g ′1(x1) và g ′′0 (x1)= g ′′1 (x1). Từ điều kiện g ′′0 (x1)= g ′′1 (x1) ta được 2c0+6d0(x1−x0)= 2c1+6d1(x1−x1) ⇒ d0 = c1− c0 3h0 ⇒ b0 = y1− y0 h0 − c0h0−d0h20 = y1− y0 h0 − c0h0− c1− c0 3h0 .h20 = y1− y0 h0 − h0 3 (c1+2c0) Nguyễn Thị Cẩm Vân (BK TPHCM) NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM Ngày 12 tháng 2 năm 2018 29 / 73 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Spline bậc ba Các khái niệm cơ bản Do tính khả vi của hàm g (x) đến cấp 2 tại x2 nên g ′′1 (x2)= g ′′2 (x2) ⇒ 2c1+6d1(x2−x1)= 2c2+6d2(x2−x2) ⇒ d1 = c2− c1 3h1 ⇒ b1 = y2− y1 h1 − c1h1−d1h21 = y2− y1 h1 − c1h1− c2− c1 3h1 .h21 = y2− y1 h1 − h1 3 (c2+2c1) Nguyễn Thị Cẩm Vân (BK TPHCM) NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM Ngày 12 tháng 2 năm 2018 30 / 73 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Spline bậc ba Các khái niệm cơ bản Từ điều kiện g ′0(x1)= g ′1(x1) ta được b0+2c0(x1−x0)+3d0(x1−x0)2 = = b1+2c1(x1−x1)+3d1(x1−x1)2 ⇒ b1 = b0+2c0h0+3d0h20 Thay b1 = y2− y1 h1 − h1 3 (c2+2c1), b0 = y1− y0 h0 − h0 3 (c1+2c0), d0 = c1− c0 3h0 , được h0c0+2(h0+h1)c1+h1c2 = 3y2− y1 h1 −3y1− y0 h0 Hệ này có vô số nghiệm. Nguyễn Thị Cẩm Vân (BK TPHCM) NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM Ngày 12 tháng 2 năm 2018 31 / 73 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Spline bậc ba Các khái niệm cơ bản Từ điều kiện g ′0(x1)= g ′1(x1) ta được b0+2c0(x1−x0)+3d0(x1−x0)2 = = b1+2c1(x1−x1)+3d1(x1−x1)2 ⇒ b1 = b0+2c0h0+3d0h20 Thay b1 = y2− y1 h1 − h1 3 (c2+2c1), b0 = y1− y0 h0 − h0 3 (c1+2c0), d0 = c1− c0 3h0 , được h0c0+2(h0+h1)c1+h1c2 = 3y2− y1 h1 −3y1− y0 h0 Hệ này có vô số nghiệm. Nguyễn Thị Cẩm Vân (BK TPHCM) NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM Ngày 12 tháng 2 năm 2018 31 / 73 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Spline bậc ba Các khái niệm cơ bản ĐỊNH NGHĨA 4.2 Cho f (x) xác định trên đoạn [a,b] và một phép phân hoạch của nó: a = x0 < x1 < x2 < . . .< xn = b.Đặt yk = f (xk),k = 0..n.Một spline bậc ba nội suy hàm f (x) trên [a,b] là hàm g (x) thỏa các điều kiện sau: 1 g (x) có đạo hàm đến cấp 2 liên tục trên [a,b] 2 Trên mỗi đoạn [xk ,xk+1],k = 0..n−1, g (x)= gk(x) là 1 đa thức bậc ba 3 g (xk)= f (xk)= yk ,∀k = 0..n Nguyễn Thị Cẩm Vân (BK TPHCM) NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM Ngày 12 tháng 2 năm 2018 32 / 73 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Spline bậc ba Các khái niệm cơ bản Xét đoạn [xk ,xk+1],k = 0..n−1.Đặt hk = xk+1−xk . Vì gk(x) là đa thức bậc ba nên gk(x)= ak+bk(x−xk)+ck(x−xk)2+dk(x−xk)3. Do g (xk)= gk(xk)= yk ⇒ yk = ak và ak+bkhk+ckh2k+dkh3k = g (xk+1)= gk(xk+1)= yk+1 Từ đó, ta có hệ bk = yk+1− yk hk − ckhk −dkh2k ,∀k = 0..n−1 bk−1 = yk − yk−1 hk−1 − ck−1hk−1−dk−1h2k−1,∀k = 1..n Nguyễn Thị Cẩm Vân (BK TPHCM) NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM Ngày 12 tháng 2 năm 2018 33 / 73 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Spline bậc ba Các khái niệm cơ bản Xét đoạn [xk ,xk+1],k = 0..n−1.Đặt hk = xk+1−xk . Vì gk(x) là đa thức bậc ba nên gk(x)= ak+bk(x−xk)+ck(x−xk)2+dk(x−xk)3. Do g (xk)= gk(xk)= yk ⇒ yk = ak và ak+bkhk+ckh2k+dkh3k = g (xk+1)= gk(xk+1)= yk+1 Từ đó, ta có hệ bk = yk+1− yk hk − ckhk −dkh2k ,∀k = 0..n−1 bk−1 = yk − yk−1 hk−1 − ck−1hk−1−dk−1h2k−1,∀k = 1..n Nguyễn Thị Cẩm Vân (BK TPHCM) NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM Ngày 12 tháng 2 năm 2018 33 / 73 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Spline bậc ba Các khái niệm cơ bản Xét đoạn [xk ,xk+1],k = 0..n−1.Đặt hk = xk+1−xk . Vì gk(x) là đa thức bậc ba nên gk(x)= ak+bk(x−xk)+ck(x−xk)2+dk(x−xk)3. Do g (xk)= gk(xk)= yk ⇒ yk = ak và ak+bkhk+ckh2k+dkh3k = g (xk+1)= gk(xk+1)= yk+1 Từ đó, ta có hệ bk = yk+1− yk hk − ckhk −dkh2k ,∀k = 0..n−1 bk−1 = yk − yk−1 hk−1 − ck−1hk−1−dk−1h2k−1,∀k = 1..n Nguyễn Thị Cẩm Vân (BK TPHCM) NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM Ngày 12 tháng 2 năm 2018 33 / 73 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Spline bậc ba Các khái niệm cơ bản Xét đoạn [xk ,xk+1],k = 0..n−1.Đặt hk = xk+1−xk . Vì gk(x) là đa thức bậc ba nên gk(x)= ak+bk(x−xk)+ck(x−xk)2+dk(x−xk)3. Do g (xk)= gk(xk)= yk ⇒ yk = ak và ak+bkhk+ckh2k+dkh3k = g (xk+1)= gk(xk+1)= yk+1 Từ đó, ta có hệ bk = yk+1− yk hk − ckhk −dkh2k ,∀k = 0..n−1 bk−1 = yk − yk−1 hk−1 − ck−1hk−1−dk−1h2k−1,∀k = 1..n Nguyễn Thị Cẩm Vân (BK TPHCM) NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM Ngày 12 tháng 2 năm 2018 33 / 73 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Spline bậc ba Các khái niệm cơ bản Xét tại điểm xk ,k = 1..n−1.Do tính khả vi của hàm g (x) đến cấp 2 tại xk nên g ′k−1(xk)= g ′k(xk) và g ′′k−1(xk)= g ′′k (xk). Từ điều kiện g ′′k−1(xk)= g ′′k (xk) ta được dk−1 = ck − ck−1 3hk−1 ,∀k = 1..n−1 dk = ck+1− ck 3hk ,∀k = 1..n−1 ⇒  bk = yk+1− yk hk − hk 3 (ck+1+2ck),∀k = 1..n−1 bk−1 = yk − yk−1 hk−1 − hk−1 3 (ck +2ck−1),∀k = 1..n Nguyễn Thị Cẩm Vân (BK TPHCM) NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM Ngày 12 tháng 2 năm 2018 34 / 73 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Spline bậc ba Các khái niệm cơ bản Xét tại điểm xk ,k = 1..n−1.Do tính khả vi của hàm g (x) đến cấp 2 tại xk nên g ′k−1(xk)= g ′k(xk) và g ′′k−1(xk)= g ′′k (xk). Từ điều kiện g ′′k−1(xk)= g ′′k (xk) ta được dk−1 = ck − ck−1 3hk−1 ,∀k = 1..n−1 dk = ck+1− ck 3hk ,∀k = 1..n−1 ⇒  bk = yk+1− yk hk − hk 3 (ck+1+2ck),∀k = 1..n−1 bk−1 = yk − yk−1 hk−1 − hk−1 3 (ck +2ck−1),∀k = 1..n Nguyễn Thị Cẩm Vân (BK TPHCM) NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM Ngày 12 tháng 2 năm 2018 34 / 73 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Spline bậc ba Các khái niệm cơ bản Từ điều kiện g ′k−1(xk)= g ′k(xk) ta được bk = bk−1+2ck−1hk−1+3dk−1h2k−1 ⇒  hk−1ck−1+2(hk−1+hk)ck +hkck+1 = = 3yk+1− yk hk −3yk − yk−1 hk−1 ∀k = 1..n−1 Hệ này có vô số nghiệm nên để có tính duy nhất, ta phải bổ sung thêm các điều kiện biên. Nguyễn Thị Cẩm Vân (BK TPHCM) NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM Ngày 12 tháng 2 năm 2018 35 / 73 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Spline bậc ba Các khái niệm cơ bản Từ điều kiện g ′k−1(xk)= g ′k(xk) ta được bk = bk−1+2ck−1hk−1+3dk−1h2k−1 ⇒  hk−1ck−1+2(hk−1+hk)ck +hkck+1 = = 3yk+1− yk hk −3yk − yk−1 hk−1 ∀k = 1..n−1 Hệ này có vô số nghiệm nên để có tính duy nhất, ta phải bổ sung thêm các điều kiện biên. Nguyễn Thị Cẩm Vân (BK TPHCM) NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM Ngày 12 tháng 2 năm 2018 35 / 73 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Spline bậc ba Spline bậc ba tự nhiên SPLINE BẬC BA TỰ NHIÊN Điều kiện để xác định 1 spline bậc ba tự nhiên là g ′′(a)= g ′′(b)= 0. g ′′(a)= g ′′0 (x0)= 0 ⇔ 2c0+6d0(x0−x0)= 0⇒ c0 = 0 g ′′(b)= g ′′n(xn)= 0 ⇔ 2cn+6dn(xn−xn)= 0⇒ cn = 0 Nguyễn Thị Cẩm Vân (BK TPHCM) NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM Ngày 12 tháng 2 năm 2018 36 / 73 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Spline bậc ba Spline bậc ba tự nhiên Giải hệ AC =B tìm C với C = (c0,c1, . . . ,cn−1,cn)T và A =  1 0 0 . . . 0 0 h0 2(h0+h1) h1 . . . 0 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 0 0 . . . 2(hn−2+hn−1) hn−1 0 0 0 . . . 0 1  B =  0 3 y2− y1 h1 −3 y1− y0 h0 . . . 3 yn− yn−1 hn−1 −3 yn−1− yn−2 hn−2 0  Nguyễn Thị Cẩm Vân (BK TPHCM) NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM Ngày 12 tháng 2 năm 2018 37 / 73 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Spline bậc ba Spline bậc ba tự nhiên Giải hệ AC =B tìm C với C = (c0,c1, . . . ,cn−1,cn)T và A =  1 0 0 . . . 0 0 h0 2(h0+h1) h1 . . . 0 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 0 0 . . . 2(hn−2+hn−1) hn−1 0 0 0 . . . 0 1  B =  0 3 y2− y1 h1 −3 y1− y0 h0 . . . 3 yn− yn−1 hn−1 −3 yn−1− yn−2 hn−2 0  Nguyễn Thị Cẩm Vân (BK TPHCM) NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM Ngày 12 tháng 2 năm 2018 37 / 73 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Spline bậc ba Spline bậc ba tự nhiên Sau khi tìm được c0,c1, . . . ,cn−1,cn thì các hệ số của gk(x) được xác định bởi ak = yk bk = yk+1− yk hk − hk 3 (ck+1+2ck) dk = ck+1− ck 3hk ,∀k = 0..n−1 Nguyễn Thị Cẩm Vân (BK TPHCM) NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM Ngày 12 tháng 2 năm 2018 38 / 73 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Spline bậc ba Ví dụ VÍ DỤ 4.1 Xây dựng spline bậc ba tự nhiên nội suy bảng số x 0 2 5 y 1 1 4 n = 2,h0 = 2,h1 = 3.Do là spline bậc ba tự nhiên nên c0 = c2 = 0.Hệ số c1 được xác định bởi h0c0+2(h0+h1)c1+h1c2 = 3y2− y1 h1 −3y1− y0 h0 ⇒ c1 = 3 10 Nguyễn Thị Cẩm Vân (BK TPHCM) NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM Ngày 12 tháng 2 năm 2018 39 / 73 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Spline bậc ba Ví dụ VÍ DỤ 4.1 Xây dựng spline bậc ba tự nhiên nội suy bảng số x 0 2 5 y 1 1 4 n = 2,h0 = 2,h1 = 3.Do là spline bậc ba tự nhiên nên c0 = c2 = 0.Hệ số c1 được xác định bởi h0c0+2(h0+h1)c1+h1c2 = 3y2− y1 h1 −3y1− y0 h0 ⇒ c1 = 3 10 Nguyễn Thị Cẩm Vân (BK TPHCM) NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM Ngày 12 tháng 2 năm 2018 39 / 73 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Spline bậc ba Ví dụ Khi k = 0 ta có a0 = y0 = 1 b0 = y1− y0 h0 − h0 3 (c1+2c0)=−1 5 d0 = c1− c0 3h0 = 1 20 , Khi k = 1 ta có a1 = y1 = 1 b1 = y2− y1 h1 − h1 3 (c2+2c1)= 2 5 d1 = c2− c1 3h1 =− 1 30 , Nguyễn Thị Cẩm Vân (BK TPHCM) NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM Ngày 12 tháng 2 năm 2018 40 / 73 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Spline bậc ba Ví dụ Khi k = 0 ta có a0 = y0 = 1 b0 = y1− y0 h0 − h0 3 (c1+2c0)=−1 5 d0 = c1− c0 3h0 = 1 20 , Khi k = 1 ta có a1 = y1 = 1 b1 = y2− y1 h1 − h1 3 (c2+2c1)= 2 5 d1 = c2− c1 3h1 =− 1 30 , Nguyễn Thị Cẩm Vân (BK TPHCM) NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM Ngày 12 tháng 2 năm 2018 40 / 73 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Spline bậc ba Ví dụ Vậy spline bậc ba tự nhiên cần tìm là g (x)=  1− 1 5 x+ 1 20 x3, x ∈ [0,2] 1+ 2 5 (x−2)+ 3 10 (x−2)2− 1 30 (x−2)3,x ∈ [2,5] Nguyễn Thị Cẩm Vân (BK TPHCM) NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM Ngày 12 tháng 2 năm 2018 41 / 73 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Spline bậc ba Ví dụ VÍ DỤ 4.2 Xây dựng spline bậc ba tự nhiên nội suy bảng số x 0 1 2 3 y 1 2 4 8 n = 3,h0 = h1 = h2 = 1.Do là spline bậc ba tự nhiên nên c0 = c3 = 0.Hệ số c1,c2 được xác định bởi AC =B với A =  1 0 0 0 h0 2(h0+h1) h1 0 0 h1 2(h1+h2) h2 0 0 0 1  Nguyễn Thị Cẩm Vân (BK TPHCM) NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM Ngày 12 tháng 2 năm 2018 42 / 73 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Spline bậc ba Ví dụ VÍ DỤ 4.2 Xây dựng spline bậc ba tự nhiên nội suy bảng số x 0 1 2 3 y 1 2 4 8 n = 3,h0 = h1 = h2 = 1.Do là spline bậc ba tự nhiên nên c0 = c3 = 0.Hệ số c1,c2 được xác định bởi AC =B với A =  1 0 0 0 h0 2(h0+h1) h1 0 0 h1 2(h1+h2) h2 0 0 0 1  Nguyễn Thị Cẩm Vân (BK TPHCM) NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM Ngày 12 tháng 2 năm 2018 42 / 73 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Spline bậc ba Ví dụ B =  0 3 y2− y1 h1 −3y1− y0 h0 3 y3− y2 h2 −3y2− y1 h1 0  C = (c0,c1,c2,c3)T ⇒  2(h0+h1).c1+h1.c2 = 3y2− y1 h1 −3y1− y0 h0 h1.c1+2(h1+h2).c2 = 3y3− y2 h2 −3y2− y1 h1 Nguyễn Thị Cẩm Vân (BK TPHCM) NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM Ngày 12 tháng 2 năm 2018 43 / 73 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Spline bậc ba Ví dụ ⇒ { 4.c1+1.c2 = 3 1.c1+4.c2 = 6 ⇒  c1 = 2 5 c2 = 7 5 Nguyễn Thị Cẩm Vân (BK TPHCM) NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM Ngày 12 tháng 2 năm 2018 44 / 73 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Spline bậc ba Ví dụ Khi k = 0 ta có a0 = y0 = 1 b0 = y1− y0 h0 − h0 3 (c1+2c0)= 13 15 d0 = c1− c0 3h0 = 2 15 , Khi k = 1 ta có a1 = y1 = 2 b1 = y2− y1 h1 − h1 3 (c2+2c1)= 19 15 d1 = c2− c1 3h1 = 1 3 , Nguyễn Thị Cẩm Vân (BK TPHCM) NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM Ngày 12 tháng 2 năm 2018 45 / 73 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Spline bậc ba Ví dụ Khi k = 0 ta có a0 = y0 = 1 b0 = y1− y0 h0 − h0 3 (c1+2c0)= 13 15 d0 = c1− c0 3h0 = 2 15 , Khi k = 1 ta có a1 = y1 = 2 b1 = y2− y1 h1 − h1 3 (c2+2c1)= 19 15 d1 = c2− c1 3h1 = 1 3 , Nguyễn Thị Cẩm Vân (BK TPHCM) NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM Ngày 12 tháng 2 năm 2018 45 / 73 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Spline bậc ba Ví dụ Khi k = 2 ta có a2 = y2 = 4 b2 = y3− y2 h2 − h2 3 (c3+2c2)= 46 15 d2 = c3− c2 3h2 =− 7 15 , Vậy spline bậc ba tự nhiên cần tìm là g (x)=  1+ 1315x+ 215x3, x ∈ [0,1] 2+ 1915(x−1)+ 25(x−1)2+ 13(x−1)3,x ∈ [1,2] 4+ 4615(x−2)+ 75(x−2)2− 715(x−2)3,x ∈ [2,3] Nguyễn Thị Cẩm Vân (BK TPHCM) NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM Ngày 12 tháng 2 năm 2018 46 / 73 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Spline bậc ba Ví dụ Khi k = 2 ta có a2 = y2 = 4 b2 = y3− y2 h2 − h2 3 (c3+2c2)= 46 15 d2 = c3− c2 3h2 =− 7 15 , Vậy spline bậc ba tự nhiên cần tìm là g (x)=  1+ 1315x+ 215x3, x ∈ [0,1] 2+ 1915(x−1)+ 25(x−1)2+ 13(x−1)3,x ∈ [1,2] 4+ 4615(x−2)+ 75(x−2)2− 715(x−2)3,x ∈ [2,3] Nguyễn Thị Cẩm Vân (BK TPHCM) NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM Ngày 12 tháng 2 năm 2018 46 / 73 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Spline bậc ba Spline bậc ba ràng buộc SPLINE BẬC BA RÀNG BUỘC Điều kiện để xác định 1 spline bậc ba ràng buộc là g ′(a)=α,g ′(b)=β. g ′(a)= g ′0(x0)=α ⇔ b0+2c0(x0−x0)+3d0(x0−x0)2 =α⇒ b0 =α ⇒ y1− y0 h0 − h0 3 (c1+2c0)=α ⇒ 2h0c0+h0c1 = 3y1− y0 h0 −3α Nguyễn Thị Cẩm Vân (BK TPHCM) NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM Ngày 12 tháng 2 năm 2018 47 / 73 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Spline bậc ba Spline bậc ba ràng buộc g ′(b)= g ′n−1(xn)=β ⇔ bn−1+2cn−1(xn−xn−1)+3dn−1(xn−xn−1)2 =β ⇒ yn− yn−1 hn−1 − hn−1 3 (cn+2cn−1)+2cn−1hn−1+ +3.cn− cn−1 3hn−1 .h2n−1 =β ⇒ hn−1cn−1+2hn−1cn = 3β−3yn− yn−1 hn−1 Nguyễn Thị Cẩm Vân (BK TPHCM) NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM Ngày 12 tháng 2 năm 2018 48 / 73 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Spline bậc ba Spline bậc ba ràng buộc Khi đó ta có thêm 2 phương trình 2h0c0+h0c1 = 3y1− y0 h0 −3α hn−1cn−1+2hn−1cn = 3β−3yn− yn−1 hn−1 và thuật toán xác định spline bậc ba ràng buộc như sau: giải hệ AC =B tìm C với C = (c0,c1, . . . ,cn−1,cn)T Nguyễn Thị Cẩm Vân (BK TPHCM) NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM Ngày 12 tháng 2 năm 2018 49 / 73 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Spline bậc ba Spline bậc ba ràng buộc A =  2h0 h0 0 . . . 0 0 h0 2(h0+h1) h1 . . . 0 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 0 0 . . . 2(hn−2+hn−1) hn−1 0 0 0 . . . hn−1 2hn−1  B =  3 y1− y0 h0 −3α 3 y2− y1 h1 −3 y1− y0 h0 . . . 3 yn− yn−1 hn−1 −3 yn−1− yn−2 hn−2 3β−3 yn− yn−1 hn−1  Nguyễn Thị Cẩm Vân (BK TPHCM) NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM Ngày 12 tháng 2 năm 2018 50 / 73 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Spline bậc ba Spline bậc ba ràng buộc Sau khi tìm được c0,c1, . . . ,cn−1,cn thì các hệ số của gk(x) được xác định bởi ak = yk bk = yk+1− yk hk − hk 3 (ck+1+2ck) dk = ck+1− ck 3hk ,∀k = 0..n−1 Nguyễn Thị Cẩm Vân (BK TPHCM) NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM Ngày 12 tháng 2 năm 2018 51 / 73 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Spline bậc ba Ví dụ VÍ DỤ 4.3 Xây dựng spline bậc ba ràng buộc nội suy bảng số x 0 1 y 1 1 thỏa y ′(0)= 1, y ′(1)= 1. n = 1,h0 = 1. Khi đó 2h0c0+h0c1 = 3y1− y0 h0 −3α h0c0+2h0c1 = 3β−3y1− y0 h0 ⇒ { 2c0+ c1 =−3 c0+2c1 = 3 ⇒ { c0 =−3 c1 = 3 Nguyễn Thị Cẩm Vân (BK TPHCM) NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM Ngày 12 tháng 2 năm 2018 52 / 73 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Spline bậc ba Ví dụ VÍ DỤ 4.3 Xây dựng spline bậc ba ràng buộc nội suy bảng số x 0 1 y 1 1 thỏa y ′(0)= 1, y ′(1)= 1. n = 1,h0 = 1. Khi đó 2h0c0+h0c1 = 3y1− y0 h0 −3α h0c0+2h0c1 = 3β−3y1− y0 h0 ⇒ { 2c0+ c1 =−3 c0+2c1 = 3 ⇒ { c0 =−3 c1 = 3 Nguyễn Thị Cẩm Vân (BK TPHCM) NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM Ngày 12 tháng 2 năm 2018 52 / 73 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Spline bậc ba Ví dụ Khi k = 0 ta có a0 = y0 = 1 b0 = y1− y0 h0 − h0 3 (c1+2c0)= 1 d0 = c1− c0 3h0 = 2, Vậy spline bậc ba ràng buộc cần tìm là g (x)= 1+x−3x2+2x3,x ∈ [0,1] Nguyễn Thị Cẩm Vân (BK TPHCM) NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM Ngày 12 tháng 2 năm 2018 53 / 73 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Spline bậc ba Ví dụ VÍ DỤ 4.4 Xây dựng spline bậc ba ràng buộc nội suy bảng số x 0 1 2 y 1 2 1 thỏa điều kiện y ′(0)= 0, y ′(2)= 0. n = 2,h0 = h1 = 1,α=β= 0.Hệ số c0,c1,c2 được xác định bởi AC =B với A =  2h0 h0 0h0 2(h0+h1) h1 0 h1 2h1  Nguyễn Thị Cẩm Vân (BK TPHCM) NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM Ngày 12 tháng 2 năm 2018 54 / 73 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Spline bậc ba Ví dụ VÍ DỤ 4.4 Xây dựng spline bậc ba ràng buộc nội suy bảng số x 0 1 2 y 1 2 1 thỏa điều kiện y ′(0)= 0, y ′(2)= 0. n = 2,h0 = h1 = 1,α=β= 0.Hệ số c0,c1,c2 được xác định bởi AC =B với A =  2h0 h0 0h0 2(h0+h1) h1 0 h1 2h1  Nguyễn Thị Cẩm Vân (BK TPHCM) NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM Ngày 12 tháng 2 năm 2018 54 / 73 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Spline bậc ba Ví dụ B =  3 y1− y0 h0 −3α 3 y2− y1 h1 −3y1− y0 h0 3β−3y2− y1 h1  C = (c0,c1,c2)T ⇒  2.c0+ c1+0.c2 = 3 c0+4c1+ c2 = −6 0.c0+ c1+2.c2 = 3 ⇒  c0 = 3 c1 = −3 c2 = 3 Nguyễn Thị Cẩm Vân (BK TPHCM) NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM Ngày 12 tháng 2 năm 2018 55 / 73 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Spline bậc ba Ví dụ Khi k = 0 ta có a0 = y0 = 1 b0 = y1− y0 h0 − h0 3 (c1+2c0)= 0 d0 = c1− c0 3h0 =−2, Khi k = 1 ta có a1 = y1 = 2 b1 = y2− y1 h1 − h1 3 (c2+2c1)= 0 d1 = c2− c1 3h1 = 2, Nguyễn Thị Cẩm Vân (BK TPHCM) NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM Ngày 12 tháng 2 năm 2018 56 / 73 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Spline bậc ba Ví dụ Khi k = 0 ta có a0 = y0 = 1 b0 = y1− y0 h0 − h0 3 (c1+2c0)= 0 d0 = c1− c0 3h0 =−2, Khi k = 1 ta có a1 = y1 = 2 b1 = y2− y1 h1 − h1 3 (c2+2c1)= 0 d1 = c2− c1 3h1 = 2, Nguyễn Thị Cẩm Vân (BK TPHCM) NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM Ngày 12 tháng 2 năm 2018 56 / 73 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Spline bậc ba Ví dụ Vậy spline bậc ba ràng buộc cần tìm là g (x)= { 1+3x2−2x3, x ∈ [0,1] 2−3(x−1)2+2(x−1)3, x ∈ [1,2] Nguyễn Thị Cẩm Vân (BK TPHCM) NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM Ngày 12 tháng 2 năm 2018 57 / 73 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Bài toán xấp xỉ hàm thực nghiệm BÀI TOÁN XẤP XỈ HÀM THỰC NGHIỆM Trong mặt phẳng xOy cho tập hợp điểm Mk(xk , yk),k = 1,2, . . . ,n, trong đó có ít nhất 2 điểm nút xi ,x j khác nhau với i 6= j và n rất lớn. Khi đó việc xây dựng một đường cong đi qua tất cả những điểm này không có ý nghĩa thực tế. Chúng ta sẽ đi tìm hàm f (x) đơn giản hơn sao cho nó thể hiện tốt nhất dáng điệu của tập hợp điểmMk(xk , yk),k = 1,2, . . . ,n, và không nhất thiết đi qua tất cả các điểm đó. Nguyễn Thị Cẩm Vân (BK TPHCM) NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM Ngày 12 tháng 2 năm 2018 58 / 73 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Bài toán xấp xỉ hàm thực nghiệm Phương pháp bình phương bé nhất giúp ta giải quyết vấn đề này. Nội dung của phương pháp là tìm cực tiểu của phiếm hàm g ( f )= n∑ k=1 ( f (xk)− yk)2→min. Dạng đơn giản thường gặp trong thực tế của f (x) là f (x)= A+Bx, f (x)= A+Bx+Cx2, f (x)= Ap(x)+Bq(x), . . . Nguyễn Thị Cẩm Vân (BK TPHCM) NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM Ngày 12 tháng 2 năm 2018 59 / 73 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Bài toán xấp xỉ hàm thực nghiệm Trường hợp f (x)= A+Bx Trường hợp f (x)= A+Bx Khi đó g (A,B)= n∑ k=1 (A+Bxk − yk)2 Bài toán quy về việc tìm cực tiểu của hàm 2 biến g (A,B). Tọa độ điểm dừng của hàm được xác định bởi hệ phương trình ∂ ∂A n∑ k=1 (A+Bxk − yk)2 = 2 n∑ k=1 (A+Bxk − yk)= 0 ∂ ∂B n∑ k=1 (A+Bxk − yk)2 = 2 n∑ k=1 (A+Bxk − yk)xk = 0 Nguyễn Thị Cẩm Vân (BK TPHCM) NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM Ngày 12 tháng 2 năm 2018 60 / 73 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Bài toán xấp xỉ hàm thực nghiệm Trường hợp f (x)= A+Bx ⇔  nA+ ( n∑ k=1 xk ) B = n∑ k=1 yk( n∑ k=1 xk ) A+ ( n∑ k=1 x2k ) B = n∑ k=1 xkyk Nguyễn Thị Cẩm Vân (BK TPHCM) NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM Ngày 12 tháng 2 năm 2018 61 / 73 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Bài toán xấp xỉ hàm thực nghiệm Trường hợp f (x)= A+Bx VÍ DỤ 5.1 Tìm hàm f (x)= A+Bx xấp xỉ tốt nhất bảng số x 1 1 2 2 2 3 3 4 5 6 y 1 2 2 3 4 4 5 5 6 7 Giải. Ta có n = 10 và n∑ k=1 xk = 29, n∑ k=1 yk = 39, n∑ k=1 x2k = 109, n∑ k=1 xk yk = 140.Hệ phương trình để xác định A,B có dạng { 10A+29B = 39 29A+109B = 140 ⇔ { A = 0.7671 B = 1.0803 Do đó đường thẳng cần tìm là f (x)= 0.7671+1.0803x. Nguyễn Thị Cẩm Vân (BK TPHCM) NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM Ngày 12 tháng 2 năm 2018 62 / 73 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Bài toán xấp xỉ hàm thực nghiệm Trường hợp f (x)= A+Bx VÍ DỤ 5.1 Tìm hàm f (x)= A+Bx xấp xỉ tốt nhất bảng số x 1 1 2 2 2 3 3 4 5 6 y 1 2 2 3 4 4 5 5 6 7 Giải. Ta có n = 10 và n∑ k=1 xk = 29, n∑ k=1 yk = 39, n∑ k=1 x2k = 109, n∑ k=1 xk yk = 140.Hệ phương trình để xác định A,B có dạng { 10A+29B = 39 29A+109B = 140 ⇔ { A = 0.7671 B = 1.0803 Do đó đường thẳng cần tìm là f (x)= 0.7671+1.0803x.Nguyễn Thị Cẩm Vân (BK TPHCM) NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM Ngày 12 tháng 2 năm 2018 62 / 73 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Bài toán xấp xỉ hàm thực nghiệm Trường hợp f (x)= A+Bx Bấmmáy. BấmMode 3 - STAT. Chọn 3- A+Bx.Nhập dữ liệu của 2 cột x, y. AC - Thoát ra. Chọn Shift 1 - chọn 7 - Reg - chọn 1- A =. Chọn Shift 1 - chọn 7 - Reg - chọn 2- B =. Nguyễn Thị Cẩm Vân (BK TPHCM) NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM Ngày 12 tháng 2 năm 2018 63 / 73 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Bài toán xấp xỉ hàm thực nghiệm Trường hợp f (x)= A+Bx+Cx2 Trường hợp f (x)= A+Bx+Cx2 Khi đó g (A,B ,C )= n∑ k=1 (A+Bxk +Cx2k − yk)2 Bài toán quy về việc tìm cực tiểu của hàm 3 biến g (A,B ,C ). Tọa độ điểm dừng của hàm được xác định bởi hệ phương trình ∂ ∂A n∑ k=1 (A+Bxk +Cx2k − yk)2 = 2 n∑ k=1 (A+Bxk +Cx2k − yk)= 0 ∂ ∂B n∑ k=1 (A+Bxk +Cx2k − yk)2 = 2 n∑ k=1 (A+Bxk +Cx2k − yk)xk = 0 ∂ ∂C n∑ k=1 (A+Bxk +Cx2k − yk)2 = 2 n∑ k=1 (A+Bxk +Cx2k − yk)x2k = 0 Nguyễn Thị Cẩm Vân (BK TPHCM) NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM Ngày 12 tháng 2 năm 2018 64 / 73 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Bài toán xấp xỉ hàm thực nghiệm Trường hợp f (x)= A+Bx+Cx2 ⇔  nA+ ( n∑ k=1 xk ) B + ( n∑ k=1 x2k ) C = n∑ k=1 yk( n∑ k=1 xk ) A+ ( n∑ k=1 x2k ) B + ( n∑ k=1 x3k ) C = n∑ k=1 xkyk( n∑ k=1 x2k ) A+ ( n∑ k=1 x3k ) B + ( n∑ k=1 x4k ) C = n∑ k=1 x2kyk Nguyễn Thị Cẩm Vân (BK TPHCM) NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM Ngày 12 tháng 2 năm 2018 65 / 73 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Bài toán xấp xỉ hàm thực nghiệm Trường hợp f (x)= A+Bx+Cx2 VÍ DỤ 5.2 Tìm hàm f (x)= A+Bx+Cx2 xấp xỉ tốt nhất bảng số x 1 1 2 3 3 4 5 y 4.12 4.18 6.23 8.34 8.38 12.13 18.32 Giải. Hệ phương trình để xác định A,B ,C có dạng 7A+19B +65C = 61.70 19A+65B +253C = 211.04 65A+253B +1061C = 835.78 ⇔  A = 4.30 B =−0.71 C = 0.69 Do đó parabol cần tìm là f (x)= 4.30−0.71x+0.69x2. Nguyễn Thị Cẩm Vân (BK TPHCM) NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM Ngày 12 tháng 2 năm 2018 66 / 73 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Bài toán xấp xỉ hàm thực nghiệm Trường hợp f (x)= A+Bx+Cx2 VÍ DỤ 5.2 Tìm hàm f (x)= A+Bx+Cx2 xấp xỉ tốt nhất bảng số x 1 1 2 3 3 4 5 y 4.12 4.18 6.23 8.34 8.38 12.13 18.32 Giải. Hệ phương trình để xác định A,B ,C có dạng 7A+19B +65C = 61.70 19A+65B +253C = 211.04 65A+253B +1061C = 835.78 ⇔  A = 4.30 B =−0.71 C = 0.69 Do đó parabol cần tìm là f (x)= 4.30−0.71x+0.69x2. Nguyễn Thị Cẩm Vân (BK TPHCM) NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM Ngày 12 tháng 2 năm 2018 66 / 73 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Bài toán xấp xỉ hàm thực nghiệm Trường hợp f (x)= A+Bx+Cx2 Bấmmáy. BấmMode 3 - STAT. Chọn 3- +cx2.Nhập dữ liệu của 2 cột x, y. AC - Thoát ra. Chọn Shift 1 - chọn 7 - Reg - chọn 1- A =. Chọn Shift 1 - chọn 7 - Reg - chọn 2- B =. Chọn Shift 1 - chọn 7 - Reg - chọn 3- C =. Nguyễn Thị Cẩm Vân (BK TPHCM) NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM Ngày 12 tháng 2 năm 2018 67 / 73 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Bài toán xấp xỉ hàm thực nghiệm Trường hợp f (x)= Ap(x)+Bq(x) Trường hợp f (x)= Ap(x)+Bq(x) Khi đó g (A,B)= n∑ k=1 (Ap(xk)+Bq(xk)− yk)2 Bài toán quy về việc tìm cực tiểu của hàm 2 biến g (A,B). Tọa độ điểm dừng của hàm được xác định bởi hệ phương trình ∂ ∂Ag (A,B)= 2 n∑ k=1 (Ap(xk)+Bq(xk)− yk)p(xk)= 0 ∂ ∂B g (A,B)= 2 n∑ k=1 (Ap(xk)+Bq(xk)− yk)q(xk)= 0 Nguyễn Thị Cẩm Vân (BK TPHCM) NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM Ngày 12 tháng 2 năm 2018 68 / 73 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Bài toán xấp xỉ hàm thực nghiệm Trường hợp f (x)= Ap(x)+Bq(x) ⇔  ( n∑ k=1 p2(xk) ) A+ ( n∑ k=1 p(xk)q(xk) ) B = n∑ k=1 p(xk)yk( n∑ k=1 p(xk)q(xk) ) A+ ( n∑ k=1 q2(xk) ) B = n∑ k=1 q(xk)yk Nguyễn Thị Cẩm Vân (BK TPHCM) NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM Ngày 12 tháng 2 năm 2018 69 / 73 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Bài toán xấp xỉ hàm thực nghiệm Trường hợp f (x)= Ap(x)+Bq(x) VÍ DỤ 5.3 Tìm hàm f (x)= Apx+B cos(x) xấp xỉ tốt nhất bảng số x 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 y 2.27 2.37 2.45 2.52 2.60 2.62 Giải. Ta có n = 6, p(x)=px, q(x)= cos(x) và n∑ k=1 p2(xk)= n∑ k=1 xk = 9, Shift-STO-A n∑ k=1 p(xk)q(xk)= n∑ k=1 p xk .cos(xk)= 0.2080742774, Shift-STO-B. Nguyễn Thị Cẩm Vân (BK TPHCM) NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM Ngày 12 tháng 2 năm 2018 70 / 73 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Bài toán xấp xỉ hàm thực nghiệm Trường hợp f (x)= Ap(x)+Bq(x) VÍ DỤ 5.3 Tìm hàm f (x)= Apx+B cos(x) xấp xỉ tốt nhất bảng số x 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 y 2.27 2.37 2.45 2.52 2.60 2.62 Giải. Ta có n = 6, p(x)=px, q(x)= cos(x) và n∑ k=1 p2(xk)= n∑ k=1 xk = 9, Shift-STO-A n∑ k=1 p(xk)q(xk)= n∑ k=1 p xk .cos(xk)= 0.2080742774, Shift-STO-B. Nguyễn Thị Cẩm Vân (BK TPHCM) NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM Ngày 12 tháng 2 năm 2018 70 / 73 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Bài toán xấp xỉ hàm thực nghiệm Trường hợp f (x)= Ap(x)+Bq(x) n∑ k=1 p(xk)yk = n∑ k=1 p xk .yk = 18.14616548, Shift-STO-C. n∑ k=1 q2(xk)= n∑ k=1 cos2(xk)= 0.6777701471, Shift-STO-D. n∑ k=1 q(xk)yk = n∑ k=1 cos(xk).yk = 0.7470806584, Shift-STO-M. Giải hệ phương trình tìm A,B :{ A.A+B .B =C B .A+D .B =M ⇔ { A = 2.00498761 B = 0.48673479 Vậy f (x)= 2.0050px+0.4867cos(x). Nguyễn Thị Cẩm Vân (BK TPHCM) NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM Ngày 12 tháng 2 năm 2018 71 / 73 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Bài toán xấp xỉ hàm thực nghiệm Trường hợp f (x)= Ap(x)+Bq(x) Bấmmáy. Shift-Mode-STAT-Frequency-ON 1 Tìmma trận hệ số Mode 3-STAT - 2: A+BX. Nhập vào cột X là p X , nhập vào cột Y là cos(X ). AC-thoát ra. Shift - 1 - 4: Sum - 1: ∑ x2 = Shift-STO-A Shift - 1 - 4: Sum - 5: ∑ xy = Shift-STO-B Shift - 1 - 4: Sum - 3: ∑ y2 = Shift-STO-D 2 Tìm cột hệ số tự do Shift - 1 - 2: Data Nhập giá trị của cột FREQ là giá trị y. AC-thoát ra Shift - 1 - 5: Var - 2:x × Shift - 1 - 5: Var -1:n = Shift-STO-C Shift - 1 - 5: Var - 5:y × Shift - 1 - 5: Var -1:n = Shift-STO-M 3 Giải hệ phương trình: Mode-5:EQN-1:anX+bnY=cn Nguyễn Thị Cẩm Vân (BK TPHCM) NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM Ngày 12 tháng 2 năm 2018 72 / 73 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Bài toán xấp xỉ hàm thực nghiệm Trường hợp f (x)= Ap(x)+Bq(x) CÁMƠNCÁC EMĐÃCHÚ Ý LẮNGNGHE Nguyễn Thị Cẩm Vân (BK TPHCM) NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM Ngày 12 tháng 2 năm 2018 73 / 73 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt