Bài giảng Phương pháp thể tích hữu hạn giải các bài toán

PHƯƠNG PHÁP THỂ TÍCH HỮU HẠN GIẢI CÁC BÀI TOÁN CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Böôùc moät: Taïo löôùi. B A W P Caùc ñieåm nuùtThe åtích kieåm soaùt Bieân cuûa theå tích kieåm soaùt E N T W B S E P t n s w b e S J- 1 N E W ew s n j J j-1 J+ 1 I+ 1 i+ 1 IiI-1 Thể tích kiểm soát vô hướng (phương trình liên tục) CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Sai phân hóa φφφρρφ Sgraddivudivt +Γ=+ ∂ ∂ )()()( dtdVSdtdA)grad.(ndtdA)u.(ndVdt)( t tt t V tt t A tt t AV tt t ∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫ ∆+ φ ∆+∆+∆+       +      φΓ=      φρ+      ρφ ∂ ∂ ( ) ( ) dtV.Sdt)uA(dt)A(dVdt)( t tt t tt t tt tV tt t ∫∫∫∫ ∫ ∆+∆+∆+∆+ ∆+φρ∇−φΓ∆=      ρφ ∂ ∂ Tích phân theo thể tích hữu hạn rời rạc V).(dVdt)( t 0 PP V tt t ∆φ−φρ=      ρφ ∂ ∂ ∫ ∫ ∆+ CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Sai phân hóa ( ) ( ) [ ] [ ] [ ]( )∫ ∫ ∫∫ ∆+ ∆+ ∆+∆+ φρ−φρ+φρ−φρ+φρ−φρ −          ∂ φ∂ Γ− ∂ φ∂ Γ+      ∂ φ∂ Γ− ∂ φ∂ Γ+    ∂ φ∂ Γ− ∂ φ∂ Γ =φρ∇−φΓ∆ tt t btsnwe tt t btsnwe tt t tt t dt)uA()uA()uA()uA()uA()uA( dt) z A() z A() y A() y A() x A() x A( dt)uA(dt)A( CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Rời rạc hoá phương trình tích phân       φ−φ Γ−      φ−φ Γ=      ∂ φ∂ Γ−      ∂ φ∂ Γ PW wP ww PE PE ee we x A x A x A x A       φ−φ Γ−      φ−φ Γ=      ∂ φ∂ Γ−      ∂ φ∂ Γ PN SP ss PN PN nn sn y A y A y A y A       φ−φ Γ−      φ−φ Γ=      ∂ φ∂ Γ−      ∂ φ∂ Γ PB BP bb PT PT tt bt z A z A z A z A Đặt: F = Aρu; D = AΓ/xi,j CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Rời rạc hoá phương trình tích phân [ ] [ ] [ ]{ } ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ } dtV.S dt)(D)(D)(D)(D)(D)(D dtFFFFFFV).( tt t tt t BPbPTtSPsPNnwPwPEe tt t bbttssnnwwee 0 PP ∫ ∫ ∫ ∆+ ∆+ ∆+ ∆+ φ−φ−φ−φ+φ−φ−φ−φ+φ−φ−φ−φ +φ−φ+φ−φ+φ−φ−=∆φ−φρ (*) CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Rời rạc hoá phương trình tích phân Để xác định vế phải của phương trình (*), tham số trọng lượng θ nằm trong khoảng từ 0 đến 1 sẽ được áp dụng. Các tích phân bên vế phải sẽ được viết lại như sau: t])1(.[dtI 0PP tt t P ∆φθ−+φθ=φ= ∫ ∆+ φ (**) CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Rời rạc hoá phương trình tích phân Sử dụng phương trình (**) for φE, φW, φN, φS, φT, φB vào phương trình (*) và chia phương trình này cho ∆t, ta được: [ ] [ ] [ ]{ } [ ] [ ] [ ]{ } ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ } ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ } VS )(D)(D)(D)(D)(D)(D)1( )(D)(D)(D)(D)(D)(D FFFFFF)1( FFFFFF t V).( 0 B 0 Pb 0 P 0 Tt 0 S 0 Ps 0 P 0 Nn 0 W 0 Pw 0 P 0 Ee BPbPTtSPsPNnwPwPEe 0 bb 0 tt 0 ss 0 nn 0 ww 0 ee bbttssnnwwee 0 PP ∆+ φ−φ−φ−φ+φ−φ−φ−φ+φ−φ−φ−φθ− +φ−φ−φ−φ+φ−φ−φ−φ+φ−φ−φ−φθ +φ−φ+φ−φ+φ−φθ− −φ−φ+φ−φ+φ−φθ−= ∆ ∆φ−φρ (***) Khi θ = 0, phương trình (***) trở nên tường minh, nếu 0<θ<1, phương trình (***) không tường minh, còn nếu θ = 1, thì phương trình (***) hoàn toàn không tường minh. Khi θ = 1/2, phương trình (***) được gọi là phương trình Crank-Nicolson. Trong phần này, phương pháp rời rạc hóa không tường minh hoàn toàn sẽ được áp dụng để rời rạc hóa các phương trình tổng quát. CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Rời rạc hoá phương trình tích phân u 0 P 0 PTTBBNNSSEEWWPP Saaaaaaaa +φ+φ+φ+φ+φ+φ+φ=φ Bởi vì phương pháp này áp dụng cho quá trình thay đổi tức thời (transient), nên người ta sử dụng các phương trình khuếch tán-đối lưu và các sơ đồ chuyển đổi qua lại. Do đó, ta có: Trong đó: P 0 PTBNSEWP SFaaaaaaaa −∆+++++++= t Va 0 P0 P ∆ ∆ρ = Với: PPu SSV.S φ+=∆ CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Rời rạc hoá phương trình tích phân             += 0, 2 F D,Fmaxa wwwW             −−= 0, 2 F D,Fmaxa eeeE             += 0, 2 F D,Fmaxa sssS             −−= 0, 2 FD,Fmaxa nnnN             += 0, 2 F D,Fmaxa bbbB             −−= 0, 2 F D,Fmaxa tttT ∆F = Fe – Fw + Fn – Fs + Ft – Fb CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Thuật toán ma trận ba đường chéo TDMA φ1 = C1 -β2φ1 + D2φ2 - α2φ3 = C2 -β3φ2 + D3φ3 - αP1φP1 = C3 .. -βnφn-1 + Dnφn - αnφn+1= Cn φn+1 = Cn+1 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Thuật toán ma trận ba đường chéo TDMA Trong các phương trình trên, φ1 và φn+1 được xem là những giá trị biên. Phương trình dạng tổng quát được viết như sau: -βjφj-1 + Djφj - αjφj+1 = Cj 2 2 1 2 2 3 2 2 2 D C DD +φ β +φ α =φ 3 3 2 3 3 4 3 3 3 D C DD +φ β +φ α =φ .. n n 1n n n 1n n n n D C DD +φ β +φ α =φ −+ CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt BÀI TẬP MÔ HÌNH HÓA VÀ MÔ PHỎNG SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP THỂ TÍCH HỮU HẠN CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 1. Bài toán truyền dẫn nhiệt Quá trình truyền nhiệt ổn định qua tấm phẳng có bề dày L = 2cm; hệ số dẫn nhiệt k = 0,5 (W/m.độ); nguồn cấp nhiệt không đổi q/ρCp = 1000 (kW/m3). Các bề mặt A và B của tấm phẳng có nhiệt độ 100oC và 200oC. Giả sử rằng kích thước theo phương y và z đủ lớn để gradient nhiệt độ chỉ xuất hiện theo phương x. Xác định: 1) Phương trình mô tả quá trình truyền nhiệt 2) Biết rằng: Nghiệm giải tích của bài toán trên có dạng: A AB TxxL k q L TTT +    −+ − = .)( 2 Đánh giá kết quả gần đúng theo kết quả mô phỏng và kết quả chính xác theo nghiệm giải tích trên (5 nút) CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt φφφρρφ Sgraddivudivt +Γ=+ ∂ ∂ )()()( Xuất phát từ phương trình tổng quát Phương trình truyền nhiệt dạng tổng quát được viết dưới dạng: Q z Tk y Tk x Tk z Tu y Tu x TuC t TC zyxzyxpp +      ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ =      ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ 2 2 2 2 2 2 ρρ Q x Tk t TC xp +∂ ∂ = ∂ ∂ 2 2 ρ Phương trình truyền nhiệt trong tấm phẳng có kích thước chiều y>>x và z >>x có dạng: Trong trường hợp truyền nhiệt ổn định: 02 2 =+ ∂ ∂ Q x Tkx CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt uPPEEWWPP STaTaTaTa +++= 00 B A W P Caùc ñieåm nuùt Bieân cuûa theå tích kieåm soaùt E ∆x ∆x∆x/2 w e 0 )()( =+      ∫∫ VV qdVdV dx dTk dx d 0)( =+     −      Vq dx dTAk dx dTAk we 0=∆+      − −      − xqA x TTkA x TTkA PW wP ww PE PE ee Điểm giữa CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt w w wwW D FDFa =            += 0, 2 ,max e e eeE D FDFa =            −−= 0, 2 ,max PEWP Saaa −+= F = 0 D = Ak/∆x Sp = 0 SU = qA∆x CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt uPPEEWWPP STaTaTaTa +++= 00 B A W P Caùc ñieåm nuùt Bieân cuûa theå tích kieåm soaùt E ∆x ∆x∆x/2 w e 0 )()( =+      ∫∫ VV qdVdV dx dTk dx d 0)( =+     −      Vq dx dTAk dx dTAk we 0 2/ =∆+      − −      − xqA x TTkA x TTkA PW BP ww PE PE ee Điểm 1 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 00, 2 ,max =            += wwwW FDFa e e eeE D FDFa =            −−= 0, 2 ,max PEWP Saaa −+= F = 0 D = Ak/∆x SU = qA∆x+2kATB/∆x x kASP ∆ −= 2 Làm tương tự đối với điểm 5 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt wW Da = 0=Ea PEWP Saaa −+= F = 0 D = Ak/∆x SU = qA∆x+2kATA/∆x x kASP ∆ −= 2 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Lập bảng tính Điểm aW aE SU SP aP = aW + aE - SP 1 0 k/∆x q∆x+2kTB/∆x 3k/∆x 2 k/∆x k/∆x q∆x 0 2k/∆x 3 k/∆x k/∆x q∆x 0 2k/∆x 4 k/∆x k/∆x q∆x 0 2k/∆x 5 k/∆x 0 q∆x+2kTA/∆x 3k/∆x x k ∆ − 2 x k ∆ − 2 Kết quả tính Điểm aW aE SU SP aP = aW + aE - SP 1 0 125 29000 -250 375 2 125 125 4000 0 250 3 125 125 4000 0 250 4 125 125 4000 0 250 5 125 0 54000 -250 375 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Lập ma trận: 375 -125 0 0 0 -125 250 -1250 0 0 0 -125 250 -1250 0 0 0 -125 250 -1250 0 0 0 -125 375 T1 T2 T3 T4 T5 = 29000 4000 4000 4000 54000 T1 T2 T3 T4 T5 = 150 218 254 258 230 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Điểm nút 1 2 3 4 5 X(m) 0.002 0.006 0.01 0.014 0.018 Kết quả gần đúng 150 218 254 258 230 Kết quả chính xác 146 214 250 254 226 Sai số 2.73% 1.86% 1.6% 1.57% 1.76% CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 2. Bài toán lan truyền chất Quá trình lan truyền ổn định một chất khí màu trong không khí, biết: khối lượng riêng lưu chất tại điều kiện lan truyền là ρ = 1kg/m3; vận tốc đối lưu theo phương x là ux = 0.1m/s; hệ số khuếch tán D = 0.1 m2/s; Chiều dài quãng đường lan truyền là L = 1m. Giả sử rằng quá trình lan truyền chỉ xảy ra theo một phương x. Xác định: 1) Phương trình mô tả quá trình truyền vật chất 2) Biết rằng: Nghiệm giải tích của bài toán trên có dạng: Đánh giá kết quả gần đúng theo kết quả mô phỏng và kết quả chính xác theo nghiệm giải tích trên (5 nút) 71828.1 )exp(71828.2)( xx −=Φ CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Nút Khoảng cách Kết quả mô phỏng Kết quả giải tích Sai số 1 0.1 0.9421 0.9387 0.36% 2 0.3 0.8006 0.7963 0.53% 3 0.5 0.6276 0.6224 0.83% 4 0.7 0.4163 0.4100 1.53% 5 0.9 0.1579 0.1505 4.91% CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 3. Bài toán 2D Cho tấm phẳng có bề dày 1cm. Độ dẫn nhiệt của vật liệu tấm phẳng là k = 1000W/mK. Mặt biên phía Tây tiếp nhận thông lượng nhiệt ổn định 500kW/m2 và các mặt biên phía Đông và Nam được cách nhiệt.mặt biên phía Bắc được duy trì ở nhiệt độ 100oC, sử dụng lưới không đổi ∆x=∆y=0,1m để tính toán sự phân bố tại các điểm nút. Xác định: 1) Phương trình mô tả quá trình truyền nhiệt trong tấm phẳng 2) Mô phỏng gradient nhiệt độ trong tấm phẳng nêu trên với chiều x = 0,3m; y = 0,4m CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt