Bài giảng Ổn định của hệ thống điều khiển số

Ch−ơng 2 ổn định của hệ thống điều khiển số Trong ch−ơng này, chúng ta sẽ quan tâm đến một số kỹ thuật cơ bản đ−ợc dùng để phân tích ổn định các hệ thống điều khiển số. Nh− đã trình bày ở ch−ơng 1, giả thiết ta có hàm truyền của hệ thống điều khiển số vòng kín có dạng nh− sau ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 y z G z N z r z GH z D z = = + ở đây ( )1 0GH z+ = đ−ợc gọi là ph−ơng trình đặc tính. Các giá trị của z ứng với ( ) 0N z = đ−ợc gọi là không (zeros) và các giá trị của z ứng với ( ) 0D z = đ−ợc gọi là các cực (poles). Tính ổn định của hệ thống sẽ phụ thuộc vào vị trí của các cực hay gốc của ph−ơng trình ( ) 0D z = . 2.1. ánh xạ từ mặt phẳng p vào mặt phẳng z Đối với các hệ vòng kín liên tục, mặt phảng p đ−ợc sử dụng để khảo sát ổn định của hệ thống. T−ơng tự đối với các hệ thống rời rạc, mặt phẳng z đ−ợc dùng để khảo sát ổn định của hệ thống. Trong phần này chúng ta sẽ xét đến quan hệ t−ơng đ−ơng giữa mặt phẳng p của hệ liên tục và mặt phẳng z của hệ rời rạc. Tr−ớc tiên chúng ta làm một phép ánh xạ từ nửa trái của mặt phẳng p vào mặt phẳng z. Nếu ph−ơng trình p jσ ω= + mô tả một điểm trong mặt phẳng p thì dọc theo trục ảo jω ta có pT T j T z e e e σ ω = = (2.1) Vì 0σ = nên cos sin 1 j Tz e T j T Tω ω ω ω= = + = ∠ (2.2) Từ ph−ơng trình (2.2), vị trí của các cực trên trục ảo của mặt phẳng p đã đ−ợc ánh xạ lên trên vòng tròn đơn vị của mặt phẳng z. Khi ω thay đổi dọc theo trục ảo của mặt phẳng p, góc của các cực trên vòng tròn đơn vị trong mặt phẳng z sẽ thay đổi. Nếu ω đ−ợc giữ nguyên không đổi và tăng giá trị σ ở nửa trái mặt phẳng p, thì vị trí của các cực sẽ di chuyển về phía gốc xa khỏi vòng tròn đơn vị. T−ơng tự nếu giảm giá trị σ ở nửa trái mặt phẳng p, thì các cực trong mặt phẳng z sẽ di chuyển xa ra khỏi gốc nh−ng vẫn nằm trong vòng tròn đơn vị. Qua các phân tích trên ta thấy toàn bộ nửa trái của mặt phẳng p sẽ t−ơng đ−ơng với phần bên trong của vòng tròn đơn vị trong mặt phẳng z. T−ơng tự toàn bộ nửa bên phải của mặt phẳng p sẽ t−ơng đ−ơng với miền nằm bên ngoài vòng tròn đơn vị của mặt phẳng z nh− trên hình 2.1. Nếu một hệ thống liên tục đ−ợc coi là ổn định khi các cực nằm bên trái mặt phẳng p thì một hệ thống rời rạc đ−ợc coi là ổn định nếu các cực nằm bên trong vòng tròn đơn vị. Hình 2.1. ánh xạ từ nửa trái mặt phẳng p vào bên trong vòng tròn đơn vị của mặt phẳng z Từ mặt phẳng z chúng ta có thể phân tích ổn định của hệ thống bằng cách sử dụng ph−ơng trình đặc tính. Tuy nhiên ph−ơng pháp này chỉ cho chúng ta biết hệ có ổn định hay không mà không cho chúng ta biết hệ có ổn định hay không khi bị tác động bởi các thông khác. Sau đây chúng ta sẽ xét một số ví dụ. Ví dụ 2.1: Cho một hệ thống vòng kín có sơ đồ khối nh− trên hình 2.1. Xác định xem hệ có ổn định hay không nếu chu kỳ lấy mẫu 1T s= . Hình 2.1. Hệ thống vòng kín trong ví dụ 2.1 Lời giải: Hàm truyền của hệ có dạng nh− sau ( ) ( ) ( ) ( )1 y z G z r z G z = + ở đây ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 2 1 1 2 2 11 4 4 1 1 2 2 1 TTp T z ee G z Z z Z z p p p p z z e − − − − −   −   −    = = − = −     + + − −           ( ) ( ) 2 2 2 1 T T e G z z e − − − = − Với 1T s= ta có ( ) 1,729 0,135 G z z = − Ta có ph−ơng trình đặc tính nh− sau σ jω 1 Mặt phẳng p Mặt phẳng z 1 Tp e p − − 4 2p + ( )r p ( )e p ( )*e p ( )y p ( ) 1,729 1,5941 1 0 0,135 0,135 z G z z z + + = + = = − − hay 1,594z = − nằm ngoài vòng tròn đơn vị nên hệ không ổn định Ví dụ 2.2: Xác định T sao cho hệ thống trên hình 2.1 là ổn định. Lời giải: Từ ví dụ 2.1 ta có hàm truyền ( )G z nh− sau ( ) ( ) 2 2 2 1 T T e G z z e − − − = − Ta có ph−ơng trình đặc tính nh− sau ( ) ( ) 2 2 2 2 2 1 3 2 1 1 0 T T T T e z e G z z e z e − − − − − − + + = + = = − − hay 2 3 2 T z e − = − Để hệ ổn định thì 23 2 1Tz e−= − < hay 1 2 ln 3 T   <     0,549T < Vậy hệ ổn định nếu chu kỳ lấy mẫu 0,549T s< 2.2. Tiêu chuẩn Jury Tiêu chuẩn Jury t−ơng tự nh− tiêu chuẩn Routh-Hurwitz đ−ợc sử dụng để phân tích ổn định của các hệ liên tục. Mặc dù tiêu chuẩn Jury có thể áp dụng cho các ph−ơng trình đặc tính với bậc bất kỳ nh−ng việc sử dụng tiêu chuẩn này sẽ trở nên phức tạp khi bậc của hệ thống là lớn. Để mô tả tiêu chuẩn Jury, chúng ta biểu diễn ph−ơng trình đặc tính bậc n nh− sau ( ) 11 1 0...n nn nF z a z a z a z a−−= + + + + (2.3) ở đây 0 n a > . Từ đây ta có thể xây dựng một dãy nh− bảng 2.1. Các phần tử của dãy này đ−ợc định nghĩa nh− sau: • Các phần tử của mỗi hàng chẵn là các phần tử cuối của hàng tr−ớc theo thứ tự ng−ợc • Các phần tử hàng lẻ đ−ợc định nghĩa nh− sau: 0 n k k n k a a b a a − = , 0 1 1 n k k n k b b c b b − − − = , 0 2 2 n k k n k c c c c c − − − = , ... Bảng 2.1. Các dãy của tiêu chuẩn Jury 0z 1z 2z ... n kz − ... 1nz − nz 0 a 1 a 2 a ... n k a − ... 1n a − na n a 1n a − 2n a − ... k a ... 1 a 0a 0 b 1 b 2 b ... n k b − ... 1n b − 1n b − 2n b − 3n b − ... 1k b − ... 0 b 0 c 1 c 2 c ... n k c − ... 2n c − 3n c − 4n c − ... 2k c − ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 0 l 1 l 2l 3l 3 l 2 l 1l 0l 0 m 1 m 2m Điều kiện cần và đủ để gốc của ph−ơng trình đặc tính nằm trong vòng tròn đơn vị là ( )1 0F > , ( ) ( )1 1 0n F− − > , 0 na a< (2.4) 0 1 0 2 0 1 0 2 ... ... n n n b b c c d d m m − − − > > > > (2.5) Khi áp dụng tiêu chuẩn Jury ta thực hiện các b−ớc sau: • Kiểm tra ba điều kiện (2.4) và dừng nếu một trong ba điều kiện này không đ−ợc thỏa mãn. • Xây dựng dãy các hệ số nh− bảng 2.1 và kiểm tra các điều kiện (2.5). Dừng lại nếu một trong các điều kiện này không đ−ợc thỏa mãn. Tiêu chuẩn Jury sẽ trở nên phứa tạp nếu bậc của hệ thống tăng lên. Đối với các hệ thống bậc 2 và 3 tiêu chuẩn Jury sẽ trở nên đơn giản hơn rất nhiều. Đối với hệ bậc 2 ta có ph−ơng trình đặc tính nh− sau ( ) 2 12 1 0F z a z a z a= + + Gốc của ph−ơng trình đặc tính sẽ không nằm trên hoặc bên ngoài vòng tròn đơn vị nếu ( )1 0F > , ( )1 0F − > , 0 2a a< Đối với hệ bậc 3 ta có ph−ơng trình đặc tính nh− sau ( ) 3 2 13 2 1 0F z a z a z a z a= + + + , ở đây 3 0a > Gốc của ph−ơng trình đặc tính sẽ không nằm trên hoặc bên ngoài vòng tròn đơn vị nếu ( )1 0F > , ( )1 0F − < , 0 3a a< , 0 3 0 1 3 0 3 2 det det a a a a a a a a     >        Sau đây chúng ta sẽ xét một số ví dụ. Ví dụ 2.3: Cho hàm truyền của một hệ thống có dạng nh− sau ( ) ( ) ( ) ( )1 y z G z r z G z = + ở đây ( ) 2 0,2 0,5 1,2 0,2 z G z z z + = − + Sử dụng tiêu chuẩn Jury để kiểm tra hệ có ổn định hay không. Lời giải: Ph−ơng trình đặc tính của hệ thống có dạng nh− sau ( ) 2 0,2 0,5 1 1 0 1,2 0,2 z G z z z + + = + = − + hay 2 0,7 0z z− + = áp dụng tiêu chuẩn Jury ta có ( )1 0,7 0F = > , ( )1 2,7 0F − = > , ( ) ( )0 20,7 1a a= < = Ví dụ 2.4: Cho ph−ơng trình đặc tính của một hệ thống có dạng nh− sau ( ) ( ) 2 0,2 0,5 1 1 0 1,2 0,2 K z G z z z + + = + = − + Xác định giá trị của K để hệ ổn định. Lời giải: Ph−ơng trình đặc tính của hệ thống là ( )2 0,2 1,2 0,5 0,2 0z z K K+ − + + = áp dụng tiêu chuẩn Jury ta có ( )1 0,7 0F K= > , ( )1 0,3 2, 4 0F K− = + > , 0,5 0,2 1K + < Hệ ổn định nếu 0 1,6K< < Ví dụ 2.5: Cho ph−ơng trình đặc tính của một hệ thống có dạng nh− sau ( ) 3 22 1,4 0,1 0F z z z z= − + − = Sử dụng tiêu chuẩn Jury để xét ổn định của hệ thống. Lời giải: áp dụng tiêu chuẩn Jury ta có ( )1 0,3 0F = > , ( )1 4,5 0F − = − < , 0,1 1< Vậy điều kiện thứ nhất của tiêu chuẩn Jury đ−ợc thỏa mãn. Mặt khác ta có 0 3 3 0 0,1 1 det det 0,99 0,99 1 0,1 a a a a −    = = − =    −   0 1 3 2 0,1 1, 4 det det 1,2 1,2 1 2 a a a a −    = = − =    −   Vậy 0 3 0 1 3 0 3 2 det det a a a a a a a a     <        Điều đó có nghĩa là điều kiện thứ hai của tiêu chuẩn Jury không đ−ợc thỏa mãn và do đó hệ không ổn định. 2.3. Tiêu chuẩn Routh-Hurwitz ổn định của một hệ thống dữ liệu lấy mẫu có thể đ−ợc phân tích bằng cách biến đổi ph−ơng trình đặc tính của hệ thống sang mặt phẳng p rồi áp dụng tiêu chuẩn Routh-Hurwitz. Khi đó ng−ời ta th−ờng sử dụng ph−ơng pháp Tustin và z đ−ợc thay thế nh− sau / 2 / 2 1 / 2 1 1 / 2 1 pT pT pT e pT w z e e pT w− + + = = ≈ = − − (2.6) ở đây / 2w pT= . Khi đó ph−ơng trình đặc tính của hệ thống ở dạng w nh− sau ( ) 1 21 2 1 0...n n nn n nF w b w b w b w b w b− −− −= + + + + + (2.7) Khi đó dãy Routh-Hurwitz đ−ợc thiết lập nh− sau: n w nb 2nb − 4nb − ... 1n w − 1nb − 3nb − 5nb − ... 2n w − 1c 2c 2c ... ... ... ... ... ... 1 w 1j 0 w 1k Hai hàng đầu của dãy Routh-Hurwitz đ−ợc xác định trực tiếp từ ph−ơng trình (2.7) còn các hàng khác đ−ợc tính nh− sau: 1 2 3 1 1 n n n n n b b b b c b − − − − − = , 1 4 5 2 1 n n n n n b b b b c b − − − − − = , 1 6 7 3 1 n n n n n b b b b c b − − − − − = , 1 3 1 2 1 1 n n c b b c d c − − − = , ... Tiêu chuẩn Routh-Hurwitz có nghĩa là số gốc của ph−ơng trình đặc tính ở bên phải mặt phẳng p bằng số lần đổi dấu của các hệ số của cột đầu của dãy. Do đó, hệ đ−ợc xem là ổn định nếu tất cả các hệ số trong cột đầu phải cùng dấu. Ví dụ 2.6: Cho ph−ơng trình đặc tính của một hệ thống điều khiển số có dạng nh− sau: 2 0,7 0z z− + = Sử dụng tiêu chuẩn Routh-Hurwitz để xét độ ổn định của hệ. Lời giải: Ph−ơng trình đặc tính trong mặt phẳng z có thể đ−ợc chuyển thành ph−ơng trình đặc tính trong mặt phẳng w có dạng nh− sau: 2 1 1 0,7 0 1 1 w w w w + +    − + =    − −    hay 2 2,7 0,6 0,7 0w w+ + = Ta có dãy Routh-Hurwitz có dạng nh− sau: 2 w 2,7 0,7 1 w 0,6 0 0 w 0,7 Từ dãy Routh-Hurwitz ta thấy các hệ số ở cột đầu tiên cùng dấu do đó hệ ổn định. Ví dụ 2.7: Một hệ thống điều khiển số có sơ đồ khối nh− trên hình 2.2. Sử dụng tiêu chuẩn Routh- Hurwitz để xác định giá trị của K để hệ ổn định với giả thiết 0K > và 1T s= Hình 2.2. Hệ thống vòng kín trong ví dụ 2.7 Lời giải: Ph−ơng trình đặc tính của hệ thống ( )1 0G p+ = , ở đây ( ) ( ) 1 1 Tp e K G p p p p − − = + Biến đổi z của ( )G p có dạng nh− sau: ( ) ( ) ( )1 21 1 K G z z Z p p −    = −   +   hay ( ) ( )( )( ) 0,368 0,264 1 0,368 K z G z z z + = − − Do đó ph−ơng trình đặc tính sẽ có dạng nh− sau: ( ) ( )( ) 0,368 0,264 1 0 1 0,368 K z z z + + = − − hay ( )2 1,368 0,368 0,368 0,264 0z z K− − + + = Biến đổi ph−ơng trình đặc tính sang mặt phẳng w ta có: 1 Tp e p − − ( )2 K p p + ( )r p ( )e p ( )*e p ( )y p ( )G p ( ) 2 1 1 1,368 0,368 0,368 0,264 0 1 1 w w K w w + +    − − + + =    − −    hay ( ) ( )2 2,736 0,104 1,264 0,528 0,632 0w K w K K− + − + = Từ ph−ơng trình trên ta có thể xây dựng đ−ợc dãy Routh-Hurwitz nh− sau: 2 w 2,736 0,104K− 0,632K 1 w 1,264 0,528K− 0 0 w 0,632K Để hệ ổn định các hệ số của cột thứ nhất phải cùng dấu dó đó 1,264 0,528 0K− > hay 2,4K < 2.4. Quỹ tích gốc (Root Locus) Quỹ tích gốc là một trong những ph−ơng pháp mạnh đ−ợc sử dụng để xét độ ổn định của các hệ thống vòng kín. Ph−ơng pháp này cũng đ−ợc sử dụng để thiết kế các bộ điều khiển với các đặc tính thời gian theo yêu cầu. Quỹ tích gốc là hình ảnh của quỹ tích các gốc của ph−ơng trình đặc tính khi hệ số khuyếch đại của hệ thống thay đổi. Các quy tắc quỹ tích gốc của hệ thống rời rạc cũng t−ơng tự nh− các quy tắc quỹ tích gốc của hệ liên tục bởi vì các gốc của ph−ơng trình ( ) 0Q z = trong mặt phẳng z t−ơng tự nh− gốc của ph−ơng trình ( )Q p trong mặt phẳng p. Trong phần này chúng ta sẽ tìm hiểu cách xây dựng quỹ tích gốc của các hệ thống điều khiển rời rạc qua các ví dụ. Cho hàm truyền của một hệ thống điều khiển kín có dạng nh− sau: ( ) ( )1 G z GH z+ Chúng ta có viết ph−ơng trình đặc tính nh− sau ( )1 0kF z+ = và quỹ tích gốc có thể đ−ợc vẽ khi giá trị của k thay đổi. Quy tắc xây dựng quỹ tích gốc có thể đ−ợc tóm tắt nh− sau: 1. Quỹ tích bắt đầu từ các cực (poles) của ( )F z và kết thúc tại các không (zeros) của ( )F z . 2. Quỹ tích gốc đối xứng qua trục thực. 3. Quỹ tích gốc bao gồm các điểm trên trục thực tới phần bên trái của số lẻ các cực và không. 4. Nếu ( )F z có các không ở vô cùng, quỹ tích gốc sẽ có các tiệm cận khi k → ∞ . Sô các tiệm cận bằng số các cực p n trừ đi số các không z n . Góc của các tiệm cận đ−ợc xác định nh− sau: 180 p z r n n θ = − , ở đây 1, 3, 5,...r = ± ± ± Giao của các tiệm cận tại σ với σ đ−ợc xác định nh− sau: σ = (Tổng các cực của ( )F z - Tổng các không của ( )F z )/( pn - zn ) 5. Điểm cắt xa trên trục thực của quỹ tích gốc là gốc của ph−ơng trình ( ) 0 dF z dz = 6. Trên một điểm của quỹ tích gốc, giá trị của k đ−ợc xác định nh− sau: ( )1 0kF z+ = hay ( ) 1 k F z = − Ví dụ 2.8: Một hệ kín có ph−ơng trình đặc tính có dạng nh− sau: ( ) ( )( )( ) 0,368 0,717 1 1 0 1 0,368 z GH z K z z + + = + = − − Vẽ quỹ tích gốc và từ đó xét độ ổn định của hệ thống. Lời giải: Các quy tắc để xây dựng quỹ tích gốc: 1. Ph−ơng trình đặc tính của hệ thống có thể đ−ợc viết d−ới dạng ( )1 0kF z+ = , ở đây ( ) ( )( )( ) 0,368 0,717 1 0,368 z F z z z + = − − Hệ thống có hai cực tại 1z = và 0,368z = . Hệ thống có hai zero, một tại 0,717z = − và một tại âm vô cùng. Quỹ tích sẽ bắt đầu tại hai cực và kết thúc ở hai zero. 2. Phần trên trục thực giữa 0,368z = và 1z = là trên quỹ tích. T−ơng tự, phần trên trục thực giữa z = −∞ và 0,717z = là trên quỹ tích. 3. Khi mà 1 p z n n− = , thì có một tiệm cận và góc của tiệp cận đó đ−ợc tính nh− sau: 0180 180 p z r n n θ = = ± − đối với 1r = ± Chú ý rằng nếu góc của tiệp cận là 0180± điều đó không có nghĩa là tìm đ−ợc điểm giao của các tiệm cận trên trục thực. 4. Các điểm tách rời có thể đ−ợc xác định từ ph−ơng trình sau: ( ) 0 dF z dz = hay ( )( ) ( )( )0,368 1 0,368 0,368 0,717 2 1,368 0z z z z− − − + − = 2 1,434 1,348 0z z+ − = Ph−ơng trình trên có các gốc tại 2,08z = − và 0,648z = . 5. Giá trị của k tại các điểm tách rời có thể đ−ợc xác định nh− sau: ( ) 2,08; 0,648 1 z z k F z =− = = − hay 15k = và 0,196k = Quỹ tích gốc có thể đ−ợc vẽ nh− trên hình 2.3. Ta thấy quỹ tích gốc là một vòng tròn bắt đầu từ các cực và tách ra tại 0,648z = sau đó lại hội với trục thực tại 2,08z = − . Tại điểm này một phần của quỹ tích dịch chuyển về phía cực 0,717z = − và một phần dịch chuyển về phía −∞ . -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 Root Locus Real Axis Im ag in ar y Ax is Hình 2.3. Quỹ tích gốc trong ví dụ 2.8. Hình 2.4 là hình ảnh của quỹ tích gốc với vòng tròn đơn vị đ−ợc vẽ trên cùng một trục. Hệ thống sẽ nằm ở biến giới ổn định nếu khi quỹ tích nằm trên vòng tròn đơn vị. Giá trị của k tại các điểm này có thể đ−ợc xác định theo tiêu chuẩn Jury hay tiêu chuẩn Routh-Hurwitz.