Bài giảng Nội suy và lấy xấp xỉ hàm số

Chương 2 NỘI SUY VÀ LẤY XẤP XỈ HÀM SỐ I. Nội suy. 1. Đặt vấn đề. - không biết biểu thức giải tích của hàm; y = f ( x ); biết giá trị của hàm tại một số hữu hạn điểm trên đoạn [ a, b] ( bằng đo đạc hoặc thực nghiệm): - Tìm giá trị của hàm số tại một số điểm trung gian khác. Bài toán nội suy: - φ( x ) – hàm nội suy của f( x ) trên đoạn [a, b]. Ý nghĩa hình học: xây dựng đường cong y = φ( x ) đi qua các điểm cho trước (xi, yi), I = 0, 1, . . . , n. 2. Đa thức nội suy. Thường chọn đa thức làm hàm nội suy vì: Đa thức là loại hàm đơn giản; - Luôn có đạo hàm và nguyên hàm; - Việc tính giá trị của chúng đơn giản. - Cho giá trị tương ứng của hàm y = f( x ) tại các nút: - Cần xây dựng một đa thức bậc n: Pn( x ) = aoxn + a1xn-1 + . . . + an-1x + an. Pn(xi) = yi ; i= 0, 1, 2, . . . , n. Bài toán: ( 1 ) Đa thức nội suy có thể xây dựng theo nhiều cách nhưng do tính duy nhất nên các dạng của nó đều có thể quy về nhau. 3. Đa thức nội suy Lagrăng. li(x) – đa thức bậc n Pn(x) – đa thức bậc n ( 2 ) – đa thức nội suy Lagrăng. Có dạng P1(x) = Ax + B - bậc nhất đối với x. */ Nội suy bậc 2. ( n = 2 ) P2(x) có dạng : P2(x) = Ax2 + Bx + C - bậc 2 đối với x. */ Sai số nội suy. Định lý. Nếu hàm f(x) liên tục trên [a, b] và có trong [a, b] đạo hàm liên tục đến cấp n+1 thì sai số nội suy rn(x) =f(x) – Pn(x) có biểu thức: ([a, b] - khoảng chứa các nút xi) Ưu điểm của đa thức nội suy Lagrăng : đơn giản; - Nhược điểm : thêm một nút thì phải tính lại toàn bộ. 4. Đa thức nội suy Niutơn. a/ Sai phân hữu hạn. y = f(x) có giá trị yi = f(xi) tại các nút xi cách đều nhau với xi+1 – xi = h = const; i = 0, 1, 2, . . ., n Định nghĩa sai phân hữu hạn của hàm y = f(x): Δnyi = Δ(Δn-1yi) = Δn-1yi+1 –Δn-1yi; Sai phân cấp n là sai phân của sai phân cấp n-1: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . b/ Đa thức nội suy Niutơn tiến (nội suy về phía phải). - x = xo ao = Pn(xo) = yo; - x = x2 Đổi biến, đặt Thường dùng để tính các giá trị của hàm ở gần xo đầu bảng. 3/ Đa thức nội suy Niutơn lùi (nội suy về phía phải) Ưu điểm của công thức nội suy Niutơn: thêm nút chỉ cần thêm số hạng, không cần phải tính lại. Để thuận tiện tính toán thường lập bảng sai phân đường chéo. Bảng sai phân đường chéo của công thức nội suy tiến 4/ Sai số của phép nội suy Niutơn. - Với công thức nội suy tiến: - Với công thức nội suy lùi: II. Lấy xấp xỉ hàm số. Phương pháp bình phương nhỏ nhất. 1. Đặt vấn đề. */Lấy xấp xỉ bằng các đa thức nội suy có những nhược điểm: - Không thật phù hợp nếu f(x) là hàm tuần hoàn. */ Thường có nhu cầu “làm trơn” các đường cong thực nghiệm, hoặc biểu diễn các quan hệ thực nghiệm dưới dạng một hàm số đã biết nào đó, ví dụ: y = a + bx; y = a + bx + cx2; y = a + bcosx + csinx; y = aebx ; y = axb; . . . Lấy xấp xỉ một hàm số là tìm một hàm số khác hoặc một tổ hợp các hàm số khác mà sai khác với hàm số đã cho đủ bé theo một nghĩa nào đó. 2. Lấy xấp xỉ bằng phương pháp bình phương nhỏ nhất. - Cho hàm số f(x) và đa thức: - hệ các hàm số nào đó của x; Q(x) – đa thức xấp xỉ của f(x). ( b ) là một đa thức đại số thông thường. Phương pháp thường dùng khi lấy xấp xỉ[ xác định các hệ số của ( a ) hoặc ( b ) ] là phương pháp bình phương nhỏ nhất. Nội dung của phương pháp bình phương nhỏ nhất là tìm cực tiểu của hàm f(xi), i = 0, 1, . . ., n là những giá trị đã biết của f(x) trên tập điểm xo, x1, . . ., xn. Coi các hệ số Ck là các ẩn phải tìm, để M cực tiểu phải có: Từ ( d ) tìm được các hệ số Ck. 3. Một số trường hợp thường gặp. a/ Đa thức xấp xỉ được chọn dưới dạng các hàm tuyến tính. */ Q(x) = ax + b Để M bé nhất: Để thuận tiện tính toán thường lập bảng: */ Q(x) = ax2 + bx + c. b/ Đa thức xấp xỉ là những hàm phi tuyến. Trong nhiều trường hợp có thể tuyến tính hoá để việc tính toán thuận lợi: với a > 0; Lấy logarit thập phân cả 2 vế: Chuyển bảng số liệu thực nghiệm sang quan hệ giữa Xi và Yi để tìm A, B. Sau đó a = 10A; b = B/loge. */ y = axb ( a > 0). Chuyển bảng số liệu sang quan hệ của Xi và Yi để tìm A, B. 2/ Cho quan hệ thực nghiệm: Biểu diễn mối quan hệ đó bằng hàm bậc 2 y = a + bx + cx2 Xác định các hệ số a, b, c theo p/p bình phương nhỏ nhất. 1 2 3 4 5 15 9,8 17,2 25,8 37,1 49,7 139,6 1 4 9 16 25 55 1 16 81 256 625 979 9,8 68,8 232,2 593,6 1242,5 2146,9 1 8 27 64 125 225 Hệ phương trình: ( a ) 9,8 34,4 77,4 148,4 248,5 518,5