Bài giảng môn Toán - Về Tích phân xác định

Nội dung --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2 – Tích phân xác định. 3 – Tích phân suy rộng. 4 – Ứng dụng của tích phân. I. Tích phân xác định Bài tốn Tìm diện tích S miền phẳng giới hạn bởi đường cong: , trục hồnh, hai đường thẳng x = a và x = b. ( )y f x Chia S một cách tùy ý ra làm n miền con: S1, S2, , Sn. Xấp xỉ mỗi miền con S1, S2, , Sn bằng các hình chữ nhật Hình dưới là các trường hợp chia thành 2 và 4 phần. Hình dưới là các trường hợp chia thành 8 và 12 phần. n càng lớn, diện tích tính được càng chính xác. Trên mỗi miền S1, S2, , Sn lấy tùy ý một điểm Ta cĩ 1 2 ... nS S S S    * * * 1 1 0 2 2 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ... ( ) ( )n n nS f x x x f x x x f x x x           * 1 ( ) n i i i S f x x    max( ) 0 1 lim ( ) ( ) i bn i i x i a S f x x f x dx              Nếu giới hạn tồn tại khơng phụ * 0 1 lim ( ) i n i i x i I f x x            thuộc cách chia S và cách lấy điểm , thì gọi là * ix I tích phân xác định của hàm y = f(x) trên đoạn [a,b] và Ví dụ Tìm diện tích S miền phẳng giới hạn bởi đường cong: , trục hồnh, hai đường thẳng x = 0 và x = 1. 2y x Chia S thành 4 miền, và chọn điểm trung gian bên trái Chia S thành 4 miền, và chọn điểm trung gian bên phải 8 miền con (chọn điểm trung gian bên trái, bên phải) 10 miền con (chọn điểm trung gian bên trái, bên phải) 30 miền con (chọn điểm trung gian bên trái, bên phải) 50 miền con (chọn điểm trung gian bên trái, bên phải) Bảng thống kê một vài giá trị của Ln và Rn 1. - b a dx b a Tính chất 2. ( ) ( ) ( ) ; b c b a a c f x dx f x dx f x dx a c b       3. ( ) ( ) ( ) ( ) b b b a a a f x g x dx f x dx g x dx            0 05. , ( ) 0 , ( ) 0 & x a b f x x a b f x      4. Nếu , thì ( ) ( ) b b a a f x dx g x dx   , ( ) ( )x a b f x g x   ( ) 0 b a f x dx      0 0 06. , ( ) ( ) , ( ) ( ) & x a b f x g x x a b f x g x      Tính chất 7. Nếu f(x) khả tích trên [a,b], thì | f | khả tích trên [a,b]: ( ) ( ) b b a a f x dx g x dx  ( ) ( ) b b a a f x dx g x dx  8. Nếu f(x) khả tích trên [a,b], thì ( ) ( ) ; ( ) ( ) x b a x F x f t dt G x f t dt   là những hàm liên tục trên đoạn này.  9. ( ) ( ) 0 lẻ a a f x f x dx   Tính chất   0 10. ( ) ( ) 2 ( ) chẵn a a a f x f x dx f x dx      0 11. ( ) ( ) ( ) tuần hoàn chu kỳ T a T a a f x f x dx f x dx    Ví dụ Tính 2008 0 sin(2008 sin )I x x dx    Hàm liên tục, tuần hồn chu kỳ và hàm lẻ: 2008T  1004 1004 sin(2008 sin ) tuần hoàn T I x x dx     0 lẻ  ( ) ( ) ( ) ( ) b b a a f x dx F x F b F a   Cơng thức Newton - Leibnitz Nếu f(x) liên tục trên [a,b], thì với mọi nguyên hàm F(x) ' ( ) ( ) x a f t dt f x        Cơng thức Đạo hàm theo cận trên Nếu f(x) liên tục trên [a,b], thì với mọi nguyên hàm F(x) ' ( ) '( ) ( ) ( ) x a f t dt f x x           Hai phương pháp tính tích phân xác định Đổi biến Nếu f(x) liên tục trên (a,b), xác định và liên tục '( ), ( ) t t  trong khoảng , ngồi ra  1 2,t t  1 2( , ) ( )t t t a t b    2 1 '( ) ( ( )) ( ) tb a t f x dx f t t dt   Khi đĩ: 1 2( ) , ( )t a t b  trong đĩ Hai phương pháp tính tích phân xác định Từng phần b b b a a a udv uv vdu   Nếu u(x), v(x) cùng với các đạo hàm liên tục trên [a,b], Chứng minh. Ví dụ Tích phân nào lớn hơn / 2 / 2 3 7 0 0 sin , sinI xdx J xdx         7 30, / 2 sin sinx x x   / 2 / 2 7 3 0 0 sin sinxdx xdx      Ví dụ Chứng minh 1 19 2 0 1 1 2020 2 1 x dx x       19 19 19 2 (0,1) : 2 1 x x x x x      tích phân hai vế ta cĩ biểu thức cần chứng minh Ví dụ Tính giới hạn của dãy 5 5 5 6 1 2 n n S n    Xét hàm trên đoạn [0,1]. 5( )f x x Chia đoạn [0,1] ra thành n phần bằng nhau, mỗi phần cĩ độ dài 1/n. Trên mỗi đoạn con chọn điểm 1 , k k n n      k n lim n n S  1 1 lim n n k k f n n          5 5 5 5 1 1 2 lim n n n n         1 0 ( )f x dx 1 6 0 1 lim 6 6 n n x S    Ví dụ Tính 1 1 1 lim 1 2x n n n n           Xét hàm trên đoạn [0,1]. ( ) 1/(1 )f x x  Chia [0,1] ra thành n phần bằng nhau, cĩ độ dài 1/n. Trên mỗi đoạn con chọn điểm 1 , k k n n      k n 1 1 lim n n k k f n n          1 1 1 1 lim 1 1/ 1 2/ 1 /n n n n n n           1 0 ( )f x dx 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1/ 1 2/ 1 /n n n n n n n n n                  1 0 ln 2 1 dx x    Ví dụ Tính 2 0 0 cos lim x x t dt I x   Nhận xét 02 0 cos 0 x x t dt  Tích phân trên cĩ dạng vơ định , dùng qui tắc Lơpital 0 0   ' 2 0 ' 0 cos lim x x t dt I x        2 0 cos lim cos0 1. 1x x     Ví dụ Tính sin 0 tan 0 0 tan lim sin x x x tdt I tdt     Nhận xét sin tan 0 0 0 0 tan 0, sin 0 x x x x tdt tdt      Tích phân trên cĩ dạng vơ định , dùng qui tắc Lơpital 0 0 ' sin 0 ' 0 tan 0 tan lim sin x x x tdt I tdt                20 tan(sin ) cos lim sin(tan ) (1/ cos )x x x x x    1. Ví dụ Tính 2 0 2 (arctan ) lim 1 x x t dt I x    Nhận xét 2 0 (arctan ) x x t dt  Tích phân trên cĩ dạng vơ định , dùng qui tắc Lơpital     ' 2 0 ' 0 2 (arctan ) lim 1 x x t dt I x          2 21 arctan lim x x x x    2 4   I. Tính các tích phân sau 37 3 2 0 1) 1 x dx x   4 2 7 2) 9 dx x   ln3 0 3) 1x dx e   1 cos(ln ) 4) e x dx x  1 1 5) 1xe dx   sin1 141 20 3 2ln 4 7 2 1 ln 3( 2 1)   1 2e e   I. Tính các tích phân sau 1 15 8 0 6) 1 3x x dx   / 4 3 0 cos2 7) sin cos 2 x dx x x     / 6 2 0 cos 8) 6 5sin sin x dx x x     / 2 0 cos 9) 7 cos2 x dx x    6/ 2 6 6 0 sin 10) sin cos x dx x x    29 270 2 3 2 2 3 -1 18   10 ln 9 2 12  4  / 4 6 0 11) tan xdx   1 2 0 13) 2 1 dx x x    1/3 2 0 14) cosh 3xdx 3 0 15) arcsin 1 x dx x   / 4 3 0 12) cos dx x   2 5 ln 1 2   1 1 sinh 2 12 6  4 3 3   13 15 4   2 2 2 ln 2 2     / 2 4 4 0 16) cos2 sin cosx x x dx     2 1/ 1/ 2 18) 1 1/ x xx x e dx  1 0 19) arcsin xdx 1 20) 1 ln e dx x x   1 2 0 ln(1 ) 17) (1 ) x dx x    5/ 23 2 e 4  2 2 1 ln 2 8  0 1 1 2 2) 1 1 1 n n n n n            2 2 2 1 2 2 1 3) n n n n     /n 1 2 5) 1/ k n k n k   1 2 ( 1) 1) sin sin sin n n n n n            2 2 2 1 3  6  1 ln 2 2  II. Tính giới hạn của các dãy sau 2 2 2 2 2 1 1 1 4) 4 1 4 2 4n n n n       2 32 4 3) 1 x x d dt dx t       2 2 0 1) 1 xd t dt dx       cos 3 sin 4) cos x x d t dt dx        II. Tính các đạo hàm sau 21 2) t x d e dt dx      