Bài giảng môn Toán - Tích phân bất định

Nội dung --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 1 – Tớch phõn bất định. 2 – Tớch phõn xỏc định. 3 – Tớch phõn suy rộng. 4 – Ứng dụng của tớch phõn. I. Tớch phõn bất định Hai nguyờn hàm sai khỏc nhau một hằng số. ( ) ( )f x dx F x C  Định nghĩa Hàm số y = F(x) được gọi là nguyờn hàm của hàm hàm trong [a,b], nếu y = F(x) liờn tục, cú đạo ( )y f x tại mọi điểm thuộc đoạn [a,b] và . '( ) ( )F x f x Tập hợp tất cả cỏc nguyờn hàm của y = f(x) được gọi là tớch phõn bất định của hàm y = f(x), ký hiệu I. Tớch phõn bất định   ' 1. ( ) ( )f x dx f x Tớnh chất  2. ( ) ( )d f x dx f x dx 3. Nếu f(x) là hàm khả vi, thỡ '( ) ( )f x dx f x C  4. Nếu f(x) là hàm khả vi, thỡ ( ) ( )df x f x C  5. ( ) ( ) f x dx f x dx    6. ( ) ( ) ( ) ( ) f x g x dx f x dx g x dx     1. sinh coshxdx x c  Tớch phõn của một số hàm cơ bản 2 2. tanh cosh dx x c x   cosh sinhxdx x c  2 coth sinh dx x c x    2 2 1 3. arctan dx x c a ax a    2 2 4. arcsin arccos dx x x c c a aa x       2 22 25. ln dx x x a C x a      0a  Phương phỏp đổi biến ' ( ) ( ( )) ( ) ( ) t x f x x dx f t dt        Nếu tồn tại hàm hợp và hàm liờn tục ( ( ))f x ( )t x trờn đoạn [a,b] và khả vi trong khoảng (a,b), thỡ Nếu tồn tại hàm hợp của hàm , thỡ ( )t x1( )x t 1 ' ( ) ( ) ( ( )) ( ) x t f t dt f x x dx        1 ' ( ) ( ) ( ( )) ( ) t x f x dx f t t dt        Vớ dụ Tớnh sin dx I x   sin dx I x   2 sin sin xdx x   1 2 1 1           dt dt t t Vớ dụ Tớnh 2 ln(arccos ) 1 arccos x dx I x x     2 cos 1 cos d x x    21 dt t    ln tan 2        x C 1 1 cos ln 2 1 cos        x C x ln(arccos )t x 21 arccos dx dt x x     2 ln(arccos ) 1 arccos x dx I x x     2 2 t tdt C     21 ln arccos 2 x C  Phương phỏp tớch phõn từng phần. Giả sử hai hàm liờn tục trờn đoạn [a,b] ( ), ( )u u x v v x  và khả vi trong khoảng (a,b). Nếu tồn tại , thỡ tồn tại . Ngoài ra: 'v u dx 'u v dx ' 'u v dx u v v u dx      u dv u v v du       Phương phỏp tớch phõn từng phần.  ( )lnnP x ax dx đặt  ln dx u ax du x    ( ) ( )n ndv P x dx v P x dx    ( ) axnP x e dx  ( ) cosnP x ax dx  ( ) sinnP x ax dx  đặt ( )nu P x dv  phaàn coứn laùi. ( ) arcsinnP x ax dx  ( ) arccosnP x ax dx  ( ) arctannP x ax dx   ( ) arccotnP x ax dx  Vớ dụ Tớnh 2arccosI xdx  arccosu x 21 dx du x     Đặt 2 2 2arccos arccos 1 xdx u x du x      dv dx v x   2 2 2 arccos arccos 1 x x I x x dx x       2 1arccosx x I  2 1 1 arccosI x x dx     21 xdx dv x   2 2 1 1 xdx v x C x         2 21 arccosx x x C     Tớch phõn của hàm hữu tỷ ( ) ( ) n m P x dx Q x cỏc đa thức bậc n và m với hệ số thực. ,n mP Q 1. Chia tử cho mẫu, đưa về tớch phõn phõn thức đỳng. 2. (Đại số). Mẫu là đa thức với hệ số thực, phõn tớch ra thừa số bậc nhất và bậc hai.        11 2 21 1 1( ) ... vk t tss m k v vQ x x a x a x p x q x p x q        Tớch phõn của hàm hữu tỷ. 3. Phõn tớch:     11 21 1 1 ( ) ( ) ( ) n n ts m P x P x Q x x a x p x q           1 1 1 2 2 1 1 1 s s AA A x a x a x a              1 1 1 1 1 2 2 22 2 2 1 1 1 1 1 1 t t t B x CB x C B x C x p x q x p x q x p x q             4. Qui đồng, đồng nhất hai vế, giải tỡm cỏc hệ số. 5. Đưa tớch phõn cần tớnh về cỏc tớch phõn cơ bản sau. Tớch phõn của hàm hữu tỷ.    1 1 , 1 ( ) 1. 1 n n dx C n x a n x a           2 2 2 2 2 2 2 . Mx n dx M x p Mp dx dx N x px q x px q x px q                    2 2 3. n n dx I x a     2 2 1 n u x a     1 2 2 2 n nxdx du x a      dv dx v x       2 1 2 2 2 2 2n n n x x dx I n x a x a       Tớch phõn của hàm hữu tỷ.       2 2 2 1 2 2 2 2 2n n n x a a dxx I n x a x a               2 1 2 2 2 2 2 2 2 2n n n n x dx dx I n na x a x a x a            2 1 2 2 2 2n n nn x I nI na I x a     Hệ thức truy hồi:    1 2 2 2 1 2 1 2 n nn x I n I na x a            1 2 2 1 arctan dx x I C a ax a     Vớ dụ Tớnh 3( 2) dx I x   3 ( 2) ( 2) d x I x    3( 2) ( 2)x d x     3 1 2 1 1 2 2 2( 2) x C C x           2 2( 1) 2 dx I x      2 2 1 ( 1) 2 d x x     Vớ dụ Tớnh 2 2 5 dx I x x    1 1 arctan 2 2 x C    Vớ dụ Tớnh ( 4) ( 2)( 1) x dx I x x     4 ( 2)( 1) 2 1 x A B x x x x        2 2 1 dx dx I x x      Qui đồng, đồng nhất hai vế, tỡm được A = 2, B = -1. 2ln( 2) ln( 1)x x C     2( 2) ln 1 x C x     Chỳ ý. Cỏch tỡm hệ số A, B trong (*) nhanh: (*) Để tỡm A, nhõn hai vế (*) cho (x – 2) rồi thay x = 2 vào. Để tỡm B, nhõn hai vế (*) cho (x +1) rồi thay x = -1 vào. Vớ dụ Tớnh 3 2 2 2 2 5 1 ( 3)( 1) x x x I dx x x x        3 2 2 2 2 2 2 5 1 ( 3)( 1) 3 1 x x x Ax B Cx D x x x x x x              Qui đồng, đồng nhất, tỡm cú: A = 0, B = 1, C = 2, D = 0. 2 2 2 3 1 dx xdx I x x x       21 2 2 1arctan ln( 1) arctan 3 3 3 3 x x x x C          2 2 2 1 1 3 1 xdx dx x x x         Vớ dụ Tớnh 2 2 2 2 4 8 ( 1) ( 1) x x I dx x x         2 2 2 2 2 2 2 ( ) 1( 1) ( 1) 11 1 P x A B Cx D Ex F xx x xx x           Tỡm được: A = 2, B = -1, C = -2, D = -1, E = -2, F = 4.       2 2 2 2 2 2 ( 2 4) 2 4 1 1 1 x dx xdx dx x x x              2 2 2 4 1 dx I x   Dựng hệ thức truy hồi, tớnh qua 1.I (*) Thay x = -1, cõn bằng phần thực, ảo: E = -2, F = 4. Để tỡm cỏc hệ số A, B, C, nhanh, cú thể sử dụng khai triển Heaviside: tham khảo bài giảng Hàm phức toỏn tử, giảng viờn Đặng Văn Vinh. Từ , ta cú: (*) 2 2 2 2 24 8 ( 1)( 1) ( 1)x x A x x B x       2 2 2( )( 1) ( 1) ( )( 1)Cx D x x Ex F x       Thay x = 1, tỡm được B = -1. Đạo hàm 2 vế, chỉ quan tõm số hạng khỏc 0 khi x = i Thay x = i, tỡm được C= -2, D = -1. Tớch phõn của hàm hữu tỷ: Phương phỏp Ostrogradskii 1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) P x P x P x dx dx Q x Q x Q x    đa thức chỉ cú nghiệm đơn là nghiệm của Q(x), 2( )Q x 1 2 ( ) ( ) ( ) Q x Q x Q x  là hai đa thức với cỏc hệ 1 2( ), ( )P x P x số cần tỡm, cú bậc tương ứng nhỏ 1 2( ), ( ).Q x Q xhơn bậc của Để tỡm cỏc hệ số của , đạo hàm hai vế (*), 1 2( ), ( )P x P x (*) Qui đồng, đồng nhất hai vế, tỡm cỏc hệ số. Vớ dụ Tớnh 2 2 2 2 4 8 ( 1) ( 1) x x I dx x x     Sử dụng phương phỏp Ostrogradskii 2 1 2 2 2 2 1 2 4 8 ( 1) ( 1) x x P P I dx dx Q Qx x        2 2 ( 1)( 1)Q x x   2 2P ax bx c    bậc nhỏ hơn bậc Q2 2 1 2( 1)( 1) /Q x x Q Q    2 1P Ax Bx C    (*) Đạo hàm hai vế (*) ' 2 1 2 2 2 2 1 2 4 8 ( 1) ( 1) x x P P Q Qx x          Đồng nhất hai vế, tỡm A, B, C, a, b, c. Tớch phõn của hàm vụ tỷ 1 2 1 2 , , , p p q qax b ax b R x dx cx d cx d                      Cỏch giải: đổi biến ,n ax b t cx d    n là Bội số chung nhỏ nhất của 1 2, ,...q q Vớ dụ Tớnh 42 1 2 1 dx I x x      Đổi biến: 42 1x t  32 4dx t dt  3 2 2t dt I t t   22 1 t dt t   1 2 1 1 t dt t         2 2 ln | 1|t t t C     Vớ dụ Tớnh 2 63 3 1 ( 1) 1 ( 1)(1 1) x x x I dx x x           Đổi biến: 61x t  56dx t dt  6 4 5 6 2 ( ) 6 (1 ) t t t t dt I t t     3 2 6 6 1 dt t dt t     3 2 63 6arctan 2 x x C   Tớch phõn của hàm vụ tỷ: Tớch phõn Euler 2,R x ax bx c dx     Cỏch giải: Đổi biến Euler 20:a ax bx c ax t      20, 4 0a b ac   20:c ax bx c xt c      2 1( )ax bx c x x t     Trong đú x1 là một nghiệm thực của 2 0ax bx c   Vớ dụ Tớnh 2 2 1 1 1 x x I dx x x x        Tớch phõn Euler: Đổi biến: 2 2 21 2 1x x t x tx       2 2 2 1 2 1 t t dx dt t      2 2 1 1 t x t     2 2 1 t I dt t    2ln 1 t C   21 1x x tx    2 2 2 1 1 1 t t x x t       21 1 x x t x       2 21 1 ln 1 x x C x             Tớch phõn của hàm vụ tỷ: Tớch phõn Trờbưsev   p m nx ax b dx a, b: số thực, m, n, p: hữu tỷ, tất cả cỏc số khỏc 0. Trường hợp 1: là số nguyờn. p Đặt , với N là BSC nhỏ nhất của mẫu của m và n Nx t Đặt , với s là mẫu của p. n sax b t  Trường hợp 2: là số nguyờn. 1m n  Đặt , với s là mẫu của p. n sa bx t  Trường hợp 3: là số nguyờn. 1m p n   Vớ dụ Tớnh 2 3 53 ( 2) dx I x x    Tớch phõn Trờbưsev:   5/3 2 3 2I x x dx    2, 3, 5/3m n p     1 2 1 5 2 3 3 m p Z n           Đổi biến: 3 31 2x t  4 26 3x dx t dt  5 3 5/3 3 2 4 42. . x I x x x x x x d           3 4 5/3 3 3 2. x x dx x x            23 51 2 2 tt t dt      3 1 1 4 t dt    Vớ dụ Tớnh  3 61 dx I x x    Tớch phõn Trờbưsev:   1 1/3 1/ 61I x x dx    1/3, 1/6, 1m n p     p Z  Đổi biến: 6x t 56dx t dt    12 5. 1 6I t t t dt   3 6 1 t dt t   BSCNN của mẫu m, n là 6  2 16 1 6 1 t t dt dt t       Vớ dụ Tớnh 3 41 x I dx x    Tớch phõn Trờbưsev:   1/3 1/ 2 1/ 41I x x dx  1/ 2, 1/ 4, 1/3m n p    1 1/ 2 1 2 1/ 4 m Z n        Đổi biến: 1/ 4 31 x t  3/ 4 2 1 3 4 x dx t dt  BSCNN của mẫu m, n là 4   1/3 1/ 2 13/ 4 3/4 4/1I x x x dxx       1/ 4 3 1x t     1/3 1/ 4 1/ 4 3/ 41 xx x dx   3 24 1 3I t t t dt      6 34 3 3t t dt  Tớch phõn của hàm lượng giỏc  sin ,cosR x x dx Cỏch giải chung: đặt 2arctanx t   tan , , 2 x t x           2 2 1 dt dx t      2 2 2 2 2 1 sin ,cos 2 , 1 1 1 t t dt R x x dx R t t t            2 2 2 2 1 sin ,cos 1 1 t t x x t t      Tớch phõn hàm hữu tỷ Trong nhiều trường hợp, cỏch giải trờn rất cồng kềnh. Trong đú: R(u,v) là hàm hữu tỷ theo biến u, v. Vớ dụ Tớnh 3sin 4cos 5 dx I x x    Đổi biến:  tan( / 2), , t x x     2 2 2 6 4(1 ) 5(1 ) dt I t t t      2 2 1 dt dx t    2 2 2 2 1 sin ,cos 1 1 t t x x t t      2 2 6 9 dt t t    22 ( 3) ( 3)t d t   2 3 C t     2 tan( / 2) 3 C x     Tớch phõn của hàm lượng giỏc  sin ,cosR x x dx 1)    sin ,cos sin ,cosR x x R x x   đặt cos , , 2 2 t x x         2)    sin , cos sin ,cosR x x R x x   đặt  sin , 0,t x x   3)    sin , cos sin ,cosR x x R x x   đặt tan , , 2 2 t x x         4) sin cos p qx x dx  đặt hoặc sint x cost x Hoàn toàn tương tự cho cỏc hàm Hyperbolic: coshx, sinhx Vớ dụ Tớnh 2 3 (2sin 3cos ) sin cos 9cos x x dx I x x x    Đổi biến:  tan( ), / 2, / 2 t x x     2 (2 tan 3) (tan ) tan 9 x d x I x    2ln( 9) arctan 3 t t C       sin , cos sin ,cosR x x R x x   2cos dx dt x   Chia tử và mẫu cho 3cos x 2 2 3 9 t dt t    2 2 2 2 3 9 3 t dt dt t t      2 tanln(tan 9) arctan 3 x x C    Đổi biến: Vớ dụ Tớnh 3 8cos sinI x xdx  sint x cosdt xdx   2 8cos sin cosI x x xdx      2 81 sin sin cosx x xdx  2 8(1 )t t dt  9 11 9 11 t t C   9 11sin sin 9 11 x x C   Vớ dụ Tớnh 2sin cos dx I x x    2 2 2 sin cos sin cos x x dx I x x    2 sin sincos xdx dx xx    2 2 (cos ) (cos ) cos 1 cos d x d x x x      1 1 1 cos ln cos 2 1 cos x C x x      Vớ dụ Tớnh 2 3(sinh cosh )I x x dx  Đổi biến: sinh( )t x 2 2(sinh cosh )(cosh )I x x xdx     sinh , cosh sinh ,coshR x x R x x    coshdt xdx  2 2( 1)t t dt  6 3 6 3 t t C   2 2(sisinh (cosh )nh 1)xx xdx  6 3sinh sinh 6 3 x x C   Tớch phõn của hàm lượng giỏc 1 1sin cos sin cos a x b x I dx a x b x    Phõn tớch     ' 1 1sin cos sin cos sin cosa x b x A a x b x B a x b x     Đồng nhất hai vế: ( )cos ( )sinAa Bb x Ab aB x    1 1 Ab aB a Aa Bb b      giải tỡm A, B. '( sin cos ) sin cos A a x b x dx I Bdx a x b x      ln( sin cos )A a x b x Bx C    Vớ dụ Tớnh (2sin 3cos ) sin 4cos x x dx I x x    Phõn tớch: '2sin 3cos (sin 4cos ) (sin 4cos )x x A x x B x x     2sin 3cos ( 4 )sin (4 )cosx x A B x A B x     4 2 4 3 A B A B      1 1/ 4 A B      (sin 4cos ) (sin 4cos ) ' sin 4cos sin 4cos A x x B x x I dx dx x x x x        (sin 4c sin 4c o o s s )x xBd I A dx x x        ln sin 4cosAx B x x C    Tớch phõn của hàm lượng giỏc 1 1 1sin cos sin cos a x b x c I dx a x b x c      Phõn tớch     ' 1 1 1sin cos sin cos sin cosa x b x c A a x b x c B a x b x c C         Đồng nhất hai vế:  ( )cos ( )sinAa Bb x Ab aB x Bc C      1 1 1 Ab aB a Aa Bb b Bc C c         giải tỡm A, B, C. ln( sin cos ) sin cos Cdx I A a x b x c Bx a x b x c        Tớch phõn cuối tớnh bằng cỏch đổi biến chung: t = tan(x/2) Vớ dụ Tớnh (2sin cos 3) 3sin 4cos 5 x x dx I x x      Phõn tớch: '2sin cos 3 (3sin 4cos 5) (3sin 4cos 5)x x A x x B x x C         2sin cos 3 (3 4 )sin (4 3 )cos (5 )x x A B x A B x A C        3 4 2 4 3 1 5 3 A B A B A C          2/5 1/5 1 A B C        (3sin 4cos 5) 3sin 4cos 5 3sin 4cos 5 d x x Cdx I A dx B x x x x            1ln(3sin 4cos 5)I Ax x x I     với đó tớnh ở vớ dụ trước 1I Tớch phõn của hàm Hyperbolic  sinh ,coshR x x dx Cỏch giải chung: đặt tanh 2 x t          2 2 2 2 2 1 sinh ,cosh 2 , 1 1 1 t t dt R x x dx R t t t            2 2 2 2 1 sin ,cos 1 1 t t x x t t      Tớch phõn hàm hữu tỷ Trong nhiều trường hợp, đặt t = sinhx, t = coshx, t = tanhx. Trong đú: R(u,v) là hàm hữu tỷ theo biến u, v.