Bài giảng môn Toán - Qui tắc L’Hôpital

Nội dung --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 1 – Khai triển Taylor, Maclaurint. 2 – Qui tắc Lôpital. 3 – Khảo sát, vẽ đồ thị hàm số. Định lý 1 Cho hai hàm số y = f(x), y =g(x), thỏa: 0 0 ' ' ( ) ( ) lim lim ( ) ( )x x x x f x f x g x g x   II. Qui tắc L’Hôpital 1) Xác định trong lân cận của điểm x0 và . 0 0( ) ( )f x g x 2) Tồn tại đạo hàm hữu hạn ' ' 0 0( ), ( ) 0.f x g x  Khi đó: 0 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) lim lim ( ) ( )( )x x x x f x f x x xf x g x g xg x x x        0 ' ' ( ) lim ( )x x f x g x  Định lý 2 (Qui tắc L’Hôpital ) Cho hai hàm số y = f(x), y =g(x), thỏa: 1) Khả vi trong khoảng (a,b). 2) '( , ) : ( ) 0.x a b g x   3) Tồn tại lim ( ) lim ( ) 0 x a x a f x g x     4) Tồn tại hữu hạn hay vô hạn. ' ' ( ) lim ( )x a f x g x ' ' ( ) ( ) lim lim ( ) ( )x a x a f x f x g x g x  Khi đó tồn tại và ( ) lim ( )x a f x g x 0 0 Định lý 2 (Qui tắc L’Hôpital ) Cho hai hàm số y = f(x), y =g(x), thỏa: 1) Khả vi trong khoảng (a,b). 2) '( , ) : ( ) 0.x a b g x   3) Tồn tại lim ( ) lim ( ) x a x a f x g x      4) Tồn tại hữu hạn hay vô hạn. ' ' ( ) lim ( )x a f x g x ' ' ( ) ( ) lim lim ( ) ( )x a x a f x f x g x g x  Khi đó tồn tại và ( ) lim ( )x a f x g x   II. Qui tắc L’Hôpital Dạng vô định: 0  Dạng vô định: Thường sử dụng phương pháp: quy đồng, nhân lượng liên hiệp để đưa về dạng hoặc . 0f g    1/ f f g g    dạng 0 0 1/ f f g g    dạng   0 0   0 01 , , 0 Các dạng vô định : lim ln ln ln lnlim lim lim lim v x a v u y u v u x a x a x a x a y e e e e          lim lim v x a x a y u    Ta biến đổi như sau: Từ đó ta được về dạng 0  Áp dụng phương pháp đã nêu ở trên để tìm giới hạn tương ứng. Sơ đồ khảo sát và vẽ đồ thị hàm số: 1) Tìm miền xác định, tính chẵn, lẻ, tuần hoàn. 2) Tìm đạo hàm cấp 1: '( )y x 3) Tìm đạo hàm cấp hai ''( )y x 4) Tìm tiệm cận. Khảo sát khi x ra vô cùng. 5) Lập bảng biến thiên. 6) Tìm điểm đặc biệt, vẽ. III. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số ( )y f x Ví dụ. Tìm cực trị của hàm cho bởi p/trình tham số 3 3 2 2 2 2 , 1 1 t t t x y t t      2 2 ' 2 2 ( 3) ( ) 0 ( 1) t t x t t      0t  ' ' ' ( ) ( ) ( ) y t y x x t   2 2 ( 1)( 4) ( 3) t t t t t      '( ) 0 1y x t   . Tồn tại hai điểm tới hạn: 1 0 ( 0); ( 1) 2 x t x t    đổi dấu từ dương sang âm khi qua x = 0: hàm đạt cực đại tại x = 0. '( )y x đổi dấu từ âm sang dương khi qua x = 1/2: hàm đạt cực tiểu tại x = 1/2. '( )y x Ví dụ. Tìm điểm uốn của hàm cho bởi p/trình tham số ( )y y x cos(2 ) 1 cot( ), ,0 sin t x t y t t        '' ' '' ' '' 3 ' ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) y t x t x t y t y x x t     '' 3( ) 0 4 4 y x t t        đổi dấu khi qua ''( )y x 3 4 4 t t      Vậy hàm có hai điểm uốn: và  0,0 (2,0) (ứng với hai giá trị của t ở trên) Tiệm cận của đồ thị hàm số y = f(x) Tiệm cận đứng: 0 lim ( ) x x f x    là tiệm cận xiên Nếu a = 0, thì y = b là tiệm cận ngang. 0x x  là tiệm cận đứng. Tiệm cận xiên:   ( ) lim lim ( ) x x f x a x b f x ax         y ax b   Tìm tiệm cận đứng tại những điểm gián đoạn của hàm. Ví dụ. Tìm tiệm cận của đồ thị hàm số arctan 2 (1 ) x y x x   Tiệm cận đứng: có hai điểm gián đoạn x = 0 và x = 1. x = 0 không là tiệm cận đứng. 0 arctan 2 lim 2 (1 )x x x x   x = 1 là tiệm cận đứng. 1 arctan 2 lim (1 )x x x x    y = 0 là tiệm cận ngang. arctan 2 lim 0 (1 )x x x x   Hàm cho bởi phương trình tham số x = x(t), y = y(t): Nếu x(t): hàm chẳn, y(t): hàm lẻ, thì đồ thị đối xứng qua Ox. Nếu x(t): hàm lẻ, y(t): hàm chẵn, thì đồ thị đối xứng qua Oy. Nếu x(t) và y(t) cùng lẻ, thì đồ thị đối xứng qua gốc O. Tiệm cận của đường cong tham số x = x(t), y = y(t): Nếu , thì là tiệm cận đứng 0 0 lim ( ) lim ( ) t t t t x t a x a y t          x a Nếu , thì là tiệm cận ngang 0 0 lim ( ) lim ( ) t t t t x t y b y t b          y b Nếu 0 0 lim ( ) lim ( ) t t t t x t y t          và   0 0 ( ) lim ( ) lim ( ) ( ) t t t t y t a x t y t a x t b          thì là tiệm cận xiên. y ax b  Các bước vẽ đường cong tham số x = x(t), y = y(t): 1) Khảo sát hàm một biến x = x(t) theo t. 4) Tìm tiệm cận và một số điểm đặc biệt của x(t), y(t). 2) Khảo sát hàm một biến y = y(t) theo t. 3) Lập trên cùng bảng biến thiên hai hàm x(t) và y(t). 5) Vẽ. Dựa vào bảng biến thiên: từ trái qua phải, xét x biến thiên và y biến thiên trên từng đoạn. Ví dụ. Khảo sát vẽ đồ thị hàm cho bởi p/trình tham số ( )y y x 2 3, 3x t y t t   '( ) 2x t t ' 2( ) 3 3 0 1 1 y t t t t        Tiệm cận xiên: không có. '( ) 0 0x t t   t'( )x t ( )y t ( )x t '( )y t  1 0 1 0     1 1 0 0    0 2  '( ) 2x t t ' 2( ) 3 3y t t  2 0 3 3   3 3   0 0 Ví dụ. Khảo sát vẽ đồ thị hàm cho bởi p/trình tham số ( )y y x 2 3 , 4(1 ) 8( 1) t t x y t t     ' 2 (2 ) ( ) 4(1 ) t t x t t    2 ' 2 (2 3) 2 ( ) 0 0 38( 1) t t y t t t t         Điểm đặc biệt: '( ) 0 0 2x t t t     t'( )x t ( )y t ( )x t '( )y t  0 1 3/ 2 2 0 0        1 9/8 0 0 0    0   27 /32 1  ' 2 (2 ) ( ) 4(1 ) t t x t t    2 ' 2 (2 3) ( ) 8( 1) t t y t t    2 3 , 4(1 ) 8( 1) t t x y t t     Cách tìm tiệm cận 1) Tìm những điểm : 0t 0( ) t t x t   Kiểm tra có phải là tiệm cận đứng bằng công thức. 2) Tìm những điểm : 0t 0( ) t t y t   Kiểm tra có phải là tiệm cận ngang bằng công thức. 3) Tìm những điểm : 0t 0( ) & ( ) t t x t y t   Kiểm tra có phải là tiệm cận xiên bằng công thức. 1 2 8 x y   Kết luận: hàm đã cho có một tiệm cận xiên: 1) Tìm miền xác định, tính tuần hoàn, chẵn (đồ thị đối xứng qua Ox, lẻ: qua Oy). Các bước vẽ đường cong trong toạ độ cực  r r  2) Tính đạo hàm của theo r  3) Lập bảng biến thiên của hàm ( )r  Nếu hàm tuần hoàn chu kỳ T thì chỉ cần khảo sát trên một chu kỳ hoặc rồi quay đồ thị quanh gốc O một góc T đến khi không sinh ra nhánh mới.  0,T , 2 2 T T     4) Tìm tiệm cận. Để đơn giản dùng đổi biến: Các bước vẽ đường cong trong toạ độ cực  r r  ( ) cos( ), ( ) sin( )x r y r       và dùng cách tìm tiệm cận của hàm tham số .  Nếu , thì là đường tròn tiệm cận. lim ( )r a     r a 5) Tìm các điểm đặc biệt, dựa vào BBT vẽ. Chú ý: Nếu r < 0, thì lấy điểm nằm đối xứng qua gốc O. Ví dụ. Khảo sát vẽ đồ thị hàm cho trong tọa độ cực 1 sinr   '( ) cos r   2T Hàm tuần hoàn với chu kỳ '( ) 0 / 2 3 / 2r        Chỉ cần khảo sát trong đoạn .  0,2 Hàm không có tiệm cận.  'r r 0 / 2 3 / 2 2 0   1 0 2 0 1   1 Xoay hình đã vẽ xung quanh gốc O một góc đến khi 2 đến khi không sinh ra hình mới, được đồ thị trên toàn MXĐ. Ví dụ. Khảo sát vẽ đồ thị hàm cho trong tọa độ cực cos2r  '( ) 2sin 2 r    T   '( ) 0, 0, / 2r      Chỉ cần khảo sát trong đoạn  / 2, / 2  Hàm không có tiệm cận.  'r r 0 / 2   1 0 1 / 4 0 Hàm chẵn nên cần khảo sát trong đoạn  0, / 2 Lấy đối xứng qua trục Ox: quay quanh gốc O một góc  Hình trên: cos2y x Hình dưới: cos2r  Ví dụ. Khảo sát, vẽ đồ thị 1 r     Miền xác định:  \ 1R    ' 2 1 ( ) 0 1 r      Tiệm cận: lim 1 1     1r  là đường tròn tiệm cận. cos cos 1 sin sin 1 x r y r                   Tiệm cận xiên:   1 tan1 cos1 y x    1    1   1  'r r I. Tính giới hạn (sử dụng qui tắc L’Hôpital) 2 0 ln(1 ) 1) lim tanx x x x   / 4 ln(tan ) 2) lim cot 2x x x 2 0 arcsin 3) lim cos sinx x x x x x  21 arctan( 1) 4) lim 2x x x x     0 tan 5) lim arcsin ln(1 )x x x x x    1 2  1 3 0 0 1/ 1/ 0 (1 ) 6) lim x x x x e         tan 0 7) lim arcsin x x x  1/ ln(sinh ) 0 8) lim x x x    0 9) lim 1 lnx x x x     1/ 210) lim 3 3 x x x x   1/ 2e 1 e 0 3 sin 0 11) lim sin x x x e e x x   3 12) lim n x x x e  0 1 1 13) lim arcsinx x x       2 1 1 1 14) lim arctanx x x x         21/ 0 15) lim cos x x x  1 0 0 1 3 1/ 2e 1 1 16) lim ln 1 x x x x x    0 1 1 1 17) lim tanh tanx x x x         tan 2 / 4 18) lim tan x x x  1/ 19) lim tan 2 1 x x x x         21/ 0 arcsin 20) lim x x x x       2 2 3 1e 1 e 3 2 31) 2 , 2 3x t t t y t t       II. Khảo sát và vẽ đồ thị các hàm sau. 3 32) 3 , 6arctanx t y t t    3 3 2 2 2 2 3) , 1 1 t t t x y t t      4) sin , 1 cosx t t y t    5) cos ln tan( / 2), sinx t t y t   2 3 2 1 1 6) , t t x y t t     2 2 1 7) , 1 t t x y t t     2 2 2 1 8) , 21 t t x y tt     2 3 1 1 9) ,x y t t t t     210) , 2t tx e t y e t      2 11) , 1 t tex y t e t    2cos cos2 12) 2sin sin 2 x t t y t t      1) 2 cosr   II. Khảo sát và vẽ đồ thị các hàm sau. 2) 1 2cosr   3) cos3r  4) 1 tanr   2 5) 1 cos r    6) tan 2r  7) 1 tanr   1 8) sin3 r   9) sin 2r  10) 2(1 cos )r   11) 1 sinr   312) cos , 0r a a  ( ) 1.5cos cos(30 )x t t t  I. Sử dụng Maple vẽ một số hình như sau Dạng x=x(t), y=y(t): ( ) 1.5sin( ) sin(30 )y t t t  ( ) cos(8 ); ( ) sin(5 )x t t y t t  2 4sin (2.4 ) cos (2.4 )r    Dạng tọa độ cực: cos , sinx r y r    2 3sin (1.2 ) cos (6 )r    2 3sin (1.2 ) cos (6 )r    sin(8 /5)r  1 2sin(3 )r   cos( /3)r  2r  r 