Bài giảng môn Toán - Hàm số

Nội dung --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- I.2 – Giới hạn của hàm số  – Hàm số.  – Giới hạn của hàm số.  – Vơ cùng bé, Vơ cùng lớn. Định nghĩa (hàm hợp) Cho hai hàm . : ; :g X Y f Y Z  Khi đĩ tồn tại hàm hợp . :f g X Z ( ( ))h f g f g x  Ví dụ. 2( ) 3; ( ) g x x f x x     2 ( ) ( ( ) ( 3) 3f g x f g x f x x      2 2( ) ( ( )) ( ) 3g f x g f x g x x     1. Hàm số 4) ( ) 2 2 a f g x x x    ( ,2]f gD   ) ( ) 2 b g f x x   0,4g fD  4) ( ) c f f x x  0,f fD   ) ( ) 2 2 d g g x x    2,2g gD   Cho . Tìm các hàm sau và miền Ví dụ. ( ) ; ( ) 2 f x x g x x   ) ; ; ; . b) c) d) a f g g f f f g gxác định của nĩ: Đầu vào Đầu ra Hàm y = f(x) là hàm 1 – 1 khi và chỉ khi khơng tồn tại đường thẳng nằm ngang cắt đồ thị nhiều hơn một điểm. Hàm y = f(x) được gọi là hàm 1 – 1, nếu Định nghĩa (hàm 1 – 1) thì . 1 2 fx x D   1 2( ) ( )f x f x Hàm 1 – 1 Ví dụ. Khơng là hàm 1 – 1 ký hiệu , xác định bởi . Hàm ngược của y = f(x) là hàm từ E vào D, Cho y = f(x) là hàm 1 – 1 với miền xác định D và miền Định nghĩa (hàm ngược) giá trị E. 1( )x f y 1( ) ( )x f y y f x   Vì , nên (a,b) thuộc đồ thị y = f(x) Chú ý: khi và chỉ khi (b,a) thuộc đồ thị của . 1f  1( ) ( )a f b b f a   Đồ thị y = f(x) và đồ thị của đối xứng nhau qua qua đường thẳng y = x. 1f  Ví dụ. Vẽ đồ thị của 1y x  Vẽ đồ thị của và đồ thị hàm ngược. Xét hàm lượng giác y = sin x Định nghĩa (hàm lượng giác ngược) Trên đoạn , y = sin x là hàm 1 – 1. - , 2 2        Tồn tại hàm ngược, ký hiệu arcsiny x Xét hàm lượng giác y = cos x Định nghĩa (hàm lượng giác ngược) Trên đoạn , y = cos x là hàm 1 – 1.  0, Tồn tại hàm ngược, ký hiệu arccosy x Miền xác định: [-1,1] Hàm arcsin x - , 2 2        Miền giá trị: Hàm luơn luơn tăng. Miền xác định: [-1,1] Hàm arccos x  0,Miền giá trị: Hàm luơn luơn giảm. Xét hàm lượng giác y = tanx Định nghĩa (hàm lượng giác ngược) Trên khoảng , y = tan x là hàm 1 – 1. , 2 2        Tồn tại hàm ngược, ký hiệu arctany x Xét hàm lượng giác y = cot x Định nghĩa (hàm lượng giác ngược) Trên khoảng , y = cot x là hàm 1 – 1.  0, Tồn tại hàm ngược, ký hiệu arccot y x Miền xác định: R Hàm arctan x - , 2 2        Miền giá trị: Hàm luơn luơn tăng. Miền xác định: R Hàm arccotan x  0,Miền giá trị: Hàm luơn luơn giảm. Định nghĩa (hàm Hyperbolic) sin hyperbolic sinh( ) 2 x xe e x   cos hyperbolic cosh( ) 2 x xe e x   tan hyperbolic sinh( ) tanh( ) cosh( ) x x x  cotan hyperbolic cosh( ) coth( ) sinh( ) x x x  cosh( )y xHàm sinh( )y xHàm tanh( )y xHàm coth( )y xHàm Cĩ các cơng thức sau (tương tự cơng thức lượng giác) 2 21) cosh ( ) sinh ( ) 1 a a  2 22) sinh(2 ) 2sinh( )cosh( ); cosh(2 ) cosh ( ) sinh ( ) a a a a a a   3) cosh( ) cosh( )cosh( ) sinh( )sinh( ) a b a b a b   4) cosh( ) cosh( )cosh( ) sinh( )sinh( ) a b a b a b   5) sinh( ) sinh( )cosh( ) sinh( )cosh( ) a b a b b a   6) sinh( ) sinh( )cosh( ) sinh( )cosh( ) a b a b b b   và các cơng thức lượng giác hyperbolic khác. Để thu được cơng thức lượng giác hyperbolic từ cơng thức lượng giác quen thuộc ta thay cos bởi cosh và thay sin bởi isinh. Ví dụ. Từ cơng thức 2 2cos sin 1a a  ta cĩ 2 2 2cosh sin 1ia a  2 2cosh sinh 1a a   Hàm cho bởi phương trình tham số. Giả sử tồn tại hàm ngược của một trong hai hàm trên, giả sử của x = x(t) là t = t(x). Cho hai hàm x = x(t), y = y(t) xác định trong một lân cận V nào đĩ của điểm . 0t Khi đĩ tồn tại hàm y = y(t(x)) và hàm này được gọi là hàm cho bởi phương trình tham số: x = x(t) và y = y(t). Ví dụ. Hàm y = y(x) cho bởi phương trình tham số 2cos 3sin (1) x t y t    Đây chính là phương trình của ellipse. 2 2 1 4 9 x y    cos 2 (1) sin 3 x t y t        Ví dụ. Phương trình tham số của đường trịn tâm O bán kính R: cos sin x R t y R t    Phương trình tham số của đường trịn tâm (a,b) bán kính R: cos sin x a R t y b R t      cos sin x a t y b t    Phương trình tham số của ellipse là 2 2 2 2 1 x y a b   2. Giới hạn của hàm số Ví dụ. D = (0,1) Cho D là tập số thực. Điểm được gọi là điểm tụ của 0x Định nghĩa. tập D nếu trong mọi khoảng đều chứa vơ 0 0( , )x x   số các phần tử của tập D. Điểm tụ của D là [0,1] D cĩ duy nhất một điểm tụ là 0 1 ,D n N n        1 ( 1) , 2 n nD n N n         D cĩ hai điểm tụ -1 và 1. 2. Giới hạn của hàm số 0 lim ( ) x x f x a   0  0  0, | ( ) | .fx D x x f x a        Chú ý: Trong định nghĩa khơng địi hỏi là f(x) phải xác định tại 0x Ví dụ. 20 1 cos 1 lim 2x x x   mặc dù hàm khơng xác định tại x = 0. Định nghĩa. (ngơn ngữ )   Cho x0 là điểm tụ của miền xác định. 2. Giới hạn của hàm số lim ( ) x f x a   0  0A  , | ( ) | .fx D x A f x a       Định nghĩa. lim ( ) x f x a   0  0B  , | ( ) | .fx D x B f x a       Định nghĩa. thì f(x) trong khoảng này khi x trong khoảng này lim ( ) x f x L      thì f(x) trong khoảng này khi x trong khoảng này lim ( ) x f x L   2. Giới hạn của hàm số 0 lim ( ) x x f x    0M  0  0,| | ( ) .fx D x x f x M      Định nghĩa. 0 lim ( ) x x f x    0M  0  Định nghĩa. 0,| | ( ) .fx D x x f x M      2. Giới hạn của hàm số Chú ý: Thường dùng định nghĩa này chứng tỏ hàm khơng cĩ giới hạn. 0 lim ( ) x x f x a   Định nghĩa. (ngơn ngữ dãy ) Cho x0 là điểm tụ của miền xác định. ( ) ,n fx D  0 , n n n ox x x x   ( ) n nf x a   Nếu tìm được hai dãy mà ' 0( ),( )n nx x x '( ), ( )n nf x f x hội tụ về hai số khác nhau thì hàm khơng cĩ giới hạn. 2. Giới hạn của hàm số Ví dụ. Chứng tỏ khơng tồn tại giới hạn 0 1 limsin x x Chọn dãy 1 0 2 n nx n   ( ) sin 2 0 0nf x n    Chọn dãy , 1 0 2 / 2 n nx n     ( ) sin(2 ) 1 1 2 nf x n       Suy ra khơng tồn tại giới hạn 0 0 lim ( ) , lim ( ) x x x x f x a g x b     Tính chất của giới hạn hàm số 0 1) lim ( ) , R x x f a      0 2) lim ( ) x x f g a b     0 3) lim ( ) x x f g a b     0 4) lim , 0 x x f a b g b    05) ( ), ( ) ( ) x V x f x g x a b     0 0 ( ) ( ) ( ) 6) lim lim x x x x f x g x h x f h a         0 lim ( ) x x g x a    00 lim ( ) 0 lim ( ) x x x x u x a v x b         Mệnh đề   0 ( ) lim ( ) v x b x x u x a        0 0 ( ) ( ) ln ( ) lim ( ) lim v x v x u x x x x x u x e    0 lim ( ) ln( ( )) x x v x u x e  ln .b a be a  1 lim 1 x x e x        1 lim 1 x x e x          1 0 lim 1 x x x e    0sin 1) lim 1   x x x 0 1 2) lim 1    x x e x 20 1 cos 1 3) lim 2    x x x 0 ln(1 ) 4) lim 1    x x x 0 (1 ) 1 5) lim       x x x Các giới hạn cơ bản thường gặp khi 0x 0 arctan 6) lim 1   x x x 0 arcsin 7) lim 1   x x x 0 tan 8) lim 1   x x x   1/ 0 9) lim 1    x x x e   1/ 0 1 10) lim 1    x x x e 1) lim , 0       x x  2) lim ln , 0       x x 3) lim , 1    x x a a 1 4) lim 1         x x e x Các giới hạn cơ bản thường gặp khi x 5) lim sin x x khơng tồn tại 0 1) 0 Các dạng vơ định 2)   3) 0  4)  5) 1  06) 0 07)  0  0  0,0fx D x x      Định nghĩa. (giới hạn trái) Số a gọi là giới hạn trái của y = f(x) tại điểm x0, nếu | ( ) | .f x a    0 lim ( ) xx f x a  ký hiệu 0  0  0,0fx D x x      Định nghĩa. (giới hạn phải) Số a gọi là giới hạn trái của y = f(x) tại điểm x0, nếu | ( ) | .f x a    0 lim ( ) xx f x a  ký hiệu Ví dụ 1 1 lim 1x x    1 1 lim 1x x    Ví dụ 1/ 0 lim 0x x e   1/ 0 lim x x e    Ví dụ 0 sin lim 1   x x x 0 sin lim | |x x x Khơng tồn tại Vì 0 0 sin sin lim lim 1 | |     x x x x x x và 0 0 sin sin lim lim 1 | |      x x x x x x Định lý. Hàm số y = f(x) cĩ giới hạn tại x0 khi và chỉ khi nĩ cĩ giới hạn trái và giới hạn phải tại x0 và chúng bằng nhau. Chú ý Dùng định lý trên để chứng tỏ hàm khơng cĩ giới hạn. Chú ý. Giới hạn một phía thường được dùng trong các trường hợp hàm chứa căn bậc chẵn, chứa trị tuyệt đối, hoặc hàm ghép. Ví dụ. Cho . Tìm 2 3, 0 ( ) 1 sin , 0       x x f x x x x 0 lim ( ) x f x 0 0 lim ( ) lim (2 3) 3       x x f x x 0 0 1 lim ( ) lim sin 0      x x f x x x Vậy khơng tồn tại giới hạn. Ví dụ Định nghĩa nếu Hàm số y = f(x) được gọi là vơ cùng bé (VCB) khi 0x x 0 lim ( ) 0. x x f x   là một vơ cùng bé khi , vì 0x3( ) 3sin 2f x x x   3 0 lim 3sin 2 0. x x x    Tính chất của VCB 1) Tổng hữu hạn của các VCB là một VCB. 2) Tích của hai VCB là một VCB. 3) Tích của một VCB và một hàm bị chặn là một VCB. 4) Thương của hai VCB cĩ thể khơng là một VCB. Cho f(x) và g(x) là hai vơ cùng bé khi . 0x x Giả sử 0 ( ) lim . ( )  x x f x k g x 1) Nếu , thì f(x) gọi là VCB bậc cao hơn g(x). 0k ( ) ( ( ))f x g x 2) Nếu k hữu hạn, khác khơng, thì f(x) và g(x) là hai VCB cùng cấp. 3) Nếu , thì f(x) và g(x) là hai VCB tương đương. 1k ( ) ( )f x g x Định nghĩa 2 4 2 3( ) tan ; ( ) sin 2    f x x x g x x x Vì . 2 4 2 30 0 ( ) tan lim lim 1. ( ) sin 2     x x f x x x g x x x Ví dụ Khi đĩ f(x) và g(x) là hai VCB tương đương khi . 0x 3 2 2( ) sin ; ( ) tan    f x x x g x x x Vì . 2 3 20 0 ( ) sin lim lim 0. ( ) tan     x x f x x x g x x x Ví dụ Khi đĩ f(x) là VCB bậc cao hơn g(x) khi . 0x 2 2 2( ) sin 2 ; ( ) tan 3   f x x x g x x Vì . 2 2 20 0 ( ) sin 2 1 lim lim . ( ) 3tan 3     x x f x x x g x x Ví dụ Khi đĩ f(x) và g(x) là hai VCB cùng bậc khi . 0x 1 2( ) 1; ( ) 1    xf x e g x x Vì . 1 1 1 2 ( ) 1 1 lim lim . ( ) 21          x x x f x e g x x Ví dụ Khi đĩ f(x) và g(x) là hai VCB cùng bậc khi . 1 x 1) sin x x Các vơ cùng bé thường gặp khi 0x 2) -1 xe x 2 3) 1- cos 2 x x  4) ln(1 ) x x  5) (1 ) -1 x x   6) arcsin x x 7) arctan x x 8) tan x x Chú ý: Đây là các vơ cùng bé khi 0x 9) sinh x x 2 10) cosh 1 2   x x Các vơ cùng bé trên suy ra trực tiếp từ định nghĩa và các giới hạn cơ bản. Qui tắc ngắt bỏ VCB cấp cao 0 lim Tổng hữu hạn các VCB Tổng hữu hạn các VCBx x 0 lim VCB bậc của tử VCB bậ thấp nhất thấp nhấc của m ãut a  x x Ví dụ. Tính giới hạn 2 30 ln(1 tan ) lim sin   x x x I x x 2ln(1 tan ) tan   x x x x x 2 30 ln(1 tan ) lim sin    x x x I x x 2 20 lim 1.    x x x Ví dụ. Tính giới hạn 20 ln(cos ) lim ln(1 )  x x I x 20 ln(1 cos 1) lim ln(1 )    x x I x 20 cos 1 lim    x x x 2 20 / 2 1 lim 2     x x x 2 3 2sin x x x Ví dụ. Tính giới hạn 2 20 cos lim sin   x x e x I x 2 21  xe x 2 1 cos 2   x x 2 20 1 1 cos lim sin      x x e x I x 2 2 20 / 2 3 lim . 2    x x x x sin x x Ví dụ. Tính giới hạn sin 5 sin 0 lim ln(1 2 )    x x x e e I x sin 5 sin 0 1 1 lim ln(1 2 )      x x x e e I x 0 sin5 sin lim 2x x x x   0 5 lim 2 2x x x x    Ví dụ. Tính giới hạn  1 1 sin 1 lim ln     x x e I x 1 1 1   xe x ln ln(1 1) -1  x x x 1 sin( 1) lim 1    x x I x 1 1 lim 1. 1    x x x Ví dụ. Tính giới hạn sinh 3 sinh 0 lim tan   x x x e e I x sinh 3 sinh 0 1 1 lim      x x x e e I x 0 sinh3 sinh lim x x x x   0 3 lim 2. x x x x    Ví dụ. Tính giới hạn   3 4 0 1 (cos 1) lim sin 2 x x e x I x x     1 xe x  2cos 1 - / 2x x  2 3 4 0 ( / 2) lim 2x x x I x x     2 3 0 ( / 2) 1 lim 2x x x x     Ví dụ. Tính giới hạn 21/ 2 cos(1/ )lim arctan x x e x I x x    2 2 2 1/ 1/(2 )lim / 2x x x I x     3   Các trường hợp thay VCB ĐÚNG VÀ SAI. 30 tan sin 1) lim   x x x x 30 tan lim    x x x x SAI 30 tan sin 2) lim   x x x x 30 sin lim    x x x x SAI 3 0 tan sin 2 3) lim x x x x  3 0 sin 2 lim x x x x   ĐÚNG Các trường hợp thay VCB ĐÚNG VÀ SAI. 0 tan sin 2 4) lim sinx x x x  0 2 lim x x x x   ĐÚNG 3 0 tan sin 5) lim sinx x x x  0 3 tan sin lim    x x x x ĐÚNG 2 2 2 0 1 cos 6) lim sinx x x x       2 2 20 1 cos lim        x x x x SAI Ví dụ. Cho f(x) là vơ cùng bé khi . 0x x  0 0 ( ) lim hữu hạn, . 0     px x f x x x Định nghĩa Số p được gọi là bậc của VCB f(x) khi , nếu 0x x 2 3( ) sin 1 cos2   f x x x x là một VCB khi , và bậc của f(x) là 2. 0x vì 2 3 2 20 0 ( ) sin 1 cos2 lim lim 3 x x f x x x x x x       Tìm bậc của các VCB sau đối với x khi . 0x Ví dụ 3 2 31) ( )  f x x x  2) ( ) sin 2 2  f x x 3) ( ) 2 1 xf x 3 44) ( ) 3sin f x x x 3 5) ( ) cos xf x e x bậc 2/3. bậc 1. bậc 1/2. bậc 3. bậc 2. Ví dụ 1) ( ) cos cos2 f x x x  22) ( ) ln cosf x x 3) ( ) 3 x xf x e 34) ( ) sin 2 ln(1 tan )  f x x x x 25) ( ) 1 2 cos3  f x x x Tìm để f(x) và là 2 VCB tương đương, 0x,   x 3/ 2; 2   1/ 2; 4    ln3; 1/ 2   1   13/ 4; 2   Ví dụ Định nghĩa (vơ cùng lớn) nếu Hàm số y = f(x) được gọi là vơ cùng lớn (VCL) khi 0x x 0 lim ( ) .    x x f x là một vơ cùng lớn khi , vì x 2( ) 2 3cos f x x x 2lim 2 3cos .     x x x Cho f(x) và g(x) là hai vơ cùng lớn khi . 0x x Giả sử 0 ( ) lim . ( )  x x f x k g x 1) Nếu , thì f(x) gọi là VCL bậc cao hơn g(x).  k ( ) ( ( )) f x g x 2) Nếu k hữu hạn, khác khơng, thì f(x) và g(x) là hai VCL cùng cấp. 3) Nếu , thì f(x) và g(x) là hai VCL tương đương. 1k ( ) ( )f x g x Định nghĩa Qui tắc ngắt bỏ VCL 0 lim Tổng hữu hạn các VCL Tổng hữu hạn các VCLx x 0 lim VCL bậc của tử VCL bậ cao nhất cao nhấtc của mẫux x  Ví dụ Tử là tổng của ba VCL: 2 2 4 2 3 lim 4      x x x x I x x 2 4 2 3 3     x x x x x Mẫu là tổng của hai VCL: 2 4 2    x x x x 3 3 lim 2 2   x x I x I) Tìm các giới hạn sau. Bài tập 2 22 4 1) lim 2   x x x x 5 0 32 2 2) lim    x x x 20 cos3 cos7 3) lim   x x x x / 4 4) lim cot 2 cot( / 4 )      x x x   21/ sin (2 ) 2 0 5) lim 1 tan   x x x 4 3 1 80 20 2 1/ 4e   21/ 0 6) lim cos  x x x   1/(1 cos ) 0 7) lim cosh   x x x 2 2 2 2 3 8) lim 2 1       x x x x 2 2 2 9) lim 2   x x x x 1/ 110) lim        x x x e x 1/ 2e e 2e 4(ln 2 1) 2e 22 14 11) lim 2    x x x x x 2 2 14 12) lim 2    x x x x x 0 1 13) lim tanh       x x 0 1 14) lim tanh       x x 2 20 sin 2 2arctan3 3 15) lim ln(1 3 sin )      xx x x x x x xe 1 7 1 1 2 5 3 2 30 1 10 1 3 16) lim arcsin(3 ) sinh(2 )      x x x x x x x 17) lim ln 1 ln 2 2          x x x x 3 3 0 cos4 cos5 18) lim 1 cos3  x x x x 30 1 tan 1 sin 19) lim sin    x x x x 0 tan 2 3arcsin 4 20) lim sin5 6arctan7  x x x x x 1 2 1 3 1/ 4 10/37 Ví dụ Định nghĩa (vơ cùng lớn) nếu Hàm số y = f(x) được gọi là vơ cùng lớn (VCL) khi 0x x 0 lim ( ) .    x x f x là một vơ cùng lớn khi , vì x 2( ) 2 3cos f x x x 2lim 2 3cos .     x x x Cho f(x) và g(x) là hai vơ cùng lớn khi . 0x x Giả sử 0 ( ) lim . ( )  x x f x k g x 1) Nếu , thì f(x) gọi là VCL bậc cao hơn g(x).  k ( ) ( ( )) f x g x 2) Nếu k hữu hạn, khác khơng, thì f(x) và g(x) là hai VCL cùng cấp. 3) Nếu , thì f(x) và g(x) là hai VCL tương đương. 1k ( ) ( )f x g x Định nghĩa Qui tắc ngắt bỏ VCL 0 lim Tổng hữu hạn các VCL Tổng hữu hạn các VCLx x 0 lim VCL bậc của tử VCL bậ cao nhất cao nhấtc của mẫux x  Ví dụ Tử là tổng của ba VCL: 2 2 4 2 3 lim 4      x x x x I x x 2 4 2 3 3     x x x x x Mẫu là tổng của hai VCL: 2 4 2    x x x x 3 3 lim 2 2   x x I x 3. Liên tục của hàm số Hàm được gọi là liên tục tại , nếu xác định ( )y f x tại điểm này và Định nghĩa 0x 0 0lim ( ) ( ). x x f x f x   Nếu hàm khơng liên tục tại , ta nĩi hàm gián đoạn tại 0x Định nghĩa điểm này. đồ thị liền nét (khơng đứt đoạn) tại điểm (a, f(a)). Khi x tiến đến a. thì f(x) tiến đến f(a). 1) Điểm gián đoạn loại một: Định nghĩa Cho là điểm gián đoạn của đồ thị hàm số ( )y f x0x giới hạn trái f(x0-) và phải f(x0+) tồn tại và hữu hạn. x0 là điểm khử được: f(x0-) = f(x0+) 2) Điểm gián đoạn loại hai: khơng phải là loại một. Một trong hai giới hạn (trái hoặc phải) khơng tồn tại hoặc tồn tại nhưng bằng vơ cùng. x0 là điểm nhảy: 0 0( ) ( )f x f x  bước nhảy: 0 0( ) ( )h f x f x   x = 2 là điểm gián đoạn loại một khử được. x = 2 là điểm nhảy: gián đoạn khơng khử được.  ( )f x x x = 0 là điểm gián đoạn loại hai. Tính chất của hàm số liên tục Cho là hai hàm liên tục tại , khi đĩ ( ), ( )y f x y g x  0x liên tục tại x0. 1) ( ); ( ) ( ); ( ) ( )f x f x g x f x g x   2) Nếu , thì liên tục tại x0. 0( ) 0g x  ( ) ( ) f x g x Nếu hàm f(x) liên tục tại và , thì tồn tại một 0x Định lý lân cận của x0, sao cho f(x) > 0 với mọi x thuộc lân cận này. 0( ) 0f x  Nếu hàm f(x) liên tục trên đoạn [a,b] và f(a).f(b) < 0, thì Hệ quả tồn tại ít nhất một x0 thuộc [a,b] sao cho f(x0) = 0. Định lý (Bozano- Cơsi) Nếu liên tục trên đoạn [a,b] và f(a) = A, f(b) = B ( )y f x thì tồn tại sao cho [ , ]C A B   0 ,x a b 0( ) .f x C Các hàm sau đây được gọi là hàm sơ cấp cơ bản: 1/ hàm hằng Định nghĩa 2/ hàm lũy thừa y x  3/ hàm mũ ; 0, 1 xy a a a   4/ hàm logarit log ; ( 0, 1)ay x a a   5/ hàm lượng giác 6/ hàm lượng giác ngược 7/ hàm hyperbolic Hàm sơ cấp là hàm thu được từ các hàm sơ cấp cơ bản Định nghĩa bằng cách sử dụng hữu hạn các phép tốn: cộng, trừ, nhân, chia, khai căn và phép hợp. 1 sin3 ln 2 y x x         Hàm sơ cấp liên tục trên miền xác định của nĩ. Định lý là hàm sơ cấp Vậy nĩ liên tục trên tồn miền xác định: x > -2. là hàm sơ cấp nên liên tục trên MXĐ sin 0, ( ) x x f x x    Ví dụ sin , 0 ( ) 1, 0 x x f x x x       Khảo sát tính liên tục 0 0 sin sin lim 1 lim (0) x x x x f x x      Tại x = 0: Hàm liên tục tại x = 0. Vậy hàm liên tục trên R. là hàm sơ cấp nên liên tục trên MXĐ sin 0, ( ) x x f x x    Ví dụ sin , 0 ( ) 1, 0 x x xf x x       Khảo sát tính liên tục 0 sin lim 1 x x x  Tại x = 0: x = 0 là điểm nhảy. 0 sin lim 1 x x x    Bước nhảy:    0 0 1 ( 1) 2.h f f       Tập xác định: Ví dụ 1 ( ) arctanf x x  Khảo sát điểm gián đoạn 0 1 lim arctan 2x x    Tại x = 0: x = 0 là điểm nhảy. 0 1 lim arctan 2x x      Bước nhảy:    0 0 ( ) . 2 2 h f f           \ 0fD R Tập xác định: Ví dụ 1 ( ) arctanf x x x  Khảo sát điểm gián đoạn 0 1 lim arctan 0 x x x  Tại x = 0: x = 0 là điểm gián đoạn khử được. 0 1 lim arctan 0 x x x    \ 0fD R Ví dụ   cos( / 2) , / 2,3 / 2 , 0, sin ( ) , 0 , x x x x x x f x a x b x                 Tìm a, b để hàm liên tục trên  / 2;3 / 2  0 lim ( ) x f x  0 cos( / 2) lim 1 sinx x x x   1.a  lim ( ) x f x  cos( / 2) lim sinx x x x  . 2 b    2   Ví dụ 2 , | | 1 ( ) , | | 1 x x f x x ax b x       Tìm a, b để hàm liên tục trên tồn TXĐ. 1 lim ( ) x f x   2 1 lim 1 x x ax b a b        1 1.a b    1 lim ( ) x f x  1 lim 1 (1) x x f     1 lim ( ) x f x  1 lim 1 ( 1) x x f       1 1.a b     1 lim ( ) x f x   2 1 lim 1 x x ax b a b        Vậy a = 1, b = -1. Tập xác định: Ví dụ ( ) sin x f x x Khảo sát điểm gián đoạn khơng tồn tại. 0 lim sinx k x x  \ ,fD R k k Z  Tại 0 0 0, 0 :x k k  Các điểm này là các điểm gián đoạn loại hai. Tại 0 0 :x  0 lim 1 sinx x x  x0 = 0 là điểm gián đoạn khử được. Tập xác định: R Ví dụ 1, ( ) x f x x     là số hữu tỷ. 0, là số vô tỷ. Khảo sát điểm gián đoạn Hàm khơng cĩ giới hạn tại mọi điểm. (Vì sao??) Tất cả các điểm là những điểm gián đoạn loại hai. Tập xác định: R Ví dụ , ( ) x x f x x     là số hữu tỷ. 0, là số vô tỷ. Khảo sát điểm gián đoạn Hàm khơng cĩ giới hạn tại mọi điểm khác 0. Các điểm khác khơng là những điểm gián đoạn loại hai. 0 lim ( ) 0 (0). x f x f   Tại điểm x = 0: Hàm liên tục tại x = 0. I) Chứng tỏ rằng các hàm sau khơng liên tục tại x0 Bài tập 2 1, 0 1) ( ) , 0 x x f x x x      0 0x  1 , 0 2) ( ) 0, 0 x f x x x       0 0x  2 1 , 0 3) ( ) 1, 0 x f x x x       0 0x  4) ( ) sign( 1)f x x  0 1x   II) Tìm các điểm gián đoạn của đồ thị, phân loại chúng 2 1/( 1), 0 1) ( ) ( 1) , 0 2 1 , 2 x x f x x x x x           1 2) ( ) cos f x x  | 2 | 3) ( ) 2 x f x x    2 3 | 1| 4) ( ) x f x x x    / 2x n   loại hai x= -2, điểm nhảy, h =2 x= 0: loại hai, x= 1: điểm nhảy, h = -2 III) Tìm các điểm gián đoạn của đồ thị, phân loại chúng arcsin 1) ( ) sin 2 x f x x  2) ( ) cos x f x x  1 3) ( ) ln | 1| f x x   2/(1 )4) ( ) 3x xf x  1/| |5) xy e x= 0, khử được / 2x n   loại hai x= 0, x= 2: loại hai, x = 1: khử được x= -1, x= 1: loại hai x= 0, khử được IV) Tìm các điểm gián đoạn của đồ thị, phân loại chúng 2 1 1) ( ) arctanf x x  2) ( ) sin( lg( 1))f x x x   1 1 3) ( ) ln 1 x f x x x    | | 4) ( ) arctan x f x x  1 5) arctan(1/ ) x y x   x= 0, khử được liên tục trên MXĐ x= 0, khử được x= 0, điểm nhảy, h=2 x= 0, điểm nhảy, h= 4/ V) Tìm các điểm gián đoạn của đồ thị, phân loại chúng 21) ( ) ln ln(1 )f x x  22) ( ) sign( 2 3)f x x x   1/ 1/ 1/ 1/ 3 2 3) ( ) 3 2 x x x x f x    5 / 3 cos 4) ( ) tan(arcsin | |) x x f x x    1 5) (sin )siny x x  x= 0, loại hai x= -1, điểm nhảy, h = -2 x= 3, điểm nhảy, h = 2 x= 0, điểm nhảy, h = 2 liên tục trên MXĐ x= 0, khử được V) Tìm giá trị a để hàm liên tục (1 ) 1 , 0, 1) ( ) , 0 nx x n N f x x a x          trên R cot(2 ), 0,| | / 2 2) ( ) , 0 x x x x f x a x      trên ( / 2, / 2)  (arcsin )cot , 0 3) ( ) , 0 x x x f x a x     trên (-1,1) sinh , 0 4) , 0 x x y x a x       trên R a n 1/ 2a  1a  1a  VI) Chứng minh rằng các pt sau cĩ nghiệm duy nhất 1) 2 1xx   2) 2xx e  23) arctan ; 0x x a a   4) sin 1, 0 1x x     VII) CMR pt cĩ ít nhất hai nghiệm thực 2 4 x x VIII) CMR pt cĩ vơ số nghiệm sin 1/ 2x x  IX) CMR pt chỉ cĩ một nghiệm 110x x  0 1.x 