Bài giảng môn Toán - Các dạng phương trình vi phân

1Nội dung --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- I – Định nghĩa. 1 – Phương trình vi phân tách biến 2 – Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 3 – Phương trình vi phân đẳng cấp cấp 1 4 – Phương trình vi phân toàn phần II – Các dạng phương trình vi phân: 5 – Phương trình Bernoulli I. Các khái niệm cơ bản Định nghĩa Phương trình chứa đạo hàm hay vi phân của một hoặc một vài hàm cần tìm được gọi là phương trình vi phân. Phương trình chứa đạo hàm của một biến độc lập gọi là phương trình vi phân thường (Differential Equation) Phương trình chứa đạo hàm riêng gọi là phương trình vi phân đạo hàm riêng (Partial Differential equation PDE). 2I. Các khái niệm cơ bản phương trình vi phân cấp 3. Định nghĩa Cấp cao nhất của đạo hàm trong phương trình vi phân gọi là cấp của phương trình vi phân. 3 2 2 3 3 xd y d y e dxdx   ' ''( ) 3 sinyy x x x x   phương trình vi phân cấp 2 phương trình đạo hàm riêng cấp 2 2 2 2 1 u u x yx       I. Các khái niệm cơ bản Nếu giải ra được : ( ) ' ( 1)( , , ,..., )n ny x y y y ( )ny Định nghĩa Dạng tổng quát của phương trình vi phân cấp n ' ( )( , , ,..., ) 0 (1)nF x y y y  2 ' 3(3 ) ( 2 ) 0yy x e y y x   Ví dụ:    2 2 22x xy dy x y dx  Ví dụ: Giải ra được: 2 2 ' 2 2dy x yy dx x xy     3I. Các khái niệm cơ bản , y Cx C R  Định nghĩa Nghiệm của phương trình (1) trên khoảng I là một hàm xác định trên I sao cho khi thay vào (1) ta được đồng nhất thức. ( )y x Đồ thị của nghiệm gọi là đường cong tích phân( )y x Ví dụ: Phương trình vi phân có nghiệm là' 1 0y y x   vì thỏa phương trình vi phân đã cho. I. Các khái niệm cơ bản Nếu giải ra được : Định nghĩa Dạng tổng quát của phương trình vi phân cấp 1 '( , , ) 0 (2)F x y y  ' ( , ) (3)y x y'y Ví dụ: Các phương trình vi phân cấp 1: ' xy y xe  2 2 2( ) ( ) 0y x dy xy y dx     2' '1y xy y   dạng (3) dạng (3) phương trình Clairaut, dạng (2) 4I. Các khái niệm cơ bản Bài toán Cauchy Bài toán Cauchy là bài toán tìm nghiệm của phương trình (2) hoặc (3) thỏa điều kiện ban đầu (điều kiện biên) 0 0( ) (4)y x y Nghiệm của phương trình (2) hoặc (3) là họ đường cong tích phân phụ thuộc hằng số C. Nghiệm của bài toán Cauchy là đường cong tích phân đi qua điểm cho trước 0 0( , )x y nghiệm của phương trình là họ đương cong tích phân: I. Các khái niệm cơ bản 3 , y Cx C R  Ví dụ: Phương trình vi phân ' 3 0y y x   Xét bài toán Cauchy ' 3 0, (1) 3 y y y x    Ta có 33 1C  3C  Nghiệm của bài toán Cauchy 33y x 5I. Các khái niệm cơ bản Đường cong tích phân trong vài trường hợp 33y x 3y x  3y x 32y x Nghiệm của bài toán Cauchy là đường cong màu đỏ. Đường cong qua điểm (1,3). I. Các khái niệm cơ bản Nếu hàm y = f(x) liên tục trong miền mở , thì Định lý (tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán Cauchy) với mọi điểm , bài toán Côsi (3) với điều kiện (4) có nghiệm xác định trong lân cận của x0.  0 0,x y D 2D R Ngoài ra nếu đạo hàm riêng cũng liên tục trong D, thìf y   nghiệm này là duy nhất. 6Nghiệm của phương trình cấp 1 phụ thuộc hằng C. I. Các khái niệm cơ bản Định nghĩa Nghiệm tổng quát của phương trình cấp 1: ( , )y x C Nghiệm riêng là nghiệm thu được từ nghiệm tổng quát bằng cách cho C hằng số cụ thể ( ví dụ nghiệm bài toán Côsi). Nghiệm kỳ dị là nghiệm không thể thu được từ nghiệm tổng quát cho dù C lấy bất kỳ giá trị nào. Giải phương trình vi phân là tìm ra các nghiệm của nó. I. Các khái niệm cơ bản Trong chương trình này, ta giải phương trình theo cách không đầy đủ, không chặt chẽ (ví dụ: khi chia cho y không biết y có triệt tiêu không). Để khảo sát nghiệm một cách đầy đủ, các em có thể tham khảo sách Jean – Marie Monier, giải tích tập 2 và 4. 7II.1 Phương trình vi phân tách biến Dạng ( ) ( ) 0f x dx g y dy  Cách giải: tích phân hai vế ta được ( ) ( )f x dx g y dy C   Ví dụ Giải pt 2 2 01 1 dy dx y x     2 21 1 dy dx C y x       arctan arctany x C Nghiệm của phương trình: arctan arctany x C  arctan arctany x C  8Các dạng có thể đưa về phương trình vi phân tách biến Cách giải: Có thể đưa về phương trình tách biến Dạng 1 1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( ) 0f x g y dx f x g y dy  Nếu tại y = b, thì y = b là một nghiệm riêng.1( ) 0g y  Nếu tại x = a, thì x = a là một nghiệm riêng.2( ) 0f x  Nếu , chia hai vế cho2 1( ) ( ) 0f x g y  2 1( ) ( ) 0f x g y  Phương trình tách biến 1 2 2 1 ( ) ( ) 0 ( ) ( ) f x g ydx dy f x g y   II.1 Phương trình vi phân tách biến Ví dụ Giải pt 2 2tan sin cos cot 0x ydx x ydy    2 2 tan cot 0 cos sin x ydx dy x y   2 2 tan cot cos sin x ydx dy C x y     2 2tan cotx y C Nghiệm của phương trình: Ví dụ Giải pt 2 2(1 ) (1 ) 0x x dy y dx     2 2 01 (1 ) dy dx y x x     2 21 (1 ) dy dx C y x x       21arctan ln | | ln(1 ) 2 y x x C   Nghiệm của phương trình: 9Ví dụ Giải phương trình 3 2( 1) ( 2) 0x dy y dx    Phương trình trên được viết lại: 2 3 0( 2) ( 1) dy dx y x     Tích phân hai vế 2 3( 2) ( 1) dy dx C y x      2 3( 2) ( 2) ( 1) ( 1)y d y x d x C        2 1 1 1 2 2 ( 1) C y x      Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân là: Ví dụ Giải phương trình   ' 0xy x y y   Phương trình trên được viết lại:  1 0dyx y ydx   Tích phân hai vế 1y dxdy C y x     1/ 2 1/ 21y dy x dx C y           2 ln | | 2y y x C   Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân là: 1 0y dxdy y x     10 2 ln | | 2y y x C   Ví dụ Giải phương trình 2 '2 3 0x y x y y   Phương trình trên được viết lại: 22 3 0 3 2 x y x y dy dx    Tích phân hai vế 1y dxdy C y x     2 18 3 x ydx dy C             2 /3 18 ln 2 / 3 ln(18) x y C    Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân là: 2 18 0 3 x ydx dy       11 Các dạng có thể đưa về phương trình vi phân tách biến Cách giải: Dạng 2 ' ( ), 0, 0 y f ax by c b a     Đặt u ax by c   ' 'u a by   ' ( )u a b f u   ( ) du dx a b f u     ' ( )u a b f u   Nếu , giải tìm . Kiểm tra có phải là nghiệm.( ) 0a b f u   u Nếu , chia hai vế cho( ) 0a b f u   ( )a bf u Đây là phương trình tách biến (biến u riêng, biến x riêng) Ví dụ Giải phương trình ' 1 2 3 4 6 5 x yy x y      ' 2 3 1 2( 2 3 1) 3 x yy x y          Thay vào pt đã cho Nghiệm của phương trình vi phân là 2 3 1u x y    ' '2 3u y    ' 2 3 2 3 u u u      ' 3 2 2 3 uu u    6 2 3 udu dx u      2 3 6 u du dx u      2 3 6 u du dx u       2 9ln | 6 |u u x C      2( 2 3 1) 9ln | 2 3 7 |x y x y x C          12 Ví dụ Giải phương trình ' 2 3 4 6 5 x yy x y      Bỏ số 1 ở tử ta vẫn được phương trình vi phân dạng đang xét. Ví dụ Giải phương trình ' 1 2 3 2 6 5 x yy x y      Thay số 4 bởi một số khác (số 2) thì phương trình này không có dạng phương trình vi phân đang xét. Chú ý: II.2 Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 ( ) ( )( )p x dx p x dxy e q x e dx C     Dạng ' ( ) ( )y p x y q x  Cách giải: Nhân hai vế cho ( )p x dxe ' ( ) ( ) ( )( ) ( )p x dx p x dx p x dxy e p x y e q x e        '( ) ( )( )p x dx p x dxy e q x e    ( ) ( )( )p x dx p x dxy e q x e dx C       13 Ví dụ Giải phương trình ' cot siny y x x  ( ) cot , ( ) sinp x x q x x   ( ) ( )( )p x dx p x dxy e q x e dx C      cot cotsinxdx xdxy e x e dx C       cos cos sin sinsin x xdx dx x xy e x e dx C            sinsin sin xy x dx C x        sin x x C  Chú ý: Chỉ lấy một nguyên hàm của ( )p x dx Ví dụ Giải phương trình 2 '( 1) 4 3x y xy   2 2 4 3( ) , ( ) 1 1 xp x q x x x     ( ) ( )( )p x dx p x dxy e q x e dx C      2 22ln( 1) 2ln( 1) 2 3 1 x xy e e dx C x         Chia hai vế cho 2 1 0x   ' 2 2 4 3 1 1 xy y x x     2 2 4( ) 2ln( 1) 1 xdxp x dx x x       222 2 2 1 3 1 ( 1) 1 y x dx C x x           3 2 2 3 ( 1) x x C x     14 Ví dụ Giải phương trình , y(2) = 1.'(1 )( ) xx y y e   ( ) 1, ( ) 1 xep x q x x     ( ) ( )( )p x dx p x dxy e q x e dx C       1 x x xee e dx C x          ( )p x dx dx x    ln |1 |xy e x C    ' 1 xey y x     Với điều kiện y(2) = 1:  21 ln |1 2 |e C    2C e  Nghiệm của phương trình: 2ln |1 |xy e x e       2ln |1 |x xe x e     II.3 Phương trình vi phân đẳng cấp cấp 1 Dạng ' yy f x       Cách giải: Đặt yu x  y xu  ' 'y u x u    Khi đó: ' ( )u x u f u   ' ( )x u f u u    Nếu , thì giải pt này ta có các nghiệm riêng.( ) 0f u u  Nếu ( ) 0 :f u u  ( )dux f u u dx    ( ) du dx f u u x    là phương trình tách biến 15 Ví dụ Giải phương trình ' ln xy x y y y    ' lnu x u u u u     Đặt /u y x ' 'y u x u    lndu x u u dx    ln du dx u u x   ln du dx C u u x     ln | ln | || ln | | lnu x C   lnln | | lnu C x   ln u C x  1C xu e  ' lny y yy x x x    'lny y y y x x x    1C xy xe  kết hợp điều kiện Ví dụ Giải phương trình , (-1) 1 xdy ydx ydy y   ' 1 uu x u u      Đặt /u y x ' 'y u x u    1 du ux u dx u      2 (1 )u du dx xu    2 (1 )u du dx C xu      1 ln | | ln | |u x C u     1 ln | |xu C u    ( )x y dy ydx  ' dy yy dx x y     / 1 / y x y x   2 1 u u    ln | |x y C y    1 ln1C   1C   nghiệm pt: (1 ln | |)x y y   16 II.3 Các dạng đưa về phương trình đẳng cấp là hàm đẳng cấp bậc 0. Dạng  ' ,y f x y với là hàm đẳng cấp bậc 0 ( )( , )f x y   ( , ) ( , )t f tx ty f x y  2 2 2( , ) x xyf x y xy y              2 2 2 ( , ) tx tx ty f tx ty tx ty ty    2 2 2 ( , )x xy f x y xy y     Ví dụ Giải phương trình 2 2( ) 2 0x y dx xydy   2 2 ' 2 dy x yy dx xy    2 ' 1 2 uu x u u          21 / 2 / y x y x   Đặt /u y x ' 'y u x u    2 21 1 2 2 du u ux u dx u u        2 2 1 udu dx xu    2 2 1 udu dx C xu      2ln |1 | ln | | lnu x C    2ln | (1 ) | lnx u C   2(1 )x u C   2 1(1 )x u C C     hàm đẳng cấp bậc 0. 17 II.3 Các dạng đưa về phương trình đẳng cấp Dạng ' 1 1 1 a x b y cy f ax by c         Trường hợp 1: ' 1 0 1 0 1 0 0 ( ) ( ) ) ( ) ( ) a X x b Y y cY f a X x b Y y c              1 1 1 0 0 a x b y c ax by c        có duy nhất nghiệm 0 0( , )x y Đổi biến: 0 0, - X x x Y y y   ' 'y Y  1 1a X bYf aX bY          1 1' / / a b Y X Y f a b Y X        là phương trình đẳng cấp. II.3 Phương trình vi phân đẳng cấp cấp 1 Trường hợp 2: 1 1 0 a b a b  Đổi biến: u ax by  ' 'u a by   ' 1k u cu a b f u c          phương trình tách biến 1 1a b k a b  Giả sử ' 1 1 1a x b y cy f ax by c         ' 1 1 1a x b y cb y b f ax by c            1du k u ca b f dx u c         18 Ví dụ Giải phương trình (1 ) ( 3) 0x y dy x y dx      ' 3 1 dy x yy dx x y       1 1 1a x b y cf ax by c         Giải hệ: 3 0 1 0 x y x y            0 0, 2,1x y  Đổi biến: 2, -1 X x Y y   ' 'y Y  ' ( 2) ( 1) 3 1 ( 2) ( 1) X YY X Y           X Y X Y         1 / 1 / Y X Y X     Đây là phương trình vi phân đẳng cấp. II.4 Phương trình vi phân toàn phần Cách giải: Nghiệm tổng quát của phương trình: ( , )u x y C Dạng ( , ) ( , ) 0P x y dx Q x y dy  trong đó Q P x y      0 0 0( , ) ( , ) ( , ) yx x y u x y P x y dx Q x y dy C   Với trong đó là một điểm tùy ý mà P, Q liên tục. 0 0,x y 19 II.4 Phương trình vi phân toàn phần Cách khác: Nghiệm tổng quát : ( , )u x y C ( , ) ( , ) ( , )du x y P x y dx Q x y dy Với ( , ) ( , ) ( )u x y P x y dx g y  ( , ) ( , ) u P x y x u Q x y y       Đạo hàm hai vế theo y (coi x là hằng)   ''( , ) ( ) y u P x y dx g y y      ( , )Q x y '( )g y ( )g y ( , )u x y Ví dụ Giải phương trình 2(2 3) (2 3 ) 0y dx x y dy    Đây là phương trình vi phân toàn phần. ( , ) 2 3P x y y  2 P y     2( , ) 2 3Q x y x y  2Q x      2Q Px y    Nghiệm tổng quát: ( , )u x y C 0 0 ( , ) ( , ) (0, ) yx u x y P x y dx Q y dy   2 0 0 (2 3) 3 yx y dx y dy    3( , ) 2 3u x y xy x y   Nghiệm tổng quát: 32 3xy x y C   20 Ví dụ Giải phương trình 2 2 3(3 7) 2 0x y dx x ydy   Đây là phương trình vi phân toàn phần. 2 2( , ) 3 7P x y x y  26 P x y y     2( , ) 2 3Q x y x y  26Q x y x      26Q P x yx y    Nghiệm tổng quát: ( , )u x y C 0 0 ( , ) ( , ) (0, ) yx u x y P x y dx Q y dy   2 2 0 0 (3 7) 0 yx x y dx dy    3 2( , ) 7u x y x y x  Nghiệm tổng quát: 3 2 7x y x C  Phương trình vi phân toàn phần. xy xyP e xye y     xy xyQ e xye x      Nghiệm tổng quát: ( , )u x y C 0 0 0 ( , ) (2 ) (1 )0 yx xy yu x y x ye dx e dy     2 00 x yxyx e y   Nghiệm tổng quát: 2 xyx e y C   Ví dụ Giải (2 ) (1 ) 0xy xyx ye dx xe dy    (0) 1y  Điều kiện 2 .10 10 e C   2C  Nghiệm thỏa điều kiện ban đầu: 2 2xyx e y   21 Phương trình vi phân toàn phần. / 2 x yP x e y y     / 2 x yQ x e x y      Nghiệm tổng quát: ( , )u x y C 0 1 /( , ) ( ) 1 yx x yu x y x e dx dy    2 / 1 0 2 x yx yx ye y   Nghiệm tổng quát: 2 / 2 x yx ye y y C    Ví dụ Giải / /( ) (1 ) 0x y x y xx e dx e dy y     (0) 2y  Điều kiện 02 2/0 2e C  2C  Nghiệm thỏa điều kiện ban đầu: 2 / 2 2 x yx ye  II.4 Phương trình vi phân Bernoulli Dạng ' ( ) ( ) , 1, 0 y p x y q x y       Cách giải: Chia hai vế cho :y ' 1 1(1 ) (1 ) ( ) (1 ) ( )y p x q x y y         1z y Đặt ' ' ' (1 )(1 ) . yz y y y           ' (1 ) ( ) (1 ) ( )z p x z q x      Đây là phương trình vi phân tuyến tính với hàm z(x). 22 Phương trình Bernoulli. Đặt , ta có:1z y Ví dụ Giải ' 2 ln , (1) 1 xy y y x y   1(1) 1 (1) z y   Điều kiện 0C  Nghiệm pt: ln 1z x  ' 21 ln xy y y x x    Chia hai vế cho 2 :y ' 1 2 1 lny xy x xy   ' 1 ln xz z x x   Giải pt tuyến tính: ln 1 ln 1xz x C x Cx x x           1 1 ln y x    Ví dụ Giải ' 2 5 2 2 / 39 3( ) , (0) 1 y x y x x y y    Nghiệm tổng quát pt đã cho: ' 2 / 3 '1 3 z y y  Có phương trình tuyến tính: 3 3 3 3 3 3 2 3 3 x x x xx xz e e C e Ce          Phương trình Bernoulli 2 /3.  Đặt 1 1 2 / 3 1/3z y y y    ' 2 5 23z x z x x   3 3 3 1/ 3 2 3 x xxy e Ce  Điều kiện y(0) = 1, suy ra C = 1. 3 3 3 1/ 3 2 3 x xxy e e Nghiệm bài toán Côsi: 23 Đường cong tích phân thỏa bài toán Côsi: y(0) = 1  Bài tập. Nhận dạng và giải các phương trình vi phân '1) cosh( ) y x y  ' 32) 0 xy y xy   2 ' 23) 0 x y xy y   2 26) 1 1 0 y dx y x dy    2 ' 2 14) , (0) 1 1 yy y x     3 ' 2 25) ( ) x y y x y  24 '7) sin ln 0, ( / 2) y x y y y e   8) sin cos cos sin , (0) / 4 y xdy y xdx y   2 ' 29) 0 x y xy y   '11) x yy x y    2 2 ' '12) y x y xyy  2 210) ) ( ) 0 (xy x dx y x y dy    2 2 213) (3 3 ) ( 2 ) y xy x dx x xy dy    ' 2 214) xy y x y    2 215) 3 2 0, (0) 1 y x dy xy y    2 2 ' 2 2 216) , (1) 1 2 y xy xy y y xy x        2'17) 2 xy xy xe  218) 2 ( 6 ) 0 ydx y x dy   25 ' 219) ( ) ( 1) xy y x x e   '20) , (1) 0 1 yxy x y x      2 2 221) 1 ( ) , (1) / 4 x x dy y yx x dx y       2 2 ' 2 2 222) , (1) 1 2 y xy xy y y xy x        2 ' 2 124) (1 ) yy xy x    '23) sin sin 2 2 x y x yy    325) ( ) ydx y x dy  ' 226) ( ) y x y   2 227) 2 0 x xy y dy y dx    2 2 228) 2 dx dy x xy y y xy     ' 29) tan xy y y x x   ' '30) 2, (1) 1 y xy y x yy     26 ' 231) 1 , (0) 11 yy x y x      '32) (1 ) , (0) 0 x ye yy e y   ' 2 5 233) 3 , (0) 1 y x y x x y    ' 2 534) 2 4 y xy x y      3 135) 2 1 ' y x y x y      236) 0 1 ' y y y x     ' 237) 4 0 xy y x y   ' 2 2238) cos yyy x x   ' 239) ln xy y y x  '40) ( 1) ( 1) (3 2 ) 0 x x xe y e y e      2 441) 0' y y x y x    ' 2 342) 2 2 0 xy y x y   27 3 2 3 243) (2 ) (2 ) 0 x xy dx y x y dy    2 2 2 244) xdy ydx dx x y x y     45) ( 2 ) 0 y xe dx xe y dy   22 2 46) xdx ydy ydx xdy xx y     2 2 247) ' y y xy x y    3 2 248) 2 ) ( ) 0 ( y xy dx x x y dy   