Bài giảng Ma trận và định thức

Chương 2. Ma trận – Định thức Đại số tuyến tính 1 - Sưu tầm - wWw.kenhdaihoc.com 23 Chương 2: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC Bài 1: Khái niệm ma trận và các phép toán trên ma trận ______________________________________________________ 1. Ma trận: 1.1 Định nghĩa: Ma trận m dòng, n cột trên trường số K ( , ) là một bảng số hình chữ nhật gồm m dòng, n cột, mỗi số trong ma trận thuộc trường và được gọi là một phần tử của ma trận. Ta ký hiệu tập các ma trận là M(m, n; K) và mỗi ma trận thuộc M(m, n; K) được viết chi tiết là: 11 12 1 21 22 2 1 2 ... ... ... n n m m mn a a a a a a a a a                 hoặc 11 12 1 21 22 2 1 2 ... ... ... n n m m mn a a a a a a a a a                 Hay viết gọn là ( )ij m nA a  hoặc [ ]ij m nA a  trong đó 1,i m chỉ số dòng và 1,j n chỉ số cột của phần tử. Hai ma trận ( )ij m nA a  và ( )ij m nB b  được gọi là bằng nhau nếu ij ija b với mọi 1,i m và 1,j n . Ví dụ: Ma trận 2x3 3 3 1 2 3 1 2 3 ; 4 5 6 4 5 6 7 8 9 x A B               1.2 Một số dạng ma trận đặc biệt: 1.2.1 Ma trận vuông: Trong trường hợp số dòng và số cột của hai ma trận bằng nhau thì ta có khái niệm ma trận vuông. Ký hiệu tập các ma trận vuông là M(n; K), với n là cấp của ma trận vuông. A= 11 12 1 21 22 2 1 2 ... ... ... n n n n nn a a a a a a a a a                 Trong ma trận vuông các phần tử 11 22, ,..., nna a a là các phần tử nằm trên đường chéo chính, các phần tử 1 ( 1)2 1, ,...,n n na a a là các phần tử nằm trên đường chéo phụ. Ví dụ: 1 2 3 4 A        là ma trận vuông cấp hai và 1 2 3 4 5 7 7 8 9 B          là một ma trận vuông cấp 3. Phần tử nằm trên đường chéo chính của ma trận A là 1; 4. Phần tử nằm trên đường chó chính của ma trận B là 1, 5, 9. Chương 2. Ma trận – Định thức Đại số tuyến tính 1 - Sưu tầm - wWw.kenhdaihoc.com 24 1.2.2 Ma trận dòng, ma trận cột: Nếu m = 1 thì ma trận chỉ có một dòng, được gọi là ma trận dòng. Tương tự, nếu n = 1 thì ta có ma trận chỉ có một cột, được gọi là ma trận cột. Ma trận dòng và ma trận cột thường được gọi là vectơ dòng và vectơ cột. Một số thuộc trường K được gọi là ma trận một dòng, một cột. Ví dụ: Ma trận dòng:  1 2 3 4A  và ma trận cột 1 5 7 B          1.2.3 Ma trận không Ma trận có tất cả các phần tử đều bằng 0 được gọi là ma trận không. Ta dùng số 0 để biểu thị cho mọi ma trận không cấp m x n. Ví dụ: Ma trận 0 cấp 2x3: 0 0 0 0 0 0       1.2.4 Ma trận chéo Ma trận vuông có các phần tử ngoài đường chéo chính đều bằng 0 và các phần tử trên đường chéo chính khác không được gọi là ma trận chéo (hay ma trận đường chéo). Ma trận chéo cấp n có dạng A= 11 22 0 ... 0 0 ... 0 0 0 ... nn a a a                  0, :1,iia i n  Ví dụ: 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 4 C            Nhận xét: Ma trận đường chéo thường được ký hiệu bởi 1 2diag( , ,..., )na a a với các phần tử trên đường chéo chính là 1 2, ,..., na a a 1.2.5 Ma trận đơn vị: Ma trận chéo cấp n, có tất cả các phần tử trên đường chéo chính đều bằng 1, được gọi là ma trận đơn vị, ký hiệu nI 1.2.6 Ma trận tam giác Ma trận có các phần tử ở trên (hoặc dưới) đường chéo chính bằng 0 được gọi là ma trận tam giác Chương 2. Ma trận – Định thức Đại số tuyến tính 1 - Sưu tầm - wWw.kenhdaihoc.com 25 A = 11 12 1 22 2 ... 0 ... 0 0 ... n n nn a a a a a a                 Trong đó 0ija  khi i> j được gọi là ma trận tam giác trên. Ví dụ: 1 2 3 4 0 4 3 2 0 0 1 2 0 0 0 5 A             là ma trận tam giác trên B = 11 21 22 1 2 0 ... 0 ... 0 ...n n nn b b b b b b                 Trong đó 0ijb  khi i < j được gọi là ma trận tam giác dưới. Ví dụ: 3 0 0 1 2 0 0 1 1 B          là ma trận tam giác dưới. Nhận xét: Ma trận tam giác trên và ma trận tam giác dưới được gọi chung là ma trận tam giác. 1.2.7 Ma trận chuyển vị a) Định nghĩa: Cho ma trận A, ma trận chuyển vị của ma trận A, ký hiệu TA là ma trận mà trong đó, vai trò của dòng và cột hoán chuyển cho nhau nhưng vẫn giữ nguyên chỉ số của chúng. Giả sử ta có ma trận A= 11 12 1 21 22 2 1 2 ... ... ... n n m m mn a a a a a a a a a                 thì khi đó ma trận chuyển vị của ma trận A là 11 21 1 12 22 2 1 2 ... ... ... m mT n n mn a a a a a a A a a a                 Nếu ma trận A có cấp là m x n thì ma trận TA có cấp là n x m. Trường hợp đặc biệt chuyển vị của ma trận cột là ma trận dòng và ngược lại chuyển vị của ma trận dòng là ma trận cột. Ví dụ: Ma trận 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 A          thì ma trận chuyển vị của ma trận A là 1 5 9 2 6 1 3 7 2 4 8 3 TA             Chương 2. Ma trận – Định thức Đại số tuyến tính 1 - Sưu tầm - wWw.kenhdaihoc.com 26 b) Định lý: Cho các ma trận x, ( )m nA B M K . Khi đó ta có các khẳng định sau:  TTA A . T TA B A B   1.2.8 Ma trận đối xứng – Ma trận phản đối xứng: Nếu ma trận vuông A thỏa TA A thì ta nói A là ma trận đối xứng. Ví dụ: Ma trận 1 2 3 2 1 0 3 0 1 A          là một ma trận đối xứng cấp3. Ma trận 1 2 3 4 2 0 1 2 3 1 1 0 4 2 0 3 A             là ma trận đối xứng cấp 4. Nếu ma trận vuông A thỏa TA A  thì A ma trận phản đối xứng. Ví dụ: Ma trận 0 2 3 4 2 0 5 1 3 5 0 3 4 1 3 0 B             là ma trận phản đối xứng. Định lý: Nếu A là ma trận đối xứng thì , , 1,ij jia a i j n   Nếu A là ma trận phản xứng thì , , 1,ij jia a i j n    , từ đây suy ra 0iia  (các phần tử trên đường chéo chính bằng 0). 1.2.9 Ma trận bậc thang: Nếu một ma trận trên K có các dòng khác 0 nằm bên trên các dòng 0, đồng thời trên hai dòng khác 0, ta có các phần tử khác 0 đầu tiên của dòng dưới nằm bên phải phần tử khác 0 đầu tiên của dòng trên thì ma trận đó được gọi là ma trận bậc thang trên K. Ví dụ: Ma trận 0 3 12 1 7 0 0 0 1 2 3 4 0 0 0 0 4 5 0 0 0 0 0 0 B             là ma trận bậc thang có ba dòng khác 0. 1.3 Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng của ma trận: bao gồm các phép biến đổi sau i. Đổi chổ hai dòng i và dòng j của ma trận cho nhau. ii. Nhân dòng thứ i với một số khác không. iii. Cộng dòng thứ i với dòng thứ j nhân với một số  với i j . Nếu thay từ dòng bằng từ cột ta có các phép biến đổi sơ cấp trên cột. Ma trận B được gọi là tương đương dòng với ma trận A nếu có một số hữu hạn phép biến đổi sơ cấp dòng biến ma trận A thành ma trận B. Nhận xét: - Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng, cột được gọi chung là các phép biến đổi sơ cấp. Chương 2. Ma trận – Định thức Đại số tuyến tính 1 - Sưu tầm - wWw.kenhdaihoc.com 27 - Quan hệ tương đương dòng là một quan hệ tương đương với các tính chất phản xạ; đối xứng; bắc cầu. - Một ma trận vuông cấp n trên K nhận được từ ma trận đơn vị nI qua duy nhất một phép biến đổi sơ cấp được gọi là ma trận sơ cấp. Ví dụ: 3 1 0 0 0 1 0 0 0 1 I          thì có các ma trận sơ cấp nhận được từ 3I qua các phép biến đổi sơ cấp là: 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 S          với 1 43 1 d dI S 2 1 0 0 0 1 0 0 0 4 S          với 3 343 2 d dI S 3 1 0 2 0 1 0 0 0 1 S          với 1 1 423 3 d d dI S  2. Các phép toán trên ma trận 2.1 Phép cộng các ma trận 2.1.1 Định nghĩa: Tổng của hai ma trận ( )ij m nA a  và ( )ij m nB b  là một ma trận ( )ij m nC c  với ij ij ijc a b  . Tổng hai ma trận được ký hiệu C = A+B. 11 12 1 11 12 1 11 11 12 12 1 1 21 22 2 21 22 2 21 21 22 22 2 2 1 2 1 2 1 1 2 2 ... ... ... ... ... ... ... ... ... n n n n n n n n m m mn m m mn m m m m mn mn a a a b b b a b a b a b a a a b b b a b a b a b a a a b b b a b a b a b                                                       2.1.2 Ví dụ: 1 2 3 2 1 4 A       và 0 2 1 1 3 4 B       . Khi đó, 1 0 4 3 2 0 A B         2.2 Phép nhân ma trận với một số: 2.2.1 Định nghĩa: Tích của ma trận ( )ij m nA a  với số  thu được bằng cách nhân các phần tử của ma trận A với số  , ký hiệu A . Ta có, ( )ij m nA a   2.2.2 Ví dụ: 4 2 3 8 4 6 2 7 3 2 14 6 4                 Với A và B là hai ma trận cấp m x n, ta ký hiệu A + (-1)B = A – B, gọi là phép trừ của hai ma trận. Chương 2. Ma trận – Định thức Đại số tuyến tính 1 - Sưu tầm - wWw.kenhdaihoc.com 28 2 3 5 4 2 1 A        và 2 1 3 3 5 2 B       thì 0 4 8 1 3 3 A B        2.2.3 Định lý: Với x, , ( )m nA B C M K và , K   ta có: a) A + B = B + A b) (A + B) + C = A + (B + C) c) 0 + A = A + 0 = A d) A + (-A ) = (-A) + A = 0 e)  T T TA B A B   f) ( )A B A B     g) ( )A A A      2.3 Phép nhân hai ma trận: 2.3.1 Định nghĩa: Cho hai ma trận ( )ij m rA a  và ( )ij r nB b  , khi đó tích của hai ma trận A và B, ký hiệu là AB là một ma trận ( )ij m nC c  với các phần tử ijc là tổng của các tích các phần tử tương ứng dòng i của ma trận A với cột j của ma trận B. Tức là 1 1 2 2 1 ... r ij i j i j ir rj ik kj k c a b a b a b a b       11 12 1 11 12 121 22 2 11 12 1 21 22 2 21 22 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 ... ... ...... ... ... ...... ... . ... ... ... ... ... r nr n n n r r rn m m mn m m m ij j j i rj ir r i a a a b b ba a a c c c b b b b b c c c b b b c c c a a ca a b a a                                                       Chú ý: Tích của ma trận A và ma trận B chỉ được xác định khi số dòng của ma trận B bằng đúng số cột của ma trận A. Tức là nếu A là ma trận cấp m x p và B là ma trận cấp p x n thì AB là ma trận cấp m x n. Do đó, với A và B là hai ma trận bất kỳ thì nếu có tích của AB, ta cũng không hẳn suy ra được tích của hai ma trận BA, nói cách khác, tích của hai ma trận không giao hoán. Ngoài ra, có những ma trận khác 0 nhưng tích của chúng lại là ma trận 0. 2.3.2 Ví dụ: a) Giả sử 1 2 1 3 A       và 2 1 0 1 B        khi đó; 2 3 2 2 AB       và 1 7 1 3 BA       . Vậy AB BA b) Với 1 0 0 0 ; 0 0 1 0 C D              ta có 0 0 0 0 CD        mặc dù 0; 0C D  . Chương 2. Ma trận – Định thức Đại số tuyến tính 1 - Sưu tầm - wWw.kenhdaihoc.com 29 2 5 4 3 2 1 B          Nếu tồn tại hai ma trận A, B thỏa AB = BA thì ta nói ma trận A và ma trận B có thể hoán vị với nhau. Ma trận đơn vị có thể hoán vị với mọi ma trận cùng cấp. c) Cho 1 2 1 3 1 4 A        và thì 1.( 2) 2.4 ( 1).2 1.5 2.( 3) ( 1).1 4 2 3.( 2) 1.4 4.2 3.5 1.( 3) 4.1 6 16 AB                          d) Cho 1 3 2 1 1 x A       và 2 4B y          . Nếu 12 6 AB        hãy tìm x và y Giải: Ta có 2 1 3 2 4 3 12 4 2 1 1 6 x x y AB y y                          Suy ra y = 6 và x = -2. ■ 2.3.4 Định lý: Cho x, ' ( )m nA A M K và x, ' ( )n pB B M K và x ( )p qC M K và K  thì:   x x x x 0 0 ; 0 0 ; ( ') '; ; ( ) ( ) ( ), n p m p r m r n T T T A A A B B AB AB AB B A AB A B A B K              2.3.5 Định lý: Với 1 2diag( , ,..., )nA a a a và 1 2diag( , ,..., )nB b b b thì 1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 diag( , ,..., ) diag( , ,..., ) A B a b a b a b AB a b a b a b       2.3.6 Nhận xét: Cho các ma trận 1 2, ,..., nA A A là các ma trận có số cột của ma trận liền trước bằng số dòng của ma trận liền sau. Khi đó tích của n ma trận này được định nghĩa theo cách quy nạp sau: 1 2 3 1 2 3 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 1 2 1 ( ) ( ) ... ( ... )n n n n A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A      Hơn thế bằng cách chứng minh quy nạp ta có: 1 2 1 2 1( .... ) ... T T T T T n n nA A A A A A A 2.4 Lũy thừa ma trận: 2.4.1 Định nghĩa: Cho ma trận A, lũy thừa bậc k của ma trận A là: lâ . ...k k n A A A A . Chương 2. Ma trận – Định thức Đại số tuyến tính 1 - Sưu tầm - wWw.kenhdaihoc.com 30 Cụ thể, 0 1 2 1; ; . ;..., .k knA I A A A A A A A A     2.4.2 Ví dụ: Cho 0 1 0 0 0 1 0 0 0 A          thì ta được 2 0 0 1 0 0 0 0 0 0 A           và 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 A           Nhận xét: Có những ma trận khác ma trận không nhưng lũy thừa k lần với k sẽ thành ma trận không. Một ma trận ( ; )A M n K thỏa tính chất tồn tại một số k , sao cho 0kA  thì khi đó ma trận A được gọi là ma trận lũy linh. Một ma trận ( ; )A M n K thỏa tính chất 2 0A  thì khi đó ma trận A được gọi là ma trận lũy đẳng. 2.4.3 Tính chất: Cho ( ; )A M n K và ,r s , khi đó:   0 0; r     r n nI I  .r s r sA A A    srs rA A 2.4.5 Định lý: Giả sử A, B là hai ma trận giao hoán trong M(n;K) (nghĩa là AB = BA) và k , khi đó ta có:  ( ) .k k kAB A B ;  1 2 1( )( ... )k k k k kA B A B A A B B        ;  ( ) . i k i i k i k k A B C A B   2.5 Đa thức của ma trận: Cho f là một đa thức bậc n trên K có dạng 1 1 1 0( ) ... n n n nf x a x a x a x a       Giả sử ( ; )A M n K thì ta gọi 1 1 1 0( ) ... n n n n nf A a A a A a A a I       là đa thức của ma trận A. Ví dụ: Cho 3 2( ) 3 5f x x x   . Hãy tính f (A) với 1 2 3 2 0 ; 5 4 6 0 3 7 1 8 A B               Ta có 3 2 2 8 0 4 0 1 0 1 0 ( ) 3 5 3 5 0 27 0 9 0 1 0 5 f A A A I                               (Sinh viên tự giải f (B )như là bài tập nhỏ). Chương 2. Ma trận – Định thức Đại số tuyến tính 1 - Sưu tầm - wWw.kenhdaihoc.com 31 Bài 2: Định thức - Định nghĩa, các tính chất, cách tính định thức ________________________________________________________________ 1. Định nghĩa: Định thức của ma trận A, ký hiệu là detA hay |A| được tính bằng 1 (1) 2 (2) ( )det sign ... n n n S A a a a        , trong đó nS là tập tất cả các phép thế của tập hợp gồm n số tự nhiên đầu tiên {1, 2,…, n}. Nhận xét: Định thức của một ma trận vuông cấp n trên trường K thường được gọi là một định thức cấp n. Ví dụ: Khi n = 2 Ta có nhóm các phép thế 2 1 2 1 2 ; 1 2 2 1 S                 Suy ra biểu thức tính định thức cấp 2 là: 11 12 11 22 12 21 21 22 a a a a a a a a   Khi n = 3 Ta có nhóm các phép thế 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 ; ; ; ; ; 1 2 3 2 1 3 1 3 2 3 2 1 2 3 1 3 1 2 S                                         Suy ra: 11 12 13 21 22 23 11 22 33 12 21 33 23 32 11 13 22 31 12 23 31 13 21 32 31 32 33 11 22 33 12 23 31 13 21 32 12 21 33 23 32 11 13 22 31 a a a A a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a               2. Cách tính định thức bậc 2 và bậc 3: Theo trên ta có Cho 11 12 21 22 a a A a a        ta có định thức của ma trận A là detA hay |A|, được tính bằng 2 1 (1) 2 (2) 11 22 12 21 11 22 12 21det sign ( 1) . S A a a a a a a a a a a           Cho 11 12 13 21 22 23 31 32 33 a a a A a a a a a a          khi đó ta có 3 1 (1) 2 (2) 3 (3) 11 22 33 12 23 31 13 21 32 13 22 31 11 23 32 12 21 33det sign . S A a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a             Công thức trên thường được nhớ theo quy tắc Sarrus như sau: Ta viết them cột thứ nhất và thứ hai vào bên phải định thức ta được 11 12 13 11 12 21 22 23 21 22 31 32 33 31 31 a a a a a a a a a a a a a a a Chương 2. Ma trận – Định thức Đại số tuyến tính 1 - Sưu tầm - wWw.kenhdaihoc.com 32 Thì tích các phần tử trên ba đường chấm chấm sẽ có dấu như sau Ví dụ: 1 2 3 2 1 3 1.1.2 2.1.3 2.3.3 3.1.3 3.1.1 2.2.2 6 3 1 2        2 1 2.3 2 4 2 3    3. Các tính chất 3.1 Tính chất 1: Định thức không đổi qua phép chuyển vị, tức là det det .TA A Chú ý: Từ tính chất này thì một mệnh đề về định thức nếu đúng với dòng thì cũng đúng với cột và ngược lại. Ví dụ: 2 0 2 1 6 1 3 0 3   3.2 Tính chất 2: Nếu ta đổi chỗ hai dòng ( )i j (hoặc hai cột khác nhau) bất kỳ của định thức thì định thức đổi dấu. Ví dụ: 1 3 5 3 1 7 2 7 9 2 7 9 3 1 7 1 3 5   3.3 Tính chất 3: Nếu tất cả các phần tử của một dòng (hoặc một cột) của định thức được nhân với  thì định thức mới bằng định thức ban đầu nhân với  . Ví dụ: 1 2 3 1 2 3 4 2 6 2. 2 1 3 9 8 6 9 8 6  Nhận xét: Từ tính chất này suy ra nếu A là ma trận vuông cấp n thì det( ) det( ).nA A  3.4 Tính chất 4: Cho A là ma trận vuông cấp n. Giả sử dòng thứ i của ma trận A có thể biểu diễn dưới dạng ' '' ij ij ija a a  với j = 1, 2, …,n. Khi đó ta có: ' '' ' '' ' '' ' ' ' '' '' '' i1 i1 i2 i2 in in i1 i2 in i1 i2 in ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... det ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... A a a a a a a a a a a a a      Trong đó các dòng còn lại của 2 định thức ở hai vế là hoàn toàn như nhau và chính là các dòng còn lại của ma trận A. Chương 2. Ma trận – Định thức Đại số tuyến tính 1 - Sưu tầm - wWw.kenhdaihoc.com 33 Ví dụ: 1 2 3 1 2 3 1 2 3 4 5 6 6 5 4 2 0 2 7 8 9 7 8 9 7 8 9    Từ tính chất trên, ta cũng có kết quả tương tự đối với cột. Chú ý: Các tính chất 2, 3, 4 trên chính là tính đa tuyến tính thay phiên của định thức. Từ các tính chất trên ta có các kết quả sau: 3.5 Tính chất 5: Định thức của ma trận A sẽ bằng 0 nếu thỏa một trong các điều kiện sau:  Có một dòng mà tất cả các phần tử của dòng đó đều bằng 0,  Có hai dòng bằng nhau hoặc tỉ lệ với nhau,  Có một dòng là tổ hợp tuyến tính của các dòng khác. Tức là tồn tại dòng id mà 1 1 2 2 1 1 1 1... ... ...i i i i i k kd a d a d a d a d a d           với ia K. 3.6 Tính chất 6: Định thức sẽ không thay đổi nếu:  Nhân một dòng với một số bất kỳ rồi cộng vào dòng.  Cộng vào một dòng một tổ hợp tuyến tính của các dòng khác. Nhận xét: - Nếu thay từ dòng bằng từ cột thì các tính chất trên vẫn đúng. - Đối với các ma trận A có cấp n (với n là một số rất lớn), khi đó việc tính detA bằng định nghĩa ta sẽ gặp rất nhiều khó khăn. Do đó, ngoài cách vận dụng các tính chất trên của định thức, ta còn rất hay sử dụng định lý Laplace sau đây. 4. Định lý Laplace: 4.1 Định thức con và phần bù đại số: Cho A là ma trận vuông cấp n và k là một số tự nhiên thỏa 1 k n  . Các phần tử nằm trên giao của k dòng bất kỳ và k cột bất kỳ của A làm nên một ma trận vuông cấp k của A. Định thức của ma trận này được gọi là định thức con cấp k của A. Đặc biệt, khi cho trước 1 ,i j n  , nếu ta xóa đi dòng i, cột j của ma trận A ta sẽ được ma trận con cấp n-1 của ma trận A, ký hiệu là ijM . Khi đó, ( 1) i j ij ijA M   được gọi là phần bù đại số của phần tử ija (với ija là phần tử nằm ở hàng i và cột j của ma trận A). Ví dụ: Xét ma trận 1 2 3 2 0 2 4 1 1 5 1 4 0 5 2 1 A             khi đó. Định thức 2 1 2 2 0 2 D   được gọi là định thức con cấp 2 của A. Ta có 11 2 4 1 5 1 4 5 2 1 M  khi đó phần bù đại số của phần tử ở dòng 1 và cột 1 của ma trận A là: 1 1 11 11( 1) | | 51A M    Nhận xét: Chương 2. Ma trận – Định thức Đại số tuyến tính 1 - Sưu tầm - wWw.kenhdaihoc.com 34 Nếu M là định thức con của A tạo bởi các dòng 1 2, ,..., ki i i và 1 2, ,..., kj j j thì phần bù đại số của M. Ký hiệu là M’ được xác định như sau: 1 2 1... ....' ( 1) det( )k ki i i j jM K       với K là ma trận có được từ ma trận A khi bỏ đi các dòng 1 2, ,..., ki i i và các cột 1 2, ,..., kj j j . Ví dụ: Đối với ma trận A cho trên, xét 1 2 1 5 M  là định thức của A tạo bởi dòng 1 và dòng 3; cột 1 và cột 2. Khi đó, 4 1 2 1 K        là ma trận có được từ ma trận A sau khi bỏ đi dòng 1, dòng 3 cột 1 và cột 2. Vậy, 1 1 1 2 3 1 3 2 4 1' ( 1) 2 2 1 M          . 4.2 Định lý Laplace: Cho A là ma trận vuông cấp n 11 12 1 1 21 22 2 2 i1 i2 1 2 ... ... ... ... ... ... ... ... j n j n ij in n n nj nn a a a a a a a a A a a a a a a a a                                 . Khi đó  Nếu khai triển định thức A theo dòng thứ i thì detA được biểu diễn dưới dạng 1 2 i1 i1 i2 i2 1 det ( 1) ( 1) ... ( 1) ( 1) n i i i n i k in in ik ik k A a A a A a A a A               Nếu khai triển định thức A theo cột thứ j thì detA được biểu diễn dưới dạng 1 2 1 1 2 2 1 det ( 1) ( 1) ... ( 1) ( 1) n j j j n j k j j j j nj nj kj kj k A a A a A a A a A              Ví dụ: a) Xét ma trận 1 0 2 2 0 0 3 4 5 0 0 0 a b A c d  Nhận thấy dòng 4 có nhiều số 0, nên khai triển định thức theo dòng 4 ta có: 4 1 0 2 ( 1) 0 0 4 5 a A d b c   . Tiếp tục khai triển theo dòng thứ 3 của định thức 0 2 1 0 0 4 5 b c ta có: 2 . . ( ) 0 a A d c dc ab abcd b       Chương 2. Ma trận – Định thức Đại số tuyến tính 1 - Sưu tầm - wWw.kenhdaihoc.com 35 b) Xét ma trận 0 3 0 5 2 3 1 1 1 1 3 0 0 4 0 5 B  Khai triển theo dòng 1 có 1 2 1 4 2 1 1 2 3 1 ( 1) 3 1 3 0 ( 1) 5 1 1 3 0 0 5 0 4 0 B      Khai triển theo dòng cuối của 2 định thức trên có: 1 2 3 3 1 4 2 32 1 2 1( 1) .3.5.( 1) ( 1) 4.( 1) .5 25 1 3 1 3 B           4.3 Định lý Laplace (tổng quát): Cho ( )nA M K , chọn trong A các dòng 1 2 ... ki i i   . Khi đó, 1 2 ... det( ) ' kj j j A MM      , với M là các định thức con cấp k của A sinh bởi các dòng 1 2, ,..., ki i i và các cột 1 2, ,..., kj j j và M’ là phần bù đại số của M. Ví dụ: Tính 0 3 0 5 2 3 1 1 1 1 3 0 0 4 0 5 A  Chọn M là ma trận vuông cấp 2 tạo bởi các phần tử trên dòng 1 và dòng 4. Khi đó, 1 4 2 4 1 4 1 2 1 4 2 4 1 4 1 3 1 4 1 4 1 4 4 1 3 5 2 1 0 3 1 1 3 0 2 1 ( 1) . ( 1) . ( 1) . 4 5 1 3 0 4 3 0 4 0 1 0 0 0 3 1 0 5 2 1 0 5 2 3 ( 1) . ( 1) . ( 1) . 0 0 1 3 0 5 1 3 0 5 1 1 ( 1)( 5)5 25 A                                   Ta chọn ma trận con dựa trên dòng 1 và 3, cột 1 và cột 3. Áp dụng định lý Laplace ta có 1 3 1 3 2 8 9 1 1 det ( 1) 1 1 0 252 3 1 7 2 3 A       Từ định lý Laplace ta có thể chứng minh được hai tính chất quan trọng sau của định thức 4.3 Tính chất 1: Nếu A là ma trận tam giác trên (ma trận tam giác dưới) thì định thức của ma trận A bằng tích của tất cả các phần tử trên đường chéo chính (đường chéo phụ). Tức là nếu 11 12 1 22 2 ... 0 ... 0 0 ... n n nn a a a a a A a                 và 1 2( 1) 2 1 0 0 ... 0 0 ... .... n n n n nn b b b B b b                  Khi đó: Chương 2. Ma trận – Định thức Đại số tuyến tính 1 - Sưu tầm - wWw.kenhdaihoc.com 36 11 22det . ... nnA a a a và 1 2( 1) 1det . ...n n nB b b b . 4.4 Tính chất 2: Nếu A và B là các ma trận vuông cấp n thì det(A.B) = detA . det B. 4.5 Nhận xét: Nhờ có định lý Laplace, để tính một định thức cấp cao (n > 3) ta có thể khai triển định thức theo một dòng và một cột bất kỳ để đưa về tính các định thức cấp bé hơn. Cứ như vậy, sau một số lần ta sẽ đưa việc tính định thức cấp cao về dạng tính định thức cấp 2, 3. Tuy nhiên, trên thực tế thì nếu làm như vậy thì số lượng phép tính sẽ khá lớn. Bởi vậy, ta thực hiện theo các bước sau sẽ làm giảm đi số phép tính cần thực hiện:  Bước 1: Chọn dòng hoặc cột có nhiều số 0 nhất để khai triển định thức theo dòng (cột) đó.  Bước 2: Sử dụng tính chất 6 để đưa định thức về dạng có dòng (cột) đã chọn thành dòng (cột) chỉ có một số khác 0.  Bước 3: Khai triển định thức theo dòng (cột) đó. Khi đó, việc tính một định thức cấp n quy về việc tính định thức cấp n-1. Tiếp tục lặp lại các bước 1, 2 cho định thức cấp n-1, cuối cùng ta sẽ dẫn về việc tính định thức cấp 2, 3. 4.6 Các ví dụ: 1) Tính detA với 1 0 1 1 2 0 1 1 2 1 1 2 1 0 1 1 0 1 0 2 1 1 1 1 1 A               Giải: Ta chọn cột 2 để khai triển. Tuy nhiên, trước hết ta nhân dòng 2 với -2 rồi cộng vào dòng 3 và nhân dòng 2 với -1 rồi cộng vào dòng 5. Khi đó 1 0 1 1 2 0 1 1 2 1 1 0 1 4 3 1 0 1 0 2 1 0 0 1 2        . Khai triển theo cột 2 ta được 1 1 1 2 1 1 4 3 1 1 0 2 1 0 1 2       Tiếp theo ta thực hiện các bước sau trên định thức cấp 4. Ta nhân cột 1 với (-1) với cột 3, sau đó nhân cột 1 với 2 rồi cộng vào cột 4. Định thức trên sẽ trở thành: 1 1 2 4 1 1 5 5 1 1 1 0 1 0 0 0      Tiếp theo ta khai triển theo dòng 4 thì được định thức Chương 2. Ma trận – Định thức Đại số tuyến tính 1 - Sưu tầm - wWw.kenhdaihoc.com 37 5 1 2 4 ( 1)( 1) 1 5 5 1 1 1 0       ■ 2) Giải phương trình 2 5 100 1 1 2 0 0 1 0 0 1 2 0 0 1 x x x x x x x x x       Giải: Ta khai triển vế trái theo dòng 2 ta được 5 2 100 1 2 ( 1) ( 1) 1 2 0 0 x x VT x x x x      Ta tiếp tục khai triển theo dòng 3 ta được 2 100 2 2 1001(1 ) (1 ) 1 x VT x x x x x     Vậy phương trình đã cho tương đương với 2 2 100(1 ) 0 1, 0x x x x      ■ 4.7 Nhận xét: Trong thực tế ta thường sử dụng các phép biến đổi tương đương trên dòng (cột) để đưa ma trận A về dạng tam giác trên (hoặc tam giác dưới), sau đó áp dụng công thức Laplace để tính det A. 5. Các phương pháp tính định thức cấp n: Đối với các định thức có cấp n khá lớn (n>3), thì người ta thường không sử dụng định nghĩa để tính định thức đó mà sử dụng một trong các phương pháp sau: 5.1 Phương pháp biến đổi định thức về dạng tam giác: Sử dụng các phép biến đổi tương đương trên dòng (cột) của ma trận và sử dụng các tính chất của định thức để biến đổi ma trận của định thức về dạng tam giác. Định thức sau cùng sẽ bằng tích các phần tử trên đường chéo chính. Ví dụ: Tính định thức cấp n với ( 2)n  sau đây 1 2 2 ... 2 2 2 2 ... 2 2 2 3 ... 2 ... ... ... ... ... 2 2 2 ... n Giải: Ta nhân dòng 2 với (-1) rồi cộng vào các dòng 3, 4, …, n. Ta sẽ được định thức sau: Chương 2. Ma trận – Định thức Đại số tuyến tính 1 - Sưu tầm - wWw.kenhdaihoc.com 38 1 2 2 ... 2 2 2 2 ... 2 0 0 1 ... 0 ... ... ... ... ... 0 0 0 ... ( 2)n  Ta nhân dòng 1 với (-2) rồi cộng vào dòng 2. Ta được định thức sau: 1 2 2 ... 2 0 2 2 ... 2 ( 2)( 2)!0 0 1 ... 0 ... ... ... ... ... 0 0 0 ... ( 2) n n        ■ Ví dụ 2: Tính định thức sau: ... ... ... ... ... ... ... ... ... a b b b b a b b b b a b b b b a Giải: Ta cộng tất cả các cột còn lại vào cột 1. Ta được định thức sau: ( 1) ... ( 1) ... ( 1) ... ... ... ... ... ... ( 1) ... a n b b b b a n b a b b a n b b a b a n b b b a         Ta nhân dòng (1) với (-1) rồi cộng vào các dòng còn lại, ta được định thức sau: 1 ( 1) ... 0 0 ... 0 ( ( 1) )( )0 0 ... 0 .... .... .... .... .... 0 0 0 ... n a n b b b b a b a n b a ba b a b          ■ 5.2 Phương pháp quy nạp: Áp dụng các tính chất của định thức, ta biến đổi, khai triển định thức theo dòng, hoặc theo cột để biểu diễn định thức cần tính qua các định thức có cấp bé hơn nhưng có cùng dạng. Từ đó ta sẽ nhận được công thức truy hồi. Sử dụng công thức truy hồi và tính trực tiếp các định thức cùng dạng cấp 1, cấp 2 để suy ra định thức cần tính. Ví dụ: Tính định thức sau Chương 2. Ma trận – Định thức Đại số tuyến tính 1 - Sưu tầm - wWw.kenhdaihoc.com 39 1 1 1 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 ... 1 ... ... ... ... ... ... 1 n n n n n n n a b a b a b a b a b a b D a b a b a b     Giải Ta tách định thức theo cột thứ n, ta được 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 1 ... 0 1 ... ... 0 ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 1 0 ... 1 ... 1 ... 1 ... 0 ... n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b D a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b                        1 1 1 1 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ... 0 ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 1 0 ... 1 ... 1 ... n n n n n n n n n n n n n n n n n a b a b a a b a b a b a b a b a b a b a a b a b a b a b a                Ta khai triển định thức đầu theo cột thứ n ta được định thức đầu bằng 1nD  . Nhân cột thứ n của định thức thứ 2 với ( )ib rồi cộng vào các cột thứ i với i tương ứng nhận các giá trị từ 1, 2, …., n-1. Ta có 1 2 1 1 1 1 0 ... 0 0 1 ... 0 ... ... ... ... ... 0 0 ... 1 0 0 ... 0 n n n n n n n n a a D D b D b a a a        Từ đó ta có công thức truy hồi 1n n n nD D b a  . Suy ra, 1 2 1 1 1 2 2 1 1( ) ... ...n n n n n n n n n n n n nD D b a D b a b a D b a b a b a                Mặt khác, 1 1 11D b a  . Do đó, 1 1 2 21 ...n n nD b a b a b a     ■ Ví dụ 2: Cho , ,a b a b  . Hãy tính định thức sau 0 ... 0 0 1 ... 0 0 ... ... ... ... ... ... 0 0 0 ... 0 0 0 ... 0 n a b ab a b ab D a b ab a b      Giải: Khai triển định thức theo dòng đầu ta được Chương 2. Ma trận – Định thức Đại số tuyến tính 1 - Sưu tầm - wWw.kenhdaihoc.com 40 1 1 0 ... 0 0 0 ... 0 0 ( ) ... ... ... ... ... ... 0 0 0 ... 0 0 0 ... 0 n n ab a b ab D a b D ab a b ab a b        Tiếp tục khai triển định thức sau theo cột 1 ta có 1 2( )n n nD a b D abD    với 3n  . Suy ra, 1 1 2( )n n n nD aD b D aD     (1) và 1 1 2( )n n n nD bD a D bD     (2) với 3n  Áp dụng công thức truy hồi trên ta suy ra được Từ (1) 2 2 1 1 2 2 3 2 1( ) ( ) .... ( ) n n n n n n n nD aD b D aD b D aD b D aD b               Từ (2) 2 21 1 2 2 3 2 1( ) ( ) ... ( ) n n n n n n n nD bD a D bD a D bD a D bD a               Với 2 2 2D a b ab   và 1D a b  Suy ra, 1 1n n n a b D a b     ■ 5.3 Phương pháp biểu diễn định thức thành tổng các định thức Nhiều định thức cấp n có thể tính được bằng cách tách định thức theo các dòng (hoặc theo các cột) thành tổng các định thức cùng cấp. Các định thức mới này thường bằng 0 hoặc tính được dễ dàng. Ví dụ: Tính định thức 1 1 1 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 ... 1 ... ... ... ... ... ... 1 n n n n n n n a b a b a b a b a b a b D a b a b a b     Giải: Ở mỗi cột của Dn được viết thành tổng của hai cột mà ta ký hiệu là cột loại 1 và cột loại 2 như sau: 1 1 1 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 0 ... 0 0 1 ... 0 ... ... ... ... 0 0 ... 1 n n n n n n n a b a b a b a b a b a b D a b a b a b           (2) (1) (2) (1) (2) Ta lần lượt tách các cột của định thức, sau n lần tách ta có nD là tổng của 2 n định thức cấp n. Cột thứ i của định thức này chính là cột loại 1 hoặc loại 2 của cột thứ i của định thức nD . Ta chia 2 n định thức thành 3 dạng như sau: Dạng 1: Bao gồm các định thức có từ 2 cột loại 2 trở lên, do các cột loại 2 tỉ lệ nên tất cả các định thức dạng này đều bằng 0. Dạng 2: Bao gồm các định thức có đúng 1 cột loại 2 còn các cột khác là cột loại 1. Giả sử cột thứ i của định thức này là cột loại 2. Khi đó ta có định thức dạng này Chương 2. Ma trận – Định thức Đại số tuyến tính 1 - Sưu tầm - wWw.kenhdaihoc.com 41 1 2 , 1 0 ... ... 0 0 1 ... ... 0 ... ... ... .... .... ... 0 0 ... ... 1 i i n i n i a b a b D a b  cột (i) Khai triển Laplace theo cột thứ i ta có ,n i i iD a b . Vì có tất cả n định thức dạng 2 nên tổng các định thức dạng 2 là 1 n i i i a b   Dạng 3: Không có cột loại 2 nào, tức là tất cả các cột của định thức là loại 1 nên định thức ở dạng này là 1 0 ... 0 0 1 ... 0 1 ... ... ... ... 0 0 ... 1  Vậy 1 1 n n i i i D a b    ■ 5.4 Phương pháp biểu diễn định thức thành tích các định thức: Giả sử cần tính định thức D cấp n. Ta sẽ biểu diễn ma trận tương ứng A của D thành tích các ma trận vuông cấp n đơn giản hơn: A = B.C. Khi đó, ta có D = detA = det(B.C)=detB. det C. Tìm được detB và detC ta sẽ tính được D. Ví dụ: Tính định thức cấp n, 2n  1 1 1 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 1 ... 1 1 1 ... 1 ... ... ... ... 1 1 ... 1 n n n n n n x y x y x y x y x y x y D x y x y x y           Giải Với 2n  ta có 1 1 1 1 2 1 2 1 2 3 2 1 2 2 2 1 1 2 1 0 ... 0 1 1 1 ... 1 1 1 ... 1 1 0 ... 0 ... 1 1 ... 1 ... ... ... ... ... 0 0 0 ... 0 ... ... ... ... 1 0 ... 0 ... ... ... ... ... 1 1 ... 1 1 0 ... 0 0 0 0 .. n n n n n n n n n x x y x y x y x y y y y x y x y x y A x x y x y x y x                                  . 0                B C Do đó 2 1 2 1 0 , 2 det det .det ( )( ), 2 n A B C x x y y n        Ví dụ: Tính định thức cấp n 2n  Chương 2. Ma trận – Định thức Đại số tuyến tính 1 - Sưu tầm - wWw.kenhdaihoc.com 42 1 1 2 1 2 1 2 2 1 2 sin(2 ) sin( ) ... sin( ) sin( ) sin(2 ) ... sin( ) ... ... ... ... sin( ) sin( ) ... sin(2 ) n n n n n D                       Giải: Ta có 1 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 1 2 2 3 3 sin(2 ) sin( ) ... sin( ) sin( ) sin(2 ) ... sin( ) ... ... ... ... sin( ) sin( ) ... sin(2 ) sin cos 0 ... 0 sin cos 0 ... 0 sin cos 0 ... 0 ... ... ... ... ... sin cos 0 ... 0 n n n n n n n A                                           1 2 3 2 2 3 cos cos cos ... cos sin sin sin ... sin . 0 0 0 ... 0 ... ... ... ... ... 0 0 0 ... 0 n n                                  (B) (C) Ta có 2 1 2 0 , 2 det det .det sin ( ), 2 n A B C n         ■ 5.5 PP. Tính định thức bằng cách rút ra nhân tử tuyến tính Nếu mỗi phần tử của ma trận vuông A cấp n là một đa thức bậc nhất đối với biến x nào đó, thì định thức |A| là một đa thức của các biến đó với bậc không quá n. Nếu bằng cách nào đó, ta tìm được n đa thức bậc nhất f1, f2, …,fn có nghiệm khác nhau sao cho mỗi fi là ước của |A|, thì ta có thể kết luận |A| và tích f1f2…fn sai khác nhau một nhân tử hằng số. Ví dụ: Tính 0 0 0 0 x y z x z y y z x z y x Nhận xét: Cộng tất cả các cột sau vào cột đầu tiên, ta thấy định thức chia hết cho x + y + z vì 0 1 0 0 1 0 ( ) 0 0 1 0 0 0 1 0 x y z x y z x y z x y z x z y x y z z y z y x y z y z x x y z z x z x z y x x y z y x y x             Nếu nhân cột thứ ba và thứ tư với (-1) rồi cộng cả ba cột còn lại vào cột (1) ta thấy định thức chia hết cho y + z - x, thật vậy Chương 2. Ma trận – Định thức Đại số tuyến tính 1 - Sưu tầm - wWw.kenhdaihoc.com 43 0 1 0 0 1 0 ( ) 0 0 1 0 0 0 1 0 x y z x y z x y z x y z x z y x z y z y z y x y z y z x y z x z x z x z y x x y z y x y x                 Nếu nhân cột thứ hai và cột thứ tư với (-1) rồi cộng cả 3 cột vào cột (1) thì định thức chia hết cho x – y + z 0 1 0 0 1 0 ( ) 0 0 1 0 0 0 1 0 x y z x y z x y z x y z x z y x z y z y z y x y z y z x y z x z x z x z y x x y z y x y x                Nếu nhân cột thứ hai và cột thứ ba cho (-1) rồi cộng cả ba cột vào cột (1) ta được định thức chia hết cho x+y – z. 0 1 0 0 1 0 ( ) 0 0 1 0 0 0 1 0 x y z x y z x y z x y z x z y x z y z y z y x y z y z x x y z z x z x z y x z x y y x y x                Vậy định thức trên chia hết cho (x+y+z)(y+z-x)(x-y+z)(x+y – z) Tích này chứa z4 với hệ số (-1) trong đó định thức lại chứa z4 với hệ số +1. Cho nên D = -(x+y+z)(y+z-x)(x-y+z)(x+y – z) Chương 2. Ma trận – Định thức Đại số tuyến tính 1 - Sưu tầm - wWw.kenhdaihoc.com 44 Bài 3: Hạng của ma trận, cách tính hạng của ma trận _____________________________________________ 1. Định nghĩa: Cho A là ma trận cấp mxn khác không. Hạng của ma trận A là số tự nhiên r, 1 min{ , }r m n  thỏa mãn các điều kiện sau:  Tồn tại ít nhất một định thức con cấp r của ma trận A khác 0.  Mọi định thức con cấp lớn hơn r (nếu có) của ma trận A đều bằng 0. Nói cách khác hạng của ma trận 0A  chính là cấp cao nhất của các định thức con khác không của ma trận A. Hạng của ma trận A, ký hiệu là r(A) và rank(A). Quy ước: Hạng của ma trận 0 bằng 0. 2. Ví dụ: Tìm hạng của ma trận A sau: 1 2 3 0 3 2 1 0 0 0 5 0 4 4 4 0 A  Ma trận A có duy nhất một định thức cấp 4 và nó bằng 0. Tồn tại một định thức con cấp 3 của A là 1 2 3 3 2 1 20 0 0 0 5    . Vậy rank(A)=3 3. Các tính chất: 3.1 Tính chất 1: Hạng của ma trận không đổi qua các phép biến đổi sau:  Phép chuyển vị ma trận. Tức là ( ) ( ).Trank A rank A  Các phép biến đổi sơ cấp dòng hoặc cột.  Bỏ đi các dòng hoặc các cột gồm toàn số 0.  Bỏ đi các dòng hoặc các cột là tổ hợp tuyến tính của các dòng hay các cột khác. 3.2 Tính chất 2: Nếu A là ma trận vuông cấp n thì:  ( ) det 0rank A n A    ( ) det 0rank A n A   Nếu xảy ra trường hợp đầu thì ta nói ma trận vuông A không suy biến. Nếu xảy ra trường hợp hai thì ta nói ma trận vuông A suy biến. 3.3 Tính chất 3:  Nếu A, B là các ma trận cùng cấp thì ( )rank A B rankA rankB   .  Cho A, B là các ma trận sao cho tồn tại tích AB. Khi đó, ( ) min{ , }rank AB rankA rankB  Nếu A tương đương dòng (cột) với B thì rank (A ) = rank (B ) Chương 2. Ma trận – Định thức Đại số tuyến tính 1 - Sưu tầm - wWw.kenhdaihoc.com 45 4. Cách tính hạng của ma trận: 4.1 Tìm hạng của ma trận bằng phương pháp định thức Từ định nghĩa hạng của ma trận ta có thể suy ra thuật toán sau để tính hạng của ma trận A cấp mxn ( 0)A  . Bước 1: Tìm một định thức con cấp k khác 0. Số k càng lớn càng tốt. Giả sử định thức con cấp k khác không là kD . Bước 2: Xét tất cả các định thức con cấp k+1 của A chứa định thức kD . Xảy ra 3 khả năng sau: 1. Không có một định thức con cấp k+1 nào của A. Khả năng này xảy ra khi k =min{m, n}. Khi đó rankA = k. Thuật toán kết thúc. 2. Tất cả các định thức con cấp k+ 1 chứa định thức kD đều bằng 0 . Khi đó rankA = k và thuật toán kết thúc. 3. Nếu tồn tại ,một định thức con cấp k+1 của A là 1kD  chứa định thức con kD khác 0. Khi đó ta lập lại bước 2 với 1kD  thay cho vị trí của kD . Tiếp tục như vậy đến khi xảy ra trường hợp 1 hoặc 2 thì thuật toán kết thúc. Ví dụ: Tính hạng của ma trận sau: 1 2 2 1 4 1 1 1 1 3 1 3 3 2 2 2 1 1 0 1 A            Giải: Xét ma trận tạo bởi hai dòng đầu 1 2 1 1 A       có định thức detA = 3. Ta xét tiếp ma trận tạo bởi các cột 1, 2, 4 và dòng 1, 2, 3 ta có ma trận 1 2 1 1 1 1 1 3 2 B          chứa ma trận A và có detB = 1. Tiếp tục xét các ma trận con cấp 4 chứa ma trận B thì có hai ma trận B1 và B2 1 1 2 2 1 1 1 1 1 1 3 3 2 2 1 1 0 B            2 1 2 1 4 1 1 1 3 1 3 2 2 2 1 0 1 B            Vậy detB1 và detB2 đều bằng 0. Cả hai định thức này đều bằng 0. Do đó rankA = 3.■ Nhận xét: Việc tính hạng ma trận bằng sử dụng định thức khá phức tạp nên trong thực tế ta thường ít sử dụng phương pháp này, mà người ta thường sử dụng phương pháp tìm hạng ma trận bằng cách sử dụng các phép biến đổi tương đương trên ma trận. Chương 2. Ma trận – Định thức Đại số tuyến tính 1 - Sưu tầm - wWw.kenhdaihoc.com 46 4.2 Tìm hạng của ma trận bằng cách sử dụng các phép biến đổi sơ cấp (PP. Gauss) 4.2.1 Nhận xét: Ma trận A cấp mxn khác không được gọi là ma trận bậc thang nếu tồn tại một số tự nhiên r thỏa 1 min{ , }r m n  thỏa các điều kiện sau: (1) r dòng đầu khác 0. Các dòng thứ r +1 trở đi (nếu có) đều bằng 0. (2) Xét dòng thứ k với 1 k r  . Nếu kki a là phần tử đầu tiên bên trái (tính từ trái sang phải) khác không của dòng k thì ta phải có 1 2 ... ri i i   . Các phần tử kki a được gọi là các phần tử đánh dấu của ma trận A. Các cột chứa các phần tử được đánh dấu 1 2{ , ,..., }ri i i gọi là cột đánh dấu của ma trận A. Điều kiện (2) có thể phát biểu lại: Nếu đi từ trên xuống thì các phần tử được đánh dấu phải lùi dần về bên phải. Do đó, ma trận bậc thang có dạng như sau: 1 2 1 2 0...0 ... .... ... .... 0...0 0...0 ... ... ... ... ... ... ... ... .... ... ... ... ... ... 0...0 0..0 0...0 ... 0...0 0...0 ... ... ... ... ... ... 0...0 0..0 0..0 0..0 0...0 0...0 r i i ri a a A a                         4.2.2 Nhận xét: Nếu A là ma trận bậc thang thì số r các dòng khác 0 trong định nghĩa chính là rankA. Hay rankA = r. Thật vậy chỉ có định thức con cấp r của A khác 0 chính là định thức rD tạo ra bởi r dòng đầu và r cột đánh dấu bởi các cột 1 2{ , ,..., }ri i i . Ngoài ra, các định thức con cấp r +1 của A đều tạo bởi r + 1 dòng nào đó nên có ít nhất một dòng bằng không. Do đó, chúng đều bằng 0. 4.2.3 Ví dụ: Các ma trận bậc thang 1 3 2 8 0 3 8 0 0 0 0 1 0 0 0 0 A             Khi đó rankA = 3 (bằng số dòng khác 0 của A) 1 1 2 3 4 0 0 1 8 0 0 7 0 0 0 3 0 6 0 0 0 0 0 7 0 0 0 0 0 0 B                 . Khi đó rank B = 4 (Bằng số dòng khác 0 của B). 4.2.4 Nhắc lại các phép biến đổi sơ cấp trên ma trận Ba phép biến đổi sau đây được gọi là phép biến đổi sơ cấp trên dòng của ma trận:  Đổi chổ hai dòng cho nhau;  Nhân một dòng cho một số khác 0; Chương 2. Ma trận – Định thức Đại số tuyến tính 1 - Sưu tầm - wWw.kenhdaihoc.com 47  Nhân một dòng cho một số bất kỳ rồi cộng vào dòng khác.  Nếu thay từ dòng bằng từ cột, ta có các phép biến đổi sơ cấp trên cột. 4.2. 5 Tìm hạng của ma trận bằng phương pháp sử dụng các phép biến đổi sơ cấp Nội dung của phương pháp này được dựa trên 2 nhận xét sau:  Các phép biến đổi sơ cấp không làm thay đổi hạng của ma trận;  Một ma trận khác ma trận 0 bất kỳ đều có thể đưa về dạng ma trận bậc thang sau một số hữu hạn phép biến đổi sơ cấp trên dòng. Vậy muốn tìm hạng của ma trận A, ta sẽ dùng các phép biến đổi sơ cấp đưa ma trận A về dạng bậc thang, từ đó suy ra hạng của ma trận A bằng hạng của ma trận bậc thang và bằng đúng số dòng khác 0 của nó. 4.2.6 Thuật toán để đưa ma trận khác 0 bất kỳ về dạng ma trận bậc thang bằng các phép biến đổi sơ cấp: a) Thuật toán: Xét ma trận 11 12 1 21 22 2 1 2 ... ... ... n n m m mn a a a a a a A a a a                 Bước 1:  Bằng cách đổi chỗ hai dòng cho nhau nếu cần để 11 0a  .  Ta nhân dòng (1) với 21 11 a a  rồi cộng vào dòng (2).  Ta nhân dòng (1) với 31 11 a a  rồi cộng vào dòng (3). …  Ta nhân dòng (1) với 1 11 ma a  rồi cộng vào dòng (m). Khi đó ta nhận được ma trận 11 12 1 22 2 1 32 3 2 ... ... 0 ... ... 0 ... ... 0 ... ... n n n m mn a a a b b A b b b b                     Nhận xét: ở ma trận 1A thì chỉ có giá trị 11 0a  còn tất cả các phần tử khác của cột 1 đều bằng 0. Chú ý: Nếu ở ma trận A ban đầu mọi phần tử ở cột 1 đều bằng 0 thì ta có thể bỏ qua cột 1 mà thực hiện bước 1 đối với cột kế tiếp. Bước 2: Xét ma trận 22 23 2 32 33 3 2 3 ... ... ... n n m m mn b b b b b b B b b b                 Chương 2. Ma trận – Định thức Đại số tuyến tính 1 - Sưu tầm - wWw.kenhdaihoc.com 48 Nếu ma trận B có dạng bậc thang, hoặc ma trận B = 0 thì suy ra ma trận A1 có dạng bậc thang và thuật toán kết thúc. Trong trường hợp ngược lại, thì thực hiện bước 1 cho ma trận B. Vì ma trận B có ít hơn ma trận A1 dòng và 1 cột, nên thuật toán sẽ kết thúc sau một số hữu hạn các bước lặp. b) Ví dụ: Tính hạng của ma trận 0 1 3 4 6 1 3 4 5 2 3 5 2 3 4 2 3 5 6 4 A               Giải: 3 1 31 2 4 1 4 3 2 1 3 4 5 2 1 3 4 5 2 0 1 3 4 6 0 1 3 4 6 3 5 2 3 4 0 4 10 12 2 2 3 5 6 4 0 3 13 16 8 d d dd d d d d A                                    3 2 3 4 4 3 4 2 4 4 3 1 3 4 5 2 1 3 4 5 2 0 1 3 4 6 0 1 3 4 6 0 0 22 28 26 0 0 22 28 26 0 0 22 28 26 0 0 0 0 0 d d d d d d d d d                                 Vậy rankA = 3■ Ví dụ 2: Tính hạng của ma trận sau: 1 1 ... 1 1 1 ... 1 1 1 1 ... a a B a                  Giải: 2 2 1 1 2 3 3 3 1 1 ... ... ( 1) 1 1 ... 1 ( 1) 1 1 ... 1 ( 1) 1 ... 1 0 1 0 ... 0 ( 1) 1 1 ... 0 0 0 ... 1 n n n d d d c c c c d d d d d d a n a n a n a a B C a n a a                                                     Nếu (1 ), 1a n a   thì ma trận C là ma trận bậc thang cấp n. Khi đó, rankB = rankC = n. Nếu a = 1 thì ma trận C là ma trận bậc thang. Khi đó rank B = rankC = 1. Nếu a = 1 – n thì khi đó Chương 2. Ma trận – Định thức Đại số tuyến tính 1 - Sưu tầm - wWw.kenhdaihoc.com 49 0 1 1 ... 1 0 0 ... 0 0 0 0 ... n C n                 . Khi đó C là ma trận bậc thang có định thức cấp n – 1 khác 0, đó là định thức 1 0 0 0 0 0 0 ( ) 0 0 0 0 n n n n n            và det C = 0. Do đó, rankB = rank C = n – 1. ■ Ví dụ 3 Tìm điều kiện của m để hạng ma trận sau bằng 1. 1 3 4 2 6 3 9 12 A m          Giải Nhận thấy ma trận A có hai dòng 1 và 3 tỉ lệ với nhau, do đó để ma trận có hạng bằng 1 thì m = 8. Nhận xét: Do ( ) ( )Trank A rank A nên ta có thể thay thế các phép biến đổi trên dòng bởi các phép biến đổi trên cột để đưa ma trận A về dạng bậc thang từ đó suy ra hạng của ma trận A. Chương 2. Ma trận – Định thức Đại số tuyến tính 1 - Sưu tầm - wWw.kenhdaihoc.com 50 Bài 4: Ma trận nghịch đảo ______________________ 1. Các khái niệm: Cho ( )nA M K , ma trận A được gọi là khả nghịch trái nếu tồn tại ma trận ( )nB M K sao cho . nB A I . Tương tự ma trận A được gọi là khả nghịch phải nếu tồn tại ma trận ( )nC M K sao cho . nAC I . Ma trận A được gọi là ma trận khả nghịch nếu A là ma trận khả nghịch trái và khả nghịch phải tức là tồn tại ma trận B vuông cấp n sao cho AB = BA = In (1), với In là ma trận đơn vị. Nếu A là ma trận khả nghịch thì ma trận B thỏa điều kiện (1) là duy nhất và ma trận B được gọi là ma trận nghịch đảo của ma trận A, ký hiệu A-1. Vậy 1 1 nAA A A I    . 2. Ví dụ: Cho ma trận 3 4 6 0 1 1 2 3 4 A           và 1 2 2 2 0 3 2 1 3 B           Ta có thể kiểm tra được nAB BA I  . Do đó ma trận A khả nghịch và ma trận nghịch đảo của nó là ma trận B. 3. Các tính chất: - A khả nghịch  A là ma trận không suy biến, tức là det 0.A  - Nếu A và B là hai ma trận khả nghịch thì tích AB cũng là ma trận khả nghịch và 1 1 1( )AB B A   . Nhận xét: Cho ( )nA M K khi đó, i) A khả nghịch trái  A khả nghịch phải  A khả nghịch. ii) Nếu A khả nghịch thì 1 1| | | |A A  iii) Nếu A có 1 dòng (hoặc 1 cột ) bằng 0 thì A không khả nghịch. iv) Nếu A khả nghịch thì 1, , ( , 0)TA A A K     cũng khả nghịch và     11 1 1 1 11;( ) ; ( ) TTA A A A A A         4. Định lý: Nếu 1 2, ,..., ( )k nA A A M K khả nghịch thì tích 1 2... kA A A cũng khả nghịch và 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1( .... ) . ... .k k kA A A A A A A       5 Các phương pháp tìm ma trận nghịch đảo 5.1 Phương pháp tìm ma trận nghịch đảo bằng cách sử dụng định thức 5.1.1 Phần bù đại số - Ma trận phụ hợp của ma trận Cho A là ma trận vuông cấp n, nếu ta bỏ đi dòng i và cột j của ma trận A ta được ma trận con cấp n-1 của ma trận A ký hiệu ijM . Khi đó, ( 1) det( ) i j ij ijA M   được gọi là phần bù đại số của phần tử nằm ở dòng i và cột j của ma trận A. Chương 2. Ma trận – Định thức Đại số tuyến tính 1 - Sưu tầm - wWw.kenhdaihoc.com 51 Ma trận 11 21 1 11 12 1 12 22 2 21 22 2 1 2 1 2 ... ... ... ... ... ... T n n n n A n n nn n n nn A A A A A A A A A A A A P A A A A A A                                  được gọi là ma trận phụ hợp của ma trận A. Ví dụ: Cho 1 1 1 1 2 3 1 4 9 A          khi đó 1 1 11 2 3 ( 1) 6 4 9 A    ; 1 2 12 1 3 ( 1) 6 1 9 A     ; 1 3 13 1 2 ( 1) 2 1 4 A    2 1 21 1 1 ( 1) 5 4 9 A     ; 2 2 22 1 1 ( 1) 8 1 9 A    ; 2 3 23 1 1 ( 1) 3 1 4 A     3 1 31 1 1 ( 1) 1 2 3 A    ; 3 2 32 1 1 ( 1) 2 1 3 A     ; 3 3 33 1 1 ( 1) 1 1 2 A    Suy ra ma trận phụ hợp 6 5 1 6 8 2 2 3 1 AP           5.1.2Thuật toán tìm ma trận nghịch đảo của ma trận A: Nếu det A = 0 thì A không khả nghịch, tức là A sẽ không có ma trận nghịch đảo. Nếu det 0A  thì A khả nghịch và 1 1 det A A P A   . 5.1.3 Ví dụ: a) Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận sau: 1 2 1 0 1 1 1 2 3 A          Giải: Ta có detA = 2. Vậy A khả nghịch. Tìm ma trận phụ hợp PA của A. 1 1 11 1 1 ( 1) 1 2 3 A    , 1 2 12 0 1 ( 1) 1 1 3 A    , 1 3 13 0 1 ( 1) 1 1 2 A     , 2 1 21 2 1 ( 1) 4 2 3 A     , 2 2 22 1 1 ( 1) 2 1 3 A    , 2 3 23 1 2 ( 1) 0 1 2 A    3 1 31 2 1 ( 1) 1 1 1 A    , 3 2 32 1 1 ( 1) 1 0 1 A     , 3 3 33 1 2 ( 1) 1 0 1 A    Chương 2. Ma trận – Định thức Đại số tuyến tính 1 - Sưu tầm - wWw.kenhdaihoc.com 52 Suy ra, 1 4 1 1 2 1 1 0 1 AP          . Do đó, 1 1 4 1 1/ 2 2 1/ 2 1 1 2 1 1/ 2 1 1/ 2 2 1 0 1 1/ 2 0 1/ 2 A                        ■ b) Cho ma trận 1 2 2 2 2 5 1 1 A m m m m            . Tìm điều kiện của m để A khả nghịch. Giải: Để A khả nghịch thì det 0 ( 1)( 3) 0A m m     . Vậy A khả nghịch khi và chỉ khi 1m  và 3m  . Nhận xét: Đối với việc tìm ma trận nghịch đảo của một định thức A có cấp n > 3 ta sẽ phải tính một định thức cấp n và 2n định thức cấp n – 1. Do đó, phương pháp này không hiệu quả đối với những định thức cấp lớn. Do đó với những định thức cấp n >3 ta thường sử dụng phương pháp sau: 5.2 Phương pháp tìm ma trận nghịch đảo dựa vào các phép biến đổi sơ cấp (pp Gauss) Để tìm ma trận nghịch đảo của ma trận vuông A cấp n ta lập ma trận có cấp nx2n sau đây: 11 12 1 21 22 2 1 2 ... 1 0 ... 0 ... 0 1 ... 0 ... 0 0 ... 1 n n n n n nn a a a a a a A I a a a                         Sau đó ta sử dụng các phép biến đổi sơ cấp trên dòng để đưa ma trận  | nA I về dạng  |nI B . Khi đó, ma trận B chính là ma trận nghịch đảo của ma trận A. Chú ý: Nếu trong quá trình biến đổi nếu vế bên trái của ma trận xuất hiện toàn số 0 thì ma trận A không khả nghịch. Ví dụ: Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận sau: 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 A             Giải: Xét ma trận sau: Chương 2. Ma trận – Định thức Đại số tuyến tính 1 - Sưu tầm - wWw.kenhdaihoc.com 53 1 1 1 1 2 3 4 2 2 1 3 3 1 4 4 1 3 0 1 1 1 1 0 0 0 3 3 3 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1/ 3 1/ 3 1/ 3 1/ 3 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 d dd d d d d d d d d d d d d                                                     1 1 2 3 4 1 1 1 1 1 1/ 3 1/ 3 1/ 3 1/ 3 1 0 0 0 2 / 3 1/ 3 1/ 3 1/ 3 0 1 0 0 1/ 3 2 / 3 1/ 3 1/ 3 0 1 0 0 1/ 3 2 / 3 1/ 3 1/ 3 0 0 1 0 1/ 3 1/ 3 2 / 3 1/ 3 0 0 1 0 1/ 3 1/ 3 2 / 3 1/ 3 0 0 0 1 1/ 3 1/ 3 1/ 3 2 / 3 0 0 0 1 1/ 3 1/ 3 1/ 3 2 / 3 d d d d d d                                             2 2 3 3 4 4 1 0 0 0 2 / 3 1/ 3 1/ 3 1/ 3 0 1 0 0 1/ 3 2 / 3 1/ 3 1/ 3 0 0 1 0 1/ 3 1/ 3 2 / 3 1/ 3 0 0 0 1 1/ 3 1/ 3 1/ 3 2 / 3 d d d d d d                         Vậy ma trận nghịch đảo của ma trận A là 1 2 / 3 1/ 3 1/ 3 1/ 3 1/ 3 2 / 3 1/ 3 1/ 3 1/ 3 1/ 3 2 / 3 1/ 3 1/ 3 1/ 3 1/ 3 2 / 3 A           ■ (Sinh viên có thể dùng phương pháp 1 để tính lại ma trận nghịch đảo của ma trận A). 4.3 Phương pháp tìm ma trận nghịch đảo bằng cách giải hệ phương trình Cho ma trận vuông A cấp n ta có: 11 12 1 21 22 2 1 2 ... ... ... n n n n nn a a a a a a A a a a                 Để tìm ma trận nghịch đảo 1A , ta lập hệ phương trình 11 1 12 2 1 1 21 1 22 2 2 2 1 1 2 2 ... ... (1) ... n n n n n n nn n n a x a x a x y a x a x a x y a x a x a x y                  Trong đó 1 2, ,..., nx x x là các biến và 1 2, ,..., ny y y là các tham số. - Nếu với mọi tham số 1 2, ,..., ny y y thì hệ (1) luôn có nghiệm duy nhất 1 11 1 12 2 1 2 21 1 22 2 2 1 1 2 2 ... ... ... n n n n n n n nn n x b y b y b y x b y b y b y x b y b y b y                  Khi đó, 11 12 1 21 22 21 1 2 ... ... ... n n n n nn b b b b b b A b b b                  Chương 2. Ma trận – Định thức Đại số tuyến tính 1 - Sưu tầm - wWw.kenhdaihoc.com 54 - Nếu tồn tại 1 2, ,..., ny y y để hệ (1) vô nghiệm hay có vô số nghiệm thì ma trận A không khả nghịch. Ví dụ: Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 a a A a a             Giải Ta lập hệ phương trình sau: 1 2 3 4 1 1 2 3 4 2 1 2 3 4 3 1 2 3 4 4 (1) (2) (3) (4) ax x x x y x ax x x y x x ax x y x x x ax y                    Cộng hai vế của hệ phương trình ta có 1 2 3 4 1 2 3 4( 3)( ) ( )a x x x x y y y y        (*) Nếu a = -3 ta có thể chọn các tham số 1 2 3 4, , ,y y y y sao cho 1 2 3 4 0y y y y    . Khi đó (*) vô nghiệm nên hệ phương trình trên vô nghiệm suy ra ma trận A không khả nghịch. Nếu 3a   thì từ (*) ta có 1 2 3 4 1 2 3 4 1 ( 3) x x x x y y y y a         (**). Ta lần lượt lấy các dòng (1), (2), (3), (4) trừ cho (**) thì         1 1 2 3 4 2 1 2 3 4 3 1 2 3 4 4 1 2 3 4 1 ( 1) ( 2) 3 1 ( 1) ( 2) 3 1 ( 1) ( 2) 3 1 ( 1) ( 2) 3 a x a y y y y a a x y a y y y a a x y y a y y a a x y y y a y a                                Nhận xét: - Nếu a = 1 ta có thể chọn các giá trị của các tham số 1 2 3 4, , ,y y y y sao cho 1 2 3 4( 2) 0a y y y y     khi đó hệ phương trình vô nghiệm do đó A không khả nghịch. - Nếu 1a  thì         1 1 2 3 4 2 1 2 3 4 3 1 2 3 4 4 1 2 3 4 1 ( 2) ( 1)( 3) 1 ( 2) ( 1)( 3) 1 ( 2) ( 1)( 3) 1 ( 2) ( 1)( 3) x a y y y y a a x y a y y y a a x y y a y y a a x y y y a y a a                                Chương 2. Ma trận – Định thức Đại số tuyến tính 1 - Sưu tầm - wWw.kenhdaihoc.com 55 Khi đó, chọn các giá trị cho các tham số 1 2 3 4, , ,y y y y là 1 ta có ma trận nghịch đảo của ma trận A là: 1 ( 2) 1 1 1 1 ( 2) 1 11 1 1 ( 2) 1( 1)( 3) 1 1 1 ( 2) a a A aa a a                          Kết luận: Nếu a = -3, a = 1 thì ma trận A không khả nghịch. Nếu 1, 3a a   thì ma trận A khả nghịch và ma trận nghịch đảo của A được xác định bởi công thức 1 ( 2) 1 1 1 1 ( 2) 1 11 1 1 ( 2) 1( 1)( 3) 1 1 1 ( 2) a a A aa a a                          ■ 6. Ứng dụng vận dụng ma trận nghịch đảo để giải một phương trình ma trận: Xét phương trình ma trận AX = B. Nếu A khả nghịch thì 1X A B Ví dụ 1: Cho ma trận 1 2 3 4 2 1 1 2 ; ; 5 3 3 4 x x A X B x x                  . Hãy giải pt AX B Giải Vì det 0A  nên A khả nghịch và 1 3 1 5 2 A       1 0 2 1 2 X A B        Ví dụ 2: Giải phương trình ma trận sau: 1 2 2 7 3 0 3 2 4 6 8 4 2 1 0 1 0 5 X                    Sinh viên tự làm như bài tập nhỏ. Chương 2. Ma trận – Định thức Đại số tuyến tính 1 - Sưu tầm - wWw.kenhdaihoc.com 56 Tóm tắt Chương Trong chương này, chúng ta làm quen với một số khái niệm mới trong đại số tuyến tính, đó là ma trận, định thức và những kiến thức liên quan như: hạng ma trận, ma trận nghịch đảo. Đây là nội dung cơ bản làm nền tảng để học tốt các chương sau như: giải hệ phương trình tuyến tính, không gian vector. Học xong chương này, sinh viên cần trả lời được các câu hỏi sau: 1. Ma trận là gì? Nó khác với một số như thế nào? Có những phép biến đổi nào trên ma trận? Những phép toán trên ma trận như: phép cộng hai ma trận, phép nhân ma trận với một số, phép nhân hai ma trận được thực hiện như thế nào? 2. Định thức là gì? Có những tính chất gì? Cách tính định thức cấp n? 3. Hạng của ma trận là gì? Các phương pháp tìm hạng của ma trận? 4. Ma trận nghịch đảo là gì? Điều kiện để một ma trận có ma trận nghịch đảo? Các phương pháp tìm ma trận nghịch đảo? BÀI TẬP 1. Cho các ma trận 2 1 1 0 1 4 A       và 2 1 0 3 2 2 B       . Tính a) 3A + 2B; b) 4A – 3B; c) TA ; d) , T TA A AA . 2. Tính các tích của các ma trận sau: a) 1 3 2 1 4 5 3 4 1 0 2 7 2 5 3 3 2 1                   ; b) 7 5 0 2 3 3 4 1 5 3 2 3 1 1 2 1                     ; c) 0 0 1 1 2 1 2 3 2 2 2 2 3 7 1 3 3 4 i i i i                       4. Tính , kA k với A là các ma trận sau: a) 2 1 3 2 A       ; b) 1 0 1 A        ; c) 0 A           ; d) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 A          ; e) 1 1 1 0 1 1 0 0 1 A          ; f) 0 0 0 0 0 0 A             g) 1 1 0 0 1 1 0 0 1 A          5. Cho 3( ) 7 5f x x x   và 2( ) 2 3 4g x x x   . Hãy tính f(A), g(A) và f(A).g(A) với A là các ma trận trong bài tập 4. 6. Tính AB – BA trong các trường hợp sau: a) 1 2 2 3 ; 4 1 4 1 A B              Chương 2. Ma trận – Định thức Đại số tuyến tính 1 - Sưu tầm - wWw.kenhdaihoc.com 57 b) 2 3 1 1 2 2 1 3 1 0 ; 0 1 2 1 2 1 3 1 1 i i A i B i i                       c) 1 1 1 7 5 3 0 1 1 , 0 7 5 0 0 1 0 0 7 A B                    7. a) Tìm tất cả các ma trận vuông cấp 2 giao hoán với ma trận 1 2 0 1 A        ; b) Tìm tất cả các ma trận vuông cấp 3 giao hoán với ma trận 1 0 1 0 1 2 0 0 2 B          . 8. Cho ( ; )A M n K ta gọi tổng 1 n ii i a   là vết của ma trận A, ký hiệu Tr(A). Chứng minh rằng , ( ; )A B M n K  thì a) Tr(A + B) = Tr(A) + Tr(B); b) Tr(AB) = Tr(BA). Từ đó suy ra không tồn tại , ( ; )A B M n K sao cho AB – BA = In. 9. Cho ( ; )A M n K sao cho 2 0A  , đặt nB A I  . Với k , tính các biểu thức sau theo A và In. a) ; kB b) 2 ... ;kk nS I B B B     c) Tính kS khi 7 4 9 5 B       . 10. Tính các định thức sau: a) 2 3 2 0 3 9 3 1 7 ; b) 1 1 3 2 4 5 0 3 7  ; c) 2 3 4 5 6 7 8 9 1 i i i i i i i i i               ; d) 2 3 4 0 3 1 1 2 0 i i i i i      . 11. Tính          trong đó , ,   là các nghiệm của phương trình 3 0x px q   . 12. Tính các định thức sau: a) 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 x y z t b) 1 1 1 1 1 2 3 4 1 3 5 7 1 4 10 20 c) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 a a a a     d) 0 1 1 1 1 0 1 0 1 0 a b a c b c Chương 2. Ma trận – Định thức Đại số tuyến tính 1 - Sưu tầm - wWw.kenhdaihoc.com 58 e) 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 f) 1 2 3 4 2 3 4 1 3 4 1 2 4 1 2 3 g) 1 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 1 h) 0 1 0 1 1 0 1 0 a b a b a b b a 13. Giải phương trình 2 31 1 2 4 8 0 1 3 9 27 1 4 16 64 x x x  . 14. A. Chứng minh rằng các định thức sau bằng 0. a) 1 1 1 a b c b c a c a b    b) sin cos sin( ) sin cos sin( ) sin cos sin( )                c) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ab a b a b bc b c b c ac c a c a       d) 1 2 2 1 2 3 1 2 4 1 2 6 a a x b b x c c x d d x     e) x p ax bp y q ay bq z r az br    f) 1 1 1 2 a b c b c a c a b c b b a a c   h) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( 1) ( 2) ( 3) ( 1) ( 2) ( 3) ( 1) ( 2) ( 3) ( 1) ( 2) ( 3) a a a a b b b b c c c c d d d d             B. Chứng minh 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 2 a b b c c a a b c a b b c c a a b c a b b c c a a b c           15. Cho ( ; )A M n K , n lẻ. Chứng minh rằng nếu A là ma trận phản xứng thì detA = 0. 16. Chứng minh: 3 2 2 ) 2 2 ( ) 2 2 a b c a a a b b c a b a b c c c c a b          b) 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 ( ) ( ) 2 ( ) ( ) b c b c a c a c abc a b c a b a b       17. Tính định thức sau: Chương 2. Ma trận – Định thức Đại số tuyến tính 1 - Sưu tầm - wWw.kenhdaihoc.com 59 a) 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 ... 1 ... 1 ... ... 1 n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a          b) 0 1 1 ... 1 1 0 ... 1 0 ... 1 ... 0 x x x x x x      c) 1 2 3 ... 1 0 3 ... 1 2 0 ... ... ... ... ... .... 1 2 3 ... 0 n n n       d) 5 3 0 0 ... 0 0 2 5 3 0 ... 0 0 0 2 5 3 ... 0 0 .... .... .... ... .... ... ... .... .... .... .... ... .... .... 0 0 0 0 ... 5 3 0 0 0 0 ... 2 5 e) 1 2 ... ... ... n a x x x a x x x a     f) 1 1 1 2 1 2 1 2 2 2 1 2 cos( ) cos( ) ... cos( ) cos( ) cos( ) ... cos( ) cos( ) cos( ) ... cos( ) n n n n n n                                1 2 2 2 2 1 2 1 1 1 1 2 1 1 ... 1 ... ) ... ... n n n n n n x x x i x x x x x x       1 1 0 0 ... 0 0 1 1 1 0 ... 0 0 ) 0 1 1 1 ... 0 0 0 0 0 0 ... 1 1 k           3 4 0 ... 0 1 3 4 ... 0 ) 0 1 3 ... 0 ... .... ... ... ... 0 0 0 ... 3 l   1 2 3 ... 1 2 3 4 ... 1 3 4 5 ... 1 2 ) ... ... ... ... ... ... ... ... ... .... .... ... 1 2 ... 2 1 n n n m n n n    18. Tính định thức cấp 2n sau đây 0 ... 0 0 0 ... 0 ... 0 0 0 ... 0 ... ... ... ... ... ... ... ... 0 0 ... 0 ... 0 ) 0 0 ... 0 ... 0 0 0 ... 0 0 ... 0 ... ... ... ... ... ... ... ... 0 ... 0 0 0 ... a b a a b a b a a b a Chương 2. Ma trận – Định thức Đại số tuyến tính 1 - Sưu tầm - wWw.kenhdaihoc.com 60 Chú ý: tất cả các phần tử trên đường chéo chính là a, tất cả các phần tử trên đường chéo phụ là b còn tất cả các phần tử còn lại là bằng 0. 1 1 2 2 1 1 2 2 0 ... 0 0 ... 0 0 ... 0 0 ... 0 ... ... ... ... ... ... ... ... 0 0 ... 0 0 ... ) 0 ... 0 0 ... 0 0 ... 0 0 ... 0 ... ... ... ... ... ... ... ... 0 0 ... 0 0 ... n n n n a b a b a b b c d c d c d 19) Tìm hạng của các ma trận sau: 4 3 5 2 3 8 6 7 4 2 ) 4 3 8 2 7 8 6 1 4 6 a             3 1 3 2 5 5 3 2 3 4 ) 1 3 5 0 7 7 5 1 4 1 b            2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 ) 3 4 3 4 3 4 5 5 6 7 5 5 c             2 1 1 1 1 3 1 1 1 1 4 1 ) 1 1 1 5 1 2 3 4 1 1 1 1 d                   3 1 1 4 4 10 1 ) 1 7 17 3 2 2 4 3 a e             1 2 1 1 1 1 1 1 1 ) 1 0 1 1 1 2 2 1 1 a f a               2 1 11 2 1 0 4 1 ) 11 4 56 5 2 1 5 6 g            0 4 10 1 4 8 18 7 ) 10 18 40 17 1 7 17 3 h             1 1 1 1 1 1 1 1 ) 1 1 1 1 1 1 1 1 k            2 0 3 1 1 2 2 3 ) 3 2 5 4 5 2 8 5 l               20) Tìm hạng của các ma trận vuông cấp n sau đây: 1 ... 1 ... ) ... ... ... ... .... 1 a a a a a a a a a a            0 1 1 ... 1 1 0 ... ) 1 0 ... 1 ... 0 x x b x x x x                     ... ... ) ... ... ... ... ... a b b b a b c b b a             21) Với giá trị nào của  thì hạng các ma trận sau bằng 1: a) 1 2 1 2 2 3 6 3           b) 1 2 3 3 6 9 4 8 12           c) 1 3 5 4 12 5 5 15 10           Chương 2. Ma trận – Định thức Đại số tuyến tính 1 - Sưu tầm - wWw.kenhdaihoc.com 61 22) Tìm ma trận nghịch đảo của các ma trận sau bằng nhiều cách: 3 5 ) 2 3 a       b) 1 0 3 2 1 1 3 2 2          c) 1 3 2 3 2 1 2 1 3          d) 1 0 2 2 1 3 4 1 8         e) 1 2 2 2 3 6 1 1 7         f) 2 5 7 6 3 4 5 2 3           g) 5 3 2 1 2 4 7 2 6         h) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1            k) 0 0 1 1 0 3 1 4 2 7 6 1 1 2 2 1             l) 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0               m) 0 0 1 1 0 3 1 4 2 7 6 1 1 2 2 1             n) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1             o) sin cos cos sin          p) 1 1 1 3 0 1 0 0 1 1 2 3 2 2 4 5             23) Tìm ma trận nghịch đảo của các ma trận vuông cấp n sau: a) 1 ... 1 ... ... ... ... ... ... 1 a a a a a a a a a            b) 0 1 1 ... 1 1 0 ... 1 0 ... 1 ... 0 x x x x x x                     (với 2n  ) c) ... ... ... ... ... ... ... ... ... a b b b b a b b b b a b b b b a                d) 1 1 1 ... 1 1 1 1 ... 1 1 1 1 ... 1 1 1 1 ... 1 a a a a                    e) 1 2 3 ... 1 0 1 2 ... 2 1 0 0 0 ... 0 1 n n n n                   f) 1 1 1 ... 1 1 0 1 ... 1 1 1 0 ... 1 1 1 1 ... 0                     24) Tìm điều kiện của tham số để các ma trận sau khả nghịch, sau đó tìm ma trận nghịch đảo tương ứng: 1 ) 1 ; 1 a bc a b ca c ab          b) 1 3 2 3 7 5 ; 2 1 m m m          c) 1 1 1 1 a b ab b a          ; d) 1 3 5 2 1 1 2 2 3 3 4 3 i i i m i i i m i m i i               25) Cho 1 1 0 1 A        và 2 1 3 2 B        . Tính  1 ,kB AB k  26) Chứng minh nếu f là một đa thức trên K và ( ; )B M n K là một ma trận khả nghịch thì với mọi ( ; )A M n K ta có 1 1( ) ( )f B AB B f A B  Từ đó suy ra, cách để tính lũy thừa một ma trận vuông? Chương 2. Ma trận – Định thức Đại số tuyến tính 1 - Sưu tầm - wWw.kenhdaihoc.com 62 27) Cho ( ; )A M n K là một ma trận lũy linh, chứng tỏ rằng nI A và nI A là các ma trận khả nghịch. Hãy tìm ma trận nghịch đảo của các ma trận trên. 28) Ma trận nghịch đảo 1A sẽ thay đổi thế nào nếu a) Hoán vị hai dòng của A. b) Nhân một dòng với một hằng số khác 0. c) Thêm vào dòng thứ i tích của dòng j i với một hằng số  .