Bài giảng Lý thuyết đồ thị - Chương 3: Đồ thị phẳng

24/10/2013 1 1 Bài giảng: LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ (GRAPH THEORY) TRẦN QUỐC VIỆT 2 Chương 3 ĐỒ THỊ PHẲNG (Planar Graph) Nội dung 1. Khái niệm và định nghĩa 2. Công thức Euler 3. Một số đồ thị không phẳng 4. Bất đẳng thức EV 5. Định lý KURATOWSKI 6. Ứng dụng đồ thị phẳng trong:  Bài toán tô màu đồ thị  Bài toán lập lịch thi 3 1. Khái niệm và định nghĩa Bài toán cổ: “Ba nhà, ba giếng”: Có ba nhà ở gần ba cái giếng, nhưng: - Không có đường nối trực tiếp giữa các nhà với nhau - Không có đường nối trực tiếp giữa các giếng với nhau Có cách làm các đường này mà đôi một không giao nhau hay không (ngoài các điểm là nhà hay giếng)? - Mỗi nhà đều có đường đi đến cả 3 giếng 24/10/2013 2 Khái niệm và định nghĩa Biểu diễn bài toán bằng đồ thị: - Mỗi nhà ↔ một đỉnh - Mỗi giếng ↔ một đỉnh - Một đường đi giữa một nhà và một giếng ↔ một cạnh “Tồn tại hay không cách vẽ đồ thị phân đôi đầy đủ K3,3 trên một mặt phẳng sao cho không có hai cạnh nào cắt nhau?” 1 2 3 A B C K3,3 Đồ thị G:       Khái niệm và định nghĩa Định nghĩa đồ thị phẳng: - Một đồ thị được gọi là đồ thị phẳng (Planar Graph) nếu ta có thể vẽ nó trên một mặt phẳng sao cho không có hai cạnh nào cắt nhau ở một điểm không phải là đỉnh của đồ thị (việc vẽ đồ thị trên mặt phẳng gọi là biểu diễn phẳng của đồ thị) Ví dụ: 1 2 3 4 5 1 2 34 5 G Vẽ lại G Một biểu diễn phẳng của G Khái niệm và định nghĩa 7 Biểu diễn phẳng của G? Biểu diễn phẳng của Q3? K3,3 Biểu diễn phẳng của K3,3? G 1 2 34 Q3 A B C D E F G H  Biểu diễn phẳng của G và Q3 (Xem như bài tập)  Gợi ý cách c/m K3,3 không phẳng: - Ta thấy, trong mọi biểu diễn phẳng của K3,3, v1 và v2 luôn kề với v4, v5. 8 v1 v2 v4 v5 R1 R2 v3 phải nằm trong các vùng F1 hoặc F2 24/10/2013 3 9 TH1:v3 nằm trong R1 v1 v2 v4 v5 R11 R2v3 R12 v1 v2 v4 v5 R11 R2v3 R12 v1 v2 v4 v5 R11 R2v3 R12 v1 v2 v4 v5 R11 R2v3 R12 v6 v6 v6 Cạnh (v2,v6) phải cắt ít nhất 1 trong 2 cạnh (v4,v3), (v3,v5) Cạnh (v1,v6) phải cắt ít nhất 1 trong 2 cạnh (v4,v3), (v3,v5) Cạnh (v3,v6) phải cắt ít nhất 1 cạnh 10 TH2:v3 nằm trong R2 v1 v2 v4 v5 R1 R22v3 R21 v5 R2 v5 R2 v5 R2 v6 Cạnh (v3,v6) phải cắt ít nhất 1 trong 2 cạnh (v4,v2), (v2,v5) Cạnh (v1,v6) phải cắt ít nhất 1 trong 2 cạnh (v4,v2), (v2,v5) Cạnh (v2,v6) phải cắt ít nhất 1 cạnh khác v1 v2 v4 v5 R1 R22 v3 R21 v1 v2 v4 v5 R1 R22 v3 R21 v1 v2 v4 v5 R1 R22 v3 R21 v6 v6 v6 Khái niệm và định nghĩa Cho G là đồ thị phẳng:  Các cạnh của đồ thị chia mặt phẳng thành các miền (Region)  Phần giới hạn bởi một chu trình đơn không chứa bên trong một chu trình đơn khác được gọi là một miền hữu hạn.  Mọi đồ thị phẳng luôn có một miền vô hạn duy nhất.  Chu trình giới hạn miền gọi là biên của miền miền 1 Miền 2 miền 3 miền 1, miền 2: hữu hạn miền 3: vô hạn (5,4),(4,2),(2,5): Biên của miền 1 Khái niệm và định nghĩa Ví dụ: Q3 Q3 Q3 là đồ thị Phẳng F1, F2, F3, F4, F5: các miền hữu hạn F6: Miền vô hạn F1 F2 F5 F4 F3 F6 Vẽ lại1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 8 5 6 7 24/10/2013 4 Bài tập  Trong các đồ thị sau, đồ thị nào là phẳng? Nếu đồ thị là phẳng, hãy biểu diễn phẳng nó? 13 G1 G2 G3 Một số ứng dụng của đồ thị phẳng  Sản xuất bảng mạch điện tử:  Biểu diễn bằng đồ thị:  Mỗi đỉnh ↔ mỗi thành phần của board mạch  Mỗi cạnh ↔ một nối giữa 2 thành phần Nếu biểu diễn được mạch bằng một đồ thị phẳng  có thể in trên một bảng mạch đơn (single board) Nếu không biểu diễn được mạch bằng đồ thị phẳng  Có thể chia đồ thị thành các đồ thị con phẳng  sử dụng bảng mạch đa lớp (chi phí in mạch sẽ lớn hơn) 14 Một số ứng dụng của đồ thị phẳng  Xây dựng mạng giao thông: Giả sử cần xây dựng một mạng giao thông kết nối một nhóm các thành phố  Biểu diễn bằng đồ thị:  Mỗi đỉnh ↔ một thành phố  Mỗi cạnh ↔ một đường đi trực tiến giữa hai thành phố  Nếu biểu diễn được bằng một đồ thị phẳng  không cần phải xây các cầu vượt (hầm chui) 15 Cho G là đơn đồ thị phẳng liên thông với m cạnh, n đỉnh, r miền (trên biểu diễn phẳng của G) Khi đó: n – m + r = 2 2. Công thức Euler (Euler’s Fomula) c/m: Ta bỏ một số cạnh của G để thu được cây khung G’ của G - Khi bỏ 1 cạnh, số miền cũng giảm 1 1 2 34 5 R1 R2 R3 1 2 34 5 R1 R2,3 24/10/2013 5 2. Công thức Euler - Biểu thức: (Số đỉnh – số cạnh + số miền) = n-(m-1)+(r-1) = m-n+r (Có giá trị không thay đổi khi bỏ bớt cạnh) Cây khung G’ của G có số đỉnh vẫn là n, số cạnh là n-1, số miền là 1. Như vậy: n – m + r= n – (n-1) + 1 = 2 1 2 34 5 F1 F2,3 Hệ quả 1: G là một đồ thị phẳng với n đỉnh, m cạnh, r miền, p là số thành phần liên thông. Khi đó ta có: 2. Công thức Euler n-m + r= p + 1 1R 3R 4R P=2; r=4; n=7; m=8 n – m + r = p + 1 7 – 8 + 4 = 2 + 1 2R 2. Công thức Euler  Ví dụ: Một đơn đồ thị liên thông, phẳng G có 20 đỉnh, mỗi đỉnh có bậc 3. Một biểu diễn phẳng của đồ thị G chia đồ thị G thành bao nhiêu miền? 19 3. Một số đồ thị không phẳng  Các đồ thị K1, K2, K3, K4 là các đồ thị phẳng. Đồ thị K5 không là đồ thị phẳng  Đồ thị Km,n (m,n≥3) không là đồ thị phẳng Ví dụ: 20 K3,3 K3,3 không là đồ thị phẳng 24/10/2013 6 Định lý: Cho H là đồ thị con của đồ thị G: o Nếu G phẳng thì H phẳng o Nếu H không phẳng thì G không phẳng 3. Một số đồ thi không phẳng G Ví dụ: Cho đồ thi G như sau G không phẳng vì K3,3≤G, K3,3 không phẳng Như vậy: Một đồ thi G không phẳng nếu nó đồ thị con là K3,3 hoặc K5 3. Một số đồ thi không phẳng Bất đẳng thức EV (The Edges-Vertices Inequality): Cho G là đồ thị liên thông có n đỉnh, m cạnh và đai là g≥3. Nếu G phẳng thì ta có bất đẳng thức: 4. Bất đẳng thức EV )2( 2    n g g m 5. Định lý KURATOWSKI 5.1. Phép phân chia sơ cấp: Cho đồ thị phẳng G = (V,E). Phép bỏ đi 1 cạnh (u, v) ∈ E và thêm vào đỉnh w và 2 cạnh (u,w), (w, v) được gọi là phép phân chia sơ cấp (elementary subdivision). w u v 24/10/2013 7 5. Định lý KURATOWSKI 5.2. Các đồ thị đồng phôi Đồ thị G’ được gọi là đồng phôi (homeomorphic) với đồ thị G nếu G’ có đuộc từ G bằng một chuỗi các phép chia sơ cấp a b d e 1G a b c d e f h g 2G a b c d e ki g j 3G Ví dụ: G2 , G2 và G3 là hai đồ thị đồng phôi 5. Định lý KURATOWSKI 5.3. Định lý Kuratowski: Một đồ thị là đồ thị phẳng khi và chỉ khi nó không chứa đồ thị con đồng phôi với K3,3 và K5 Ví dụ: Đồ thị G sau đây không phẳng vì chứa đồ thị con đồng phôi với K5 G H≤G, H đồng phôi với K5 Trong các đồ thị sau, đồ thị nào phẳng, đồ thị nào không phẳng? Vẽ lại đồ thi nào là phẳng sao cho không có cạnh cắt nhau ngoài đỉnh 27 G1 G2 G3 G4 28 24/10/2013 8 Tô màu đồ thị Bài toán: Để phân biệt các miền trên bản đồ ta phải tô màu chúng bằng các màu khác nhau. Hỏi cần ít nhất bao nhiêu màu để tô một bản đồ bất kỳ sao cho các miền kề nhau không cùng một màu. B B C D EF C A D E F G Tô màu đồ thị Mô hình hoá bài toán: + Mỗi miền tương ứng một đỉnh của đồ thị. + Hai đỉnh có cạnh nối nếu chúng là hai miền có chung biên Đồ thị nhận được gọi là đồ thị đối ngẫu của bản đồ. + Đồ thị đối ngẫu của bản đồ là đồ thị phẳng. A B C D E A B D E C Tô màu đồ thị Định nghĩa: Tô màu một đơn đồ thị là gán mỗi màu cho một đỉnh của đồ thị sao cho không có 2 đỉnh kề được gán cùng một màu . Bài toán tương đương: tô màu các đỉnh của đồ thị sao cho hai đỉnh kề nhau thì được tô bởi hai màu khác nhau và số lượng màu sử dụng là ít nhất Ví dụ: R B R W Tô màu đồ thị Định nghĩa: số màu của một đồ thị G (kí hiệu :(G)) là số màu tối thiểu cần để tô màu đồ thị G Định lý 4 màu: số màu của một đồ thị phẳng bất kỳ là một số không lớn hơn 4. R B R B R Ví dụ: Xét đồ thị G: Số màu của đồ thị G là 2 Nhận xét: - Số màu của đồ thị lưỡng phân là 2 màu. - Số màu của đồ thị đầy đủ Kn là n màu 24/10/2013 9 Ví dụ: Tìm số màu của các đồ thị sau: 33 K5 K4,2 G H 7. Ứng dụng của tô màu đồ thị trong bài toán lập lịch thi Hãy lập lịch thi trong trường đại học sao cho không có sinh viên nào phải thi đồng thời hai môn cùng một lúc Mô hình hoá bài toán: - Mỗi đỉnh là một môn thi - Hai đỉnh có cạnh nối nếu đó là hai môn mà một sinh viên nào đó phải thi. - Thời gian mỗi môn thi ứng với một màu. Bài toán trở thành bài toán tô màu cho đồ thị trên sao cho hai đỉnh kề nhau có màu khác nhau. Ví dụ:  Giả sử có 7 môn cần xếp lịch thi, được đánh số từ 1 đến 7. G là đồ thị biểu diễn việc xếp lịch thi cho các sv 35 Nhận xét: Số màu của đồ thị là 4  Sử dụng 4 thời gian khác nhau để xếp lịch Thứ tự thời gian Các môn I 1,6 II 2 II 3,5 IV 4,7 36